Henri Poincaré Cientista e Matemático Universalista

Transcrição

1 Cientista e Matemático Universalista IMPA - Rio de Janeiro Bienal de Matemática 2012

2 Outline Quem é Poincaré? 1 Quem é Poincaré?

3 Legado Vida Obra Jules- ( ) La pensée n est qu un éclair au milieu d une longue nuit. Mais c est cet éclair qui est tout.

4 Quem é Poincaré? Legado Vida Obra Contribui para a maioria das disciplinas da Matemática e cria novas disciplinas: Teoria das Funções Automorfas, Topologia Algébrica,. Abre o caminho para a Teoria das Funções de Várias Variáveis Complexas e para a Análise Assintótica. Revoluciona a, descobrindo o caos. Encontra novos equilíbrio dos astros e propõe um novo mecanismo para a formação das estrelas duplas. É um dos fundadores da Teoria da Relatividade Restrita, de cujas consequências para o movimento dos planetas se apercebe.

5 Quem é Poincaré? Legado Vida Obra Influencia o desenvolvimento da Física do seu tempo, participando ativamente nos grandes debates, propondo explicações e sugerindo novos experimentos. É professor excepcional. Ensina (na Sorbonne, na École Polytechnique etc) temas muito variados na vanguarda da Matemática e da Física. Seus cursos são quase sempre redigidos e publicados, contribindo para aprimorar e divulgar as novas teorias de Boltzmann, Maxwell, Lorentz e outros. Atua frequentemente como perito científico do governo e da justiça (por exemplo, no famoso processo Dreyfus).

6 Quem e Poincare? Sistemas Dina micos Meca nica Celeste Muito mais Cie ncia Legado Vida Obra Henri Poincare Participa ativamente nos grandes debates filoso ficos do seu tempo. Publica obras de Filosofia da Cie ncia que alcanc am grande popularidade entre o grande pu blico. E excepcional divulgador da Cie ncia. Henri Poincare

7 Quem é Poincaré? Legado Vida Obra Nasce em Nancy em 29 de abril de Seu pai é decano da Faculdade de Medicina. Em 1860 nasce seu primo Raymond Poincaré, que será Primeiro Ministro e Presidente da República da França. Primeiro colocado no vestibular da École Polytechnique, em 1873, e da École des Mines, em Termina a graduação em Em 1879 trabalha como Engenheiro de Minas, obtém o doutorado em Matemática pela Universidade de Paris e torna-se professor na Universidade de Caen.

8 Quem é Poincaré? Legado Vida Obra Casa em 1881 com Louise Poulain d Andecy. O casal terá quatro filhos: Jeanne, Yvonne, Henriette e Léon. Professor na Sorbonne, ensina Mecânica, Física Matemática, Cálculo das Probabilidades, Astronomia Matemática e. Desde 1883 também é professor na École Polytechnique. Ensina Análise e, mais tarde, Astronomia Geral. A partir de 1902 ensina Eletricidade Teórica na École Professionelle Supérieure des Postes et Telegraphes. Resolve a famosa equação dos telegrafistas.

9 Quem é Poincaré? Legado Vida Obra Eleito membro da Academia das Ciências em 1887 e do Bureau des Longitudes em Nomeado Engenheiro Chefe de Minas. Presidente da Sociedade Francesa de Matemática em 1886 e 1900 da Sociedade Francesa de Física em Presidente do Bureau des Longitudes, três vezes. Juntamente com Émile Zola, Anatole France, George Clemenceau e outros intelectuais franceses, defende publicamente o capitão Alfred Dreyfus. Morre em Paris em 17 de julho de Em 1928 é criado o Institut, em Paris. A Universidade de Nancy 1 passa a ter o seu nome em 1994.

10 Quem é Poincaré? Legado Vida Obra Œuvres Scientifiques (Gauthier-Villars), 10 volumes: 1 Equações diferenciais 2 Funções automorfas 3 Integração algébrica de equações diferenciais 4 Funções analíticas de uma ou mais variáveis 5 Aritmética 6 Geometria algébrica, topologia algébrica 7 Mecânica analítica, mecânica celeste 8 Mecânica celeste e geodesia 9 Física matemática, física teórica 10 Física matemática, física teórica

11 Quem é Poincaré? Legado Vida Obra A bibliografia de listada por Felix Browder em The mathematical heritage of Poincaré, vol II contém 547 trabalhos, entre livros, artigos, notas de cursos, coletâneas, discursos, apresentações etc.

12 Equações diferenciais Teoria qualitativa Algumas ferramentas dx dt = F(X), X R d Antes de Poincaré, a teoria das equações diferenciais se resume a: receitas avulsas para resolver analiticamente certas equações e rudimentos de teoria local: comportamento das soluções perto de um ponto estacionário. Poincaré dá importantes contribuições à teoria local na sua tese de doutorado, realizada sob a orientação de Hermite. Esse trabalho dará origem à Análise Assintótica.

13 Equações diferenciais Teoria qualitativa Algumas ferramentas dx dt = F(X), X R d Antes de Poincaré, a teoria das equações diferenciais se resume a: receitas avulsas para resolver analiticamente certas equações e rudimentos de teoria local: comportamento das soluções perto de um ponto estacionário. Poincaré dá importantes contribuições à teoria local na sua tese de doutorado, realizada sob a orientação de Hermite. Esse trabalho dará origem à Análise Assintótica.

14 Equações diferenciais Teoria qualitativa Algumas ferramentas Mas a grande maioria das equações diferenciais não pode ser resolvida analiticamente... E Poincaré compreende que o grande objetivo deve ser o estudo do comportamento global das soluções; a expressão explícita de uma dada solução (supondo que seja possível encontrá-la) provavelmente não terá muita utilidade para esse fim. Por isso, ele defende que mais importante do que resolver uma equação é descrever qualitativamente o comportamento das suas soluções. Em Mémoire sur les courbes définies par une équation différentielle (1881) ele fornece diversas ferramentas para tal.

15 Equações diferenciais Teoria qualitativa Algumas ferramentas Mas a grande maioria das equações diferenciais não pode ser resolvida analiticamente... E Poincaré compreende que o grande objetivo deve ser o estudo do comportamento global das soluções; a expressão explícita de uma dada solução (supondo que seja possível encontrá-la) provavelmente não terá muita utilidade para esse fim. Por isso, ele defende que mais importante do que resolver uma equação é descrever qualitativamente o comportamento das suas soluções. Em Mémoire sur les courbes définies par une équation différentielle (1881) ele fornece diversas ferramentas para tal.

16 Teorema de Poincaré-Hopf Teoria qualitativa Algumas ferramentas Equações diferenciais polinomiais no plano (ou na esfera) ( dx dt, dy ) = (P(x, y), Q(x, y)) dt têm 3 tipos genéricos de pontos estacionários: Nó Sela Foco Teorema N S + F = 2, quaisquer que sejam P(x, y) e Q(x, y).

17 Teorema de Poincaré-Hopf Teoria qualitativa Algumas ferramentas Esse teorema será generalizado por Einz Hopf em 1926, para todo campo de vetores diferenciável numa variedade compacta. Antes disso, Poincaré generaliza a fórmula de Euler para variedades de qualquer dimensão (via números de Betti).

18 Problema do centro Teoria qualitativa Algumas ferramentas Poincaré está interessado em outro tipo de ponto estacionário, que é raro mas importante para sistemas com conservação da energia: o centro. Problema Quais campos de vetores (conservativos) admitem centros? O teorema de Poincaré-Lyapunov dá uma condição necessária e suficiente, para campos de vetores analíticos.

19 Problema do centro Teoria qualitativa Algumas ferramentas Poincaré está interessado em outro tipo de ponto estacionário, que é raro mas importante para sistemas com conservação da energia: o centro. Problema Quais campos de vetores (conservativos) admitem centros? O teorema de Poincaré-Lyapunov dá uma condição necessária e suficiente, para campos de vetores analíticos.

20 Teoria qualitativa Algumas ferramentas Teorema de Poincaré-Bendixson Teorema ( dx dt, dy ) = (P(x, y), Q(x, y)) dt Seja ω(x, y) o conjunto de acumulação, quanto o tempo vai para +, da solução que passa por (x, y). Então, 1 ω(x, y) = um ponto de equilíbrio 2 ω(x, y) = uma solução periódica (ciclo limite) 3 ω(x, y) = um grafo Generalizado por Ivar Otto Bendixson para campos de vetores diferenciáveis do plano ou da esfera.

21 Teoria qualitativa Algumas ferramentas Teorema de Poincaré-Bendixson A demonstração é uma combinação de dois ingredientes: o Teorema da Curva Fechada de Jordan a noção de transformação de Poincaré de uma equação diferencial: 16 o problema de Hilbert Qual é o número máximo de ciclos limite de um campo de vetores polinomial de grau d 2?

22 Teoria qualitativa Algumas ferramentas Teorema de Poincaré-Bendixson A demonstração é uma combinação de dois ingredientes: o Teorema da Curva Fechada de Jordan a noção de transformação de Poincaré de uma equação diferencial: 16 o problema de Hilbert Qual é o número máximo de ciclos limite de um campo de vetores polinomial de grau d 2?

23 Estabilidade do Sistema Solar Estabilidade do Sistema Solar Prêmio de Oskar II Méthodes nouvelles Caos determinístico Newton prova que, se ignorarmos a interação gravitacional entre os planetas, a Lei de Gravitação implica que os planetas se movem em órbitas elíticas com o Sol num dos focos, tal como proposto por Kepler. Laplace, Leverrier, Adams e outros grandes astrônomos obtêm solucões cada mais precisas, incorporando sucessivamente as interações entre os maiores planetas (Júpiter, Saturno, Urano). Assim é descoberto Netuno, por Johann Galle. Isto conduz a tentar obter as soluções do problema na forma de expansão em séries trigonométricas ( séries de Lindstedt ). É tomado como fato que estas séries convergem.

24 Estabilidade do Sistema Solar Estabilidade do Sistema Solar Prêmio de Oskar II Méthodes nouvelles Caos determinístico Newton prova que, se ignorarmos a interação gravitacional entre os planetas, a Lei de Gravitação implica que os planetas se movem em órbitas elíticas com o Sol num dos focos, tal como proposto por Kepler. Laplace, Leverrier, Adams e outros grandes astrônomos obtêm solucões cada mais precisas, incorporando sucessivamente as interações entre os maiores planetas (Júpiter, Saturno, Urano). Assim é descoberto Netuno, por Johann Galle. Isto conduz a tentar obter as soluções do problema na forma de expansão em séries trigonométricas ( séries de Lindstedt ). É tomado como fato que estas séries convergem.

25 Estabilidade do Sistema Solar Estabilidade do Sistema Solar Prêmio de Oskar II Méthodes nouvelles Caos determinístico Newton prova que, se ignorarmos a interação gravitacional entre os planetas, a Lei de Gravitação implica que os planetas se movem em órbitas elíticas com o Sol num dos focos, tal como proposto por Kepler. Laplace, Leverrier, Adams e outros grandes astrônomos obtêm solucões cada mais precisas, incorporando sucessivamente as interações entre os maiores planetas (Júpiter, Saturno, Urano). Assim é descoberto Netuno, por Johann Galle. Isto conduz a tentar obter as soluções do problema na forma de expansão em séries trigonométricas ( séries de Lindstedt ). É tomado como fato que estas séries convergem.

26 Estabilidade do Sistema Solar Estabilidade do Sistema Solar Prêmio de Oskar II Méthodes nouvelles Caos determinístico Problema O Sistema Solar é estável? Newton achava que não: ele acreditava que o funcionamento do Sistema Solar requer intervenção regular de Deus. Na época de Poincaré esse problema está ligado à questão da convergência das séries de Linstedt. Ele viria a se estender ao longo do século 20 e as respostas ainda são parciais: teoria de Kolmogorov, Arnold, Moser ( ) simulações numéricas de Jacques Laskar (1990).

27 Estabilidade do Sistema Solar Estabilidade do Sistema Solar Prêmio de Oskar II Méthodes nouvelles Caos determinístico Problema O Sistema Solar é estável? Newton achava que não: ele acreditava que o funcionamento do Sistema Solar requer intervenção regular de Deus. Na época de Poincaré esse problema está ligado à questão da convergência das séries de Linstedt. Ele viria a se estender ao longo do século 20 e as respostas ainda são parciais: teoria de Kolmogorov, Arnold, Moser ( ) simulações numéricas de Jacques Laskar (1990).

28 Prêmio do Rei Oskar II Estabilidade do Sistema Solar Prêmio de Oskar II Méthodes nouvelles Caos determinístico Em 1885, o rei Oskar II da Suécia e Noruega anuncia um prêmio para uma descoberta importante no domínio da análise matemática superior. A entrega será em 21 de abril de 1889, aniversário de 60 anos do rei. Por trás da proposta está o matemático sueco Magnus Gösta Mittag-Leffler, que preside o júri. Os outros membros do júri são Karl Weierstrass e Charles Hermite.

29 Prêmio do Rei Oskar II Estabilidade do Sistema Solar Prêmio de Oskar II Méthodes nouvelles Caos determinístico O júri seleciona quatro temas. Instado a participar, Poincaré escolhe o estudo do comportamento de um sistema formado por um número qualquer de corpos que se atraem mutuamente segundo a lei de Newton, incluindo o problema da estabilidade do Sistema Solar. Mesmo sem resolver o problema (de fato, ele só trata algumas questões do chamado problema restrito dos três corpos), o trabalho de Poincaré ganha facilmente o prêmio de Kr$ O artigo com os seus resultados, intitulado Sur le problème des trois corps et les équations de la dynamique será publicado na revista Acta Mathematica, dirigida por Mittag-Leffler.

30 Prêmio do Rei Oskar II Estabilidade do Sistema Solar Prêmio de Oskar II Méthodes nouvelles Caos determinístico O júri seleciona quatro temas. Instado a participar, Poincaré escolhe o estudo do comportamento de um sistema formado por um número qualquer de corpos que se atraem mutuamente segundo a lei de Newton, incluindo o problema da estabilidade do Sistema Solar. Mesmo sem resolver o problema (de fato, ele só trata algumas questões do chamado problema restrito dos três corpos), o trabalho de Poincaré ganha facilmente o prêmio de Kr$ O artigo com os seus resultados, intitulado Sur le problème des trois corps et les équations de la dynamique será publicado na revista Acta Mathematica, dirigida por Mittag-Leffler.

31 Prêmio do Rei Oskar II Estabilidade do Sistema Solar Prêmio de Oskar II Méthodes nouvelles Caos determinístico O júri seleciona quatro temas. Instado a participar, Poincaré escolhe o estudo do comportamento de um sistema formado por um número qualquer de corpos que se atraem mutuamente segundo a lei de Newton, incluindo o problema da estabilidade do Sistema Solar. Mesmo sem resolver o problema (de fato, ele só trata algumas questões do chamado problema restrito dos três corpos), o trabalho de Poincaré ganha facilmente o prêmio de Kr$ O artigo com os seus resultados, intitulado Sur le problème des trois corps et les équations de la dynamique será publicado na revista Acta Mathematica, dirigida por Mittag-Leffler.

32 O erro de Poincaré Quem é Poincaré? Estabilidade do Sistema Solar Prêmio de Oskar II Méthodes nouvelles Caos determinístico Mas... ao final da revisão o jovem Lars Edvard Phragmén descobre um erro no artigo! Poincaré confirma que o erro é sério e que ele compromete boa parte do trabalho. Mittag-Leffler fica muito preocupado. A sua própria reputação, que ele tanto preza, está em risco... Para piorar a situação, Weierstrass faz questão que o erro seja mencionado no relatório final do júri.

33 O erro de Poincaré Quem é Poincaré? Estabilidade do Sistema Solar Prêmio de Oskar II Méthodes nouvelles Caos determinístico Mas... ao final da revisão o jovem Lars Edvard Phragmén descobre um erro no artigo! Poincaré confirma que o erro é sério e que ele compromete boa parte do trabalho. Mittag-Leffler fica muito preocupado. A sua própria reputação, que ele tanto preza, está em risco... Para piorar a situação, Weierstrass faz questão que o erro seja mencionado no relatório final do júri.

34 O erro de Poincaré Quem é Poincaré? Estabilidade do Sistema Solar Prêmio de Oskar II Méthodes nouvelles Caos determinístico Mittag-Leffler parte para recuperar (quase) todas as cópias da Acta Mathematica que já tinham sido distribuídas e informa Poincaré de que ele terá que pagar a reimpressão. Sem questionar, Poincaré paga Kr$ (Kr$ mais do que o prêmio!). A edição corrigida é impressa e divulgada. O idoso Weierstrass não encontra a ocasião para escrever o relatório final do júri e Mittag-Leffler esquece de fazê-lo. Poincaré recebe enfim o prêmio.

35 O erro de Poincaré Quem é Poincaré? Estabilidade do Sistema Solar Prêmio de Oskar II Méthodes nouvelles Caos determinístico Mittag-Leffler parte para recuperar (quase) todas as cópias da Acta Mathematica que já tinham sido distribuídas e informa Poincaré de que ele terá que pagar a reimpressão. Sem questionar, Poincaré paga Kr$ (Kr$ mais do que o prêmio!). A edição corrigida é impressa e divulgada. O idoso Weierstrass não encontra a ocasião para escrever o relatório final do júri e Mittag-Leffler esquece de fazê-lo. Poincaré recebe enfim o prêmio.

36 O erro de Poincaré Quem é Poincaré? Estabilidade do Sistema Solar Prêmio de Oskar II Méthodes nouvelles Caos determinístico Mittag-Leffler parte para recuperar (quase) todas as cópias da Acta Mathematica que já tinham sido distribuídas e informa Poincaré de que ele terá que pagar a reimpressão. Sem questionar, Poincaré paga Kr$ (Kr$ mais do que o prêmio!). A edição corrigida é impressa e divulgada. O idoso Weierstrass não encontra a ocasião para escrever o relatório final do júri e Mittag-Leffler esquece de fazê-lo. Poincaré recebe enfim o prêmio.

37 Méthodes nouvelles Estabilidade do Sistema Solar Prêmio de Oskar II Méthodes nouvelles Caos determinístico O artigo de Poincaré virá a dar origem à obra em 3 volumes Les méthodes nouvelles de la Mécanique Céleste, publicada entre 1892 e Poincaré confirma que as séries de Lindstedt são divergentes, em geral, mas também explica que nem por isso elas deixam de ser úteis. O problema da estabilidade continua aberto. As Méthodes nouvelles contêm muitos outros avanços que vão incorporar a nova disciplina de. E, ao final das contas, o erro conduz Poincaré a descobrir o fenômeno chamado caos determinístico.

38 Méthodes nouvelles Estabilidade do Sistema Solar Prêmio de Oskar II Méthodes nouvelles Caos determinístico O artigo de Poincaré virá a dar origem à obra em 3 volumes Les méthodes nouvelles de la Mécanique Céleste, publicada entre 1892 e Poincaré confirma que as séries de Lindstedt são divergentes, em geral, mas também explica que nem por isso elas deixam de ser úteis. O problema da estabilidade continua aberto. As Méthodes nouvelles contêm muitos outros avanços que vão incorporar a nova disciplina de. E, ao final das contas, o erro conduz Poincaré a descobrir o fenômeno chamado caos determinístico.

39 Méthodes nouvelles Estabilidade do Sistema Solar Prêmio de Oskar II Méthodes nouvelles Caos determinístico O artigo de Poincaré virá a dar origem à obra em 3 volumes Les méthodes nouvelles de la Mécanique Céleste, publicada entre 1892 e Poincaré confirma que as séries de Lindstedt são divergentes, em geral, mas também explica que nem por isso elas deixam de ser úteis. O problema da estabilidade continua aberto. As Méthodes nouvelles contêm muitos outros avanços que vão incorporar a nova disciplina de. E, ao final das contas, o erro conduz Poincaré a descobrir o fenômeno chamado caos determinístico.

40 Teorema de recorrência Estabilidade do Sistema Solar Prêmio de Oskar II Méthodes nouvelles Caos determinístico Poincaré prova que o seguinte teorema de estabilidade: Teorema Quase toda a trajetória do problema restrito dos 3 corpos regressa arbitrariamente perto da sua posição inicial. Esta conclusão vale para qualquer sistema que preserva uma medida finita (teorema de recorrência de Poincaré). Embora a demonstração seja bastante curta, trata-se de um resultado profundo, que está na origem da Teoria Ergódica.

41 Teorema de recorrência Estabilidade do Sistema Solar Prêmio de Oskar II Méthodes nouvelles Caos determinístico Poincaré prova que o seguinte teorema de estabilidade: Teorema Quase toda a trajetória do problema restrito dos 3 corpos regressa arbitrariamente perto da sua posição inicial. Esta conclusão vale para qualquer sistema que preserva uma medida finita (teorema de recorrência de Poincaré). Embora a demonstração seja bastante curta, trata-se de um resultado profundo, que está na origem da Teoria Ergódica.

42 Soluções periódicas Estabilidade do Sistema Solar Prêmio de Oskar II Méthodes nouvelles Caos determinístico Poincaré encontra diversas soluções periódicas do problema restrito dos 3 corpos. O assunto é clássico (Newton, Euler, Jacobi, Hill) e continua sendo tema de pesquisa nos dias de hoje (Moore 1993, Chenciner e Montgomery 2001 etc). Mas para Poincaré ele é parte de uma proposta abrangente e inovadora: Aliás, o que torna estas soluções periódicas tão preciosas é que elas são, por assim dizer, as únicas brechas por onde podemos tentar penetrar num local que até aqui pensavamos ser inatingível. Hadamard:... foi Poincaré quem mostrou que as soluções periódicas são um instrumento, um dos mais poderosos de que dispomos, para a pesquisa e o estudo das demais soluções.

43 Soluções periódicas Estabilidade do Sistema Solar Prêmio de Oskar II Méthodes nouvelles Caos determinístico Poincaré encontra diversas soluções periódicas do problema restrito dos 3 corpos. O assunto é clássico (Newton, Euler, Jacobi, Hill) e continua sendo tema de pesquisa nos dias de hoje (Moore 1993, Chenciner e Montgomery 2001 etc). Mas para Poincaré ele é parte de uma proposta abrangente e inovadora: Aliás, o que torna estas soluções periódicas tão preciosas é que elas são, por assim dizer, as únicas brechas por onde podemos tentar penetrar num local que até aqui pensavamos ser inatingível. Hadamard:... foi Poincaré quem mostrou que as soluções periódicas são um instrumento, um dos mais poderosos de que dispomos, para a pesquisa e o estudo das demais soluções.

44 Soluções periódicas Estabilidade do Sistema Solar Prêmio de Oskar II Méthodes nouvelles Caos determinístico Poincaré encontra diversas soluções periódicas do problema restrito dos 3 corpos. O assunto é clássico (Newton, Euler, Jacobi, Hill) e continua sendo tema de pesquisa nos dias de hoje (Moore 1993, Chenciner e Montgomery 2001 etc). Mas para Poincaré ele é parte de uma proposta abrangente e inovadora: Aliás, o que torna estas soluções periódicas tão preciosas é que elas são, por assim dizer, as únicas brechas por onde podemos tentar penetrar num local que até aqui pensavamos ser inatingível. Hadamard:... foi Poincaré quem mostrou que as soluções periódicas são um instrumento, um dos mais poderosos de que dispomos, para a pesquisa e o estudo das demais soluções.

45 Último teorema de Poincaré Estabilidade do Sistema Solar Prêmio de Oskar II Méthodes nouvelles Caos determinístico Poincaré desenvolve vários métodos para construir soluções periódicas. Alguns meses antes de morrer ele encontra: f(y) f(x) x y Teorema (provado por George Birkhoff em 1913) Seja f : A A um homeomorfismo do anel que preserva área e roda os dois bordos em sentidos contrários. Então f tem dois ponto fixos, pelo menos.

46 Estabilidade do Sistema Solar Prêmio de Oskar II Méthodes nouvelles Caos determinístico Existência de geodésicas fechadas Poincaré interessa-se por este tema por ser o mais simples de todos os problemas de Dinâmica : ele contém a dificuldade principal do teorema dos 3 corpos mas está livre de todas as dificuldades secundárias. Em Sur les lignes géodésiques des surfaces convexes (1905), ele prova que toda superfície convexa tem alguma geodésica simples fechada. George Birkhoff prova que qualquer métrica riemanniana numa esfera S d possui pelo menos uma geodésica fechada (toda superfície convexa é difeomorfa à esfera S 2 ).

47 Estabilidade do Sistema Solar Prêmio de Oskar II Méthodes nouvelles Caos determinístico Existência de geodésicas fechadas Poincaré interessa-se por este tema por ser o mais simples de todos os problemas de Dinâmica : ele contém a dificuldade principal do teorema dos 3 corpos mas está livre de todas as dificuldades secundárias. Em Sur les lignes géodésiques des surfaces convexes (1905), ele prova que toda superfície convexa tem alguma geodésica simples fechada. George Birkhoff prova que qualquer métrica riemanniana numa esfera S d possui pelo menos uma geodésica fechada (toda superfície convexa é difeomorfa à esfera S 2 ).

48 Infinitas geodésicas fechadas Estabilidade do Sistema Solar Prêmio de Oskar II Méthodes nouvelles Caos determinístico Para variedades com grupo fundamental suficientemente rico, é possível provar a existência de infinitas geodésicas fechadas usando Teoria de Morse (mínimos da função comprimento). Em 1993, Victor Bangert baseado em trabalhos de Poincaré, Birkhoff, Lyusternik, Schnirelmann, Ballmann, Franks etc prova que qualquer métrica riemanniana em S 2 admite infinitas geodésicas fechadas. No caso das esferas S d com d > 2 essa questão está aberta.

49 Infinitas geodésicas fechadas Estabilidade do Sistema Solar Prêmio de Oskar II Méthodes nouvelles Caos determinístico Para variedades com grupo fundamental suficientemente rico, é possível provar a existência de infinitas geodésicas fechadas usando Teoria de Morse (mínimos da função comprimento). Em 1993, Victor Bangert baseado em trabalhos de Poincaré, Birkhoff, Lyusternik, Schnirelmann, Ballmann, Franks etc prova que qualquer métrica riemanniana em S 2 admite infinitas geodésicas fechadas. No caso das esferas S d com d > 2 essa questão está aberta.

50 Pontos homoclínicos Estabilidade do Sistema Solar Prêmio de Oskar II Méthodes nouvelles Caos determinístico Na busca para compreender o erro no seu trabalho, Poincaré descobre o fenômeno dos pontos homoclínicos. Sabemos agora que ele está na origem do chamado caos determinístico. É impressionante a complexidade desta figura, que eu nem mesmo tento traçar. Nada é mais adequado para nos dar uma ideia da complicação do problema dos três corpos e, em geral, de todos os problemas de Dinâmica...

51 Análise assintótica Quem é Poincaré? Matemática Física Aplicações Filosofia Divulgação da Ciência Na sua tese, e em trabalhos posteriores, Poincaré encontra inúmeros exemplos em que expansões assintóticas, ainda que divergentes, são úteis para aproximar soluções de equações diferenciais etc. Duas funções f e g dizem-se assintóticas num ponto a se f (x) lim x a g(x) = 1. Usualmente, consideramos a = e então escrevemos f g. Exemplo: Fórmula de Stirling n! ( n ) n 2πn e

52 Análise assintótica Quem é Poincaré? Matemática Física Aplicações Filosofia Divulgação da Ciência Na sua tese, e em trabalhos posteriores, Poincaré encontra inúmeros exemplos em que expansões assintóticas, ainda que divergentes, são úteis para aproximar soluções de equações diferenciais etc. Duas funções f e g dizem-se assintóticas num ponto a se f (x) lim x a g(x) = 1. Usualmente, consideramos a = e então escrevemos f g. Exemplo: Fórmula de Stirling n! ( n ) n 2πn e

53 Análise assintótica Quem é Poincaré? Matemática Física Aplicações Filosofia Divulgação da Ciência Por vezes, dada f é possível encontrar funções g k, k 1 tais que f g 1 e f (g g k ) g k+1 para todo k. Escrevemos f k=1 g k embora a série assintótica seja divergente, em geral. Exemplo: Fórmula de Euler-MacLaurin log n! log ( n ) n B 2πn + 2k e (2k)(2k 1)n 2k 1 k=1 k=1 g k onde os B 2k são os números de Bernoulli (a série diverge).

54 Funções automorfas Matemática Física Aplicações Filosofia Divulgação da Ciência Poincaré alcançou fama internacional em com a sua teoria das funções automorfas, que ele desenvolveu para resolver certas equações diferenciais. Uma função meromorfa ϕ numa superfície de Riemann S diz-se automorfa se ϕ = ϕ g para todo g num grupo discreto de automorfismos de S. Poincaré falava de função fuchsiana quando S é o disco e função kleiniana nos demais casos. Felix Klein não gostou destas homenagens... e chamou todas de funções automorfas. Poincaré retrucou citando o grande poema Fausto de Goethe: Name is Schaull und Rauch. (Um nome não passa de ruído e fumaça.)

55 Funções automorfas Matemática Física Aplicações Filosofia Divulgação da Ciência Poincaré alcançou fama internacional em com a sua teoria das funções automorfas, que ele desenvolveu para resolver certas equações diferenciais. Uma função meromorfa ϕ numa superfície de Riemann S diz-se automorfa se ϕ = ϕ g para todo g num grupo discreto de automorfismos de S. Poincaré falava de função fuchsiana quando S é o disco e função kleiniana nos demais casos. Felix Klein não gostou destas homenagens... e chamou todas de funções automorfas. Poincaré retrucou citando o grande poema Fausto de Goethe: Name is Schaull und Rauch. (Um nome não passa de ruído e fumaça.)

56 Funções automorfas Matemática Física Aplicações Filosofia Divulgação da Ciência Poincaré alcançou fama internacional em com a sua teoria das funções automorfas, que ele desenvolveu para resolver certas equações diferenciais. Uma função meromorfa ϕ numa superfície de Riemann S diz-se automorfa se ϕ = ϕ g para todo g num grupo discreto de automorfismos de S. Poincaré falava de função fuchsiana quando S é o disco e função kleiniana nos demais casos. Felix Klein não gostou destas homenagens... e chamou todas de funções automorfas. Poincaré retrucou citando o grande poema Fausto de Goethe: Name is Schaull und Rauch. (Um nome não passa de ruído e fumaça.)

57 Funções automorfas Matemática Física Aplicações Filosofia Divulgação da Ciência Poincaré consegue calcular todos os grupos fuchsianos e todas as funções fuchsianas. A teoria das funções automorfas também conduz ao Teorema de Uniformização Toda superfície de Riemann compacta conexa é isomorfa 1 à esfera de Riemann ou 2 ao quociente do plano por algum reticulado Zω 1 + Zω 2 3 ou ao quociente do disco por algum grupo fuchsiano. Este resultado notável foi descoberto (sem demonstração) por Poincaré e por Klein, cerca de 1881, e foi provado por Poincaré e por Koebe, independentemente, em 1907.

58 Funções automorfas Matemática Física Aplicações Filosofia Divulgação da Ciência Inicialmente, Poincaré acreditava que funções fuchsianas não existem: Durante quinze dias me esforcei para demonstrar que não existiam [funções fuchsianas]. Eu era muito ignorante. Todo o dia eu me sentava à mesa de trabalho e aí passava uma hora ou duas, tentando várias combinações, e não chegava a nenhum resultado. Mas os matemáticos transformam café em teoremas : Um serão, contra o meu costume, tomei café preto e não consegui dormir. As ideias afluiam sem parar. Eu as sentia chocando entre si, até que duas delas se acomodavam, digamos assim, para formar uma combinação estável. Pela manhã, eu tinha provado a existência de uma classe de funções fuchsianas [...]. Só faltava redigir os resultados, o que tomou apenas algumas horas.

59 Funções automorfas Matemática Física Aplicações Filosofia Divulgação da Ciência Inicialmente, Poincaré acreditava que funções fuchsianas não existem: Durante quinze dias me esforcei para demonstrar que não existiam [funções fuchsianas]. Eu era muito ignorante. Todo o dia eu me sentava à mesa de trabalho e aí passava uma hora ou duas, tentando várias combinações, e não chegava a nenhum resultado. Mas os matemáticos transformam café em teoremas : Um serão, contra o meu costume, tomei café preto e não consegui dormir. As ideias afluiam sem parar. Eu as sentia chocando entre si, até que duas delas se acomodavam, digamos assim, para formar uma combinação estável. Pela manhã, eu tinha provado a existência de uma classe de funções fuchsianas [...]. Só faltava redigir os resultados, o que tomou apenas algumas horas.

60 Várias variáveis complexas Matemática Física Aplicações Filosofia Divulgação da Ciência Em 1883, Poincaré obtém o seu primeiro resultado importante nesta área: Toda função meromorfa em C 2 é quociente de duas funções holomorfas. Weierstrass havia provado o caso de funções a uma variável. Pierre Cousin estende o resultado para n variáveis em Mas a contribuição maior de Poincaré é a Teoria dos Resíduos: Cabe a Cauchy a glória de ter fundado a teoria das integrais entre limites imaginários; esta teoria duplicou o poder da Análise, por assim dizer [...] Parecia que não teríamos mais que estender a teoria às integrais duplas e assim obter conquistas tão belas como se obtêm das integrais simples [...] no entanto, ao cabo de quarenta anos estamos praticamente no mesmo ponto onde começamos.

61 Várias variáveis complexas Matemática Física Aplicações Filosofia Divulgação da Ciência Em 1883, Poincaré obtém o seu primeiro resultado importante nesta área: Toda função meromorfa em C 2 é quociente de duas funções holomorfas. Weierstrass havia provado o caso de funções a uma variável. Pierre Cousin estende o resultado para n variáveis em Mas a contribuição maior de Poincaré é a Teoria dos Resíduos: Cabe a Cauchy a glória de ter fundado a teoria das integrais entre limites imaginários; esta teoria duplicou o poder da Análise, por assim dizer [...] Parecia que não teríamos mais que estender a teoria às integrais duplas e assim obter conquistas tão belas como se obtêm das integrais simples [...] no entanto, ao cabo de quarenta anos estamos praticamente no mesmo ponto onde começamos.

62 Várias variáveis complexas Matemática Física Aplicações Filosofia Divulgação da Ciência Em Sur les résidus des intégrales doubles (1887), Poincaré: começa por formular a integral múltipla (a integral de superfície ) de forma adequada caracteriza quando a integral não depende da superfície de integração (apenas do bordo) dω = 0 descobre a fórmula de Stokes generalizada: ω = dω e obtém o teorema fundamental dos resíduos. Ω Este trabalho leva Poincaré a descobrir a homologia, em 1895, e influenciará decisivamente o trabalho de Georges De Rham sobre cohomologia (1932). Ω

63 Várias variáveis complexas Matemática Física Aplicações Filosofia Divulgação da Ciência Em Sur les résidus des intégrales doubles (1887), Poincaré: começa por formular a integral múltipla (a integral de superfície ) de forma adequada caracteriza quando a integral não depende da superfície de integração (apenas do bordo) dω = 0 descobre a fórmula de Stokes generalizada: ω = dω e obtém o teorema fundamental dos resíduos. Ω Este trabalho leva Poincaré a descobrir a homologia, em 1895, e influenciará decisivamente o trabalho de Georges De Rham sobre cohomologia (1932). Ω

64 Topologia Algébrica Matemática Física Aplicações Filosofia Divulgação da Ciência Dificuldades encontradas por Poincaré em diversos estudos o convencem de que Um método que nos fizesse conhecer as relações quantitativas no espaço com mais de três dimensões poderia, numa certa medida, prestar serviços análogos àqueles que nos prestam as figuras. Tal método só pode ser a Analysis situs em mais que três dimensões. O que Poincaré vai fazer para responder a essa necessidade é impressionante.

65 Topologia Algébrica Matemática Física Aplicações Filosofia Divulgação da Ciência Em Analysis situs (1895) e seus complementos ( ): dá uma definição de variedade (analítica) por meio de cartas locais torna precisa a noção de integral de uma forma diferencial sobre uma subvariedade define os espaços de homologia, cujas dimensões ele chama números de Betti prova a dualidade de Poincaré para variedades fechadas orientáveis estuda as triangulações de variedades, o que o conduz a definir o grupo fundamental de uma variedade. generaliza a fórmula de Euler para poliedros quaisquer.

66 Conjectura de Poincaré Matemática Física Aplicações Filosofia Divulgação da Ciência Poincaré observa que o grupo fuchsiano na uniformização de uma superfície de Riemann é o grupo fundamental da mesma. Duas variedades fechadas de dimensão 2 que têm os mesmos grupos de Betti são homeomorfas. Mas Poincaré encontra (1904) uma variedade de dimensão 3 com homologia trivial e que não é homeomorfa a S 3. Será possível que o grupo fundamental de uma variedade de dimensão 3 se reduza ao elemento identidade e, no entanto, a variedade não seja a esfera? Poincaré observa: Mas essa questão nos levaria longe demais.

67 Conjectura de Poincaré Matemática Física Aplicações Filosofia Divulgação da Ciência Poincaré observa que o grupo fuchsiano na uniformização de uma superfície de Riemann é o grupo fundamental da mesma. Duas variedades fechadas de dimensão 2 que têm os mesmos grupos de Betti são homeomorfas. Mas Poincaré encontra (1904) uma variedade de dimensão 3 com homologia trivial e que não é homeomorfa a S 3. Será possível que o grupo fundamental de uma variedade de dimensão 3 se reduza ao elemento identidade e, no entanto, a variedade não seja a esfera? Poincaré observa: Mas essa questão nos levaria longe demais.

68 Conjectura de Poincaré Matemática Física Aplicações Filosofia Divulgação da Ciência Poincaré observa que o grupo fuchsiano na uniformização de uma superfície de Riemann é o grupo fundamental da mesma. Duas variedades fechadas de dimensão 2 que têm os mesmos grupos de Betti são homeomorfas. Mas Poincaré encontra (1904) uma variedade de dimensão 3 com homologia trivial e que não é homeomorfa a S 3. Será possível que o grupo fundamental de uma variedade de dimensão 3 se reduza ao elemento identidade e, no entanto, a variedade não seja a esfera? Poincaré observa: Mas essa questão nos levaria longe demais.

69 Conjectura de Poincaré Matemática Física Aplicações Filosofia Divulgação da Ciência Conjectura Se M é variedade de dimensão d com os mesmos grupos de homotopia que a esfera S d então M S d. d 5 por Stephen Smale em 1960 (Medalha Fields 1966), d = 4 por Michael Freedman em 1982 (Medalha Fields 1986) d = 3 por Grigory Perelman em 2003 (Medalha Fields em 2006).

70 Teoria da Relatividade Matemática Física Aplicações Filosofia Divulgação da Ciência Em A Ciência e a Hipótese (1902, três anos antes do artigo em que Einstein cria a Teoria da Relatividade Restrita), Poincaré escreve: 1 Não existe espaço absoluto, nós apenas concebemos movimentos relativos. 2 Não existe tempo absoluto; dizer que duas durações são iguais é uma afirmação que não tem qualquer sentido. 3 Não temos sequer como comprovar a simultaneidade de dois eventos que tenham lugar em pontos distintos. 4 Até a nossa geometria euclideana não é mais que uma espécie de convenção de linguagem.

71 Teoria da Relatividade Matemática Física Aplicações Filosofia Divulgação da Ciência A contribuição de Poincaré para a relatividade do tempo vem de 1898 quando, motivado por sua experiência no Bureau des Longitudes, ele aponta que a ideia de simultaneidade (logo, de duração) de eventos longínquos não tem sentido. Na sua palestra no St. Louis Mathematics Congress, em 1904, ele formula o Postulado da Relatividade: As leis dos fenômenos físicos devem ser as mesmas para um observador fixo e para um observador em movimento de translação uniforme, de modo que não temos, nem podemos ter nenhum meio para descobrir se nós mesmos estamos ou não sujeitos a um tal movimento. Ele insiste que este princípio vale para todos os fenômenos físicos, inclusive o eletromagnetismo.

72 Teoria da Relatividade Matemática Física Aplicações Filosofia Divulgação da Ciência A contribuição de Poincaré para a relatividade do tempo vem de 1898 quando, motivado por sua experiência no Bureau des Longitudes, ele aponta que a ideia de simultaneidade (logo, de duração) de eventos longínquos não tem sentido. Na sua palestra no St. Louis Mathematics Congress, em 1904, ele formula o Postulado da Relatividade: As leis dos fenômenos físicos devem ser as mesmas para um observador fixo e para um observador em movimento de translação uniforme, de modo que não temos, nem podemos ter nenhum meio para descobrir se nós mesmos estamos ou não sujeitos a um tal movimento. Ele insiste que este princípio vale para todos os fenômenos físicos, inclusive o eletromagnetismo.

73 Teoria da Relatividade Matemática Física Aplicações Filosofia Divulgação da Ciência A contribuição de Poincaré para a relatividade do tempo vem de 1898 quando, motivado por sua experiência no Bureau des Longitudes, ele aponta que a ideia de simultaneidade (logo, de duração) de eventos longínquos não tem sentido. Na sua palestra no St. Louis Mathematics Congress, em 1904, ele formula o Postulado da Relatividade: As leis dos fenômenos físicos devem ser as mesmas para um observador fixo e para um observador em movimento de translação uniforme, de modo que não temos, nem podemos ter nenhum meio para descobrir se nós mesmos estamos ou não sujeitos a um tal movimento. Ele insiste que este princípio vale para todos os fenômenos físicos, inclusive o eletromagnetismo.

74 Teoria da Relatividade Matemática Física Aplicações Filosofia Divulgação da Ciência Poincaré ajuda a encontrar a expressão correta das famosas transformações de Lorentz: x = x vt 1 v 2 /c 2 t = t vx/c2 1 v 2 /c 2. Ele insiste que tais transformações precisam formar um grupo e mostra que, então, as transformações acima são as únicas possíveis, num universo homogêneo e causal. Lorentz: Poincaré, pelo contrário, obteve invariância perfeita das equações do eletromagnetismo e formulou o postulado da relatividade, termos que ele foi o primeiro a usar [...] Acrescentemos que, corrigindo as imperfeições do meu trabalho, ele nunca me censurou por elas.

75 Teoria da Relatividade Matemática Física Aplicações Filosofia Divulgação da Ciência Poincaré ajuda a encontrar a expressão correta das famosas transformações de Lorentz: x = x vt 1 v 2 /c 2 t = t vx/c2 1 v 2 /c 2. Ele insiste que tais transformações precisam formar um grupo e mostra que, então, as transformações acima são as únicas possíveis, num universo homogêneo e causal. Lorentz: Poincaré, pelo contrário, obteve invariância perfeita das equações do eletromagnetismo e formulou o postulado da relatividade, termos que ele foi o primeiro a usar [...] Acrescentemos que, corrigindo as imperfeições do meu trabalho, ele nunca me censurou por elas.

76 Teoria da Relatividade Matemática Física Aplicações Filosofia Divulgação da Ciência Estes e outros resultados aparecem em Sur la dynamique de l électron, submetido aos Comptes Rendus de l Académie des Sciences de Paris em 5 de junho de O famoso artigo de Albert Einstein Zur Elektrodynamik bewegter Körper é submetido aos Annalen de Physik três semanas depois, em 30 de junho de Do ponto de vista prático, as teorias Poincaré e de Einstein são equivalentes. Conceitualmente, a proposta de Einstein é muito mais inovadora. Além disso, o ano de 1905 encerra a participação de Poincaré neste tema, enquanto que para o Einstein é o início de uma trajetória fantástica. Ainda assim, é claro que a contribuição de Poincaré à Relatividade está longe de ser reconhecida como merece.

77 Teoria da Relatividade Matemática Física Aplicações Filosofia Divulgação da Ciência Estes e outros resultados aparecem em Sur la dynamique de l électron, submetido aos Comptes Rendus de l Académie des Sciences de Paris em 5 de junho de O famoso artigo de Albert Einstein Zur Elektrodynamik bewegter Körper é submetido aos Annalen de Physik três semanas depois, em 30 de junho de Do ponto de vista prático, as teorias Poincaré e de Einstein são equivalentes. Conceitualmente, a proposta de Einstein é muito mais inovadora. Além disso, o ano de 1905 encerra a participação de Poincaré neste tema, enquanto que para o Einstein é o início de uma trajetória fantástica. Ainda assim, é claro que a contribuição de Poincaré à Relatividade está longe de ser reconhecida como merece.

78 Equação dos telegrafistas Matemática Física Aplicações Filosofia Divulgação da Ciência Poincaré trabalha em diversas questões práticas da telegrafia, eletrotecnia, propagação de ondas, propagação do calor e outras áreas de aplicação da Física e da Matemática. Em 1893 ele resolve a equação dos telegrafistas, que descreve a tensão V e a intensidade de corrente I num fio elétrico, em função da posição x e do tempo t: V x = L I t RI I x = C V t GV.

79 Equação dos telegrafistas Matemática Física Aplicações Filosofia Divulgação da Ciência Poincaré trabalha em diversas questões práticas da telegrafia, eletrotecnia, propagação de ondas, propagação do calor e outras áreas de aplicação da Física e da Matemática. Em 1893 ele resolve a equação dos telegrafistas, que descreve a tensão V e a intensidade de corrente I num fio elétrico, em função da posição x e do tempo t: V x = L I t RI I x = C V t GV.

80 Transmissão de ondas Matemática Física Aplicações Filosofia Divulgação da Ciência Em 12 de dezembro de 1901 Guglielmo Marconi faz a primeira transmissão de rádio através do Atlântico (mais de 2.500km). Sendo a Terra curva, como as ondas conseguiram chegar? Poincaré ataca esse problema em 1909, mesmo ano em que Marconi ganha o Prêmio Nobel. O seu trabalho invalida a tese da propagação por difração na Terra, dando força à ideia da propagação por reflexão no oceano e na ionosfera.

81 Transmissão de ondas Matemática Física Aplicações Filosofia Divulgação da Ciência Em 12 de dezembro de 1901 Guglielmo Marconi faz a primeira transmissão de rádio através do Atlântico (mais de 2.500km). Sendo a Terra curva, como as ondas conseguiram chegar? Poincaré ataca esse problema em 1909, mesmo ano em que Marconi ganha o Prêmio Nobel. O seu trabalho invalida a tese da propagação por difração na Terra, dando força à ideia da propagação por reflexão no oceano e na ionosfera.

82 EDPs da Física Matemática Matemática Física Aplicações Filosofia Divulgação da Ciência Poincaré dá muitas outras contribuições à teoria das EDPs: solução do problema de Dirichlet (método da varredura); existência da sequência de autovalores do laplaciano num domínio limitado de R 3 ; desigualdade de Poincaré.

83 Filosofia da Ciência Matemática Física Aplicações Filosofia Divulgação da Ciência Poincaré se interessa desde sempre pelas grandes questões da Epistemologia (natureza do conhecimento) da Ciência: Como conhecemos: pela experiência sensorial (empirismo) ou por meio da razão, pela via dedutiva (racionalismo)? O que conhecemos: os objetos (realismo) ou apenas uma representação mental dos mesmos (idealismo)? O pensamento de Poincaré, que é chamado de ocasionalismo pragmático e de intuicionismo matemático, combina de forma original os papéis da experiência, da razão e da linguagem na composição do conhecimento científico.

84 Filosofia da Ciência Matemática Física Aplicações Filosofia Divulgação da Ciência Poincaré se interessa desde sempre pelas grandes questões da Epistemologia (natureza do conhecimento) da Ciência: Como conhecemos: pela experiência sensorial (empirismo) ou por meio da razão, pela via dedutiva (racionalismo)? O que conhecemos: os objetos (realismo) ou apenas uma representação mental dos mesmos (idealismo)? O pensamento de Poincaré, que é chamado de ocasionalismo pragmático e de intuicionismo matemático, combina de forma original os papéis da experiência, da razão e da linguagem na composição do conhecimento científico.

85 Ocasionalismo pragmático Matemática Física Aplicações Filosofia Divulgação da Ciência Ele acredita que a experiência sensorial fornece à razão a ocasião para formular as hipóteses ( axiomas ) a partir das quais é construído o conhecimento. Tais convenções são obra da atividade livre do nosso espírito, o qual, neste domínio não aceita restrições. [...] Tais decretos serão, então, arbitrários? Não, pois nesse caso seriam estéreis. A experiência nos deixa livre escolha mas ela orienta essa escolha, nos ajudando a identificar o caminho mais cômodo. Os axiomas da Geometria não são dados a priori da razão, nem observações experimentais: eles são apenas hipóteses convenientes. A geometria euclideana não é nem mais nem menos verdadeira do que a geometria de Lobatchevsky.

86 Ocasionalismo pragmático Matemática Física Aplicações Filosofia Divulgação da Ciência Ele acredita que a experiência sensorial fornece à razão a ocasião para formular as hipóteses ( axiomas ) a partir das quais é construído o conhecimento. Tais convenções são obra da atividade livre do nosso espírito, o qual, neste domínio não aceita restrições. [...] Tais decretos serão, então, arbitrários? Não, pois nesse caso seriam estéreis. A experiência nos deixa livre escolha mas ela orienta essa escolha, nos ajudando a identificar o caminho mais cômodo. Os axiomas da Geometria não são dados a priori da razão, nem observações experimentais: eles são apenas hipóteses convenientes. A geometria euclideana não é nem mais nem menos verdadeira do que a geometria de Lobatchevsky.

87 Intuicionismo matemático Matemática Física Aplicações Filosofia Divulgação da Ciência Esta posição conduz Poincaré na direção do intuicionismo (que afirma que a Matemática, é apenas uma construção mental) e do idealismo: Quando enunciamos uma tal proposição, estamos escolhendo a linguagem na qual nos propomos falar do universo, não estamos fazendo nenhuma afirmação sobre o universo em si mesmo.... mas o que ela [a Ciência] pode alcançar não são as coisas em si mesmas, como pensam os dogmatistas ingênuos, são apenas as relações entre as coisas; para além dessas relações, não existe outra realidade que possa ser conhecida.

88 Intuicionismo matemático Matemática Física Aplicações Filosofia Divulgação da Ciência Esta posição conduz Poincaré na direção do intuicionismo (que afirma que a Matemática, é apenas uma construção mental) e do idealismo: Quando enunciamos uma tal proposição, estamos escolhendo a linguagem na qual nos propomos falar do universo, não estamos fazendo nenhuma afirmação sobre o universo em si mesmo.... mas o que ela [a Ciência] pode alcançar não são as coisas em si mesmas, como pensam os dogmatistas ingênuos, são apenas as relações entre as coisas; para além dessas relações, não existe outra realidade que possa ser conhecida.

89 Matemática Física Aplicações Filosofia Divulgação da Ciência Natureza do raciocínio matemático Se o raciocínio matemático é puramente dedutivo então toda a Matemática está contida nos axiomas? Senão, de onde vem o rigor da Matemática? Poincaré vê no método de indução matemática um ingrediente fundamental, que torna a Matemática fecunda sem com isso tirar nada do seu rigor. Temos a faculdade de conceber que é possível acrescentar um elemento a uma coleção [...] a partir disso sentimos que o nosso poder não tem limites e que poderíamos contar indefinidamente, embora nunca tenhamos contado senão números finitos de elementos.

90 Matemática Física Aplicações Filosofia Divulgação da Ciência Natureza do raciocínio matemático Se o raciocínio matemático é puramente dedutivo então toda a Matemática está contida nos axiomas? Senão, de onde vem o rigor da Matemática? Poincaré vê no método de indução matemática um ingrediente fundamental, que torna a Matemática fecunda sem com isso tirar nada do seu rigor. Temos a faculdade de conceber que é possível acrescentar um elemento a uma coleção [...] a partir disso sentimos que o nosso poder não tem limites e que poderíamos contar indefinidamente, embora nunca tenhamos contado senão números finitos de elementos.

91 Matemática Física Aplicações Filosofia Divulgação da Ciência Natureza do raciocínio matemático Não passará desapercebido que existe uma grande semelhança [da indução matemática] com os procedimentos habituais de indução. Mas há também uma diferença fundamental. A indução aplicada às ciências físicas é sempre incerta, porque ela se baseia na crença numa ordem geral do Universo, a qual é externa a nós. Pelo contrário, a indução matemática, ou seja, a demonstração por recorrência, se impõe necessariamente, porque ela não é mais que a afirmação de uma propriedade do próprio espírito.

92 Divulgação da Ciência Matemática Física Aplicações Filosofia Divulgação da Ciência Ainda em vida, Poincaré alcança status de celebridade como infatigável divulgador da Ciência junto da sociedade. São mais de 150 obras não técnicas, das quais muitas dirigidas ao grande público, incluindo: La science et l hypothèse (1902) La valeur de la science (1905) Science et méthode (1908) Ce que disent les choses (1911) (escrito para crianças do ensino primário) Dernières pensées (1913, publicação póstuma)

93 Visite Confira a magnífica série de artigos Assista o vídeo Visite