CÁLCULO III. 1 a Edição

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2 CÁLCULO III a Edição

3 SOMESB SOCIEDADE MANTENEDORA DE EDUCAÇÃO SUPERIOR DA BAHIA S/C LTDA. GERVÁSIO MENESES DE OLIVEIRA PRESIDENTE WILLIAM OLIVEIRA VICE-PRESIDENTE SAMUEL SOARES SUPERINTENDENTE ADMINISTRATIVO E FINANCEIRO GERMANO TABACOF SUPERINTENDENTE DE ENSINO, PESQUISA E EXTENSÃO PEDRO DALTRO GUSMÃO DA SILVA SUPERINTENDENTE DE DESENVOLVIMENTO E PLANEJAMENTO ACADÊMICO FTC-EAD FACULDADE DE TECNOLOGIA E CIÊNCIAS ENSINO A DISTÂNCIA REINALDO DE OLIVEIRA BORBA DIRETOR GERAL ROBERTO FREDERICO MERHY DIRETOR ACADÊMICO JEAN CARLO NERONE DIRETOR DE TECNOLOGIA ANDRÉ PORTNOI DIRETOR ADMINISTRATIVO E FINANCEIRO RONALDO COSTA GERENTE ACADÊMICO JANE FREIRE GERENTE DE ENSINO LUÍS CARLOS NOGUEIRA ABBEHUSEN GERENTE DE SUPORTE TECNOLÓGICO ROMULO AUGUSTO MERHY COORD. DE SOFTWARES E SISTEMAS OSMANE CHAVES COORD. DE TELECOMUNICAÇÕES E HARDWARE JOÃO JACOMEL COORD. DE PRODUÇÃO DE MATERIAL DIDÁTICO MATERIAL DIDÁTICO PRODUÇÃO ACADÊMICA JANE FREIRE GERENTE DE ENSINO ANA PAULA AMORIM SUPERVISÃO PRODUÇÃO TÉCNICA JOÃO JACOMEL COORDENAÇÃO CARLOS MAGNO BRITO ALMEIDA SANTOS REVISÃO DE TEXTO MAURÍCIO PORTO SILVA GECIARA DA SILVA CARVALHO JONES GARCIA DA MATA COORDENADOR DE CURSO REVISÃO DE CONTEÚDO FÁBIO SANTOS RODRIGUES ADRIANO PEDREIRA CATTAI PAULO HENRIQUE RIBEIRO DO NASCIMENTO PAULO HENRIQUE RIBEIRO DO NASCIMENTO AUTOR(A) EDIÇÃO EM L A T E X 2ε EQUIPE ALEXANDRE RIBEIRO, ANGÉLICA JORGE, CEFAS GOMES, CLAUDER FILHO, DELMARA BRITO, DIEGO DORIA ARAGÃO, FÁBIO GONÇALVES, FRANCISCO FRANÇA JÚNIOR, HERMÍNIO FILHO, ISRAEL DANTAS, LUCAS DO VALE, MARCIO SERAFIM, MARIUCHA PONTE, RUBERVAL FONSECA E TATIANA COUTINHO. Copyright c FTC-EAD Todos os direitos reservados e protegidos pela lei 9.60 de 9/02/98. É proibida a reprodução total ou parcial, por quaisquer meios, sem autorização prévia, por escrito, da FTC-EAD - Faculdade de Tecnologia e Ciências - Ensino a distância.

4 Sumário Bloco : Seqüências e Séries Numéricas 6 Tema : Seqüências Numéricas 6. Seqüências Numéricas Convergência de Seqüências Seqüências Limitadas Seqüências Monótonas Subseqüências Alguns Resultados Importantes Outras Seqüências Numéricas, Notáveis e Importantes para o Ensino Médio A Progressão Aritmética Propriedades de uma PA Fórmula do Termo Geral de Uma Progressão Aritmética Interpolação Aritmética Soma dos Finitos Termos de uma Progressão Aritmética Progressão Geométrica Fórmula do Termo Geral de uma Progressão Geométrica Interpolação Geométrica Soma dos Finitos Termos de uma PG Soma dos Infinitos Termos de uma PG Decrescente Tema 2: Séries Numéricas e de Funções Séries Numéricas e a Seqüência das Somas Parciais Convergência das Séries A Série Geométrica O Teste da Divergência O Teste da Comparação O Teste da Comparação por Limite O Teste da Integral As p-séries A Convergência de uma p-série Séries Absolutamente Convergentes O Teste da Raiz O Teste da Razão O Teste de Leibnitz e a Convergência das Séries Alternadas Série de Funções O Critério de Weierstrass Séries de Potências A convergência de uma Série de Potências Séries de Taylor Uma Pequena Biografia de Brook Taylor CÁLCULO III 3

5 Bloco 2: EDO e Aplicações 47 Tema 3: Equações Diferenciais Ordinárias de Primeira Ordem Introdução Equações Diferenciais Ordinárias a Variáveis Separáveis Equações Diferenciais Ordinárias Homogêneas Resolução de uma EDO Homogênea de Primeira Ordem Equações Diferenciais Exatas Método de Resolução para uma EDO Exata Fator Integrante Determinação do Fator Integrante Trajetórias Equações Diferenciais Ordinárias Lineares Método do Fator Integrante Um Pouco da História e da Filosofia Desenvolvida Paralelamente às EDO Tema 4: EDO de Segunda Ordem e algumas aplicações às diversas áreas Introdução Função de Duas Variáveis Dependência Linear de Funções EDO Homogênea com Coeficientes Variáveis EDO Homogênea com Coeficientes Constantes EDO Não-Homogênea com Coeficientes Variáveis Referências Bibliográficas 79 Atividade Orientada 5. Etapa Etapa Etapa FTC EaD LICENCIATURA EM MATEMÁTICA

6 APRESENTAÇÃO DA DISCIPLINA Caro aluno, Dois grandes aspectos serão tratados aqui. O estudo das séries e o das equações diferenciais ordinárias. Depois de termos já estudado uma boa parte das disciplinas vistas no seu curso de licenciatura, em especial a de Cálculo I e a de Cálculo II, temos condições, mais do que suficientes, de enveredarmos nesses tópicos. A ciência e o mundo moderno nada seriam sem os avanços teóricos no estudo das séries e das equações diferenciais os quais esta se fundamentou. Como exemplo, cito: as engenharias, a biologia, a química e a física. Tais aplicações serão aqui abordas. No tema, estudaremos as seqüências numéricas e a convergência, em especial as progressões aritméticas e geométricas, tão importantes no ensino médio. No tema 2, estudaremos as séries de potências e a de funções, chamando a atenção para o aspecto de maior relevância: a convergência destas. No tema 3, antes de apresentaremos as principais equações diferenciais ordinárias de primeira ordem e os métodos de resolução destas, veremos um dos principais resultados os quais se baseiam aqueles que utilizam a matemática aplicada: o teorema da existência e unicidade de soluções. Finalizando, as equações diferenciais ordinárias de segunda ordem, os processos de obtenção das suas soluções e algumas aplicações em áreas especificas da ciência. O estudo a distância é feito com base no estudante. Aqui o material apresenta a teoria de modo didático. Faça uma leitura de efeito, ou seja, com atenção e muita paciência, de modo que, todo conceito aqui escrito possa ser compreendido e assimilado. Agradecemos a ajuda de todos os professores que, exerceram, de algum modo, influência na construção desse material e, também, aos alunos leitores que nos ajudarão, continuamente, a aprimorá-lo. Desejamos uma boa leitura, e que Deus nos abençoe nesta caminhada. Prof. Fábio Santos Rodrigues. Prof. Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento.

7 BLOCO 0 Seqüências e Séries Numéricas TEMA 0 Seqüências Numéricas Apresentação Definiremos seqüências de números reais, e uma analogia entre o limite de uma função e a convergência de uma seqüência será feita. Além disso, alguns dos resultados obtidos para limites serão, também, tratados no estudo das seqüências. Por exemplo, a regra de L Hospital. Introdução Pensemos no seguinte problema: De posse de uma fórmula que calcula a área A n, n 3 de um polígono regular de n lados, inscrito numa circunferência de raio r, o que acontece com sua área, à medida que o número de lados crescem indefinidamente? O que você pode observar na figura a seguir? A 3 A 4 A 5 A 6 A 2 Observa-se que, à medida que aumentamos o valor de n, fica evidente que a área A n do polígono inscrito ficará cada vez mais próxima da área do círculo, ou seja, como n representa o número de lados do polígono, A 3, A 4, A 5, A 6,..., representam uma sucessão de valores que tendem ao valor da área do círculo A 0. Duas idéias, aqui, foram apresentadas: a de sucessão de infinitos valores e a de aproximação destes valores de um outro. Vamos entender algebricamente, como o processo de aproximação funciona. Porém, antes, formalizemos o nosso objeto de estudo.. Seqüências Numéricas Uma seqüência numérica é, informalmente, uma sucessão infinita de números chamados termos. Entendese que os termos têm uma ordem definida. Portanto, o primeiro termo pode ser representado por a ; o segundo por a 2, e assim por diante. As reticências (... ) serão usadas para indicar que a seqüência possui quantidade indefinida de termos. Veja, a seguir, esta definição escrita de maneira formal.. Definição. Uma seqüência numérica real é uma função que associa um número natural n a um número real a n. Em símbolos: a : N R n a n 6 FTC EaD LICENCIATURA EM MATEMÁTICA

8 Utilizaremos, para representar uma seqüência numérica a, a notação (a n ) n=, ou, simplesmente, (a n), em que o número n é chamado de índice da seqüência, e a n o n-ésimo termo ou termo geral. Exemplo.. A seqüência dos números. pares: (a n ) = (2n 2) = (0, 2, 4,..., 2n,...); 2. ímpares: (a n ) = (2n ) = (, 3, 5,...,2n,...); 3. primos: (a n ) = (2, 3, 5, 7,, 3, 7, 9, 23, 29, 3, 37,...); 4. naturais: (a n ) = (n), n N; 5. inversos dos naturais: (a n ) = n =, 2, 3,... ; 6. (a n ) = ( ) n+ 3, =,... 5, 2, 4,.. 7. (a n ) = nn n + = 2, 2 3, 3 4, 4 5,.. 8. (a n ) = ( + ( ) n ) = (0, 2, 0, 2, 0, 2,...) 9. (a n ) = 2 n 2, n! = 2, 4 3, 2 3, 4 5,.. Nota. Com os exemplos vistos anteriormente, podemos observar que:. Dada uma seqüência, nem sempre podemos determiná-la por uma lei de formação (veja o exemplo da seqüência dos números primos), ou seja, nem sempre podemos determinar o termo geral; 2. Existem seqüências que, a partir de um certo elemento, os demais se aproximam de um determinado número real, à medida que os valores de n crescem. É o caso da seqüência (a n ) = n, onde, à medida que os valores de n crescem, os valores de a n se aproximam do valor 0..2 Convergência de Seqüências Lembra-se da idéia de que os valores das áreas dos polígonos inscritos numa circunferência se aproximam da área do círculo, à medida que os valores de n crescem? E da seqüência (a n ) = n, cujos valores de a n se aproximam do valor 0? Vemos, nestes exemplos, que as seqüências possuem termos que se aproximam de um determinado valor. Como verificar se uma outra seqüência (a n ) qualquer possuem termos que se aproximam de um valor a 0? Os casos exemplificados motivam a formalizar a idéia de seqüência convergente..2 Definição. Seja (a n ) uma seqüência numérica. Dizemos que (a n ) converge para um número real L quando, dado ǫ > 0, existe n 0 N tal que n n 0 = a n L < ǫ. Notação: a n L ou lim n a n = L. Nota 2. A proximidade entre dois números reais, no conceito de convergência aqui inserido, é dado pelo módulo da diferença entre eles, isto é: a, b R; d(a, b) = b a. CÁLCULO III 7

9 A idéia, portanto, de uma seqüência convergente é que, partindo-se de um certo índice n 0, os termos a n estão bem próximos de uma determinada constante a. Nota 3. É importante observar que, dado ǫ > 0, o índice n 0 será determinado a partir dele, ou seja, o índice será interpretado como uma função de ǫ. ER.. Prove que n n +. Solução: Dado ǫ > 0, teremos que a n < ǫ n n + = n + <ǫ n + < ǫ n > ǫ. Assim, dado ǫ > 0, existe n 0 > ǫ tal que n n 0 a n < ǫ. Para, realmente, vermos que n 0 depende de ǫ, vamos tomar valores para este último e observar como ficará o índice. Por exemplo, tome ǫ = 0 e teremos que n 0 = 9, enquanto que para ǫ = teremos que 00 n 0 = Seqüências Limitadas Um dos principais resultados da teoria de seqüências será abordado nesta seção. Porém, necessitaremos, antes, da definição de seqüência limitada..3 Definição. Uma seqüência (a n ) é limitada quando existe um número real M > 0 tal que a n M, para todo n inteiro positivo. Em outras palavras, o conjunto dos termos da seqüência é um conjunto limitado se existe um valor M tal que todos os seus elementos estão no intervalo [ M, M]. Podemos, ainda, dizer que uma seqüência é limitada quando existem números reais A e B, tais que A a n B, para n inteiro positivo. O número A é chamado de limite inferior, caso ele seja o maior número tal que A < a n, para todo n; e B é chamado de limite superior, caso ele seja o menor número tal que a n < B, n. Exemplo.2. A seqüência (a n ) = n =, 2, 3, 4, 5,... élimitada. De fato, se fizermos M =, observa-se, claramente, que os seus termos estarão sempre no intervalo [, ] Podemos observar, neste exemplo, através da figura, que os seus limites inferior e superior são, respectivamente, os números 0 e. O resultado a seguir é um dos grandes para o estudo da convergência de seqüências. Ele é bastante utilizado nas demonstrações de outros teoremas consagrados..4 Proposição. Toda seqüência convergente é limitada. Prova: Seja (a n ) uma seqüência tal que a n L. Assim, pela própria definição, dado ǫ > 0, n 0 N tal que n n 0 a n L < ǫ L ǫ < a n < L + ǫ. 8 FTC EaD LICENCIATURA EM MATEMÁTICA

10 Tome A = {a,..., a n0, L ǫ, L + ǫ} e considere α = mina, α 2 = maxa. Logo, α a n α 2. Portanto, a seqüência é limitada. Uma das aplicações da proposição.4 é o fato de que seqüências ilimitadas não podem ser convergentes. Por exemplo, a seqüência (a n ) = (n), n N. Nota 4. A recíproca do lema.4 não é verdadeira. Para verificar este fato, basta considerarmos a seqüência alternada (0,, 0,, 0,, 0,,...), a qual é divergente e limitada. Porém, temos um resultado que garante a convergência de um determinado tipo de seqüência limitada. Para isto, definiremos que é uma seqüência monótona. Propriedades Sejam (a n ) e (b n ) seqüências numéricas, tais que a n L e b n L 2. Então:. a n + b n L + L 2 ; 2. ca n cl, c R; 3. a n b n L L 2 ; 4. Se L 2 0 teremos que a n b n L L 2 ; 5. a n L ; 6. Se f é uma função contínua real, então f (a n ) f (L ). Prova: () Como a n L e b n L 2, temos que ǫ > 0, n, n 2 N, tais que: n n, n n 2 a n L < ǫ 2 e b n L 2 < ǫ 2. Tome n 0 = max{n, n 2 } e, claramente, obtemos: Portanto, a n + b n L + L 2. (2) Deixamos a cargo do leitor. n n 0 (a n + b n ) (L + L 2 ) = (a n + L ) + (b n L 2 ) < a n L + b n L 2 < ǫ 2 + ǫ 2 = ǫ. (3) Como (b n ) é uma seqüência convergente, temos que ela é limitada, e, desta maneira, existe um número real M > 0 tal que b n M, n N. Como a n L e b n L 2, temos que ǫ > 0, n, n 2 N, tais que n n, n n 2 a n L < ǫ (M + L ) e b ǫ n L 2 < (M + L ). Tome n 0 = max{n, n 2 }. Daí, a n b n L L 2 = a n b n b n L +b n L L L 2 = (a n L )b n +(b n L 2 )L < ǫ a n L b n + b n L 2 L < (M + L ) M + ǫ (M + L ) L = ǫ. (4) Deixamos a cargo do leitor. CÁLCULO III 9

11 (5) Basta observar que x y x y. (6) Seja ǫ > 0. Como f é contínua, segue, por definição, que para cada a R, existe δ > 0 tal que x a < δ f (x) f (a) < ǫ. Por outro lado, como a n L, temos que existe n 0 tal que n n 0 a n L < δ. Dos fatos supracitados, concluímos que n 0 tal que n n 0 a n L < δ f (a n ) f (L ) < ǫ..4 Seqüências Monótonas Façamos uma pequena observação antes de falarmos sobre a monotonicidade das seqüências numéricas. Nota 5. Dada uma seqüência numérica (a n ) temos que: o termo sucessor ao termo. geral a n é o termo a n+ ; o termo antecessor ao termo geral a n é o termo a n.. Observe, aqui, as relações existentes entre sub-índices dos termos! Agora, observe o comportamento das seqüências: (a) n = 0, 2, 2 3, 3 4, 4 5,.. (b) n 2 =, 4, 9, 6,.. (c) (,,,,,...) Na primeira destas, dizemos que a seqüência é crescente ou estritamente crescente, pois podemos observar que os seus termos estão cada vez maiores: Confira, isto, utilizando uma máquina, caso necessário! 2 > 0, 2 3 > 2, 3 4 > 2 3, 4 5 > Em outras palavras, uma seqüência é crescente quando qualquer termo selecionado é menor que o seu sucessor. Simbolicamente, temos a n < a n+. Na segunda, dizemos que a seqüência é decrescente ou estritamente decrescente, pois observamos que os seus termos estão cada vez menores, à medida que os termos avançam. De fato, os denominadores das respectivas frações aumentam. Sendo assim, 4 <, 9 < 4, 6 < 9,.... Se necessário, utilize uma máquina para verificar essas desigualdades! Em outras palavras, uma seqüência é decrescente quando qualquer termo selecionado é maior que o seu sucessor. Simbolicamente, temos a n > a n+. Já na terceira, os termos da seqüência são sempre os mesmos e a chamamos de seqüência constante. Simbolicamente, podemos escrever a n = a n+. é: Outros comportamentos são constatados para os termos de uma seqüência. Dizemos que uma seqüência não-decrescente: se seus termos crescem ou permanecem constantes; não-crescente: se seus termos decrescem ou permanecem constantes. 0 FTC EaD LICENCIATURA EM MATEMÁTICA

12 Nota 6. O conjunto das seqüências: crescentes está contido no conjunto das não-decrescentes; decrescentes está contido no conjunto das não-crescentes; constantes está contido tanto no conjunto das não-decrescentes quanto das não-crescentes. Já temos, agora, condições de entender o conceito de seqüência monótona..5 Definição. Dizemos que uma seqüência é monótona quando ela é não-crescente ou não-decrescente. Simbolicamente, (a n ) é monótona quando a n a n+ ou a n a n+. Exemplo.3. As seqüências (a n ) = (n), n N e (a n ) = n =, 2, 3,... são exemplos de monótonas. Nota 7. As seqüências não monótonas são chamadas oscilantes. Em outras palavras, são aquelas que não apresentam comportamento somente não-crescente, não-decrescente ou constante. Exemplo.4. A seqüência (a n ) = (( ) n n), n N, é um exemplo de oscilante. Nota 8. Numa seqüência crescente, o primeiro termo é o seu limite inferior, enquanto que, numa seqüência decrescente, ele será o limite superior. Outro importante resultado é visto a seguir, onde, a condição da seqüência ser monótona e limitada é suficiente, mas não necessária, para ser convergente..6 Proposição. Toda seqüência monótona e limitada é convergente. Prova: Seja (a n ) uma seqüência crescente e limitada. Assim, a seqüência (a n ) possui um supremo S e, conseqüentemente, teremos que: (i) a n S, para todo n. (ii) ǫ > 0, n 0 ; S ǫ a n0. Como a seqüência é crescente temos que n n 0 S ǫ a n S < S + ǫ a n S < ǫ. Portanto, a n S. Nota 9. Uma seqüência convergente pode não ser monótona. Um exemplo interessante é a seqüência (a n ) = ( ) n+ n. Nota 0. Uma seqüência monótona pode ser divergente, por exemplo (a n ) = (n!). Nota. Uma seqüência limitada pode ser divergente. Por exemplo, (a n ) = ( ) n, pois, claramente, os pontos dela estão alternando, o que impede que a seqüência tenha um limite..5 Subseqüências Depois de definirmos o que é uma subseqüência, faremos analogias a dois teoremas vistos para o limite de funções e fecharemos com mais alguns critérios de convergência. CÁLCULO III

13 .7 Definição. Seja S = {n 0, n,..., n k,...}, k N e (a n ) uma seqüência. Uma subseqüência de (a n ) é uma seqüência dada por (a nk ). Notação: (a nk ). Uma subseqüência é, portanto, uma nova seqüência que provem de outra pela eliminação, de maneira ordenada, de alguns termos desta. Exemplo.5. As seqüências (a n ) = (2n 2) = (0, 2, 4,..., 2n,...) e (a n ) = (2n ) = (, 3, 5,..., 2n,...) são exemplos de subseqüências da seqüência (a n ) = (n)..8 Proposição. Se a n L, então a nk L. Prova: Como a n L temos que ǫ > 0, existe n 0 tal que n n 0 a n L < ǫ. Observemos que n k k e, portanto, k n 0 a nk L < ǫ. Nota 2. Uma importante conseqüência deste lema é que o limite de uma seqüência é único. Além disso, quando uma seqüência admite duas subseqüências convergindo para pontos distintos teremos que essa seqüência é divergente. +, n {2, 4, 6,...} n n. Observe que as, n {, 3, 5,...} n + subseqüências n para e, além disso, (a n ) converge, também, para. n e n n convergem Exemplo.6. Considere a seqüência (a n ) tal que a n = n.6 Alguns Resultados Importantes.9 Proposição. Sejam (a n ) e (b n ) seqüências tais que a n 0 e (b n ) é limitada. Então, a n b n 0. Exemplo.7. A seqüência n cos(n2 + ) converge para 0, pois cos(n 2 + ) e n 0. Como uma seqüência é um tipo especial de função, é natural questionar a sua diferenciabilidade. Dessa forma, vamos considerar que existe uma função f tal que f (n) = a n e segue, imediatamente, que lim f (x) = L a n L. x.0 Proposição. Sejam (a n ) e (b n ) seqüências tais que a n = f (n) e b n = g(n), com f e g funções deriváveis, tais que a n ou 0, b n ou 0, e (a n) (b n ) L. Então, a n L. b n Nota 3. O lema anterior é uma versão da regra de L Hospital para seqüências. Exemplo.8. Considere a seqüência n Como n ln(n). =, [ln(n)] = n e n n ln(n). = n, temos que Uma versão para seqüências do Teorema do Confronto é feita pelo teorema a seguir:. Teorema. Sejam (a n ), (b n ) e (c n ) seqüências tais que a n c n b n. Se a n, b n L, então c n L. 2 FTC EaD LICENCIATURA EM MATEMÁTICA

14 Um Fato Bastante Interessante! n 2 Um das maneiras de definir o número de Euler (e) é através de seqüências. Por isso, vemos que a seqüência a n = + n n é convergente pelo lema.2 e definimos que esse limite é, justamente, o número e. De fato, ln + n Logo, lim ln + = lim n n n n ln + lim n n = n n lim + n n n = e = lim n + n n 2 = O próximo resultado pode ser interpretado como sendo a média aritmética de uma seqüência que converge para o mesmo limite da seqüência analisada..2 Teorema. Se a seqüência (a n ) converge para L, então a + a a n n L. Prova: Como lim n a n = L temos, pela definição, que para qualquer ǫ > 0, existe n 0 tal que n n 0 a n L < ǫ 2. Logo, an an < n ǫ ǫ 2 n = n n 0 n ǫ 2 < ǫ 2. Por outro lado, a,...,a n0 é uma quantidade finita de números reais e, segue, imediatamente, que a a n a n0 lim = 0. Assim, existe n tal que n n a < ǫ n n n a n Tomemos n 2 = max{n 0, n }. Segue que a = a a n0 n n a a n0 n + a n a n < ǫ n 2 + ǫ 2 = ǫ. Portanto, b n = a + a a n L. n ER.2. Prove que n n. + a n a n < n Solução: Observemos que lim n a n = lim n n n = que se trata de uma indeterminação. Então, vamos procurar uma função contínua e aplicar a propriedade 6, com o objetivo de abaixar o expoente n. Sendo assim, o leitor perceberá que a função que se encaixa melhor é a logarítmica natural. Seja f (x) = ln(x) e segue que lim ln(a n) = ln lim a n. Logo,. n n lim ln n ln(n) n = lim = lim n n n n n = 0. Contudo, a função logarítmica natural é bijetora, ou seja, lim ln(a n) = 0 = ln lim a n lim a n =. n n n ER.3. Estude o comportamento das seqüências abaixo: (a) (a n 3 2 ) =, 2, 3, 4, 5, 6,.. (b) (a n ) = 3n 3 + 2n 3 + Solução: (a) A seqüência admite uma subseqüência convergindo para zero, porém, existe uma outra subseqüência divergente. Portanto, (a n ) é divergente. lim + n 3 n 3n 3 + (b) lim n 2n 3 + = lim n n n 3 n n 3 = lim + n 2 3 = n 3 2. CÁLCULO III 3

15 ER.4. Mostre queõ = 3. Solução: A idéia, aqui, é a de construir uma seqüência para depois verificar a sua convergência. Tomemos a 0 = 6 e a n = 6 + a n. Vamos supor que a n L e, logo, a n L por se tratar de uma subseqüência. Assim, L = lim n a n = lim n 6 + a n =Õlim n (6 + a n ) = 6 + L. Segue que, L 2 = 6+L L = 3 ou L = 2. Como a n é uma seqüência de termos positivos teremos que L = 3. Exercícios Propostos EP.5. Estude a convergência das seqüências abaixo: (a) (a n ) = n(n ) (b) (a n ) = n + 3n (c) (a n ) = 3 + 5n2 n + n 2 n (d) (a n ) = + n (e) (a n ) = 2n (f) (a n ) = 3 n+ n + n (g) (a n ) = 2 + cos(nπ) (h) (2, 7, 2, 7,...) EP.6. Determine se as seqüências dadas são crescentes ou decrescentes. (a) (a n ) = 5 n ; (b) (a n ) = 2n + 3 ; (c) (a n ) = 2n 3 3n + 4. EP.7. Considere a seqüência (a n ) tal que a n L. Mostre que: c n = n a a 2... a n L. EP.8. Calcule o limite da seqüência: 3, 3 3,Õ3 3 3, Outras Seqüências Numéricas, Notáveis e Importantes para o Ensino Médio.7. A Progressão Aritmética Consideremos a seqüência (2, 4, 6, 8, 0, 2, 4,...). Observamos que, a partir do segundo termo, a diferença entre qualquer termo e seu antecessor é sempre a mesma: 4 2 = 6 4 = 0 8 = 4 2 = 6 4 = 2. Seqüências como esta são denominadas progressões aritméticas (PA). A diferença constante é chamada de razão da progressão e costuma ser representada por r. Na P.A. dada, temos r = 2. Podemos, então, dizer que: 4 FTC EaD LICENCIATURA EM MATEMÁTICA

16 .3 Definição. Uma progressão aritmética é uma seqüência numérica (a n ) em que cada termo, a partir do segundo, é igual à soma do termo anterior com uma constante r, ou seja, a n = a n +r. O número r é chamado de razão da progressão aritmética. Vejamos alguns exemplos de progressões aritméticas: Exemplo.9. (5, 9, 3, 7, 2, 25,...) é uma PA em que a = 5, r = 4 e a n = a + (n ) r; Progressão Aritmética Crescente Uma progressão aritmética crescente é toda progressão aritmética em que cada termo, a partir do segundo, é maior que o termo que o antecede, sendo que, para isso, a razão r tem que ser sempre positiva e diferente de zero. Exemplo.0. São progressões aritméticas crescentes: (2, 4, 6, 8, 0, 2, 4,...) - razão r = 2; (3, 6, 9, 2, 5, 8, 2,...) - razão r = 3; Progressão Aritmética Decrescente Uma progressão aritmética decrescente é toda progressão aritmética em que cada termo, a partir do segundo, é menor que o termo que o antecede, sendo que para isso a razão r tem que ser sempre negativa e diferente de zero. Exemplo.. São progressões aritméticas decrescentes: (8, 6, 4, 2, 0, 2, 4, 6, 8,...) - razão r = 2; (9, 6, 3, 0, 3, 6, 9, 2,...) - razão r = 3; Progressão Aritmética Constante Uma progressão aritmética constante é toda progressão aritmética em que todos os termos são iguais, sendo que, para isso, a razão r tem que ser sempre igual a zero. Exemplo.2. São progressões aritméticas constantes: (,,,,,,...) - razão r = 0; (0, 0, 0, 0, 0, 0,...) - razão r = 0; Resumindo, podemos constatar que uma progressão aritmética é CÁLCULO III 5

17 crescente, se r > 0; decrescente, se r < 0; constante, se r = Propriedades de uma PA.4 Proposição. Numa PA, qualquer termo, a partir do segundo, é a média aritmética do seu antecessor e do seu sucessor. Exemplo.3. Consideremos a PA (4, 8, 2, 6, 20, 24, 28) e escolhamos três termos consecutivos quaisquer. Por exemplo: 8, 2 e 6 ou 20, 24 e 28. Observe que o termo médio é sempre a média aritmética dos outros dois termos. De fato, = 2 e Proposição. Ao selecionarmos uma quantidade ímpar e sucessiva de termos de uma PA, o termo do = 24. meio (médio) é a média aritmética do primeiro termo e do último termo. Exemplo.4. Consideremos os termos (3, 6, 9, 2, 5, 8, 2) de uma PA, observamos que o termo médio é 2 e que 2 = Proposição. Ao selecionarmos uma determinada quantidade sucessiva de termos de uma PA, a soma de dois termos eqüidistantes dos extremos desta seleção é igual à soma dos extremos. Exemplo.5. Consideremos os termos (3, 7,, 5, 9, 23, 27, 3) de uma PA e observe que: são os 7 e 3 e 23 5 e 9 termos eqüidistantes dos extremos 3 e 3 e, ainda, que = = = Fórmula do Termo Geral de Uma Progressão Aritmética.7 Proposição. A fórmula do termo geral de uma progressão aritmética é expressa por: a n = a + (n ) r. Prova: Sabemos que o valor de qualquer termo é igual ao anterior mais a constante, ou seja, a n = a n + r, n 2. 6 FTC EaD LICENCIATURA EM MATEMÁTICA

18 Sendo assim, a 2 a 3 a 4 a n = a + r = a 2 + r = (a + r) + r = a + 2 r = a 3 + r = (a + 2 r) + r = a + 3 r. = a + (n ) r ER.9. Determine o trigésimo quarto termo da PA (3, 9, 5,...) Solução: Temos que a = 3 e a 2 = 9. Logo, r = a 2 a = 9 3 = 6. Portanto, a 34 = a + 33 r = = 20. ER.0. Determine o décimo oitavo termo da PA, na qual a 3 = 8 e r = 2. Solução: Temos que a n = a k + (n k) r. Portanto, a 8 = a 3 + (8 3) ( 2) = ( 2) = 22. Interpolação Aritmética É a ação de inserir ou interpolar uma quantidade de meios aritméticos entre extremos de uma progressão aritmética. A fórmula utilizada é: a n = a k + (n k) r. ER.. Interpole 3 meios aritméticos entre 2 e 8. Solução: Devemos formar (2,,,, 8), em que: a = 2, a 5 = 8. Para interpolarmos os três termos, devemos determinar primeiramente a razão da PA. Como a n = a k + (n k) r, podemos escrever: r = a n a k n k Assim, temos que r = = 4. Logo, temos (2, 6, 0, 4, 8).7.4 Soma dos Finitos Termos de uma Progressão Aritmética.8 Proposição. A soma dos n primeiros termos de uma progressão aritmética é calculada pela seguinte fórmula: e a soma dos termos entre a p e a q é: S n = n 2 (a + a n ) S (p,q) = (q p + ) (a p + a q ) 2 CÁLCULO III 7

19 Prova: Temos que S n = a + (a + r) + (a + 2r) (a + (n 2)r) + (a + (n )r) S n = (a n (n )r) + (a n (n 2)r) (a n 2r) + (a n r) + a n Adicionando-se estas equações, ficamos com: 2S n = n(a + a n ) Dividindo-se ambos os membros por 2 Como a n = a k + (n k) r, temos: S n = n 2 (a + a n ). a p = a + (p ) r a q = a n + (q n) r Segue que a p + a q = a + a n + (p + q n ) r. Para p + q = n +, temos que a p + a q = a + a n. Portanto, n 2 (a + a n ) = p + q (a p + a q ) = S (p,q). 2 Observe, aqui, que é utilizada uma propriedade das progressões aritméticas: a soma dos termos dos extremos é igual à soma dos termos eqüidistantes deles. ER.2. Calcule a soma dos 50 primeiros termos da PA (2, 6, 0,...). Solução: Em primeiro lugar, devemos sempre identificar qual é o primeiro termo da PA, que no exemplo em questão é a = 2 a razão é obtida pela diferença r = a 2 a = 6 2 = 4. Para encontrar a soma devemos determinar o a 50 ). Assim, a 50 = a + 49 r = = = 98. Aplicando a fórmula da soma dos elementos de uma PA, temos: S 50 = (a + a 50 ) 50 2 Logo, a soma dos 50 primeiros números é = (2 + 98) 50 2 = = ER.3. Um ciclista percorre 20km na primeira hora; 7km na segunda hora, e, assim por diante, em progressão aritmética. Quantos quilômetros percorrerá em 5 horas? Solução: Neste exemplo, a progressão aritmética é (20, 7, 4,...) e, desta forma, o primeiro elemento é a = 20. Subtraindo elementos consecutivos, encontramos a razão da PA, que, neste caso, é: r = a 2 a = 7 20 = 3 Para podemos achar quantos quilômetros ele percorrerá em 5 horas, devemos somar os 5 primeiros termos da PA e, para isto, precisamos do elemento a 5. Dessa forma: Aplicando a fórmula S n = (a + a n ) n 2 Logo, ele percorreu em 5 horas 70km. a 5 = a + 4r = ( 3) = 20 2 = 8 5 = (20 + 8) = 4 5 = 70, concluímos que o valor procurado é 70km. 2 8 FTC EaD LICENCIATURA EM MATEMÁTICA

20 .7.5 Progressão Geométrica Veja a sucessão de números abaixo: (5, 0, 20, 40, 80, 60, 320,...) Observe que cada número é o dobro do número que vem antes. Veja: 0 é o dobro de 5 20 é o dobro de 0 40 é o dobro de é o dobro de é o dobro de 80.. Se pegarmos qualquer um dos números desta sucessão e dividi-lo pelo número que o antecede, obteremos sempre o mesmo quociente. O que podemos dizer a respeito da afirmação? (a) Nada se pode dizer a respeito. (b) Trata-se de uma Progressão Aritmética. (c) É falsa. (d) É verdadeira. Claro que a resposta é a opção (d). Uma progressão geométrica (PG) é uma seqüência numérica (a n ) em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao produto do termo anterior por uma constante q. O número q é chamado de razão da progressão geométrica. Portanto, a razão de uma PG é obtida pelo quociente entre um de seus termos por seu antecessor, ou seja, a 2 a = a 3 a 2 = a 4 a 3 =... = a n a n =... = q. nula. Quanto ao aspecto de monotonia, uma PG pode ser: oscilante, crescente, decrescente, constante e quase Progressão Geométrica Crescente Uma progressão geométrica crescente é toda progressão geométrica em que cada termo, a partir do segundo, é maior que o termo que o antecede, sendo que, para isso, a razão q tem que ser sempre positiva e diferente de zero. Exemplo.6. São progressões geométricas crescentes: (, 2, 4, 8, 6, 32, 64, 28, 256, 52, 024, 2048, 4096,...) - razão q = 2; (2, 6, 8, 54, 62, 486, 458, 4374, 322,...) - razão q = 3; (5, 25, 25, 625,...) - razão q = 5. CÁLCULO III 9

21 Progressão Geométrica Decrescente Uma progressão geométrica decrescente é toda progressão geométrica em que cada termo, a partir do segundo, é menor que o termo que o antecede, sendo que, para isso, a razão q tem que ser sempre positiva e diferente de zero. Exemplo.7. São progressões geométricas decrescentes: (, 2, 4, 8, 6, 32, 64, 28, 256, 52, 024, 2048, 4096,...) - razão q = 2; (8, 4, 2,, /2, /4, /8,/6,/32, /64, /28,...) - razão q = 2 ; ( 2, 4, 8, 6,...) - razão q = 2. Progressão Geométrica Constante Uma progressão geométrica constante é toda progressão geométrica em que todos os termos são iguais, sendo que para isso a razão q tem que, caso a diferente de 0 (zero), ser sempre ou 0. Exemplo.8. São progressões geométricas constantes: (,,,,,,,,,...) - razão q = ; (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,...) - razão q nula ou indeterminada (3, 3, 3, 3,...) - razão q =. Progressão Geométrica Oscilante Uma progressão geométrica oscilante (ou alternante) é toda progressão geométrica em que todos os termos são diferentes de zero e dois termos consecutivos têm sempre sinais opostos, sendo que, para isso, a razão q tem que ser sempre negativa e diferente de zero. Exemplo.9. São progressões geométricas oscilantes: (3, 6, 2, 24, 48, 96, 92, 384, 768,...) - razão q = 2; (,,,,,,,,,,,,...) - razão q =. Resumindo, podemos constatar que uma progressão aritmética é crescente, se para todo n > : q > e a n < a n+. decrescente, se para todo n > : 0 < q < e a n > a n+. constante, se para todo n > : q = e a n = a n+. alternada, se para todo n > : q < FTC EaD LICENCIATURA EM MATEMÁTICA

22 .7.6 Fórmula do Termo Geral de uma Progressão Geométrica E se quiséssemos obter o oitavo termo da PG (5, 0, 20, 40, 80, 60, 320,...)? Certamente, faríamos = 640. Mas como faríamos se tivéssemos que calcular o termo a 2? Teríamos que multiplicar por 2 o termo 640 e o resultado deste produto, multiplicaríamos, novamente, por dois, num processo recursivo que só cessaria quando chegássemos a a 2 0 2? Certamente não, isso é muito trabalhoso e deve existir algo mais simples. Vejamos: a 2 = a q a 3 = a 2 q = a q q = a q 2 a 4 = a 3 q = a q 2 q = a q 3. a n = a n q = a q n 2 q = a q n Sendo assim, a fórmula do termo geral de uma progressão geométrica (a n ) é expressa por: a n = a q n, onde a é o primeiro termo; q é a razão, e n é o número de termos. De modo geral, o n-ésimo termo pode ser calculado a partir do m-ésimo termo, simplesmente, por: a n = a m q n m. Voltando ao problema de calcular o termo a 2 da PG (5, 0, 20, 40, 80, 60, 320,...). Veja que ele reduziu-se à utilização de uma simples fórmula. De fato, a 2 = a q 20 = Nota 4. A semelhança entre as progressões aritméticas e as geométricas é, aparentemente, grande. Porém, encontramos a primeira diferença substancial no momento de sua definição. Enquanto as progressões aritméticas formam-se adicionando-se uma mesma quantidade de forma repetida; nas progressões geométricas, os termos são gerados pela multiplicação, também repetida, por um mesmo número. As diferenças não param aí. A velocidade com que as progressões crescem ou diminuem é conseqüência direta do valor absoluto das suas razões..7.7 Interpolação Geométrica Interpolar n 2 meios geométricos entre dois números dados a e a n, significa obter uma PG com n termos de uma PG, cujos extremos são a e a n, sendo que a é o primeiro termo da PG e a n é o n-ésimo termo da PG. Para realizar a interpolação geométrica, basta determinar a razão da PG. ER.4. Interpolar cinco meios geométricos entre 3 e 92. Solução: Basta fazermos a = 3, a n = 48. Como são 5 meios geométricos, temos que n = 7 e, para obter a razão da PG, temos que a 7 = a q 6. Logo, 92 = 3q 4. Segue que q 6 = 64. Assim, q = 2. Temos, então, que os 7 termos da PG são: (3, 6, 2, 24, 48, 96, 92). CÁLCULO III 2

23 .7.8 Soma dos Finitos Termos de uma PG.9 Proposição. A soma dos n primeiros termos de uma PG (a n ) é dada por: S n = a (q n ). q Prova: Seja S n = a + a 2 + a a n. Assim, S n = a + a 2 + a a n = a + a q + a q a q n Multiplicando-se esta última equação por q, temos: q S n = a q + a q 2 + a q a q n Segue que, q S n S n = (a q + a q 2 + a q a q n ) (a + a q + a q a q n ) (q ) S n = a (q n ) S n = a (qn ) q ER.5. Calcule a soma dos 2 primeiros termos da PG (, 2, 4, 8,...). Solução: Observe que neste caso que a = e a razão é q = 2 = 2. Portanto, S 2 = a (q2 ) (q ) = (22 ) 2 = = Soma dos Infinitos Termos de uma PG Decrescente.20 Proposição. Se uma PG possui razão < q <, a soma de seus infinitos termos é dada por: S = a q. ER.6. Resolva a equação: x + x 2 + x 4 + x 8 + x = 00. Solução: Observe que o primeiro membro da equação é uma PG, onde a = x e q = 2. Logo, x 2 = 00 Dessa equação, encontramos x = 50. Exercícios Propostos EP.7. A soma dos infinitos termos da PG x 2, x2 4, x3 8,... éigual a. Qual o valor de x? 0 22 FTC EaD LICENCIATURA EM MATEMÁTICA

24 EP.8. Determine o valor de n de modo a tornar a seqüência (2+3n; 5n; 4n) uma progressão aritmética. EP.9. As medidas dos lados de um triângulo retângulo estão em PA de razão 3. Calcule essas medidas. EP.20. Determine a condição para que três números a, b e c estejam, simultaneamente, em progressão aritmética e em progressão geométrica. EP.2. Determine a soma dos elementos da seqüência numérica infinita (3; 0, 9; 0, 09; 0, 009;...). EP.22. Uma progressão aritmética e uma progressão geométrica têm, ambas, o primeiro termo igual a 4, sendo que os seus terceiros termos são estritamente positivos e coincidem. Sabe-se ainda que o segundo termo da progressão aritmética excede o segundo termo da progressão geométrica em 2. Então, determine o terceiro termo das progressões. EP.23. A soma dos vinte primeiros termos de uma progressão aritmética é 5. Determine a soma do sexto termo dessa PA, com o décimo quinto termo. EP.24. Um operador de máquina chegou 30 minutos atrasado no seu posto de trabalho, mas como a máquina que ele monitora é automática, começou a trabalhar na hora programada. (a) Sabendo-se que a máquina produz 0 n peças por minuto, em que n é o números de minutos, quantas peças a máquina produziu até a chegada do operador? (b) Sabendo-se que depois de uma hora, a máquina produz a mesma quantidade de peças, quantas peças terá feito a máquina ao final do expediente de quatro horas? EP.25. Determine o sexto termo de uma PG, na qual dois meios geométricos estão inseridos entre 3 e 24, tomados nessa ordem. EP.26. Os termos da seqüência (0, 8,, 9, 2, 0, 3,...) obedecem a uma lei de formação. Se a n, em que n pertence a N, é o termo de ordem n dessa seqüência. Determine a 30 + a 55. EP.27. Sendo S n a soma dos termos de uma PA de razão 4, em que a = 6, determine n tal que S n é igual a.456. EP.28. Seja S a soma dos números inteiros positivos menores que 00 e que não são divisíveis por 9. Determine o valor de 396 S. Gabarito.5 (a) Diverge; (b) ; (c) 5; (d) ; (e) 0; (f) Diverge; (g) Diverge; (h) Diverge..6 (a) Decrescente; (b) Decrescente; (c) Crescente (0 06) , 2 e a = b = c , (a), (b) CÁLCULO III 23

25 TEMA 02 Séries Numéricas e de Funções Séries Numéricas Apresentação Construiremos, somando-se os termos de uma seqüência numérica, uma outra seqüência, e a sua soma infinita daremos o nome de série numérica. Abordaremos, neste capítulo, mais alguns critérios de convergência, mas agora será para séries. Assim sendo, o estudante deverá tomar cuidado e não usar esses critérios para seqüências. Breve Histórico O problema de se somar infinitos números surgiu há séculos. Arquimedes (250 a.c.), a fim de obter a área de um segmento parabólico, necessitou calcular a soma dos inversos dos quadrados dos naturais, a progressão: = 4 3. Embora seu cálculo não tenha sido feito por processos infinitos, que eram mal vistos em seu tempo, este foi um dos primeiros cálculos de somas infinitas. Por volta de.350, utilizando processos infinitos, R. Suiseth (mais conhecido como Calculator) resolveu um problema sobre latitude de formas utilizando uma longa prova verbal (desconhecia representação gráfica) equivalente, matematicamente, ao cálculo da soma n 2 n +... = 2. Nesta mesma época, N. Oresme deu a primeira prova que a já conhecida série harmônica, soma dos inversos dos infinitos números naturais não-nulos, era divergente, ou seja, Agrupando os seus termos do seguinte modo n = +. = e observando que cada parcela entre parênteses é maior ou igual do que, a soma de todas as parcelas 2 poderia ser majorada por uma infinidade de parcelas iguais a, ou seja, = +. Outros avanços relacionados à séries foram obtidos, em.668, por J. Gregory e N. Mercator. Eles trabalharam nas chamadas séries de potências de x. Estas, foram usadas para exprimir funções conhecidas, tais como sen(x), cos(x) e tg(x), dentre outras. 24 FTC EaD LICENCIATURA EM MATEMÁTICA

26 Gregory utilizou que a área sob a curva y = é obtida através da função arctg(x). Desse fato, concluiu + x2 que arctg(x) = x x3 3 + x5 5 x Este resultado foi batizado como série de Gregory. Mercator utilizou que o valor da medida da área sob a hipérbole y =, entre 0 e x, é ln( + x) e chegou + x à seguinte expressão ln( + x) = x x2 2 + x3 3 x chamada hoje de série de Mercator. Em.748, L. Euler publicou o texto Introductio in analysin infinitorum, em dois volumes. O primeiro deles versava sobre processos infinitos, entre os quais séries infinitas. Euler era pouco cuidadoso no uso de tais séries, e as manipulava arriscadamente. Usando a série da função sen(z) = z z3 3! + z5... e de artifícios 5! engenhosos, Euler conseguiu resolver uma difícil questão que J. Bernoulli não tivera sucesso: obteve a soma dos recíprocos dos quadrados perfeitos. Após alguns cálculos, Euler obteve que e daí concluiu que π 2 + (2π) 2 + (3π) 2 + (4π) = 6, = π2 6. Outros nomes ilustres, no Século XIX, compõem o cenário que trata da convergência das séries numéricas e das séries de funções, como Lagrange, Laplace, Dirichlet, Fourier, Cauchy, Bolzano e Weierstrass. Introdução Nos deparamos, diversas vezes, em que um determinado número é obtido da adição de infinitas parcelas. Por exemplo, quando encontramos a fração geratriz de uma dizima periódica ou, ainda, a soma dos infinitos termos de uma progressão geométrica. A questão é: quando saberemos que, partindo-se da adição de infinitos termos, obteremos uma soma? Veremos, neste tema, quando isso ocorre! 2. Séries Numéricas e a Seqüência das Somas Parciais 2. Definição. [Série Numérica] A adição dos infinitos termos de uma seqüência numérica (a n ) chamaremos de série numérica ou, simplesmente, série. Em símbolos, temos: a + a a n +... = n= a n = n a n = a n, em que a n é o n-ésimo termo ou parcela da série. Portanto, uma série é uma adição de infinitos termos de uma seqüência previamente estipulada. Nota 5. Em certos casos podemos tratar de séries em que a primeira parcela parte do a 0. Assim, denotaremos essa série por a n a n. Por exemplo, a série n + n=0 = n 0 numérica n 0. CÁLCULO III 25

27 Exemplo 2.. (a) (a n ) = (n) =, 2, 3, 4,... n (b) (a n ) = ( n + ) = 2, 2 3, 3 4,... (c) (a n ) = ( 2n n! ) = 2, 2, 4 3, 2 3, (d) (a n ) = ( ( )n+ ) =, n 2, 3, 4... (e) (a n ) = ( n ) =, 2, 3,... (f) (a n ) = ( + ( ) n ) = 0, 2, 0, 2, Definição. [Seqüência das Somas Parciais] Dado uma série numérica n a n, formaremos uma seqüência (s n ), da seguinte forma: s = a s 2 = a + a 2 = s + a 2 s 3 = a + a 2 + a 3 = s 2 + a 3. s n = a + a a n = S n + a n = a j n j= (s n ) é, portanto, a seqüência das somas parciais das parcelas da série n a n. Observe que o n-ésimo termo n j= a j da seqüência das somas parciais (s n ), representa a soma parcial nos n primeiros termos da seqüência numérica (a n ). Para Entendermos Melhor! Exemplo 2.2. Considere a série n n(n + ). Assim, s = s 2 = s 3 = s 3 = = 2 3 = 3 4 = 4 5. S n = n(n + ) A seqüência 2, 2 3, 3 4,... éadas somas parciais da n(n + ) série n. ER 2.. Encontre a soma da série numérica n (2n ) (2n + ). 26 FTC EaD LICENCIATURA EM MATEMÁTICA

28 Solução: A sua seqüência de somas parciais será dada por: s = s 2 = s 3 = = 2 5 = 3 7. S n = n 2n + Dessa forma, a seqüência de somas parciais de 3, 2 5, 3 7,... será n representada 2n + por n. ER 2.2. Dada a série numérica n ( + ( ) n ), encontre sua série de somas parciais. Solução: A sua seqüência de somas parciais será dada por: s = 0 s 2 = = 2 s 3 = = 2 S n = n., se n é ímpar n, se n é par Dessa forma, a seqüência de somas parciais de (0, 2, 2, 4...) será representada por: = n, se n é ímpar S n n, se n é par.. Um Fato Bastante Interessante! 2.3 Proposição. A soma parcial dos n primeiros termos da série n n(n + ) é n n +. Prova: Faremos, por indução finita. Como a seqüência das somas parciais é vamos supor que seu n-ésimo termo é 2, 2 3, 3 4, , n. Assim, o próximo termo desta é: n + n n + + (n + )(n + 2) = n + n + 2. CÁLCULO III 27

29 ER 2.3. Através da seqüência das somas parciais analise a convergência da série: n (n + )(n + 2). Solução: Observe que n 0 (n + )(n + 2) = n n(n + ) = n n + e, para n = 0, temos: (n + )(n + 2) n 0 = 2 + n (n + )(n + 2). Segue que: ou seja, Assim, 2 + n (n + )(n + 2) = n n +, n n (n + )(n + 2) = n n + 2. (n + )(n + 2) = n 2(n + ). Portanto, a série converge para n 2(n + ). 2.2 Convergência das Séries Vamos, inicialmente, apresentar uma motivação para o que queremos definir. Considere o seguinte problema: Qual a fração geratriz da dízima 0, ? Esse problema é de fácil solução: igualamos 0, a uma letra x e ao subtrairmos os números 0x e x, nesta ordem, obteremos o que desejamos. De fato, 0x x = 4, , x = 4 x = 4 9. Mas, veja só: 0, pode ser visto como a soma de infinitos termos; a saber: 0, = 0, 4 + 0, , e a adição destes infinitos termos nos dá o valor 4! Este fato não o impressiona? Definição. Considere a seqüência (s n ) das somas parciais de (a n ). Diremos que a série n a n converge para a sua soma S R, se lim s n = S. Neste caso, a n = S. n escreveremos n Uma série n a n é, portanto, convergente, quando os termos da seqüência das somas parciais se aproximam de um determinado valor S R, à medida que os valores de n crescem indefinidamente. Assim, a seqüência (0, 4; 0, 4 + 0, 04; 0, 4 + 0, , 004;...) é convergente e 0, 4 + 0, , = 4 9. Exemplo 2.3. A série do exemplo 2. é convergente. De fato, lim n n n + =. 28 FTC EaD LICENCIATURA EM MATEMÁTICA

30 Nota 6.. Diremos que uma série é divergente, caso ela não seja convergente. 2. Utilizaremos, também, o símbolo para denotar a convergência de uma série. Propriedades da Convergência das Séries. Seja k R e a série a n. Então, k a n converge a n converge. Para verificar isso, bastar notar que ka ka n = k(a a n ). 2. Sejam a n b n séries convergentes. Então, n (a n + b n ) converge. e n Neste caso, basta lembrar a n + b n a n b n. que n = n + n Observemos que, para as séries divergentes, nada podemos afirmar. Em outras palavras, podemos somar duas séries divergentes e obter como resultado uma série convergente. Veja o seguinte exemplo: Exemplo 2.4. Por exemplo, as n n são ambas divergentes; contudo a soma das duas será séries n e n converge. Solução: A n realmente é divergente, pois: lim n =. Lembrando que isto é uma condição n série n necessária mas não suficiente, ou seja, caso o limite do termo geral da série fosse igual a zero não poderíamos afirmar nada sobre a convergência da série. Observe, agora, que: lim n = lim n = n n significando, portanto, que a série n n diverge. Somando as duas séries temos: n n n + n = n (n n) = n 0 dessa forma, concluímos (n n) 0 é convergente, porque é uma série constante. Assim a soma que n = n de séries divergentes poderá proporcionar como resultado, uma série convergente. Exercícios Propostos EP 2.4. Encontre a soma parcial das seguintes séries: (a) (b) n(n + ) ; (2n )(2n + ) A Série Geométrica Seja q um número real, diferente de, e considere a série n q n. A soma parcial é dada por S n = + q + q 2 + q q n = qn+, pois, a série se trata da soma dos infinitos termos de uma progressão q geométrica de razão q. Supondo que q <, temos que lim s n = n q, CÁLCULO III 29