1) Se x é o preço de um produto qualquer e aumenta de 10% de seu valor, então passa a valer 110% de x

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1 Resolução dos exercícios de progressão geométrica Cap. 8 - Pág. 66 1) Se x é o preço de um produto qualquer e aumenta de 10% de seu valor, então passa a valer 110% de x Se após este acréscimo de 10% ele sofre um acréscimo de 20%, pela mesma razão, basta multiplicar o preço por 1,2 = 120% O preço inicial sofrerá um aumento de 32% 2) Analogamente à questão anterior, um desconto de 10% sobre um preço x faz com que ele valha 0,9x = 90% de x. Para o segundo desconto, devemos multiplicar o preço obtido por 0,8 = 80% (desconto de 20%) Desconto de 28% 3) Aumento de 10% = 1,1x Desconto de 20% = 0,8.1,1x = 0,88x = 88% de x Desconto de 12% 4) Sabemos da física que velocidade é o espaço sobre o tempo, isto é Aumentando V em 60% ficamos com 160% de V = 1,6V. Então o novo será Logo, o novo será de 0,625. = 62,5% de Teremos uma redução de 37,5% do tempo 5) Por definição, duas grandezas são inversamente proporcionais quando dado um número real k temos P = pressão V = volume Redução de 20% de V => 0,8V

2 Logo, temos um aumento de 0,25.P = 25% de P 6) A = b.h A1 = 1,1b.0,9h = 0,99.b.h = 0,99.A Diminui 1% 7) Fazendo, em quatro anos teremos Do termo para o termo devemos dar 4 passos e cada passo corresponde a multiplicar uma vez a razão q. Logo Como 4 e 9 não têm raízes quartas, vamos deixar assim mesmo e depois tentar fazer a conta de outra maneira. Depois de 2 anos teremos o termo, que pode ser calculado assim Repare que nos dá, pois podemos multiplicar os expoentes. Logo, 8) Temos uma progressão geométrica de três termos. A exemplo do que fizemos com as PAs, vamos chamar o termo central de x e, ao avançar um passo vamos multiplicar (não somar!) a razão e ao retroceder um passo vamos dividir (não subtrair!) pela razão. Nossa PG ficará assim Como a PG é crescente, o termo xq é o maior lado do triângulo retângulo (hipotenusa) T.Pirágoras xq X

3 A equação acima é uma equação biquadrada em q. Para resolvê-la, vamos fazer uma mudança de varável. Faça e temos também y = q². Substituindo as duas relações na referida equação, temos y² - y - 1 = 0 Como y = q² temos. Como a progressão é crescente, vamos pegar a raíz positiva. Observe que dará um valor negativo pois e não pode estar dentro de um radical. Portanto, 9) Como a razão, o próximo termo será

4 10) Novamente utilizaremos o truque de representar uma PG de três termos por Isso nos dá Como então 2x x = 19 => 3x + 1 =19 => 3x = 18 => x = 6 Então, substituindo x=6 na equação, temos Como a PG é crescente, a razão q deve ser maior que 1, logo q = 3/2 e a progressão será 11) Os três primeiros são uma PA de 3 termos e razão 6, e o último é igual ao primeiro, então temos. (x-6, x, x+6,x-6) Como os três últimos termos são uma PG, então

5 Logo, os quatro números são (-2-6,-2,-2+6,-2-6) = ( -8, -2,4,-8 ) 12) Procedendo da maneira indicada no problema montamos a seguinte progressão (1, 1, 2, 4, 8, 16, 32,..., ) Esta progressão, a partir do 2 termo é uma PG de razão q = 2. A soma = Acrescentando o primeiro termo à soma ficamos com Como cada uma tem 0,1mm de espessura, a pilha formada pelas folhas de estanho. folhas terá folhas de estanho A espessura será maior ,1 = mm = m = 400km 400km é maior que a altura de um poste, maior que um prédio de 40 andares, maior que o comprimento da praia de Copacabana e menor que o Equador terrestre. Resposta: (d) 13) Para resolver esta questão precisamos atentar para um conceito muito importante, que é o fato de a nova substância formada ser homogênea, isto é, a concentração de vinho em qualquer quantidade da substância é proporcionalmente a mesma. Inicialmente temos Vinho: p Água: 0 Em seguida retiramos 1 litro de vinho e acrescentamos 1 litro de água e ficamos com Vinho: p p 1 Água: 0 1

6 Depois que a substância se torna homogênea, retiramos 1 litro dela, o que corresponde a litros de vinho e litros de água, pois a concentração de vinho na substância é de (p -1 litros de vinho para p litros no total). Retirando a quantidade do que tínhamos de vinho e ignorando a quantidade de água (pois não nos interessa!), ficaremos com Vinho: p p 1 Isto é Vinho: p p 1 Repetindo-se o processo mais uma vez para identificarmos o padrão das extrações obtemos como parte a ser retirada, que corresponde a litros de vinho para cada p litros da substância. Então ficamos com a seguinte seqüência Vinho: p p 1 Logo, Vinho: p p 1 Na terceira operação, o expoente do numerador é 3 e o do denominador é 2. Seguindo este padrão, na n-ésima operação, o expoente do numerador será n e do denominador n - 1. Resposta: multiplicar por p no numerador e no denominador Obs: A resposta do livro está errada, pois o expoente é n e não n-1. 14) a) Observe que a soma acima é a soma de uma PG infinita em que a razão e, cuja soma pode ser calculada pela fórmula, pois -1 < q < 1.

7 Observe que poderíamos ter utilizado o método já apresentado no capítulo 3 Números Decimais, para descobrir o mesmo resultado. b) c) d) 15) a) b) A soma acima não representa a soma dos termos de uma PG, por isso, vamos transformá-la em duas somas que serão somas dos termos de PGs. Como, então c) Novamente a soma S não representa a soma dos termos de uma PG. Vamos transformá-la em somas parciais de outras PGs que somadas dão o resultado desejado.

8 Um bom truque é perceber que o numerador cresce segundo uma PA de razão R = 2 e primeiro termo a1 = 1. O n-ésimo termo desta PA será an = a1 + (n - 1)R (pois é preciso dar n 1 passos para sair do 1 e ir para o n-ésimo termo). an = 1 + (n - 1).2 = 1+2n-2 = 2n-1 O denominador cresce de acordo com uma PG de razão q = 2 e b1 = 2. O n- ésimo termo desta PG será (pois é preciso dar n-1 passos do 1 pro n- ésimo termo). O termo geral da progressão desejada será a divisão de por. Logo, a soma S pode ser reescrita como Separando a parte positiva da parte negativa, temos A segunda soma ( é a soma dos termos de uma PG infinita com a1 = ½ e q = ½. A primeira parte da soma ainda não pode ser calculada por meio da soma uma PG. Vamos chamar de a primeira parte da soma S. É claro que

9 Observe que. Portanto, d) Este é o caso típico de uma progressão não muito estudada no Ensino Médio, chamada de progressão aritmético-geométrica(pag). Vamos separá-la em várias somas S1 = 1 + x + x² + x³+... S2 = x + x² + x³ +... S3 = x² + x³ +... Os resultados são válidos porque q = x e, por hipótese -1 < x < 1. S = S1 + S2 + S e) Consideremos três somas Observe que S = A B C. Logo,

10 16) A bola cai 5m e depois sobe para cima e em seguida cai, novamente, os até o chão. Depois a bola sobe e desce. Isso se repete indefinidamente... O problema quer que calculemos a soma dos termos da PG abaixo 17) C Observando o desenho e chamando os C α ângulos CAB = θ e ACB = α, notamos que C α α + θ = 90. Assim, deduzimos os outros α θ b a ângulos. θ θ c θ θ α α A B B B Os triângulos BCC e C BC são semelhantes, de onde segue que que os números (a, b, c) estão em PG de razão.. Daí, concluímos a) b) 18) obs: 30% = 0,3 a1 = 300 Como 30% dos alunos que entram ficam reprovados, estes ficarão na turma dos 200 que vão entrar no próximo semestre. Logo, b1 = ,3.300 Destes b1 pessoas, 30% reprovará e entrará no 1 semestre do próximo ano juntamente com os 300 novos alunos. Logo a2= ,3.(200+0,3.300) = , ,3².300

11 b2 = ,3.a2 = ,3(300+0, ,3².300) = 200+0, ,3².200+0,3³.300 a3 = 300+0,3b2 = 300+0,3.( 200+0, ,3².200+0,3³.300) = , ,3².300+0,3³ b3 = ,3.a3 = ,3(0, ,3².300+0,3³ ) = 200+0,3².200+0,3³ Seguindo este padrão, teremos Colocando 300 e 200 em evidência, temos duas parcelas são duas PGs de razão 0,3² e que, quando n é muito grande (tende ao infinito) se transforma numa PG infinita convergente, pois -1 < 0,3² < 1. Analogamente, 19) A construção enunciada no texto forma a seguinte figura Utilizando o teorema de Pitágoras, conseguimos determinar a Hipotenusa a. 1 b a 1 A hipotenusa b pode ser calculada da mesma maneira, notando que Repetindo indefinidamente esta construção, teremos as áreas

12 Esta progressão das áreas forma uma PG de razão q = 1/2 que converge para o valor Dizemos que a seqüência Sn tende a 2 quando n tende a infinito, portanto, não é possível encontrar um valor de n tal que Sn = 2 e nem maior do que 2. É possível encontrar n tal que Sn > 1,9 e é possível encontrar n tal que Sn = 1,75 (basta fazer n = 3) Resposta A e E 20) a) Observe que se. Logo, Pois a soma Uma maneira mais esperta para resolver este tipo de questão é a seguinte: Façamos, então A A² = xa => A²-xA = 0 =>A(A-x) = 0 => A = 0 ou A = x É claro que A não pode ser igual a zero, pois por definição x>0. Logo, A = x

13 b) Portanto, Exercícios de vestibular 1) Basta observar que todos os triângulos são semelhantes o que nos dá Se e, a seqüência é uma PG de razão. Como c < b então a razão 0 < q < 1 o que torna a progressão acima convergente. 2) a) Vamos chamar de e o número de amigos que Ana e Bia tinham no dia 1 de Abril de Logo Como do dia 1 para o dia 2 entraram 20 novos amigos na lista de Bia, ela deveria ter 4 amigos no dia 1 (5 novos amigos para cada amigo). Portanto e b) Como Bia tinha 4 amigos e entraram mais 20, no dia 2 de Abril Bia ficou com 24 amigos. Novamente, no dia 3 de Abril, Bia tinha os mesmo 24 amigos mais 5.24 = 120 amigos. A progressão dos amigos de Bia é a seguinte (4, 24, 120,...) PG de razão q = 6 Analogamente, Ana tinha 512 amigos no dia 1 de Abril e conseguiu mais 3 para cada um deles no dia 2, logo ficou com = = No dia 3 de Abril, Ana terá = 8192 amigos. A progressão dos amigos de Ana é a seguinte

14 (512, 2048, 8192,...) PG de razão q = 4 Então Vamos calcular n para que o número de amigos de Ana seja igual ao número de amigos de Bia, isto é, Esta equação exponencial só pode ser resolvida por meio de logaritmos. é dado no problema e por propriedades de logaritmos. Logo, Portanto, passarão 13 dias a partir do dia 1 de abril para que o número de amigos de Bia seja maior que o de Ana. Resposta: 13 de Abril 3) (1,3,5,7,...) PA de razão R = 2 a10 = a1 + 9R => a10 = = = 19 terremotos (C) 4)a) Na 1ª linha ele escreveu 1 número natural. Na 2ª linha ele escreveu 3 números naturais. Na 3ª linha ele escreveu 5 números naturais. Podemos montar a seqüência que expressa a quantidade de números em cada linha (1, 3, 5, 7,...) PA de razão R = 2 a50 = = 99 números. b) A soma da 1ª linha dá 1=1² A soma da 2ª linha dá 9 = 3² A soma da 3ª linha dá 25 = 5² A soma de cada linha é exatamente o número de elementos da linha elevado ao quadrado. Logo, a soma da linha 50 será 99²

15 c) Esta é uma demonstração difícil que requer atenção aos padrões e um bom traquejo algébrico. Observe primeiramente que há 2n-1 elementos na linha n. Por exemplo, se n=1, há = 2-1 = 1 elemento na linha 1. A n-ésima linha terá os seguintes valores (n, n+1, n+2, n+3,...,n+n+n-2) (verifique!) (n, n+1, n+2, n+3,...,n+2n-2) Tudo o que temos que fazer e somar os termos. PA de razão 1 e 2n-2 termos S=n + n+1 + n+2 + n n+2n-2 = n+n+n+...+n + ( n-2) 2n - 1 vezes (um n para cada termo da seqüência) Como todo número da forma 2n-1, com n natural, é ímpar, o resultado está demonstrado! 5) De 23h às 4h há 5 horas, portanto, a banda fez 5 rodadas. Na rodada 1 Júlio dançou = 4 vezes Na rodada 2 Júlio dançou = 7 vezes Na rodada 3 Júlio dançou = 10 vezes A seqüência do número de vezes que ele dançou é (4, 7, 10,...). PA de razão R = 3 a5 = a1 + 4.R => a5 = = = 16 O número de vezes que ele dançou será a soma de todos os termos 6) Os anos bissextos acontecem de 4 em 4 anos. Como meu avô tem 77 anos de idade ele fez exatamente 19 aniversários em anos bissextos, pois 77 dividido por 4 dá 19 e resta1. 7) Por definição AB = 2. Chame BC = x e CD = y

16 É claro que se AB = 2 é o raio, então AD = 4 é o diâmetro. Mas AD = AB + BC + CD, logo 2 + x + y = 4 => x + y = 2 Como x é uma medida, então devemos ter Do enunciado razão decrescente de razão implica que a seqüência (AB, BC, CD,...) é uma PG de cuja soma dos termos será Basta racionalizar para encontrar uma das alternativas Resposta: D 8) Devemos calcular a soma Vamos separar S em duas somas 9) (v, E,1) é uma PA o que implica E v = 1 E => 2E = 1 + v => v = 2E 1 m = 1, então

17 Como v > 0 então Resposta: B 10) Vamos chamar de a o número de partículas emitidas no primeiro dia para abreviar as notações, assim Como no próximo dia a concentração é 16% menor do que anterior, então ela é 84% = 0,84 da anterior. Temos a progressão (a, 0,84.a, 0,84².a,...) O número de partículas emitidas será 11) Basta observar o seguinte padrão: 1ª linha -> soma 1³ = 1 2ª linha -> soma 2³ = 8 3ª linha -> soma 3³ = 27 10ª linha -> soma 10³ = 1000 Resposta: C