MAT Análise Real - 1 semestre de 2018 Docente: Prof. Dr. Pierluigi Benevieri Notas das aulas e exercícios sugeridos - Atualizado 21.6.

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1 MAT Análise Real - semestre de 208 Docente: Prof. Dr. Pierluigi Benevieri Notas das aulas e exercícios sugeridos - Atualizado Segunda-feira, 5 de março de 208 Apresentação do curso. Veja-se o arquivo relativo às informações do curso na minha pagina web pluigi *** O primeiro conjunto numérico que encontramos na matemática é o conjunto N dos números naturais. As operações de soma e produto, com as propriedades usuais, são bem definidas em N, enquanto não podemos dizer o mesmo para as inversas, subtração e divisão. Para poder definir e usar estas duas operações inversas introduzimos os conjuntos Z (inicial de Zahlen, in Alemão, que significa número) dos números inteiros relativos, e Q dos números racionais (frações de números inteiros). O conjunto Z é introduzido para definir a subtração e Q para a divisão. O sistema Q dos números racionais poderia constituir a base de boa parte da matemática, enquanto permite resolver muitos problemas matemáticos, mas não todos! A mais famosa dificuldade (digamos assím) dos números racionais foi descoberta pela escola matemática de Pitágoras no VI século a.c.: usando o clássico Teorema de Pitágoras, se consideramos um quadrado de lado, a diagonal mede um número d tal que d 2 = 2 (veremos depois que tal número se chama raiz quadrada). Todavia, podemos provar que não existe nenhum número racional cujo quadrado é 2. Proposição. (com demonstração) Não existe nenhum número racional cujo quadrado é 2. Definição 2. Dado um número a 0 dizemos que b é uma raiz quadrada de a, denotada por a se b 0 e b 2 = a. Observação 3. De acordo com a definição acima é errado dizer que 2 = 4, mas as igualdades corretas são 2 = 4 e 2 = 4. A Definição 2 é devida a uma questão prática: queremos que x seja uma função e portanto queremos obter um valor e não múltiplos valores. Em príncipio, do ponto de vista lógico, seria correta a definição de raiz de 4 como o conjunto dos números cujo quadrado é 4. Finalmente, a escolha do valor positivo, ou seja 4 = 2 e não 2, é também devida a uma razão unicamente prática. Exercício. Dê a prova da Proposição. Exercício 2. Prove que não existe nenhum número racional a tal que a 3 = 2. Exercício 3. Prove que não existe nenhum número racional a tal que a 2 = 3. A Proposição diz que não existe em Q o número 2. Daí, podemos tentar resover o problema (e outros) ampliando a família dos números racionais (analogamente àquilo que se faz passando de N a Z e de Z a Q) e definindo um novo conjunto: o dos números reais, R. A definição dos números irracionais, todavia, não é tão simples. Além disso, a união dos racionais e dos irracionais, que iria formar o conjunto numérico desejado, o conjunto R dos números reais, deveria satisfazer as mais conhecidas propriedades algébricas, normalmente usadas (as operações clássicas). As provas de todos estes fatos é longa e complicada.

2 2 Aquela resumida muito rapidamente acima é a assim-chamada abordagem construtiva à definição dos números reais. Se trata da abordagem qua acompanha, como é fácil imaginar, o processo histórico de formação dos números reais. E é a abordagem que os alunos encontram ao longo do caminho escolar, desde a infância. Obviamente sem entrar em todos os delicados problemas teóricos que o processo esconde. Existe uma outra abordagem à definição dos números reais, que é mais abstrata, dita abordagem axiomática aos números reais. Nesta segunda abordagem, o conjunto dos números reais é um conjunto totalmente abstrato definido em base à verifica de algumas propriedades. Que portanto são dadas dentro da definição e não devem ser provadas. Na definição seguinte, o leitor deve fazer um esforço: esquecer os conhecimentos que tem sobre os números e pensar no R como num conjunto abstrato, encontrado pela primeira vez. Ele será definido pelas propriedades que são aqui dadas como axiomas. Definição axiomática de R. O conjunto R, dito dos números reais, é um conjunto onde são definidas duas operações, soma e produto, uma relação de ordem e um axioma de continuidade. A soma é uma correspondência que a cada par de elementos a e b de R associa um elemento de R, denotado pelo símbolo a + b, e que deve verificar as propriedades seguintes: S) Propriedade comutativa da soma: a, b R, a + b = b + a; S2) Propriedade associativa da soma: a, b, c R, (a + b) + c = a + (b + c); S3) Existência do elemento neutro da soma: existe um elemento de R, denotado por 0, tal que, a R, a + 0 = a e 0 é dito elemento neutro da soma; S4) Existência do oposto: a R existe um elemento de R, b, dito oposto de a, tal que a + b = 0. Este oposto b pode ser denotado por a e a operação a+( a) = 0 pode ser escrita simplesmente a a = 0. Analogamente, o produto é uma correspondência que a cada par de elementos a e b de R associa um elemento de R, denotado pelo símbolo a b, e que deve verificar as propriedades seguintes: P) Propriedade comutativa do produto: a, b R, ab = ba; P2) Propriedade associativa do produto: a, b, c R, (ab)c = a(bc); P3) Existência do elemento neutro do produto: existe um elemento de R, denotado por, tal que, a R, a = a e é dito elemento neutro do produto; P4) Existência do inverso: a R, a 0, existe um elemento de R, b tal que a b = ; b é dito inverso de a e pode ser escrito como /a. A propriedade distributiva liga soma e produto: SP) a, b, c R, (a + b)c = ac + bc. Em R é definida uma relação de ordem. Em geral, uma relação de ordem em um conjunto (também chamada ordenamento) é uma relação binária, ou seja, uma lei que associa uma informação a cada par de elementos do conjunto. No caso da relação de ordem, a cada par de elementos a e b do conjunto C investigado associa a informação a b, ou seja a é menor o igual a b, ou também escrevo a à esquerda de b. O que significa na prática? Pego um conjunto C de três elementos: uma banana, uma pera, uma laranja. Defino um ordenamento em C dizendo que banana pera, pera laranja, laranja banana. Esta relação tem uma utilidade? Não sabemos por enquanto. É um ordenamento? Não todas as relações binárias são ordenamentos. Uma relação de ordem é corretamente definida, num conjunto C, se verifica as três propriedades seguintes:

3 3 () (propriedade reflexiva) a a, para todo a C; (2) (propriedade antisimétrica) se a b e b a, antão, a = b; (3) (propriedade transitiva) se a b e b c, antão, a c. Voltando a R, ele é um conjunto onde é definido um ordenamento que se relaciona às operações de soma e produto graças às duas propriedades seguintes: OS) a, b, c R, se a b, então a + c b + c; OP) a, b, c R, con c > 0, se a b, então ac bc. O símbolo a < b deve ser pensado como a b e a b. Exercício 4. Dê exemplos, da vida real, de relações de ordem e de relações que não são de ordem. Exercício 5. delas. Exercício 6. O conjunto Q dos números racionais verifica todas as propriedades acima. Prove algumas Provar, usando as propriedades acima dos números reais, as propriedades seguintes: ) a R, a 0 = 0; 2) a R, a > 0 a < 0; 3) a, b R, se a > 0 e b < 0, então ab < 0; 3b) a, b R, se a > 0 e b > 0, então ab > 0; 3c) a, b R, se a < 0 e b < 0, então ab > 0; 4) a, b, c R, se c < 0, se a b, então ac bc; 5) a, b, R, com a > 0, b > 0, a b se e somente se a 2 b 2. 6) a, b, R, com a > 0, b > 0, a b se e somente se /a /b; 7) nos itens 4,5,6 vale a desigualdade estrita tese se for verificada na hipótese? 8) dado a R, prove que a é o oposto de a. O exercício acima pode desorientar, parecendo óbvio. De fato, queremos que as propriedades acima sejam provadas só usando as propriedades algébricas introduzidas acima em R, que deve ser pensado, como já foi dito, como um conjunto abstrato. Exercício 7. Dado um conjunto abstrato que admite as duas operações de soma e produto e uma relação de ordem tal que as propriedades acima sejam verificadas, prove que 0 e são necessariamente diferentes. Prove que a soma e o produto não podem ser a mesma operação. Prove que não podemos ter dois elementos neutros da soma e prove que não podemos ter dois elementos neutros do produto. Este inteligente exercício foi sugerido por alguns alunos em conversas logo depois da conclusão das áulas. 2. Quarta-feira, 7 de março de 208 Pode ser provado que Q é um conjunto onde podem ser introduzidas as operações de soma e produto e a relação de ordem tais que as onze propriedades acima sejam verificadas. A demonstração disso leva um tempo e não será abordada. Vamos agora introduzir o axioma de continuidade, aquilo que diz que R (se existir) não pode ser Q. Ou seja, se existir um conjunto abstrato, que estamos chamando de R que admite uma soma, um produto e um

4 4 ordenamento com as onze propriedades acima e que verifica também o próximo axioma de continuidade, ele não pode ser Q. Definição 4. Dados dois números reais a e b, é dito intervalo de extremos a e b cada um dos conjuntos seguintes: [a, b] = {x R : a x b}, [a, b) = {x R : a x < b}, (a, b] = {x R : a < x b}, (a, b) = {x R : a < x < b}. O primeiro e o quarto dos intervalos anteriores são ditos rispectivamente fechado e aberto. Não esquecemos os intervalos [a, + ) = {x R : x a}, (a, + ) = {x R : x > a}, (, b] = {x R : x b}, (, b) = {x R : x < b}. O primeiro e o terceiro são fechados, enquanto o segundo e o quarto são abertos. Como o leitor sabe desde os cursos de Cálculo, os símbolos + e não denotam elementos do conjunto R, mas o símbolo (, b), por exemplo, denota o intervalo dos números de R menores de b. Exercício 8. Prove que o conjunto R possui infinitos números maiores de zero (que podemos chamar positivos). Use unicamente as propriedades que definem R e eventualmente consequências delas. Exercício 9. Dado qualquer b R, prove que o intervalo (, b) possui infinitos elementos. Consideramos agora uma sequência (infinita) de intervalos fechados, I k = [a k, b k ] tais que I k I k e b k a k = b k a k. Na igualdade anterior, o número 2, que aparece pela primeira vez, é definido por 2 2 = +, assim como todos os números inteiros usados para contar os intervalos são definidos como somas de. Observe que, acima, se o primeiro intervalo da sequência é denotado por I 0 = [a 0, b 0 ] temos b k a k = b 0 a 0 2 k. Uma família de intervalos I k como acima é chamada família de intervalos encaixantes. Axioma de continuidade. Dada uma sequência (infinita) de intervalos encaixantes I k como acima, existe e é único um elemento de R que pertence a todos os I k. Definição 5. Dado a > 0, se existe um número real b > 0 tal que b 2 = a, chamamos b de raiz quadrada de a. Usando o axioma de continuidade poderiamos provar que cada a positivo (ou seja > 0) possui raiz quadrada. Porém a prova será feita depois da introdução das funções contínuas. Exercício 0. Usando as propriedades algébricas dos números reais, prove que a raiz quadrada de a > 0, se existir, é única. O leitor pode fazer agora, como treinamento, alguns exercícios sobre conjuntos. Exercício. Seja U um conjunto, A e B subconjuntos de U. Denotamos por C U A o complementar de A em U, ou seja o conjunto dos elementos de U que não pertencem a A. Prove as seguintes leis (ditas de De Morgan):

5 5 ) C U (A B) = C U A C U B, 2) C U (A B) = C U A C U B. Exercício 2. Provar as propriedades seguintes: dados três conjuntos A, B e C, ) A (B C) = (A B) (A C), 2) A (B C) = (A B) (A C). Exercício 3. Prove que Q não verifica o axioma de continuidade. Pode prová-lo como uma conseqüência do fato que, por exemplo, não existe nenhum racional cujo quadrado seja 2 Como consequência do axioma de continuidade temos o importantissimo resultado seguinte. Teorema 6 (Princípio de Arquimédes). (com demonstração) Dados dois números reais a, b com 0 < a < b, existe um número inteiro N tal que Na > b. O Princípio de Arquimédes permite provar as propriedades seguintes que deixamos como exercício. Exercício 4. Prove, usando o Princípio de Arquimedes, que o conjunto dos números reais positivos não admite mínimo. Ou seja, precisa provar que não existe o número positivo menor de todos os outros. Exercício 5. Prove o Princípio de Arquimedes (por exemplo usando o método visto em sala de áula). Exercício 6. Prove que, dados dois números reais, positivos a e b, tais que a < b, existe um número racional m/n tal que a < m/n < b e que existe um número irracional s tal que a < s < b. O exercício acima mostra uma conseqüência do Princípio de Arquimedes: o fato bem conhecido de que entre dois números reais estão infinitos números racionais e infinitos números irracionais. Exercício 7. O resultado do Princípio de Arquimedes vale obviamente nos números racionais. Neste caso a demonstração é bem mais simples. Verifique. 3. Sexta feira 9 de março de 208 Seja agora E um subconjunto de R. Um número real M é dito majorante de E se x M para todo x E. Um número real m é dito minorante de E se x m para todo x E. Um conjunto E é dito itado superiormente se admite pelo menos um majorante, enquanto é dito itado inferiormente se admite pelo menos um minorante. É dito itado se é itado superiormente e inferiormente. Se E é itado superiormente definimos supremo de E, sup E, o mínimo dos majorantes; se E é itado inferiormente definimos ínfimo de E, inf E, o máximo dos minorantes. Se E é iitado superiormente escrevemos sup E = +, se E é iitado inferiormente escrevemos inf E =. O máximo de um conjunto E é o elemento maior, se existe, enquanto o mínimo é o elemento menor, se existe. Um conjunto é dito finito se possui um número finito de elementos. O fato seguinte é uma consequência do axioma de continuidade (em alguns livros ele é de fato dado como o axioma de continuidade). Teorema 7 (Existência do supremo e do ínfimo). (com demonstração) Um conjunto de números reais, itado superiormente (inferiormente) admite supremo (ínfimo) em R.

6 6 Exercício 8. Dê a demonstração do Teorema 7. Exercícios: Determine o superemo e o ínfimo dos conjuntos seguintes e, se existem, o máximo e o mínimo. 9. (2, 3) 20. [0, + ) 2. [ 5, ) (, 4] 22. (0, 3] [3, 5] 23. { n }, n { + n }, n ( 24. n 2 2n, ] n { } 2n 25. {x Q : x 2 < 2} 26. n 2 +, n N Exercício 27. Determine supremo, ínfimo, máximo e mínimo (se existem) do conjunto: A = { n }, n N, n, Exercício 28. Seja A = A n, onde, para cada n, A n = n 2 máximo e mínimo (se existem). ( 2n, ]. Determine supremo, ínfimo, n Exercício 29. Sejam A e B dois subconjuntos de R tais que A B. Prove que sup A sup B e inf A inf B. Dado un número real a, definimos módulo (ou valor absoluto) de a número não negativo { a se a 0 a = a se a < 0. Exercício 30. Prove as desigualdades triangulares seguintes: para todos a, b R, a + b a + b, a b a b. Resolva algumas das inequações seguintes. 3. x 2 2x x 2 x + 2 > x 2 x + > x 34. x 2 + x x 2 2x x x2 > x x + 3 < 4 x x 2 + x2 39. x < x x 2 + 2x > 3 x 4. x < x 42. x 2 4x 5 > x 43. x < 5 + x 44. 6x + 3 > x + 2 Definição 8. Dado um conjunto E contido em R, um ponto p R é dito ponto de acumulação de E se cada vizinhança de p contém infinitos pontos de E.

7 7 Observação 9. O leitor observe que um ponto de acumulação de um conjunto E pode pertencer a E ou pode não pertencer. Exercício 45. Determine os pontos de acumulação de alguns dos conjuntos dos exercícios anteriores. Exercício 46. Determine um conjunto feito de infinitos elementos que não possui pontos de acumulação. Exercício 47. Tente escrever um exemplo de conjunto que tem só um ponto de acumulação. 4. Segunda feira 2 de março de 208 Teorema 0 (de Bolzano-Weierstrass). (com demonstração) Um subconjunto itado e infinito (ou seja que possui infinitos elementos) possui (pelo menos) um ponto de acumulação. Exercício 48. Prove o Teorema de Bolzano-Weierstrass. Agora vou colocar aqui alguns exercícios de reaquecimento (ou pouco de ginástica sobre conceitos de Cálculo - teoria básicas das funções). Exercício 49. Dada f : E R, prove que, para todo D R e C E, temos f(f (D)) D e f (f(c)) C. Procure exemplos onde vale a igualdade e outros onde vale a inclusão estrita. Em particular, prove que, se f é sobrejetora, vale f(f (D)) = D e que f (f(c)) = C se f é injetora. Exercício 50. Estude a monotonia das funções seguintes: () f : R R, f(x) = x 2, (2) f : [2, 6] R, f(x) = x 4, (3) f : [0, + ) R, f(x) = x, (4) f[ 5, 4] [, 2], f(x) = /x. Ou seja, diga se as funções acima são monótonas, ou se podem ser monótonas se restritas em oportunos subconjuntos do domínio. Seja claro que o crescimento ou decrescimento das funções acima não pode ser provado usando as derivadas, mas usando unicamente as propriedades algébricas dos números reais. Exercício 5. Prove que a soma de duas funções crescentes é uma função crescente. A composição de duas funções crescentes é uma função crescente? E o produto? A inversa de uma função estritamente crescente é uma função estritamente crescente? Exercício 52. É evidente que uma função estritamente monótona é inversível. É verdadeiro ou falso o vice-versa, ou seja, que uma função inversível é estritamente monótona? Uma função é dita itada (superiormente, inferiormente) se a imagem dela é itada (superiormente, inferiormente). Neste caso o supremo (ínfimo) de f, sup f (inf f) é, por definição, o supremo (ínfimo) de Im (f). Se f não é itada superiormente, dizemos que sup f = +. Se não é itada inferiormente, dizemos que inf f =. Exercício 53. Prove que cada função f : R R é soma de uma função par e de uma função impar. Concluímos esta parte sobre a definição do sistema numérico da análise matemática com algumas observações.

8 8 () A abordagem construtiva aos números reais parece mais simples. Pelo menos ela é intuitiva, digamos familiar, enquanto a abordagem axiómatica deixa algumas perplexidades. Aqui no queremos montar uma disputa entre dois partidos: o partido construtivo e o partido axiomático. Mas é preciso observar algumas coisas. A construção de R é dada a partir de N, passando pela construção de Z, depois de Q e finalmente de R. Já foi dito que as propriedades de soma produto e ordamento devem ser demonstradas. Inclusive, o axioma de continuidade deve ser provado. A questão delicada é: qual é a definição de N? A pergunta parece inocente, mas não é. De fato, um processo axiomático, que acreditavamos poder evitar, necessariamente deve ser usado para construir os primeiros passos do processo. A mais clássica definição do conjunto N é devida a Giuseppe Peano ( ) no começo do século XX. (2) Portanto o conjunto Q é obtido a partir da definição de N e da sua extensão contrutiva, como já foi dito. També foi observado que Q possui soma, produto, ordenamento que verificam as propriedades, e pode provar que Q não verifica o axioma de continuidade. Uma pergunta que surge é a seguinte: de fato, existe um conjunto que possui soma, produto, ordenamento que verificam as propriedades, e que verifica o axioma de continuidade? Uma das respostas que pode ser dada consiste na construção de um modelo que de fato que satisfaça aquilo que a definição de R impõe. E portanto vamos cair na abordagem construtiva. Precisamos partir de N, que somente podem ser dados axiomaticamente, e contruimos R a partir de Q com um processo abstrato. Seja claro que não podemos definir número real como alinhamento decimal, porque não faz algum sentido. Não tenho a possibilidade colocar aqui as ideias (resumidas) vistas em sala de áula. As funções contínuas Definição (função contínua). Sejam E um subconjunto de R, f : E R uma função dada e x E um ponto dado. Dizemos que f é contínua em x se para cada ε > 0 existe δ > 0 tal que f(x) (f(x) ε, f(x)+ε) para todo x (x δ, x + δ) E. A f é dita contínua se é contínua em todos os pontos do domínio. Em outras palavras a definição acima diz que f é contínua em x se, dada uma vizinhança V de f(x), existe uma vizinhança U de x tal que f(u E) V. Exercício 54. Sejam f : E R uma função dada e x E um ponto isolado de E (um ponto isolado de um conjunto é um ponto do conjunto que não é de acumulação). Prove que f é contínua em x. O significado do conceito de continuidade em x (que é parecido mas não igual ao de ite) diz que, quando x se aproxima de x, então f(x) se aproxima de f(x). Se x for isolado em E, ele não tem pontos que se aproximam. Portanto f é trivialmente contínua em x; porém, por outro lado, a continuidade não é interessante no caso dos pontos isolados, porque o conceito de função contínua quer dizer que a imagem muda pouco quando a variável muda pouco. Exercício 55. Sejam f : E R uma função dada e x E um ponto de acumulação de E. Usando a definição de ite que foi vista nos cursos anteriores, prove que f é contínua em x se e somente se x x f(x) = f(x). Observação 2. Esta observação é devida a algumas dúvidas justamente levantada por alguns alunos em sala de áula. Nos livros de cálculo diferencial (ou de análise matemática) geralmente é apresentada primeiramente a teoria dos ites e depois a teoria das funções contínuas. Todavia, a teoria das funções contínuas pode ser tranquilamente apresentada e desenvolvida sem usar o conceito de ite de uma função. Aqui (apesar

9 do exercício anterior) é justamente isso que está sendo feito. A teoria dos ites pode ser desenvolvida em seguida, sem algum prejuizo na compreensão. Eu prefiro, por outro lado, pular completamente a teoria dos ites porque isso dá a possibilidade de ter mais tempo para aprofundar melhor os outros conceitos da análise. No capítolo seguinte será introduzida a derivada. Este conceito irá precisar da noção e das propriedades dos ites e assim faremos o esforço de usar a teoria dos ites conforme foi feita nos cursos do primeiro ano; sem voltar no assunto. Em conclusão, todos os resultados deste capítulo sobre as funções contínuas podem ser provados sem o uso dos ites; assim será feito em sala de áula e as propriedades da teoria dos ites não devem ser usadas na prova P. Exercício 56. Determine alguns pontos que você acha interessante onde a função é contínua ou descontínua. Justifique obviamente a resposta com as contas necessárias. { /x se x 0 () f : R R, f(x) = 0 se x = 0. { x + 3 se 0 x 3 (2) f : [0, 4] R, f(x) = x 2 5 se 3 < x 4. se x < 0 (3) A função sinal de x, definida em R, sign (x) = 0 se x = 0 se x > 0. (4) A função parte inteira de x, o símbolo é [x], definida em R, onde [x] é o maior inteiro relativo que não supera x. { se x Q (5) A função de Dirichlet, f : R R, f(x) = 0 se x R \ Q. 9 Exercício 57. Prove que f(x) = x é contínua em todos os x reais. Exercício 58. Prove que f(x) = x é contínua em todos os x reais. Exercício 59. Dados c R e f : R R, definida por f(x) = c para todo x (função constante), prove que f é contínua. Dada f : E R, um ponto x E tal que f não é contínua em x é dito ponto de descontinuidade. Exercício 60. Dirichlet. Determine os pontos de descontinuidade das funções parte inteira, sinal e da função de Observação 3. Considerando f(x) = /x, não é correto dizer que 0 é ponto de descontinuidade, porque 0 não pertence ao domínio. Exercício 6. (difícil) (Veja Rudin pag. 76, ex. 0.) Seja f : (0, ] R definida como { /n se x = m/n, m e n inteiros positivos e primos entre si (m n) f(x) = 0 se x é irracional.

10 0 Prove que f é contínua nos pontos irracionais de (0, ] e descontínua nos racionais. 5. Quarta-feira, 4 de março de 208 Proposição 4 (Álgebra das funções contínuas). (com demonstração) Sejam f : E R, g : E R duas funções contínuas em um ponto x E. Então: () f + g é contínua em x; (2) f g é contínua em x; (3) f/g é contínua em x (posto que g(x) 0). Observação 5. A prova da continuidade do quociente é mais fácil usando o Teorema da conservação do sinal (Teorema 7 abaixo). Exercício 62. Prove os três itens da álgebra das funções contínuas. Exercício 63. Graças à proposição acima é fácil verificar que os polinômios e as funções racionais são contínuas. Verifique os detalhes desta afirmação. Proposição 6 (Continuidade das funções compostas). (com demonstração) Sejam duas funções f : A R e g : B R tais que Im (f) B. Dado x A, suponhamos que f seja contínua em x e g em f(x). Então, g f é contínua em x. Exercício 64. Dê a demonstração da proposição acima. Coloco agora alguns exercícios sugeridos pelo monitor Rodrigo Lima Dias. Exercício (lista Rodrigo) 65. Em cada afirmação abaixo, mostre ou dê contra-exemplo. () Se a e b são números irracionais, a+b 2 é irracional. (2) A soma ou a diferença entre um número racional e um irracional é um número irracional. (3) O produto de dois números irracionais é um número irracional. (4) O produto de um número irracional por um número racional diferente de zero é um número irracional. (5) Se r é um número irracional, então r também é irracional. (6) Se x e y forem números irracionais tais que x 2 y 2 seja racional não nulo, então x + y e x y serão ambos irracionais. Exercício (lista Rodrigo) 66. Verifique se os seguintes subconjuntos de R são itados superiormente e/ou inferiormente e encontre, quando existirem, seus supremos e ínfimos, justificando. () { n+( )n n : n N, n }. (2) {x R : x x}. (3) {x Q : x 3 x < 0}. (4) {x R : x 2 + x + 0}. (5) { : x R, x 0}. x 2 (6) { n n+ : n N, n }. (7) {n + ( )n n : n N, n }. (8) n= ] n, + n [. (9) n= [ n, 2 n ].

11 Exercício (lista Rodrigo) 67. Defina f : [0, ] R por x, se x Q, f(x) = 0, se x / Q. f admite pontos nos quais é contínua? Justifique. 6. Sexta-feira, 6 de março de 208 Vamos ver agora os teoremas clássicos das funções contínuas. Entre as consequências deles, poderemos finalmente definir a função raiz quadrada (mais em geral a raiz n-esima). Teorema 7 (Conservação do sinal). (com demonstração) Seja f : E R uma função contínua em um ponto x E. Suponhamos f(x) > 0. Então existe uma vizinhança de x, (x δ, x + δ), tal que f(x) > 0 para todo x (x δ, x + δ) E. O leitor não terá dificuldade em adaptar o resultado acima ao caso em que f(x) é negativo. Exercício 68. Prove o Teorema de conservação do sinal. Exercício 69. Um subconjunto E de R é chamado aberto se para todo c E existe um intervalo do tipo (c δ, c+δ) que é contido em E. Dê alguns exemplos de subconjuntos abertos de R que não sejam os clássicos intervalos aberto do tipo (a, b) ou (, b) ou (a, + ). Dê alguns exemplos de subconjuntos de R que não são abertos. Exercício 70. Um subconjunto E de R é chamado fechado se seu complementar, R\E, é aberto. Prove que um conjunto E é fechado se e somente se contém todos seu pontos de acumulação. Exercício 7. (difícil) Prove que uma função f : R R é contínua se e somente se para cada aberto A (no contradomínio) a imagem inversa dele, f (A), é um aberto (no domínio). A teoria das funções contínuas poderia ser elaborada para uma análise matemática baseada nos números racionais. Todos os resultados acima continuariam valendo. O seguinte não. Ele precisa do axioma da continuidade. Não casualmente é dado para funções definidas em intervalos. Teorema 8 (de anulamento). (com demonstração) Seja f : [a, b] R uma função contínua em todo ponto de [a, b]. Suponhamos f(a) f(b) < 0. Então, existe um ponto c (a, b) tal que f(c) = 0. Exercício 72. Todas as hipóteses do enunciado acima são importantes para a demonstração (geralmente é assim: se um teorema é corretamente expresso, não tem hipóteses supérfluas). O leitor procure exemplos de funções contínuas em conjuntos que não são intervalos para as quais o teorema de anulamento não vale. Exercício 73. Dê a demonstração do Teorema de anulamento. Exercício 74. O teorema de anulamento é um teorema de existência e não fornece diretamente uma técnica para encontrar uma solução de uma equação f(x) = 0. Todavia, um algoritmo para aproximar soluções de equações f(x) = 0 é fácil para ser determinado. Seja f : [a, b] R contínua e tal que f(a) f(b) < 0. Seja c = a + b o ponto médio do intervalo. Se f(c ) = 0, o problema é resolvido. Senão, o novo intervalo 2 [a, b ] é obtido escolhendo aquela metade de [a, b] tal que f(a ) f(b ) < 0. Continuando o processo, não temos nenhuma certeza de encontrar uma solução, mas sim uma sua aproximação. Se, digamos, ao passo n,

12 2 observamos que b n a n = b a b a, o ponto médio c do n-ésimo intervalo tem uma distância menor de de 2n 2n+ uma solução da equação (embora este processo não permita conhecer, a menos de uma casualidade, a solução exata). 7. Segunda-feira, 9 de março de 208 Consequência importante do Teorema de anulamento e o seguinte Teorema dos valores intermediários. Cabe ao leitor lembrar as definições de supremo e ínfimo de uma função (pag. 7). Teorema 9 (dos valores intermediários). (com demonstração) Sejam I um intervalo de R e f : I R uma função contínua. Então, a imagem de f é feita por todos os valores entre inf(f) e sup(f). Observação 20. O teorema é falso se o domínio não é um intervalo (pense em f(x) = /x que não admite zero como imagem). Corolário 2. Uma função contínua aplica intervalos em intervalos. Exercício 75. Dê a demonstração do Teorema dos valores intermediários. Graças ao teorema dos valores intermediários podemos resolver um problema que parece óbvio mas não é. Vamos escrevé-lo na forma seguinte: seja f : [0, 2] R, definida por f(x) = x 2. Qual é a imagem de f? A resposta parece óbvia: a imagem é o intervalo [0, 4]. É realmente óbvia tal resposta? A pergunta podem ser reformulada assím: dado um número real b entre 0 e 4, existe um número real a entre 0 e 2 tal que a 2 = b? O problema da imagem de x 2 é de fato o problema da existência da raiz quadrada (que é bem diferente do problema da unicidade dela, como no colocado num exercício anterior). A resposta ao problema da existência da raiz quadrada se dá usando as propriedades que fundam R. Dada a f acima (por exemplo), pelas propriedades algébricas dos números reais sabemos provar que: a) f(x) 0 para todo x; b) f é estritamente crescente; c) atinge o máximo em x = 2 e o mínimo em x = 0; d) o máximo vale 4 e o mínimo 0. Portanto a imagem de f é contida em [0, 4], mas podemos afirmar que coincide com [0, 4] só usando o teorema dos valores intermediários. O teorema dos valores intermediários permite (finalmente) provar a existência da raiz quadrada de um número positivo. Seja de fato a > 0 dado e seja a função x 2 a. Tal função é negativa em zero e positiva para x suficientemente grande (pelo Teorema de Arquimédes). Portanto se anula em um ponto b, evidentemente positivo. Ou seja existe b tal que b 2 = a. Este b é a raiz quadrada de a, cuja unicidade já foi provada (exercício 9). Portanto podemos definir agora f : [0, + ) R, f(x) = x. Exercício 76. Raiz n-ésima. Analogamente podemos definir a raiz n-ésima de um número positivo se n for par, e de um número real qualquer se n for impar. O leitor pode provar que a raiz existe e que f(x) = n x é definida em [0, + ) se n é par e em R se n é impar. Exercício 77. Potências com expoente racional. Usando a definição de raiz n-ésima e, em particular, o fato de que ela existe, podemos definir uma potência com expoente racional. Começamos definindo x 0 = para cada x 0. Esta definição, absolutamente abstrata, permite a extensão das propriedades das potências aos casos que envolvem x 0 : sabemos que x m /x m =. por outro lado, se queremos aplicar x m /x m = x m m, a única possibilidade é dada da escolha acima.

13 3 Em seguida: dados x real e positivo e m, n inteiros positivos, definimos precisamente: x m/n = n x m = ( n x ) m. Podemos ir além: dados x R e m inteiro positivo, definimos As duas definições acima permitem definir x m = x m. x m/n = n x m = ( n x ) m, x > 0, m, n Z, m, n 0. Observamos o seguinte. a) A função f(x) = x m/n, definida em (0, + ) pode ser extendida em 0 se não tiver problema em anulamento de denominadores. O leitor verifique para quais valores de m, n é possível. b) A função f(x) = x m/n, definida em (0, + ) pode ser extendida aos x 0 se não tiver problema em anulamento de denominadores e raizes de índice par de números negativos. O leitor verifique para quais valores de m, n é possível. c) O leitor prove que as potências de expoente racional verificam as clássicas propriedades das potências: x r x s = x r+s, x r y r = (xy) r, (x r ) s = x rs. (O caso do expoente inteiro é imediato e não precisa ser aprofundado.) d) A potência 0 0 não é definida. O leitor pode tentar explicar quais possíveis problemas encontraria uma tentativa de associar um valor a 0 0. Observação 22. O passo seguinte seria a definição de potência com expoente real. Nos cursos de Cálculo não é dedicado muito espaço ao aprofundamento deste conceito, e são usadas sem grandes problemas funções do tipo x α, onde x é real e positivo e α é real, e a x, onde a é real e positivo e x é real. (É inclusive definida a função x x para todo x real e positivo.) Fica claro que, por exemplo, 2 π não pode significar o produto do número 2 por si π vezes. Uma possibilidade para definir 2 π e obté-lo como um processo de aproximação de sequências de potências 2 m/n quando os expoentes racionais aproximam π. Mais simplesmente podemos definir 2 π = sup{2 m/n, onde m, n N, e m/n < π}. Por esta via não é particularmente difícil (mas não é totalmente trivial) provar que 2 x é estritamente crescente. Fica mais complicado todavia provar a continuidade e a derivabilidade. A estratégia que usaremos neste curso para a apresentação das potências con expoente real será outra. Baseia-se na teoria da integração e portanto não pode ser desenvolvida agora. A avantagem principal desta abordagem, além do fato de permitir ao estudante ver um outro ponto de vista, é a extrema facilidade da demostração das principais propriedades de x α e a x. 8. Quarta-feira, 2 de março de 208 Vamos ver agora a continuidade das funções inversas. Primeiramente observamos o fato seguinte. As funções estritamente monótonas são inversíveis, mas o vice-versa é falso.

14 4 { x se x < 0 O acima é o gráfico de f : (, ) R, f(x) = x + se 0 x <. Além disso, é fácil ver que f é descontínua em zero. Por outro lado a função g : (, 0) [, 2] R, g(x) = em. { x se x < 0 x se x 2 é contínua é inversível, mas com inversa descontínua Exercício 78. Escreva a função inversa (determinando o domínio) e desenhe o gráfico. Sobre a relação entre inversíbilidade, monotonia e continuidade valem os resultados seguintes. Lema 23. (com demonstração) Seja I intervalo de R e f : I R contínua e inversível. Então, f é estritamente monótona em I. O lema acima é usado para a demonstração do teorema seguinte. Teorema 24 (Continuidade da função inversa). (com demonstração) Seja I intervalo de R e f : I R contínua e inversível. Então, f é contínua. Uma consequência do teorema acima é a continuidade de n x (no oportuno domínio que depende do fato de n ser par o impar). Usando a continuidade do quociente de funções contínuas e da composição, é fácil ver a continuidade de x m/n, m, n Z. Exercício 79. Apresente os detalhes das afirmações acima e prove o Lema 23 e o Teorema Sexta-feira 23 de março de 208

15 5 Seja f : E R uma função definida em um subconjunto E de R qualquer. Definimos o máximo de f, max(f) em símbolos, o máximo da imagem de f. O mínimo de f, min(f), é definido como o mínimo da imagem de f. É claro que temos inúmeros exemplos de funções que não possuem máximo nem mínimo. O seguinte teorema, devido a Weierstrass, garante a existência do máximo e do mínimo de uma função contínua definida em um conjunto itado e fechado (um subconjunto itado e fechado de R é chamado compacto). Teorema 25 (de Weierstrass). (com demonstração) Uma função contínua definida em um conjunto compacto possui máximo e mínimo. Exercício 80. A hipótese de compacidade do domínio é essencial. O leitor procure um exemplo de uma função contínua definida em um conjunto não itado que não possui máximo (ou mínimo) e um exemplo de uma função contínua definida em um conjunto não fechado que não possui máximo (ou mínimo). Exercício 8. Prove o seguinte fato: dado um subconjunto E de R, um ponto c é ponto de acumulação de E se e somente se cada intervalo (c δ, c + δ) possui infinitos pontos de E. Exercício 82. ferramentas). Dê a demonstração do Teorema de Weierstrass (use o exercício anterior, entre as várias * * * Vamos ver agora o conceito de continuidade uniforme. Definição 26 (continuidade uniforme). Dado um subconjunto E de R, uma função f : E R é dita uniformemente contínua se, para cada ε > 0, existe δ > 0 tal que, se x, y E e x y < δ, então f(x) f(y) < ε. Teorema 27. (com demonstração) Uma função contínua definida em um conjunto compacto é uniformemente contínua. Exercício 83. Dê a demonstração do teorema anterior. Exercício 84. Prove que x 2 (definida em R) não é uniformemente contínua. Prove che /x não é uniformemente contínua em (0, ). Exercício 85. (Apostol, pag. 66) Dar um exemplo de uma função que é contínua num ponto de um intervalo e descontínua em todos os outros pontos do intervalo, ou provar que não existe uma tal função. (Sugestão: pense na função de Dirichlet.) Exercício 86. Prove que, para qualquer a real, a equação x 3 + x a = 0 tem uma e somente uma solução real. Exercício 87. Seja f : R R contínua, tal que x 5 < f(x) < x + para todo x R. Determine a imagem de R (justificando a resposta). Exercício 88. Lembramos que um subconjunto A de R é dito aberto se todo ponto x A possui a propriedade seguinte: existe δ (que depende evidentemente de x) tal que (x δ, x + δ) A. Prove que a união de uma família qualquer de conjuntos abertos é um conjunto aberto. Prove que a interseção de uma família finita de conjuntos abertos é um conjunto aberto. Karl Weierstrass, , foi um dos grandes refundadores e reorganizadores da análise matemática moderna, baseando o trabalho na clareza dos axiomas e das demonstrações.

16 6 Exercício 89. Dê um exemplo de uma interseção de uma família infinita de conjuntos abertos que seja um conjunto aberto e um exemplo de uma interseção de uma família infinita de conjuntos abertos que não seja um conjunto aberto. Exercício 90. Lembramos que um subconjunto E de R é dito fechado se o complementar dele, E C {x R t.q x / E}, é aberto. Prove que a união de uma família finita de conjuntos fechados é um conjunto fechado. Prove que a interseção de uma família qualquer de conjuntos fechados é um conjunto fechado. Exercício 9. Dê um exemplo de uma união de uma família infinita de conjuntos fechados que seja um conjunto fechado e um exemplo de uma união de uma família infinita de conjuntos fechados que não seja um conjunto fechado. Exercício 92. Seja E um subconjunto dado de E. Chamamos fecho de E, em símbolos E, a interseção de todos os conjuntos fechados que contêm E. Seja dado E e seja C um conjunto fechado tal que E C E. Prove que C = E. Exercício 93. Um subconjunto E de R é chamado denso se cada intervalo de R possui pontos de E. Prove que E é denso se e somente se E = R. Exercício 94. Determine o supremo e o ínfimo do conjunto { [ E = x 2, 2 ] } : x = m/2 n, m, n N 3 Exercício (lista Rodrigo) 95. Um ponto x de um conjunto E é chamado ponto interior de E se existe δ > 0 tal que (x δ, x + δ) E. O conjunto dos pontos interiores de E é chamado interior de E. Encontre o interior de cada conjunto. () { n : n N} (2) [0, 5] (6, 7] (3) {r Q : 0 < r < 2} (4) {r Q : r 2} (5) [0, π] [π, 5] Exercício (lista Rodrigo) 96. Classifique cada conjunto abaixo como aberto, fechado, ambos ou nenhum dos dois. Além disso, determine seu respectivo fecho. () { n : n N} (2) N (3) Q (4) n= ( ) 0, n (5) {x R : x 5 2 } (6) {x R : x 2 > 0} Exercício (lista Rodrigo) 97. Prove que o conjunto dos pontos de acumulação de um conjunto dado é sempre fechado. Exercício (lista Rodrigo) 98. Dê explicitamente o significado de cada uma das seguintes afirmações. Em suas explicações não é permitido utilizar qualquer uma das palavras em itálico. () a X não é ponto interior de X. (2) X R não é um conjunto aberto. (3) O conjunto Y R não é fechado.

17 7 (4) a R não é ponto de acumulação de X R. (5) X = (o símbolo X denota o conjunto dos pontos de acumulação de X). (6) X Y mas não é denso em Y. (7) X não é compacto. Exercício (lista Rodrigo) 99. Dado S R não vazio, podemos definir, para cada x R, f(x) = inf{ x s : s S}. () Mostre que f(x) = 0 se, e somente se, x S. (2) Mostre que f é contínua. [Sugestão: Mostre que f(x) f(y) x y x, y R.] Exercício (lista Rodrigo) 00. Sejam f : R R contínua e X R. Suponha que f(x) = 0 para todo x X. Mostre que f(x) = 0 para todo x X. Conclua que, se duas funções contínuas de R em R coincidem em um subconjunto denso de R, então elas são iguais. Exercício (lista Rodrigo) 0. Encontre um exemplo de função g : R R que seja contínua em exatamente um único ponto de R e um outro exemplo de função f : R R que seja descontínua em todo ponto de R, mas que f 2 seja contínua em R. Exercício (lista Rodrigo) 02. Mostre que toda função contínua f : [a, b] [a, b] admite ponto fixo, isto é, existe c [a, b] tal que f(c) = c. Exercício (lista Rodrigo) 03. Seja f uma função definida em um intervalo I. Prove as seguintes afirmações. () Se f é contínua e injetora, então f é estritamente crescente ou estritamente decrescente. (2) Se f é estritamente crescente (ou decrescente) e se f(i) é um intervalo, então f é contínua. Exercício (lista Rodrigo) 04. Seja I um intervalo. Uma função f : I R é dita Lipschitziana (ou de Lipschitz) se existe uma constante K > 0 tal que f(x) f(y) K x y para tod x, y I. Mostre que toda função Lipschtziana é uniformemente contínua. 0. Segunda feira 2 de abril de 208 A derivada de uma função: definição e algumas aplicações Como dito nas páginas anteriores, para introduzir a derivada precisamos trabalhar com os ites. Imaginamos portanto ter acesso aos resultados clássicos sobre teoria dos ites. Inclusive, será usado, quando necessário, o resultado que diz que f é contínua em um ponto c se e somente se x c f(x) = f(c) (claramente se c é ponto de acumulação do domínio de f) Seja I um intervalo de R, f : I R uma função dada e x 0 I dado. Variando m R, as equações y = f(x 0 ) + m(x x 0 ) representam as retas secantes ao gráfico de f no ponto (x 0, f(x 0 )) (a reta vertical que tem equação x = x 0 é a única reta que não pode ser escrita na forma y = f(x 0 ) + m(x x 0 )). Seja agora x I e o correspondente ponto no gráfico de f, (x, f(x)). O quociente f(x) f(x 0 ) x x 0

18 8 se chama razão incremental de f, relativa a x 0 e a x e é o coeficiente angular da secante que passa por (x 0, f(x 0 )) e (x, f(x)). Se existe o ite desta razão quando x x 0, este ite dá, intuitivamente, o coeficiente angular de uma reta posição ite das secantes (quando x x 0 ). Definição 28. Se existe e é finito o ite f(x) f(x 0 ) = l, x x 0 x x 0 então dizemos que f é derivável em x 0 e o número l se chama derivada de f em x 0. A derivada de f em x 0 (se existe) é denotada, normalmente, por um dos símbolos seguintes: O primeiro é aquele mais comun. f (x 0 ), df dx (x 0), Df(x 0 ), Df(x) x=x0. Uma outra forma de escrever a razão incremental e portanto o ite acima é obtida pondo x x 0 = h. Temos f(x 0 + h) f(x 0 ) f(x 0 + h) f(x 0 ) e. h h 0 h A noção de derivada é pontual (como a de continuidade), ou seja derivada de uma função em um ponto. Dada f : I R, se f é derivável em todos os pontos de I, dizemos que f é derivável e fica bem definida uma nova função, a derivada de f, x f (x), definida em I. Se f é derivável x 0, a reta de equação y = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) é definida reta tangente ao gráfico de f no ponto (x 0, f(x 0 )). Atenção: a precedente é a definição de reta tangente; outras possíveis definições, como a reta que encosta o gráfico só em um ponto, são corretas só em casos muito particulares, por exemplo a circunferência. x x 0 Reta secante e reta tangente em (x 0, f(x 0 )). Exercício 05. Na parábola de equação y = x 2 procure um ponto onde a reta tangente à parabola forma um ângulo de π/4 com o eixo x. x 0 Derivadas de algumas funções elementares. FUNÇÃO f(x) DERIVADA c (função constante) 0 x n (n N, n ) f (x) nx n Exercício 06. Exercício 07. Prove os resultados da tabela acima. Dados os gráficos seguintes, desenhe (intuitivamente) os gráficos das derivadas.

19 9 a b c a c d a c d Exercício 08. Seja f(x) = x 3. Calcule, usando a definição de derivada, f (0), f ( 2), f(/2). Exercício 09. Prove que a derivada de uma função par (e derivável) é uma função impar; e que a derivada de uma função impar (e derivável) é uma função par. Exercício 0. Prove que a função x não é derivável em zero. Proposição 29 (Continuidade de uma função derivável). (com demonstração) Seja f : I R uma função derivável em um ponto x 0 I. Então, f é contínua em x 0. Exercício. Prove a proposição acima. Proposição 30 (Algebra das derivadas). (com demonstração) Sejam f, g : I R duas funções deriváveis em um ponto x 0 I. Então são deriváveis em x 0 as funções f ± g, f g, /g e f/g (nestes últimos dois casos se g(x 0 ) 0) e temos as fórmulas seguintes: () (f + g) (x 0 ) = f (x 0 ) + g (x 0 ), (2) (f g) (x 0 ) = f (x 0 ) g (x 0 ), (3) (fg) (x 0 ) = f (x 0 )g(x 0 ) + f(x 0 )g (x 0 ), (4) (/g) (x 0 ) = g (x 0 ) (g(x 0 )) 2, (5) (f/g) (x 0 ) = f (x 0 )g(x 0 ) f(x 0 )g (x 0 ) (g(x 0 )) 2

20 20 Exercício 2. Prove a proposição acima. Como exemplo, se n é inteiro positivo e x 0, D x n = n x n+ Proposição 3 (Derivada da função composta). (com demonstração) Sejam dadas duas funções f : I R e g : J R, tais que Im (f) J. Sejam f derivável em um ponto x 0 I e g derivável em y 0 = f(x 0 ). Então g f é derivável em x 0 e (g f) (x 0 ) = g (y 0 )f (x 0 ). Demonstração. Dado x I, consideramos a razão incremental g(f(x)) g(f(x 0 )) x x 0. Vamos dividir a prova em dois casos. Caso A: suponhamos que exista um intervalo (x 0 a, x 0 + a) tal que f(x) f(x 0 ) para todo x (x 0 a, x 0 + a) I e (obviamente) x x 0. Neste caso temos g(f(x)) g(f(x 0 )) = g(f(x)) g(f(x 0)) x x 0 f(x) f(x 0 ) f(x) f(x 0 ) x x 0. () Ou seja, para todo x (x 0 a, x 0 + a) I e x x 0 podemos escrever o quociente com f(x) f(x 0 ) no denominador. Consideramos agora a função h : J R, definida por g(y) g(y 0 ) se y y 0 h(y) = y y 0 g (y 0 ) se y = y 0. Sendo g derivável em y 0, então h é contínua em y 0 (consequência direta da definição de derivada). composição h f : (x 0 a, x 0 + a) I R é definida por g(f(x)) g(f(x 0 )) se x x 0 (h f)(x) = f(x) f(x 0 ) g (y 0 ) se x = x 0. O leitor pode fazer as (simples) contas que justificam esta última fórmula. Aplicando a proposição 6, temos a continuidade de h f em x 0, portanto temos o ite Por outro lado, pela derivabilidade de f em x 0, temos g(f(x)) g(f(x 0 )) = g (y 0 ). x x 0 f(x) f(x 0 ) f(x) f(x 0 ) = f (x 0 ). x x 0 x x 0 Agora, as duas frações do lado direto da igualdade () acima têm ites finitos. Portanto o ite do produto coincide com o produto dos ites (resultado de teoria dos ites que vamos aqui usar) e temos g(f(x)) g(f(x 0 )) = g (y 0 ) f (x 0 ). x x 0 x x 0 Caso B: vamos agora einar a hipótese auxiliar do caso A. Portanto, não sabendo para quais valores de x temos f(x) f(x 0 ), temos que proceder com cuidado. Contudo, uma pequena variação do método do caso A continua valendo neste caso B: seja h como acima. A diferença com o caso A está na composição g(f(x)) g(f(x 0 )) se f(x) f(x 0 ) G(x) = (h f)(x) = f(x) f(x 0 ) g (y 0 ) se f(x) = f(x 0 ). A

21 2 G é contínua em x 0 porque composição de funções contínuas e portanto G(x) = g (y 0 ). x x 0 Por outro lado, não sendo possível escrever a igualdade () acima, consideramos g(f(x)) g(f(x 0 )) x x 0 = G(x) f(x) f(x 0) x x 0. (O leitor verifique que a igualdade acima é correta para todo x. Isso porque quando f(x) = f(x 0 ) os dois membros são nulos). Os ites das duas funções do segundo membro existem e são finitos. De novo, o ite do produto coincide com o produto dos ites e temos finalmente a tese do teorema.. Quarta-feira, 4 de abril de 208 Proposição 32 (Derivada da função inversa). (com demonstração) Seja I intervalo, f : I R inversível e g : Im (f) R a função inversa de f. Seja f contínua em um ponto x 0 e a inversa contínua em y 0 = f(x 0 ). Se f é derivável em x 0 e f (x 0 ) 0, então, g é derivável em y 0 e temos g (y 0 ) = /f (x 0 ). Exercício 3. Prove a proposição acima. Como aplicação dos últimos resultados, temos esta outra tabela de derivadas. FUNÇÃO f(x) DERIVADA n x (= x /n ) x m/n (m, n inteiros) f (x) n x/n (veja-se a analogia com as outras fórmulas) m n xm/n (veja-se a analogia com as outras fórmulas) Exercício 4. Encontre um ponto P na hipérbole de equação y = tal que a tangente por P + x encontre a origem do plano. Exercício 5. Encontre a equações das tangentes à parábola y = x 2 4x + 3 que passam pela origem. Exercício 6. Calcule a área do triângulo que tem como vertices os pontos comuns das parábolas y = x 2 e y = x x 2 e o ponto de interseção entre o eixo das abscissas e a tangente à parábola 2y = x 2 em ( 2, 2). Exercícios. Determine em quais pontos são deriváveis as funções seguintes e calcule as derivadas. 7. sign x x 2 x 8. x 2 + x 9. [x] Exercícios. Calcule as derivadas das funções seguintes. x x 3 2. x + 3x 3 x 4 + Exercício x 3 + 2x + 3, x 0 = /2 Escreva a equação da reta tangente ao gráfico em (x 0, f(x 0 )) da função seguinte.

22 22 Exercício 24. Diga em quais pontos a função seguinte é derivável e calcule a derivada (nos pontos onde existe). Depois, diga se a derivada é contínua. 2x x 2 x > f(x) = 0 x = 0 x x 2 x < Sexta-feira, 6 de abril de 208 Vamos estudar agora os máximos e mínimos, absolutos e relativos. Definição 33. Seja A um subconjunto de R e f : A R uma função. a) O máximo absoluto de f é o máximo (se existe) da imagem de f. O mínimo absoluto de f é o mínimo (se existe) da imagem de f. b) Um ponto x 0 A é dito ponto de máximo absoluto se f(x 0 ) é o máximo absoluto de f. Um ponto x 0 A é dito ponto de mínimo absoluto se f(x 0 ) é o mínimo absoluto de f. c) Um ponto x 0 A é dito ponto de máximo relativo se existe um intervalo (x 0 δ, x 0 + δ), tal que f(x) f(x 0 ), para cada x A (x 0 δ, x 0 + δ). Um ponto x 0 A é dito ponto de mínimo relativo se existe um intervalo (x 0 δ, x 0 + δ), tal que f(x) f(x 0 ), para cada x A (x 0 δ, x 0 + δ). Exercício 25. Seja a função f(x) = 2x, x [, 2] [3, 4]. Determine, justificando a resposta, o máximo e o mínimo de f (porque existem?) e os pontos de máximo e mínimo relativos. Exercício 26. Determine, justificando a resposta, os pontos de máximo e mínimo absoluto e relativo de x 2 se x < 0 f(x) = 2 se x = 0 3 x se 0 < x 3. As definições acima envolvem funções quaisquer, ou seja, que podem ser ou não ser contínuas nem deriváveis. Contudo, se a função estudada é derivável, a sua derivada nos dá informações sobre os máximos e os mínimos. Teorema 34 (de Fermat). (com demonstração)(condição necessária para a existência dos pontos de máximo ou de mínimo relativo.) Seja I intervalo de R e f : I R uma função dada. Seja x 0 um ponto interior de I (ou seja, um ponto que pertence a I, mas não é extremo) e seja também um ponto de máximo ou de mínimo relativo de f. Suponhamos que f seja derivável em x 0. Então, f (x 0 ) = 0. Dada uma função f : I R, um ponto x 0 tal que f (0) = 0 se chama ponto crítico ou ponto estacionário. Exemplo: f(x) = x 2, x R. Todos os pontos do domínio são internos e f é derivável. Sabemos que x = 0 é ponto de máximo absoluto (e portanto relativo) de f. O teorema de Fermat nos diz que f (0) = 0, coisa que pode ser calculada facilmente.