MAT Análise Real - 1 semestre de 2014 Docente: Prof. Dr. Pierluigi Benevieri Notas das aulas e exercícios sugeridos - Atualizado 9.11.

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1 MAT Análise Real - semestre de 204 Docente: Prof. Dr. Pierluigi Benevieri Notas das aulas e exercícios sugeridos - Atualizado Segunda-feira, 7 de fevereiro de 204 Apresentação do curso. pluigi *** Veja-se o arquivo relativo às informações do curso na minha pagina web O primeiro conjunto numérico que encontramos na matemática é o conjunto N dos números naturais. As operações de soma e produto, com as propriedades usuais, são bem definidas em N, enquanto não podemos dizer o mesmo para as inversas, subtração e divisão. Para poder definir e usar estas duas operações inversas introduzimos os conjuntos Z (inicial de Zahlen, in Alemão, que significa número) dos números inteiros relativos, e Q dos números racionais (frações de números inteiros). O conjunto Z é introduzido para definir a subtração e Q para a divisão. O sistema Q dos números racionais poderia constituir a base de boa parte da matemática, enquanto poderia ser suficiente para resolver a grande maioria dos problemas matemáticos, mas não todos! O mais famoso problema dos números racionais foi descoberto pela escola matemática de Pitágoras no VI século a.c: usando o clássico Teorema de Pitágoras, se consideramos um quadrado de lado, a diagonal mede um número d tal que d 2 = 2 (veremos depois que tal número se chama raiz quadrada). Então, podemos provar que não existe nenhum número racional cujo quadrado seja 2. Proposição. (com demonstração) Não existe nenhum número racional cujo quadrado seja 2. Definição 2. Dado um número a 0 dizemos que b é uma raiz quadrada de a, denotada por a se b 0 e b 2 = a. Observação 3. De acordo com a definição acima é errado dizer que 2 = 4, mas as igualdades corretas são 2 = 4 e 2 = 4. Exercício. Dê a prova da Proposição??. Exercício 2. Prove que 3 2 não existe em Q. Exercício 3. Prove que 3 não existe em Q. A proposição?? diz que não existe em Q o número 2. Daí, podemos tentar resover o problema (e outros) ampliando a família dos números racionais (analogamente àquilo que se faz passando de N a Z e de Z a Q) e definindo um novo conjunto: o dos números reais, R. A definição dos números irracionais, todavia, não é tão simples. Além disso, a união dos racionais e dos irracionais, que iria formar o conjunto numérico desejado, o conjunto R dos números reais, deveria satisfazer as mais conhecidas propriedades algébricas, normalmente usadas (as operações clássicas). As provas de todos estes fatos é longa e complicada. Escolhemos, portanto, uma outra abordagem à definição dos números reais, que é mais abstrata, dita abordagem axiomática aos números reais. Na definição seguinte, o leitor deve pensar em R em princípio sem nenhuma conexão com os números conhecidos; como se fosse um conjunto abstrato, encontrado pela primeira vez.

2 2 Definição axiomática de R. O conjunto R, dito dos números reais, é um conjunto onde são definidas duas operações, soma e produto, uma relação de ordem e um axioma de continuidade, tais que as propriedades seguintes sejam verificadas: S) Propriedade comutativa da soma: a, b R, a + b = b + a; S2) Propriedade associativa da soma: a, b, c R, (a + b) + c = a + (b + c); S3) Existência do elemento neutro da soma: existe um elemento de R, denotado por 0, tal que, a R, a + 0 = a e 0 é dito elemento neutro da soma; S4) Existência do oposto: a R existe um elemento de R, b, dito oposto de a, tal que a + b = 0. Este oposto b pode ser denotado por a e a operação a + ( a) = 0 pode ser escrita simplesmente a a = 0. Analogamente temos propriedade do produto: P) Propriedade comutativa do produto: a, b R, ab = ba; P2) Propriedade associativa do produto: a, b, c R, (ab)c = a(bc); P3) Existência do elemento neutro do produto: existe um elemento de R, denotado por, tal que, a R, a = a e é dito elemento neutro do produto; P4) Existência do inverso: a R, a 0, existe um elemento de R, b tal que a b = ; b é dito inverso de a e pode ser escrito como /a. A propriedade distributiva liga soma e produto: SP) a, b, c R, (a + b)c = ac + bc. Em R é definida uma relação de ordem (total) que é conexa à soma e ao produto pelas duas propriedades seguintes: OS) a, b, c R, se a b, então a + c b + c; OP) a, b, c R, con c > 0, se a b, então ac bc. Exercício 4. Escreva a definição de relação de ordem em um conjunto. Dê exemplos, da vida real, de relações de ordem e de relações que não são de ordem. Exercício 5. Provar que o conjunto Q dos números racionais verifica todas as propriedades acima. Exercício 6. Provar, usando as propriedades acima dos números reais, as propriedades seguintes: ) a R, a 0 = 0; 2) a R, a > 0 a < 0; 3) a, b R, se a > 0 e b < 0, então ab < 0; 3b) a, b R, se a > 0 e b > 0, então ab > 0; 3c) a, b R, se a < 0 e b < 0, então ab > 0; 4) a, b, c R, se c < 0, se a b, então ac bc; 5) a, b, R, com a > 0, b > 0, a b se e somente se a 2 b 2. 6) a, b, R, com a > 0, b > 0, a b se e somente se /a /b; 7) nos itens 4,5,6 vale a desigualdade estrita tese se for verificada na hipótese? O exercício acima pode desorientar, parecendo óbvio. De fato, queremos que as propriedades acima sejam provadas só usando as propriedades algébricas introduzidas acima em R, que deve ser pensado como um conjunto abstrato. Vamos agora introduzir o axioma de continuidade, aquilo que torna realmente diferente R de Q.

3 3 Definição 4. Dados dois números reais a e b, é dito intervalo de extremos a e b cada um dos conjuntos seguintes: [a, b] = {x R : a x b}, [a, b) = {x R : a x < b}, (a, b] = {x R : a < x b}, (a, b) = {x R : a < x < b}. O primeiro e o quarto dos intervalos anteriores são ditos rispectivamente fechado e aberto. Não esquecemos os intervalos [a, + ) = {x R : x a}, (a, + ) = {x R : x > a}, (, b] = {x R : x b}, (, b) = {x R : x < b}. O primeiro e o terceiro são fechados, enquanto o segundo e o quarto são aberto. Lembramos que + e não são elementos de R. Consideramos agora uma sequência (infinita) de intervalos fechados, I k = [a k, b k ] tais que I k I k e b k a k = b k a k. Na igualdade anterior, o número 2, que aparece pela primeira vez, é definido por 2 2 = +, assim como todos os números inteiros usados para contar os intervalos são definidos como somas de. Observe que, acima, se o primeiro intervalo da sequência é denotado por I k 0 = [a 0, b 0 ] temos b k a k = b 0 a 0 2 k. Axioma de continuidade. Dada uma sequência (infinita) de intervalos fechados I k como acima, existe e é único um elemento de R que pertence a todos os I k. Definição 5. Dado a > 0 se existe um número real b > 0 tal que b 2 = a, chamamos b de raiz quadrada de a. Usando o axioma de continuidade poderiamos provar que cada a positivo (ou seja > 0) possui raiz quadrada. Porém a prova será feita depois da introdução das funções contínuas. Exercício 7. Usando as propriedades algébricas dos números reais, em particular o item 5 do exercício 6, prove que a raiz quadrada de a > 0, se existir, é única. ****** Exercício 8. Seja U um conjunto, A e B subconjuntos de U. Denotamos por C U A o complementar de A em U, ou seja o conjunto dos elementos de U que não pertencem a A. Prove as seguintes leis (ditas de De Morgan): ) C U (A B) = C U A C U B, 2) C U (A B) = C U A C U B. 2. Quarta feira 9 de fevereiro de 204 Exercício 9. Prove que Q não verifica o axioma de continuidade. Exercício 0. Provar as propriedades distributivas: dados três conjuntos A, B e C,

4 4 ) A (B C) = (A B) (A C), 2) A (B C) = (A B) (A C). Como consequência do axioma de continuidade temos o importantissimo resultado seguinte. Teorema 6 (Princípio de Arquimédes). (com demonstração) Dados dois números reais a, b com 0 < a < b, existe um número inteiro N tal que Na > b. O teorema de Arquimédes permite provar as propriedades seguintes que deixamos como exercício. Exercício. Prove, usando o Princípio de Arquimedes, que o conjunto dos números reais positivos não admite mínimo. Ou seja, provar que não existe o número positivo menor de todos os outros. Exercício 2. Prove que, dados dois números reais, positivos a e b, tais que a < b, existe um número racional m/n tal que a < m/n < b e que existe um número racional s tal que a < s < b. O exercício acima mostra uma conseqüência do Princípio de Arquimedes: o fato bem conhecido de que entre dois números reais estão infinitos números racionais e infinitos números irracionais. Seja agora E um subconjunto de R. Um número real M é dito majorante de E se x M para todo x E. Um número real m é dito menorante de E se x m para todo x E. Um conjunto E é dito itado superiormente se admite pelo menos um majorante, enquanto é dito itado inferiormente se admite pelo menos um menorante. É dito itado se é itado superiormente e inferiormente. Se E é itado superiormente definimos supremo de E, sup E, o mínimo dos majorantes; se E é itado inferiormente definimos ínfimo de E, inf E, o máximo dos minorantes. Se E é iitado superiormente escrevemos sup E = +, se E é iitado inferiormente escrevemos inf E =. O máximo de um conjunto E é o elemento maior, se existe, enquanto o mínimo é o elemento menor, se existe. Um conjunto é dito finito se possui um número finito de elementos. O fato seguinte é uma consequência do axioma de continuidade (em alguns livros é dado como o axioma de continuidade). Teorema 7 (Existência do supremo e do ínfimo). (com demonstração) Um conjunto de números reais, itado superiormente (inferiormente) admite supremo (ínfimo) em R. Q não verifica a propriedade de continuidade. Verifique este fato como exercício. do fato que, por exemplo, não existe nenhum racional cujo quadrado seja 2. É uma conseqüência 3. Sexta feira 2 de fevereiro de 204 Exercício 3. Prove o Princípio de Arquimedes. Exercício 4. Dê a demonstração do Teorema??. Exercícios: Determine o superemo e o ínfimo dos conjuntos seguintes e, se existem, o máximo e o mínimo. 5. (2, 3) 6. [0, + ) 7. [ 5, ) (, 4] 8. (0, 3] [3, 5]

5 9. { n }, n { + n }, n {x Q : x 2 < 2} 22. ( n 2 2n, ] n { } 2n n 2 +, n N Exercício 23. Determine supremo, ínfimo, máximo e mínimo (se existem) do conjunto: A = { n }, n, Exercício 24. Seja A = A n, onde, para cada n, A n = n 2 ínfimo, máximo e mínimo (se existem). Exercício 25. inf A inf B. ( 2n, ]. Determine supremo, n Sejam A e B dois subconjuntos de R tais que A B. Provar que sup A sup B e Dado un número real a, definimos módulo (ou valor absoluto) de a número não negativo { a se a 0 a = a se a < 0. Exercício 26. Provar as desigualdades triangulares seguintes: para todos a, b R, a + b a + b, a b a b. 5 Resolver algumas das inequações seguintes. 27. x 2 2x x 2 x + 2 > x 2 x + > x 30. x 2 + x x 2 2x x x2 > x x + 3 < 4 x x 2 + x2 35. x < x x 2 + 2x > 3 x 37. x < x 38. x 2 4x 5 > x 39. x < 5 + x 40. 6x + 3 > x + 2 Topologia da reta real Definição 8. Dados um elemento x R e um número δ, real e positivo, o intervalo (x δ, x + δ) é dito vizinhança de x com raio δ. O número x é também chamado centro da vizinhança. Definição 9. Um subconjunto A é de R é dito aberto se, para cada x A existe δ > 0 tal que (x δ, x + δ) A Observe que na definição acima o raio δ depende evidentemente de x. Definição 0. O conjunto vazio é aberto.

6 6 Podemos observar que a propriedade de ser aberto do conjunto vazio poderia ser obtida da definição??, não tendo nenhum elemento que possa não respeitar a regra que a definição prevê. Definição. (Veja-se o exercício 8) Dado um subconjunto E de R, o conjunto dos elementos de R que não pertencem a E é dito complementar de E em R e denotado por CE. Definição 2. Um subconjunto C de R é dito fechado se o complementar é aberto. Exercício 4. Um intervalo (a, b) é sempre uma vizinhança. Determine o centro e o raio. Exercício 42. Diga se os conjuntos seguintes são abertos, fechados, nem abertos nem fechados.. (2, 3] 2. [0, 2) [, 5] 3. [0, ] Q 4. {x R : < x < 2} 5. (0, 3] {2} ( significa: tirando 2 do conjunto anterior) 6. {x R : x + x 2 < 2} 7. N 8. (0, 2) 3 Outros exercícios. Rudin, p. 6, n.. Apostol, p. 33, n. 3,4,5,7,8,0. 4. Segunda feira 24 de fevereiro de 204 Exercício 43. Prove as propriedades seguintes. a) A união de uma família qualquer de conjuntos abertos é um aberto. b) A interseção de uma família qualquer de conjuntos fechados é um fechado. c) A interseção de um número finito de conjuntos abertos é um aberto. d) A união de um número finito de conjuntos fechados é um fechado. Exercício 44. Mostre um exemplo de uma família infinita de conjuntos abertos cuja interseção não é um aberto. Exercício 45. Mostre um exemplo de uma família infinita de conjuntos fechados cuja união não é um fechado. Definição 3. Dado um conjunto E contido em R, um ponto p R é dito ponto de fronteira de E se cada vizinhança de p contém pontos de E e pontos de CE. A fronteira de E é o conjunto dos pontos de fronteira e é denotada pelo símbolo FE. O leitor pode observar que, pela definição acima, um ponto de fronteira de um conjunto E pode pertencer a E ou pode não pertencer. Proposição 4. (com demonstração) Dado E R, a união E FE é um conjunto fechado. Exercício 46. Prove que um conjunto E R é fechado se e somente se FE E. Exercício 47. Prove que, dado E R, a fronteira de E é um conjunto fechado. Exercício 48. Prove a Proposição??.

7 7 Definição 5. Dado um conjunto E contido em R, a união E FE é dita fecho de E e é denotada por E. Exercício 49. Dado E R, prove que E é o mínimo conjunto fechado que contém E, ou seja, prove que: se C é fechado e contém E, então E C. Definição 6. Dado um conjunto E contido em R, um ponto p E é dito interior de E se existe uma vizinhança (p δ, p + δ) contida em E. Exercício 50. É fácil provar que um ponto que pertence a E não pode ser ao mesmo tempo interior e de fronteira (mas uma das duas propriedaes sim, ele possui). Exercício 5. É igualmente fácil provar que o conjunto dos pontos interiores de E é aberto. Exercício 52. Determine os pontos interiores, a fronteira e o fecho dos conjuntos do exercício 43. Definição 7. Dado um conjunto E contido em R, um ponto p R é dito ponto de acumulação de E se cada vizinhança de p contém infinitos pontos de E. Observação 8. O leitor observe que as definições de ponto de fronteira e de acumulação são distintas. Por outro lado, analogamente aos pontos de fronteira, um ponto de acumulação de um conjunto E pode pertencer a E ou pode não pertencer. Exercício 53. Determine os pontos interiores, a fronteira e o fecho dos conjuntos do exercício 43. Exercício 54. Tente escrever um exemplo de conjunto infinito que tem só um ponto de fronteira. Exercício 55. Tente escrever um exemplo de conjunto que tem só um ponto de acumulação. Observação 9. Observe que, se E é um conjunto finito, todos os pontos dele são de fronteira, enquanto não temos pontos de acumulação. Teorema 20 (de Bolzano-Weierstrass). (com demonstração) Um subconjunto itado e infinito (ou seja que possui infinitos elementos) possui (pelo menos) um ponto de acumulação. 5. Sexta feira 28 de fevereiro de 204 Aula do Prof. Gaetano Siciliano. Exercícios sobre números reais e topologia da reta real. 6. Sexta feira 7 de março de 204 Introdução às funções Definição 2 (de função). Dados A e B conjuntos quaisquer, uma função f : A B é una lei que a cada elemento de A associa um e só um elemento de B.

8 8 A se chama domínio da função, B é dito contradomínio. O conjunto dos valores atingidos por f se chama imagem de f, em símbolos, Im (f) ou f(a), ou seja: Im (f) = {y B : existe x A tal que f(x) = y}. Im (f) é um subconjunto do contradomínio (pode ser igual). Uma função f é dita injetora se, para todos a, b A, tais que a b, temos f(a) f(b). É dita sobrejetora se Im (f) = B. Se f é injetora e sobrejetora é chamada bijetora (ou correspondência biunívoca). Definição 22 (de função real). Dado um subconjunto E de R, uma função real com variável real é uma função f : E R. Observação 23. O curso de Análise real aborda basicamente o estudo das funções reais com variável real. Alguns exemplos de funções reais com variável real. () f : R R, f(x) = x. (2) As potências com expoente inteiro e positivo, f : R R, definidas por f(x) = x n. As potências são injetoras? (3) f : [0, ] R, f(x) = x 2. O domínio (e provavelmente a imagem desta função) é diferentes daquele de g(x) = x 2, se x R. Observe que, se duas funções têm domínios diferentes são duas funções distintas, mesmo se possuem a mesma lei algébica que as define. (4) Os polinômios, ou seja, as somas finitas de potências com expoente inteiro e positivo e coeficientes reais: p : R R, p(x) = n j= a jx j. (5) As funções racionais, ou seja as frações de polinômios f(x) = p(x)/q(x), definidas em conjuntos onde o denominador não se anula. Os dois seguintes são exemplos de funções definidas através de leis algébricas diferentes em diferentes partes do domínio. { /x se x 0 (6) f : R R, f(x) = 0 se x = 0. { x + 3 se 0 x 3 (7) f : [0, 4] R, f(x) = x 2 5 se 3 < x 4. se x < 0 (8) A função sinal de x, definida em R, sign (x) = 0 se x = 0 se x > 0. (9) A função parte inteira de x, definida em R, [x] é o maior inteiro relativo que não supera x. { se x Q (0) A função de Dirichlet, f : R R, f(x) = 0 se x R \ Q. Exercício 56. Observe que, pela ferramenta que temos agora, não é possível determinar a imagem de f(x) = x 2 e das outras potências de expoente inteiro e positivo, com a única exceção do expoente. Discuta este fato. Exercício 57. Responda à pergunta do exemplo 2.

9 9 Exercício 58. Quanto vale [/2]? [ /2]? [3]? Definição 24. É dito gráfico de uma f : E R o subconjunto de R2 G(f) = {(x, y) R 2 tal que x E, y = f(x)}. Observação 25. A função x, assim como n x, não sabemos por enquanto se é definida e onde. Ou seja, não sabemos dizer sobre a existência da raiz quadrada e da raiz n-esima de um número real. Uma resposta será dada depois da introudução das funções contínuas. Exercício 59. Uma função f : R R é chamada par se f(x) = f( x), para todo x. É chamada impar se f(x) = f( x), para todo x. Prove que x 2 + é par e que x3 x x 2 + é impar. Sejam A, B dois conjuntos, e f : A B uma função dada. Dado um subconjunto C de B, é dito imagem inversa de C o conjunto {x A : f(x) C}. Dada f : E R e dado um suconjunto B de E, a função g : B R, definida por g(x) = f(x) para todo x B é dita restrição de f em B, o símbolo é f B. Se f : A B é injetora, definimos a função inversa de f como a função g : Im f A que associa a cada y Im f o único x A tal que f(x) = y. Neste caso f é também chamada inversível e a função inversa é denotada, em geral, por f. Observação 26. Cuidado: não faça confusão entre a imagem inversa (de um conjunto) que sempre é um conjunto e a função inversa, quando existe, que é uma função. A notação não ajuda, sendo f o mesmo símbolo para os dois conceitos. Exercício 60. Dada f : E R, prove que, para todo D R e C E, temos f(f (D)) D e f (f(c)) C. Procure exemplos onde vale a igualdade e outros onde vale a inclusão estrita. Em particular, prove que, se f é sobrejetora, vale f(f (D)) = D e que f (f(c)) = C se f é injetora. Observação 27. O leitor pode ver que a definição de função inversível não requer que a função seja sobrejetora. Basta que seja injetora e acertar consequentemente o domínio da inversa como a imagem da função inicial. Sejam dadas duas funções f : A R e g : B R, tais que Im (f) B. Definimos função composta g f : A R, a função (g f)(x) = g(f(x)). Analogamente, se Im (g) A, definimos f g : A R como (f g)(x) = f(g(x)). Uma função f : E R é dita monótona crescente (resp. estritamente crescente) se, para cada x, x 2 em E, com x < x 2, resulta f(x ) f(x 2 ) (resp. f(x ) < f(x 2 )). Uma função f : E R é dita monótona decrescente (resp. estritamente decrescente) se, para cada x, x 2 em E, com x < x 2, resulta f(x ) f(x 2 ) (resp. f(x ) > f(x 2 )). Exercício 6. Estudar a monotonia das funções seguintes: () f : R R, f(x) = x 2, (2) f : [2, 6] R, f(x) = x 4, (3) f : [0, + ) R, f(x) = x,

10 0 (4) f[ 5, 4] [, 2], f(x) = /x. Exercício 62. Provar que a soma de duas funções crescentes é uma função crescente. A composição de duas funções crescentes é uma função crescente? E o produto? A inversa de uma função estritamente crescente é uma função estritamente crescente? Exercício 63. É evidente que uma função estritamente monótona é inversível. É verdadeiro ou falso o vice-versa, ou seja, que uma função inversível é estritamente monótona? Uma função é dita itada (superiormente, inferiormente) se a imagem dela é itada (superiormente, inferiormente). Neste caso o supremo (ínfimo) de f, sup f (inf f) é, por definição, o supremo (ínfimo) de Im (f). Se f não é itada superiormente, dizemos que sup f = +. Se não é itada inferiormente, dizemos que inf f =. Exercício 64. Prove que cada função f : R R é soma de uma função par e de uma função impar. 7. Segunda feira 0 de março de 204 As funções contínuas Definição 28 (função contínua). Sejam E um subconjunto de R, f : E R uma função dada e x E um ponto dado. Dizemos que f é contínua em x se para cada ε > 0 existe δ > 0 tal que f(x) (f(x) ε, f(x) + ε) para todo x (x δ, x + δ) E. A f é dita contínua se é contínua em todos os pontos do domínio. Em outras palavras a definição acima diz que f é contínua em x se, dada uma vizinhança V de f(x), existe uma vizinhança U de x tal que f(u E) V. Exercício 65. Sejam f : E R uma função dada e x E um ponto isolado de E (um ponto isolado de um conjunto é um ponto do conjunto que não é de acumulação). Prove que f é contínua em x. O significado do conceito de continuidade em x (que é parecido mas não igual ao de ite, que veremos depois) diz que, quando x se aproxima de x, então f(x) se aproxima de f(x). Se x for isolado em E, ele não tem pontos que se aproximam. Portanto f é trivialmente contínua em x; porém, por outro lado, a continuidade não é interessante no caso dos pontos isolados, porque o conceito de função contínua quer dizer que a imagem muda pouco quando a variável muda pouco. Exercício 66. Prove que f(x) = x é contínua em todos os x reais. Exercício 67. Prove que f(x) = x é contínua em todos os x reais. Exercício 68. Dados c R e f : R R, definida por f(x) = c para todo x (função constante), prove que f é contínua. Dada f : E R, um ponto x E tal que f não é contínua em x é dito ponto de descontinuidade. Exercício 69. Determine os pontos de descontinuidade das funções parte inteira, sinal e da função de Dirichlet. Observação 29. Considerando f(x) = /x, não é correto dizer que 0 é ponto de descontinuidade, porque 0 não pertence ao domínio.

11 Exercício 70. (difícil) (Veja Rudin pag. 76, ex. 0.) Seja f : (0, ] R definida como { /n se x = m/n, m e n inteiros positivos e primos entre si (m n) f(x) = 0 se x é irracional. Prove que f é contínua nos pontos irracionais de (0, ] e descontínua nos racionais. Proposição 30 (Álgebra das funções contínuas). (com demonstração) Sejam f : E R, g : E R duas funções contínuas em um ponto x E. Então: () f + g é contínua em x; (2) f g é contínua em x; (3) f/g é contínua em x (posto que g(x) 0). Observação 3. A prova da continuidade do quociente é mais fácil usando o Teorema da conservação do sinal (Teorema?? abaixo). Exercício 7. Graças à proposição acima é fácil verificar que os polinômios e as funções racionais são contínuas. Verifique os detalhes desta afirmação. Proposição 32 (Continuidade das funções compostas). (demonstração por exercício) Sejam duas funções f : A R e g : B R tais que Im (f) B. Dado x A, suponhamos que f seja contínua em x e g em f(x). Então, g f é contínua em x. Vamos ver agora os teoremas clássicos das funções contínuas. Entre as consequências deles, poderemos finalmente definir a função raiz quadrada (mais em geral a raiz n-esima). Teorema 33 (Conservação do sinal). (com demonstração) Seja f : E R uma função contínua em um ponto x E. Suponhamos f(x) > 0. Então existe uma vizinhança de x, (x δ, x + δ), tal que f(x) > 0 para todo x (x δ, x + δ) E. O leitor não terá dificuldade em adaptar o resultado acima ao caso em que f(x) seja negativo. Exercício 72. Prove os três itens da álgebra das funções contínuas. Exercício 73. Prove a Proposição??. Exercício 74. Prove o Teorema de conservação do sinal. Exercício 75. Prove que uma função f : R R é contínua se e somente se para cada aberto A (no contradomínio) a imagem inversa dele, f (A), é um aberto (no domínio). Outros exercícios. Rudin, pag. 75, n. 5, 3, 5. Apostol, pag. 66, n. 28; pag. 69, n. 2, Quarta feira 2 de março de 204 A teoria das funções contínuas poderia ser elaborada para uma análise matemática baseada nos números racionais. Todos os resultados acima continuariam valendo. O seguinte não. Ele precisa do axioma da continuidade. Não é por acaso que é dado para funções definidas em intervalos. Teorema 34 (de anulamento). (com demonstração) Seja f : [a, b] R uma função contínua (em [a, b]). Suponhamos f(a) f(b) < 0. Então, existe um ponto c (a, b) tal que f(c) = 0.

12 2 Exercício 76. Todas as hipóteses do enunciado acima são importantes para a demonstração (geralmente é assim: se um teorema é corretamente expresso, não tem hipóteses supérfluas). O leitor procure exemplos de funções contínuas em conjuntos que não são intervalos para as quais o teorema de anulamento não vale. Exercício 77. O teorema de anulamento é um teorema de existência e não fornece diretamente uma técnica para encontrar a solução de uma equação f(x) = 0. Todavia, um algoritmo para aproximar soluções de equações f(x) = 0 é fácil para ser determinado. Seja f : [a, b] R contínua e tal que f(a) f(b) < 0. Seja c = a + b o ponto médio do intervalo. Se f(c ) = 0, o problema é resolvido. Senão, 2 o novo intervalo [a, b ] é obtido escolhendo aquela metade de [a, b] tal que f(a ) f(b ) < 0. Continuando o processo, não temos nenhuma certeza de encontrar uma solução, mas sim uma sua aproximação. Se, digamos, ao passo n, observamos que b n a n = b a, o ponto médio c do n-ésimo intervalo tem uma 2n distância menor de b a de uma solução da equação (embora não tenhamos a menor ideia de quem seja 2n+ a solução exata). Consequência importante do Teorema de anulamento e o seguinte Teorema dos valores intermediários. Cabe ao leitor lembrar as definições de supremo e ínfimo de uma função (pag.??). Teorema 35 (dos valores intermediários). (com demonstração) Sejam I um intervalo de R e f : I R uma função contínua. Então, a imagem de f é feita por todos os valores entre inf(f) e sup(f). Observação 36. O teorema é falso se o domínio não é um intervalo (pense em f(x) = /x que não admite zero como imagem). Corolário 37. Uma função contínua aplica intervalos em intervalos. Graças ao teorema dos valores intermediários podemos finalmente resolver o problema da imagem de x 2 (e de muitas outras funções). Problema que foi apresentado e não resolvido na aula do dia 7 de março. Pegamos por exemplo o domínio [0, 2] e f : [0, 2] R, definida por f(x) = x 2. Pelas propriedades algébricas dos números reais sabemos provar que: a) f(x) 0 para todo x; b) f é estritamente crescente; c) atinge o máximo em x = 2 e o mínimo em x = 0; d) o máximo vale 4 e o mínimo 0. Portanto a imagem de f é contida em [0, 4], mas podemos afirmar que coincide com [0, 4] só usando o teorema dos valores intermediários. O teorema dos valores intermediários permite (finalmente) provar a existência da raiz quadrada de um número positivo. Seja de fato a > 0 dado e seja a função x 2 a. Tal função é negativa em zero e positiva para x suficientemente grande (pelo Teorema de Arquimédes). Portanto se anula em um ponto b, evidentemente positivo. Ou seja existe b tal que b 2 = a. Este b é a raiz quadrada de a, cuja unicidade já foi provada. Portanto podemos definir agora f : [0, + ) R, f(x) = x. Outros exercícios. Apostol, pag. 72, n., 2, 3. Este comentario final, abaixo, é uma parcial correção da análoga parte na página??, onde têm algumas imprecisões. Como consequência do axioma de continuidade temos o importantissimo resultado seguinte. Teorema 38 (Princípio de Arquimédes). (com demonstração) Dados dois números reais a, b com 0 < a < b, existe um número inteiro N tal que Na > b.

13 3 O teorema de Arquimédes permite provar as propriedades seguintes que deixamos como exercício. Exercício. Prove, usando o Princípio de Arquimedes, que o conjunto dos números reais positivos não admite mínimo. Ou seja, provar que não existe o número positivo menor de todos os outros. Exercício 2. Prove que, dados dois números reais, positivos a e b, tais que a < b, existe um número racional m/n tal que a < m/n < b e que existe um número irracional s tal que a < s < b. As propriedades acima são de natureza algébrica e também Q as verifica; não são consequência do Princípio de Arquimedes. 9. Sexta feira 4 de março de 204 Exercício 78. Raiz n-ésima. Analogamente podemos definir a raiz n-ésima de um número positivo se n for par, e de um número real qualquer se n for impar. O leitor pode provar que a raiz existe e que f(x) = n x é definida em [0, + ) se n é par e em R se n é impar. Exercício 79. Potências com expoente racional. Usando a definição de raiz n-ésima e, em particular, o fato de que ela existe, podemos definir uma potência com expoente racional. Começamos definindo x 0 = para cada x 0. Esta definição, absolutamente abstrata, permite a extensão das propriedades das potências aos casos que envolvem x 0 : sabemos que x m /x m =. por outro lado, se queremos aplicar x m /x m = x m m, a única possibilidade é dada da escolha acima. Em seguida: dados x real e positivo e m, n inteiros positivos, definimos precisamente: x m/n = n x m = ( n x ) m. Podemos ir além: dados x R e m inteiro positivo, definimos As duas definições acima permitem definir x m = x m. x m/n = n x m = ( n x ) m, x > 0, m, n Z, m, n 0. Observamos o seguinte. a) A função f(x) = x m/n, definida em (0, + ) pode ser extendida em 0 se não tiver problema em anulamento de denominadores. O leitor verifique para quais valores de m, n é possível. b) A função f(x) = x m/n, definida em (0, + ) pode ser extendida aos x 0 se não tiver problema em anulamento de denominadores e raizes de índice par de números negativos. O leitor verifique para quais valores de m, n é possível. c) O leitor prove que as potências de expoente racional verificam as clássicas propriedades das potências: x r x s = x r+s, x r y r = (xy) r, (x r ) s = x rs. (O caso do expoente inteiro é imediato e não precisa ser aprofundado.) d) A potência 0 0 não é definida. O leitor pode tentar explicar quais possíveis problemas encontraria uma tentativa de associar um valor a 0 0. Observação 39. O passo seguinte seria a definição de potência com expoente real. Nos cursos de Cálculo não é dedicado muito espaço ao aprofundamento deste conceito, e são usadas sem grandes problemas funções do tipo x α, onde x é real e positivo e α é real, e a x, onde a é real e positivo e x é real. (É inclusive definida a função x x para todo x real e positivo.) Fica claro que, por exemplo, 2 π não pode significar o produto do número 2 por si π vezes. Uma possibilidade para definir 2 π e obté-lo como um

14 4 processo de aproximação de sequências de potências 2 m/n quando os expoentes racionais aproximam π. Mais simplesmente podemos definir 2 π = sup{2 m/n, onde m, n N, e m/n < π}. por esta via não é particularmente difícil (mas não é totalmente trivial) provar que 2 x é estritamente crescente. Fica mais complicado todavia provar a continuidade e a derivabilidade. A estratégia que usaremos neste curso para a apresentação das potências con expoente real será outra. Baseia-se na teoria da integração e portanto não pode ser desenvolvida agora. A avantagem principal desta abordagem, além do fato de permitir ao estudante ver um outro ponto de vista, é a extrema facilidade da demostração das principais propriedades de x α e a x. * * * Vamos ver agora a continuidade das funções inversas. Primeiramente observamos o fato seguinte (veja-se o exercício 63). As funções estritamente monótonas são inversíveis, mas o vice-versa é falso. { x se x < 0 O acima é o gráfico de f : (, ) R, f(x) = x + se 0 x <. Além disso, é fácil ver que f é descontínua em zero. Por outro lado a função g : (, 0) [, 2] R, g(x) = descontínua em. { x se x < 0 x se x 2 é contínua é inversível, mas com inversa Exercício 80. Escreva a função inversa (determinando o domínio) e desenhe o gráfico.

15 5 Sobre a relação entre inversíbilidade, monotonia e continuidade valem os resultados seguintes. Lema 40. (com demonstração) Seja I intervalo de R e f : I R contínua e inversível. Então, f é estritamente monótona em I. O lema acima é usado para a demonstração do teorema seguinte. Teorema 4 (Continuidade da função inversa). (com demonstração) Seja I intervalo de R e f : I R contínua e inversível. Então, f é contínua. Uma consequência do teorema acima é a continuidade de n x (no oportuno domínio que depende do fato de n ser par o impar). Usando a continuidade do quociente de funções contínuas e da composição, é fácil ver a continuidade de x m/n, m, n Z. Exercício 8. Apresente os detalhes das afirmações acima e prove o Lema?? e o Teorema??. 0. Segunda feira 7 de março de 204 Seja f : E R uma função definida em um subconjunto E de R qualquer. Definimos o máximo de f, max(f) em símbolos, o máximo da imagem de f. O mínimo de f, min(f), é definido como o mínimo da imagem de f. É claro que temos inúmeros exemplos de funções que não possuem máximo nem mínimo. O seguinte teorema, devido a Weierstrass, garante a existência do máximo e do mínimo de uma função contínua definida em um conjunto itado e fechado (um subconjunto itado e fechado de R é chamado compacto). Teorema 42 (de Weierstrass). (com demonstração) Uma função contínua definida em um conjunto compacto possui máximo e mínimo. Exercício 82. A hipótese de compacidade do domínio é essencial. O leitor procure um exemplo de uma função contínua definida em um conjunto não itado que não possui máximo (ou mínimo) e um exemplo de uma função contínua definida em um conjunto não fechado que não possui máximo (ou mínimo). * * * Vamos ver agora o conceito de continuidade uniforme. Definição 43 (continuidade uniforme). Dado um subconjunto E de R, uma função f : E R é dita uniformemente contínua se, para cada ε > 0, existe δ > 0 tal que, se x, y E e x y < δ, então εf(x) f(y) < ε. Teorema 44. (com demonstração) Uma função contínua definida em um conjunto compacto é uniformemente contínua. Exercício 83. Dê a demonstração do teorema anterior. Exercício 84. Prove que x 2 (definida em R) não é uniformemente contínua. Prove che /x não é uniformemente contínua em (0, ). Karl Weierstrass, , foi um dos grandes refundadores e reorganizadores da análise matemática moderna, baseando o trabalho na clareza dos axiomas e das demonstrações.

16 6 Exercício 85. (Apostol, pag. 66) Dar um exemplo de uma função que é contínua num ponto de um intervalo e descontínua em todos os outros pontos do intervalo, ou provar que não existe uma tal função. (Sugestão: pense na função de Dirichlet.) Outros exercícios. Rudin, pag. 75, n. 6, 2.. Quarta feira 9 de março de 204 Os ites de funções O conceito de ite de uma função está relacionado à continuidade de uma função. Contudo, os dois conceitos são distintos. Na apresentação seguinte temos que dividir a definição de ite em vários casos. Em alguns destes casos, por exemplo nos ites para x que tende para infinito, o ite não tem conexão com o conceito de continuidade. Primeiro tipo de ite (ite finito de uma função em um ponto). Definição 45. Sejam E um subconjunto de R e x um ponto de acumulação de E. Seja f : E R uma função dada. O número real l é dito ite de f(x) para x que tende para x, em símbolos escreve-se f(x) = l, se, para cada ε > 0, esiste δ > 0 tal que f(x) l < ε para cada x E tal que 0 < x x < δ. Observação 46. Lendo com atenção a definição, percebemos que a definição acima não cuida do valor da função em x, que por sua vez pode não pertencer a E (neste caso f(x) não é definido) ou pode pertencer, mas tendo l f(x). { x se x 0 Se considerarmos, por exemplo, f : (, ) R, f(x) =, podemos provar facilmente, se x = 0 usando a definição, que x 0 f(x) = 0 f(0) =. Se considerarmos f : (0, ) R, f(x) = x, temos x 0 f(x) = 0, mas f(0) não existe, como 0 não pertence ao domínio. No caso em que x E, a definição de ite dada acima é estritamente conexa com a continuidade de f em x (enquanto, se x / E, sabemos que a continuidade de f em x não faz sentido). Em outras palavras, é imediata a prova do teorema seguinte. Teorema 47. Seja E um subconjunto de R e x E um ponto de acumulação de E. f : E R é contínua em x se e somente se Exercício 86. Prove o teorema acima. f(x) = f(x). Segunda parte da aula: exercícios em sala de aula de preparação para a P. Uma função 2. Sexta feira 2 de março de 204 Como uma aluna mostrou para mim, têm alguns erros: na definição de função contínua e no exercćio 60. Em azul podem ser encontradas as correções.

17 7 Segundo tipo de ite (ite finito quando x tende para ± ). Definição 48. Sejam E um subconjunto de R não itado superiormente e f : E R uma função dada. O número real l é dito ite de f(x) para x que tende para +, em símbolos escreve-se f(x) = l, x + se, para cada ε > 0, esiste r R tal que f(x) l < ε para cada x E, tal que x > r. Exercício 87. Escreva a definição acima no caso análogo onde x tende para. A prova dos dois teoremas seguintes pode ser dada desenvolvendo a mesma estratégia do análogo resultado para as funções contínuas. Omitimos os detalhes. Teorema 49 (Conservação do sinal para os ites). Caso : Seja E um subconjunto de R e x um ponto de acumulação de E. Suponhamos f(x) = l R, l > 0. Então existe uma vizinhança de x, (x δ, x + δ), tal que f(x) > 0 para todo x (x δ, x + δ) E. Caso 2: Seja E um subconjunto de R não itado superiormente (ou inferiormente). Suponhamos x + f(x) = l R, l > 0. (ou x ) Então existe um intervalo I = (a, + ) (ou I = (, b) no caso em que x ), tal que f(x) > 0 para todo x I E. Exercício 88. Prove o teorema acima no caso 2 (sendo o caso, de fato, igual ao teorema de conservação do sinal para as funções contínuas, Teorema??). Teorema 50 (Álgebra dos ites - formas finitas). Seja dada uma das duas situações seguintes: ) E um subconjunto de R e x um ponto de acumulação de E; ou 2) E um subconjunto de R não itado superiormente (ou inferiormente). Sejam f, g : E R duas funções dadas. Sejam dados os ites Então, f(x) = l R, e () (f(x) + g(x)) = l + m (soma); (2) (f(x) g(x)) = l m (produto); (3) (f(x)/g(x)) = l/m, se m 0 (quociente). g(x) = m R. Exercício 89. Prove, usando a definição de ite, que x + x = 0. Segunda parte da aula: exercícios em sala de aula de preparação para a P.

18 8 3. Segunda feira 24 de março de 204 Prova P. 4. Quarta feira 26 de março de 204 Terceiro tipo de ite (ite infinito em um ponto). Definição 5. Sejam E um subconjunto de R e x um ponto de acumulação de E. Seja f : E R uma função dada. Dizemos que + é o ite de f(x) para x que tende para x, em símbolos escreve-se f(x) = +, se, para cada m R, esiste δ > 0 tal que f(x) > m para cada x I, tal que 0 < x x < δ. Exercício 90. Escreva a definição acima no caso análogo onde o ite é. Exercícios: prove, usando a definição de ite, que os ites seguintes são corretos. 9. x 0 = x2 x + x 2 = 0 Quarto tipo de ite (ite infinito quando x tende para ± ). Definição 52. Sejam E um subconjunto de R não itado superiormente e f : E R uma função dada. Dizemos que + é o ite de f(x) para x que tende para +, em símbolos escreve-se f(x) = +, x + se, para cada m R, esiste r R tal que f(x) > m para cada x E, tal que x > r. Exercício 93. Escreva a definição acima nos casos análogos onde x tende para e o ite é (quantos são os casos?) Exercícios: prove, usando a definição de ite, que os ites seguintes são corretos. 94. = x4 x = + x + x 96. x x2 = x + x + = x 0 No caso em que (pelo menos) um dos dois ites, de f ou de g seja infinito, temos alguns casos onde podemos dar uma regra geral de resolução do ite da soma, do produto e do quociente. São as assim chamadas forma infinitas resolvíveis. Temos outros casos nos quais uma regra geral não existe e os ites devem ser abordados caso a caso. Os casos do teorema seguinte, assim como as formas indeterminadas, são bem conhecidos aos estudantes desde o curso de Cálculo. Aqui só vamos apresentar os resultados que, por outro lado, não será necessário mencionar em sala de áula, sendo outro o coração do curso de Análise real.

19 Teorema 53 (Álgebra dos ites - formas infinitas e resolvíveis). Seja dada uma das duas situações seguintes: ) E um subconjunto de R e x um ponto de acumulação de E; ou 2) E um subconjunto de R não itado superiormente (ou inferiormente). Temos os casos seguintes: ) se 2) se 3) se 4) se f(x) = +, e f(x) =, e f(x) = +, e f(x) =, e g(x) = m R, então g(x) = m R, então g(x) = +, então g(x) =, então (f(x) + g(x)) = + ; (f(x) + g(x)) = ; (f(x) + g(x)) = + ; (f(x) + g(x)) = ; 9 Produto: (f(x) g(x)) = + nos casos seguintes: 5a) se 5b) se 5c) se 5d) se f(x) = +, e f(x) =, e f(x) = +, e g(x) = m R, m > 0; g(x) = m R, m < 0; f(x) =, e g(x) = + ; g(x) = ; (f(x) g(x)) = nos casos seguintes: 6a) se 6b) se 6c) se f(x) =, e f(x) =, e f(x) = +, e g(x) = m R, m > 0; g(x) = m R, m > 0; g(x) = ; Quociente: (f(x)/g(x)) = + nos casos seguintes: 7a) se 7b) se f(x) = +, e f(x) =, e g(x) = m R, m > 0; g(x) = m R, m < 0; 7c) se f(x) = + ou l > 0, e g(x) = 0, e g(x) > 0 em um intervalo (x δ, x + δ);

20 20 7d) se f(x) = ou l < 0, e g(x) = 0, e g(x) < 0 em um intervalo (x δ, x + δ); (f(x)/g(x)) = nos casos seguintes: 7a) se 7b) se f(x) =, e f(x) = +, e g(x) = m R, m > 0; g(x) = m R, m < 0; 7c) se f(x) = ou l < 0, e g(x) = 0, e g(x) > 0 em um intervalo (x δ, x + δ); 7d) se f(x) = + ou l > 0, e g(x) = 0, e g(x) < 0 em um intervalo (x δ, x + δ); Não temos a possibilidade de escrever uma álgebra dos ites para as formas seguintes. A existência e o valor do ites nos casos seguintes depende do exercício: +, 0 (± ), ± / ±, 0/0. Os ites que se apresentam numa das formas anteriores são ditos em forma indeterminada. Observação 54. Cabe destacar que um ite que se apresenta em uma forma indeterminada não significa que não existe, mas que não temos uma regra geral para determinar se existe e quanto vale. Exercícios: calcule os ites seguintes (se existem) x 98. x 0 x x 0 x 3 + x + 3 4x 2 2x + x 3 + 3x x + x 2 2x x 2 x 2 + x 5 x 2 4x x x 2 + x 2x + x 2 0. x + 2x 2 + x 03. x 0 x 2 + x 4 2x 2 Teorema 55 (do confronto dos ites). Primeiro resultado. Sejam E um subconjunto de R e x um ponto de acumulução de E ou seja E um subconjunto de R não itado superiormente (ou inferiormente). Sejam f, g, h : E R funções dadas. Suponhamos que f(x) g(x) h(x) para cada x. Sejam dados os ites Então, f(x) = l, e g(x) = l. h(x) = l, onde l R.

21 2 Segundo resultado. Sejam E um subconjunto de R e x um ponto de acumulução de E ou seja E um subconjunto de R não itado superiormente (ou inferiormente). Sejam f, g : E R funções dadas. Suponhamos que f(x) g(x) para cada x. Seja dado o ite f(x) = l R, e suponhamos que exista o ite Então, este ite é l. g(x). Terceiro resultado. Sejam E um subconjunto de R e x um ponto de acumulução de E ou seja E um subconjunto de R não itado superiormente (ou inferiormente). Sejam f, g : E R funções dadas. Suponhamos que f(x) g(x) para cada x. Seja dado o ite f(x) = +. Então, Exercício 05. Exercício 06. (qual pode ser?). g(x) = +. Prove o primeiro e o segundo resultado. Prove o caso x + ou x Prove este terceiro resultado. Em seguida, dê o enunciado no outro caso possível Exercício 07. Prove, usando a definição, que x 0 x = 0. Exercício 08. Prove, usando a definição, que x + n x = +, para cada n, n N. Exercício 09. Aplicação do teorema do confronto: prove que se f(x) é itada e g(x) = 0, então, (f(x)g(x)) = 0. Teorema 56 (ite de funções compostas sem prova). Seja f(x) dada e suponhamos que exista o ite f(x) = l onde l R ou l = ±. Seja g(x) uma outra função dada e suponhamos que exista o ite x l g(x) = m onde m R ou m = ±. Suponhamos que a composição g(f(x)) seja bem definida e que, se l R, f(x) l para x x e x próximo de x. Então, g(f(x)) = m.

22 22 Observação: parece estranha a hipótese f(x) l para x x e x próximo de x. Todavia, se não for verificada a condição, o ite da composição pode não ser m, como no caso seguinte: { 0 se x 0 f(x) = 0, x R, g(x) = se x = 0. É fácil ver que x 0 g(f(x)) =, enquanto x 0 g(x) = 0. Uma condição suficiente que pode substituir a condição acima é g(l) = m, se m e l for reais, ou seja g contínua em l. Veja-se a Proposição??. Um exemplo de ite que pode ser provado usando o teorema acima é x + x2 + = +. Exercício 0. Calcule o ite acima, mostrando, nos detalhes, como é usado o teorema. Definição 57 (ites direito e esquerdo). Seja E um subconjunto de R e x E um ponto de acumulação direito de E, ou seja, tal que cada intervalo (x, x + δ) possui (infinitos) pontos de E. 2 Seja f : E R uma função dada. O número real l é dito ite lateral direito de f(x) para x que tende para x do lado direito, em símbolos escreve-se f(x) = l, + se, para cada ε > 0, esiste δ > 0 tal que f(x) l < ε para cada x (x, x + δ) E. Seja x E um ponto de acumulação esquerdo de E, ou seja, tal que cada intervalo (x δ, x) possui (infinitos) pontos de E. Seja f : E R uma função dada. O número real l é dito ite lateral direito de f(x) para x que tende para x do lado direito, em símbolos escreve-se f(x) = l, se, para cada ε > 0, esiste δ > 0 tal que f(x) l < ε para cada x (x δ, x) E. Exercício 2. Dê a análoga definição no caso de ites laterais quando l = + ou. Teorema 58 (sem prova). Seja E um subconjunto de R e x E um ponto de acumulação direito e esquerdo (i.e. bilateral) de E. Seja f : E R uma função dada. Então: f(x) = l se e somente se f(x) = l = f(x). + Exercícios: 3. Diga qual é, entre as seguintes, a definição correta do ite x 4 f(x) = 7. 2 Exercício. Prove que, neste caso, é equivalente dizer pelo menos um ponto de E ou infinitos pontos de E. A razão é que o intervalo (x, x + δ) já exclui x. Justifique nos detalhes.

23 23 a) Para cada λ e µ positivos, se x 4 < µ e x 4 então, f(x) 7 < λ. c) Para cada µ > 0 existe λ > 0 e existe x tal que x 4 < λ e f(x) 7 < µ. e) Para cada µ > 0 existe λ > 0 tal que se x 4 < λ e x 4 então f(x) 7 < µ. b) Para cada λ > 0 e para cada µ > 0, se x 4 < µ então, f(x) 7 < λ. d) Para cada µ > 0 existe λ > 0 tal que se x 4 < λ e x λ então, f(x) 7 < µ. f) Nenhuma das respostas acima é correta. 4. Suponhamos que f(x) =. x + Diga qual, entre as afirmações seguintes, é correta. a) Se x > 0 então f(x) < 0. b) Existe ε > 0 tal que f(x) < 0 para cada x > ε. c) Para cada ε > 0 existe η > 0 tal que para x > η temos f(x) > ε > 0. d) Nenhuma das respostas acima é correta. 5. Consideramos a proposição seguinte: dadas f e g definidas em um intervalo I, seja x 0 I fixado. Suponhamos que f(x) g(x) para cada x e que f(x) = 0. 0 Então, g(x) = 0. A proposição é: 0 a) Verdadeira se colocamos a hipótese suplementar g(x) 0, x I. c) Verdadeira sem necessidade de outras hipóteses suplementares. e) Falsa, também colocando as hipóteses suplementares acima. b) Verdadeira se colocamos a hipótese suplementar g(x) 0, x I. d) Verdadeira se colocamos a hipótese suplementar f(x 0 ) = g(x 0 ) = Dada f : R R, suponhamos que f(x) =. Então: x + a) f é decrescente. b) x + f(x2 ) = +. c) m 0, temos f(x) 0 se x m. d) m 0 e k 0 f(x) k se x m. e) f(x) = + x f) Nenhuma das respostas acima é correta. 7. Dada f : N N, f(x) = x + diga quais (podem ser mais que uma) das afirmações são corretas. a) f é injetora. b) f é sobrejetora. c) f é itada inferiormente. d) A notação f(x) = x + non faz sentido porque o domínio é N e a variável a ser usada deve ser denotada por n. Exercício 8. Procure uma f : R R que não seja crescente, mas que verifique f(x) = +. Esta função deve ser definitivamente crescente? Isto é, existe r x + tal que f é crescente em (r, + )?

24 24 5. Sexta feira 28 de março de 204 A derivada de uma função: definição e algumas aplicações Seja I um intervalo de R, f : I R uma função dada e x 0 I dado. Variando m R, as equações y = f(x 0 ) + m(x x 0 ) representam as retas secantes ao gráfico de f no ponto (x 0, f(x 0 )) (só excluindo a reta vertical que tem equação x = x 0 ). Seja agora x I e o correspondente ponto no gráfico de f, (x, f(x)). O quociente f(x) f(x 0 ) x x 0 se chama razão incremental de f, relativa a x 0 e x e é o coeficiente angular da secante por (x 0, f(x 0 )) e (x, f(x)). Se existe o ite desta razão quando x x 0, este ite dá, intuitivamente, o coeficiente angular de uma reta posição ite das secantes (quando x x 0 ). Definição 59. Se existe e é finito o ite f(x) f(x 0 ) = l, 0 x x 0 então dizemos que f é derivável em x 0 e o número l se chama derivada de f em x 0. a derivada de f em x 0 (se existe) é denotada, normalmente, por um dos símbolos seguintes: O primeiro é aquele mais comun. f (x 0 ), df dx (x 0), Df(x 0 ), Df(x) x=x0. Uma outra forma de escrever a razão incremental e portanto o ite acima é obtida pondo x x 0 = h. Temos f(x 0 + h) f(x 0 ) f(x 0 + h) f(x 0 ) e, h h 0 h A noção de derivada é pontual (como a de continuidade), ou seja derivada de uma função em um ponto. Dada f : I R, se f é derivável em todos os pontos de I, dizemos que f é derivável e fica bem definida uma nova função, a derivada de f, x f (x), definida em I. Se f é derivável x 0, a reta de equação y = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) é definida reta tangente ao gráfico de f no ponto (x 0, f(x 0 )). Atenção: a precedente é a definição de reta tangente; outras possíveis definições, como a reta que encosta o gráfico só em um ponto, são corretas só em casos muito particulares, por exemplo a circunferência. x x 0 Reta secante e reta tangente em (x 0, f(x 0)). x 0

25 Exercício 9. Na parábola de equação y = x 2 procure um ponto onde a reta tangente à parabola forma um ângulo de π/4 com o eixo x. 25 Derivadas de algumas funções elementares. FUNÇÃO f(x) DERIVADA c (função constante) 0 x n (n N, n ) Exercício 20. Exercício 2. f (x) nx n Prove os resultados da tabela acima. Dados os gráficos seguintes, desenhe (intuitivamente) os gráficos das derivadas. a b c a c d a c d Exercício 22. Um corpo cai de uma altura de 5 mt, sujeto só à força peso (desconsiderando o atrito do ar). A função espaço dependendo do tempo é s(t) = 2 gt2, onde g é a constante gravitacional terrestre, e vale cerca 9, 8 mt/sec 2. Calcule a velocidade com que ele chega ao solo. Exercício 23. Seja f(x) = x 3. Calcule, usando a definição de derivada, f (0), f ( 2), f(/2). Exercício 24. Prove que a derivada de uma função par (e derivável) é uma função impar; e que a derivada de uma função impar (e derivável) é uma função par. Exercício 25. Prove que a função x não é derivável em zero.