Trabalho Força Variável

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1 Trabalho Força Variável Uma caixa é puxada por uma força constante de 10N, movendo a caixa para direita de 5,0m: F=10N d=5,0 m F (N) W F =F d W F =F d cos0 W F =F d W F =10 N 5,0 m=50 N m=50 J 10,0 5,0 10 N 5,0 m 50 N m 50 J 0,0 2,0 4,0 6,0 x(m) Definição Gráfica: Trabalho é igual a área abaixo do gráfico força x deslocamento.

2 Força Variável Em alguns problemas específicos, o trabalho pode ser calculado pela área pode de figuras geométricas simples F (N) 10,0 5,0 0,0 2,0 4,0 6,0 x(m) W 06F =W 04 +W 45 +W 56 W 06F = (1+4) 10 2 W 06F =25+2,5 W 06F =27,5 J

3 Força Variável No entando em situações mais gerais isto é pouco provável. F (N) x f x(m)

4 Força Variável No entando em situações mais gerais isto é pouco provável. F (N) x f x(m)

5 Força Variável No entando em situações mais gerais isto é pouco provável. F (N) Δ W j = F (x) Δ x W if F j W if F j Δ W j F (x) Δ x x f x(m)

6 Força Variável No entando em situações mais gerais isto é pouco provável. F (N) W if F = lim F(x) Δ x Δ x 0 x W = f if F j F (x) dx x f x(m)

7 Força Variável Existem duas diferenças conceituais entre as duas somas apresentadas: W if F j F (x) Δ x Soma de elementos que variam discretamente; W if F 25,4 + 32,5 + 45,6 + x W = f if F F (x) dx Soma de elementos que variam continuamente. W if F =27, , ,

8 Integral O processo descrito é conhecido como integral. Podendo ser empregado para o calculo de: Comprimento de caminhos; Áreas (como empregado aqui); Volumes; Entre outros. Em poucas palavras, a integral faz o caminho contrário da derivação sobre uma função: d dx f (x)=g(x) g(x)dx=f (x)

9 Integral Alguns exemplos de integração: d dx sen x=cos x cos x dx=sen x+ C onde C é uma constante que aqui será omitida. d dx x3 =3 x 2 3 x 2 dx=x 3 d dx tan x=sec2 x sec 2 x dx=tan x d dx cosh x=senh x senh x dx=cosh x d dx ln sec x =tan x tan x dx=ln sec x

10 Integral Para o restante desta disciplina necessito apenas da regra de integração de polinômios: d dx xm =m x m 1 m x m 1 dx=x m sendo m uma constante m x m 1 dx=x m x m 1 dx= xm m fazendo: { m 1=n m=n+1 x n dx= xn+1 n+1

11 Integral Algumas aplicações: x 3 dx= x3 3 x 5 dx= x5 5 x dx= x2 dx= x 0 dx= x1 2 1 =x No entanto esta regra não serve para n = -1: x 1 dx x0 0 Indeterminado. Neste caso a integração é a definição para a função logaritmo natural: x 1 dx= 1 dx=ln x+c com x>0. x Portanto logaritmo natural é a área abaixo da curva 1/x.

12 Força Elástica Força Elástica é a força criada por dispositivos elásticos como molas, onde, no limite elástico, sua força respeita a Lei de Hooke: F(x)= k x onde k é a constante elástica da mola e x o deslocamento do extremo da mola de seu ponto de repouso. F(x 1 )>0 0 x F(x 0 )<0 x 1 0 x 0 x 0 x

13 Limite Elástico Uma visão atômica, simplista, do Limite Elástico: Considere um fio metálico formado por um arranjo bidimensional de átomos conforme a figura abaixo:

14 Limite Elástico Uma visão atômica, simplista, do Limite Elástico: Considere um fio metálico formado por um arranjo bidimensional de átomos conforme a figura abaixo:

15 Limite Elástico Uma visão atômica, simplista, do Limite Elástico: Considere um fio metálico formado por um arranjo bidimensional de átomos conforme a figura abaixo: Dentro do limite elástico a cadeia atômica deforma sem que se rompa (significativamente) as ligações com os átomos vizinhos.

16 Limite Elástico Uma visão atômica, simplista, do Limite Elástico: Considere um fio metálico formado por um arranjo bidimensional de átomos conforme a figura abaixo: Dentro do limite elástico a cadeia atômica deforma sem que se rompa (significativamente) as ligações com os átomos vizinhos. Quanto ultrapassado o limite elástico estas ligações são severamente comprometidas gerando rupturas irreversíveis na cadeia atômica.

17 Trabalho da Força Elástica Portando, dentro do limite elástico, qual o trabalho realizado pela força de mola, quando está é movida de uma posição para a posição x f? x f W = if e x f W if e = 0 x x f W if e = k F(x)dx ( k x)dx x f x dx x f W if e = k x2 = 1 x 2 2 k f x2 W if e= { 1 2 k x f 2 1 2} 2 k

18 Trabalho da Força Resultante Suponha que sobre um corpo de massa m, inicialmente parado, são aplicadas diversas forças, constantes e/ou variáveis. F=m a Para simplificar tome como eixo x a direção do movimento. v i F=m a a(t)=a= dv dt a(t) x f v f x W = f ( if F)dx x W = f if x f W if =m ma dx a dx

19 Trabalho da Força Resultante usando a definição de aceleração x f W if =m v f W if =m v i x dv dt dx=m f dx dt dv v f v dv=m v2 = 1 v 2 v i 2 m f v2 vi Aqui ocorre uma mudança na variável de integração, de posição para velocidade. W if = 1 2 m v 2 f 1 2 m v 2 i K= 1 2 m v2 Energia Cinética de Translação W if =K f K i ou W if =Δ K Teorema Trabalho-Energia

20 Teorema Trabalho-Energia Este teorema afirma que toda vez que se fizer um trabalho total diferente de zero sobre um sistema, isto resultará em uma variação da energia cinética do sistema. No Exemplo 1 foram realizadas os trabalhos: W F =400 J W N =0 W f = 25 J W P = 125 J W if = W Fi =125 J=Δ K Isto significa que a energia cinética do corpo aumentou em 125J durante o seu movimento, rampa acima.

21 Teorema Trabalho-Energia Portanto, se o corpo estivesse inicialmente em repouso e sua massa for de 10kg, sua velocidade terá aumentado para: Δ K=125 J K F K i = m v 2 f 1 2 m v 2 i =125 0 v f 2 = v f =5,0 m/s

22 Potência Taxa com que o trabalho é realizado: P= W Δ t Potência Média Unidade: [P]= [W ] =J / s=w (Watt) [Δ t ] Outras unidades: 1 hp=1 horsepower=745,7 W 1hp=550 ft lb/ s Conta de Luz: kw h W = P Δ t

23 A potência instantânea Potência P=lim Δ t 0 Δ W Δ t P= dw dt ou ainda, usando a definição de trabalho: W F = F dx dw =F dx P= F dx dt =F dx dt =F v x com um pouco de formalismo vetorial é fácil demonstrar: P=F v