Notas de Aula. EE210 Sistemas de Comunicação II

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1 Notas de Aula EE10 Sistemas de Comunicação II Autor Docentes Prof. Dr. Dayan Adionel Guimarães Prof. Dr. Dayan Adionel Guimarães Prof. Dr. Rausley Adriano Amaral de Souza Prof. MSc. Marcelo Carneiro de Paiva Julho de 01 DAYAN ADIONEL GUIMARÃES 07/01 1

2 Ojetivos Apresentação do curso 1) Apresentar o professor. ) Apresentar a estrutura do curso: conteúdo, metodologia, avaliação, procedimentos em sala de aula e fora de sala de aula, regras de conduta. 3) Motivar os alunos para o estudo do conteúdo da disciplina EE 10. Conteúdo do curso Transmissão digital em anda-ase. Análise do espaço de sinais. Transmissão digital em anda-passante (modulações digitais). Espalhamento espectral. Ojetivo do curso Tendo otido aproveitamento em termos das notas das avaliações, ao final do curso o aluno deverá ser capaz de realizar estudos complementares e mais avançados sore o assunto, de acordo com a grade curricular do Inatel e a dependência entre os conteúdos de disciplinas correlatas previstas nesta grade. Metodologia de ensino Durante o curso as aulas serão essencialmente expositivas. Cada loco de conteúdo será apresentado e discutido projetando-se na tela os principais tópicos das notas de aula em formato eletrônico. Alguns exemplos e exercícios serão discutidos ou resolvidos pelo professor em sala. Um número menor de exercícios será resolvido pelos alunos em sala de aula. A maior parte dos exercícios deverá ser resolvida pelos alunos fora da sala de aula. Todo material didático do curso será disponiilizado única e exclusivamente através da página da disciplina Por meio desta página serão tamém realizados os comunicados dos professores com os alunos em forma de quadro de avisos eletrônico. Plano de ensino e avaliações As avaliações ocorrerão conforme previsto no Plano de Ensino, este tamém disponiilizado na página da disciplina. As datas das avaliações serão comunicadas aos alunos via quadro de avisos eletrônico acessado via página da disciplina. Plano de aulas O plano de aulas seguirá a seqüência adotada nas notas de aula, onde estão tamém registrados o tema, o conteúdo e os ojetivos de cada aula. DAYAN ADIONEL GUIMARÃES 07/01

3 Livro texto GUIMARÃES, D. A., Digital Transmission: A Simulation-Aided Introduction with VisSim/Comm. Berlin-Heidelerg, Germany: Springer Verlag, Inc., 009. Notas importantes Zele pela disciplina em sala de aula. Não será permitido atraso maior que cinco minutos na chegada às aulas. Não será permitido uso de aparelho celular durante as aulas. A ocorrência de cola em provas será punida de acordo com o regimento da instituição. A presença nas aulas será controlada de acordo com as regras estaelecidas pela instituição. A revisão de provas será efetuada antes da vista por parte do aluno. O horário de atendimento ocorrerá na meia hora seguinte às aulas. Note que isto representa maior tempo de atendimento total e maior proximidade do momento em que a dúvida possa ter aparecido. O professor não fará atendimento durante as últimas 4 horas antes da realização de uma prova. Alguns alertas O nível de complexidade do conteúdo da disciplina não é aixo e, portanto, demanda astante dedicação em termos de estudo. A concentração dos estudos nos dias próximos às provas pode, com elevada proailidade, resultar em aprendizado incipiente e em notas insatisfatórias. Como estudar: não deixe para estudar nas vésperas das provas. O índice de reprovação elevado na disciplina tem como maior causa esta concentração de estudos nas vésperas das provas. Recomenda-se acompanhar dia a dia o conteúdo apresentado, procurando verificar se realmente você está entendendo o que está sendo estudado; interagir com os experimentos computacionais da parte prática; resolver o maior número possível de exercícios; procurar o professor antes que uma pequena dúvida se torne uma ola de neve e prejudique o aprendizado. FIM DA APRESENTAÇÃO DAYAN ADIONEL GUIMARÃES 07/01 3

4 Aula nº 1 Conteúdo Ojetivos Data: / / Tema Filtro casado e correlator Introdução à transmissão em anda-ase. Códigos de linha. Modelo de transmissão antipodal em anda-ase. Filtro casado e correlator. Integrate & dump para formato de pulso retangular. Ao final da aula os alunos deverão ser capazes de: 1) definir corretamente o conceito de transmissão em anda-ase, comparando-o com a transmissão em anda-passante em termos de características espectrais. ) identificar a importância do uso dos códigos de linha para formatação do sinal de transmissão em anda-ase em função das características do canal. 3) conceituar a relação entre it, símolo, taxa de its e taxa de símolos. 4) conceituar a influência do ruído AWGN no desempenho de um sistema de comunicação digital e no modelamento do filtro ótimo de recepção (filtro casado). 5) explicar a influência do ruído na variável de decisão em um sistema inário com sinalização antipodal. 6) estaelecer em que condições e como ocorre a equivalência entre filtro casado e correlator. Transmissão em anda-ase versus transmissão em anda-passante Na transmissão em anda-ase o espectro do sinal se concentra em torno da frequência zero. Na transmissão em anda-passante, tamém conhecida como transmissão passa-faixa, o espectro do sinal modulado se concentra em torno de uma frequência de portadora f c. As figuras a seguir ilustram estes conceitos. Iniciaremos nosso estudo com a transmissão em anda-ase. Transmissão em anda-ase Transmissão em anda-passante A figura a seguir ilustra o diagrama de um sistema de comunicação em anda-ase. DAYAN ADIONEL GUIMARÃES 07/01 4

5 Na figura em questão os vários tipos de informação sofrem processamentos diferentes para poderem ser transmitidos da fonte ao destino. A maior quantidade de processamento é realizada na informação analógica: o sinal é amostrado, gerando amostras com um número infinito de amplitudes. Estas amostras são quantizadas para que tenhamos um número finito de valores. As amostras quantizadas são codificadas em grupos de its. Por exemplo, no sistema PCM para telefonia o sinal de voz é amostrado a amostras por segundo e em seguida quantizado e codificado em 8 its por amostra, o que leva a uma taxa de its por segundo para a voz digitalizada. A informação textual sofre um processo de codificação para transformar cada caractere em um conjunto ou uma palavra inária. Códigos para representação de textos incluem o conhecido código Baudot, o qual representa cada caractere por um conjunto de 5 its. Outros exemplos são o código ASCII e o EBCDIC A informação digital, por já estar neste formato, não necessita de nenhum dos processamentos anteriormente descritos. Na entrada do loco de codificação de forma de onda temos, então, its. O papel deste loco é o de adequar o sinal digital ao canal, gerando a forma de onda de transmissão, tipicamente denominada código de linha. Após acoplamento com o canal, o sinal em anda-ase é transmitido e, após o acoplamento com o receptor, é processado pelo loco detector de forma de onda. Este loco tem o papel de extrair o sinal das suas fontes de degradação, como por exemplo o ruído que está presente em qualquer sistema de comunicação. Os demais processos no receptor são apenas as versões complementares dos correspondentes locos na transmissão. Qual a importância da codificação de forma de onda? O processo de adequação da forma de onda ao canal precisa ser realizado porque cada canal de comunicação tem suas características particulares em termos de resposta em frequência e ruído. Portanto, precisamos utilizar códigos de linha que sejam mais adequados a tais características. Como exemplo, se um canal tem a resposta em frequência ilustrada na figura a seguir, temos que ter um sinal transmitido com um espectro que caia na faixa de frequências delimitada pelo canal. Outras características que têm que ser oservadas nesta relação entre canal e sinal transmitido são: Componente DC: no exemplo a seguir, devido à existência de acoplamento magnético entre Tx e canal e entre canal e Rx, devemos transmitir um sinal que não tenha componente DC. DAYAN ADIONEL GUIMARÃES 07/01 5

6 Sincronismo: na prática, a grande maioria dos sistemas de comunicação recupera o sincronismo de recepção a partir do próprio sinal receido. Quanto mais transições o código de linha tiver, mais fácil recuperar o clock na recepção, independente da sequência de its a ser codificada. O sincronismo permite que o receptor recupere a informação transmitida na mesma cadência do sinal transmitido e nos momentos adequados. Largura de faixa: quanto maior a taxa de its atingível em uma determinada largura de faixa disponível, melhor. Certos códigos de linha vão proporcionar taxas maiores a uma dada largura de faixa. Ruído: alguns códigos de linha são mais imunes a ruído que outros. Isto significa, por exemplo, que dois sistemas de comunicação operando com a mesma taxa de its, ocupando a mesma anda e com a mesma potência de transmissão podem proporcionar diferentes níveis de degradação na comunicação digital devido à utilização de códigos de linha distintos. Tal degradação é tipicamente expressa por meio da taxa de erro de it, do Inglês Bit Error Rate (BER), parâmetro que indica quantos its errados, em média, o receptor produzirá em uma dada quantidade de its transmitidos. Por exemplo, uma BER de indica que, em média, a cada its transmitidos haverá 1 it decidido de forma errada pelo receptor. O Filtro Casado Vamos inicialmente definir o significado de um pulso denominado g(t) por meio da ilustração a seguir: Para este exemplo estamos fazendo a suposição de que a resposta ao impulso do filtro é: Nesta ilustração temos uma típica forma de realização de um transmissor em anda-ase, inclusive muito utilizada na prática. Nela o formato dos pulsos de transmissão e, consequentemente, a forma de onda transmitida são governados pela resposta ao impulso do filtro de transmissão. DAYAN ADIONEL GUIMARÃES 07/01 6

7 A regra de transmissão adotada chama-se sinalização 1 antipodal e é aquela em que um it é representado por um pulso +g(t) e o outro it é representado pelo pulso g(t). O ojetivo agora é projetar o receptor de forma que cada pulso g(t) seja detectado de maneira ótima (menor taxa de erro de it possível). Esta maneira ótima é conseguida fazendo com que as amostras de saída do filtro de recepção tenham, no momento da decisão, a maior relação sinal-ruído possível. Faremos isto projetando o filtro de recepção no modelo representado na figura a seguir. Após a adequada dedução matemática, podemos chegar à conclusão de que o filtro que maximiza a relação sinal-ruído no momento da decisão de cada pulso tem a seguinte resposta ao impulso: h( t) = kg( T t) Interpretado este resultado, h(t) é o próprio formato de pulso g(t) espelhado, deslocado de T segundos para a direita e escalonado de um fator k qualquer, diferente de zero. Então, dado um formato de pulso g(t), h(t) definido como acima é o único filtro que proporcionará a máxima relação sinal-ruído no momento da decisão e, portanto, a menor taxa de erro de decisão. Como exemplo, vejamos como determinar a resposta ao impulso do filtro casado para o formato de pulso de transmissão a seguir: g( t ) g(- t ) g[-( t- T)] t t t T -T T Como outro exemplo, para o formato de pulso adotado no transmissor no início desta seção teremos h(t) idêntico em formato a g(t), ou seja: 1 A palavra sinalização é muito utilizada nos textos referentes a sistemas de comunicação digital e está associada à técnica de transmissão das várias formas de onda que compõem o conjunto de M símolos do sistema. Cada símolo é, neste contexto, uma forma de onda que representará um conjunto de log M its. Os termos taxa de sinalização e taxa de símolo são, portanto, sinônimos. DAYAN ADIONEL GUIMARÃES 07/01 7

8 Equivalência entre o Filtro Casado e o Correlator Em determinadas situações, dependendo da complexidade do formato do pulso g(t), realizar um filtro casado pode ser uma tarefa astante árdua e, às vezes, impossível. Felizmente existe um dispositivo que fornece em sua saída, no momento da amostragem (e somente neste momento), amostras que têm a mesma relação sinal-ruído proporcionada pelo filtro casado. Este dispositivo é chamado correlator e, como o nome indica, realiza a correlação do sinal receido com uma réplica do formato de pulso g(t) localizada em cada um dos intervalos de sinalização. Os: intervalos de sinalização são aqueles em que cada pulso é receido. Portanto, a taxa de sinalização é a taxa em que os pulsos são enviados/receidos. Aaixo se tem a ilustração do correlator para o formato de pulso já considerado anteriormente: No diagrama anterior, a cada intervalo de T segundos é realizada a correlação do sinal receido com cada uma das réplicas de g(t). Por exemplo, no primeiro intervalo teremos na saída do correlator um valor positivo, referente à correlação do pulso positivo receido com g(t). No segundo intervalo teremos um valor negativo, referente à correlação do pulso negativo receido com g(t), e assim por diante. A decisão é tomada comparando-se a amostra de saída do correlator (ou do filtro casado) com zero: se maior que zero, decide-se pelo it 1; se menor do que zero, decide-se pelo it 0. A presença do ruído faz com que, eventualmente, um sinal de saída do correlator que teria que ter polaridade positiva tenha polaridade negativa, fazendo com que o correspondente it seja decidido erroneamente. Percea então que os circuitos correspondentes ao filtro casado e ao correlator são completamente diferentes, porém fornecem em suas saídas, no momento de amostragem (momento de decisão), amostras com a mesma relação sinal-ruído e, portanto, levam ao mesmo desempenho. Vale ressaltar que o integrador não pode acumular o resultado da integração anterior de um intervalo de sinalização para outro, pois isto acarretaria em erro no processo de decisão descrito anteriormente. Então deve-se zerar o integrador após cada intervalo de integração. O termo em inglês usado para isto é Integrate & Dump (integra e zera). Exemplo Vamos supor que g(t) tenha um formato retangular de amplitude qualquer e duração T. Nosso ojetivo com este exemplo é economizar um loco do receptor. Teremos o seguinte diagrama inicial: DAYAN ADIONEL GUIMARÃES 07/01 8

9 Retornado à definição do filtro casado, lemramos que lá existia uma constante k que, como afirmamos naquele momento, podia ter qualquer valor. Em outras palavras, não há influência do valor desta constante no desempenho do sistema, pois multiplicando o sinal e o ruído por k mantém-se a relação sinal-ruído. Transportando esta análise para o exemplo em questão, se as réplicas de g(t) aplicadas ao correlator formam uma constante, seu valor pode ser qualquer. Se escolhermos o valor 1, não haverá necessidade do multiplicador (mixer), solucionando o prolema proposto. Um último comentário acerca da equivalência entre filtro casado e correlator merece atenção: percea que o correlator calcula a integral do produto do sinal receido por uma réplica de g(t), num intervalo de T segundos. Em grande parte das aplicações práticas g(t) não está confinado num intervalo de T segundos, almejando-se compactar o espectro do sinal transmitido. Nestes casos o correlator poderá proporcionar desempenho inferior ao correspondente filtro casado, pois realizará a integral que faz parte de sua implementação em um intervalo menor que a duração do pulso e, por consequência, a amplitude de sua saída não estará associadas à energia total do pulso. Em casos como este, a não ser que aceitemos a degradação de desempenho resultante do uso do correlator, somos forçados a implementar o receptor com filtro casado. Vale ainda ressaltar que a diferença de desempenho anteriormente citada pode ser muito pequena a ponto de, em certos casos, poder ser desprezada. FIM DA AULA DAYAN ADIONEL GUIMARÃES 07/01 9

10 Aula nº Data: / / Tema Análise de P e em anda-ase 1 Conteúdo Ojetivos Modelo de transmissão antipodal em anda-ase. Análise de erro para o sistema de transmissão antipodal em anda-ase. Ao final da aula os alunos deverão ser capazes de: 1) justificar a utilização da função erfc(x) ou Q(x) no cálculo da proailidade de erro de it e aplicar tais expressões em cálculos com parâmetros fornecidos. ) definir a influência do limiar de decisão no desempenho do sistema e a sua dependência das proailidades de envio dos símolos (proailidades a priori). Modelo de transmissão antipodal em anda-ase Nosso mais importante ojetivo nesta aula é analisar a proailidade de erro na decisão realizada em um sistema de comunicação em anda-ase para o qual se tem o modelo mostrado da figura a seguir. Nele a forma de onda do sinal transmitido corresponde a uma sequência de pulsos ipolares com formato g(t), ou seja, pulsos ±g(t). Estes pulsos são contaminados por w(t), que corresponde ao ruído aditivo Gaussiano e ranco (AWGN Additive White Gaussian Noise) de densidade espectral de potência N 0 / watts/hertz, formando o sinal receido x(t). Recordando, qualquer sinalização inária que seja formada por pulsos ±g(t) pode ser chamada de sinalização antipodal. Ojetivando detectar o sinal imerso no ruído, ou, em outras palavras, extrair o sinal que está imerso no ruído, o sinal x(t) é correlacionado com réplicas do formato de pulso g(t) a cada intervalo de sinalização T = T. O sinal de saída do correlator, y(t), que tamém poderia ser produzido pelo filtro casado equivalente, é amostrado a cada intervalo de sinalização e as amostras de valor y são comparadas com um limiar de decisão λ. Decide-se por 1 se y for maior que λ; decide-se por 0 em caso contrário. Como vimos na aula passada, certos códigos de linha, que são as formas de onda que vão definir o formato de pulso g(t), proporcionam imunidade ao ruído maior ou menor que outros códigos de linha. Portanto, para analisarmos a proailidade de erro no sistema em questão devemos antes escolher um formato de pulso g(t) como referência. O formato escolhido será correspondente ao código de linha NRZ (Non-Return to Zero), ilustrado pela figura a seguir. Nesta sinalização a forma de onda retangular de um pulso não retorna a zero antes que o intervalo de sinalização termine. Para facilitar a interpretação deste conceito, oserve na figura em questão que um determinado pulso do código RZ (Return-to-Zero) vai à zero antes que o intervalo de sinalização termine. O ponto exato onde cada pulso retorna a zero tem forte influência nas características espectrais do código de linha, sendo que tipicamente tal retorno à zero ocorre T/ segundos depois do início de cada pulso. Caso não se lemre da definição e do modelo matemático do ruído AWGN, recomenda-se consultar o material de aula da disciplina Proailidade, Estatística e Processos Estocásticos, na parte referente ao estudo de processos aleatórios. DAYAN ADIONEL GUIMARÃES 07/01 10

11 Vamos calcular os possíveis valores das amostras de saída do correlator (ou filtro casado), as quais vão ser comparadas com o limiar de decisão λ para que seja tomada a decisão pelo it que mais provavelmente tenha sido transmitido. As formas de onda envolvidas no processo são ilustradas na figura a seguir. Percea que a forma de onda mais aaixo, por estar associada a uma sequência de pulsos com formato retangular de duração T e amplitude A, nada mais corresponde do que a uma constante ao longo do tempo cujo valor é ka. Dada a transmissão de um único pulso ±g(t), o sinal de saída do filtro casado ou do correlator no momento de decisão é amostrado em t = T, gerando a variável de decisão y(t), ou simplesmente y, a partir da qual será tomada a decisão pelo it que mais provavelmente foi transmitido. Esta variável de decisão é dada por: y = T 0 T 0 0 x( t) kg( t) dt = [ g( t) + w( t)] kg( t) dt T [ ( )] = ± A + w t kadt T ka T ka w( t) dt 0 = ± + DAYAN ADIONEL GUIMARÃES 07/01 11

12 Vamos agora analisar o comportamento estatístico da variável de decisão y. Da teoria de processamento de sinais aleatórios, saemos que quando se aplica um processo Gaussiano à entrada de um sistema linear, a saída tamém será um processo Gaussiano. Além disto, o Teorema da Superposição diz que se à entrada de um sistema linear aplica-se um sinal composto pela soma de vários sinais, a saída pode ser determinada pela soma das saídas geradas por cada uma das parcelas componentes do sinal de entrada. O modelo de análise pode então ser ilustrado pela figura a seguir, para o qual teremos: T ( ) = = ± + ( ) 0 Parcela de sinal Parcela de ruído Gaussiano y T y ka T ka w t dt Portanto a variável de decisão y será gaussiana com média +ka T ou ka T, dependendo do it transmitido, e terá variância que dependerá da intensidade do ruído w(t), conforme ilustrado a seguir. Na figura anterior perceemos que a dispersão das gaussianas depende da intensidade de w(t). Perceemos ainda que, dada a transmissão de um it 1 ou +g(t), há uma possiilidade não nula da variável de decisão y ter um valor menor que λ. Da mesma forma, tendo-se transmitido um it 0 ou g(t) há uma possiilidade não nula de y ser maior que λ. Como a decisão é aseada na comparação de y com o limiar λ, é justamente nestas situações que teremos ocorrência de erro de decisão. A proailidade de erro será proporcional às áreas hachuradas na figura, da seguinte maneira: P e = p 01 p 1 + p 10 p 0 onde p 0 e p 1 são as proailidades de envio dos its zeros e uns, respectivamente. Estas proailidades são denominadas de proailidades a priori. Na prática estas proailidades são normalmente iguais e, neste caso, dizemos que os its são equiprováveis. Para calcularmos de forma exata as áreas anteriormente identificadas devemos calcular as integrais: λ p10 = f ( y 0) dy e p01 f ( y 1) dy λ onde f(y 0) e f(y 1) são densidades de proailidade gaussianas, condicionadas ao envio dos its 0 e 1, respectivamente. Estas densidades são muitas vezes denominadas de funções de verossimilhança. = DAYAN ADIONEL GUIMARÃES 07/01 1

13 Infelizmente tais integrais não têm solução analítica exata. Para resolvê-las temos que lançar mão de integrações numéricas que envolvem a função erro complementar, erfc(u), ou a função Q, Q(u). Para mais detalhes sore tais soluções numéricas, consulte o APÊNDICE ao final destas notas de aula. Para o prolema em questão, fazendo k = (A T ) 1/ e utilizando a função erfc(u), a proailidade de erro de decisão, que é igual à proailidade de erro de it, é determinada por: p A T 0 + λ p A T 1 λ Pe = erfc + erfc N N 0 0 Oserve mais uma vez que a P e depende das proailidades a priori dos its. Analisando o comportamento da função erfc(u) ilustrado a seguir, percee-se que seu valor decresce com o aumento do argumento. Portanto, aumentando a amplitude A aumenta-se a potência de transmissão e, por consequência, diminuí-se a proailidade de erro. Aumentando a intensidade do ruído, aumenta-se sua densidade espectral de potência, N 0, o que fará com que a proailidade de erro aumente. Se for aumentado o valor de T, que é igual a T na sinalização inária, aumenta-se a energia do it a uma dada amplitude A e, por consequência, diminui-se a P e. Por fim, e de maneira até certo ponto surpreendente, percee-se que a P e depende do limiar de decisão λ. Para o caso, o valor ótimo deste limiar é dado por: λ opt N p 0 0 = ln 4 A T p 1 de onde oservamos que tal limiar depende das proailidades a priori dos its. No caso de its equiprováveis, p 0 = p 1 = ½ e, portanto, o limiar de decisão vale zero. Na próxima aula determinaremos a expressão final do cálculo de proailidade de erro de it para a sinalização analisada (NRZ ipolar) em canal AWGN, interpretaremos suas variáveis E e N 0 e aprenderemos como aplicá-la com exercícios. DAYAN ADIONEL GUIMARÃES 07/01 13

14 APÊNDICE Cálculo numérico de área da cauda de uma Gaussiana via função erfc(x) ou Q(x) Quando prolemas sore proailidade envolvendo uma v.a. Gaussiana demandam cálculos de área da cauda da função densidade de proailidade, nos deparamos com um ostáculo: o cálculo desta área não tem solução analítica exata. Nestes casos utilizamos as funções erfc(x) e Q(x) cujo ojetivo é permitir um cálculo numérico da área em questão. Tais funções são definidas por meio das expressões: erfc( x) = exp u du x π 1 u Q( x) = exp du π x Estas funções se relacionam por meio de: ( ) erfc( x) = Q x 1 x Q( x) = erfc. Muitos softwares de cálculo e até calculadoras mais modernas contêm ao menos uma dessas funções emutidas. Ainda assim, muitas referências contêm taelas de valores destas funções para uma grande faixa de argumentos. Como alternativa, a expressão a seguir corresponde à expansão da função erfc(x) em uma série. Para 50 ou mais termos no somatório, o valor otido com a série se aproxima astante do valor exato da função até por volta de Para valores mais aixos do resultado tem-se que aumentar o número de termos do somatório. erfc( x) = 1 ( 1) π i= 0 i i+ 1 x i!(i + 1) A função Q(x) possui algumas aproximações, conforme ilustrado na figura a seguir, onde se pode identificar claramente em que faixa de valores do argumento tais aproximações são mais ou menos precisas. FIM DA AULA DAYAN ADIONEL GUIMARÃES 07/01 14

15 Aula nº 3 Data: / / Tema Análise de P e em anda-ase Conteúdo Ojetivos Continuação da análise de erro para o sistema de transmissão antipodal em anda-ase. Exercícios de fixação. Ao final da aula os alunos deverão ser capazes de: 1) interpretar a influência da energia média por it e da densidade espectral de potência de ruído na proailidade de erro de it em sistemas de comunicação digital. ) identificar as principais diferenças entre os critérios de decisão MAP e MV. 3) aplicar os conceitos estudados até o final desta aula na solução de exercícios. Expressão final de P e para a sinalização antipodal Ao final da aula passada chegou-se à seguinte expressão para a proailidade de erro de it para uma sinalização NRZ ipolar em canal AWGN: p A T 0 + λ p A T 1 λ Pe = erfc + erfc N N 0 0 Em seguida analisamos a influência das principais variáveis dessa expressão na proailidade de erro de it, P e. Por fim vimos que o limiar de decisão tamém tem influência na P e e que, para its equiprováveis (p 0 = p 1 = ½), o limiar ótimo se situa no ponto intermediário das médias das funções de verossimilhança condicionais. Para o caso da sinalização antipodal, λ = 0. Vamos agora simplificar a expressão anterior em função das condições p 0 = p 1 = ½ e λ = 0: 1 1 A T + 0 A T 0 1 A T Pe = erfc + erfc = erfc N N N Agora vamos definir uma importante grandeza que será muito utilizada ao longo do curso e tamém na prática e em outras disciplinas do curso de Engenharia de Telecomunicações. Trata-se da energia média por it, E, definida e calculada da seguinte maneira para o sistema so análise: E = p E + p E onde E 0 e E 1 são as energias dos pulsos que representam os its 0 e 1, respectivamente, na entrada do receptor. Nos casos onde p 0 = p 1 = ½, teremos: E = E + E 0 1 A energia do it 1 é a energia do pulso +g(t), o qual é retangular com amplitude A e duração T = T. A energia do it 0 é a energia do pulso g(t), tamém retangular com amplitude A e duração T = T : DAYAN ADIONEL GUIMARÃES 07/01 15

16 Então, E = g ( t) dt = A dt = A T 1 T T 0 0 e E E = [ g( t)] dt = ( A) dt = A T 0 A T + A T = = T T 0 0 A T Com este valor de E na última expressão de P e, temos finalmente a expressão de cálculo da proailidade de erro de it para uma sinalização NRZ ipolar em canal AWGN: P e 1 E erfc = N0 Como notaremos em outros momentos do curso, esta expressão é válida para calcular a BER de qualquer sinalização antipodal em canal AWGN. Vale mencionar que a relação E /N 0 é tamém uma importante grandeza que aparece com frequência na demonstração do desempenho de sistemas de comunicação, juntamente com a taxa de erro de it estimada ou BER (Bit Error Rate), conforme exemplificado a seguir. Exemplo: Vamos desenhar em um gráfico a BER de um sistema com sinalização NRZ ipolar em canal AWGN em função da relação E /N 0. No eixo vertical teremos os resultados de cálculo segundo a expressão de P e que acaamos de oter. No eixo horizontal teremos os valores de E /N 0, tipicamente em db. Teremos como resultado o gráfico dado a seguir. Se quiséssemos uma BER = , o que equivale à ocorrência de 1 erro de it a cada its transmitidos, em média, de acordo com o gráfico dado deveríamos operar com E /N 0 6,8 db. Seja N 0 = 10 6 watts/hz e suponha que queremos encontrar a potência média de recepção necessária para prover a BER alvo, saendo que o sistema opera com taxa de its de 300 kit/s. Inicialmente vamos calcular E : Para P e = temos que 10 3 = erfc( E / N 0 ). Do gráfico da função erfc(u) dado na aula passada otemos o valor do argumento aproximadamente igual a,. De forma DAYAN ADIONEL GUIMARÃES 07/01 16

17 alternativa, utilizando a taela dada como ANEXO a estas notas de aula encontramos tamém um argumento aproximadamente igual a,. Então: E / N =, E =, N = 4,84 10 J Como a taxa de its é R = 300 kit/s, T = 1/R = 1/ = 3, s. Então, para garantir a BER de , a potência média na entrada do receptor deverá ser de, no mínimo, P = E /T = 4, /3, = 1,45 watts. Conhecendo a atenuação provocada no sinal ao atravessar o canal de comunicação, facilmente podemos calcular a potência média de transmissão necessária. Faça um exemplo como exercício, supondo que a atenuação de potência do canal é de 18 db. Critérios de decisão MAP (máximo a posteriori) e MV (máxima verossimilhança) Um critério de decisão astante intuitivo é aquele que opera segundo a regra: decida por 0 se a proailidade de se ter enviado o it 0, dada a oservação da variável de decisão, for maior que a proailidade de se ter enviado o it 1; decida por 1 se a proailidade de se ter enviado o it 0, dada a oservação da variável de decisão, for menor que a proailidade de se ter enviado o it 1; decida aritrariamente se amas as proailidades forem iguais. Este critério é denominado de MAP (máximo a posteriori). Matematicamente podemos escrever: decida por 0 se P(0 y) > P(1 y); decida por 1 se P(0 y) < P(1 y); decida aritrariamente se P(0 y) = P(1 y). Aplicando a regra de Bayes nas proailidades em questão, as quais são denominadas de proailidades a posteriori, otemos: P(0 y) p( y 0) p p( y) p( y 1) p p( y) 0 1 = e P(1 y) = Utilizando este resultado no critério MAP definido anteriormente e oservando que p(y) terá o mesmo peso em amos os lados das comparações, otemos: decida por 0 se p( y 0) p 0 > p( y 1) p 1 ; decida por 1 se p( y 0) p 0 < p( y 1) p 1 ; decida aritrariamente se p( y 0) p 0 = p( y 1) p 1. Percea que para aplicar na prática este critério de maximização das proailidades a posteriori temos que conhecer as proailidades a priori p 0 e p 1, que são as proailidades de envio dos its 0 e 1, respectivamente. DAYAN ADIONEL GUIMARÃES 07/01 17

18 Quando as proailidades a priori são idênticas, caso mais comum na prática, a regra de decisão em questão resume-se a comparar as magnitudes das densidades de proailidade condicionais envolvidas. Como vimos, estas densidades são usualmente denominadas de funções de verossimilhança e, por esta razão, este novo critério é denominado de MV (máxima verossimilhança). Ele pode ser assim escrito: decida por 0 se p( y 0) > p( y 1) ; decida por 1 se p( y 0) < p( y 1) ; decida aritrariamente se p( y 0) = p( y 1). Na aula anterior analisamos este critério por um outro ponto de vista, mas que leva ao mesmo resultado. Percea na ilustração a seguir que decidir em função do valor da variável de decisão estar à esquerda ou à direita do limiar de decisão corresponde exatamente à decisão tomada em função da comparação entre as funções densidade de proailidade condicionais (funções de verossimilhança), conforme dita o critério MV. Exercícios de fixação 1) Os its 1, 0, 1, 1 são transmitidos por pulsos NRZ ipolares de duração T e amplitude A. Pede-se: a) a) Supondo ausência de ruído, esoce a forma de onda de saída do correlator do receptor. ) Supondo ausência de ruído, esoce a forma de onda de saída do filtro casado do receptor. c) Supondo presença de ruído, esoce a forma de onda de saída do correlator do receptor. d) Supondo presença de ruído, esoce a forma de onda de saída do filtro casado do receptor. ) Percea que, emora as formas de onda de saída do correlator e do filtro casado sejam completamente diferentes, o que se justifica pelo fato dos correspondentes circuitos serem diferentes, amostras tomadas ao final do intervalo de cada it, em amas as formas de onda, DAYAN ADIONEL GUIMARÃES 07/01 18

19 levarão aos mesmos valores. Isto justifica o desempenho idêntico destas duas estruturas de recepção. c) d) Oserve que, nos momento de amostragem, o ruído fará com que os valores das amostras sejam diferentes dos esperados. O ruído pode ser tão intenso (alto valor de N 0 ) a ponto de fazer com que um pulso positivo transmitido gere uma amostra de valor negativo, levado à condição de erro na decisão (erro de it). ) As figuras a seguir mostram os histogramas (aproximações das funções densidade de proailidade) para (a) o sinal na entrada do correlator e () o sinal na saída do dispositivo de amostragem, após o correlator, em um sistema de comunicação digital em anda-ase com sinalização inária antipodal e formatos de pulso retangulares. Pede-se: a) Explique a razão para a diferença entre tais histogramas. ) O que se pode dizer a respeito da taxa de erro de it proporcionada por tal sistema? Ele deve ser alta, média ou aproximadamente nula? Justifique sua resposta Histogram Histogram (a) () a) Ao aplicarmos ruído a um filtro casado (ou correlator), temos uma redução de potência deste ruído, da entrada em relação à saída, conforme ilustrado a seguir: DAYAN ADIONEL GUIMARÃES 07/01 19

20 A redução de potência corresponde a uma redução na variância do ruído e, por consequência, uma redução na dispersão de sua densidade de proailidade. É por esta razão que as gaussianas na entrada do sistema estão sorepostas (alta variância = alta potência) e na saída estão afastadas (aixa variância = aixa potência). ) A BER será nula, pois não está havendo soreposição das caudas das densidades de proailidade. Vale lemrar que a proailidade de erro está associada às amostras de saída do filtro casado ou do correlator. Se aumentarmos a intensidade do ruído ou diminuirmos a potência de transmissão a ponto de fazer com que comece a haver soreposição entre as gaussianas de saída do correlator, começaremos a perceer o aumento na proailidade de erro. 3) Um sistema de comunicação digital em anda-ase está operando em um canal AWGN. A figura aaixo mostra, em um determinado intervalo de oservação, a forma de onda da sinalização inária transmitida (1), a forma de onda de saída do correlator implementado com um integrate-and-dump () e o limiar de decisão (3). Pergunta-se e/ou pede-se: a) A sinalização inária em questão é ipolar ou unipolar? Justifique. A sinalização é ipolar devido ao fato de existirem rampas positivas e negativas na forma de onda de saída do correlator. ) Qual é a taxa de transmissão, em its por segundo? Podemos contar o número de its no intervalo considerado e dividir um resultado pelo outro. Podemos tamém (de forma mais simples) calcular a taxa de its através do inverso da duração de um it, ou seja, R = 1/T = 1/0,01 = 100 it/s. c) Plote sore a forma de onda () a forma de onda que seria otida na saída do amostrador do tipo amostra-e-retém (sample & hold S&H), colocado na saída do correlator. Veja a solução no gráfico a seguir. d) Indique na figura qual o momento em que haverá um erro na decisão e, portanto, um correspondente erro de it. Aponte a causa desse erro. Veja a solução no gráfico a seguir. A causa deste erro é a influência do ruído que fez com que a integral correspondente ao 9º it tivesse seu valor positivo, mesmo tendo-se transmitido um it 0 (pulso negativo). Oserve tamém que a decisão sore um determinado it ocorre somente após um intervalo de integração completo. Em outras palavras, a decisão sore o n-ésimo it ocorre no instante de tempo (n + 1)T. DAYAN ADIONEL GUIMARÃES 07/01 0

21 4) Qual a definição de taxa de erro de it? Taxa de erro de it = número de its errados / número de its transmitidos no intervalo considerado. 5) Qual a relação entre a taxa de transmissão de símolos R e a duração de um it, T? A taxa de its, medida em its/segundo é o inverso da duração de um it, ou seja: R = 1/T. Em uma sinalização com M símolos a taxa de símolos será R = R /log M = 1/T log M. 6) Como se calcula a energia média por it, dados os formatos de pulso g 1 (t) e g (t), a regra de mapeamento entre os its e estas formas de onda e as proailidades de envio dos its? E = p E + p E T 0 = 1 e 0 Usando o mapeamento: it 0 g1( t) e it 1 g( t) tem-se: E g ( t) dt = T 1 0 E g ( t) dt 7) Que relação existe entre a energia média por it E, a potência média de transmissão e a duração do it, T? A energia de um pulso, por definição, é o produto da potência média pela duração do pulso. Então E = PT, onde P é a potência média. 8) Para um valor de E /N 0 = 8 db, estime a proailidade de erro de it para uma sinalização antipodal em canal AWGN. DAYAN ADIONEL GUIMARÃES 07/01 1

22 1 E N0 EE 10 SISTEMAS DE COMUNICAÇÃO II 8/10 8/10 Saemos que P = erfc = erfc ( 10 ) = erfc ( 10 ) erfc (,51) e Pela taela dada como anexo, ½erfc(,5) = BER = P e =, Do gráfico de BER E /N 0 dado nestas notas de aula tamém otém-se este valor de P e por aproximação. 9) Bits gerados por uma fonte equiprovável são representados por pulsos NRZ ipolares de duração 1 ms e amplitude 1 mv. Calcule a energia média por it, E. E0 + E 1 Se p 0 = p 1 = ½, E = p0e0 + p1e 1 =. Então 1ms 9 0 = (0,001) = 1 10 = 1 0 E dt E, o que leva a E = Joules. 10) Dois sistemas de comunicação (A e B) com sinalização NRZ ipolar operam so a mesma intensidade de ruído em um canal AWGN. O sistema A opera a uma P e 1, Quanto a mais de potência de transmissão estará utilizando o sistema A, se B opera com P e 4,4 10 3?. E A = 1 4 Sistema A: erfc 1, 10 Sistema B: N0 Da taela da função erfc(x) em anexo otém-se: 1 erfc E B = N 0 4, erfc x x 1 4, ,85 erfc x = x =. 4 3 Para ( ) = 1, 10 =,6 e para ( ) Então: E A,6 N = e B 1,85 N =, o que leva a: A 6,76 N = e B 3,4 N =. 0 E 0 E 0 E 0 Como N 0 é o mesmo para os dois sistemas, dividindo os um resultado pelo outro encontraremos a relação de energias que, por consequência, será a relação de potências. Portanto, o sistema A opera com 6,76/3,4 = 1,98 vezes mais de potência, ou seja, aproximadamente 3 db a mais. 11) Para o exercício 10, calcule o valor de E para os dois sistemas, saendo que a densidade espectral de potência de ruído vale N 0 = E / N = 6, 76 E = 6, e E / N = 3, 4 E = 3, 4 10 A 0 A B 0 B 1) Discuta com alguns colegas e procure justificar os nomes para as proailidades a posteriori P(0 y) e P(1 y) e para as proailidades a priori p 0 e p 1. Aproveite para fazer uma pesquisa que o permita definir o conceito do termo verossimilhança. DAYAN ADIONEL GUIMARÃES 07/01

23 ANEXO Taela de valores da função erro-complementar x erfc(x) x erfc(x) x erfc(x) x erfc(x) E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E-08 FIM DA AULA DAYAN ADIONEL GUIMARÃES 07/01 3

24 Aula nº 4 Conteúdo Ojetivos Data: / / Tema Interferência intersimólica Transmissão M-PAM. Interferência intersimólica (IIS). Transmissão sem distorção. Ao final da aula os alunos deverão ser capazes de: conceituar a sinalização M-PAM em anda ase, explicando suas vantagens e desvantagens. ) definir interferência intersimólica. 3) definir transmissão sem distorção, associando o conceito à IIS. Transmissão M-PAM em anda-ase Um sinal M-PAM (Multilevel Pulse Amplitude Modulation) em anda-ase é uma sequência de pulsos de diferentes amplitudes, contendo um número de níveis M = k, onde k é o número de its que cada nível representa. Nesta forma de transmissão os its de informação são agrupados em entidades denominadas de símolos. Por exemplo, na sinalização inária tem-se M = símolos e um it corresponde a um símolo. Na sinalização quaternária tem-se M = 4 e dois its são representados por um símolo, e assim por diante. O termo símolo tamém pode ser atriuído a cada uma das possíveis formas de onda do sinal transmitido. Por exemplo, numa transmissão quaternária podemos representar cada par de its (diit) 3 por uma forma de onda ou símolo diferente, dentre as 4 formas de onda possíveis. Na figura a seguir tem-se a ilustração de um sinal 4-PAM com pulsos retangulares e a correspondente sequência de its que tal sinal 4-PAM representa. Devemos nos atentar para a ligeira diferença entre o conceito de símolo quando associado à sequência de its de informação e o conceito de símolo quando associado às formas de onda de transmissão. No primeiro caso um símolo é um conjunto de k = log M its. No segundo caso um símolo é uma das M formas de onda da sinalização, onde cada uma representa ou transporta k = log M its. Devemos ainda ficar atentos para a relação entre a duração de um símolo, T, e a duração de um it, T, dada por: 3 É comum dar os nomes diit, triit e quadriit aos conjuntos de dois, três e quatro its, respectivamente. DAYAN ADIONEL GUIMARÃES 07/01 4

25 T = kt = T log M O ojetivo da sinalização M-PAM é reduzir a largura de faixa (BW andwidth) do sinal transmitido ou aumentar a taxa de its em uma determinada BW. A duração de um símolo transmitido no canal é quem determinará a anda ocupada pelo sinal. Portanto, se quisermos reduzir a anda a uma taxa de its fixa, devemos aumentar a duração dos símolos e, por consequência, aumentar M. Se quisermos manter a anda ocupada devemos manter a duração dos símolos. Assim, para aumentarmos a taxa de its de informação em uma dada anda devemos transportar mais its por símolo e, por consequência, devemos tamém aumentar M. Como na Engenharia quase sempre se ganha de um lado e se perde de outro, com o aumento do número de símolos da sinalização o receptor terá mais dificuldade de distinguir um número maior de níveis (símolos). Para compensar este efeito, para a mesma performance da sinalização inária, a sinalização multinível (M > ) necessitará maior potência de transmissão. Na sinalização inária temse a possiilidade de uma potência de transmissão menor, mas para uma dada taxa de its é necessário maior BW que na sinalização multinível. A solução para este impasse é a conhecida solução de compromisso, que leva em conta se o sistema é limitado em potência ou em largura de faixa. Vejamos este conceito por meio de um exemplo. Exemplo Sistema com limitação de anda maior que a limitação de potência: em torres de telefonia celular é comum vermos antenas paraólicas diretivas, com formato parecido com um tamor, cujo ojetivo é realizar a comunicação com outra parte remota do sistema. Esta comunicação é normalmente realizada na faixa de microondas. Como em saemos, o espectro eletromagnético nas proximidades da superfície da terra encontra-se astante congestionado. Portanto, este exemplo trata de um sistema com grande limitação de anda, pois quanto maior a anda ocupada, maior a contriuição para o congestionamento do espectro. Então, o sinal transmitido deverá conter um grande número de símolos. Na prática, uma modulação tipicamente utilizada é chamada de 56-QAM 4, ou seja, trata-se de uma modulação com 56 símolos. Exemplo Sistema com limitação de potência maior que a limitação de anda: na comunicação de sondas espaciais com as estações terrenas, a economia de potência é de fundamental importância, posto que tais sondas normalmente têm seu sistema de alimentação realizado pela conversão de energia solar. Este é um típico exemplo de um sistema onde a limitação de potência é mais importante que a limitação de anda. Em casos como este, modulações com poucos símolos (4-PSK, por exemplo) são utilizadas para prover o sistema com alta imunidade ao ruído. Geração da forma de onda de transmissão para um sinal M-PAM Vimos que um método astante usual na prática para a geração da sequência de pulsos g(t) para uma sinalização inária (-PAM) foi realizado por meio do sistema mostrado na figura a seguir. Recorra às notas de aula passadas caso tenha dúvidas sore o funcionamento deste método. 4 As modulações M-QAM e M-PSK nada mais são que outras formas de adequação do sinal a ser transmitido ao canal, porém em anda-passante. A segunda metade do nosso curso será destinada inteiramente a modulações como estas. DAYAN ADIONEL GUIMARÃES 07/01 5

26 Vamos agora generalizar tal método para uma sinalização M-PAM com M qualquer, utilizando como exemplo a geração de um sinal 4-PAM. Para tanto, considere o filtro de transmissão com resposta ao impulso dada na figura a seguir. Considere o diagrama de locos para o transmissor M-PAM mostrado na figura a seguir, do qual facilmente se pode oter o transmissor -PAM estudado anteriormente, astando fazer M =. Para um sinal 4-PAM teremos as seguintes formas de onda ao longo do processo de geração do sinal: Sequência de its de informação: Sinal 4-PAM de saída do gerador M-PAM: Sinal 4-PAM de saída do segundo conversor: DAYAN ADIONEL GUIMARÃES 07/01 6

27 Forma de onda 4-PAM transmitida à saída do filtro de transmissão (em linhas tracejadas está o sinal 4-PAM de saída do segundo conversor): Interferência Intersimólica (IIS) Tendo aprendido como se implementa uma sinalização M-PAM e qual o seu propósito, vamos retornar à sinalização inária, por facilidade de entendimento, para analisarmos o sistema mostrado a seguir. As conclusões otidas com a análise realizada através da sinalização inária tamém se aplicarão à sinalização multinível. dados inários de entrada { k } Modulador PAM { a k } Pulsos de temporização ( clock) Transmissor Filtro de transmissão g( t) s( t) Canal h( t) Canal x0 ( t) ( ) Σ Ruído ranco w( t) x t Filtro de recepção y( t ) y( t i ) c( t) Amostra em t i = it Receptor Dispositivo de decisão Limiar de decisão, λ 1 se y( ti) > λ 0 se y( t ) < λ i Neste sistema os dois locos mais à esquerda são responsáveis por gerar a sequência de pulsos g(t) que comporá a forma de onda de transmissão, s(t). Adotando a convenção 1 +g(t) e 0 g(t), os pulsos {a k } corresponderão a uma sequência de pulsos estreitos e de amplitudes +1 ou 1. O canal com resposta h(t) foi inserido no sistema para representar eventuais comportamentos de distorção causada por filtragem do sinal de entrada. Por exemplo, se estivermos realizando uma transmissão via um par metálico como à nossa linha telefônica, as resistências, indutâncias e capacitâncias distriuídas ao longo desta linha causarão um efeito de filtragem passa-aixas que fará com que uma sequência de pulsos retangulares aplicada à sua entrada tenha, em sua saída, um aspecto parecido com aquele ilustrado pela figura a seguir. Depois de sofrer este efeito de filtragem, o sinal é contaminado com a adição de ruído ranco, fenômeno que já conhecemos. Saemos que a convolução de um pulso com uma resposta ao impulso qualquer gera como resultado um sinal cuja duração é maior ou igual à duração do pulso de entrada. Portanto, somente se o canal tiver anda infinita a duração do pulso de saída será igual à duração do pulso de entrada. Em uma situação prática este alargamento ou dispersão temporal dos pulsos ao atravessarem o canal pode fazer com que símolos adjacentes se soreponham. Esta soreposição pode causar o fenômeno conhecido como Interferência Intersimólica (IIS). Este fenômeno de dispersão temporal pode ser facilmente explicado à luz da dualidade tempo frequência: quando se reduz as componentes de frequência de um sinal, eleva-se a duração do sinal; quando se reduz a duração de um pulso, eleva-se a anda por ele ocupada. A figura a seguir ilustra este comportamento. DAYAN ADIONEL GUIMARÃES 07/01 7

28 A IIS é um dos grandes vilões dos sistemas de comunicação, pois limita drasticamente a taxa de transmissão. Isto ocorre porque quanto menor a duração de um símolo (maior taxa de transmissão), maior a anda do sinal e maior será a chance de ocorrência de soreposição temporal de símolos adjacentes. O nosso ojetivo agora é projetar adequadamente os filtros de transmissão e de recepção para tentar evitar o aparecimento da IIS. Antes, porém, vamos analisar uma das condições suficientes em que um canal de comunicação não causa distorção no sinal que passa por ele, estudando o conceito de transmissão sem distorção. Transmissão sem distorção (condição suficiente) Seja o canal a seguir: No domínio da frequência o sinal de saída pode ser calculado por meio da multiplicação do sinal de entrada pela resposta em frequência do canal, o que permite escrever: X ( ) ( )exp( ) 0 f ks f j π fτ H ( f ) = = = k exp( j π fτ ) S( f ) S( f ) De onde otemos a magnitude e a fase da resposta em frequência do canal: H ( f ) = k e Θ ( f ) = π fτ Vamos esoçar a magnitude e a fase encontrada para o canal so análise: Interpretando estes resultados concluímos que, para que um canal não cause distorção em um sinal ele deve ter a magnitude de sua resposta em frequência constante, ou seja, H( f ) = k, e a fase de sua resposta em frequência com comportamento linear, ou seja, Θ( f ) = πfτ. DAYAN ADIONEL GUIMARÃES 07/01 8

29 Por meio deste conceito perceemos que não somente a anda do canal deve ser levada em conta, mas tamém a sua resposta de fase. Uma resposta de fase linear implica em tempo de propagação τ idêntico para todas as componentes de frequência do sinal, condição suficiente para não haver distorção do sinal transmitido ao passar pelo canal. Na prática asta que as condições de magnitude constante e fase linear sejam atendidas dentro da faixa em que a maior parte da energia do sinal se concentra, como ilustrado na figura a seguir. Nesta figura S(f) é a densidade espectral de potência (DEP) do sinal transmitido. É importante ressaltar que, na prática, qualquer sinal que tenha pulsos confinados no tempo terá anda infinita. Analogamente, qualquer sinal que tenha espectro confinado em uma determinada faixa, terá pulsos com duração infinita. Por exemplo, se estivermos transmitindo pulsos retangulares, saemos que o espectro terá relação com a função sinc(f). Temos neste caso um típico exemplo de pulso confinado, para o qual o espectro é infinito. Entretanto, a maior parte da energia de tais pulsos se encontra no chamado loo (ou lóulo) principal do espectro. Sendo assim, se o canal tiver magnitude da resposta em frequência constante e fase linear na largura de faixa do lóulo principal do sinal, não haverá distorção significativa do sinal, situação esta tolerada sem maiores prolemas na prática. A figura a seguir ilustra este exemplo. FIM DA AULA DAYAN ADIONEL GUIMARÃES 07/01 9

30 Aula nº 5 Conteúdo Ojetivos Data: / / Tema Critério de Nyquist para IIS nula Critério de Nyquist para interferência intersimólica (IIS) nula. A IIS e a equalização Ao final da aula os alunos deverão ser capazes de: 1) definir ISI do ponto de vista de soreposição temporal nos instantes de decisão. ) interpretar o critério de Nyquist para ISI nula no domínio do tempo e da frequência. 3) definir o papel do equalizador em um sistema de comunicação digital. Critério de Nyquist para IIS nula Tendo como referência o sistema ilustrado na figura a seguir, inicialmente vamos definir um novo formato de pulso correspondente à cascata entre o filtro de transmissão, o canal e o filtro de recepção, desconsiderando-se o ruído num primeiro momento. A este pulso vamos dar o nome de µp(t) = g(t) c(t) h(t), onde µ é uma constante de atenuação ou ganho desta cascata como um todo. No domínio da frequência, P(f) é a transformada de Fourier de p(t). À sequência de amostras de p(t) damos o nome de p δ (t). À transformada de Fourier da sequência p δ (t) damos o nome de P δ (f), conforme ilustra a figura a seguir. Exemplo Suponha que a sequência de its tenha sido transmitida, saendo que p(t) tem a forma ilustrada na figura a seguir e que a sinalização é antipodal. Vamos analisar a sequência de pulsos p(t) na saída do filtro de recepção, mostrada na figura a seguir. Nesta figura tem-se tamém a soma dos pulsos, a qual corresponderá à forma de onda de saída do filtro de recepção, y(t). DAYAN ADIONEL GUIMARÃES 07/01 30

31 Por meio da figura anterior percee-se que, emora haja soreposição temporal de símolos vizinhos, esta soreposição é nula nos instantes de amostragem. Estes instantes são múltiplos inteiros da duração de um símolo e os pontos ideais de amostragem correspondem aos picos dos pulsos p(t). Como exemplo, quando for colhida a amostra referente ao 4º pulso será otido o seu valor máximo sem a influência dos pulsos vizinhos, pois estes têm valor nulo neste instante. Na figura em questão, oserve ainda que nos instantes ideais de amostragem a forma de onda de saída do filtro de recepção tem valores iguais aos picos dos pulsos isolados. Com estas novas informações podemos agora definir a IIS de uma forma um pouco mais precisa: Interferência Intersimólica é a soreposição temporal de símolos vizinhos na saída do filtro de recepção no momento da decisão. Exemplo Vamos repetir o exemplo anterior para um novo formato de pulso p(t) ligeiramente diferente do primeiro, conforme ilustra a figura a seguir. Vamos mais uma vez analisar a sequência de pulsos p(t) na saída do filtro de recepção, como mostrado na figura a seguir. Nesta figura percee-se nitidamente que nos instantes de amostragem ótimos os pulsos vizinhos do pulso de interesse não têm sempre valor nulo. Esta situação configura a existência de IIS e, como resultado, os valores esperados das amostras serão modificados pelos pulsos vizinhos, fazendo com que o sistema como um todo fique menos rousto frente ao ruído. DAYAN ADIONEL GUIMARÃES 07/01 31

32 Percea que a IIS por si só não causa erros de decisão, a não ser em casos extremos nos quais ela é muito elevada. O que a IIS causa na prática é um aumento da proailidade de erro de it, justamente por alterar os valores das amostras e tornar o sistema mais susceptível à influência do ruído. Com estes exemplos percee-se que há uma condição para a ausência de IIS: o pulso p(t) deve ter nulos em todos os múltiplos inteiros de T, exceto no seu ponto de máximo. Desta condição podemos extrair um importante critério: Para evitarmos a IIS teremos que projetar aqueles elementos sore os quais temos controle, ou seja, os filtros de transmissão e de recepção. Em resumo, se a cascata entre o filtro de transmissão, o canal e o filtro de recepção tiver uma resposta ao impulso contendo nulos em múltiplos inteiros do intervalo de sinalização (tempo de símolo), teremos IIS nula. Agora vamos analisar o que este critério representa no domínio da frequência. Considere o pulso p(t) ilustrado na figura a seguir. Suponha que sejam colhidas amostras espaçadas de T, onde T = T na sinalização inária, levando à sequência de amostras tamém ilustrada na figura em questão. Perceese que, devido ao fato de existirem amostras não nulas do pulso p(t) fora do seu ponto de máximo, tal pulso causará IIS em pulsos vizinhos. Além disto, oservou-se anteriormente que esta sequência de amostras tem como espectro réplicas de P(f) deslocadas de múltiplos inteiros da frequência de amostragem f S = R = 1/T, genericamente. Como registrado na figura so análise, estas réplicas levarão a um valor não constante para P δ (f). Vale lemrar que para sinalização inária f S = R = 1/T. Agora considere a situação ilustrada pela figura a seguir. Nela percee-se que o pulso p(t) tem valor nulo em todos os instantes de amostragem diferentes do seu ponto de máximo. Isto leva a termos uma única amostra no sinal p δ (t) e, como consequência, P δ (f), que é a transformada de um impulso, neste caso, terá um valor constante. Podemos agora definir matematicamente o chamado Critério de Nyquist para IIS nula, que pode ser expresso da seguinte maneira: A interferência intersimólica será nula se a resposta em frequência da cascata entre o filtro de transmissão, o canal e o filtro de recepção, após amostragem, respeitar a expressão: n= n P f = Pδ ( f ) = constante T DAYAN ADIONEL GUIMARÃES 07/01 3

33 Sempre que a soma das réplicas do espectro de p(t), ou seja, P δ (f) for constante, no domínio do tempo p(t) terá nulos em múltiplo inteiros do intervalo de sinalização e, portanto, não haverá IIS. Como já antecipado, para conseguirmos atender ao critério de Nyquist deveremos projetar os filtros de transmissão e de recepção adequadamente. Como veremos mais adiante, qualquer espectro P(f) que tiver a chamada simetria vestigial em torno de 1/T atenderá ao critério de Nyquist para a IIS nula. Veremos ainda que os formatos de pulso e espectro deste tipo que são mais utilizados na prática são os pulsos e espectros co-seno elevado e raiz de co-seno elevado. A interferência intersimólica e a equalização Na prática, muitas vezes não conseguimos ter um canal de comunicação que não distorça o sinal transmitido, ou seja, há situações nas quais o canal não tem magnitude da resposta em frequência plana e/ou não tem resposta de fase linear na faixa de frequências do sinal transmitido. Nesta situação não conseguiremos projetar o sistema de tal forma que atendamos ao critério de Nyquist para IIS nula. Para resolver o prolema teremos que inserir um novo comportamento de filtragem na saída ou na entrada do filtro de recepção para tentar cancelar a distorção causada pelo canal. Uma das formas mais simples de cancelamento consiste da implementação de um filtro com resposta inversa da resposta do canal, como ilustrado a seguir. A este novo elemento denominamos equalizador. Entretanto, muitas das aplicações têm canais de comunicação variáveis no tempo. Nestes casos o equalizador torna-se astante complexo e assume sua forma adaptativa, ou seja, sua resposta em frequência se adapta às variações da resposta em frequência do canal. São exemplos destes casos os equalizadores utilizados em sistemas de comunicação móvel celular. FIM DA AULA DAYAN ADIONEL GUIMARÃES 07/01 33

34 Aula nº 6 Conteúdo Ojetivos Data: / / Tema Filtros de Nyquist Interferência Intersimólica continuação: a simetria vestigial e os filtros co-seno elevado e raiz de co-seno elevado. Diagrama de olho. Ao final da aula os alunos deverão ser capazes de: 1) associar o critério de Nyquist para IIS nula ao formato de pulso co-seno elevado e raiz de co-seno elevado. ) identificar outras respostas em frequência que atendam ao critério de Nyquist devido à simetria vestigial. 3) interpretar a influência de ruído e/ou de IIS via análise do diagrama de olho. Simetria vestigial em P(f) Emora esteja associada com a análise de interferência intersimólica, a simetria vestigial é um conceito puramente geométrico. Para entendê-la considere o espectro do pulso p(t) na saída do filtro de recepção, conforme ilustrado na figura a seguir. Considere, por exemplo, o espelhamento da parte à direita de R/ = 1/T para a esquerda. Considere agora o espelhamento do resultado anterior para cima, como ilustra a figura. Se a parte espelhada final coincidir com a curva de P(f) à esquerda de R/, temos a chamada simetria vestigial em torno de ±R/. Qualquer figura geométrica correspondente a P(f) que tenha esta propriedade em torno de ±R/ terá como P δ (f) = ΣP(f nr) uma constante e, portanto, P(f) atenderá ao critério de Nyquist para IIS nula. Esta situação é exemplificada na figura a seguir. Para o formato de P(f) exemplificado, vejamos o que acontece se tornarmos cada vez mais aruptas as quedas do espectro em torno de ±R/. A figura a seguir ilustra o comportamento resultante: no caso mais arupto tem-se a anda de P(f) ocupando exatamente B T = W = R/ Hz e no caso menos arupto tem-se uma anda B T = R Hz. Estes diferentes níveis de inclinação podem ser associados a α, chamado fator de forma ou fator de roll-off do sistema linear correspondente à cascata do filtro de transmissão, do canal e do filtro de recepção. Portanto, para α = 0 tem-se a menor anda ocupada: B T = W = R/ Hz e para α = 1 tem-se a maior anda ocupada: B T = R Hz. Genericamente, para 0 α 1, a anda ocupada por P(f) será dada por: DAYAN ADIONEL GUIMARÃES 07/01 34

35 B T R 1 1 R = W + = + = + = + = + T T log M log M ( 1 α ) ( 1 α ) ( 1 α ) ( 1 α ) ( 1 α ) Em termos práticos, pode-se considerar a anda B T como sendo aproximadamente a anda que será ocupada pelo sinal transmitido. Pulso e espectro co-seno elevado Ao formato de espectro ilustrado pela figura anterior damos o nome de espectro co-seno elevado. 1, 0 f < f1 W 1 π ( f W ) P( f ) = 1 sen, f f < W f 4W W f 1 0, f W f1 1 1, onde f = W ( α ) 1 1 Quem dá o formato específico à resposta P(f) e ao valor da largura de faixa ocupada é o fator de forma (ou fator de roll-off) α, nitidamente identificado na expressão dada. A razão para o nome co-seno elevado deve-se ao fato de que, para α = 1, o formato da resposta P(f) entre 1/T e 1/T corresponde a um co-seno que, após ter sua posição vertical elevada, descansa sore o eixo das frequências. Verifique esta afirmação como exercício. O formato de pulso p(t) correspondente a P(f) é denominado pulso co-seno elevado e é ilustrado na figura a seguir para alguns valores do fator de forma α. Por esta figura percee-se nitidamente que, independente do fator de forma, o pulso p(t) tem nulos em múltiplos inteiros do intervalo de sinalização 1/T. Isto faz com que um determinado pulso não interfira em pulsos adjacentes, pois terá valores nulos nos momentos ótimos de amostragem dos pulsos adjacentes. DAYAN ADIONEL GUIMARÃES 07/01 35

36 É importante enfatizar que, genericamente, com a sinalização M-PAM, para termos IIS nula o espectro P(f) deverá apresentar simetria vestigial em torno de R/, onde R = 1/T = 1/(log MT ) é a taxa de sinalização (taxa de símolos). Desta forma, a anda ocupada pelo sinal será B T = (1 + α)r/ e os nulos do pulso p(t) ocorrerão em múltiplos inteiros do intervalo de sinalização T. Pulso e espectro raiz de co-seno elevado Consideremos mais uma vez o sistema de comunicação ilustrado a seguir. Nele, para que a IIS seja nula, deseja-se que a cascata entre o filtro de transmissão, o canal e o filtro de recepção tenha uma resposta do tipo co-seno elevado, ou seja, deseja-se que P(f) = G(f)H(f)C(f) tenha resposta do tipo coseno elevado. Para facilitar a presente análise, inicialmente considere o ruído ranco nulo. Fazendo isto será possível analisar exclusivamente o comportamento da interferência intersimólica. O ruído será incorporado em seguida, permitindo uma análise mais completa e realista do sistema. Se o canal tiver resposta plana e fase linear em toda a faixa de frequências do sinal de saída do filtro de transmissão, P(f) praticamente não sofrerá influência do canal, exceto por um atraso adicional da cascata como um todo, causada pelo canal. Sendo assim, nesta situação pode-se dizer que o formato para P(f) e para arg[p(f)] dependerá predominantemente da cascata G(f)C(f). Na prática é sempre interessante termos o maior número de componentes iguais em um sistema, o que proporcionará economia de escala e, por consequência, redução do custo e no preço do produto final ao consumidor. Então, para se ter filtros de transmissão e de recepção iguais e, ao mesmo tempo, se ter a resposta total P(f) desejada, deve-se usar a seguinte relação: G( f ) = P( f ), arg[ G( f )] = arg[ P( f )]/ C( f ) = P( f ), arg[ C( f )] = arg[ P( f )]/ DAYAN ADIONEL GUIMARÃES 07/01 36

37 Devido ao critério de projeto adotado nesta análise, denominamos os filtros de transmissão e de recepção projetados de filtros raiz de co-seno elevado. Damos o nome de espectro raiz de co-seno elevado e pulso raiz de co-seno elevado à resposta em frequência e à resposta ao impulso destes filtros, respectivamente. Estes filtros são largamente utilizados em sistemas reais e cumprirão o seu papel de evitar a IIS, desde que o canal não distorça o sinal que passar por ele, ou seja, desde que o canal não tenha influência no formato da resposta em frequência co-seno elevado desejada para a cascata. Caso o canal cause distorção, já saemos o que deverá ser feito: a inserção de outro loco no sistema, correspondente ao equalizador. Percea que, com o uso dos filtros de transmissão e de recepção do tipo raiz de co-seno elevado, é possível dar uma nova interpretação ao sistema so análise: pode-se interpretar o filtro de transmissão como um filtro formatador do pulso de transmissão e, por consequência, pode-se interpretar o filtro de recepção como um filtro casado com tal formato de pulso. Portanto, ao considerarmos o sistema mostrado na figura anterior, agora com a presença do ruído ranco, podemos dizer que o uso dos filtros de transmissão e de recepção do tipo raiz de co-seno elevado tem por ojetivo eliminar a interferência intersimólica e ao mesmo tempo minimizar a influência do ruído na variável de decisão. Diagrama de olho O diagrama de olho é uma ferramenta gráfica de extrema utilidade no projeto e na avaliação de sistemas de comunicação, pois permite avaliar a influência de IIS e de ruído e, ao mesmo tempo, permite caliração do sistema de sincronismo no tocante à definição dos instantes ótimos de amostragem do sinal de saída do filtro de recepção. Para entender como esta ferramenta é construída, considere a forma de onda de saída do filtro de recepção apresentada na parte superior da figura a seguir. Aaixo dela têm-se sucessivas fotografias sorepostas de pequenos trechos consecutivos da forma de onda em questão. DAYAN ADIONEL GUIMARÃES 07/01 37

38 Se continuarmos com este processo de soreposição de trechos da forma de onda so análise, chegaremos a um resultado como o ilustrado a seguir. Esta figura é denominada diagrama de olho devido ao fato da mesma se assemelhar a um olho. A figura a seguir nos auxilia na interpretação do diagrama de olho. Em seguida têm-se os parâmetros por ela considerados e suas interpretações. Best sampling time: é o melhor instante de amostragem, ou seja, é aquele instante em que o diagrama de olho está mais aerto e que, portanto, levará a amostras com valores o mais distantes possível do limiar de decisão (linha tracejada horizontal). Na ausência de IIS, no instante ótimo de amostragem teremos, como esperado, apenas M valores de amostra (M = para sinalização inária, M = 4 para quaternária, e assim por diante). Distortion at sampling time: está associado à faixa de variações dos valores das amostras colhidas. Quanto maior o grau de IIS ou a intensidade de ruído no sistema, mais larga será esta faixa. Portanto, um diagrama de olho fechado no sentido vertical indica forte presença de IIS, de ruído ou de amos. Enquanto o diagrama de olho mostrar aertura vertical pode-se afirmar que a taxa de erro de símolo é nula ou muito próxima de zero. Margin over noise: representa o quanto de ruído adicional o sistema pode suportar e ainda proporcionar decisões corretas. Níveis de IIS elevados ou aixa relação sinal-ruído, ou amos, fazem com que esta margem seja reduzida. Distortion of zero-crossings: certos formatos de pulso têm esta faixa mais estreita que outros. Quando esta faixa é astante estreita o sistema pode fazer uso dos cruzamentos por zero da forma de onda de saída do filtro de recepção para auxiliar no processo de recuperação de sincronismo, posto que a taxa e a posição de tais cruzamentos será praticamente constante. DAYAN ADIONEL GUIMARÃES 07/01 38

39 Sensitivity to timing error: para o diagrama ilustrado podem-se tomar amostras em qualquer ponto em que o olho esteja aerto. Se a inclinação da rampa de sensiilidade a erros de temporização for elevada, a faixa na qual tais amostras poderão estar localizadas diminuirá. Esta faixa é indicada na figura como time interval over which the received signal can e sampled. Um diagrama de olho aerto permite que os instantes de amostragem se situem em qualquer ponto dentro desta faixa, mas vale lemrar que fora do instante ótimo de amostragem o sistema estará mais sujeito à influência do ruído, pois a margin over noise será reduzida. A título de complementação, a seguir têm-se alguns diagramas de olho para diferentes situações em um sistema com sinalização quaternária. Oserve que a presença de ruído e a presença de IIS causam o fechamento vertical do diagrama praticamente da mesma forma. Isto nos permite afirmar que, num primeiro momento, não é possível identificar se é a IIS ou é o ruído a causa de fechamento do diagrama. Mais à frente, com um exercício, seremos capazes de aprender a realizar esta identificação de forma astante simples. Exercícios de fixação 1) Com suas palavras, defina Interferência Intersimólica. ) As formas de onda a seguir referem-se às saídas de dois filtros de recepção e foram geradas pela transmissão dos its A amostragem nas saídas destes filtros ocorre a uma taxa de amostras por segundo e os instantes ótimos de amostragem coincidem com a grade das figuras dadas. Pede-se: a) determine graficamente os valores das amostras dos correspondentes pulsos, saendo que a primeira amostra válida ocorre em t = 3 ms para o gráfico a e em t = 11 ms para o gráfico. ) Em qual das situações há IIS? Justifique. DAYAN ADIONEL GUIMARÃES 07/01 39

40 Na segunda situação há IIS, pois os valores das amostras são diferentes entre si. 3) Explique porque um canal pode provocar IIS quando a magnitude de sua resposta em frequência não é constante ou a sua fase não é linear na faixa espectral do sinal transmitido. Simplesmente porque estas são condições em que há distorção e, portanto, há modificação nos formatos dos pulsos, o que pode levar à ocorrência de IIS. 4) Proposta para estudo complementar não origatório. Faça um reve estudo procurando interpretar a relação entre o comportamento linear da resposta de fase de um canal e o atraso de propagação imposto a cada uma das componentes de frequência do sinal. Sua resposta deve, origatoriamente, conter a definição e a interpretação do termo atraso de grupo (group delay). 5) A figura a seguir ilustra o espectro do pulso p(t) na saída do filtro de recepção. Haverá ou não interferência intersimólica no sistema correspondente? Justifique sua resposta. DAYAN ADIONEL GUIMARÃES 07/01 40

41 Oservando a resposta em frequência dada notamos a presença de simetria vestigial e, portanto, trata-se de uma situação onde não há IIS, pois o critério de Nyquist para IIS nula é satisfeito para qualquer resposta P(f) que apresente simetria vestigial. 6) A figura a seguir corresponde ao formato de pulso p(t) na saída do filtro de recepção de um sistema de comunicação em anda-ase com sinalização quaternária operando a it/s. Saendo que o mapeamento it símolo segue a regra 00 3, 01 1, e 11 +3, esoce no gráfico dado a sequência de pulsos de recepção para os its transmitidos: , considerando atenuação nula ao longo do sistema. Verifique a ocorrência ou não ocorrência de IIS. Os: Os nulos de p(t) ocorrem em múltiplos de T. 7) Proposta para estudo complementar não origatório. Realize um estudo sore os conceitos associados à equalização adaptativa, conforme aordado no livro-texto p e digite um traalho em MS-Word, com no mínimo páginas, formato A4, caractere Times New Roman, 1 pontos e espaçamento simples, procurando atriuir ao texto uma sequência que permita que o funcionamento do equalizador representado pelo diagrama em locos a seguir seja explicado. Entregue ao professor na próxima aula e você terá um ônus pelo traalho realizado. DAYAN ADIONEL GUIMARÃES 07/01 41

42 8) Faça um esoço de um formato de espectro diferente daqueles apresentados no livro-texto ou em sala de aula e que atenda ao critério de Nyquist para IIS nula. Justifique sua escolha. Dica: qualquer formato de P(f) que tenha simetria vestigial em torno de R/ atende ao critério de Nyquist para IIS nula. 9) Se os filtros de transmissão e de recepção de um sistema de comunicação digital são do tipo raiz de co-seno elevado, que fatores podem fazer com que haja interferência intersimólica? Justifique sua resposta, explicando como esses fatores levam ao aparecimento da IIS. Dica: use uma aordagem matemática na sua explicação. Se os filtros estão projetados corretamente, somente o canal poderá estar causando IIS. Matematicamente, a resposta resultante P δ (f) não será constante neste caso. 10) A forma de onda na parte superior do gráfico a seguir corresponde à saída do filtro de recepção de um sistema de comunicação digital com sinalização inária em anda-ase. O trem de pulsos aaixo dessa forma de onda refere-se à sequência de pulsos de amostragem da saída do filtro de recepção. Pede-se: a) responda se há ou não há interferência intersimólica, justificando sua resposta. Admita que a relação sinal-ruído seja astante alta a ponto da influência do ruído poder ser desprezada. ) Determine a taxa de sinalização e a taxa de its. a) Dica: Se há amostras de valores diferentes dos dois valores esperados (sinalização inária) temos IIS, já que o ruído é desprezível. DAYAN ADIONEL GUIMARÃES 07/01 4

43 ) pelo gráfico, T = T = 1 µs. Portanto, R = R = 1/T = 1 Mit/s = 1 Msímolo/s. 11) O diagrama de olho a seguir foi otido na saída do filtro casado de um modem (contração das palavras modulador e demodulador) com sinalização quaternária. Pede-se: a) Discorra sore como você faria para afirmar que o fechamento vertical oservado no diagrama deve-se à influência de ruído e/ou IIS; ) No caso de constatação de IIS, atriua esse efeito a um dos elementos do sistema de comunicação, justificando; c) Determine a taxa de sinalização e a taxa de its; d) determine a anda ocupada pelo sinal transmitido, saendo que o filtro de transmissão tem fator de forma igual a 0,. a) Se aumentarmos a potência de transmissão e o diagrama de olho apresentar aertura vertical pode-se dizer que a principal causa do fechamento é o ruído (quando a potência é aumentada, a relação sinal-ruído tamém é aumentada e, portanto, o desempenho do modem é melhorado). Se o diagrama de olho não arir com o aumento de potência, temos IIS, pois a mesma sofre influência somente dos sistemas lineares envolvidos e não do ruído ou da potência de transmissão. ) A IIS pode ter sido causada por qualquer dos elementos: filtro de Tx, canal e/ou filtro de Rx. c) O espaçamento entre os pontos ótimos de amostragem no diagrama de olho é de 1 ms, que corresponde ao intervalo em que cada símolo é decidido. Portanto, a taxa de símolos é R = 1/T = 1000 símolos/s. Como a sinalização é quaternária, temos its por símolo e, portanto, a taxa de its é R = 1/T = 1/(T/) = R = 000 it/s. d) B T = (1 + α)r/ = 1, 500 = 600 Hz. DAYAN ADIONEL GUIMARÃES 07/01 43

44 1) Os diagramas de olho mostrados na figura a seguir foram otidos nas saídas dos filtros casados de dois sistemas de comunicação digital em anda-ase: o sistema (a) e o sistema (). Os diagramas da esquerda referem-se a uma potência de transmissão P 1 e os da direita a uma potência de transmissão P >> P 1 (as escalas estão normalizadas). Comente sore os diagramas no que se refere à influência do ruído e da interferência intersimólica nos dois sistemas. (a) () Para ajudar na solução, veja item a do exercício ) Dois sistemas de comunicação digital em anda-ase estão operando à mesma taxa e à mesma potência média de transmissão em canal AWGN, so efeito de uma mesma densidade espectral de potência de ruído. O canal possui magnitude da resposta em frequência plana e fase linear dentro de toda a faixa que o sinal ocupa. Amos os sistemas utilizam sinalização inária com formatos de pulso e filtros casados do tipo raiz de co-seno elevado (root raised cosine). Entretanto, o sistema A opera com fator de forma (roll-off) de 0, nos filtros de transmissão e recepção, enquanto que o sistema B opera com fator de forma de 1. Pede-se e/ou pergunta-se: a) Mesmo não havendo nenhuma outra condição de operação distinta entre os sistemas, oservou-se que, na presença de desvio (jitter) no instante de decisão ótimo, o sistema B apresentou taxa de erro de it inferior à do sistema A. Justifique o efeito oservado. Como dica, faça desenhos para auxiliá-lo na elaoração da justificativa. ) Procurou-se então eliminar tal comportamento de jitter e como efeito oservou-se que amos os sistemas passaram a apresentar a mesma taxa de erro de it. Esse comportamento era esperado? Justifique. 14) Quais dos sistemas a seguir proporcionam comunicação livre de IIS e em que condições (se houver alguma)? Os: em cada um dos sistemas a entrada é alimentada com uma sinalização M-PAM contendo pulsos astante estreitos (aproximados de impulsos) e cada saída refere-se à saída do filtro de recepção. Justifique suas escolhas e suas exclusões. DAYAN ADIONEL GUIMARÃES 07/01 44

45 Incondicionalmente: somente o sistema c, que tem resposta que atende ao critério de Nyquist. Condicionalmente: a (se o canal não causar distorção), d (se o canal tiver resposta plana e fase linear dentro da faixa do sinal transmitido). Os demais não têm resposta resultante que atenda ao critério de Nyquist e, portanto, causarão IIS incondicionalmente. 15) Dos sistemas apresentados na figura anterior, qual melhor representa um sistema real do ponto de vista da fidelidade com sua implementação? Justifique. O sistema d, pois tem como elementos aqueles locos que farão parte do sistema real. 16) A figura a seguir mostra o diagrama de olho oservado na saída do filtro casado de um sistema de comunicação digital M-PAM em anda-ase. Antes da transmissão, o sinal M-PAM foi filtrado por um filtro do tipo raiz de co-seno elevado com fator de forma α = 0,5. Pede-se: a) Calcule a taxa de símolos do sistema. ) Calcule o valor de M. c) Calcule a taxa de its do sistema. d) Calcule a anda ocupada pelo sinal M-PAM. e) Na figura dada percee-se um ligeiro fechamento vertical do diagrama de olho. Determine a causa desse fechamento. FIM DA AULA DAYAN ADIONEL GUIMARÃES 07/01 45

46 Aula nº 7 Conteúdo Ojetivos Data: / / Tema Representação geométrica de sinais Representação geométrica de sinais no espaço Euclidiano. Modelo de sistema para o estudo da representação geométrica de sinais. Síntese e de análise de sinais. Ao final da aula os alunos deverão ser capazes de: 1) fazer um paralelo entre os conceitos da representação de vetores pela cominação linear de vetores-ase e da representação de sinais pela cominação linear de funções-ase. ) conceituar a importância do estudo da representação do espaço de sinais. 3) realizar a síntese de uma forma de onda a partir do conhecimento das funções-ase e gerar os coeficientes a partir do conhecimento da forma de onda de interesse e das funções-ase. 4) realizar cálculos no espaço vetorial, que representem grandezas elétricas de uma forma de onda no domínio do tempo. 5) representar sinais no espaço de sinais por meio da constelação no espaço euclidiano, interpretando nesta representação: distâncias euclidianas, coeficientes, vetores-sinal, eixos-ase e energia dos símolos representados. No estudo da transmissão em anda-ase feito até este ponto do curso, emora tenhamos analisado a transmissão M-PAM, nos concentramos no projeto e na análise do receptor ótimo para uma sinalização inária ( símolos). O estudo da representação geométrica de sinais nos permitirá construir um conjunto de ferramentas matemáticas que nos auxiliem no projeto e na análise do receptor ótimo genérico, ou seja, aquele projetado para detectar e decidir de maneira ótima sore os símolos de uma sinalização com qualquer número de símolos. O estudo deste tema é de extrema importância, pois ainda fornece uma interface de transição suave do estudo da transmissão em anda-ase para o estudo da transmissão de sinais modulados em anda-passante. Representação geométrica de sinais 5 A representação no espaço de sinais é construída com ase na teoria de cominações lineares e é análoga à teoria de álgera linear. Inicialmente, vamos definir um espaço Euclidiano N-dimensional associado a N eixos ortogonais entre si. Vamos definir tamém um conjunto de vetores ortogonais {φ j }, j = 1,,, N, normalizados de tal forma que tenham comprimento unitário. Estes vetores são ditos ortonormais e formam uma ase ortonormal. Neste contexto podem então ser chamados de vetores-ase. Qualquer vetor v i, i = 1,,, M neste espaço Euclidiano pode ser gerado por meio da cominação linear N i = vij j j= 1 v φ (1) onde os coeficientes v ij correspondem à projeção do i-ésimo vetor no j-ésimo vetor-ase. Os valores destes coeficientes podem ser determinados pelo produto interno entre v i e φ j, ou seja T v ij = vi φ j () 5 Este item foi traduzido da seção II-A de e foi inserido nestas notas de aula como fundamento para o estudo da representação geométrica de sinais no espaço euclidiano. DAYAN ADIONEL GUIMARÃES 07/01 46

47 onde o superscrito T denota uma transposição matricial, v i = [v i1 v i v in ] T e φ j é tamém um vetor N- dimensional com o valor 1 na j-ésima posição e com zeros nas outras posições, ou seja, φ j = [ ] T para j = como exemplo. A Figura 1 ilustra estes conceitos para um espaço Euclidiano idimensional (N = ) e para dois vetores (M = ). Os eixos foram rotulados de forma que lemrem a associação com os vetores-ase. φ v v 1 v v 1 φ φ 1 v 1 0 φ 1 v 1 1 Figura 1. Representação no espaço de vetores para M = e N =. De maneira similar, pode-se utilizar o espaço Euclidiano para representar coeficientes que, numa cominação linear, dão origem a sinais em vez de vetores. Neste caso teremos os sinais N s ( t) = s φ ( t), i = 1,,..., M (3) i ij j j= 1 onde, agora, o conjunto {φ j (t)} é composto de N funções ortonormais, cada uma ortogonal às demais e tendo energia unitária, ou seja T 1, i = j φi ( t) φ j( t) dt = (4) 0 0, i j O conjunto de funções {φ j (t)} é tamém chamado de conjunto ortonormal e forma uma ase ortonormal. Então podemos dizer que {φ j (t)} é um conjunto de funções-ase ortonormais. Por meio da Figura 1 pode-se ver que o valor de um dado coeficiente é inversamente proporcional a uma medida de ortogonalidade entre o vetor analisado e o correspondente vetor-ase: quanto maior a ortogonalidade, menor o valor do coeficiente. Então, por analogia a essa álgera vetorial, podemos determinar os valores dos coeficientes em (3) por meio de uma medida de ortogonalidade entre a forma de onda analisada e a correspondente função-ase, o que leva intuitivamente à expressão: T i = 1,,..., M sij = si ( t) φ j( t) dt, (5) 0 j = 1,,..., N De fato a equação (5) tem uma justificativa matemática mais formal, o que se pode oter operando genericamente com as expressões (3) e (4). Vejamos: DAYAN ADIONEL GUIMARÃES 07/01 47

48 T x( t) y( t) dt = x φ ( t) y φ ( t) dt 0 0 = T N j j k k j= 1 k = 1 j= 1 k= 1 N j= 1 N N = x y = j T N x y φ ( t) φ ( t) dt j j k j k 0 T x y (6) A expressão (6) diz que a correlação entre dois sinais no domínio do tempo tem o produto interno entre os vetores correspondentes como seu equivalente no domínio vetorial. Estamos agora prontos para definir a representação de sinais no espaço Euclidiano: desde que conhecer o conjunto de coeficientes e as funções-ase é tão om ou suficiente quanto conhecer as próprias formas de onda geradas pela cominação linear destes, podemos tamém representar sinais num espaço Euclidiano. Nesta representação utilizamos pontos em vez de vetores, simplesmente para evitar uma poluição visual desnecessária no gráfico. Este tipo de representação é tamém conhecido como constelação de sinais, ou simplesmente constelação. A Figura mostra um espaço de sinais idimensional utilizado para representar as formas de onda s 1 (t) e s (t) através dos correspondentes vetores (pontos), aos quais damos o nome de vetores-sinais s 1 e s. φ s s s 1 s 1 E E 1 s 1 0 s 1 1 φ 1 Figura. Representação no espaço de sinais para M = e N =. Por meio da Figura pode-se notar que a norma de um vetor-sinal, ou seja, seu comprimento, pode ser determinada com o auxílio da Figura e da equação (6), resultando em: T T i1 + i = i i = i ( ) = i 0 s s s s s t dt E (7) Em termos mais genéricos, a distância de qualquer vetor-sinal à origem do sistema Euclidiano é igual à raiz quadrada da energia da forma de onda que este vetor-sinal representa, ou seja: T T N i = i ( ) = si si = 0 j= 1 ij = s i (8) E s t dt s A título de resultado complementar, a distância Euclidiana ao quadrado entre dois vetores-sinais é: DAYAN ADIONEL GUIMARÃES 07/01 48

49 N T ( ) [ ( ) ( )] ik = i k = ij kj = i k 0 j= 1 d s s s s s t s t dt (9) Modelo de sistema para o estudo da representação geométrica de sinais A figura a seguir ilustra o modelo de sistema que utilizaremos para análise da representação geométrica de sinais. A seguir tem-se uma reve descrição de cada um dos locos e dos sinais gerados ou processados por eles: o Message source: fonte de informação gera os its de informação na forma serial. Cada grupo de k its forma um símolo m i, dentre os k símolos possíveis. o Transmitter: transmissor a partir de cada símolo m i gera a correspondente forma de onda s i (t). Portanto, s i (t) tamém é denominada símolo. A diferença entre m i e s i (t) é que o primeiro é um símolo em forma de um conjunto de k its e o segundo é um símolo em forma de onda. O sinal s i (t) é confinado no intervalo de tempo de símolo T e, por esta razão, é chamado de sinal de energia, pois tem energia finita e potência nula. A energia de um símolo s i (t) é calculada por meio de: T E = s ( t) dt, i = 1,,..., M i 0 i Devemos ficar atentos para o fato de que s i (t) não representa a forma de onda do sinal transmitido. Uma sequência destes pulsos s i (t) é que forma o sinal transmitido. o Channel: canal para o presente estudo, o canal será considerado sem distorção, apenas contaminando o sinal pela adição de ruído ranco. Portanto, trata-se apenas de um canal AWGN (Additive White Gaussian Noise) livre de interferência intersimólica. o Receiver: receptor processa o sinal receido x(t) e toma a decisão sore o símolo transmitido. A estimativa do símolo transmitido, ˆm, é posteriormente mapeada no correspondente conjunto de its que ela representa. Síntese e de análise de sinais A essência do presente estudo é a possiilidade de representar qualquer conjunto de M sinais de energia, {s i (t)}, i = 1,,..., M, usando uma cominação linear de N funções ortonormais {φ i (t)}, i = 1,,..., N, com N M. Se, preferencialmente, tivermos N < M, significa que teremos a chance de gerar um conjunto de M formas de onda a partir da cominação de um número menor de formas de onda que servirão como ase, o que representa simplificação na implementação do sistema. DAYAN ADIONEL GUIMARÃES 07/01 49

50 A figura a seguir representa em diagramas de loco os processos de síntese e de análise das formas de onda associadas a cada símolo transmitido. Na parte (a) da figura tem-se a síntese de s i (t) por meio da cominação linear de N funções-ase φ i (t), i = 1,,..., N. Na parte () tem-se a regeneração dos coeficientes que foram utilizados na síntese, por meio da correlação de s i (t) com cada uma das funções-ase φ i (t). (a) () A seguir temos o conjunto de expressões que permite a representação, no domínio vetorial, de sinais originalmente considerados no domínio do tempo. Algumas destas expressões permitem que otenhamos, no domínio vetorial, valores de grandezas calculadas no domínio do tempo. Vejamos: N s ( t) = s φ ( t) i ij j j= 1 0 t T i = 1,,..., M T s = s ( t) φ ( t) dt ij i j 0 i = 1,,..., M j = 1,,..., N T 0 φ ( t) φ ( t) dt = δ i j ij 1, i = j = 0, i j si1 s i si =, i = 1,,..., M sin s T i = si si N = s, i = 1,,..., M j= 1 ij É a expressão de síntese de uma forma de onda qualquer s i (t), do conjunto de M formas de onda, por meio da cominação linear de N funções-ase ortonormais ponderadas pelos correspondentes coeficientes s ij. É a expressão que, a partir do conhecimento da forma de onda que se deseja e das funções-ase, determina os coeficientes que são capazes de sintetizar tal forma de onda. É a expressão que define o conjunto de funções-ase ortonormais. Para índices iguais tem-se o cálculo da energia de uma função-ase, cujo valor é sempre unitário. Para índices diferentes tem-se o cálculo da correlação entre funções-ase diferentes, cujo valor é nulo devido ao fato de tais funções serem ortogonais entre si. É a representação vetorial para um sinal. Em outras palavras, s i é o vetorsinal que representa a forma de onda s i (t). Conhecer tal vetor é tão suficiente quanto conhecer a forma de onda s i (t), pois conhecendo um podemos determinar o outro por meio das expressões de síntese e de análise vistas anteriormente. É a expressão de cálculo da norma ao quadrado de um vetor sinal. A norma é simplesmente o tamanho ou módulo do vetor em questão. DAYAN ADIONEL GUIMARÃES 07/01 50

51 E = i = T 0 i = s s = d T 0 N s j= 1 ij s ( t) dt s T i i i s ( t) s ( t) dt = s s T i k i k = s s ik i k T 0 N j= 1 ( sij skj ) = [ ( ) ( )] = s t s t dt i k É a expressão que diz que a energia de um símolo s i (t) pode ser calculada vetorialmente pela norma ao quadrado do correspondente vetor-sinal. Tal energia é igual ao produto interno do vetor-sinal por ele mesmo. O produto interno nada mais é do que a soma dos produtos dos coeficientes dos vetores envolvidos. É a expressão que permite que calculemos a correlação entre duas formas de onda quaisquer, no intervalo de símolo T, por meio do produto interno entre os correspondentes vetores-sinais. É a expressão de cálculo da distância Euclidiana quadrática entre dois vetores-sinais quaisquer. A distância Euclidiana é um importante parâmetro de análise de sistemas de comunicação. Quanto maior a distância Euclidiana entre os símolos de uma sinalização qualquer, menor a proailidade de erro, pois maior é a energia de cada símolo e, por consequência, maior a potência média de transmissão e maior relação sinal-ruído no momento da decisão (menor soreposição entre as caldas das densidades Gaussianas que representam o ruído). FIM DA AULA DAYAN ADIONEL GUIMARÃES 07/01 51

52 Aula nº 8 Conteúdo Ojetivos Data: / / Tema Ortogonalização de Gram-Schmidt O processo de ortogonalização de Gram-Schmidt. Ao final da aula os alunos deverão ser capazes de: 1) conceituar a importância do processo de ortogonalização de Gram-Schmidt à representação de sinais no espaço euclidiano. ) conceituar os princípios do método realizando paralelo com a álgera vetorial. ) aplicar o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt na solução de exercícios. Ortogonalização de Gram-Schmidt Vimos na aula passada que é possível representar qualquer conjunto de M sinais de energia, {s i (t)}, i = 1,,..., M, usando uma cominação linear de N funções ortonormais {φ j (t)}, j = 1,,..., N, com N M. Mas quais seriam as funções-ase do conjunto {φ j (t)} capazes de sintetizar o conjunto {s i (t)}? A resposta a esta questão é dada pelo processo de ortogonalização de Gram-Schmidt, capaz de gerar o conjunto de funções-ase {φ j (t)} a partir das formas de onda do conjunto {s i (t)}. O processo de Gram-Schmidt gera funções intermediárias g i (t) otidas das formas de onda s i (t) sem as suas componentes nas direções de φ 1 (t), φ (t),..., φ i-1 (t), ou seja, encontra g i (t) ortogonal a φ 1 (t), φ (t),..., φ i 1 (t). Daí asta fazer φ i (t) = g i (t), em seguida normalizando o resultado para que se tenha energia unitária. Se alguma função intermediária g i (t) = 0, significa que as componentes de s i (t) dependem somente das outras funções-ase φ j (t), j i, ou seja, a correspondente função-ase φ i (t) não existe. A figura a seguir ilustra o conceito descrito no parágrafo anterior por meio de operações com vetores. O vetor sinal de referência é s 3. Percea que se gerarmos o vetor-sinal s 3 s 31 1 ˆϕ, ou seja, se sutrairmos de s 3 a sua componente da direção de 1 ˆϕ, teremos um vetor-sinal ortogonal a 1 ˆϕ. Analogamente, se gerarmos s 3 s 31 1 ˆϕ s 3 ˆϕ teremos como resultado um vetor-sinal ortogonal a 1 ˆϕ e a ˆϕ, pois sutraímos de s 3 as suas componentes nas direções de 1 ˆϕ e de ˆϕ. De maneira análoga, na ortogonalização de Gram-Schmidt são geradas funções intermediárias a partir das quais são encontradas as funções-ase. As expressões utilizadas pelo processo de ortogonalização de Gram-Schmidt são: DAYAN ADIONEL GUIMARÃES 07/01 5

53 i 1 i ( ) = i ( ) ( ), 1,..., j 1 ijφ = j = para gerar as funções intermediárias. g t s t s t i M EE 10 SISTEMAS DE COMUNICAÇÃO II T s = s ( t) φ ( t) dt, j = 1,,..., i 1 para calcular os coeficientes. ij i j 0 gi( t) φ i( t) =, i = 1,,..., N T g ( t) dt 0 i para gerar as funções-ase normalizando as funções intermediárias. Deve-se encontrar o conjunto {g i (t)} para todo o conjunto {s i (t)}. Saendo que N M, teremos N = M se {s i (t)} é um conjunto de sinais linearmente independentes (quando não é possível expressar um sinal em função de nenhum dos demais). Teremos N < M se {s i (t)} não é linearmente independente. Exemplo Vamos aprender como aplicar o processo de Gram-Schmidt por meio de um exercício. Tendo como referência a figura aaixo, resolva o que se pede em seguida. Na solução de um exercício como este é recomendável fazermos rascunhos que nos permitam determinar graficamente os resultados de operações intermediárias com as funções so análise. Este procedimento facilita a visualização dos resultados e reduz as chances de erro. s t 1( ) s t ( ) s t 3( ) s t 4( ) t 0 3 t 0 1 t 0 t a) Usando o procedimento de ortogonalização de Gram-Schmidt determine as funções-ase ortonormais das formas de onda dadas, partindo da forma de onda s 1 (t) como geradora da funçãoase φ 1 (t). 1 s 1( t) 1, 0 t φ1 ( t) = E1 = 1dt φ1 ( t) s1( t) E = = = fora 1 g( t) = s( t) s1φ 1( t) s1 = s( t) φ1( t) dt = dt s1 0 = = 0 DAYAN ADIONEL GUIMARÃES 07/01 53

54 1, t 3 Então g( t) = s( t) φ1 ( t) = 0 fora Logo g ( t) 1, t 3 φ ( t) = E = 1dt = 1 ( t) = g ( t) = 0 fora 3 g φ Eg g3( t) = s3( t) s31φ 1( t) s3φ ( t) s31 = s 0 3( t) φ1 ( t) dt s31 = 0 e s 3 = s 3 ( t) φ ( t) dt s 3 = 0 Então 1, 0 t < 1 s 1 3( t) s3( t) g3( t) = s3( t) φ3( t) = E3 = s3 ( t) dt s3 ( t) dt φ3( t) 1, 1 t 0 1 E + = = = 3 0 fora g ( t) = s ( t) s φ ( t) s φ ( t) s φ ( t) s = s ( t) φ ( t) dt s = s4 = s 4( t) φ( t) dt s4 = 1 e s = s ( t) φ ( t) dt s = Então g4( t) = s4( t) + φ1( t) φ( t) = 0 e a expansão segundo o procedimento de ortogonalização de Gram-Schmidt pára por aqui. Logo teremos três ases ortonormais anteriormente identificadas como φ ( t), φ ( t) e φ ( t). 1 3 ) Esoce as funções-ase ortonormais encontradas no item a. φ 1 ( t) φ ( t) φ 3 ( t) t 0 3 t 0 1 t 1-1 DAYAN ADIONEL GUIMARÃES 07/01 54

55 c) Desenhe a representação geométrica do conjunto de formas de onda como pontos no espaço de sinais N-dimensional. Em outras palavras, desenhe a constelação para a sinalização proposta. Inicialmente precisamos encontrar os coeficientes s ij, i = 1,,..., M; j = 1,,..., N, para M = 4 e N = 3: s 11 = E1 = s = s ( t) φ ( t) dt = s = s ( t) φ ( t) dt = s = s ( t) φ ( t) dt = Do item a : s 31 = 0 e s 3 = 0 s = s ( t) φ ( t) dt = Do item a : s 1 = Tamém do item a : s 41 =, s 4 = 1 e s 43 = 0 3 s = s ( t) φ ( t) dt = 1 Logo teremos a constelação mostrada na figura a seguir. φ s 4 1 s 0 s 1 φ 1 s 3 φ 3 d) Responda: o conjunto de formas de onda em questão forma um conjunto linearmente independente? Justifique sua resposta. Não, pois o número de funções-ase ortonormais, N, é menor que o número de símolos (formas de onda), M. Exercícios complementares 1) Calcule a energia dos sinais {s i (t)} a partir do espaço de sinais e compare com os cálculos realizados no domínio do tempo. ) Faça tamém a comparação entre os cálculos das correlações entre os sinais {s i (t)} no tempo e no domínio vetorial. FIM DA AULA DAYAN ADIONEL GUIMARÃES 07/01 55

56 Aula nº 9 Conteúdo Ojetivos Data: / / Tema Receptor genérico para M símolos Estatísticas dos sinais de saída do anco de correlatores. Modelo vetorial para o canal AWGN. Receptor genérico com decisão de máxima verossimilhança sore M símolos. Exercícios de fixação. Ao final da aula os alunos deverão ser capazes de: 1) conceituar a influência do ruído nas variáveis de decisão. ) conceituar o modelo vetorial do canal AWGN e sua importância em simulações. 3) explicar o funcionamento do receptor genérico para sinalização com M símolos. 4) realizar simplificações na estrutura do receptor genérico em função da sinalização específica desejada. Influência do ruído nos coeficientes otidos no processo de análise O diagrama de locos a seguir integra os locos de síntese e de análise de uma forma de onda qualquer s i (t), vistos em aulas anteriores, a um conjunto de locos que torna a figura representativa de um sistema de comunicação completo. Os its de informação gerados pela fonte são convertidos da forma serial para a forma paralela por meio do loco S/P. O número de saídas do conversor S/P é k = log M e estas saídas serão responsáveis, no loco seguinte, por determinar qual o conjunto de N coeficientes que gerarão a forma de onda que representará cada símolo de k its da fonte. Este mapeamento de cada grupo de k its em um conjunto de N coeficientes é realizado pelo loco conversor it coeficiente. A cominação linear feita pelos locos de síntese gera então a forma de onda desejada. No diagrama em questão temos a presença do ruído ranco w(t) que faz com que as saídas do anco de correlatores gerem os coeficientes s ij contaminados. Esta contaminação gera as variáveis a partir das quais o loco de decisão e mapeamento símolo it gerará a estimativa dos its transmitidos. A estas variáveis damos o nome de variáveis de decisão, por razões ovias. Como cada uma das variáveis de decisão é composta por uma parcela de sinal e por uma parcela de ruído, vamos determinar cada uma destas parcelas e, depois, determinar as variáveis de decisão. Na ausência de ruído, as saídas do anco de correlatores serão os próprios coeficientes s ij, i = 1,,..., M e j = 1,,..., N. Na ausência de sinal, as saídas dos correlatores terão valores aleatórios gerados em função do ruído w(t) e, por esta razão, daremos o nome a elas de w j. Então teremos x j = s ij + w j Percea que quando aplicamos o ruído à entrada do anco de correlatores, na verdade estamos aplicando um processo aleatório Gaussiano na entrada de um conjunto de sistemas lineares. Então, dos DAYAN ADIONEL GUIMARÃES 07/01 56

57 conceitos de processos aleatórios, saemos que a densidade de proailidade do processo de saída destes sistemas lineares será tamém Gaussiana. Então, como w(t) tem média nula, podemos dizer que w j é uma variável aleatória Gaussiana de média nula e de variância desconhecida, ao menos por hora. Sendo assim, quando adicionamos w j a s ij formamos outra variável aleatória tamém Gaussiana, porém com média s ij. Pode-se mostrar que a variância do ruído w j é igual a N 0 /. Como w j tem média nula, este valor corresponde à potência média de ruído que afeta cada variável de decisão. Lemrando, N 0 / é tamém a densidade espectral de potência (DEP) do ruído w(t), ou seja, é a DEP do ruído do canal. Em síntese, cada variável de decisão x j é uma variável aleatória Gaussiana de média s ij e de variância σ = N 0 /. Modelo vetorial para o canal AWGN Em situações reais, quando da concepção, desenvolvimento e implementação de um sistema de comunicação, é frequente a utilização de simulação na maior parte das etapas. Com a simulação conseguimos rastrear erros de concepção ou de projeto e tamém podemos avaliar o desempenho do sistema antes que o mesmo seja implementado, economizando tempo e recursos financeiros. Neste contexto, vamos supor que queremos simular o sistema de comunicação apresentado na figura anterior. Oserve que teríamos que gerar por computador literalmente todas as funções e formas de onda que constam do diagrama em questão. Isto representaria um grande traalho de implementação da simulação e, além disto, representaria um grande esforço computacional da ferramenta de software utilizada, seja ela matemática (ex: Mathcad e Matla) ou de locos funcionais (ex: VisSim/Comm). Outro prolema seria a frequência de amostragem necessária para representar corretamente cada uma das formas de onda geradas: como exemplo, suponha que quiséssemos simular um sistema de comunicação operando com uma portadora de 10 GHz. Segundo o Teorema da Amostragem de Nyquist, a mínima taxa de amostragem seria de amostras/segundo, o que seria impossível mesmo para o mais rápido computador existente hoje. Felizmente, o estudo que estamos fazendo permite que identifiquemos uma maneira inteligente de realizar a simulação em questão sem a necessidade de gerar sequer uma única forma de onda. Para entender este conceito, oserve que no processo de transmissão temos um conjunto de coeficientes, os quais podemos agrupar em um vetor de coeficientes, o nosso conhecido vetor-sinal s i = [s i1 s i... s in ] T. Percea tamém que as variáveis de decisão na saída do anco de correlatores nada mais são que a soma de cada coeficiente com um valor aleatório, Gaussiano, de média zero e de variância N 0 /. Ao conjunto destes valores aleatórios podemos dar o nome de vetor-ruído w = [w 1 w... w N ] T, ou seja, o vetor de variáveis de decisão vale x = s i + w. À implementação, em simulação, seguindo estas simplificações damos o nome de modelo vetorial para o canal AWGN. A figura a seguir ilustra estes conceitos. Percea que não há mais formas de onda no processo. Basta que geremos os vetores-sinal, de acordo com os its que cada um representa e adicionemos o vetor-ruído. Como resultado iremos oter os mesmos valores das variáveis de decisão que iríamos oter se tivéssemos o sistema implementado no modelo contínuo, via formas de onda e demais locos do sistema. DAYAN ADIONEL GUIMARÃES 07/01 57

58 Como exemplo, veja a seguir o vetor-sinal s 1, por exemplo (que representaria, tamém por exemplo, os its 1 0 ), uma possível realização do vetor-ruído w e o vetor de variáveis de decisão x resultante: Na representação de sinais no espaço Euclidiano temos pontos, chamados vetores-sinal, que dão origem ao nome constelação. Portanto, constelação é a representação do conjunto de símolos {s i (t)}, i = 1,,..., M, por um conjunto de M pontos no espaço N-dimensional, N M, pontos estes associados aos vetores-sinal do conjunto {s i }. A figura a seguir ilustra a representação de um único símolo de uma constelação tridimensional e a influência do ruído. Nela o vetor x difere do vetor s i devido ao vetor de ruído w. O vetor w é a porção do ruído w(t) que interfere na decisão. O restante da nuvem de ruído é loqueado pelos correlatores. Podemos interpretar cada um dos correlatores como um sistema linear que tem certo efeito de filtragem. Sendo assim, a potência de ruído na saída da cada correlator será menor que a potência de ruído de entrada. Em outras palavras, somente o ruído que passa pelos correlatores terá influência no processo de decisão; o restante é loqueado pelo anco de correlatores. A figura a seguir ilustra este conceito, em termos apenas didáticos. Nela, H(f) não corresponde a uma resposta em frequência real, apenas representando o efeito de filtragem realizado por um dos correlatores. DAYAN ADIONEL GUIMARÃES 07/01 58

59 Já a figura a seguir corresponde a uma representação mais próxima do que realmente ocorre na prática. Nela o sinal transmitido, correspondente a uma sinalização quaternária idimensional, é representado pelo espaço de sinais mais à esquerda. Após a adição do ruído teremos o espaço de sinais intermediário. O processamento realizado pelo anco de correlatores faz com que a intensidade de ruído nas variáveis de decisão (saída do anco de correlatores) seja reduzida. Note que, para o exemplo ilustrado, a proailidade de erro de símolo seria nula, pois não há soreposição das nuvens Gaussianas localizadas em torno de cada vetor-sinal. Receptor genérico com decisão de máxima verossimilhança O critério de decisão de máxima verossimilhança (MV), o qual minimiza a proailidade de erro de símolo quando estes são equiprováveis, diz: Decida pelo ponto da constelação mais próximo do vetor (ponto) receido, em termos de distância euclidiana, ou seja, o ponto que minimiza x s k. Este receptor se aplica apenas quando os símolos são equiprováveis. Quando não são equiprováveis, este critério não será ótimo e deverá ser adotado o critério do máximo a posteriori (MAP) para o projeto de outro receptor. As regiões de decisão de cada símolo são limitadas por planos no espaço N-dimensional. Ao conjunto destas regiões dá-se o nome de diagrama de Voronoi ( Veja ilustração a seguir para M = 4, N = e símolos equiprováveis com energia E. As regiões de decisão Z i, i = 1,,..., M estão limitadas pelas linhas tracejadas. Neste exemplo, suponha que foi transmitido o símolo 4. Como o vetor oservado está mais próximo do vetor correspondente ao símolo 3, o receptor irá decidir pelo símolo 3 e, portanto, cometerá erro. Não haverá erro de decisão DAYAN ADIONEL GUIMARÃES 07/01 59

60 se o vetor oservado x se mantiver na região de decisão do símolo transmitido, pois somente nesta situação a sua distância euclidiana com relação ao símolo realmente transmitido será menor. O receptor que realiza a decisão segundo este critério é chamado de receptor de máxima verossimilhança e é mostrado na figura a seguir. Nele o loco decodificador foi inserido após o anco de correlatores para completar a estrutura do receptor analisado até este momento. Este loco permite que o critério de máxima verossimilhança seja implementado, ou seja, é ele quem determina o símolo mais próximo do símolo receido, em termos de distância Euclidiana. A composição deste decodificador é resultado de um desenvolvimento matemático que parte do critério de decisão adotado. Para mais detalhes sore esta dedução, recomenda-se consultar a Seção 5.8 do livro texto. Podemos notar que o conjunto de locos que compõem o decodificador nada mais faz além de realizar a correlação entre o sinal receido e todos os possíveis símolos, porém no domínio vetorial. A conversão do sinal receido no domínio contínuo para o domínio vetorial é realizada pelo loco detector. Percea que se trata de uma implementação intuitivamente satisfatória: o receptor decidirá pelo símolo que apresentar maior correlação, ou similaridade, com o sinal receido. Como exemplo, suponha que a 4ª dentre as M entradas do loco select largest do receptor genérico tenha o maior valor. Isto significa que a decisão será tomada em favor do símolo 4. Em outras palavras, é o símolo s 4 que está mais próximo do vetor receido x em termos de distância Euclidiana. DAYAN ADIONEL GUIMARÃES 07/01 60

61 Vale registrar que este receptor se presta à decisão de máxima verossimilhança em sistemas de comunicação com qualquer tipo de sinalização e com qualquer número de símolos, em canal AWGN. Para símolos equiprováveis, este receptor minimiza a proailidade de erro de símolo e, portanto, é ótimo neste sentido. Dependendo da sinalização específica que se queira implementar, asta simplificar o diagrama de locos genérico. Alguns exercícios resolvidos mais adiante mostrarão alguns exemplos do processo de simplificação. Em caráter complementar, no contexto de estimação de sinais na presença de ruído alguns termos usuais e suas definições são listados a seguir: Detecção: responsável pela extração do sinal em meio ao ruído em termos, por exemplo, de aumento na relação sinal-ruído no instante de decisão. Gera, portanto, a variável de decisão. Decisão: responsável por determinar em que região de decisão se encontra a variável de decisão (vetor oservado x). Decodificação: mapeamento da região de decisão escolhida no símolo ou conjunto de its correspondente. A decisão e a decodificação são às vezes sinônimas, situação que ocorre quando amas as tarefas são realizadas de uma só vez ou por um único dispositivo. Exercícios de fixação 1) As figuras a seguir apresentam os diagramas do detector e do decodificador de máxima verossimilhança genéricos para um sistema de comunicação digital em um canal AWGN e tamém o diagrama correspondente à simplificação destes diagramas genéricos para a uma sinalização com símolos equiprováveis dados por si ( t) = / T cos ( π ft + θi ), i = 1,, onde T é a duração de um símolo, θ 1 = 0, θ = π e f é a frequência de portadora com valor múltiplo inteiro de 1/T. φ 1 (t) φ (t) φ N (t) Detector D ecodificador DAYAN ADIONEL GUIMARÃES 07/01 61

62 Pede-se: a) Determine o valor de E, a energia dos sinais s 1 (t) e s (t). T T T E = E1 = E = s 0 1 ( t) dt = s 0 ( t) dt = cos ( π ft + θ 0 1) dt T T 1 T 1 1 T = [ 1 cos(4π ft θ1) ] dt dt cos(4π ft θ ) dt T + + = + + T T Como f tem valor múltiplo inteiro de 1/T, a integral da direita aarca um número inteiro de períodos do sinal co-senoidal de frequência f. Portanto essa integral é nula. T 1 1 Então E = dt T E 1 T 0 = T = Joule. ) Justifique todas as simplificações que foram realizadas nos diagramas genéricos de maneira a transformá-los no diagrama simplificado. Os: fique tamém atento para as simplificações que puderam ser otidas nos locos de cálculo do produto interno e nos somadores do decodificador. Na parte do detector teremos apenas um correlator, já que N = 1. Com relação ao decodificador podemos tecer as seguintes justificativas: 1) Teremos aparentemente dois ramos, já que M = ; T T ) Tem-se que s1 = [ E ], s = [ E ], x = [ x1]. Note que os produtos internos x s 1 e x s se resumirão a x1 E ou x1 E. Então, os valores nas duas saídas dos locos de cálculo do produto interno se alternam entre ( x 1 E, x1 E ) e ( x1 E, x1 E ), respectivamente quando da transmissão de s 1 e s. Portanto, asta a oservação de uma dessas saídas para a tomada de decisão (os dois ramos iniciais agora se resumem em um único). 3) As multiplicações por E não são necessárias, pois afetarão igualmente a decisão; e se os símolos têm a mesma energia, os somadores de cada um dos ramos tamém não são necessários. 4) Então asta comparar a magnitude de x 1 com zero: se x 1 > 0 decida pelo símolo m 1 ; se x 1 < 0 decida por m ; decida aritrariamente se x 1 = 0. ) No contexto da representação geométrica de sinais em um espaço N-dimensional, interprete as expressões: a) T N s ( t) dt = s = 0 j= 1 j s A energia de um sinal s(t) num intervalo de T segundos pode ser determinada de forma convencional, pela integral T s 0 ( t ) dt, ou de forma vetorial, pelo produto interno do DAYAN ADIONEL GUIMARÃES 07/01 6

63 correspondente vetor-sinal por ele mesmo: quadrado desse vetor sinal: N s j= 1 j = s. T N j = s 1 j s s =, o que corresponde à norma ao ) T s ( t ) u ( t ) dt = 0 T s u Esta expressão apresenta-se como um caso geral da expressão do item a : a integral do produto de duas funções num intervalo de T segundos, que corresponde à correlação entre esses sinais no intervalo considerado, pode ser calculada de forma vetorial pelo produto interno entre T T os correspondentes vetores-sinais, ou seja: s ( t ) u ( t ) dt = s u. 3) Qual a aplicação do método de ortogonalização de Gram-Schmidt? 4) Comente sore a utilidade do método de ortogonalização de Gram-Schmidt quando as formas de onda s i (t) correspondentes aos símolos são linearmente independentes entre si, i = 1,,..., M. 5) Em que condições a variância das amostras da componente de ruído nas saídas dos correlatores de um receptor genérico (M qualquer) de um sistema de comunicação digital em anda-ase vale N 0 /? 6) Interprete e explique a equivalência entre os modelos contínuo e vetorial para o canal AWGN, conforme ilustra a figura a seguir. 0 T s t u t dt = s u e interprete o que está sendo calculado por esta expressão. 0 T 7) Mostre que [ ( ) ( )] Dado: a = a a +. DAYAN ADIONEL GUIMARÃES 07/01 63

64 8) A figura a seguir mostra uma estrutura proposta para ser o receptor de um sistema de comunicação digital em anda-ase que utiliza sinalização com M = símolos representados por M = formas de onda s i (t), i = 1 ou, de duração T e ortogonais entre si nesse intervalo. O sinal receido x(t) = s i (t) + w(t) é correlacionado com funções ase φ i (t), i = 1 e e a decisão é tomada comparando-se o valor da diferença entre as amostras dos sinais de saída dos correlatores com o limiar de decisão. As funções φ i (t) são versões escalonadas de s i (t) tal que sua energia E i seja unitária, ou seja φ i (t) = s i (t)/(e i 1/ ). O ruído w(t) possui densidade espectral de potência de N 0 / W/Hz. Os valores x 1 e x são amostras das variáveis aleatórias X i = µ Xi + W i, onde W i são as variáveis aleatórias correspondentes às amostras da componente de ruído na saída dos correlatores. Portanto, as variáveis aleatórias X i têm distriuição gaussiana com médias µ Xi que dependem da energia de cada forma de onda transmitida e variâncias idênticas σ que dependem da intensidade do ruído na entrada do receptor. Com relação a essa questão, marque V para verdadeiro e F para falso: ( ) O receptor em questão pode ser considerado ótimo do ponto de vista de minimização da proailidade de erro de símolo; ( ) No receptor, se cada uma das funções-ase for multiplicada por uma constante igual a, a variância de ruído das amostras de saída dos correlatores será multiplicada por 4; ( ) O receptor em questão pode ser considerado ótimo do ponto de vista de minimização da proailidade de erro de it e de símolo; ( ) No receptor, se cada uma das funções-ase for multiplicada por uma constante igual a 4, a variância de ruído das amostras de saída dos correlatores será multiplicada por 4; ( ) No receptor, se cada uma das funções-ase for multiplicada por uma constante igual a 3, haverá alteração na taxa de erro de símolo; ( ) Conhecidas as formas de onda correspondentes aos símolos transmitidos, é possível utilizar o processo de Ortogonalização de Gram-Schmidt para que sejam encontradas as funções-ase ortonormais; ( ) Não é necessário utilizar o processo de Ortogonalização de Gram-Schmidt para que sejam encontradas as funções-ase ortonormais, pois os símolos são linearmente independentes; ( ) Percee-se que no receptor não existem locos para cálculo do produto interno e para a sutração da energia média de cada símolo, como prevê a estrutura genérica do receptor ótimo. Se tais locos forem adicionados o desempenho do sistema será afetado; ( ) Pode-se afirmar que o receptor em questão efetuará a decisão de máxima verossimilhança sore os símolos transmitidos, desde que estes sejam equiprováveis; ( ) Pode-se afirmar que o receptor em questão efetuará uma decisão de máximo a posteriori sore os símolos transmitidos, desde que estes não sejam equiprováveis; ( ) Pode-se afirmar que o receptor em questão efetuará uma decisão sore os símolos transmitidos de acordo com o critério MAP, desde que tais símolos sejam equiprováveis; DAYAN ADIONEL GUIMARÃES 07/01 64

65 9) A figura a seguir mostra uma estrutura proposta para ser o receptor de máxima verossimilhança de um sistema de comunicação digital em anda-ase que utiliza sinalização com M símolos representados por M formas de onda s i (t), i = 1,,..., M de duração T e ortogonais entre si nesse intervalo. O sinal receido x(t) = s i (t) + w(t) é correlacionado com M funções ase φ i (t), i = 1,,..., M e a decisão e tomada em favor daquele símolo que corresponder ao maior dos valores das amostras nas saídas dos correlatores. As funções φ i (t) são versões escalonadas de s i (t) tal que sua energia E i seja unitária, ou seja, φ i (t) = s i (t)/(e i 1/ ). O ruído w(t) possui densidade espectral de potência de N 0 / W/Hz. Os valores x 1, x,... x M, são amostras das variáveis aleatórias X i = µ Xi + W i, onde W i são as variáveis aleatórias correspondentes às amostras da componente de ruído na saída dos correlatores. Portanto as variáveis aleatórias X i têm distriuição gaussiana com médias µ Xi que dependem da energia de cada forma de onda transmitida e variâncias idênticas σ que dependem da intensidade do ruído na entrada do receptor. x 1 φ 1 (t) x φ (t) x M φ M (t) Com relação a essa questão, marque V para verdadeiro e F para falso: ( ) O receptor em questão pode ser considerado ótimo do ponto de vista de minimização da proailidade de erro de símolo; ( ) No receptor, se cada uma das funções-ase for multiplicada por uma constante igual a, a variância de ruído das amostras de saída dos correlatores será multiplicada por ; ( ) O receptor em questão pode ser considerado ótimo do ponto de vista de minimização da proailidade de erro de it e de símolo; ( ) No receptor, se cada uma das funções-ase for multiplicada por uma constante igual a 4, a variância de ruído das amostras de saída dos correlatores será multiplicada por 16; ( ) No receptor, se cada uma das funções-ase for multiplicada por uma constante igual a 3, haverá alteração na taxa de erro de símolo; ( ) Conhecidas as M formas de onda correspondentes aos M símolos, é possível utilizar o processo de Ortogonalização de Gram-Schmidt para que sejam encontradas as funções-ase ortonormais; ( ) Não é necessário utilizar o processo de Ortogonalização de Gram-Schmidt para que sejam encontradas as funções-ase ortonormais; ( ) Percee-se que no receptor não existem locos para cálculo do produto interno e para a sutração da energia média de cada símolo, como prevê a estrutura genérica do receptor ótimo. Entretanto, se tais locos forem adicionados o desempenho do sistema não será afetado; ( ) Pode-se afirmar que o receptor em questão efetuará a decisão de máxima verossimilhança sore os símolos transmitidos, desde que estes sejam equiprováveis; ( ) Pode-se afirmar que o receptor em questão efetuará uma decisão de máximo a posteriori sore os símolos transmitidos, desde que estes não sejam equiprováveis; ( ) Pode-se afirmar que o receptor em questão efetuará uma decisão de máximo a posteriori sore os símolos transmitidos, desde que estes sejam equiprováveis; DAYAN ADIONEL GUIMARÃES 07/01 65

66 10) Esoce e representação no espaço de sinais para os símolos a seguir. Calcule a proailidade de erro de it para os dois casos, saendo que N 0 = W/Hz, A = 1 mv e R = 1 kit/s. 11) Analisando o exercício anterior, responda: uma determinada constelação (espaço de sinais) pode representar diferentes conjuntos de formas de onda e até mesmo estar associada a diferentes funçõesase? 1) Calcule a energia média por símolo, E, e por it, E, para a constelação a seguir, saendo que os símolos são equiprováveis e que a taxa de its é de 1 kit/s. Determine tamém a potência média de transmissão. FIM DA AULA DAYAN ADIONEL GUIMARÃES 07/01 66

67 Aula nº 10 Conteúdo Ojetivos Data: / / Tema Invariância da P e com rotação e translação Invariância da proailidade de erro de símolo com rotação ou translação da constelação. Constelações de energia média mínima por símolo. Translação para a situação de energia mínima. Ao final da aula os alunos deverão ser capazes de: 1) conceituar as propriedades de invariância da proailidade de erro de símolo com rotação ou com translação da constelação. ) realizar cálculos envolvendo as operações de rotação e de translação. 3) interpretar o conceito de constelação de energia mínima e realizar cálculos para translação de uma constelação qualquer para a situação de energia mínima. Invariância da proailidade de erro de símolo com rotação ou translação da constelação A propriedade de invariância da proailidade de erro de símolo com rotação ou translação da constelação diz que mudanças na origem ou na orientação da constelação no espaço de sinais não afetam a proailidade de erro de símolo P e. Isto ocorre porque P e depende da distância euclidiana relativa entre os símolos da constelação e do ruído aditivo que, por ser esfericamente simétrico, afeta da mesma maneira um símolo, não importando onde ele esteja localizado no espaço de sinais. Exemplo: oserve as constelações dadas na figura a seguir. Em a temos a constelação original, em temos uma translação da constelação original e em c temos uma rotação da constelação original. Em todos os casos as distâncias Euclidianas relativas não foram alteradas e, portanto, podemos afirmar que a proailidade de erro de símolo é a mesma nos três casos. a) original ) translação c) rotação A seguir temos as mesmas constelações consideradas no exemplo em questão, agora ilustrando a influência do ruído, que será a mesma independente se estamos nos referindo à constelação original, à constelação transladada ou à constelação rotacionada. a) original ) translação c) rotação DAYAN ADIONEL GUIMARÃES 07/01 67

68 A operação de rotação de uma constelação é realizada pela multiplicação de cada vetor-sinal por uma matriz Q de ordem N N, ou seja: rot s = Qs i A matriz Q é chamada de matriz ortonormal, ou seja, QQ T = I, onde I é uma matriz identidade. Esta operação referente à ortonormalização de Q é astante útil para solucionarmos prolemas ou mesmo quando queremos verificar se uma matriz Q que otivemos em um prolema tem valores coerentes. Note ainda que Q 1 = Q T, ou seja, a matriz inversa de Q é a sua versão transposta. A operação de translação de uma constelação é realizada pela soma ou sutração de cada vetor-sinal de um vetor a com o mesmo número de elementos, ou seja: i trans si = si a Constelações de energia mínima Constelações transladadas muitas vezes são geradas por imposição do sistema de comunicação, mas há casos em que a translação não é desejada se queremos optar pela menor potência média de transmissão. Vejamos este conceito por meio de um exemplo. Exemplo: Consideremos as constelações dadas na figura a seguir, onde a constelação corresponde a uma translação da constelação a. a) original ) translação Vamos calcular a energia média por símolo em amos os casos, considerando símolos equiprováveis: Constelação a M E = piei = Ei = 4 [ ] = 8 Joules i= 1 4 i= 1 4 Constelação E = p E = E = = M i i i [3 3] [ 1 3] [ 1 1] [3 1] 10 Joules i= i= Oserve que as constelações têm energias médias por símolo diferentes, emora apresentem a mesma proailidade de erro de símolo. Em outras palavras, para que a constelação opere com proailidade de erro de símolo igual à da constelação a, ela necessitará 10log(10/8) = 0,97 db a mais de energia média por símolo. Isto corresponderá a 0,97 db a mais de potência média de transmissão, pois saemos que energia e potência seguem a mesma proporção. DAYAN ADIONEL GUIMARÃES 07/01 68

69 Vejamos outro exemplo, agora envolvendo duas sinalizações inárias unidimensionais. A figura a seguir mostra a constelação da sinalização ipolar (a) e da sinalização unipolar (). Pelo fato das distâncias Euclidianas terem sido mantidas de a para, podemos afirmar que a proailidade de erro de símolo P e será a mesma nos dois casos. Entretanto, a energia média por símolo na constelação é maior (comprove esta afirmação como exercício). Numa primeira análise diríamos que então não vale a pena utilizar a constelação. Mas suponha que temos um sistema de comunicação via fira óptica. Como não há luz com intensidade negativa, somos origados a utilizar uma sinalização unipolar e, neste caso, teremos que conviver com a necessidade de maior potência média. Em resumo, quem ditará que constelação utilizar será o meio de comunicação. Em casos em que não há esta imposição do meio de comunicação na escolha da constelação, pode-se desejar transladá-la para a situação de energia mínima, ou seja, para a situação em que a potência média de transmissão seja a mínima possível. Esta translação é realizada sutraindo-se de cada coordenada de um vetor-sinal o valor médio das correspondentes coordenadas de todos os símolos. Matematicamente podemos escrever: dada uma constelação com o conjunto de símolos {s i }, i = 1,,..., M, a constelação correspondente, com energia mínima, é otida sutraindo-se de cada vetor-sinal s i o vetor E[s] definido por: M = i i= 1 E[ s] s p i onde p i é a proailidade de envio do símolo m i. Assim teremos o vetor transladado: s' = s E[ s ] i i Exemplo: vamos transladar para a situação de energia mínima a constelação do referente à sinalização quaternária considerando: a) símolos equiprováveis; ) símolos com proailidades a priori p 1 = 0., p = 0.3, p 3 = 0.1 e p 4 = 0.4. Em cada caso vamos calcular a energia média da constelação para compararmos os resultados. A constelação em questão é reapresentada a seguir para facilitar. Solução a: símolos equiprováveis. Primeiro vamos calcular o vetor M E[ s] = s i pi = i= = DAYAN ADIONEL GUIMARÃES 07/01 69

70 Percea que, de fato, a constelação em questão tem valor médio igual a 1 para as coordenadas das duas dimensões. Então teremos os vetores-sinal transladados para a situação de energia mínima: s 1 = s 1 E[s] = = 1 s = s E[s] = = 1 s 3 = s 3 E[s] = 1 1 = 1 1 s 4 = s 4 E[s] = 3 1 = 1 1 E a constelação resultante será aquela apresentada a seguir, para a qual a energia média, já calculada no exemplo anterior, vale E = 8 Joules. Solução : p 1 = 0., p = 0.3, p 3 = 0.1 e p 4 = 0.4 Para estas proailidades a priori a energia média por símolo será: E = M i= 1 p E i i = 0. [3 3] 0.3 [ 1 3] 0.1 [ 1 1] 0.4 [3 1] 10.8 Joules = Calculando o vetor E[s] para as proailidades a priori dadas, teremos: M E[ s] = s i pi = = i= Neste caso a constelação em questão tem valor médio igual a 1.4 para as coordenadas na dimensão horizontal e 1 na dimensão vertical. Então teremos os seguintes vetores-sinal transladados para a situação de energia mínima: s 1 = s 1 E[s] = = 1 s = s E[s] = = 1 s 3 = s 3 E[s] = = 1 1 s 4 = s 4 E[s] = = 1 1 E a constelação resultante será: DAYAN ADIONEL GUIMARÃES 07/01 70

71 Percea que a constelação transladada para a situação de energia mínima não necessariamente fica disposta simetricamente em relação à origem do sistema de coordenadas Euclidiano. Isto ocorre porque o processo de translação move para um ponto mais próximo da origem aqueles símolos que têm mais peso na energia média por símolo da constelação. No exemplo em questão, veja que o símolo s 4 foi aproximado da origem por ter grande energia e elevada proailidade a priori. Por fim vamos calcular a energia média por símolo da constelação na situação de energia mínima: M E ' = piei ' = 0. [1.6 ] 0.3 [.4 ] i 1 + = [.4 ] [1.6 ] = 7.84 Joules Comparando E = 10.8 Joules com E = 7.84 Joules, verifique a redução de 10log 10 (10.8/7.84) = 1,39 db na energia média por símolo otida com o processo de translação para a situação de energia mínima. Este valor de 1,39 db seria correspondente à redução na potência média de transmissão do situação original para a situação de constelação transladada para energia mínima. A invariância da proailidade de erro de símolo com a rotação e a translação da constelação tem grande aplicação na análise teórica do desempenho de sistemas de comunicação digital. A idéia é simples: há muitos casos em que a análise matemática da proailidade de erro de símolo é drasticamente simplificada apenas rotacionando-se, transladando-se ou fazendo amas as operações na constelação original so análise, ou em parte dela. Exercícios de fixação 1 Comprove o princípio da invariância da P e com a translação por meio das sinalizações NRZ ipolar {± A/} e unipolar {+A, 0}. Comente sore a potência de transmissão nos dois casos. Solução Oservando as figuras a seguir constatamos que as distâncias Euclidianas são as mesmas, o que nos leva a afirmar que as proailidades de erro de símolo serão idênticas. Para a constelação a seguir, pede-se a) determine a constelação de mínima energia, admitindo símolos equiprováveis; ) comente sore a proailidade de erro de símolo e a potência média de transmissão para a constelação original e para a constelação transladada. DAYAN ADIONEL GUIMARÃES 07/01 71

72 3 Determine a matriz Q responsável pela rotação da constelação (a) para a constelação () ilustrada em seguida. Dica: usar as relações s i = Qs i e QQ T = I para oter um sistema de equações. Resposta: 1 1 Q = O cálculo exato da proailidade de erro de símolo para a constelação ao lado parece ser razoavelmente complexo, tanto pela dificuldade de determinação das áreas de integração quanto pela determinação das próprias densidades de proailidade que representam o ruído. Entretanto, se utilizarmos o princípio de invariância da P e com rotação e translação, para fins de cálculo podemos mover a constelação em questão para uma posição do espaço de sinais que nos seja mais adequada. Então determine a expressão para cálculo da P e para a constelação dada, em função da distância Euclidiana entre os símolos e da densidade espectral de potência de ruído AWGN. Solução Podemos utilizar a figura ao lado como referência, correspondente a uma sinalização antipodal para a qual já conhecemos a proailidade de erro de símolo. Então teremos: erfc E erfc d erfc d Pe = = Pe = N 0 4N 0 N 0 Oserve, de forma explícita, a influência da distância Euclidiana na proailidade de erro de símolo. 5 Proponha uma forma de estimar as proailidades a priori dos its de informação de uma fonte. Se a sinalização for quaternária, proponha tamém uma forma de estimar as proailidades a priori dos símolos. Use o conceito de proailidade como frequência relativa de ocorrência do evento de interesse. 6 Usando as propriedades de invariância da proailidade de erro de símolo com a rotação e com a translação e dada a expressão que permite o cálculo da P e para a sinalização mostrada na parte (a) da figura a seguir, determine a expressão para cálculo da P e para a sinalização mostrada parte () da figura. DAYAN ADIONEL GUIMARÃES 07/01 7

73 s E 0 s 1 + E φ 1 E φ s 1 E Pe = erfc N 0 (a) 0 () s 1 E φ 1 Resposta: 1 E Pe = erfc N 0 7 A energia média por símolo da constelação ao lado vale E =,65 Joules e as proailidades a priori dos símolos valem p 1 = 0,5, p = 0,45, p 3 = 0,15 e p 4 = 0,15. Pede-se: a) Para o valor de E =,65 Joules, responda, justificando, se as proailidades a priori dos símolos poderiam ou não poderiam ser iguais. ) Determine e esoce a constelação com energia média mínima. c) Calcule a energia média por símolo da constelação transladada para a situação de energia média mínima. Solução a) Saendo que a energia média por símolo da constelação anterior vale E =,65 Joules, para saermos se os símolos podem ser equiprováveis, asta considerá-los como de fato o sendo e calcular a energia média da constelação. Se o valor encontrado for igual ao valor dado, então os símolos são equiprováveis. Caso contrário, não são equiprováveis. Então calculamos E M = piei saendo que M = 4 e supondo que p i = ¼ para qualquer i: i= Ei ( 1 4 ),5 J,65 J. Portanto os símolos não são E = = = = 4 i= equiprováveis. ) Para translação para a condição de energia mínima, asta sutrair de cada vetor-sinal o vetor E(s): M , 5 E( s) = pis i = 0, 5 0, 45 0,15 0,15 i= = 1 1 0, 60 DAYAN ADIONEL GUIMARÃES 07/01 73

74 Os novos vetores-sinal serão si si E[ s ]: s s s s ,5 0,75 = 0 0,60 = 0,60 0 0,5 0,5 = 0,60 = 1, ,5 1,5 = 1 0,60 = 1, , 5 0,75 = = 1 0,60 1,60 A correspondente constelação de energia média mínima é: c) A energia média mínima da constelação transladada é calculada por meio de E M = piei Joules, onde agora os valores de E i são aqueles otidos por i= 1 T E i = si s i, ou seja: E ( ) 1 = 0,75 + 0,6 = 0,9J ( ) E = ( ) + ( ) = ( ) 3 1, 5 1,6 4,13J E = 0,5 + 1,4 =,0J E 4 = 0,75 + 1, 6 = 3,13J. Então, E = 0,5(0,9) + 0,45(,0) + 0,15(4,13) + 0,15(3,13) => E =,8J FIM DA AULA DAYAN ADIONEL GUIMARÃES 07/01 74

75 Aula nº 11 Conteúdo Ojetivos Data: / / Tema Análise da P e para receptor genérico Limitante de União. Relação entre proailidade de erro de símolo e proailidade de erro de it. Ao final da aula os alunos deverão ser capazes de: 1) conceituar a aplicação do Limitante de União como ferramenta para determinação da proailidade de erro de símolo. ) realizar cálculos de proailidade de erro de símolo via Limitante de União. 3) estaelecer a relação entre proailidade de erro de símolo e proailidade de erro de it, levando em conta o tipo de sinalização e o mapeamento it símolo. Neste texto analisaremos o prolema do cálculo da proailidade de erro de símolo e de it para sistemas de comunicação digital com qualquer número de símolos e com qualquer número de funções-ase. Inicialmente verificaremos que em certos casos o cálculo exato da proailidade de erro pode ser extremamente traalhoso, sendo intratável matematicamente em outros. Em seguida estudaremos uma forma simples de cálculo aproximado da proailidade de erro de símolo, mas que apresenta resultados astante precisos nos casos de maior interesse. Por fim analisaremos a relação entre a proailidade de erro de símolo e a proailidade de erro de it. A dificuldade de calcular a proailidade de erro de símolo Para verificar os diferentes graus de dificuldade que surgem quando do cálculo exato de proailidade de erro de símolo para diferentes constelações, vamos iniciar com uma revisão do cálculo de P e para uma sinalização antipodal, porém utilizando as notações que aprendemos recentemente no estudo da representação de sinais no espaço Euclidiano. Considere o espaço de sinais a seguir, para o qual podemos escrever: M e = 1 i x i= i i P p P( não se encontrar em Z m enviado) Nesta expressão podemos ver que a proailidade de erro de símolo média é otida por meio da média ponderada (pelas proailidades a priori dos símolos) das proailidades de erro condicionadas ao envio de cada símolo. Se os símolos são equiprováveis podemos escrever: DAYAN ADIONEL GUIMARÃES 07/01 75

76 onde a integral ( ) 1 Pe = P( x não se encontrar em Z enviado) 1 i m i= i 1 = 1 P( x se encontrar em Z enviado) i 1 i m = i limiar ( ) = 1 f x m dx X 1 EE 10 SISTEMAS DE COMUNICAÇÃO II f x m dx X 1 corresponde à proailidade de acerto, dado o envio do símolo 1. limiar Interpretando esta integral podemos dizer que a proailidade de acerto na decisão de um símolo pode ser determinada pela área so a cauda da Gaussiana situada na correspondente região de decisão. Agora vamos tentar fazer uma análise mais genérica, usando como exemplo uma sinalização quaternária idimensional, conforme ilustração a seguir. Utilizando um raciocínio análogo ao caso inário, a proailidade de erro de símolo média pode ser determinada por meio de: Podemos interpretar ( ) i= 1 Pe ( mi ) 1 M Pe = P( x não se encontrar em Z enviado) 1 i m i= i M 1 M = 1 P( x se encontrar em Z enviado) i 1 i m = i M M 1 = 1 f ( mi ) d M X x x Zi f m d X i Zi x x como a proailidade de acerto, dado o envio do símolo i. Percea que a densidade de proailidade f X (x m i ) está na variável x, que é um vetor idimensional. Portanto, tal função é a densidade de proailidade conjunta de todas as variáveis de decisão correspondentes às saídas dos correlatores (dois para o caso inário). Nas figuras a seguir podemos ver o aspecto dessas funções, de onde perceemos que a integral mencionada anteriormente será dupla e DAYAN ADIONEL GUIMARÃES 07/01 76

77 determinará a proailidade de um vetor oservado x estar em cada uma das regiões de decisão mostradas na parte da direita da figura em questão. Com este exemplo pode-se notar que quanto mais símolos ou mais dimensões existirem, mais complexo será o cálculo exato da proailidade de erro de símolo. Em outras palavras, o cálculo analítico (ou mesmo numérico) da proailidade de erro de símolo ou de it pode ser muito difício ou até intratável em certos casos. Como solução para o prolema faz-se o uso dos chamados limitantes para prever, com determinado grau de precisão, a proailidade de erro a uma dada relação sinal-ruído ou vice-versa. No nosso curso aprenderemos a utilizar o Limitante de União, aordado logo em seguida. O Limitante de União como solução aproximada para cálculo de P e A expressão para o cálculo de P e utilizando o Limitante de União, aqui apresentada sem dedução, é: onde: M é o número de símolos; p é a proailidade de envio do símolo i; i e ( ) i 1 d P = p P m p M M M ik e i e ( i ) ierfc 1 i= i= 1 k = 1 N0 k i P m é a proailidade de erro de símolo condicionada ao envio do símolo m i ; d ik é a distância Euclidiana entre os símolos m i e m k ; N é a densidade espectral de potência do ruído ranco. 0 Exemplo: Vamos estimar a proailidade de erro de símolo média para a sinalização antipodal considerada no início do texto, usando o Limitante de União. DAYAN ADIONEL GUIMARÃES 07/01 77

78 M M M 1 dik 1 1 dik e = i e ( i ) ierfc = erfc i= 1 i= 1 k = 1 N 0 i= 1 k = 1 N0 k i k i P p P m p 1 d 1k d k 1 d 1 d 1 = erfc + erfc = erfc + erfc 4 k = 1 N 0 k = 1 N 4 0 N 0 N 0 k 1 k. Como d 1 = d 1 = E, para a sinalização antipodal então teremos: EE 10 SISTEMAS DE COMUNICAÇÃO II 1 E 1 E Pe erfc = erfc. N N 0 0 Comparando este resultado com o que foi otido no estudo da transmissão em anda-ase, verificamos que, neste caso, o Limitante de União fornece o valor exato para P e. Isto poderá acontecer em outros casos. Porém, para saermos se o cálculo via Limitante é ou não é exato, teríamos que compará-lo com expressões de P e exatas, o que invalidaria o uso do Limitante, já que conheceríamos a expressão exata. Como veremos logo adiante, mesmo não sendo às vezes exato, o Limitante de União representa uma oa aproximação para o cálculo da P e, principalmente para valores altos de relação sinal-ruído. Como estudo de caso, vamos supor que a constelação que estamos analisando seja circularmente simétrica em torno da origem. Por exemplo, seja a constelação a seguir: Oservando os símolos s 7 e s 8 notamos que amos têm as mesmas distâncias Euclidianas em relação aos demais símolos. Podemos extrapolar esta oservação para todos os símolos e afirmar que a proailidade de erro condicionada ao envio de um determinado símolo, P e (m i ), é a mesma para qualquer símolo m i. Neste caso o Limitante de União pode ser simplificado para: M 1 d ik Pe erfc, para qualquer i N k = 1 0 k i A figura a seguir mostra a interpretação de possíveis resultados proporcionados pelo Limitante de União. A curva tracejada corresponde à proailidade de erro de símolo real ou exata. A curva mais aaixo é aquela otida considerando nos cálculos do limitante apenas os erros para os símolos vizinhos mais próximos. Percea que, neste último caso, estamos desprezando erros para alguns dos símolos da constelação, o que torna o resultado impreciso para aixos valores de E /N 0. A curva mais acima é aquela otida considerando todas as possiilidades de erro previstas pela expressão de cálculo DAYAN ADIONEL GUIMARÃES 07/01 78

79 do limitante. Este último resultado condiz com a definição do Limitante de União: a proailidade de erro real será menor ou igual ao valor previsto pelo limitante. Percea ainda que, para valores mais elevados de E /N 0, todos os resultados se aproximam. Felizmente, é nesta região que temos valores de proailidade de erro úteis na prática. Apenas para se ter uma noção de ordem de grandeza do que seja um valor útil para P e, algumas formas de transmissão de voz digitalizada, que é uma das aplicações que suporta as maiores taxas de erro, operam com proailidades de erro de it de, no máximo, Na prática encontraremos aplicações que requerem proailidades de erro ainda menores. Portanto, o cálculo de P e via Limitante de União será astante preciso nestes casos. Como complemento, no cálculo via Limitante de União pode ser que tenhamos maior proximidade das curvas para aixos valores de E /N 0 quando consideramos, além dos símolos vizinhos mais próximos, os símolos com distância Euclidiana imediatamente superior. Tente você mesmo investigar esta afirmação, começando por reproduzir as curvas mostradas na figura anterior. Use como referência uma constelação circularmente simétrica com oito símolos. Relação entre proailidade de erro de símolo e proailidade de erro de it Não há relação geral e única entre a proailidade de erro de símolo e a proailidade de erro de it. Vejamos um exemplo com fins didáticos apenas: Exemplo: Neste exemplo, partes de duas constelações de 64 símolos são analisadas, conforme figuras a seguir. Suponha que o símolo s i tenha sido transmitido, tanto para o caso (a) quanto para o caso (). Suponha ainda que a proailidade de erro para símolos mais distantes que os vizinhos seja desprezível. Adicionalmente, suponha que a proailidade de erro de símolo média nos dois casos seja a mesma e igual a Vamos determinar a proailidade de erro de it média, P, nos dois casos. Na prática esta proailidade é denominada de taxa de erro de it (Bit Error Rate BER). (a) () DAYAN ADIONEL GUIMARÃES 07/01 79

80 Caso a: P e = se transmitirmos, por exemplo, símolos, teremos em média 1 símolo decidido em erro. Neste caso teremos transmitido = its. Como cada erro de símolo provoca apenas um erro de it, a taxa de erro de it BER = 1/6.000 = P e /6 = P e /log M. Caso : P e = novamente, se transmitirmos símolos teremos em média 1 símolo decidido em erro. Neste caso tamém teremos transmitido = its. Como cada erro de símolo provoca 6 erros de it em um caso e 5 em outro, levando a uma média de 5,5 its em erro por símolo em erro, a taxa de erro de it BER = 5,5/6.000 P e. Com este exemplo verificamos nitidamente quais são os limites para a BER em função de P e, ou seja: Pe BER Pe log M A tendência da BER se aproximar de um limite ou de outro será determinada pela quantidade de símolos vizinhos de cada símolo e pelo mapeamento nos its que cada símolo representa. Saemos que quando a relação sinal-ruído é elevada, a proailidade de decisão errada por um dos símolos mais próximos é muito maior que por qualquer outro. Se o mapeamento símolo-it segue o código Gray, quando se erra um símolo o número mais provável de its em erro será 1. Portanto, este é o mapeamento mais adequado em termos de minimização da BER. Vale lemrar que se uma sinalização contém M símolos ortogonais de mesma energia, as distâncias Euclidianas de um símolo em relação aos demais serão as mesmas. Neste caso o mapeamento não terá influência na relação entre a BER e a P e, que será sempre dada por: M / BER = Pe M 1 Exemplo: vejamos como se pode determinar o mapeamento Gray para as constelações a seguir. Para a constelação da esquerda, asta escolher um símolo inicial qualquer e realizar o mapeamento Gray de forma sequencial. Para a constelação da direita, asta fazer um Mapa de Karnaugh com 4 linhas e 4 colunas (pois temos 16 símolos) e transferir os its do mapa para os símolos da constelação. DAYAN ADIONEL GUIMARÃES 07/01 80

81 Para este exemplo teremos o seguinte mapa de Karnaugh Para outros tipos de constelação a tarefa pode ser tornar um tanto difícil e em certos casos é impossível garantir o mapeamento Gray perfeito entre todos os símolos vizinhos mais próximos. Sumário do estudo sore análise do espaço de sinais: Foi estudada a representação de sinais no espaço Euclidiano, onde cada sinal de um conjunto de formas de onda de transmissão é mapeado num vetor N-dimensional, N M, onde N é o número de funções-ase ortonormais. O conjunto de vetores-sinal define uma constelação de M pontos no espaço N-dimensional. Foi estudado o receptor de máxima verossimilhança genérico (para M símolos equiprováveis e N dimensões) para um sistema de comunicação digital na presença de ruído AWGN. Foi verificada a invariância da proailidade de erro de símolo P e com a rotação ou com a translação na constelação. Foi oservado que se utilizam limitantes quando o cálculo exato da P e é impraticável. O Limitante de União foi estudado e é astante preciso para altos valores de E /N 0. Por fim foi aordado o mapeamento P e BER, cuja relação depende diretamente do mapeamento dos símolos nos correspondentes its, exceto quando os símolos são ortogonais entre si. Exercícios de fixação 1 Utilizando o Limitante de União, estime a proailidade de erro de símolo média para a sinalização M-ária com constelação circular (ilustrada ao lado para M = 8), em função de E /N 0. Para esta constelação a proailidade condicional de erro de símolo P e (m i ) é a mesma para qualquer símolo enviado e, portanto, a proailidade de erro de símolo média P e pode ser calculada utilizando-se apenas um símolo como referência. Para símolos equiprováveis teremos P e = MP e (m i )/M. Oservação: Admita o envio do símolo m 1 e que as proailidades de erro correspondentes à decisão por m 4, m 5 ou m 6 seja desprezível. Não faça outras aproximações. Solução Admitindo o envio do símolo m 1 oserva-se que: d 1 = d 18 = ( ) sen / 8 E π ; d 13 = d 17 = E. Então a proailidade de erro de símolo será limitada de acordo com: DAYAN ADIONEL GUIMARÃES 07/01 81

82 M 1 1 M d 1 ik d ik Pe M erfc = erfc M N N = k= 1 0 k = 1 0 k i k i ( π ) Esen /8 E erfc + erfc, N0 N0 E E o que resulta em Pe erfc sen ( π / 8) + erfc, N0 N0 3E que em função de E /N 0 passa a ser escrita como Pe erfc sen ( π / 8) + erfc N0 Utilizando o Limitante de União, determine a expressão aproximada de cálculo da proailidade de erro de símolo para as sinalizações equiprováveis a seguir, quando contaminadas com ruído AWGN de densidade espectral de potência N 0 / watts/hz. Admita que a relação sinal-ruído seja alta o suficiente para que os erros de símolo ocorram apenas para os símolos vizinhos mais próximos. a) Sinalização unidimensional 4-PAM. Determine a expressão em função de E 0 /N 0. ) Sinalização unidimensional 8-PAM. Determine a expressão em função de E 0 /N 0 c) Sinalização unidimensional M-PAM. Oserve os resultados dos itens a e e, por indução, generalize para qualquer número de símolos. Determine a expressão em função de E 0 /N 0. d) Reescreva a expressão do item c em função de E /N 0. 3 N E 0. 3 E 0 0 E 0 E 0 3 E 0 φ 1 7 E E 0 E 0 E 0 3 E 0 5 E 0 5 E 7 E 0 φ 1 Solução Oserva-se que a distância de um determinado símolo para quaisquer de seus vizinhos mais próximos é de E 0. Então, saendo que os símolos são equiprováveis e que a relação sinal-ruído é elevada: M M 1 P = p P ( m ) = P ( m ) ik 0, onde Pe ( mi ) erfc = erfc. e i e i e i i= 1 M i= 1 M 1 J d 1 E N N k = 1 0 k = 1 0 k i Para os símolos das extremidades das constelações temos J = 1 e para os demais símolos temos J =. Assim, nomeando os símolos da esquerda para a direita em ordem crescente, teremos: a) P e 1 1 E 0 1 E 0 1 E 0 3 E 0 = erfc + erfc + erfc. Então, Pe = erfc. 4 N0 N0 N0 4 N0 Pe ( m1 ) Pe ( m ) + Pe ( m3 ) Pe ( m4 ) DAYAN ADIONEL GUIMARÃES 07/01 8

83 ) P e EE 10 SISTEMAS DE COMUNICAÇÃO II 1 1 E 0 1 E 0 1 E 0 7 E 0 = erfc + 6 erfc + erfc. Então, Pe = erfc. 8 N0 N0 N0 8 N0 Pe ( m1 ) Pe ( m ) + Pe ( m3 ) + Pe ( m4 ) + Pe ( m5 ) + Pe ( m6 ) + Pe ( m7 ) Pe ( m8 ) c) Com os resultados dos itens a e, por indução teremos: P e M 1 erfc E. 0 = M N0 d) A solução deste item requer que escrevamos E 0 em função de E para posterior sustituição no resultado do item c, o que podemos conseguir por meio das seguintes constatações: 1) saemos que a energia total da constelação M-PAM pode ser calculada como o doro da soma das energias dos símolos à direita da origem do espaço de sinais; ) a energia de cada símolo é o quadrado da distância do símolo até a origem; 3) a energia média por símolo, E, é a energia total dividida por M, para símolos equiprováveis; 4) a energia média por it, E, é a energia média por símolo, E, dividida por log M. Então teremos: 1 E ME ME log M E = i 1 E = i 1 E = = M 1 1 M ( ) M 0 ( ) 0 0 M M i= 1 M i= 1 ( i ) ( i ) i= 1 i= 1 Sustituindo o valor de E 0 no resultado do item c, finalmente teremos: P e = ME log M M 1 erfc M M N0 ( i 1) i= 1 3 Seja a constelação da figura a seguir, correspondente a uma modulação que estudaremos no Capítulo 6, denominada 16-QAM. Considerando símolos equiprováveis, pede-se: a) Calcule a energia média da constelação. ) Estime a proailidade de erro de it média em função da proailidade de erro de símolo média. c) Responda se a proailidade de erro de it média real será aproximadamente igual, menor ou maior em comparação com aquela estimada no item c. Justifique sua reposta. Solução = 4 = Joules 16 i= = a) E Ei [ ] [ ] [ ] [ ] ) Se, para símolos vizinhos, o mapeamento utilizado na constelação for do tipo Gray, a BER poderá ser estimada por: DAYAN ADIONEL GUIMARÃES 07/01 83

84 Pe Pe BER = =. log M 4 c) A proailidade de erro de it média será MAIOR que a estimada, posto que o mapeamento Gray não está sendo utilizado em todos os símolos vizinhos na constelação. 4 Saemos que não existe uma relação única entre a proailidade de erro de símolo P e e a taxa de erro de it BER em um sistema de comunicação digital com número de símolos M >. Saemos tamém que o mapeamento dos símolos nos conjuntos de log M its tem forte influência nessa relação. Admitindo que a relação sinal-ruído seja alta o suficiente para que os erros de símolo ocorram para os símolos vizinhos mais próximos, justifique numericamente os comportamentos das curvas de taxa de erro de it mostradas no gráfico a seguir, para a constelação dada. Solução Para a constelação em questão todos os símolos vizinhos diferem em dois its, exceto os pares (000)/(111) e (011)/(100), que diferem em três its. Assim, um erro de símolo provocará, em média, ( )/8 =,5 = 9/4 its em erro. Como para cada símolo se tem três its transmitidos, a proailidade de erro de it BER será (9/4)P e /3 = (3/4)P e. Por exemplo, para uma P e = , a cada símolos transmitidos teremos, em média, 1 símolo decidido com erro. Neste exemplo teremos, em média,,5 its em erro, para its transmitidos, ou seja, BER = (,5)/3.000 = 0, = (3/4)P e, que é um valor um pouco superior aos (/3)P e = 0, mostrados na curva inferior. A curva mais acima corresponde à proailidade de erro de símolo, P e. 5 Fazer uma pequena pesquisa de forma que você aprenda como se pode formar um código Gray a partir de um código sequencial inário convencional. Se possível faça o desenho de um circuito de conversão de uma palavra inária em uma palavra do código Gray. Deste exercício você poderá extrair sua própria regra de construção do código Gray, assim como, provavelmente, você já conhece uma regra para construir uma sequência de palavras inárias em ordem crescente. FIM DA AULA DAYAN ADIONEL GUIMARÃES 07/01 84

85 Aula nº 1 Conteúdo Ojetivos Data: / / Tema Introdução à transmissão em anda-passante. Introdução à transmissão em anda-passante: definição, hierarquia das modulações, densidade espectral de potência, eficiência espectral e eficiência de potência, modelo de transmissão em anda-passante. Ao final da aula os alunos deverão ser capazes de: 1) definir transmissão em andapassante, comparando com a definição de transmissão em anda-ase. ) conceituar detecção coerente e não-coerente, citando vantagens e desvantagens. 3) conceituar e calcular a densidade espectral de potência (DEP) de uma sequência aleatória de pulsos multi-amplitude. 4) determinar a DEP de um sinal modulado a partir da DEP das suas componentes em fase e em quadratura. 5) estaelecer a solução de compromisso entre eficiência espectral e eficiência de potência. 6) determinar a função de cada loco e o significado de cada variável no modelo de transmissão em anda-passante. Neste texto serão aordados os conceitos ásicos, modelos e notações que nos permitirão analisar os vários tipos de modulação digital. Recomenda-se que este texto seja considerado como ase para o entendimento das modulações digitais que serão estudadas mais adiante. Tamém faremos uso constante dos conceitos estudados na representação de sinais no espaço Euclidiano, principalmente na determinação da proailidade de erro. Nesta, o cálculo será aseado na análise do espaço de sinais, na maior parte das vezes fazendo uso do Limitante de União. Definição de transmissão em anda-passante A transmissão em anda-passante, tamém conhecida como transmissão passa-faixa, é aquela em que o espectro do sinal modulado se concentra em torno de uma frequência de portadora, f c. Apenas recordando, na transmissão em anda-ase o espectro do sinal se concentra em torno da frequência zero. As figuras a seguir ilustram estes conceitos. Transmissão em anda-ase Transmissão em anda-passante Vale lemrar que esoços de espectro como aqueles mostrados logo acima se referem ao que provavelmente veríamos em um analisador de espectro (para f 0) ou por meio de algum software de simulação como o VisSim/Comm. O espectro teórico do sinal modulado é uma função mais em comportada, com aspecto ilustrado pelas figuras a seguir. DAYAN ADIONEL GUIMARÃES 07/01 85

86 A transmissão em anda-passante é realizada chaveando-se amplitude, frequência, fase, ou alguma cominação destas, de uma portadora senoidal de acordo com os its a serem transmitidos. A figura a seguir ilustra as versões inárias dos tipos ásicos de modulação digital: ASK (Amplitude Shift Keying), PSK (Phase Shift Keying) e FSK (Frequency Shift Keying). Múltiplas amplitudes, fases ou frequências poderiam ser utilizadas para formar modulações com qualquer número de símolos ou, como se costuma denominar, modulações M-árias. Hierarquia das modulações Em termos de hierarquia as modulações são classificadas como modulações com detecção coerente ou modulações com detecção não-coerente. Nas modulações com detecção coerente, além da temporização de símolo, para a detecção faz-se necessário o uso da portadora de recepção em sincronismo de fase (coerência de fase) com a portadora de transmissão, após deslocamentos de fase causados pelo canal. As modulações com detecção não-coerente tamém necessitam da temporização de símolo, mas não necessitam de coerência de fase para detecção. Para se implementar detecção coerente, o receptor deve ser provido de um circuito denominado circuito de extração de sincronismo de portadora, o qual eleva a complexidade do sistema. Na detecção não coerente não se faz necessário este circuito, mas o desempenho é inferior àquele proporcionado pela detecção coerente. Portanto, a decisão por usar detecção coerente ou não-coerente passa por uma análise de solução de compromisso entre complexidade e desempenho, ainda envolvendo outros quesitos que possam ser influenciados por estes, tais como custo, espaço físico para o circuito e consumo de potência. Densidade Espectral de Potência A densidade espectral de potência (DEP) descreve como a potência do sinal analisado se distriui na frequência. Como já saemos, sua unidade é watts/hertz ou alguma de suas variações, dentre as quais a mais utilizada é dbm/hz, a qual descreve a distriuição de potência em escala logarítmica. Devido ao fato da informação que queremos transmitir ser inerentemente aleatória, um sinal modulado é um sinal aleatório. Como saemos do estudo de processos estocásticos, para se determinar a densidade espectral de potência deve-se lançar mão da transformada de Fourier da função de autocorrelação do sinal. Felizmente temos um método mais simples para determinar a DEP de um sinal modulado, sem a necessidade de conhecer a sua função de auto-correlação. Veremos a seguir como este método é aplicado. DAYAN ADIONEL GUIMARÃES 07/01 86

87 A maior parte dos sinais modulados pode ser expressa por meio da equação: ( π ) ( π ) s( t) = s ( t)cos f t s ( t)sin f t I c Q c EE 10 SISTEMAS DE COMUNICAÇÃO II onde s I (t) e s Q (t) são sinais em anda-ase que mantém uma relação linear com o sinal modulante (ou seja, dependem linearmente deste). Tais sinais são denominados de componente em fase e de componente em quadratura do sinal modulado, respectivamente, e podem ser vistos como versões em anda-ase do sinal modulado. Alguns autores chamam de componente em fase e em quadratura os sinais resultantes da multiplicação de s I (t) e s Q (t) pelas portadoras cos(.) e sen(.), mas isto não gera nenhum conflito desde que fiquemos atentos. Seja S B (f) a DEP de s I (t), somada à DEP de s Q (t), e seja S S (f) a DEP do sinal em anda-passante s(t). A relação entre estas densidades espectrais de potência é: 1 S ( f ) = S f f + S f + f 4 ( ) ( ) S B c B c Portanto, pode-se determinar o espectro do sinal em anda-passante conhecendo-se o espectro de suas versões em anda-ase s I (t) e s Q (t). Os sinais s I (t) e s Q (t) encontrados na prática são tipicamente sequências de pulsos g(t) com duas ou mais amplitudes e formatos quaisquer. Nas figuras a seguir são mostrados dois formatos típicos para estes pulsos g(t). Para uma sequência inária aleatória, com pulsos ±g(t), a densidade espectral de potência é dada por: S ( ) B f = I{ g( t)} T onde I{ g( t) } é a transformada de Fourier de g(t). De posse de S B (f) utilizamos a relação com S S (f) dada anteriormente e assim podemos determinar a DEP do sinal modulado s(t). Exemplo: vamos determinar a densidade espectral de potência de um sinal modulado em -PSK. Este sinal pode ser gerado por meio de um simples multiplicador (mixer), como a seguir: DAYAN ADIONEL GUIMARÃES 07/01 87

88 Vimos que o sinal modulado pode ser descrito por meio de s( t) si ( t)cos ( π fct) sq ( t)sin ( π fct) Para o caso, nitidamente perceemos que a componente s Q (t) é nula, ou seja, s( t) s ( t)cos( π f t) =. =. Portanto, s I (t) é a própria sequência de pulsos de entrada dada na figura anterior. Então, o prolema reside em determinar S B (f) como sendo a densidade espectral de potência de uma sequência inária aleatória de pulsos retangulares com amplitude ±A e duração T. O formato de pulso g(t) para este exemplo é retangular de amplitude A e duração T. Inicialmente vamos determinar a transformada de Fourier deste pulso: I{ Π } = ATsinc( ft ). Portanto, a densidade espectral de potência da sequência em questão será: I c ( ) I{ g( t)} ATsinc( ft ) sinc ( ) B S f = = = A T ft, T T cujo esoço é mostrado na figura a seguir, com o eixo vertical em escala logarítmica. O uso desta escala é comum em Telecomunicações. Neste exemplo ela permite que lóulos mais distantes do principal possam ser visualizados e até medidos. É este tipo de representação que vemos em um analisador de espectro, onde o eixo vertical normalmente se encontra em dbm/hz. Portanto, a densidade espectral de potência do sinal modulado -PSK nada mais será que a densidade encontrada anteriormente, posicionada em ±f c e ponderada por ¼, ou seja: 1 1 SS ( f ) = SB ( f fc ) + SB ( f + fc ) = { A Tsinc [( f fc) T ] + A Tsinc [( f + fc) T ]} 4, 4 cujo esoço é mostrado a seguir: DAYAN ADIONEL GUIMARÃES 07/01 88

89 Exemplo: vamos agora verificar como determinaríamos a densidade espectral de potência de uma sequência aleatória de pulsos com amplitudes ±1 e ±3 e duração T, conforme ilustrado pela figura a seguir. Pode-se perceer que uma sequência deste tipo pode ser gerada pela soma de sequências inárias, conforme ilustrado pela próxima figura. Portanto, se interpretarmos as sequências geradoras como independentes, a DEP do sinal em questão pode ser determinada pela soma das DEPs das sequências inárias componentes. Tais DEPs podem ser determinadas por meio do método exemplificado anteriormente. Desafio: Determine e esoce a densidade espectral de potência do código de linha Manchester mostrado na figura a seguir, gerado pela sequência de its aleatória tamém mostrada na figura. Dica: interprete o código Manchester como uma sequência de pulsos ±g(t). A título de curiosidade, o código Manchester é utilizado em redes locais de computadores com fio, tais como as que temos no Inatel. DAYAN ADIONEL GUIMARÃES 07/01 89

90 Eficiência Espectral e Eficiência de Potência Exceto para as modulações da família M-FSK, a largura de anda do sinal modulado será proporcional a 1/T = 1/(T log M). Para as modulações da família M-FSK veremos mais adiante que a anda aumenta quando aumentamos o número de símolos. Um dos mais importantes fatores de mérito para análise de sinais modulados é a Eficiência Espectral. Ela é medida em it/s/hz e é definida por: ρ = R B onde R é a taxa de transmissão de its e B é a largura de faixa ocupada. A eficiência espectral nos diz o quanto de informação em termos de taxa de its pode-se transmitir por hertz de anda. Devemos ficar atentos para a medida da anda B. Em tese qualquer sinal modulado tem anda infinita. A limitação de anda para posterior transmissão se dará por processo de filtragem após a modulação ou por suavização dos pulsos que modulam a portadora. As figuras a seguir ilustram este conceito: na parte (a) tem-se o efeito de limitação de anda proporcionado pela filtragem passa-aixas dos pulsos que representam os its de informação. Na parte () da figura tem-se o efeito de limitação de anda realizado por filtragem passa-faixa do sinal já modulado. (a) () Então, para aumentarmos a eficiência espectral podemos aumentar M (exceto para M-FSK) e usar filtragem direta do sinal modulado ou alguma formatação dos pulsos de transmissão através de filtros para reduzir B. Entretanto devemos ter um cuidado especial, pois o aumento da eficiência espectral DAYAN ADIONEL GUIMARÃES 07/01 90

91 com o aumento de M vem acompanhado da redução na eficiência de potência (mais uma vez, exceto para M-FSK). Consulte as notas de aula sore a sinalização M-PAM para relemrar este conceito. Exemplo: A figura a seguir mostra duas constelações correspondentes a sinais modulados com mesma potência média de transmissão. Na parte (a) temos uma constelação com M = 4 na qual os símolos estão mais distantes entre si que os símolos da constelação (), onde M = 8. Então, a eficiência espectral da modulação (a) será menor que da modulação (), mas para uma mesma potência média de transmissão o desempenho da modulação (a) será melhor, ou seja, ela terá maior eficiência de potência. (a) () A decisão por se utilizar uma modulação com maior eficiência de potência ou maior eficiência espectral dependerá da aplicação. Em outras palavras, dependerá se o sistema é mais limitado por recursos de potência ou por recursos de anda. Exemplo: Numa comunicação entre estações-ase de telefonia celular tipicamente utilizam-se links de microondas que operam com modulações de alta eficiência espectral. Faz-se isto, pois o espectro congestionado impõe que a anda ocupada pelo sinal seja a menor possível e, ao mesmo tempo, as taxas de transmissão elevadas impõem que as modulações tenham muitos símolos em suas constelações (para que se carreguem muitos its por símolo). Neste caso estamos utilizando modulações de alta ordem ou modulações densas, como, por exemplo, a modulação 56-QAM. Já na comunicação entre uma sonda espacial e uma estação na Terra, temos forte imposição de economia de energia, pois a mesma é suprida normalmente por painéis solares que mantêm ancos de aterias carregadas. Neste caso faz-se a opção por modulações de aixa ordem, como -PSK ou 4- PSK, ou seja, faz-se a opção por alta eficiência de potência, pois a restrição por ocupação de anda não é tão importante. Modelo de transmissão em anda-passante A figura a seguir apresenta o modelo que utilizaremos ao longo do estudo da transmissão em andapassante. Este modelo unifica a notação utilizada no estudo e pode representar a implementação de qualquer modulação digital. As funções simplificadas de cada um dos locos são indicadas na figura e a seguir tem-se uma lista das variáveis e funções processadas ao longo do modelo: DAYAN ADIONEL GUIMARÃES 07/01 91

92 m i corresponde a símolos formados por agrupamentos de k = log M its. s i vetor-sinal associado ao símolo m i. Seus coeficientes modulam as funções-ase. s i (t) forma de onda que representa cada símolo m i. x(t) sinal receido, correspondente ao sinal s i (t) contaminado pelo ruído. x vetor oservado cujos componentes correspondem às saídas do anco de correlatores. ˆm é o símolo estimado na recepção, segundo o critério de máxima verossimilhança. FIM DA AULA DAYAN ADIONEL GUIMARÃES 07/01 9

93 Aula nº 13 Conteúdo Ojetivos Data: / / Tema Modulação BPSK. Modulação BPSK (Binary Phase Shift Keying) Ao final da aula os alunos deverão ser capazes de: 1) explicar o processo de geração do sinal BPSK, envolvendo a teoria da representação de sinais no espaço Euclidiano; ) explicar o funcionamento do transmissor e do receptor BPSK; 3) analisar o espectro de um sinal BPSK; 4) analisar a eficiência de potência e a eficiência espectral de uma modulação BPSK. Nesta parte do texto são apresentados os detalhes de uma importante forma de transmissão digital, a modulação -PSK ou BPSK (Binary Phase Shift Keying). Analisaremos o sinal modulado, a funçãoase e o espaço de sinais, a proailidade de erro de símolo e de it, os processos de geração do sinal modulado e de demodulação com detecção coerente, a densidade espectral de potência e a eficiência espectral. Uma oservação sore a notação Antes de iniciarmos propriamente o estudo das modulações digitais, vamos analisar uma notação específica tipicamente utilizada na representação de sinais modulados. Nas diferentes representações matemáticas destes sinais, com frequência encontraremos expressões similares a: ξ y( t) = cos( π fct), T onde fc = nc(1/ T ), nc inteiro, o que significa que em um intervalo de tempo de T segundos teremos um número inteiro de ciclos da portadora co-senoidal de frequência f c. Vamos calcular a energia da forma de onda y(t): T ξ T ξ T 1 1 ξ T ξ T E = y ( t) dt = cos ( fct) dt cos( 4 fct) dt dt cos( 4 fct) dt 0 T π = 0 T + π = + π 0 T 0 T 0 onde a segunda integral tem valor nulo justamente devido ao fato de termos no intervalo T um número inteiro de ciclos da portadora. Então: ξ T ξ T cos ( 4 ξ E = dt f ) 0 ct dt T T + π ξ 0 T = + = 0 T Por este resultado perceemos que na forma em que y(t) foi escrita, o valor que multiplica o número dentro do radical é a própria energia do sinal. Sinal modulado BPSK A modulação BPSK, por ser inária, tem dois símolos de duração T = T, cujas formas de onda são: DAYAN ADIONEL GUIMARÃES 07/01 93

94 E s1( t) cos T EE 10 SISTEMAS DE COMUNICAÇÃO II = ( π f t) e s ( t) cos ( π f t) c E = c, T onde 1 fc = nc, nc inteiro T Então temos uma sinalização antipodal, na qual um símolo é igual ao outro multiplicado por 1. A figura a seguir ilustra o aspecto do sinal modulado em BPSK, no domínio do tempo. Função-ase para a modulação BPSK Como se trata de uma sinalização antipodal, teremos uma única função-ase que pode ser definida, por exemplo, a partir do sinal s 1 (t), fazendo com que sua energia se torne unitária. Desta forma teremos: s ( t) φ t = = f t t T ( π ) 1 1( ) cos c, 0 E T Então, oservando as formas de onda s 1 (t) e s (t) perceemos nitidamente que os coeficientes s 11 e s 1 valem E, respectivamente. Assim podemos escrever: E e = φ ( ) = φ ( ) < e φ ( ) φ ( ) s ( t) s t E t, 0 t T s ( t) = s t = E t, 0 t < T Espaço de sinais (constelação) da modulação BPSK Dos resultados anteriores podemos construir a constelação da modulação BPSK, a qual é mostrada na figura a seguir. DAYAN ADIONEL GUIMARÃES 07/01 94

95 Proailidade de erro de símolo e de it para a modulação BPSK EE 10 SISTEMAS DE COMUNICAÇÃO II Como se trata de uma sinalização antipodal, a proailidade de erro de símolo, que é igual à proailidade de erro de it, será igual àquela já determinada no estudo da sinalização NRZ ipolar em anda-ase, ou seja: P e 1 E = BER = erfc N0 Geração e detecção coerente de um sinal BPSK De acordo com as expressões dos sinais s 1 (t) e s (t) podemos construir o modulador BPSK mostrado na figura a seguir. Nele, a sequência de its de informação é convertida para os níveis ± e o resultado desta conversão multiplica a função-ase φ 1 (t), gerando na saída do multiplicador (mixer) o sinal BPSK. E A figura a seguir ilustra uma possível forma de onda BPSK, gerada a partir da sequência de its de informação Neste exemplo, o it 0 está sendo representado pela fase 0 da portadora cosenoidal e o it 1 está sendo representado pela fase π da portadora. Para detecção coerente temos que ter no receptor a função-ase em coerência de fase (ou sincronismo de fase) com a função-ase utilizada na transmissão. Tendo como ponto de partida o receptor de máxima verossimilhança genérico, teremos apenas um correlator, pois a modulação BPSK é unidimensional. Numa próxima simplificação do receptor genérico teríamos dois ramos de cálculo de produto interno seguidos pelas sutrações de metade das energias dos símolos. Entretanto, como s 1 = s, as saídas destes ramos (x 1 e x ) seriam iguais em magnitude e diferentes apenas em polaridade. Portanto, não há necessidade de um destes ramos: asta verificar a polaridade de um deles. Adicionalmente, como x T s 1 é uma versão vetorial do cálculo da correlação entre x(t) e s 1 (t), não DAYAN ADIONEL GUIMARÃES 07/01 95

96 necessitamos tamém do loco de cálculo do produto interno, pois em sua saída teremos apenas uma versão escalonada da saída do correlator, dado que φ 1 (t) é apenas uma versão escalonada de s 1 (t). Por fim, a sutração de metade de E 1 não será necessária, pois não afetará a verificação da polaridade de x 1. Então, o demodulador BPSK será composto por apenas um correlator, seguido de um elemento de decisão que verificará a polaridade de x 1, conforme ilustrado pela figura a seguir. Como exercício, revisite o diagrama de locos do receptor desenvolvido para a sinalização NRZ ipolar e compare com o receptor de um sinal BPSK. Estaeleça as semelhanças e justifique as diferenças. Densidade espectral de potência para a modulação BPSK Vimos na aula passada um exemplo muito similar ao que está apresentado logo a seguir. Inicialmente precisamos lemrar que grande parte dos sinais modulados pode ser representada por meio de: ( π ) ( π ) s( t) = s ( t)cos f t s ( t)sin f t. I c Q c Para a modulação BPSK, é claro que não existe a componente sq ( t)sin ( fct) modulado pode ser escrito como s( t) s ( t)cos( π f t) I c π e, portanto, o sinal =. Comparando esta expressão com os sinais s 1 (t) e s (t) definidos no início deste texto, podemos verificar que s I (t) é uma sequência aleatória de pulsos g(t) retangulares de duração T e amplitude dada por: E si ( t) = ± T Na aula passada tamém verificamos que a densidade espectral de potência (DEP) de um sinal como este pode ser determinada por meio da divisão do módulo ao quadrado da transformada de Fourier do pulso g(t) por T, ou seja: Então, a DEP do sinal BPSK será: E T sinc( ft ) T B( ) = = sinc T ( ) S f E ft 1 E E SS ( f ) = SB ( f fc ) SB ( f fc ) sinc [( f fc) T ] sinc [( f fc) T ] = + + Esta DEP está esoçada na figura a seguir. DAYAN ADIONEL GUIMARÃES 07/01 96

97 Eficiência espectral da modulação BPSK Se definirmos que a anda a ser ocupada pelo sinal modulado corresponderá à anda ocupada pelo loo principal do espectro do sinal, então B = /T. Assim, a eficiência espectral será: R R R ρ = = = = 0,5 it/s/hz B T R Como exemplo, se quiséssemos transmitir its de informação a uma taxa de its/s, o sinal modulado (seu loo principal, neste caso) ocuparia uma anda de.000 Hz. FIM DA AULA DAYAN ADIONEL GUIMARÃES 07/01 97

98 Aula nº 14 Conteúdo Ojetivos Data: / / Tema Modulação QPSK. Modulação QPSK (Quaternary Phase Shift Keying) e exercícios de fixação. Ao final da aula os alunos deverão ser capazes de: 1) explicar o processo de geração de um sinal QPSK, envolvendo a teoria da representação de sinais no espaço Euclidiano. ) explicar o funcionamento do transmissor e do receptor QPSK. 3) analisar o espectro de um sinal QPSK. 4) analisar a eficiência de potência e a eficiência espectral de uma modulação QPSK, comparando-as com aquelas referentes à modulação BPSK. 5) resolver exercícios envolvendo os conceitos fundamentais sore a transmissão em anda-passante e sore as modulações BPSK e QPSK. Nesta aula estudaremos em detalhes a modulação digital 4-PSK ou QPSK (Quaternary Phase Shift Keying). Analisaremos o sinal modulado, as funções-ase e o espaço de sinais, a proailidade de erro de símolo e de it, os processos de geração do sinal modulado e de demodulação com detecção coerente, a densidade espectral de potência e a eficiência espectral. Sinal modulado QPSK Na modulação QPSK os quatro símolos de energia E são representados por quatro fases distintas de uma portadora de frequência f c de acordo com a expressão: E π cos π fct + ( i 1 ), 0 t T s ( t) = T 4 0 em caso contrário i i= 1,,3,4 1 fc = nc, nc inteiro T A figura a seguir ilustra um trecho de um sinal QPSK, no qual podem ser notadas as quatro diferentes fases citadas anteriormente. O conjunto de k = log M = log 4 = its que cada símolo representa pode ser, em princípio, qualquer e dependerá do mapeamento adotado pelo projetista do sistema. Vale lemrar que o mapeamento Gray em símolos vizinhos proporcionará a menor proailidade de erro de it. Funções-ase para a modulação QPSK Aplicando a identidade trigonométrica cos(α + β) = cosα cosβ senα senβ na expressão do sinal modulado, no intervalo T tem-se: E π E π s ( t) = cos i 1 cos f t sin i 1 sin f t T 4 T 4 ( ) ( π ) ( ) ( π ) i c c i= 1,,3,4 Rearranjando as posições de alguns termos, tem-se: DAYAN ADIONEL GUIMARÃES 07/01 98

99 π π s ( t) = E cos i 1 cos f t E sin i 1 sin f t 4 T 4 T ( ) ( π ) ( ) ( π ) i c c i= 1,,3,4 Percea nesta última expressão que ao rearranjarmos alguns termos fizemos aparecer uma forma de onda co-senoidal e outra senoidal com energias unitárias, as quais, por serem tamém ortogonais, podem ser caracterizadas como as funções-ase da modulação QPSK. Então temos: φ1 ( t) cos fct, 0 t T T = ( π ) φ ( π ) ( t) = sin fct, 0 t T T Espaço de sinais (constelação) da modulação QPSK As constantes que multiplicam as funções-ase a cada intervalo de símolo são os coeficientes dos correspondentes vetores-sinais, ou seja, se si ( t) = si1φ 1( t) + si φ ( t), então podemos escrever: De onde otemos: ( i )( π ) s E cos 1 4 = = s E sin ( i 1)( π 4) i1 s i i= 1,,3,4 i s 1 E = E s E = E s 3 E = E s 4 E = E Se associarmos as coordenadas positivas ao it 1 e as coordenadas negativas ao it 0 teremos a constelação dada na figura a seguir. Percea que o mapeamento símolo it está utilizando o código Gray em símolos vizinhos mais próximos. Proailidade de erro de símolo e de it para a modulação QPSK Como a constelação QPSK é circularmente simétrica em torno da origem do plano Euclidiano, a proailidade de erro de símolo é a mesma para qualquer símolo. Vamos considerar símolos equiprováveis e adotar a conhecida aproximação que diz que em altos valores de E /N 0 a proailidade de erro para os símolos vizinhos mais próximos é muito maior que para os demais. Tomando o símolo s 1 como referência no Limitante de União, teremos: DAYAN ADIONEL GUIMARÃES 07/01 99

100 M 1 d 1 ik E / 1 E / E Pe erfc erfc = erfc = erfc N N N N k = 1 0 k k i k 3 Portanto, para altos valores de E /N 0 a proailidade de erro de símolo média para a modulação QPSK com detecção coerente vale: P e E erfc N0 Como está sendo utilizado o mapeamento Gray, tem-se que a BER = P e /log M, ou seja, a proailidade de erro de it para a modulação QPSK será determinada por meio de: 1 E BER erfc = N0 Oserve que o desempenho da modulação QPSK, em termos de eficiência de potência, é o mesmo da modulação BPSK. Geração e detecção coerente de um sinal QPSK De acordo com a expressão do sinal modulado perceemos que uma sequência antipodal de coeficientes modula uma portadora co-senoidal e outra sequência antipodal modula uma portadora senoidal. A estas sequências de coeficiente podemos dar os nomes a 1 (t) e a (t), respectivamente. Como cada símolo é determinado por its, podemos dizer que a sequência de coeficientes a 1 (t) poderá ser construída a partir de uma sequência de its de informação com índice ímpar e que a sequência de coeficientes a (t) poderá ser construída a partir de uma sequência de its de informação com índice par. Portanto, a 1 (t) e a (t) correspondem às saídas de um demultiplexador ou conversor série/paralelo (S/P) da sequência de its de informação. Então, a estrutura completa do modulador QPSK pode ser implementada de acordo com a figura a seguir. No modulador QPSK em questão, a sequência de its de informação é convertida para a forma ipolar e em seguida para a forma paralela (ou vice-versa), de tal sorte que cada par de its (diit) seja responsável pela geração de um dos símolos. As formas de onda resultantes a 1 (t) e a (t) modulam cada uma das funções-ase. O sinal QPSK é gerado pela soma dos sinais modulados em cada um dos ramos do modulador. DAYAN ADIONEL GUIMARÃES 07/01 100

101 A figura a seguir ilustra a composição de um trecho de um sinal QPSK. As duas formas de onda da parte superior são as formas de onda a 1 (t) e a (t). Nos cinco intervalos de símolo mostrados temos os seguintes pares de it transmitidos: 11, 10, 00, 11 e 01. A forma de onda da parte inferior da figura é o sinal modulado em QPSK, onde pode ser notada a ocorrência de todas as possíveis fases da portadora modulada. Oservando com atenção o modulador QPSK perceemos que há dois moduladores BPSK em paralelo, um utilizando uma portadora co-senoidal e o outro utilizando uma portadora senoidal. Um modulador transmite a sequência de its ímpares de informação e o outro transmite a sequência de its pares de informação. Como as portadoras correspondem a sinais ortogonais, a soma realizada na saída do modulador não faz com que os sinais BPSK componentes se interfiram. Sendo assim, podemos intuitivamente construir o demodulador QPSK como sendo composto por dois demoduladores BPSK em paralelo, conforme ilustrado pela figura a seguir. Um dos demoduladores BPSK estimará a sequência de its ímpares de informação e o outro estimará a sequência de its pares de informação. Para termos a sequência de its final estimada, asta que façamos uma multiplexação ou conversão paralelo/série (P/S) das saídas dos dois demoduladores BPSK componentes. Vale oservar que a mesma estrutura de recepção pode ser otida por simplificação do receptor de máxima verossimilhança genérico. DAYAN ADIONEL GUIMARÃES 07/01 101

102 Densidade espectral de potência de um sinal QPSK Revisitando a primeira forma de representação do sinal modulado QPSK e comparando-a com a s( t) = s ( t)cos π f t s ( t)sin π f t, podemos notar que a componente em fase representação ( ) ( ) I c Q c s I (t) e a componente em quadratura s Q (t), ou simplesmente sinais I & Q são: E π si ( t) = cos ( i 1) T = ± 4 E T ( ) E sin 1 π Q = T = ± 4 e s t ( i ) E T, ou seja, s I (t) e s Q (t) correspondem a sequências aleatórias inárias com formatos de pulso retangulares de duração T e amplitudes ± E / T. Como tais sequências estão sendo transportadas por portadoras ortogonais, a densidade espectral de potência (DEP) resultante será a soma das DEPs de s I (t) e de s Q (t). Então, a DEP do sinal QPSK equivalente em anda-ase será: T E / Tsinc( ft ) T E / T sinc( ft ) S f S f S f E ft T T ( ) B( ) = BI ( ) + BQ ( ) = + = 4 sinc e a DEP do sinal modulado QPSK será: 1 SS ( f ) = SB ( f fc ) + SB ( f + fc ) = Esinc [( f fc) T ] + Esinc [( f + fc) T ] 4. A figura a seguir ilustra a DEP do sinal QPSK. Ela é semelhante à DEP de um sinal BPSK, mas percea que os nulos espectrais ocorrem em pontos diferentes dos nulos na DEP do sinal BPSK. Eficiência espectral da modulação QPSK Assim como fizemos na análise da modulação BPSK, se definirmos que a anda a ser ocupada pelo sinal modulado QPSK é a anda do loo principal do espectro do sinal, então B = /T. Assim, a eficiência espectral será: R R R R ρ = = = = = 1 it/s/hz B T T R Como exemplo, se quiséssemos transmitir informação a uma taxa de its/s, ocuparíamos uma anda de Hz. DAYAN ADIONEL GUIMARÃES 07/01 10

103 Note que o sinal QPSK ocupa a metade da anda ocupada pelo sinal BPSK, ou seja, a modulação QPSK tem o doro da eficiência espectral da modulação BPSK. Entretanto, para uma dada relação E /N 0 a BER da sinalização QPSK é a mesma da sinalização BPSK, ou seja, estas modulações têm a mesma eficiência de potência. Exercícios de fixação 1 Explique com suas palavras os conceitos associados às modulações com detecção coerente e às modulações com detecção não-coerente. Na sua interpretação, qual a dificuldade de otenção da densidade espectral de potência (DEP) de um sinal modulado? Explique com suas palavras como se faz para transpor esta dificuldade para grande parte das modulações digitais. 3 Defina com suas palavras os conceitos de componente em fase e de componente em quadratura de um sinal modulado. 4 Encontre a DEP de uma sequência aleatória inária de pulsos ±g(t), na qual g(t) tem o formato de um semi-ciclo senoidal de amplitude unitária, como ilustrado a seguir. Dica: usar S ( ) B f = I{ g( t)} T 5 Uma determinada modulação possui como sinais I & Q sequências quaternárias aleatórias e independentes de pulsos com amplitudes ±1 e ±3 e duração T, conforme ilustrado pela figura a seguir. Determine a DEP do sinal modulado. 6 Qual das modulações correspondentes às constelações a seguir possui maior eficiência de potência, considerando que a energia média por símolo em amos os casos é a mesma? Justifique. DAYAN ADIONEL GUIMARÃES 07/01 103

104 (A) (B) Solução A constelação A possui maior eficiência de potência, pois levará a uma menor proailidade de erro de símolo a uma dada potência de transmissão. Isto acontecerá porque a constelação A tem símolos mais espaçados em termos de distância Euclidiana. 7 Dado que as circunferências mostradas nas constelações da questão anterior possuem raio unitário e saendo que a taxa de transmissão em amos os casos é de 1 kit/s, calcule as potências médias de transmissão para que amas tenham a mesma eficiência de potência. Os: modifique apenas a potência média referente à constelação B. Dados: as proailidades de erro de símolo para as correspondentes modulações são: P e E erfc 3E π P erfc sin 8 e N0 N0 Solução Para a mesma eficiência de potência, P e(a) = P e(b), ou seja: E 3E π E 3E π N 0 N0 8 N0 N0 8 E 3E π E π E P = sin = 3sin 0,44 P = N N 8 E 8 E 0, 44 ( A) ( B) ( A) ( B) erfc = erfc sin = sin ( A) ( B) ( A) ( A) A B 0 0 ( B) ( B) Agora precisamos calcular P A, para depois calcularmos P B. Saemos que a potência média é igual à energia média por símolo dividida pela duração do símolo ou a energia média por it dividida pela duração do it. Então, P A = E/T = 1/T = R / = 1.000/ = 500 watts. Então, P B = 500/0,44 = watts. 8 Dois sistemas de comunicação operam em um canal AWGN com densidade espectral de potência de W/Hz a uma taxa de 1 kit/s. O sistema A utiliza modulação BPSK e o sistema B utiliza modulação QPSK. Determine as potências médias de transmissão necessárias para que os sistemas de comunicação A e B operem com proailidade de erro de it de DAYAN ADIONEL GUIMARÃES 07/01 104

105 Solução A proailidade de erro de it para amas as modulações é a mesma, ou seja, 1 E ( ) 1 A E ( B) erfc = erfc E = E N N 0 0 ( A) ( B) Então a potência média será a mesma para as duas modulações. Assim teremos:. 1 E erfc = ( A) Da taela em anexo otemos: E( A) E( A) 10 = 3 = 9 E ( A) = 9 10 Joules Então: P = E /T = E R = = watts. 9 A Figura a seguir mostra o gráfico da densidade espectral de potência de um sinal QPSK. Pede-se: a) Estime a largura de faixa ocupada pelo sinal modulado, após filtragem por um filtro raiz de coseno elevado com fator de roll-off igual a 1. ) Calcule a taxa de sinalização (ou taxa de símolos). c) Calcule a taxa de its. d) Esoce, nos gráficos vazios dados em seguida, a densidade espectral de potência do sinal equivalente em anda-ase, S B (f), e do sinal filtrado conforme descrito no item a desta questão. DAYAN ADIONEL GUIMARÃES 07/01 105

106 Solução a) A largura de faixa na saída de um filtro como este é dada por B = B min (1 + α). Em anda-ase vimos que a mínima largura de faixa teórica ocupada por um sinal é igual à metade da taxa de símolos, B min = 1/(T). Em anda-passante esse valor é duplicado, ou seja, B min = 1/T. Então teremos B = B min (1 + α) = (1/T)(1 + 1) = /T. No espectro do sinal QPSK a distância nulo-a-nulo do lóulo principal vale justamente /T. Então, finalmente temos que B = 100 MHz. Solução ) A taxa de símolos é 1/T = 50 Mega-símolos/segundo (50 Msps). Solução c) A taxa de its é o doro da taxa de símolos, ou seja, 100 Mit/s. Solução d) Veja gráficos. 10 Pretende-se dimensionar um sistema de comunicação digital para operar em uma anda de 50 khz, com um filtro de transmissão do tipo raiz de co-seno elevado com roll-off igual a 1. É necessário que o sistema consiga dar vazão a 50 kit/s e que a modulação utilizada leve a uma taxa de erro de it de, no máximo, Pede-se: a) Escolha, dentre as modulações BPSK e QPSK, uma que seja capaz de atender aos requisitos acima mencionados. Apresente os cálculos e/ou justificativas utilizadas na sua escolha. ) Para a modulação selecionada, determine o valor de E /N 0 mínimo para atender à taxa de erro de it imposta. Apresente os cálculos. 11 Seja um sinal QPSK dado pela expressão a seguir, onde f c = n(1/t), para n inteiro. Determine a) a energia de cada um dos símolos e ) a energia média por símolo, admitindo que a sinalização seja equiprovável. DAYAN ADIONEL GUIMARÃES 07/01 106

107 3 π cos π fct + ( i 1 ), 0 t T s ( t) = T 4 0 em caso contrário i i= 1,,3,4 Solução a) Como várias vezes calculamos em sala, o valor que multiplica o no radical é a energia do símolo. Para o caso a energia para todos os símolos vale E = 1,5 J. Alternativamente, emora mais traalhoso, pode-se calcular T 3 T π E = Ei = si ( t) dt = cos π fct ( i 1) dt 0 T 0 + 4, para qualquer i. Para i = 1, por exemplo, teremos: 3 T π 3 T 1 1 π E = cos fct dt cos 4 fct dt T 0 π + 4 = T 0 + π + 3 T 1 3 T 1 π 3 T 3 = dt cos 4π fct dt 0 1,5 J T + 0 T + = + = 0 T T ) Sendo equiprováveis os símolos, a energia média é (4 1,5)/4 = 1,5 J. 1 No diagrama aaixo, preencha as caixas de texto com os números correspondentes aos sinais ou vetores: 1 sinal de entrada do anco de correlatores. vetor oservado, correspondente ao sinal receido. 3 vetor-sinal. 4 símolo transmitido em forma de its. 5 símolo transmitido em forma de onda. 6 símolo estimado. 7 ruído DAYAN ADIONEL GUIMARÃES 07/01 107

108 13 Encontre o número esperado de erros de it em 4 horas de oservação do funcionamento do seguinte sistema de comunicação com modulação BPSK: taxa de transmissão de 5 kit/s; s 1 (t) = Acos(πf c t) e s (t) = Acos(πf c t), onde f c = n(1/t), n inteiro; A = 1 mv; o ruído é aditivo Gaussiano e ranco com densidade espectral de potência N 0 = W/Hz. Admita que os valores de potência e/ou energia a serem calculados estão normalizados em relação a uma carga resistiva de 1 Ω. Solução Por definição BER = Nº de its errados / Nº de its transmitidos. Queremos calcular Nº de its errados = BER Nº de its transmitidos. Em 4 horas temos = segundos. Como a taxa de its é de 5 kit/s, teremos transmitido nestas 4 horas um total de its de = Para a modulação BPSK, P e = BER = ½erfc ( / 0 ) E N. Da expressão de s 1 (t) ou s (t) otemos: T T T 1 1 A (0,001) 1 10 E = si ( t) dt = A cos ( c ) cos(4 c ) 1 10 J 0 π f t dt = A π f t dt T 0 + = = = Então, BER = ½erfc ( 1 10 /1 10 ) = ½erfc(3,16). De uma taela encontramos BER 4, Então, finalmente teremos: Nº de its errados = BER Nº de its transmitidos = 4, its em erro. 14 Um sistema com modulação BPSK tem em seu receptor um sistema de extração de sincronismo de portadora imperfeito que gera a função-ase local com defasagem θ em relação à portadora do sinal receido. Dependendo do it transmitido o sinal receido é ± E / T cos( π f t), desconsiderando-se c a influência do ruído, e a função-ase utilizada no receptor é / T cos( π f t + θ ). Pede-se: a) Calcule y, o valor da amostra de saída do correlator do receptor no momento de decisão, desconsiderando o ruído. ) Determine a expressão de proailidade de erro de símolo e de it para este sistema, no canal AWGN, levando em conta o resultado otido no item a. Solução a) T T y = ± E / T cos( π f t) / T cos( π f t + θ ) dt = ± E cos( π f t) cos( π f t + θ ) dt c c c c 0 T 0 T 1 T 1 T 1 = ± E [ cos( θ ) + cos(4 π f t + θ )] dt = ± E cos( θ ) dt + cos(4 π f t + θ ) c c T T T = ± E cos( θ ) 0 y E cos( θ ) E cos T + = ± = ± ( θ ) = ± E ' c DAYAN ADIONEL GUIMARÃES 07/01 108

109 Solução ) Utilizando o resultado do item a na expressão de P e para BPSK otém-se a expressão desejada: P e 1 E ' 1 E cos ( θ ) = BER = erfc = erfc. N N Têm-se dois sistemas de comunicação digital: o sistema A utiliza modulação BPSK com detecção coerente e o sistema B utiliza uma modulação para a qual a proailidade de erro é 1 E Pe = BER = exp. N0 Amos os sistemas estão operando a 56 kit/s e com taxa de erro de it média de 1, em canal AWGN, so influência da mesma intensidade de ruído. Quanto de potência média de transmissão a mais está sendo necessário no sistema B em relação ao sistema A? Solução Para a modulação do sistema A tem-se: 4 Do anexo otém-se: ( ) Para a modulação do sistema B tem-se: 1 E 1 E P = = =. e 4 BER erfc 1, erfc N0 N0 1 E erfc 1,180 10,6 E,6 x = x = = = 6,76 8,30 db. N N E E = N0 N0 4, exp 8,35 9, db P E 1 E 4 e = BER = exp 1, = exp N0 N0. Como a intensidade de ruído nos dois casos é a mesma, a diferença de potência corresponde à diferença nos valores de E /N 0, em db. Então será necessário aproximadamente 1 db de potência de transmissão a mais no sistema B em relação ao sistema A para se atingir uma BER = 1, Um sistema com modulação BPSK tem em seu receptor um sistema de extração de sincronismo de portadora imperfeito que gera a função-ase local com defasagem de 15º em relação à portadora do sinal receido. Assim, dependendo do it transmitido o sinal receido é ± / T cos( π f t), desconsiderando-se a influência do ruído, e a função-ase utilizada no receptor é / T cos(π f t + 0, 6). Nestas condições, calcule y, o valor da amostra de saída do correlator do c receptor no momento de decisão. c DAYAN ADIONEL GUIMARÃES 07/01 109

110 Solução T T y = ± / T cos( π f t) / T cos( π f t + θ ) dt = ± cos( π f t) cos( π f t + θ ) dt c c c c 0 T 0 T 1 T 1 T 1 = ± [ cos( θ ) cos(4 π fct θ )] dt cos( θ ) dt cos(4 π fct θ ) T + + = ± T T = ± cos( θ ) 0 y cos( θ ) cos(0, 6) 0,966 V T + = ± = ± = ±. 17 Pretende-se transmitir um feixe de dados a 1 Mit/s utilizando uma modulação QPSK com mapeamento Gray. Pede-se: a) Calcule a largura de faixa necessária no canal, saendo que o sinal QPSK foi transmitido após passar por um filtro cuja faixa de passagem corresponde à anda do loo principal do sinal modulado. ) Calcule a proailidade de erro de it média, saendo que a potência média do sinal transmitido é de 8 mw, que a densidade espectral de potência do ruído na entrada do receptor é de 10 9 W/Hz e que o canal de comunicação atenua a potência do sinal em 3 db. 18 Teça comentários sore o que se ganha e o que se perde na escolha de uma modulação com detecção não-coerente em detrimento de uma modulação idêntica, porém com detecção coerente. Procure justificar seus comentários. 19 A expressão de cálculo da proailidade de erro de símolo para a modulação QPSK, P erfc E / N + erfc E / N, onde foram determinada via Limitante de União, é e ( ) ( ) considerados os erros para todos os símolos e não somente para os símolos vizinhos. Com relação a esta expressão, pede-se: a) demonstre sua validade; ) Demonstre por meio de um exemplo que, para altos valores de E /N 0, tal expressão pode ser aproximada para Pe erfc ( E / N0 ) Solução a). Como a constelação é circularmente simétrica em torno da origem, podemos tomar qualquer um dos símolos como referência. Por simples trigonometria otemos as distâncias Euclidianas de interesse mostradas ao lado. Então teremos: M 1 d 1 d 1 E / E Pe = + N N N N ik 1k erfc erfc erfc erfc, k = 1 0 k k i que resulta em E 1 E Pe erfc + erfc. N N 0 0 DAYAN ADIONEL GUIMARÃES 07/01 110

111 Solução ) Em altos valores de E /N 0 as proailidades de erro de símolo e de it assumem valores pequenos. Vamos então escolher o valor de ½erfc(x) =, , o que leva a x =,5. Então, se fizermos E / N =,5 teremos: 0 E erfc = erfc,5 =, = 4, N0 4 4 ( ) e teremos 1 E 1 E erfc = erfc = erfc(,5) = erfc( 3,535),6 10 (da taela). N N 0 0 Percea que, de fato, o valor é muito menor que , o que justifica desprezar o segundo termo na expressão de P e. FIM DA AULA DAYAN ADIONEL GUIMARÃES 07/01 111

112 ANEXO Taela de valores da função erro-complementar. x erfc(x) x erfc(x) x erfc(x) x erfc(x) E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E-08 DAYAN ADIONEL GUIMARÃES 07/01 11

113 Aula nº 15 Conteúdo Ojetivos Data: / / Tema Modulação MPSK. Modulações da família M-PSK (M-ary Phase Shift Keying). Ao final da aula os alunos deverão ser capazes de: 1) explicar o processo de geração do sinal M-PSK, envolvendo a teoria da representação de sinais no espaço Euclidiano. ) explicar o funcionamento do transmissor e do receptor M-PSK. 3) analisar o espectro de um sinal M-PSK. 4) analisar a eficiência de potência e a eficiência espectral de uma modulação M-PSK. Nestas notas de aula apresenta-se a generalização das modulações digitais por chaveamento de fase, ou seja, as modulações da família M-PSK (M-ary Phase Shift Keying). Serão analisados os sinais modulados, as funções-ase e os espaços de sinais, as proailidades de erro de símolo e de it, os processos de geração dos sinais modulados e de demodulação com detecção coerente, as densidades espectrais de potência e as eficiências espectrais. Sinal modulado M-PSK O sinal M-PSK consiste de uma sequência de símolos de energia E, representados por uma portadora de frequência constante f c e fase dependente do símolo em particular. Os símolos são dados por: E π cos π fct ( i 1 ), 0 t T s ( t) = T M 0 em caso contrário i i= 1,,3,..., M 1 fc = nc, nc inteiro. T Funções-ase para a modulação M-PSK Aplicando a identidade trigonométrica cos(α β) = cosα cosβ + senα senβ na expressão do sinal modulado, no intervalo T tem-se: E π E π s ( t) = cos i 1 cos f t sin i 1 sin f t T + M T M ( ) ( π ) ( ) ( π ) i c c i= 1,,..., M Rearranjando alguns termos, tem-se: π π s ( t) = E cos i 1 cos f t + E sin i 1 sin f t M T M T ( ) ( π ) ( ) ( π ) i c c i= 1,,..., M Percea nesta última expressão que, assim como fizemos na análise da modulação QPSK, ao rearranjarmos alguns termos fizemos aparecer uma forma de onda co-senoidal e outra senoidal com energias unitárias, as quais, por serem tamém ortogonais, podem ser caracterizadas como as funçõesase da modulação M-PSK. Então, assim como para a modulação QPSK, temos novamente: φ1 ( t) cos fct, 0 t T T = ( π ) φ ( π ) ( t) = sin fct, 0 t T. T. DAYAN ADIONEL GUIMARÃES 07/01 113

114 Espaço de sinais (constelação) da modulação M-PSK As constantes que multiplicam as funções-ase a cada intervalo de símolo são os coeficientes dos correspondentes vetores-sinais. Como si ( t) = si1φ 1( t) + si φ ( t), então podemos escrever: ( )( π ) s E cos i 1 M s = =. s E sin ( i 1)( π M ) i1 i i= 1,,..., M i A título de exemplo, a figura a seguir ilustra uma constelação 8-PSK na qual o vetor-sinal s é destacado no que diz respeito aos valores de seus coeficientes. Proailidade de erro de símolo e de it para a modulação M-PSK Para a constelação M-PSK a proailidade condicional de erro de símolo P e (m i ) é a mesma para o envio de qualquer símolo e, portanto, a proailidade de erro de símolo média P e pode ser calculada utilizando-se apenas um símolo como referência, pois para símolos equiprováveis P e = MP e (m i )/M. Vamos admitir o envio do símolo m 1 como símolo de referência e tamém admitir que a relação E /N 0 seja alta o suficiente para que sejam desprezíveis as proailidades de erro correspondentes à decisão pelos símolos que não sejam os vizinhos mais próximos do símolo de referência. Vamos utilizar a constelação M-PSK com 8 símolos como exemplo, conforme figura a seguir, porém operando genericamente com as variáveis que dependem de M. DAYAN ADIONEL GUIMARÃES 07/01 114

115 Admitindo o envio do símolo m 1 oserva-se num dos triângulos retângulos destacados que sen π / M = ( d / ) / E = ( d / ) / E. Então, d 1 = d 18 = Esen( π / M ). Então a proailidade ( ) 1 18 de erro de símolo será limitada de acordo com: M 1 d ik Pe erfc = N k = 1 0 k i ( π M ) Esen / erfc N0, o que resulta em e E N P erfc sen ( π / M ) 0. Para altos valores de E /N 0 saemos que o Limitante de União converge para o desempenho real, o que nos leva ao seguinte resultado para a expressão de cálculo da proailidade de erro de símolo para as modulações da família M-PSK, para M 4: P e E log M π. erfc sen N0 M Saemos que, em função do mapeamento símolo its, a proailidade de erro de it pode se situar entre os limites P e /log M BER < P e. Se utilizarmos o mapeamento Gray, a proailidade de erro de it para as modulações da família M-PSK será BER = P e /log M, ou seja, 1 E log M π. log M N0 M BER erfc sen Apenas a título de complementação, a expressão exata para cálculo da proailidade de erro de símolo nas modulações da família M-PSK é: ( π M ) ( M 1) π M E sin M exp 0 N0 sin θ 1 log Pe = dθ π. DAYAN ADIONEL GUIMARÃES 07/01 115

116 Desafio: Responda por que a expressão de cálculo da proailidade de erro de símolo para a modulação M-PSK vale somente para M 4. Dica: faça uma análise comparativa via Limitante de União para BPSK e para M-PSK. Geração e detecção coerente de um sinal M-PSK Como se trata de uma modulação com M símolos, cada conjunto de k = log M its é responsável por determinar o símolo a ser transmitido dentro do conjunto {s i (t)}. Em outras palavras, de acordo com a expressão expandida do sinal modulado, a cada conjunto de k its geram-se os coeficientes s i1 e s i que, posteriormente, multiplicam as correspondentes funções-ase. Os resultados desta multiplicação são somados para formar o sinal M-PSK. Com ase nestes argumentos podemos construir a estrutura mostrada na figura a seguir para o modulador M-PSK. Nela os its de informação são convertidos para a forma paralela de modo que se tenha o conjunto de k its simultaneamente apresentado à etapa seguinte. Por meio de um circuito que comina partes analógicas e digitais gera-se uma taela de consulta (look-up tale), a qual permite que cada conjunto de k its em sua entrada determine os valores corretos dos coeficientes s i1 e s i em sua saída. Em seguida, a partir de uma função-ase senoidal é gerada a função-ase co-senoidal por meio de um defasador de π/ radianos. Após multiplicação das funções-ase pelos correspondentes coeficientes, os resultados são somados de forma que os símolos {s i (t)} = {s i1 φ 1 (t) + s i φ (t)}, i = 1,..., M da modulação M-PSK sejam gerados. Em termos de recepção de máxima verossimilhança com detecção coerente, em sendo uma sinalização idimensional, o receptor terá um par de correlatores que efetuam a correlação do sinal receido com cada uma das funções-ase. Os valores de x 1 e x resultantes compõem o vetor oservado x = [x 1 x ] T. Em seguida faz-se o cálculo do produto interno de x por todos os vetores-sinal {s i }, i = 1,..., M, e decide-se pelo símolo correspondente ao maior valor deste produto interno. Por exemplo, se o produto interno x T s 3 levar ao maior valor, decide-se pelo símolo m 3. Tendo-se decidido pelo símolo, resta apenas fazer o mapeamento reverso de tal símolo no conjunto de k its que ele representa. A figura a seguir ilustra a estrutura descrita. Percea que no receptor em questão não houve necessidade de sutração de metade da energia de cada símolo após o cálculo dos produtos internos, como prevê a estrutura do receptor genérico, devido ao fato das energias dos símolos M-PSK serem iguais. DAYAN ADIONEL GUIMARÃES 07/01 116

117 Densidade espectral de potência de um sinal M-PSK Vamos revisitar a segunda forma de representação do sinal modulado M-PSK e compará-la com a representação estudada na primeira aula sore transmissão em anda-passante. Elas são: E π E π s ( t) = cos i 1 cos f t sin i 1 sin f t T + M T M s( t) = s ( t)cos π f t s ( t)sin π f t. ( ) ( π ) ( ) ( π ) i c c i= 1,,..., M ( ) ( ) I c Q c Podemos notar que a componente em fase s I (t) e a componente em quadratura s Q (t), ou simplesmente sinais I & Q são, num intervalo de símolo:. I E = cos 1 T ( i ) π M E π sin 1 T M, e Q = ( i ) ou seja, ao longo do tempo amas correspondem a sequências aleatórias multinível. Como em saemos, tais sequências multinível podem ser geradas pela soma de sequências inárias ipolares, com pulsos de duração T e amplitudes que, cominadas adequadamente, geram as múltiplas amplitudes das sequências multinível em questão. Como tais sequências estão sendo transportadas por portadoras ortogonais, a densidade espectral de potência (DEP) resultante será a soma das DEPs de s I (t) e de s Q (t) devidamente deslocadas para ±f c. Então, a DEP do sinal M-PSK equivalente em andaase será exatamente igual à DEP encontrada na análise do sinal QPSK, ou seja: [ ] S ( f ) = S ( f ) + S ( f ) = Esinc ( ft ) + Esinc ( ft ) = (log M ) E sinc f (log M ) T, B BI BQ e a DEP do sinal modulado em M-PSK será: 1 E E SS ( f ) = SB ( f fc ) SB ( f fc ) sinc [( f fc) T ] sinc [( f fc) T ] = + +. A figura a seguir ilustra a DEP do sinal M-PSK. DAYAN ADIONEL GUIMARÃES 07/01 117

118 Oserve que todas as modulações da família M-PSK tem DEP com o mesmo aspecto. Entretanto, percea que quanto maior o valor de M mais estreitos serão os lóulos do sinal modulado, para uma mesma taxa de its, pois T = T log M e a largura do loo principal é /T Hz. Eficiência espectral da modulação M-PSK Assim como fizemos na análise das modulações BPSK e QPSK, se definirmos que a anda a ser ocupada pelo sinal modulado M-PSK correspondente à largura do loo principal do espectro do sinal, então, mais uma vez, B = /T. Assim, a eficiência espectral será: R R log M ρ = B = = = ρ = B T T log M log M Hz it/s/hz Como exemplo, se quiséssemos transmitir informação a uma taxa de its/s usando uma modulação M-PSK, ocuparíamos uma anda B = R /ρ = R /log M = ( 1.000)/(log M) Hz. FIM DA AULA DAYAN ADIONEL GUIMARÃES 07/01 118

119 Aula nº 16 Conteúdo Ojetivos Data: / / Tema Modulação M-QAM. Modulações da família M-QAM (M-ary Quadrature Amplitude Modulation). O modulador I & Q. Exercícios de fixação. Ao final da aula os alunos deverão ser capazes de: 1) explicar o processo de geração do sinal M-QAM com constelações quadradas e não quadradas, envolvendo a teoria da representação de sinais no espaço Euclidiano. ) explicar o funcionamento dos transmissores e dos receptores M-QAM para constelações quadradas e não quadradas. 3) analisar a densidade espectral de potência, a eficiência de potência e a eficiência espectral de modulações M-QAM. 4) resolver exercícios envolvendo os conceitos fundamentais da transmissão em anda-passante e as modulações M-PSK e M-QAM. Neste texto serão aordadas as modulações da família M-QAM (M-ary Quadrature Amplitude Modulation), um caso especial das modulações que cominam chaveamento de amplitude com chaveamento de fase (APK Amplitude and Phase Keying). Analisaremos os sinais modulados, as funções-ase e os espaços de sinais, as proailidades de erro de símolo e de it, os processos de geração dos sinais modulados e de demodulação com detecção coerente, as densidades espectrais de potência e as eficiências espectrais destas modulações. Ao final da aula estudaremos o dispositivo modulador I&Q e faremos alguns exercícios de fixação. Modulações da família M-QAM As modulações da família M-QAM podem ser agrupadas em duas categorias: aquelas com constelação quadrada e aquelas com constelação não-quadrada. Em amos os casos os termos quadrada e não-quadrada estão associados à geometria das constelações, como veremos adiante. Modulação M-QAM com constelação quadrada Nas constelações M-QAM quadradas o número de its por símolo é sempre par. Uma constelação M- QAM quadrada pode ser formada pelo Produto Cartesiano entre duas constelações componentes L- PAM, onde L = M. O produto cartesiano é um produto direto entre conjuntos. Especificamente, o produto cartesiano entre o conjunto X dos pontos em um eixo x e o conjunto Y dos pontos de um eixo y, denotado por X Y, é o conjunto de todos os pares ordenados nos quais o primeiro elemento pertence a X e o segundo elemento pertence a Y. Matematicamente temos: X Y = {( x, y) x X and y Y} Percee-se que o número de pares ordenados no conjunto X Y é igual ao produto entre o número de elementos em X e o número de elementos em Y. Exemplo: Vamos construir uma constelação para a modulação 16-QAM. Percea que k = log M = log 16 = 4, ou seja, o número de its por símolo é par. De acordo com o exposto, se L = M teremos constelações componentes 4-PAM. A figura a seguir mostra uma destas constelações 4-PAM, onde d é DAYAN ADIONEL GUIMARÃES 07/01 119

120 a distância Euclidiana entre os símolos vizinhos e E 0 é a menor energia de símolo da constelação L- PAM. O produto cartesiano entre duas constelações L-PAM nada mais é do que um conjunto de pares de coordenadas formadas por todos os pares ordenados otidos a partir das coordenadas destas constelações. Neste exemplo, considerando como coordenadas apenas as constantes multiplicadoras do valor d/ em cada símolo 4-PAM, teremos as seguintes cominações: { a, } i i ( 3, 3) ( 1, 3) ( 1, 3) ( 3, 3) ( 3, 1) ( 1, 1) ( 1, 1) ( 3, 1) ( 3, 1) ( 1, 1) ( 1, 1) ( 3, 1) ( 3, 3) ( 1, 3) ( 1, 3) ( 3, 3) = Utilizando estas coordenadas num espaço idimensional otemos a constelação 16-QAM desejada, a qual é mostrada na figura a seguir. Veja que o valor de E 0 definido anteriormente tamém pode ser interpretado como o quadrado da projeção do símolo de menor energia da constelação M-QAM resultante em um dos eixos. Como vimos em aulas passadas, uma forma de garantir o mapeamento Gray em uma constelação quadrada como a mostrada acima consiste em fazer um Mapa de Karnaugh com L linhas e L colunas, pois temos M = L símolos. Depois asta transferir diretamente os its do mapa para os símolos da constelação. O mapa e a figura a seguir ilustram a aplicação desta regra para a modulação 16-QAM: Mapa de Karnaugh DAYAN ADIONEL GUIMARÃES 07/01 10

121 Modulação M-QAM com constelação não-quadrada A constelação M-QAM não-quadrada surge quando o número de its por símolo é impar. Uma constelação não-quadrada não pode ser formada pelo produto cartesiano das coordenadas de duas constelações unidimensionais PAM. Adicionalmente, não é possível garantir mapeamento Gray completo (para todos os símolos vizinhos mais próximos) numa constelação M-QAM não-quadrada. Existem inúmeras maneiras de se arranjar os símolos de uma constelação M-QAM não-quadrada. Uma delas é ilustrada pela figura a seguir, onde, inicialmente, k 1 símolos são distriuídos numa forma geométrica quadrada. Em seguida, locos de k 3 símolos são dispostos acima, aaixo e aos lados da geometria quadrada anteriormente otida. A constelação resultante é conhecida como constelação cruzada (cross constelation), por razões óvias. Exemplo: Vamos construir uma constelação para a modulação 3-QAM. Como M = 3, temos k = 5 its por símolo. Utilizando a regra descrita anteriormente, oteremos como resultado a constelação da figura a seguir. Sinal modulado e funções-ase para a modulação M-QAM O sinal modulado M-QAM pode ser matematicamente representado da seguinte maneira: E E 0 t T = ( π ) ( π ), = ± 1, ± 3,..., ± ( L 1), 0 0 si ( t) ai cos fct i sen fct, i= 1,,3,..., M T T ai i DAYAN ADIONEL GUIMARÃES 07/01 11

122 onde {a i, i }, após multiplicação por d/ = E 0, formam as coordenadas dos vetores-sinal. Devido ao fato dos valores de {a i, i } variarem em amplitude, podemos interpretar o sinal modulado como a composição de sinais modulados em amplitude, operando com portadoras em quadratura. Isto de certa forma justifica o nome dado à modulação QAM, ou seja, modulação por amplitude em quadratura (Quadrature Amplitude Modulation). Proailidade de erro de símolo e de it para a modulação M-QAM com constelação quadrada O cálculo da proailidade de erro de símolo para uma modulação M-QAM para qualquer valor de M é uma tarefa astante complexa, mesmo utilizando o Limitante de União. Além disto, mesmo que consigamos encontrar expressões para cada um dos valores de M, dificilmente encontraremos uma única forma genérica de representação de todas as expressões encontradas. Por esta razão apresentaremos aqui uma das possíveis expressões de cálculo de P e, determinada com uso do Limitante de União nas constelações L-PAM componentes de constelações quadradas. Em seguida apresentaremos uma expressão para constelações não-quadradas. Para a modulação M-QAM com constelação quadrada tem-se que: P e 1 3E 1 3log M E 1 erfc = 1 erfc M ( M 1) N, 0 M ( M 1) N0 onde a energia média por símolo pode ser calculada de forma aproximada por meio de: E ( M 1) E 3 0. Percea que se M = 4 tem-se a expressão de cálculo da P e para a modulação QPSK, que é um caso especial da modulação M-QAM quadrada. A proailidade de erro de it dependerá do mapeamento símolo it. Se utilizarmos o mapeamento Gray, para altos valores de E /N 0 teremos a aproximação: BER P e /log M. Proailidade de erro de símolo e de it para a modulação M-QAM com constelação não quadrada Pelas mesmas razões citadas no caso da modulação M-QAM com constelação quadrada, para constelações não-quadradas cruzadas vamos apenas fornecer uma expressão de cálculo de P e, sem demonstração. Para altos valores de E /N 0 a proailidade de erro de símolo é dada por: P e 1 E 1 96log M E 1 erf = 1 M N 0 M 6M 64 N0 0 c erfc. Nesta expressão fez-se uso da relação exata entre E e E 0 para constelações cruzadas: 31 E0 E = M DAYAN ADIONEL GUIMARÃES 07/01 1

123 Devido ao fato de não conseguirmos gerar o mapeamento Gray completo em uma constelação M- QAM não-quadrada, a proailidade de erro de it será sempre maior que P e /log M, mesmo para altos valores de E /N 0. Oviamente, quanto mais diferente do mapeamento Gray fizermos o mapeamento de uma constelação M-QAM não-quadrada, mais distante de P e /log M será a BER. Geração e detecção coerente de um sinal M-QAM com constelação quadrada Oservando a expressão do sinal modulado e o fato de que para constelações quadradas temos sempre um número par de its por símolo, podemos implementar um modulador M-QAM somando dois sinais L-PAM em quadratura, cada um transportando metade do número de its por símolo. A figura a seguir ilustra a estrutura do modulador M-QAM genérico, para constelações quadradas. Para um sinal M-QAM com constelação quadrada devemos realizar a demodulação e a decisão de dois sinais L-PAM em quadratura. A figura a seguir ilustra esta implementação. Percea que na saída de cada elemento de decisão L-PAM temos a decisão por (log M)/ = log L its. Após a conversão para a forma serial teremos a estimativa dos its de informação transmitidos. Para a decisão pelos dois conjuntos de log L its, os valores de x 1 e x são comparados com L 1 limiares de decisão. Geração e detecção coerente de um sinal M-QAM com constelação quadrada ou não quadrada Como vimos anteriormente, para constelações não-quadradas não há como gerar o sinal M-QAM somando dois sinais L-PAM, pois o número de its por símolo é ímpar e, desta forma, para implementar o modulador não podemos dividir a saída do conversor S/P em dois ramos de (log M)/ its. Portanto, o que resta fazer é gerar os coeficientes dos vetores-sinal diretamente por meio de uma DAYAN ADIONEL GUIMARÃES 07/01 13

124 look-up tale, a partir do conjunto de log M its de saída do conversor S/P, assim como fizemos na geração dos símolos da modulação M-PSK. A figura a seguir ilustra esta implementação. De fato, a estrutura mostrada anteriormente se presta à geração de sinais M-QAM com qualquer tipo de constelação. Mais que isto, implementando adequadamente a look-up tale, com essa estrutura podemos gerar qualquer modulação digital idimensional. Em termos de recepção de um sinal M-QAM com constelação não-quadrada, tamém não é possível implementar o demodulador cominando dois demoduladores L-PAM. Sendo assim, nos resta realizar uma estrutura similar àquela que foi utilizada para a demodulação de um sinal M-PSK. A figura a seguir ilustra o receptor resultante, no qual podemos perceer que a única diferença com relação ao receptor M-PSK reside na necessidade de sutração de metade da energia de cada símolo no processo de decisão, pois para a modulação M-QAM as energias dos símolos são distintas. Oviamente, os vetores-sinal operados em cada processo de decisão são diferentes de uma modulação para a outra. Densidade espectral de potência e eficiência espectral da modulação M-QAM Tanto a densidade espectral de potência quanto a eficiência espectral das modulações da família M- QAM são idênticas àquelas determinadas para as modulações da família M-PSK. Como desafio, procure justificar matematicamente esta afirmação. O modulador I &Q Pudemos oservar que, em todas as estruturas de modulação idimensional estudadas até aqui, temos os locos mostrados na figura a seguir. Tais locos compõem o que é chamado de modulador I&Q. Trata-se de um dispositivo muito utilizado na implementação de sistemas de comunicação digital, pois DAYAN ADIONEL GUIMARÃES 07/01 14

125 com o mesmo podemos realizar qualquer das modulações da família M-PSK e M-QAM ou qualquer outra modulação idimensional que utilize portadoras em quadratura (co-seno e seno). Basta implementar em sua entrada um circuito do tipo look-up tale que, a partir de cada grupo de log M its, gere os coeficientes adequados em função da posição geométrica de cada símolo desejado. Podemos adquirir com certa facilidade o componente modulador I&Q em lojas especializadas ou de faricantes de componentes para telecomunicações. Comparação entre M-PSK e M-QAM A figura a seguir apresenta curvas de proailidade de erro de símolo para várias modulações M-PSK e M-QAM. Note que para M 8 a modulação M-QAM tem menor P e que a modulação M-PSK. Entretanto, para M = 8 utiliza-se mais na prática a modulação 8-PSK em vez de 8-QAM, já que a diferença de desempenho não é tão grande e a modulação 8-PSK tem a vantagem de ter símolos com mesma energia, facilitando o projeto do receptor. No caso das modulações QAM, as diferenças nas energias dos símolos demanda o uso de circuitos especiais para que as compensações de energia do receptor sejam implementadas. Exercícios de fixação 1 Esoce a densidade espectral de potência dos sinais modulados em BPSK, QPSK e 8-PSK, admitindo que a energia média por símolo seja unitária e que a taxa de transmissão seja de it/s em todas elas. DAYAN ADIONEL GUIMARÃES 07/01 15

126 Criar uma constelação 4-QAM e uma constelação 8-QAM utilizando as regras ilustradas no texto. Comentar sore a constelação 4-QAM em comparação com uma constelação QPSK. 3 Porque, na justificativa para cálculo da BER para a modulação M-QAM quadrada, foi dito que apenas para altos valores de E /N 0 a BER é dada por P e /log M? 4 Verifique se um demodulador M-QAM para constelação não-quadrada pode ser utilizado para demodular um sinal M-PSK. Verifique se o contrário pode ser feito, ou seja, se um demodulador M- PSK pode ser utilizado para demodular um sinal M-QAM. Justifique. 5 Como podemos utilizar um modulador I&Q para gerar um sinal BPSK? 6 Determine os possíveis valores de I e Q para que um sinal QPSK com símolos de energia unitária e taxa de it/s possa ser gerado com o uso de um modulador I&Q. 7 Dada a constelação da figura ao lado, correspondente a uma modulação 16-QAM com símolos equiprováveis, pede-se: a) Calcule a energia média da constelação. ) Calcule a proailidade de erro de símolo média em função da densidade espectral de potência de ruído. c) Estime a proailidade de erro de it média em função da proailidade de erro de símolo média, supondo que o mapeamento Gray estivesse sendo seguido. d) Responda se a proailidade de erro de it média real será aproximadamente igual, menor ou maior em comparação com aquela estimada no item c deste exercício. Justifique sua reposta. Solução a) A energia média da constelação 16-QAM pode ser determinada a partir das duas constelações 4- PAM componentes, saendo que, para o caso em questão, E 0 = 1, de acordo com: E ( M 1) E 3 0 =. Então se tem: (16 1)1 E = = 10 Joules. 3 DAYAN ADIONEL GUIMARÃES 07/01 16

127 ) A proailidade de erro de símolo média é dada por: Então P e erfc = erfc 16 ( 16 1) N0 N0 P e 1 3E 1 erfc M ( M 1) N0. c) Se o mapeamento utilizado na constelação fosse do tipo Gray, a BER poderia ser estimada por: Pe Pe P 3 1 e BER =, o que levaria a BER = = erfc. log M log M 4 8 N0 d) A proailidade de erro de it média será MAIOR que aquela dada no item anterior, posto que o mapeamento Gray entre símolos vizinhos mais próximos não está sendo garantido em toda a constelação. 8 Pretende-se dimensionar um sistema de comunicação digital para operar em uma anda de, no máximo, 5 khz. É necessário que o sistema consiga dar vazão a 50 kit/s e que a modulação utilizada leve a uma taxa de erro de it de, no máximo, , consumindo a menor potência média possível da fonte de alimentação. Pede-se: a) Escolha uma modulação capaz de atender aos requisitos mencionados. Apresente os cálculos ou justificativas utilizadas na sua escolha. ) Para a modulação selecionada, determine o valor de E /N 0 mínimo que atenda à taxa de erro de it imposta. Solução a) Definindo-se que a anda ocupada pelo sinal modulado e filtrado corresponde à distância de nuloa-nulo no espectro do sinal modulado (loo principal), tem-se que /T 5 khz, o que leva a T 80 µs. Se a taxa de its é de 50 kit/s, a duração de um it vale T = 1/ = 0 µs. Então o número de its por símolo deverá ser T/T 4 it/símolo. Portanto, usando uma modulação com 4 its por símolo atende-se aos requisitos de anda e taxa de transmissão. Dentre as modulações estudadas pode-se escolher a 16-QAM, que proporcionará tamém o desempenho adequado com menor consumo de potência se comparada à modulação 16-PSK. ) Usando a expressão de proailidade de erro de símolo da modulação M-QAM para M = 16 e admitindo mapeamento Gray, tem-se: Pe 1 3E 3 P BER =, onde Pe 1 erfc log M. Então, 1 10 = e, M ( M 1) N0 log 16 3 = Levando este valor à expressão de P e e extraindo o valor da energia média da P e 8 10 E constelação (energia média por símolo) E, tem-se: erfc, que pode ser escrita 3 10N E de forma alternativa como: 1 = erf. Usando cálculo numérico ou uma 3 10N0 taela da função erf(x) ou erf(x), tem-se u =,1. Então Então, o valor de E /N 0 mínimo poderá ser calculado por N =, donde se extrai 0 0 DAYAN ADIONEL GUIMARÃES 07/01 17 E 10,1 0 0 E 45 N. E E 45 = = = 11,5 10,5 db. N N log M 4

128 9 Uma solução desta questão está apresentada logo aaixo. Pede-se marcar no local adequado se cada solução está correta ou parcialmente correta. No caso de estar parcialmente correta, assinale a(s) parte(s) incorreta(s) e apresente a solução correta. A figura ao lado mostra o espectro de frequências de um sinal QPSK. Pede-se: a) A largura de faixa ocupada pelo sinal modulado. ) A mínima largura de faixa que teoricamente poderia ser ocupada pelo sinal modulado e idealmente filtrado. c) A taxa de sinalização (taxa de símolos). d) A taxa de its. Solução a) A largura de faixa ocupada pelo sinal modulado é infinita. ) Numa transmissão em anda-ase, a mínima largura de faixa teórica é de metade da taxa de símolos. Na transmissão em anda-passante, a largura de faixa mínima corresponde ao doro desse valor, ou seja, 50 MHz (de 5 a 75 MHz). c) O primeiro nulo à direita no loo principal corresponde a f c + 1/T. Então a taxa de sinalização R = 1/T = 50 Msps. d) Cada símolo QPSK carrega its. Então, a R = R = 100 Mit/s. a) CORRETA ( ). PARCIALMENTE CORRETA ( x ). ) CORRETA ( x ). PARCIALMENTE CORRETA ( ). c) CORRETA ( ). PARCIALMENTE CORRETA ( x ). d) CORRETA ( ). PARCIALMENTE CORRETA ( x ). 10 Para a mesma energia média por símolo, a partir de que valor de M a modulação M-QAM com constelação quadrada suplanta a modulação M-PSK em termos de taxa de erro de it? Lemre-se que M é uma potência inteira de. Pede-se que os cálculos realizados sejam apresentados. Dica: aritre valores para M e para E /N 0, calcule e compare os valores de BER. 11 Suponha que a figura do exercício anterior represente o espectro, idêntico, de três sinais modulados M-PSK, correspondentes a três sistemas de comunicação digital. Tomando como convenção que a anda ocupada pelo sinal modulado e filtrado corresponde à distância de nulo-a-nulo do loo principal do espectro do sinal, pede-se: a) Os valores de M, se as taxas de it dos sistemas são, respectivamente, 50 Mit/s, 100 Mit/s e 00 Mit/s. ) A taxa de sinalização das modulações. c) A eficiência espectral das modulações. FIM DA AULA DAYAN ADIONEL GUIMARÃES 07/01 18

129 Aula nº 17 Conteúdo Ojetivos Data: / / Tema Modulação M-FSK. Modulação BFSK (Binary Frequency Shift Keying). Modulações da família M-FSK (M-ary Frequency Shift Keying). Ao final da aula os alunos deverão ser capazes de: 1) explicar o processo de geração de um sinal BFSK e, genericamente, dos sinais M-FSK. ) explicar o funcionamento do transmissor e do receptor M-FSK. 3) analisar o espectro, a eficiência de potência e a eficiência espectral de uma modulação M-FSK. 4) resolver exercícios envolvendo os conceitos fundamentais da transmissão em anda-passante e as modulações M-PSK, M-QAM e M-FSK. Nesta aula estudaremos as modulações da família M-FSK (M-ary Frequency Shift Keying) com detecção coerente. Analisaremos os sinais modulados, as funções-ase e os espaços de sinais, as proailidades de erro de símolo e de it, os processos de geração dos sinais modulados e de demodulação com detecção coerente, as densidades espectrais de potência e as eficiências espectrais das modulações desta família. Iniciaremos o estudo com a modulação -FSK, ou simplesmente BFSK. Modulação BFSK Na modulação BFSK (Binary Frequency Shift Keying) ou -FSK cada um dos its de informação é representado por um tom. Em outras palavras, o it 0 é transportado por uma portadora de magnitude constante e frequência f 1 e o it 1 é transportado por uma portadora de magnitude constante e frequência f. A separação entre tais tons é tal que garanta que os símolos s 1 (t) e s (t) sejam ortogonais entre si. Como vimos no início dos estudos sore a transmissão em anda passante, esta modulação pode ser vista como a versão digital da modulação FM (Frequency Modulation). Sinal modulado e funções-ase para a modulação BFSK O sinal modulado BFSK é uma sucessão de símolos s i (t) correspondentes a tons de frequência f i, esta determinada pelo it de informação que se deseja transmitir, ou seja: s ( t) i i= 1, = E T ( π ) cos f t, 0 t T 0 em caso contrário Dependendo da escolha do par de tons pode-se ou não garantir que os símolos sejam ortogonais. Adicionalmente, se as frequências destes tons não forem escolhidas adequadamente, quando se comuta de um it de informação para outro se pode ter, além da desejada mudança de frequência, uma indesejada mudança arupta de fase. Estas mudanças aruptas de fase fazem com que o espectro de um sinal FSK tenha maiores intensidades nas suas componentes de frequência elevada, diminuindo a concentração da potência do sinal na anda de maior interesse, que normalmente é a anda do loo principal. Portanto, é desejável que se garanta continuidade de fase da portadora modulada quando da mudança de um símolo para o próximo. i DAYAN ADIONEL GUIMARÃES 07/01 19

130 As figuras a seguir ilustram as situações de continuidade de fase e de mudança arupta ou descontinuidade de fase em um sinal BFSK. Nas partes superiores destas figuras são mostrados trechos da sequência de its de informação e nas partes inferiores das figuras estão os sinais BFSK. Desafio: Implementar uma simulação no VisSim/Comm que lhe permita verificar a influência da não continuidade de fase de uma modulação BFSK na sua densidade espectral de potência. Para que se mantenha a ortogonalidade entre os símolos e ao mesmo tempo se garanta a continuidade de fase, a frequência dos tons deve ser escolhida de acordo com: nc + i fi =, nc inteiro, i = 1, T Neste caso tem-se uma modulação BFSK que faz parte de uma família de modulações com continuidade de fase denominada CPM (Continuous Phase Modulation), adquirindo em algumas referências iliográficas o nome de CPFSK (Continuous Phase Frequency Shift Keying). Vamos agora determinar as funções-ase para a modulação BFSK, tarefa astante simples dado que saemos que se trata de uma sinalização com símolos ortogonais. Desta forma, as funções-ase serão as próprias formas de onda dos símolos, normalizadas para que passem a ter energia unitária. Então, as funções-ase ortonormais para a modulação BFSK são: φi ( t) = cos i= 1, T ( π f t) i Espaço de sinais para a modulação BFSK Por se tratar de uma modulação idimensional, ortogonal e inária, sua constelação contém dois símolos, cada um localizado sore um dos eixos φ 1 e φ. A figura a seguir ilustra a constelação da modulação BFSK. Nesta figura ainda são mostradas as regiões de decisão, a distância Euclidiana entre os símolos e as formas de onda s 1 (t) e s (t). Percea que, por possuir um número inteiro de ciclos no intervalo de símolo, os tons de frequência f 1 e f sempre iniciarão e terminarão na mesma amplitude, fazendo com que se mantenha a continuidade de fase do sinal modulado quando da mudança de um símolo para o próximo. DAYAN ADIONEL GUIMARÃES 07/01 130

131 Proailidade de erro de símolo e de it para a modulação BFSK A proailidade de erro de símolo de it para a modulação BFSK com símolos equiprováveis pode ser facilmente otida por meio do Limitante de União ou fazendo-se uso das propriedades de invariância da proailidade de erro de símolo com a rotação e com a translação da constelação. A seguir vamos realizar os cálculos pelos dois caminhos. Como a proailidade de erro de símolo condicionada ao envio de cada símolo, P e (m i ), é a mesma para qualquer símolo, podemos tomar qualquer um dos dois símolos como referência na expressão do Limitante de União. Assim, como a P e otida via limitante converge para a P e real para altos valores de E /N 0, teremos: d 1 d 1 E, M M M M ik ik e Pe ( mi ) = erfc = erfc = erfc M i= 1 M i= 1 k = 1 N 0 k = 1 N 0 N0 k i k i P o que leva a P e 1 E = BER = erfc N0 Realizando simultaneamente uma rotação e uma translação nos símolos da modulação BFSK podemos colocá-los de forma simetricamente disposta em um único eixo, conforme ilustra a figura a seguir. Desta forma passamos a ter uma constelação equivalente a uma sinalização antipodal para a qual podemos utilizar a expressão já conhecida para cálculo da P e : P e 1 E ' 1 E / 4 1 E = BER = erfc = erfc = erfc N N N DAYAN ADIONEL GUIMARÃES 07/01 131

132 Vamos agora comparar a proailidade de erro de símolo P e e a distância Euclidiana entre os símolos para a modulação BFSK com a P e e a distância Euclidiana entre os símolos para a modulação BPSK. Percea que a distância Euclidiana, para uma mesma energia média por símolo, é menor para a modulação BFSK, o que justifica seu desempenho inferior à modulação BPSK. Em números, para que a modulação BFSK atinja a mesma proailidade de erro de símolo ou de it produzida pela modulação BPSK, para a mesma densidade espectral de potência de ruído, ela terá que operar com o doro de potência média em relação ao BPSK, ou seja, 3 db a mais. Geração e detecção coerente de um sinal BFSK A figura a seguir ilustra o diagrama de locos de um modulador BFSK. Desde que a regra para determinação das frequências dos tons seja oedecida, tal modulador tem como tarefa simplesmente selecionar (chavear) um dentre os dois tons co-senoidais para transmissão, dependendo do it de informação. Para o diagrama em questão, quando o it de informação for 1 o tom de frequência f 1 será transmitido. Quando o it de informação for 0 será selecionado o tom de frequência f para transmissão. Para o modulador em questão, em vez de dois osciladores pode-se utilizar um VCO (Voltage- Controlled Oscillator) alimentado com um sinal ipolar. Tal VCO terá frequência de oscilação livre igual a f c. Para uma separação de 1/T entre os tons, quando for aplicado um sinal positivo (it 1) à sua entrada, a frequência de oscilação irá para f c + 1/(T ); quando for aplicado um sinal negativo (it 0), a frequência de oscilação irá para f c 1/(T ), ou vice-versa. No que diz respeito à demodulação coerente do sinal BFSK através de simplificação no receptor genérico, na parte de detecção teremos correlatores já que, por se tratar de uma sinalização com símolos ortogonais, N = M =. Com relação ao decodificador podemos tecer os seguintes comentários: teríamos ramos, mas nestes ramos estaríamos fazendo a correlação, no domínio vetorial, entre o vetor oservado e os dois vetores-sinais, ou seja, x T s 1 e x T s. Estas operações produzem resultados proporcionais à correlação temporal entre o sinal receido e as formas de onda φ 1 (t) e φ (t), pois estas funções-ase nada mais são do que versões normalizadas das formas de onda s 1 (t) e s (t). Portanto, as operações de produto interno não serão necessárias. Adicionalmente, como as energias dos dois símolos são iguais, não se fazem necessárias as sutrações de metade destas energias. A verificação do maior valor de correlação pode ser realizada sutraindo-se x 1 de x e comparando-se o resultado com zero. Como resultado teremos o receptor para a modulação BFSK com detecção coerente ilustrado na figura a seguir. DAYAN ADIONEL GUIMARÃES 07/01 13

133 Densidade espectral de potência e eficiência espectral da modulação BFSK O sinal modulador BFSK, para uma separação entre os tons de 1/T, pode ser escrito de forma alternativa como: E E πt si ( t) = cos( π fit) s( t) = cos π fct ±, i= 1, T T T onde o sinal + corresponde ao símolo s (t) e o sinal corresponde ao símolo s 1 (t), ou vice-versa, e a portadora co-senoidal terá frequência f c com valor intermediário ao valores de f 1 e f. Aplicando a identidade trigonométrica cos(a ± ) = cos(a)cos() sen(a)sen() à expressão anterior, teremos: Na expressão anterior, a parcela marcada da esquerda será sempre a mesma, independente do it que se desejar transmitir. Esta parcela corresponde a um tom de frequência 1/(T ) Hz. Já a parcela marcada da direita é correspondente a um semi-ciclo de um tom senoidal de frequência 1/(T ) Hz, que terá sua polaridade dependente do it a ser transmitido. Podemos interpretar esta parcela como uma sequência inária ipolar de pulsos ±g(t), onde g(t) tem o formato ilustrado na figura a seguir, considerando amplitude unitária por simplicidade. E πt sen, 0 t T g( t) = T T 0 em caso contrário Então a densidade espectral de potência (DEP) do sinal BFSK, em anda-ase, é a DEP de um tom cosenoidal de frequência 1/(T ) Hz e amplitude (E /T ) 1/, somada à DEP de uma sequência inária aleatória dos pulsos ±g(t), o que leva a: DAYAN ADIONEL GUIMARÃES 07/01 133

134 8E cos SB( f ) = f + f + + EE 10 SISTEMAS DE COMUNICAÇÃO II ( π ft ) E 1 1 δ δ T T T π 4T f 1 ( ) Exercício: Mostre em detalhes a otenção da DEP S B (f) anterior. Para isto utilize os conceitos sore DEP estudados na primeira aula sore transmissão em anda-passante. OBS: A parcela referente à sequência de pulsos ±g(t) poderá ter formas diferentes daquela mostrada na expressão anterior. Para verificar se sua dedução está correta, sugere-se que a DEP por você otida seja plotada sore a DEP dada anteriormente, utilizando uma ferramenta computacional como o Matla ou o Mathcad. A figura a seguir mostra um esoço da DEP do sinal BFSK em anda-ase. Vale lemrar que esoços com este aspecto se referem ao que provavelmente veríamos em um analisador de espectro (para f 0) ou via algum software de simulação. A DEP teórica do sinal modulado é uma função mais em comportada e dada diretamente pela expressão teórica correspondente. Consulte a primeira nota de aula sore transmissão em anda-passante para revisitar este conceito.. Para otenção da DEP do sinal BFSK em anda-passante, asta operar com S B (f) na expressão: 1 SS ( f ) = SB ( f fc ) + SB ( f + fc ) 4. A título de complementação, se fizermos a separação entre os tons igual a 1/(T ) Hz, que é a mínima separação que ainda garantirá ortogonalidade entre os símolos da modulação BFSK (veja ANEXO), teremos um espectro ainda mais compacto, conforme ilustra a figura a seguir. Percea que neste caso não aparecem mais as raias espectrais que apareciam quando a separação entre os tons era de 1/T Hz. DAYAN ADIONEL GUIMARÃES 07/01 134

135 Desafio: Faça uma pesquisa procurando explicar porque as raias espectrais que apareciam na DEP da modulação BFSK, quando a separação entre os tons era de 1/T Hz, não aparecem quando a separação entre os tons passa a ser de 1/(T ) Hz. Generalizações para as demais modulações da família M-FSK A sinalização FSK pode ser generalizada de forma que M símolos possam ser gerados a partir M tons ortogonais no intervalo de sinalização de T segundos. Neste caso temos a modulação M-FSK (M-ary Frequency Shift Keying). Assim como na modulação BFSK, para que a ortogonalidade entre os símolos seja mantida, as frequências dos tons devem estar separadas de um múltiplo inteiro de metade da taxa de símolos, conforme análise apresentada no ANEXO destas notas de aula. Vejamos os detalhes específicos da generalização das modulações da família M-FSK nos itens a seguir. Sinal modulado e funções-ase para a modulação M-FSK Para separação de 1/(T) Hz entre os tons, um sinal M-FSK pode ser escrito da seguinte forma: E π s ( t) = cos ( nc i) t T + T. i i= 1,,3,..., M Para garantir ortogonalidade e ao mesmo tempo fazer com que as transições entre símolos adjacentes não provoquem descontinuidade de fase, as frequências dos tons devem ser escolhidas de acordo com: f i nc + i =, nc inteiro. T Assim como na modulação BFSK, nas outras modulações da família M-FSK tem-se símolos ortogonais, ou seja: T T i j i j 0 s s = s ( t) s ( t) dt = 0, i j. As funções-ase podem ser determinadas por simples normalização das formas de onda dos símolos de tal forma que passem a ter energia unitária, ou seja: 1 φ ( t) = si ( t) E i i= 1,,3,..., M Proailidade de erro de símolo e de it para a modulação M-FSK Na modulação M-FSK com símolos equiprováveis, além da proailidade de erro condicionada ao envio de cada símolo, P e (m i ), ser a mesma para qualquer símolo, as distâncias Euclidianas entre um dado símolo e os demais é a mesma e igual a E. Adicionalmente saendo que a P e otida via limitante converge para a P e real para altos valores de E /N 0, teremos: DAYAN ADIONEL GUIMARÃES 07/01 135

136 M M M 1 1 M d 1 d ( M 1) E P = = = ik ik P ( m ) erfc erfc erfc. e e i M i= 1 M i= 1 k = 1 N 0 k = 1 N 0 N0 k i k i Então a proailidade de erro de símolo para uma modulação da família M-FSK com detecção coerente e símolos equiprováveis pode ser estimada por meio de: P e M 1 E M 1 E log M erfc = erfc. N N 0 0 Para a modulação M-FSK não importa como os símolos são mapeados nos its que eles representam, pois a distância Euclidiana é a mesma entre todos os símolos, o que faz com que a proailidade de erro de um símolo para qualquer outro da constelação seja a mesma. Neste caso, independentemente do mapeamento símolo it utilizado, a proailidade de erro de it é dada por: BER M M erfc E = P. ( M 1) 4 e N0 Geração e detecção coerente de um sinal M-FSK Para gerar um sinal M-FSK, desde que cada um dos tons escolhidos tenha frequência { f } M que i i= 1 respeite à expressão f i nc + i =, nc inteiro, T asta fazer com que cada um destes tons seja selecionado para transmissão em função do símolo que se desejar transmitir. Outra possível forma de geração de um sinal M-FSK pode ser realizada por meio de um VCO, o que evitaria o uso de um anco de osciladores, mas, por outro lado, demandará um criterioso projeto do VCO para que as frequências dos tons sejam corretamente determinadas em função dos M conjuntos de log M its de informação. Esta alternativa é ilustrada na figura a seguir. De maneira análoga ao projeto do demodulador BFSK, no que diz respeito à demodulação coerente de um sinal M-FSK na parte do detector teremos M correlatores já que, por se tratar de uma sinalização com símolos ortogonais, N = M. Com relação ao decodificador podemos tecer os seguintes comentários: teríamos M ramos, mas nestes ramos estaríamos fazendo a correlação, no domínio vetorial, entre o vetor oservado e todos os vetores-sinais, ou seja, x T s i. Estas operações produzem DAYAN ADIONEL GUIMARÃES 07/01 136

137 resultados proporcionais à correlação temporal entre o sinal receido e todas as funções-ase φ i (t), i = 1,,..., M, pois estas funções-ase nada mais são que versões normalizadas das formas de onda s i (t). Portanto, as operações de produto interno não serão necessárias. Adicionalmente, como as energias de todos os símolos são iguais, não se fazem necessárias as sutrações de metade destas energias. Como resultado teremos o receptor para a modulação M-FSK com detecção coerente mostrado na figura a seguir. Densidade espectral de potência e eficiência espectral da modulação M-FSK A otenção da expressão da DEP para qualquer das modulações da família M-FSK não é trivial e, por esta razão, uma expressão genérica para esta DEP não será apresentada neste texto. Apenas para se ter uma idéia do comportamento do espectro de um sinal M-FSK, a figura a seguir ilustra a DEP de um sinal 4-FSK com separação entre os tons de 1/T Hz. Percea a presença das raias espectrais e tamém percea que a largura de faixa do loo principal será diretamente proporcional à separação entre os tons e ao número de tons, número este igual ao valor de M. Definindo-se a anda do sinal M-FSK como sendo a anda do loo principal do sinal modulado, podemos deduzir uma expressão para a eficiência espectral desta modulação, primeiramente considerando separação de 1/T Hz entre os tons. Para tanto, percea que neste caso o loo principal terá anda de (M 1)/T + /T = (M+1)/T. Então a eficiência espectral será: R R TR T R log M log M ρ = = = = =. B ( M + 1) / T M + 1 M + 1 M + 1 DAYAN ADIONEL GUIMARÃES 07/01 137

138 Oserve que a eficiência espectral da M-FSK decresce com o aumento de M, ao contrário do que acontece com as eficiências espectrais das modulações das famílias M-PSK e M-QAM. Por esta razão a modulação M-FSK é considerada não eficiente em termos de ocupação de anda. Se a separação entre os tons for reduzida para 1/(T), o espectro do sinal M-FSK será mais compacto e, por consequência, a eficiência espectral aumentará para um valor dado por: log M ρ =. M + 1 Mais uma vez vale lemrar que qualquer cálculo de eficiência espectral passa antes por uma definição da anda B ocupada pelo sinal modulado. Para os cálculos que realizamos até aqui, temos considerado B como sendo a anda do loo principal do sinal em anda-passante. Em termos de eficiência de potência, ao contrário do que acontece com as modulações das famílias M-PSK e M-QAM, o aumento de M para as modulações da família M-FSK reduz a proailidade de erro de símolo e de it para um dado valor de E /N 0. Comprove esta afirmação como exercício, reproduzindo o gráfico a seguir com o auxílio do Matla ou do Mathcad. Neste gráfico as curvas tracejadas foram otidas a partir da expressão de P e deduzida via Limitante de União, enquanto as curvas em linha cheia foram otidas por meio da expressão exata M 1 1 E log M 1 1 erfc exp( ). N0 π Pe = z z dz FIM DA AULA DAYAN ADIONEL GUIMARÃES 07/01 138

139 ANEXO Minimum frequency separation for coherent detection It is known that M-FSK (M-ary frequency shift keying) is a form of orthogonal modulation. Our aim in this part of the text is to find the minimum separation among the M tones for an M-FSK modulation to allow for coherent detection, still maintaining the orthogonality among the symols. To e coherently orthogonal in the signaling interval T, two cosine functions with different frequencies must satisfy T 0 ( f t) ( ) cos π cos π f t dt = 0 1 Using the identity cosα cosβ = ½[cos(α β) + cos(α + β)] in the expression aove we otain: T ( ) π ( ) T 1 1 π cos f f t dt + cos f + f t dt = 0 from where, after some mathematical manipulations, we get: ( ) ( ) ( ) ( ) sin π f1 f T sin π f1 + f T + = 0 4π f f 4π f + f 1 1 Since for practical purposes the sum f 1 + f >> 1, the second term in the left-hand side of the aove expression is approximately zero, which results in k sin π ( f1 f ) T = 0 ( f1 f ) =, k inteiro T Then, the minimum frequency separation etween any pair of adjacent tones for an orthogonal M-FSK with coherent detection is 1 i 1 = T ( f f ) i which corresponds to half of the modulation symol rate. In the case of non-coherent detection, this minimum separation is douled to 1/T. DAYAN ADIONEL GUIMARÃES 07/01 139

140 Aula nº 18 Conteúdo Ojetivos Data: / / Tema Modulações com detecção não-coerente. Detecção não-coerente para as modulações BFSK e M-FSK. Modulação e demodulação DBPSK. Desempenho de algumas modulações digitais em canal AWGN. Ao final da aula os alunos deverão ser capazes de: 1) explicar as vantagens e as desvantagens de um processo de detecção não-coerente em comparação com um processo de detecção coerente. ) explicar o processo de geração do sinal M-FSK e do sinal DBPSK. 3) explicar o funcionamento do receptor M-FSK não-coerente e do receptor DBPSK. 4) resolver exercícios envolvendo os conceitos fundamentais da transmissão em anda-passante e as modulações M-PSK, M-QAM e M-FSK com detecção coerente e as modulações M-FSK e DBPSK com detecção não-coerente. Contextualização Em certos casos a implementação de detecção coerente pode ter custo e complexidade elevados ou o projetista pode simplesmente escolher não levar em conta a informação de fase, so o prejuízo de uma esperada degradação de desempenho, mas otendo receptores de menor complexidade. A figura a seguir mostra o diagrama de locos típico de um receptor com detecção coerente. Nela o circuito de extração de sincronismo de portadora, operando a partir do próprio sinal receido, garante que as funções-ase que alimentam o circuito de detecção estejam em correto alinhamento de fase com as funções-ase utilizadas na transmissão, oviamente levando-se em conta o atraso de propagação do sinal. O circuito de extração de sincronismo de símolo garante que a cadência e os instantes corretos de amostragem do sinal de saída do dispositivo de detecção sejam determinados. Como exemplo do sincronismo de portadora, suponha que uma das funções-ase utilizadas no transmissor seja φ1 ( t) = cos c T ( π f t) e que o atraso de propagação do sinal do transmissor até o receptor seja τ. Assim, a correspondente função-ase gerada no receptor, para detecção coerente, deverá ser: φ1 ( t τ ) = cos π fc t τ cos π fct π fcτ cos π fct θ T = = + T T ( ) ( ) ( ) DAYAN ADIONEL GUIMARÃES 07/01 140

141 onde θ = πf c τ será a correta fase da portadora de referência gerada pelo circuito de sincronismo de portadora, a partir da qual serão derivadas as funções-ase para detecção. No processo de detecção não-coerente, a fase da portadora de referência no receptor não tem amarração com a fase da correspondente portadora utilizada na transmissão, o que nos permitirá simplificar o receptor eliminando o circuito de extração de sincronismo de portadora. Percea, entretanto, que o receptor continuará com o circuito de extração de sincronismo de símolo, pois sem ele o receptor não terá como determinar os instantes ótimos e a cadência de decisão dos símolos. Esta simplificação no receptor com detecção não-coerente traz como efeito colateral uma redução na eficiência de potência da modulação, ou seja, para uma mesma relação E /N 0, espera-se um aumento da proailidade de erro de símolo. Nesta aula estudaremos modulações que não necessitam do circuito de extração de sincronismo de portadora no receptor: a modulação BFSK (Binary Frequency Shift Keying) com detecção nãocoerente, generalizada posteriormente para todas as modulações da família M-FSK, e a modulação DBPSK (Differential Binary Phase Shift Keying). Modulação BFSK com detecção não-coerente A modulação BFSK (Binary Frequency Shift Keying) com detecção não-coerente pode ser considerada uma das modulações com menor complexidade de implementação. Adicionalmente, como veremos mais adiante, seu desempenho é um pouco pior que aquele proporcionado pela modulação BFSK com detecção coerente. Estes atriutos tornam a modulação BFSK com detecção não-coerente astante atrativa para implementações práticas que primem pela aixa complexidade do hardware. Sinal modulado e funções-ase para a modulação BFSK Como já estudado, os símolos da modulação BFSK podem ser representados da seguinte maneira: s ( t) i i= 1, = E T cos( π f t), 0 t T 0, caso contrário i onde E é a energia média por it, T é a duração de um it e f i, i = 1, é o par de tons, cada um associado a um dos its de informação. Saemos que, para que os símolos sejam ortogonais entre si, a separação entre os tons deve ser um múltiplo inteiro de metade da taxa de símolos. Entretanto, para detecção não-coerente, esta separação deverá ser um múltiplo inteiro da própria taxa de símolos. Espaço de sinais para a modulação BFSK A forma de detecção utilizada no receptor não afeta a forma de geração do sinal BFSK. Portanto, o espaço de sinais para a modulação BFSK é o mesmo, seja para detecção coerente ou para detecção não-coerente. DAYAN ADIONEL GUIMARÃES 07/01 141

142 Geração e detecção não-coerente de um sinal BFSK Desde que respeitemos a separação entre os tons igual a um múltiplo inteiro da taxa de símolos (que é igual à taxa de its na modulação inária), a geração do sinal BFSK para detecção não-coerente é a mesma daquela já estudada para o caso de detecção coerente. A figura a seguir reapresenta o receptor para detecção coerente de um sinal BFSK. Como em saemos, é possível sustituir os dois correlatores por filtros casados equivalentes. Vamos determinar como esta sustituição poderia ser realizada corretamente. A figura a seguir mostra, em caráter de revisão, um trecho de um sinal BFSK. Podemos verificar que um sinal BFSK opera com dois formatos de pulso, s 1 (t) e s (t). Portanto, podemos sustituir os dois correlatores do receptor por filtros casados com os formatos de pulso s 1 (t) e s (t). Tais filtros têm respostas ao impulso que são exatamente iguais aos sinais s 1 (t) e s (t), ou seja: h 1 (t) = ks 1 (T t) e, para k = 1, por exemplo, h 1 (t) = s 1 (t). Portanto, h (t) = s (t). A seguir ilustram-se a resposta ao impulso h 1 (t) e outra resposta h 1 (t) defasada em relação à primeira de π/ radianos. No primeiro caso teríamos a implementação correta do filtro casado para detecção coerente. No segundo caso a fase de h 1 (t) não é a igual à fase de s 1 (t) e, neste caso, teríamos um filtro casado não-coerente. Vamos agora analisar qual a influência da fase da resposta ao impulso desses filtros casados. Primeiro devemos lemrar que a saída de um filtro casado para um formato de pulso retangular terá um aspecto triangular, como ilustrado na figura a seguir para o filtro casado não-coerente com defasagem de π/ radianos. Para um pulso de formato co-senoidal, podemos dizer que se trata de um pulso cujo formato da envoltória é retangular. Portanto, a saída de um filtro casado com resposta co-senoidal será uma forma de onda com aspecto co-senoidal, mas com envoltória triangular, como tamém ilustrado na figura a seguir. DAYAN ADIONEL GUIMARÃES 07/01 14

143 Percee-se que, emora uma amostragem no instante T leve ao valor de pico do pulso de saída quando a entrada é um pulso retangular, esta mesma amostragem levará ao valor nulo do pulso de saída quando a entrada do filtro casado não-coerente é o pulso co-senoidal, o que impossiilitará o processo de detecção. O conjunto de figuras a seguir ilustra a influência da defasagem na resposta ao impulso dos filtros casados do receptor BFSK. Percea que somente para o caso de defasagem nula teríamos um valor de amostra correto em t = T. Para qualquer outro valor de defasagem o valor da amostra em t = T será menor que o máximo. Uma nova análise do conjunto de figuras apresentado mostra que as envoltórias ideais de todas as formas de onda de saída do filtro casado não-coerente têm formato exatamente igual ao formato de saída correspondente a um filtro casado para pulso retangular. Em outras palavras, se na saída dos filtros casados não-coerentes inserirmos um detector de envoltória conseguiremos viailizar o funcionamento do receptor de forma até certo ponto independente da defasagem da resposta ao impulso. A figura a seguir ilustra esta idéia, já inserida na estrutura completa do receptor BFSK com detecção não-coerente. Infelizmente não é possível implementar na prática um detector de envoltória ideal. O que tipicamente se faz é realizar uma retificação de onda completa do sinal de saída do filtro casado e logo em seguida realizar a detecção de envoltória não ideal. De forma a ilustrar este processo, as figuras a seguir mostram a saída retificada de um filtro casado e a saída de um detector de envoltória real com filtro DAYAN ADIONEL GUIMARÃES 07/01 143

144 RC para alguns valores da defasagem θ. Percea que no instante T teremos amostras cujos valores ainda dependerão um pouco da fase da resposta ao impulso do filtro casado, mas possiilitarão a detecção não-coerente do sinal BFSK. Estas variações nos valores das amostras em relação ao valor ideal causam degradação no desempenho do sistema, mas tal degradação será tanto menor quanto mais em projetado for o detector de envoltória, ou seja, quanto mais próxima do formato perfeitamente triangular for a sua forma de onda de saída. Na prática, filtros mais em elaorados inseridos na saída do retificador podem levar a melhores resultados que aqueles proporcionados pelo filtro RC aqui exemplificado. Portadoras com frequências muito maiores que a taxa de símolos tamém contriuem para que o detector de envoltória uma saída mais próxima da ideal. Proailidade de erro de símolo e de it para a modulação BFSK com detecção não-coerente O cálculo analítico para a otenção da proailidade de erro de símolo da modulação BFSK com detecção não-coerente é astante complexo e foge do escopo do nosso curso. Por esta razão a expressão final é apresentada a seguir, sem dedução: 1 E Pe = BER = exp N0 Densidade espectral de potência e eficiência espectral da modulação BFSK O fato de estarmos realizando detecção coerente ou não-coerente de um sinal BFSK não influencia seu espectro. Portanto, a densidade espectral de potência do sinal BFSK continua sendo aquela já apresentada quando do estudo da modulação BFSK com detecção coerente. Ressalta-se apenas que, para a detecção não-coerente, não é possível explorar a redução no espectro quando a separação entre os tons é de 1/(T ) Hz. A separação mínima para detecção não-coerente de um sinal BFSK é 1/T Hz, o que leva à DEP em anda-ase reapresentada a seguir. DAYAN ADIONEL GUIMARÃES 07/01 144

145 Generalização: modulações da família M-FSK com detecção não-coerente Os conceitos anteriormente apresentados podem ser generalizados para que se tenha uma modulação FSK com M símolos e com detecção não-coerente. O transmissor é idêntico àquele já apresentado para a modulação M-FSK com detecção coerente, apenas tendo-se o cuidado para que a separação entre os tons atenda a um múltiplo inteiro da taxa de símolos 1/T, ou seja: f i nc + i = T, n inteiro c O receptor para detecção não-coerente para as modulações da família M-FSK nada mais é do que uma generalização daquele que acaamos de estudar para a modulação BFSK. Conforme se pode notar na figura a seguir, neste receptor tem-se um anco de M filtros casados não-coerentes seguidos de detectores de envoltória. Cada um destes filtros casados está associado a um dos símolos da modulação sem, contudo, levar em conta o alinhamento entre a fase sua resposta ao impulso e a fase do símolo receido. As saídas dos detectores são amostradas e a decisão é tomada em favor da saída que apresentar maior valor. Por exemplo, se o valor x 3 é maior decide-se pelo símolo s 3 (t) e faz-se em seguira o mapeamento deste símolo no conjunto de log M is que ele representa. Modulação DBPSK Na modulação DBPSK (Differential Binary Phase Shift Keying), ou simplesmente DPSK, a informação é transportada no valor relativo entre sucessivas fases da portadora modulada. Por exemplo, se a fase da portadora de um símolo para o próximo muda, associamos esta mudança ao it 0; se a fase não muda, o it representado é o it 1. A demodulação do sinal DBPSK funcionará corretamente desde que eventuais variações de fase provocadas pelo canal sejam lentas o suficiente para serem consideradas aproximadamente constantes durante dois intervalos sucessivos de sinalização. Desta forma ter-se-á a garantia de que o valor relativo de fase não será afetado, mesmo que os valores asolutos o sejam. Sinal modulado e proailidade de erro de símolo e it para a modulação DBPSK Pode-se representar o sinal modulado DBPSK por meio de uma portadora de frequência e amplitude constantes que tem sua fase mantida entre dois intervalos de sinalização se o it a ser transmitido for 1 DAYAN ADIONEL GUIMARÃES 07/01 145

146 (por exemplo) e que tem sua fase chaveada em π radianos de um intervalo de sinalização para o próximo se o it a ser transmitido for 0. As expressões a seguir descrevem o sinal DBPSK: E cos( π fct), 0 t T T s1( t) = E cos( π f t), T t T T c E cos( π fct), 0 t T T s( t) = E cos( π f t + π ), T t T T c Tais expressões se referem a uma modulação DPSK inária para a qual a proailidade de erro de símolo e de it, apresentada aqui sem dedução, vale: 1 E Pe = BER = exp N0 Comparando esta expressão resultado com aquela referente ao cálculo da proailidade de erro de símolo para a modulação BFSK com detecção não-coerente, oserva-se que a modulação DBPSK tem eficiência de potência 3 db maior que aquela proporcionada pela modulação BFSK não-coerente. Geração de um sinal DBPSK A figura a seguir apresenta o diagrama de locos de um modulador DBPSK. Os its de informação passam inicialmente por um codificador diferencial que realiza a operação OU EXCLUSIVO (XOR) ou NÃO-OU EXCLUSIVO (XNOR) entre um it de entrada e o resultado da operação XOR ou XNOR anterior. A sequência codificada diferencialmente passa pelo conversor de níveis e a saída deste conversor é aplicada a um modulador BPSK convencional. Exemplo: Admita que o it inicial de saída do loco de atraso (flip-flop) no modulador seja 0 e que a fase inicial da portadora seja 0 rad. Vamos determinar as fases seguintes da portadora modulada para a sequência de its de entrada A taela a seguir apresenta os resultados, admitindo que um it 1 (0) na entrada do modulador BPSK produz a fase π (0) da portadora. Bits de informação { k } Bits de saída do codificador diferencial {d k } Fases da portadora modulada 0 π π π π 0 Oserve que quando um it 1 entra no modulador DBPSK a fase da portadora é invertida em relação à fase anterior. Quando um it 0 entra no modulador a fase da portadora se mantém igual à fase anterior. DAYAN ADIONEL GUIMARÃES 07/01 146

147 Função-ase e espaço de sinais para a modulação DBPSK De acordo com o diagrama de locos do modulador DBPSK, pode-se concluir que o espaço de sinais e a função-ase para a modulação DBPSK são iguais àqueles já estudados para a modulação BPSK. Entretanto, mesmo sendo uma sinalização antipodal, a regra de codificação diferencial faz com que não se tenha mapeamento fixo de um vetor-sinal em um it de informação. Em outras palavras, um mesmo símolo pode representar diferentes its, posto que a informação é transportada na diferença de fase de um símolo para o outro e não no valor asoluto da fase de um símolo. Detecção de um sinal DBPSK Na detecção não-coerente, devido ao fato da portadora de recepção não estar em sincronismo com a portadora de transmissão, pode-se afirmar que Θ, a defasagem entre tais portadoras, é uma variável aleatória uniformemente distriuída entre 0 e π rad. Então, num determinado momento é possível que tal defasagem esteja por volta de π/, fazendo com que a saída do correlator tenha valor aproximadamente nulo. Em outras palavras, como o oscilador local do receptor não está em coerência de fase com aquele utilizado na transmissão, a referência utilizada no receptor no caso de uma única função-ase poderia ser gerada a aproximadamente 90º do eixo correspondente à posição dos símolos receidos. Nesse caso, a projeção do sinal receido na direção da função-ase (saída do correlator) seria aproximadamente nula, impossiilitando a estimação do símolo transmitido. A figura a seguir ilustra este prolema em potencial, admitindo, por razões apenas didáticas, que o símolo transmitido s 1 (t) não tenha sido contaminado por ruído ao chegar ao receptor, ou seja, x(t) = s 1 (t). Soluciona-se este prolema de projeção nula com o uso de duas funções-ase no receptor de tal forma que, se a correlação com uma das fuções-ase for pequena, ou até nula, a correlação com a outra será grande o suficiente para permitir a correta estimação do símolo transmitido. A figura a seguir ilustra a ideia. Nela, independente da posição dos eixos de referência φ 1 e φ, haverá projeções dos vetores receidos com intensidades suficientes para detecção. DAYAN ADIONEL GUIMARÃES 07/01 147

148 Resta-nos agora determinar a regra de decisão para recuperar a informação transportada nos valores relativos de fase da portadora modulada. A figura a seguir mostra uma sequência de quatro símolos DBPSK. Percea que se realizarmos a correlação entre dois símolos consecutivos conseguiremos saer se houve ou não houve inversão de fase. Como exemplo, na figura em questão a correlação entre s k (t) e s k 1 (t) é negativa, pois s k (t) = s k 1 (t). Já a correlação entre s k 1 (t) e s k (t) é positiva, pois s k 1 (t) = s k (t). Mas saemos que a operação vetorial equivalente à correlação é o produto interno entre os vetores-sinal correspondentes. Sendo assim, se fizermos no receptor o cálculo do produto interno entre o vetor oservado em um instante e o vetor oservado no instante anterior, podemos estimar se houve ou não houve inversão de fase no sinal receido, o que permitirá estimar o it transmitido. Os comentários tecidos até este ponto nos permitem construir o receptor ilustrado na figura a seguir. Nele o sinal receido é correlacionado com as duas funções-ase de referência, formando os dois componentes do vetor oservado referente ao símolo de índice k = 0, x 0 = [ x I0 x Q0 ] T. Após T este vetor está presente na saída dos locos de atraso e a saída dos correlatores conterá os elementos do vetor oservado referente ao símolo de índice k = 1, x 1 = [ x I1 x Q1 ] T. O produto interno entre tais vetores é então realizado e a decisão é tomada verificando-se a polaridade do resultado, ou seja, a decisão resume-se a verificar se a variável de decisão y é positiva ou negativa, onde y é dada por: x T y = x0x 1 = x x = x x + x x I1 I0 Q0 I0 I1 Q0 Q1 x Q1 Vale lemrar que, dependendo da operação lógica (XOR ou XNOR) utilizada no codificador diferencial do transmissor, a inversão de fase da portadora modulada pode representar um it 1 ou um it 0, respectivamente. Em caráter complementar, vale ressaltar que algumas referências iliográficas denominam o processo de detecção da modulação DBPSK de detecção diferencialmente coerente, devido à necessidade de se ter invariância da fase da portadora de recepção apenas entre dois símolos consecutivos. DAYAN ADIONEL GUIMARÃES 07/01 148

149 Densidade espectral de potência e eficiência espectral da modulação DBPSK EE 10 SISTEMAS DE COMUNICAÇÃO II No modulador DBPSK a codificação diferencial realizada antes da modulação não afeta a densidade espectral de potência (DEP) em relação àquela dada para a modulação BPSK. Portanto, a DEP do sinal DBPSK é a mesma de um sinal BPSK. Portanto, a eficiência espectral de amas as modulações será a mesma. Desempenho de algumas modulações digitais Vamos agora comparar a eficiência de potência de algumas das modulações estudadas. A taela a seguir apresenta uma lista de algumas destas modulações e suas expressões de taxa de erro de it. A figura a seguir apresenta em um único gráfico os resultados de proailidade de erro de it estimados com as expressões dadas na taela anterior, em função de E /N 0. Este tipo de gráfico é muito utilizado na comparação e avaliação do desempenho de modulações digitais. Nele, o eixo das ascissas contém os valores da relação E /N 0, em db, ou seja, 10log(E /N 0 ), e o eixo das ordenadas contém os valores teóricos de taxa de erro de it (BER Bit Error Rate), expressos em escala logarítmica. Dentre as modulações so análise, as que apresentam melhores eficiências de potência são as modulações BPSK e QPSK, pois, para um dado valor de E /N 0 proporcionam valores menores de BER. Em seguida tem-se a modulação DBPSK (ou simplesmente DPSK), cuja eficiência de potência dista apenas cerca de 1 db da curva correspondente às modulações BPSK e QPSK. Em outras palavras, para que a modulação DPSK apresente o mesmo desempenho das modulações BPSK e QPSK, ela deve operar com cerca de 1 db a mais de potência, o que não representa um preço muito alto a pagar, dada a grande redução de complexidade conseguida pelo do processo de detecção diferencial, por este não necessitar do circuito de extração de sincronismo de portadora. DAYAN ADIONEL GUIMARÃES 07/01 149

150 A modulação BFSK com detecção coerente vem em seguida, com eficiência de potência cerca de 3 db inferior à eficiência de potência das modulações BPSK e QPSK e cerca de db inferior à eficiência de potência de modulação DPSK. A modulação BFSK com detecção não-coerente é a que apresenta menor eficiência de potência, dentre as modulações analisadas. Entretanto, esta eficiência de potência dista cerca de 1 db daquela proporcionada pela modulação BFSK com detecção coerente, o que tamém representa um preço não muito alto a se pagar, dada a redução de complexidade do receptor tamém proporcionada pela possiilidade de se eliminar o circuito de extração de sincronismo de portadora. Com esta análise comparativa entre algumas das modulações estudas concluímos a parte do curso referente às modulações digitais. Emora existam várias outras modulações, muitas delas acaam sendo somente versões modificadas daquelas que estudamos. Sendo assim, os conceitos estudados servirão como ase para o entendimento de outras técnicas de modulação, sem grandes dificuldades. Dedicaremos o final do curso ao estudo de uma técnica de comunicação digital denominada Espalhamento Espectral (Spread Spectrum), ase para implementação de muitos dos sistemas de comunicação existentes e de outros que ainda estão por se tornar realidade. Exercícios de fixação Os exercícios propostos ou resolvidos a seguir corem não somente as modulações M-FSK com detecção não-coerente e DBPSK, mas tamém complementam aqueles exercícios já propostos em aulas passadas envolvendo outras modulações estudadas. Alguns exercícios envolvem até mesmo modulações não apresentadas formalmente em sala de aula, mas cujo entendimento é perfeitamente possível com os conhecimentos fundamentais que adquirimos. DAYAN ADIONEL GUIMARÃES 07/01 150

151 1 A Figura ao lado mostra o espaço de sinais com vetores receidos nos intervalos de sinalização discretos k e k 1. Pede-se e/ou pergunta-se: a) Determine o k-ésimo it estimado pelo demodulador. ) Admita que o it inicial de saída do loco de atraso do modulador seja 0 e que a fase inicial da portadora seja 0 radiano. Determine as fases seguintes da portadora para a sequência de its de entrada: c) Por que razão o demodulador utiliza duas funções-ase, já que o sinal DPSK inário foi gerado utilizando-se apenas uma função-ase? Solução a) O k-ésimo it é estimado através do conhecimento do produto interno entre os vetores correspondentes ao sinal receido nos intervalos k 1 e k: T 0,8 y = xk 1x k = [ 0, 9 0, ] = ( 0,9 0,8) + ( 0, 1,0 ) = 0, 9 1,0 Portanto, pode-se inferir que houve inversão de fase da portadora do intervalo k 1 para o intervalo k. Como o codificador diferencial do transmissor está implementado com uma porta OU-EXCLUSIVO, pode-se afirmar que o k-ésimo it estimado será o it 1 (aplicando-se 1 à entrada do modulador DPSK inário dado, inverte-se a fase da portadora modulada). ) A taela a seguir apresenta os resultados das operações para determinação da sequência de fases da portadora modulada: Sequência { k } Sequência codificada diferencialmente {d k } Fases da portadora modulada 0 π π π π 0 c) Como o oscilador local do receptor não está em coerência de fase com aquele utilizado na transmissão, a referência utilizada no receptor no caso de uma única função-ase poderia ser gerada a exatamente 90º do eixo correspondente à posição dos símolos receidos. Nesse caso, a projeção do sinal receido na direção da função-ase seria nula, impossiilitando a estimação do símolo transmitido. Com o uso de duas funções-ase, mesmo que a projeção em uma delas seja pequena, ou até nula, a projeção na outra função-ase permitirá a correta estimação do símolo transmitido, de acordo com a regra ilustrada na resposta do item a deste exercício. Um sistema com modulação BPSK tem em seu receptor um sistema de extração de sincronismo de portadora imperfeito que gera a função-ase local com defasagem θ em relação à portadora do sinal receido. Assim, dependendo do it transmitido o sinal receido é ± E / T cos( π f t), c desconsiderando-se a influência do ruído, e a função-ase utilizada no receptor é / T cos( π f t θ ) Pede-se: DAYAN ADIONEL GUIMARÃES 07/ c +.

152 a) Calcule y, o valor da amostra de saída do correlator do receptor no momento de decisão, desconsiderando o ruído. ) Determine a expressão de proailidade de erro de símolo e de it para este sistema, no canal AWGN, levando em conta o resultado otido no item a. Solução a) T T y = ± E / T cos( π f t) / T cos( π f t + θ ) dt = ± E cos( π f t) cos( π f t + θ ) dt c c c c 0 T 0 T 1 T 1 T 1 = ± E [ cos( θ ) + cos(4π f t + θ )] dt = ± E cos( θ ) dt + cos(4π f t + θ ) c c T T T = ± E cos( θ ) + 0 y = ± E cos( θ ) = ± E co T s ( θ ) Solução ) Utilizando o resultado do item a na expressão de P e dada no formulário otém-se diretamente a expressão desejada: E cos ( ) P e = BER= ½erfc θ N 0 3 Emora a modulação GMSK não tenha sido apresentada formalmente em sala de aula, este exercício se refere a ela. Para entendê-lo asta fazer um reve estudo sore tal modulação no livro texto. Para um valor de E /N 0 de 10,544 db, uma modulação GMSK operando no canal AWGN apresenta uma proailidade de erro de símolo de 1, Pede-se: a) Estime a relação E /N 0 que seria necessária para se atingir uma proailidade de erro de símolo de 1, se a modulação GMSK tivesse o parâmetro WT. ) Estime valor do parâmetro WT do filtro gaussiano do modulador GMSK. Caso julgue necessário, utilize o gráfico fornecido ao lado. Solução: a) Para WT a modulação GMSK passará a apresentar a mesma proailidade de erro de símolo que a modulação MSK. Então 1, E = erfc. Do anexo à prova tem-se que para ½erfc(x) N 0 = 1, x = 3. Então E N = 3 e, portanto, = 9 = 9,544 db. N 0 0 E DAYAN ADIONEL GUIMARÃES 07/01 15

153 ) Sae-se que a proailidade de erro de símolo média para a modulação GMSK é dada por: 1 αe erfc Pe =. Igualando-a a 1, e resolvendo para α tem-se 1, αe = erfc N. 0 N 0 Utilizando o resultado do item a otemos α N E 0 = 3 α/ 0,794. A degradação da modulação GMSK em relação à modulação MSK corresponderá a 10log 10 (α/) = 10log 10 (0,794) 1 db, o que significa uma degradação de 1 db. Do gráfico de degradação em função do produto WT otém-se WT 0,. Alternativamente, como no item a já foi calculado o valor de E /N 0 para a modulação MSK, otém-se diretamente a degradação de 10,544 db - 9,544 db = 1 db. Do gráfico de degradação em função do produto WT otém-se WT 0,. 4 Pretende-se dimensionar um sistema de comunicação digital para operar em uma anda de no máximo,5 khz, anda esta inserida no canal de voz de telefonia que vai de 300 Hz a 3,4 khz. É necessário que o sistema consiga dar vazão a,4 kit/s e que a modulação utilizada leve a uma taxa de erro de it de, no máximo, , consumindo a menor potência possível da fonte de alimentação. Pede-se: a) Dentre as modulações ao lado, escolha uma capaz de atender aos requisitos acima mencionados. Considere a anda do sinal como sendo aquela ocupada pelo loo principal. Apresente os cálculos e/ou justificativas utilizadas na sua escolha. ) Para a modulação selecionada, determine o valor de E /N 0 mínimo para atender à taxa de erro de it imposta. Apresente os cálculos. Solução a) Como a anda ocupada pelo sinal modulado e filtrado corresponde à distância de nulo-a-nulo no espectro do sinal modulado (loo principal), tem-se que /T,5 khz, o que leva a T 800 µs. Se a taxa de its é de,4 kit/s, a duração de um it vale T = 1/400 = 416 µs. Então o número de its por símolo deverá ser T/T 1,9 its/símolo. Portanto, usando uma modulação com it/símolo atendem-se os requisitos de anda e taxa de transmissão. Dentre aquelas consideradas no gráfico ao lado deve-se escolher a modulação QPSK com detecção coerente, que proporcionará tamém o desempenho adequado com menor consumo de potência. ) Usando o gráfico acima se otém que o mínimo valor de E /N 0 para uma taxa de erro de it menor que para a modulação escolhida é de aproximadamente 6,8 db. Alternativamente, usando a expressão de BER para QPSK/BPSK otém-se de ½erfc[(E /N 0 ) 1/ ] que o valor de E /N 0 mínimo será cerca de 4,764, donde 10log(4,764) = 6,78 db. 5 A modulação π/4-dqpsk tamém não foi apresentada formalmente em sala de aula, mas os conceitos envolvidos no seu entendimento já foram estudados. Trata-se de uma modulação diferencial que, assim como a modulação DBPSK, transporta os its nas variações de fase da portadora de um símolo para o próximo. Para entender este exercício asta fazer um reve estudo sore tal modulação no livro texto. DAYAN ADIONEL GUIMARÃES 07/01 153

154 Admita que a fase inicial da portadora em um sistema π/4-dqpsk seja nula. É necessário enviar a sequência de its Os its são apresentados ao modulador da esquerda para direita. Pede-se: a) Determine os valores das fases seguintes da portadora durante a transmissão. ) Na constelação π/4-dqpsk fornecida a seguir, marque a sequência de símolos enviados. c) Responda por que em tal técnica de modulação pode-se implementar detecção diferencialmente coerente e registre qual pode ser (se existir) a vantagem desse tipo de detecção. Solução a) Partindo-se da fase inicial nula têm-se os seguintes valores para as fases seguintes (em radianos): π/4, 0, -3π/4 e -π/. ) A sequência de símolos enviados está numerada na figura a seguir. c) Pode-se implementar detecção diferencialmente coerente porque a informação é representada pelos valores relativos de fase de um símolo para o outro e não no valor asoluto da fase da portadora modulada. Esta propriedade pode se interpretada com uma vantagem, pois permite que no receptor não seja necessária uma referência de fase para detecção. Isto trás simplicidade, mas tamém redução de desempenho em relação à detecção coerente. 6 As figuras a seguir mostram espectros de sinais modulados correspondentes às modulações -FSK (a) e 16-QAM (). Pede-se: a) Determine a taxa de sinalização da modulação -FSK. ) Determine a taxa de its da modulação -FSK. c) Determine a taxa de sinalização da modulação 16-QAM. d) Determine a taxa de its da modulação 16-QAM. e) Determine a eficiência espectral da modulação -FSK. f) Determine a eficiência espectral da modulação 16-QAM. DAYAN ADIONEL GUIMARÃES 07/01 154

155 7 Têm-se dois sistemas de comunicação digital: um deles utiliza modulação BPSK com detecção coerente e o outro utiliza modulação DBPSK com detecção diferencialmente coerente. Amos os sistemas estão operando a 56 kit/s e com taxa de erro de it média de 1, em canal AWGN, so influência da mesma intensidade de ruído. Quanto de potência de transmissão a mais está sendo necessária no sistema DBPSK em relação ao sistema BPSK? Solução Para a modulação BPSK tem-se: 4 Do anexo otém-se: ( ) Para a modulação DBPSK tem-se: E N 1 E 1 E P = = = e 4 BER erfc 1, erfc N0 N0 1 E erfc 1,180 10,6 E,6 x = x = = = 6,76 8,30 db N N 4, = exp 8,35 9, db E N 0 0 e E 1 E P = = = 4 BER exp 1, exp N0 N0 Como a intensidade de ruído nos dois casos é a mesma, a diferença de potência corresponde à diferença nos valores de E /N 0, em db. Então será necessário aproximadamente 1 db de potência de transmissão a mais no sistema DBPSK em relação ao sistema BPSK para se atingir uma BER = 1, Considere um modulador DBPSK que utilize uma porta XNOR em seu codificador diferencial. Considere tamém o espaço de sinais com vetores receidos nos intervalos de sinalização discretos k e k 1, conforme dado no exercício 1. O modulador BPSK após o codificador diferencial usa o seguinte mapeamento: it 0 fase 0; it 1 fase π. Pede-se: a) Admita que o it inicial de saída do loco de atraso do modulador seja 1 e que a fase inicial da portadora seja π. Preencha a taela aaixo com a sequência codificada diferencialmente e com as fases seguintes da portadora modulada para a sequência de its de entrada do modulador: Sequência de its de entrada { k } DAYAN ADIONEL GUIMARÃES 07/01 155

156 Bits codificados diferencialmente {d k } Fases da portadora modulada π π 0 π π 0 π π π ) Utilizando o espaço de sinais dado no exercício 1, determine o k-ésimo it estimado pelo demodulador. Apresente os cálculos. 9 Pretende-se projetar um sistema de comunicação digital que consiga dar vazão a 50 kit/s e para o qual a modulação utilizada leve a uma taxa de erro de it de Considerando as modulações citadas no quadro aaixo, pede-se: c) Escolha (a)s modulação(ões) que pode(m) atender aos requisitos do enunciado e, adicionalmente, tenha(m) a melhor eficiência de potência e permitam operação do sistema em uma anda de, no máximo, 119 khz. Apresente os cálculos e/ou justificativas utilizadas na sua escolha. d) Escolha (a)s modulação(ões) que pode(m) atender aos requisitos do enunciado e, adicionalmente, permitam operação do sistema em uma anda de, exatamente, 5 khz. Apresente os cálculos e/ou justificativas utilizadas na sua escolha. e) Escolha (a)s modulação(ões) que pode(m) atender aos requisitos do enunciado e, adicionalmente, tenham a melhor eficiência de potência e permitam operação do sistema em uma anda de, no máximo, 5 khz. Apresente os cálculos e/ou justificativas utilizadas na sua escolha. 10 No processo de extração de sincronismo de portadora para detecção coerente em um sistema de comunicação BPSK é comum acontecer um fenômeno denominado amiguidade de fase. Este fenômeno corresponde à geração de uma portadora de referência para demodulação com 180º de defasagem em relação à fase correta. Para drilar esse fenômeno tipicamente utiliza-se a versão diferencial da modulação BPSK, ou seja, a DBPSK, porém com detecção coerente seguida de decodificação diferencial. Pede-se comprovar a eficácia deste processo por meio de um exemplo que utilize a sequência de its de informação DAYAN ADIONEL GUIMARÃES 07/01 156

157 e considere igual a 1 o it armazenado inicialmente na saída do loco de atraso do codificador diferencial. A fase inicial da portadora pode ser qualquer. 11 Um sinal BFSK, para o qual a separação entre os tons é de 1/T Hz, pode ser definido da seguinte maneira: E πt s( t) = cos π fct ±, 0 t T T T duração, onde f c é a frequência de portadora, E e T são a energia média e a por it, respectivamente. Utilizando uma identidade trigonométrica pode-se expandir a expressão anterior e oter: E πt E πt s( t) = cos cos ( π fct) sen sen ( π fct) = si ( t)cos ( π fct) sq ( t)sen ( π fct), T T T T de onde pode-se oter a envoltória complexa s( t) = s ( t) + js ( t) ɶ. I Q Definindo o pulso de formatação E πt sen, 0 t T g( t) = T T 0 em caso contrário, tem-se que E T cos G( f ) = π ( π ft ). ( 4T f 1) De posse destas informações, demonstre que a densidade espectral de potência de um sinal BFSK em anda-ase é: 8E cos SB ( f ) = f + f + + ( π ft ) E 1 1 δ δ T T T π 4T f 1 ( ) 1 No gráfico ao lado há duas curvas de densidade espectral de potência (PSD, Power Spectral Density) em anda-ase, referentes às modulações digitais M-FSK e M-PSK. Amas as modulações estão transportando um feixe de 100 it/s. Pede-se: a) Associe cada uma das curvas à correspondente modulação, não se esquecendo de determinar os valores de M onde for pertinente. Apresente justificativa para a associação feita. ) Determine a taxa de símolos e a largura de faixa (nulo-a-nulo do loo principal) para cada modulação. c) Determine o espaçamento entre os tons da modulação M-FSK, em termos da taxa de símolos. DAYAN ADIONEL GUIMARÃES 07/01 157

158 d) Calcule a eficiência espectral de cada modulação. 13 Pretende-se projetar um sistema de comunicação digital que consiga dar vazão a 50 kit/s e para o qual a modulação utilizada leve a uma taxa de erro de it de As modulações disponíveis e correspondentes características encontram-se no quadro a seguir. Pede-se: a) Qual(is) a(s) modulação(ões) que pode(m) atender aos requisitos do enunciado e, adicionalmente, tenha(m) a melhor eficiência de potência e permita(m) operação do sistema em uma anda de, no máximo, 119 khz? Apresente os cálculos e/ou justificativas utilizadas na sua escolha. ) Qual(is) a(s) modulação(ões) que pode(m) atender aos requisitos do enunciado e, adicionalmente, permita(m) operação do sistema em uma anda de, exatamente, 5 khz? Apresente os cálculos e/ou justificativas utilizadas na sua escolha. c) Qual(is) a(s) modulação(ões) que pode(m) atender aos requisitos do enunciado e, adicionalmente, tenha(m) a melhor eficiência de potência e permita(m) operação do sistema em uma anda de, no máximo, 5 khz? Apresente os cálculos e/ou justificativas utilizadas na sua escolha Modulação E /N 0, em db, para BER = 10 6 Eficiência espectral, em its/s/hz Modulação E /N 0, em db, para BER = 10 6 Eficiência espectral, em its/s/hz 14 Se o principal critério para avaliação do desempenho de um determinado sistema de comunicação digital é a taxa de erro de it, qual dos esquemas de modulação a seguir deve ser selecionado para operação em um canal AWGN? Registre os cálculos necessários à otenção da resposta. Opção 1: Modulação BPSK com detecção E /N 0 = 8 db. Opção : Modulação BFSK com detecção E /N 0 = 11 db. 15 Têm-se dois sistemas de comunicação digital: um utiliza modulação BPSK com detecção coerente e o outro utiliza modulação DPSK com detecção não-coerente (ou diferencialmente coerente). Amos os sistemas estão operando a 56 kit/s e com taxa de erro de it média de 10-4 em canal AWGN, so influência da mesma potência de ruído. Quanto de potência de transmissão a mais está sendo necessária no sistema DPSK em relação ao sistema BPSK? Apresente os cálculos. DAYAN ADIONEL GUIMARÃES 07/01 158

159 16 Teça comentários sore o que se ganha e o que se perde na escolha de uma modulação com detecção não-coerente em detrimento de uma modulação idêntica, porém com detecção coerente. Procure justificar seus comentários. 17 No início do estudo sore a modulação DBPSK afirmou-se que a demodulação do sinal DBPSK funcionará corretamente desde que eventuais variações de fase provocadas pelo canal sejam lentas o suficiente para serem consideradas aproximadamente constantes durante dois intervalos sucessivos de sinalização. Justifique esta afirmação. FIM DA AULA DAYAN ADIONEL GUIMARÃES 07/01 159

160 Aula nº 19 Data: / / Tema Espalhamento Espectral - 1. Conteúdo Ojetivos Definição e atriutos do Espalhamento Espectral. Sequências de espalhamento e suas propriedades de correlação. Exercícios de fixação. Ao final da aula os alunos deverão ser capazes de: 1) definir um sinal com espalhamento espectral. ) explicar o funcionamento da técnica DS-SS. 3) determinar como são geradas as sequências m, Walsh e Gold. 4) conceituar a influência das propriedades de correlação das sequências de espalhamento no desempenho de um sistema com espalhamento espectral. Espalhamento Espectral Um reve histórico A técnica de espalhamento espectral (Spread Spectrum SS) aparentemente teve sua primeira aplicação durante a segunda guerra mundial. Mas o spread spectrum não foi desenvolvido em sua totalidade par fins militares. Alguns anos antes da guerra já podiam ser identificados vários susistemas de um sistema com espalhamento espectral, aplicados em diferentes contextos. Um dos históricos mais arangentes sore o tema pode ser encontrado no clássico: SIMON, M. K. et al. Spread Spectrum Communications Handook. USA: McGraw Hill, Inc., 001. ISBN O texto a seguir, astante curioso, foi extraído do clássico de SIMON, M. K. et al e mostra a ficção muito próxima da realidade da técnica de espalhamento espectral. Após esta aula já teremos condições de entender exatamente o episódio que o texto conta... Whuh? Oh, said the missile expert. I guess I was off ase aout the jamming. Suddenly it seems to me that s so ovious, it must have een tried and it doesn t work. Right, it doesn t. That s ecause the frequency and amplitude of the control pulses make like purest noise they re genuinely random. So trying to jam them is like trying to jam FM with an AM signal. You hit it so seldom; you might as well not try. What do you mean, random? You can t control anything with random noise. The captain thumed over his shoulder at the Luanae Galaxy. They can. There s a synchronous generator in the missiles that reproduces the same random noise, peak y pulse. Once you do that, modulation s no prolem. I don t know how they do it. They just do. The Luanae can t explain it; the planetoid developed it. England put his head down almost to the tale. The same random, he whispered from the very edge of sanity. from The Pod in the Barrier y Theodore Sturgeon, in Galaxy,Sept. 1957; reprinted in A Touch of Strange (Douleday, 1958). Espalhamento Espectral Definição Um sinal com espalhamento espectral é aquele que ocupa uma largura de faixa muito maior que a necessária. A largura de faixa ocupada é, até certo ponto, independente da taxa de informação. Um sinal que ocupa uma anda elevada não é necessariamente um sinal SS, emora muitas vezes o sinal SS seja um sinal faixa larga. Por outro lado, um sinal que ocupa uma anda relativamente pequena DAYAN ADIONEL GUIMARÃES 07/01 160

161 pode ser classificado como um sinal SS. O que determina se um sinal é ou não é um sinal SS é a forma de geração do sinal modulado, respeitando-se a definição hora apresentada. Wide Band Spread Spectrum Seja o diagrama a seguir referente a um transmissor de um sistema com espalhamento espectral. Nele os its de informação são convertidos para a forma ipolar e em seguida multiplicados por uma sequência com taxa muito maior que a taxa de its de informação. O sinal resultante desta multiplicação modula uma portadora utilizando, em princípio, qualquer tipo de modulação. O sinal de saída do sistema é um sinal Spread Spectrum. De forma a se fazer clara distinção entre a sequência de its de informação e a sequência de espalhamento, dá-se o nome de chip ao it desta última. Assim diz-se que a duração de um it da sequência de espalhamento é a duração de um chip, T c. No diagrama mostrado percee-se que a anda ocupada pelo sinal é função de T c e que se trata de uma anda maior que a necessária para transmitir os dados. Esta anda necessária é aquela que seria otida com o sistema da figura, sem que seja realizada a multiplicação pela sequência de espalhamento. Portanto, segundo a definição dada, trata-se realmente de um sistema com espalhamento espectral. Se alterarmos T a largura de faixa não se altera, pois quem a governa é T c, desde que T > T c. É por esta razão que, na definição de um sinal spread spectrum mencionou-se que a anda do sinal espalhado é independente da taxa de its de informação até certo ponto. A sequência de espalhamento é tamém chamada de sequência pseudo-aleatória (PN) ou ainda sequência código. Oservando a figura anterior percee-se que tal sequência se repete a cada N chips e tem um comportamento similar a um comportamento aleatório dentro do período de NT c. O nome da técnica ilustrada na figura anterior corresponde a uma das técnicas de espalhamento espectral que estudaremos em detalhes no nosso curso: o espalhamento espectral por sequência direta (Direct Sequence Spread Spectrum, DS-SS). Principais atriutos de um sinal Spread Spectrum Numa primeira análise, um sinal espalhado no espectro parece ser indesejado. Por que razões haveríamos de querer um sinal com anda muito maior que a anda mínima necessária, a qual é definida pela modulação e pela taxa de its? A seguir estudaremos alguns dos atriutos de um sinal DAYAN ADIONEL GUIMARÃES 07/01 161

162 Spread Spectrum que o tornam atrativo e que eliminam com folga esta aparente desvantagem da anda elevada. 1) Baixa densidade espectral de potência Saemos que quanto menor a densidade espectral de potência (DEP) de um sinal, menor será a concentração de potência por faixa de frequência. Por aixa DEP entende-se uma distriuição de uma determinada potência em uma grande faixa de frequências. Por exemplo, na parte a da figura a seguir um sinal de potência P é transmitido numa pequena anda e, portanto, atriui-se este sinal a um transmissor de faixa estreita com alta DEP. Por outro lado, na parte da figura tem-se a potência P distriuída em uma faixa astante elevada, característica típica de um sinal Spread Spectrum com aixa DEP. Uma das principais vantagens da aixa densidade espectral de potência é a pequena interferência em sistemas de faixa estreita. Esta é uma das razões pelas quais se recomenda que sinais SS sejam utilizados em aplicações nas andas ISM (Industrial Scientific and Medical), nas quais normalmente não são necessárias licenças da Agência Reguladora para operação. A aixa densidade espectral de potência pode ser suficiente par imergir o sinal SS no ruído, como ilustrado na figura a seguir. Isto pode ser útil para ocultar transmissões de um receptor não intencional, situação típica em aplicações militares (neste exemplo, o sinal desejado (amigo) pode ficar invisível ao inimigo se sua DEP estiver aaixo da DEP de ruído de fundo de escala do equipamento inimigo usado para rastrear o sinal amigo). ) Baixa proailidade de interceptação A aixa proailidade de interceptação (Low Proaility of Interception, LPI) pode ocorrer devido a duas características de um sinal SS: (a) A aixa densidade espectral de potência pode tornar um sinal SS invisível a um receptor não intencional. Torna-se difícil interceptar um sinal que não se pode detectar. () Quanto maior o comprimento da sequência de espalhamento (quanto maior o número de chips em um período desta sequência) maior a dificuldade de geração de uma réplica pelo interceptador, o que tamém dificulta a interceptação. Por exemplo, uma sequência PN com N = 31, comprimento considerado curto na prática, pode levar à chance de 1/( 31 ) do receptor não DAYAN ADIONEL GUIMARÃES 07/01 16

163 intencional conseguir replicá-la. Lemre-se que o receptor intencional conhece a sequência PN gerada pelo correspondente transmissor, de forma que possa realizar a operação inversa do espalhamento, o desespalhamento (do inglês despreading). 3) Imunidade a interferências Um sinal que apresenta aixa proailidade de ser detectado, como por exemplo um sinal SS imerso no ruído (veja figura anterior), dificilmente poderá sofrer uma interferência intencional. Por outro lado, uma interferência de faixa estreita corromperá uma pequena faixa do sinal SS e, portanto, será pouco prejudicial. Mais adiante veremos de forma um pouco mais rigorosa como isso é possível. Já um sinal de faixa larga, mesmo ocupando a mesma anda do sinal SS, poderá não interferir na comunicação a ponto de inviailizá-la. Isto ocorre devido principalmente à aixa correlação que pode haver entre o sinal SS e o sinal interferente. Tamém veremos isso com mais detalhes em outro momento do curso. 4) Possiilidade de implementação de múltiplo acesso CDMA (Code Division Multiple Access) Seja o sistema de comunicação mostrado da figura a seguir, composto por 3 usuários transmitindo simultaneamente e na mesma anda para um receptor que tem por ojetivo separar a informação de cada usuário das demais, preferencialmente sem interferência entre os vários sinais. A separação pode não ser perfeita devido ao ruído e às interferências. Esse é um cenário típico de um sistema celular, por exemplo, no qual vários terminais móveis enviam seus sinais para uma estação radioase. Se os sinais dos vários usuários compartilham a mesma anda de frequências e são transmitidos simultaneamente, o que permitirá acesso múltiplo ao meio de comunicação será o uso de sequências de espalhamento (denominadas neste contexto de sequências código) distintas e que façam com que os sinais transmitidos sejam, idealmente, ortogonais. Por essa razão, a técnica de múltiplo acesso em questão é chamada Múltiplo Acesso por Divisão em Código (CDMA). DAYAN ADIONEL GUIMARÃES 07/01 163

164 Espalhamento espectral por sequência direta (Direct Sequence Spread Spectrum DS-SS) Vimos no início do presente estudo uma das formas mais simples de implementação de um sistema com espalhamento espectral em anda-ase. Nela a sequência de its de informação é convertida para a forma ipolar, por exemplo, 0 1 e 1 +1 e em seguida é multiplicada por uma sequência de espalhamento, tamém ipolar, de taxa muito maior. Este sistema, pelo fato de gerar um sinal spread spectrum pela multiplicação direta da sequência de espalhamento pela sequência de informação, é chamado de espalhamento espectral por sequência direta. Como resultado desta multiplicação tem-se um sinal em anda-ase cuja faixa ocupada depende diretamente da taxa da sequência de espalhamento e é independe, até certo ponto, da taxa de its de informação. Dizemos até certo ponto porque se a taxa de its começa a ficar com valor comparável à taxa da sequência de espalhamento, começará a ter influência na anda do sinal e, portanto, não teremos mais um sinal spread spectrum. Na figura a seguir tem-se uma ilustração da implementação da técnica DS-SS. A sequência de espalhamento é uma sequência periódica de período NT c, onde N é comprimento ou número de its (chips) em um período da sequência e T c é a duração de um chip. Por ser periódica, o espectro de tal sequência é discreto. Nele, a distância entre as raias espectrais é a taxa em que a sequência se repete e, portanto, é igual a 1/NT c. Os nulos da envoltória espectral desta sequência ocorrem a cada múltiplo inteiro de 1/T c. Portanto, se definirmos a anda do sinal espalhado como sendo a anda do loo principal do sinal, em anda-ase um sinal DS-SS terá anda 1/T c Hz. Emora não seja origatório, tipicamente o período da sequência de espalhamento coincide com a duração de um it de informação, ou seja: T = NT c. DAYAN ADIONEL GUIMARÃES 07/01 164

165 A figura a seguir ilustra um sistema com espalhamento espectral DS-SS, incluindo a modulação. Percea que a única diferença para o sistema em anda-ase é de fato a inserção do modulador que, tipicamente, é um modulador BPSK ou QPSK. Agora, se considerarmos a anda do sinal como sendo a anda do loo principal, teremos uma anda de /T c, pois quem está modulando a portadora em BPSK é o sinal já espalhado, cujo tempo de símolo vale T c. Veja a ilustração a seguir. A figura a seguir ilustra o receptor para o sinal DS-SS BPSK considerado anteriormente. O sinal receido é transladado para anda-ase pelo primeiro mixer (multiplicador). Entretanto, este processo de translação gera os chamados produtos de intermodulação, os quais são atenuados pelo filtro que vem em seguida. Na saída deste filtro temos um sinal DS-SS em anda-ase e o restante do receptor é, portanto, idêntico ao receptor de um sinal DS-SS em anda-ase: o sinal após o filtro é correlacionado com uma réplica da sequência de espalhamento utilizada na transmissão; o resultado da correlação gera a variável de decisão que é comparada com o limiar para que seja tomada a decisão sore os its transmitidos. DAYAN ADIONEL GUIMARÃES 07/01 165

166 Vamos analisar com um pouco mais de profundidade algumas formas de onda e espectros ao longo do receptor apresentado. Na figura a seguir são mostrados os espectros do sinal receido (parte superior) e do sinal de saída do filtro passa-aixas (parte inferior). Percee-se que o sinal de saída do filtro é um sinal em anda-ase, livre de componentes de intermodulação, mas ainda espalhado no espectro. A forma de onda a seguir corresponde à saída do integrador, na ausência de ruído. Após o desespalhamento, à entrada deste integrador está sendo aplicada a sequência de informação já desespalhada e, portanto, composta de valores constantes e iguais a +1 ou 1 (ou qualquer valor ipolar). O resultado da integral deste sinal, a cada intervalo de it, corresponde a uma sequência de rampas, como pode ser visto na figura em questão. Percea que esta forma de onda é exatamente igual àquela que seria otida com o uso de uma sinalização antipodal com formatos de pulso retangulares. Ao final de cada intervalo de integração o sinal é amostrado e o valor da amostra é comparado com o limiar de decisão, permitindo a decisão pelo it transmitido. Percea que este processo é idêntico àquele realizado em uma transmissão inária com qualquer formato de pulso de transmissão confinado no intervalor de it. Então, podemos interpretar a transmissão com espalhamento espectral como uma transmissão inária antipodal em que o formato de pulso de transmissão corresponde a um período completo da sequência de espalhamento: para o it 1 transmite-se o sinal deste período completo e para o it 0 transmite-se este sinal com polaridade invertida. Na presença de ruído faz-se a análise similar. Agora, na saída do integrador há um sinal cujo valor de pico varia em função da influência deste ruído, o que, eventualmente, pode causar erros na decisão. A figura a seguir ilustra esta situação. DAYAN ADIONEL GUIMARÃES 07/01 166

167 A figura a seguir reapresenta, em caráter de revisão, a estrutura do receptor para sinalização inária antipodal com formato de pulso de transmissão g(t) ilustrado. Note que, de fato, a transmissão com espalhamento espectral aqui considerada pode ser interpretada como uma transmissão inária antipodal em que o formato de pulso de transmissão corresponde a um período completo da sequência de espalhamento. Sequências de espalhamento definição Uma sequência de espalhamento, como o nome sugere, é o sinal utilizado para espalhar o espectro do sinal transmitido em um sistema spread spectrum. Em princípio, qualquer sequência que tivesse uma taxa de chips maior que a taxa de its de informação seria adequada. Entretanto, outras propriedades além da taxa devem ser levadas em conta na implementação de um sistema com espalhamento espectral, para que o desempenho desejado seja conseguido e para que os atriutos do sinal spread spectrum de fato se manifestem. Existem vários tipos de sequência de espalhamento, cada uma mais ou menos adequada à aplicação da técnica spread spectrum. Por exemplo, certas sequências são mais adequadas para fazer com que o espectro do sinal espalhado seja em comportado, no sentido de ocupar da maneira adequada a anda disponível. Outras são adequadas por proporcionarem maior imunidade a interferências em sistemas CDMA. Outras, ainda, permitem que o processo de sincronismo no receptor seja mais facilmente implementado. A seguir vamos estudar algumas destas sequências. Sequências de comprimento máximo (sequências m) Tamém conhecidas como sequências PN (Pseudo-Noise sequences), as sequências m são sequências formadas por registradores de deslocamento, numa configuração como a ilustrada a seguir: DAYAN ADIONEL GUIMARÃES 07/01 167

168 Nesta configuração, o número de flip-flops do registrador é m (o que justifica o nome dado à sequência). A lógica de realimentação é que define se será ou não será gerada uma sequência de comprimento máximo, na qual o número de chips em um período é N = m 1. Quanto maior o registrador de deslocamento (maior valor de m), mais possiilidades existem de geração de sequências diferentes. Cada configuração de realimentação diferente gera uma sequência diferente e as conexões de realimentação corretas são tipicamente determinadas por meio de taelas, já que a teoria por trás da determinação destas conexões é astante complexa e está fora do escopo do nosso curso. A seguir tem-se uma taela com algumas das conexões dos flip-flops para que uma sequência m seja de fato gerada com máximo comprimento. Na primeira coluna (da esquerda) tem-se os valores de m. Na segunda coluna tem-se os correspondentes comprimentos das sequências geradas. Na terceira coluna estão algumas das regras de conexão que produzem sequencias m de comprimento máximo, como melhor explicado logo adiante. Na coluna da direita tem-se o número máximo de diferentes sequências que podem ser geradas, que é igual ao número máximo de conexões corretas. As conexões de realimentação no gerador de uma sequência m podem ser representadas como na taela a seguir, por números na ase inária ou por números na ase octal. Por exemplo, na taela, três das seis sequências para m = 5 são geradas a partir das conexões indicadas por [5, 3], [5, 4, 3, ] e [5, 4,, 1], as quais podem ser representadas na forma inária por [ m 1 m ] = [ ], [ ] e [ ], respectivamente, onde a presença de um it 1 na posição i representa a existência de uma conexão na saída do i-ésimo flip-flop, sendo que o it 1 mais à esquerda, 0, representa a conexão de entrada do flip-flop mais à esquerda. Na ase octal tais conexões seriam representadas respectivamente por 45 8, 57 8 e DAYAN ADIONEL GUIMARÃES 07/01 168

169 Exemplo - Vamos determinar os estados de saída dos flip-flops do gerador a seguir e tamém a sua forma de onda de saída, correspondente à sequência de estados do flip-flop mais à direita, para uma carga inicial igual a Agora vamos repetir o exemplo com outra configuração de realimentação nos flip-flops: Pelos resultados otidos com este exemplo perceemos que a primeira configuração representa uma conexão correta (conexão [3,1] na taela anterior), pois a sequência gerada possui N = m 1 = 3 1 = 7 chips em um período. Perceemos ainda, na primeira configuração, que todas as cominações de 3 its são reveladas nos estados dos flip-flops, exceto a cominação 0 0 0, a qual se perpetuaria indefinidamente se existisse. Cargas iniciais diferente de apenas faria com que uma mesma sequência se iniciasse em partes diferentes de seu período. Oservando-se agora a segunda configuração, percee-se que ela gerou uma sequência cujo comprimento não é m 1 e, portanto, trata-se de uma configuração com conexão de realimentação incorreta. Função de auto-correlação e função de correlação cruzada para sequências de espalhamento Como as sequências de espalhamento são sinais periódicos de período NT c, as funções de autocorrelação e de correlação cruzada podem ser determinadas respectivamente por: 1 + T0 / RX ( τ ) = x( t) x( t ) dt T τ e T0 / T0 / RXY ( τ ) = x( t) y( t ) dt T τ T0 / 0 onde T 0 = knt c, para k inteiro. Tais funções medem, respectivamente, o grau de correlação (ortogonalidade) entre sequências iguais e entre sequências diferentes, para deslocamentos relativos τ entre os pares analisados. DAYAN ADIONEL GUIMARÃES 07/01 169

170 A função de auto-correlação de uma sequência de espalhamento idealmente não deve ser nula somente quando o deslocamento relativo é nulo. Isto eneficiaria o processo de detecção e o processo de aquisição e rastreamento de sincronismo. Exemplo - No diagrama mostrado a seguir, referente a uma representação didática do processo de sincronismo no receptor, inicialmente a sequência emutida no sinal receido está fora de sincronismo com a sequência gerada localmente. Com o passar do tempo, o desalinhamento entre tais sequências começa a diminuir por atuação do sistema de controle em um circuito de atrasos discretos ou em um oscilador controlado por tensão (VCO Voltage Controlled Oscillator), até o momento em que tais sequências se alinham e o valor da correlação se eleva aruptamente. Neste instante o sistema de controle trava o circuito de atraso ou o VCO e o receptor continua em sincronismo. Percea a importância de se ter um único pico na função de auto-correlação. Caso haja mais de um, a condição de travamento do sistema acima pode ocorrer no pico errado e, desta forma, fazer com que o sistema trave fora de sincronismo. Percea ainda que, quanto maior for o valor do pico em relação aos demais valores, mais facilmente a condição de sincronismo será detectada e, por consequência, tal sistema de sincronismo será mais imune à ação do ruído. A função de correlação cruzada entre duas sequências de espalhamento idealmente deve ser nula para qualquer valor de deslocamento relativo entre elas. Isto eneficiaria a imunidade à interferência de múltiplo acesso em sistemas CDMA. Exemplo - No sistema ilustrado a seguir se tem uma representação didática de um dos receptores de uma estação radioase (ERB) em um sistema de telefonia celular CDMA. A antena da ERB recee a soma de vários sinais, incluindo o sinal de interesse (sinal do usuário neste exemplo). No processo de correlação para gerar a variável de decisão y, desejamos que somente a sequência PN emutida no sinal do usuário seja detectada, o que demandaria que a correlação cruzada dos sinais dos demais usuários com a sequência PN gerada no receptor fosse nula. Em outras palavras, os sinais interferentes deveriam ser ortogonais ao sinal de interesse. DAYAN ADIONEL GUIMARÃES 07/01 170

171 Matematicamente teríamos: 0 NT [ ] c y = PN ( t) PN ( t) + PN ( t) + PN ( t) + dt 1 3 NT NT NT c c c = PN ( t)pn 1( t) dt + PN ( t)pn ( t) dt + PN ( t)pn 3( t) dt + etc + Ruído ZERO MÁXIMO Com este exemplo é possível perceer a importância de se ter valores aixos de correlação cruzada entre as diferentes sequências de espalhamento utilizadas pelos terminais em um sistema CDMA. Infelizmente, na prática é astante difícil oter sequências de espalhamento perfeitamente ortogonais para qualquer deslocamento relativo. Mesmo naqueles casos em que tais sequências podem ser implementadas, na maior parte das situações reais o canal de comunicação destrói a ortogonalidade entre elas. Uma situação típica onde isto ocorre se refere aos sistemas de comunicação móvel operando em canais com múltiplos percursos de propagação. Mais adiante no nosso curso teremos a oportunidade de estudar com mais detalhes esta situação e justificar a perda de ortogonalidade entre as sequências de espalhamento utilizadas. ZERO ZERO Funções de correlação e densidade espectral de potência para sequências m Considerando-se apenas um período, a função de auto-correlação de sequências m é dada por: N τ, τ T NTc R( τ ) = 1, τ > Tc N c Pela função esoçada (extrapolada para mais de um período) percee-se que, como esperado, a função de auto-correlação é periódica, pois uma sequência m é tamém periódica. Percee-se ainda que o valor de pico em τ = 0 é igual a 1. Entretanto, se verificarmos em outras referências poderemos encontrar valores diferentes. Na verdade não há nenhum erro conceitual nestes diferentes valores. São apenas formas diferentes de normalização do valor máximo da auto-correlação. Quanto maior o comprimento da sequência m, mais próximo de zero se tornará o valor 1/N e, neste caso, mais próxima da situação ideal se tornará a função de autocorrelação. Em outras palavras, quando aumentamos o comprimento N da sequência o valor da função de auto-correlação em τ > T c DAYAN ADIONEL GUIMARÃES 07/01 171

172 se aproximará cada vez mais de zero e mais destacado se tornará o valor de pico em τ = 0, para uma dada taxa de chips. Como em saemos, se tomarmos a transformada de Fourier da função de auto-correlação teremos como resultado a densidade espectral de potência (DEP) da sequência. A DEP para sequências m é dada por: 1 1+ N n n = + N N N NTc S ( c f ) δ ( f ) sinc δ f n= n 0 Como se trata de uma função periódica, era esperado que o espectro da sequência fosse composto de raias espectrais (espectro discreto). Na DEP em questão a envoltória (linha tracejada) tem nulos em múltiplos inteiros de 1/T c. Portanto, como tamém era esperado, quanto menor o valor de T c mais amplo será o espectro da sequência de espalhamento e, por consequência, mais amplo será o espectro do sinal spread spectrum. O espaçamento entre as raias espectrais da DEP ocorre na mesma cadência de repetição do sinal periódico. Sendo assim, a separação entre tais raias tem valor 1/(NT c ). Adicionalmente, se fizermos T = NT c, o espaçamento entre as raias será tamém igual à taxa de its de informação. Nota-se que na DEP dada há uma pequena raia em f = 0, que corresponde à componente DC da sequência m. Se oservamos qualquer sequência deste tipo, notaremos que há sempre um chip +1 a mais que o número de chips 1. Esta é a razão para a existência deste nível DC. Nota-se ainda que, se aumentarmos o comprimento da sequência, este desalanceamento será menos significativo e, por consequência, o nível DC será reduzido. Como exemplo adicional, vejamos as funções: (a) Função de auto-correlação para a sequência m [7, 1] e para a sequência m [7, 6, 5, 4]. () Função de correlação cruzada entre as sequências m [7, 1] e [7, 6, 5, 4], ilustradas nas figuras a seguir. Devido às conexões apresentadas concluímos que se trata de sequências m com m = 7. Portanto, o comprimento de tais sequências é de N = m 1 = 7 1 = 17. Notamos ainda um exemplo de normalização alternativa para o valor de pico das funções em questão: o valor de pico da função de auto-correlação é N e não 1 neste caso. Com relação à função de correlação cruzada, notamos que há picos de grande intensidade. Este é um comportamento genérico para sequências m, o que nos leva à conclusão de que, emora sejam excelentes do ponto de vista de facilitadoras do processo de sincronismo, as sequências m não são, em princípio, adequadas para implementação de múltiplo acesso CDMA, pois gerarão grande interferência entre os sinais dos vários terminais. DAYAN ADIONEL GUIMARÃES 07/01 17

173 (a) () Sequências Walsh-Hadamard As sequências Walsh-Hadamard receem este nome devido aos seus inventores. Elas tem como principal característica o fato da função de correlação cruzada entre qualquer par destas sequências ser nula (sequências ortogonais), mas somente para deslocamento relativo nulo. Alguns pares tem correlação nula para qualquer deslocamento relativo. Podem ser geradas n sequências de comprimento n, para n = 1,, 4, 8,..., por meio do seguinte processo: inicia-se com a matriz de Hadamard H () = + 1 1, a partir da qual são formadas matrizes de Hadamard de ordem n, H( n) H( n) H( n) =. ( n) ( n) H H Como exemplo, vamos construir 8 sequências Walsh-Hadamard de comprimento N = 8. A seguir são dadas as matrizes de Hadamard otidas em cada passo. Percea que os quadrados simples nas matrizes H(n) contém réplicas da matriz H(n) e os quadrados duplos contém H(n), para n = e 4. A matriz H(8) contém as 8 sequências construídas. DAYAN ADIONEL GUIMARÃES 07/01 173

174 H () = H (4) = EE 10 SISTEMAS DE COMUNICAÇÃO II H (8) = Emora as sequências Walsh-Hadamard tenham excelentes propriedades de correlação cruzada (para deslocamento relativo nulo), sua função de auto-correlação pode ter picos de valor elevado, tornando-a inadequada para auxiliar no processo de sincronismo e detecção. Veja como exemplo na figura a seguir a função de auto-correlação da sequência Walsh de número 64, com comprimento N = 18. Além disto, percea que, por exemplo, a primeira linha da matriz H(8) é toda composta de +1s, ou seja, esta sequência de fato não causará nenhum espalhamento do sinal. Isto fará com que a DEP do sinal resultante da multiplicação de uma sequência Walsh-Hadamard pela sequência de informação não seja uniforme, apresentando diferentes formas dependendo da sequência utilizada. Isto permite concluir que sequências Walsh-Hadamard são são adequadas para produzir espalhamento do espectro. Sequências Gold As sequências Gold são implementadas pela operação ou-exclusivo (XOR) entre duas sequências m escolhidas de tal sorte que a função de correlação cruzada da sequência resultante tenha picos de menor valor que aqueles verificados com cada par de sequências m isoladamente. Entretanto, as sequências Gold tem sua função de auto-correlação com características mais distantes da situação ideal e, portanto, piores que aquelas proporcionadas por cada uma das sequências m isoladamente. A figura a seguir ilustra um gerador de sequência Gold composto dos geradores de sequências m com conexões [7, 4] e [7, 6, 5, 4]. Em seguida tem-se a função de auto-correlação (a) para uma sequência Gold e a função de correlação cruzada () para duas sequências Gold geradas a partir das mesmas conexões, mas com cargas iniciais diferentes em um dos geradores de sequência m. Oserve que, em comparação com a função de correlação cruzada apresentada anteriormente para sequências m de mesmo comprimento, a faixa de variação da função de correlação cruzada para as sequências Gold é significativamente menor. No entanto, a função de auto-correlação tem comportamento mais distante do ideal, contendo valores astante elevados fora de τ = 0. DAYAN ADIONEL GUIMARÃES 07/01 174

175 (a) Pode-se agora estaelecer uma classificação a partir do conhecimento das propriedades de autocorrelação e de correlação cruzada para as sequências estudadas: () Sequência m: função de auto-correlação muito próxima da ideal e função de correlação cruzada com picos elevados e, portanto, com comportamento mais distante do ideal. Sequência Walsh-Hadamard: correlação cruzada ideal para deslocamentos relativos nulo e função de auto-correlação com picos elevados e, portanto, com comportamento distante do ideal. Sequência Gold: função de auto-correlação um pouco distante do comportamento ideal em comparação com a função de auto-correlação das sequências m e um pouco melhor que a função de auto-correlação das sequências Walsh-Hadamard. Função de correlação cruzada melhor que a das sequências m e pior que a das sequências Walsh-Hadamard. DAYAN ADIONEL GUIMARÃES 07/01 175

176 Cominação de sequências de espalhamento Pelo exposto neste estudo sore sequencias de espalhamento, podemos concluir que não é tarefa fácil encontrar uma que tenha, simultaneamente, funções auto-correlação e de correlação cruzada se aproximando das ideais. Existem várias sequências que tem esta característica, mas são astante complexas em termos de construção e análise. Para solucionar de certo modo este prolema, muitos sistemas de comunicação cominam diferentes sequências de espalhamento com diferentes propósitos. Para ilustrar este conceito, considere o sistema mostrado a seguir, correspondente a um transmissor de um sistema CDMA. Nele os its de informação sofrem uma operação XOR com uma sequência Gold de comprimento muito elevado e à mesma taxa destes its de informação, ojetivando produzir aleatorização (scramling) da sequência de informação e certo grau de sigilo a mais na comunicação. Depois do resultado da operação XOR passar pela conversão para a forma ipolar, faz-se a multiplicação do sinal resultante pela sequência m, de taxa elevada, o que garante o espalhamento espectral do sinal, a uniformidade espectral do sinal de saída e maior facilidade no processo de sincronismo no receptor. A multiplicação seguinte pela sequência Walsh-Hadamard garante ortogonalidade entre o sinal spread spectrum gerado e os demais sinais, facilitando a extração da informação de cada usuário pela estação ase receptora. Em um sistema real, outras funções podem ser atriuídas a cada uma das sequências de espalhamento, tais como a identificação de estação ase e a demarcação de quadro. O que é importante notar é que esta cominação de sequências tem como principal ojetivo explorar ao máximo o que cada uma pode oferecer de melhor. Exercícios para casa 1 - Extrair os parâmetros correspondentes às propriedades das sequências pseudo-aleatórias para o caso de sequências-m. Quando pertinente, fazer desenhos e/ou gráficos para ilustrar cada propriedade, preferencialmente utilizando alguma ferramenta computacional (VisSim/Comm, Matla ou Mathcad). - Teça comentários sore a influência da propriedade de alanceamento (alance) no espectro de uma sequência-m, sempre fazendo algum tipo de associação com o espectro de uma sequência completamente aleatória. 3 - Há uma incompatiilidade entre as conexões recomendadas para geração de sequência-m, m = 5, no livro do Haykin e no tutorial sore Spread Spectrum de J. Mell, disponível por meio do endereço: Descura qual das duas formas de conexão está correta. 4 - Mostrar que a expressão (7.6) do livro do Haykin é válida. Dicas: a) lemrar que a periodicidade no tempo corresponde a impulsos igualmente espaçados na frequência; ) fazer uso de alguma taela de DAYAN ADIONEL GUIMARÃES 07/01 176

177 Transformada de Fourier de funções conhecidas e c) usar a representação a seguir para auxiliá-lo na I R '( τ ) = I Y ( τ ) I X ( τ ). construção da resposta, notando que: { } { } { } 5 - Teça comentários procurando justificar em que situação a densidade espectral dada pela equação (7.6) do livro do Haykin se aproximará da densidade espectral de uma sequência aleatória. 6 - Qual a aplicailidade e a desvantagem que você encontra na utilização de sequências-m em sistemas CDMA? 7 - Associe as colunas a seguir, justificando todas as associações. Os: as associações podem não ser exclusivas e tamém podem não ser únicas. (1) sequência-m () sequência Walsh (3) sequência Gold (4) Outra (pesquisar) ( ) Adequada pra sincronismo. ( ) Proporciona aixa interferência de múltiplo acesso (MAI). ( ) Adequada para sincronismo e aixa MAI. ( ) Adequada apenas para espalhamento. 8 Faça uma pesquisa e descura qual é a regra simples de determinação da função de correlação cruzada entre duas sequências quaisquer de mesmo comprimento. 9 Utilizando a definição aaixo, calcule o valor máximo da função de auto-correlação para sequências de espalhamento quaisquer cujas possíveis amplitude sejam +1 e T0 / RX ( τ ) = x( t) x( t ) dt T τ T0 / 0 FIM DA AULA DAYAN ADIONEL GUIMARÃES 07/01 177

178 Aula nº 0 Data: / / Tema Espalhamento Espectral -. Conteúdo Ojetivos Ganho de processamento e margem de interferência para sinais DS-SS e FH-SS. Exercícios de fixação. Ao final da aula os alunos deverão ser capazes de: 1) conceituar o ganho de processamento e a margem de interferência em sistemas DS-SS e FH-SS. ) realizar cálculos envolvendo o ganho de processamento e a margem de interferência em sistemas DS-SS e FH-SS. Ganho de processamento em sistemas DS-SS O ganho de processamento (processing gain) é a razão entre a relação sinal / (ruído + interferência) após e antes do processo do desespalhamento no receptor. Representa o ganho em desempenho otido com o uso de espalhamento espectral em relação àquele otido sem o seu uso, conservadas iguais as demais condições. ( S / J ) o GP = ( S / J ) Para um sistema com espalhamento espectral por sequência direta, DS-SS, o ganho de processamento é dado pelo fator de espalhamento do sinal, que é a relação entre a duração de um it de informação e a duração de um chip da sequência de espalhamento, ou seja: i T T c GP = = c R R Se T = NT c, que é o caso mais comum na prática, teremos GP = N. Margem de interferência A margem de interferência (jamming margin) é o máximo valor que relação entre a potência de interferência J e a potência de sinal P pode assumir, ainda permitindo que o sistema alcance a proailidade de erro de it a uma dada relação E /J 0, onde E é a energia média por it de informação e J 0 é a densidade espectral de potência do sinal interferente mais ruído. Essa relação E /J 0 é função da modulação utilizada no sistema, desconsiderando-se o espalhamento. Em outras palavras, na análise de margem de interferência a relação E /J 0 entra no lugar de E /N 0 na expressão de proailidade de erro da modulação utilizada. A margem de interferência, em db, é calculada por meio de: J E MJ = 10log = GP P J 0 A figura a seguir ilustra o efeito do ganho de processamento na margem de interferência. Nela, um sistema DS-SS opera em um amiente em que há um sinal interferente de faixa estreita, além de ruído ranco. Na antena receptora a relação sinal / (ruído + interferência) é muito aixa, podendo na prática ser até menor que 1. O processo de desespalhamento realizado no receptor faz com que a anda do sinal de interesse seja restaurada e faz com que o sinal interferente seja espalhado. Nenhum DAYAN ADIONEL GUIMARÃES 07/01 178

179 espalhamento acontece no ruído ranco, pois o mesmo já é um sinal de faixa larga. Se após o desespalhamento inserirmos um filtro passa-faixas com anda igual à anda do sinal de interesse, teremos como resultado uma relação sinal / (ruído + interferência) elevada a ponto de permitir que a informação seja recuperada. Exemplo - Suponha que um sistema de comunicação digital com espalhamento espectral por sequência direta (DS-SS) tenha que apresentar uma taxa de erro de it menor ou igual a 10 4 so interferência de faixa estreita em canal AWGN. Tal sistema utiliza modulação ΒPSK com detecção coerente (veja desempenho na figura ao lado). A sequência pseudoaleatória utilizada é uma sequência m implementada a partir de um registrador de deslocamento com 10 flip-flops. Cada período desta sequência corresponde à duração de um it de informação. Pede-se: a) Calcule o ganho de processamento do sistema DS-SS, em db. ) Calcule e interprete a margem de interferência do sistema DS-SS, em db. m 10 a) Se T = NTc GP = = N = 1 = 1 = 103 Tc Então GP = 10log103 30,1dB T J E ) = GP = 30,1 8, 4 = 1, 7 db P N 0 Isto significa que a potência do sinal interferente poderá estar até 1,7 db acima da potência do sinal DS-SS na 4 entrada do receptor, ainda garantindo uma BER 10. O ganho de processamento tem efeito em sinais interferentes de faixa estreita, pois é neste caso que a densidade espectral de potência do sinal interferente é reduzida pelo processo de desespalhamento do sinal. Se um sinal interferente tem faixa larga, o desespalhamento realizado DAYAN ADIONEL GUIMARÃES 07/01 179

180 no receptor o manterá com faixa larga e, portanto, não reduzirá sua influência no desempenho do sistema na faixa ocupada pelo sinal de interesse, após ser desespalhado. Exemplo - Um rádio DS-SS opera em uma faixa de frequências compartilhada por 3 terminais celulares de anda estreita que agem como interferentes de faixa estreita para o sistema DS-SS. Tanto o sinal desejado quanto cada um dos sinais interferentes chega ao receptor DS-SS com a mesma potência média. A técnica DS-SS opera com modulação BPSK a uma taxa de its de it/s. A seguir está calculada, de duas maneiras distintas, a mínima taxa de chips da sequência de espalhamento utilizada no sistema DS-SS de tal sorte que a proailidade de erro de it no receptor DS-SS não ultrapasse 9, Admita que a potência de ruído seja desprezível em comparação com a potência dos sinais interferentes. Admita ainda que a anda ocupada pelo sinal DS-SS corresponda ao loo principal do sinal modulado. Vamos verificar qual das soluções está correta e justificar nossa escolha. Definições das variáveis: J é a potência total dos sinais interferentes. J 0 é a correspondente densidade espectral de potência. W SS é a anda total do sinal DS-SS. P é a potência média de cada terminal, na estação radioase. N é o comprimento da sequência de espalhamento. T é a duração de um it. R é a taxa de its. T c é a duração de um chip. R c é a taxa de chips. E é a energia média por it. N 0 é a densidade espectral de potência de ruído. M J é a margem de interferência. GP é o ganho de processamento. GP = R / R R = GP R = GP M = GP E / J db GP = M + E / J db J 0 J 0 M = J / P = 3 P / P = 3 13,6dB J c c Solução 1: Solução : 4 ( E J 0 ) ( E J 0 ) BER = erfc / 9, = erfc / De uma taela: erfc( x) 9, x, E / J =, E / J 4,84 6,85dB 0 0 = = Então GP = 13,6 + 6,85 = 0, 47dB 111 A taxa de chips será: R = chips / s. c 1 ( ) BER = erfc E / J J = J / W = J /( / T ) = 3 P /( / T ) ( N ) 0 0 SS c c ( ) E = PT = PNT BER = erfc ( PNT ) /[3 P /( / T )] 1 c c c erfc / 3 = 9, De uma taela: erfc( x) 9, x, 4 N / 3 =, N / 3 4,84 N = 55,66 ComoT = NT R = NR = 55, = c c = = A taxa de chips será: R chips / s. A solução 1 é a correta. Os sinais interferentes agem no receptor como interferência de faixa estreita e, por esta razão, a solução 1 opera com o ganho de processamento que tem efeito quando o sistema está so influência desse tipo de interferência. A solução parte do princípio que o sinal interferente age no receptor como se elevasse a densidade espectral de potência do ruído, algo que seria correto admitir numa situação de interferência de faixa larga. Exemplo - Uma mesma faixa espectral em um sistema CDMA é compartilhada por 4 terminais celulares. Devido a um controle de potência realizado no sistema, tanto o sinal desejado quanto os sinais interferentes dos demais terminais são receidos pela estação radioase com a mesma potência média. Cada terminal transmite a uma taxa de its de it/s utilizando a técnica DS-SS com modulação BPSK. c DAYAN ADIONEL GUIMARÃES 07/01 180

181 A seguir está calculada, de duas maneiras distintas, a mínima taxa de chips das sequências de espalhamento utilizadas de tal sorte que a proailidade de erro de it na estação radioase não ultrapasse 9, Admita que a potência de ruído seja desprezível em comparação com a potência dos sinais interferentes. Admita ainda que a anda ocupada pelos sinais CDMA corresponda ao loo principal do sinal DS-SS. Vamos verificar qual das soluções está correta e justificar nossa escolha. Solução 1: Solução : 1 ( ) BER = erfc E / J J = J / W = J /( / T ) = 3 P /( / T ) ( N ) 0 0 SS c c ( ) E = PT = PNT BER = erfc ( PNT ) /[3 P /( / T )] 1 c c c erfc / 3 = 9, De uma taela: erfc( x) 9, x, 4 N / 3 =, N / 3 4,84 N = 55,66 ComoT = NT R = NR = 55, = c c = = A taxa de chips será: R chips / s. c GP = R / R R = GP R = GP M = GP E / J db GP = M + E / J db J 0 J 0 M = J / P = 3 P / P = 3 13,6dB J c c 4 ( E J 0 ) ( E J 0 ) BER = erfc / 9, = erfc / De uma taela: erfc( x) 9, x, E / J =, E / J 4,84 6,85dB 0 0 = = Então GP = 13,6 + 6,85 = 0, 47dB 111 A taxa de chips será: R = chips / s. c A solução 1 é a correta. De fato, a soma dos sinais CDMA interferentes age no receptor da estação radioase aproximadamente como o faz o ruído ranco, elevando a densidade de potência interferente total para J 0 + N 0 J 0 devido ao fato do ruído ranco ser desprezível no caso analisado. A solução opera com o ganho de processamento que tem efeito quando o sistema está so influência de interferência de faixa estreita. No prolema em questão a interferência é de faixa larga e, portanto, não sofre a influência desejada do ganho de processamento no receptor. Espalhamento espectral por saltos em frequência Outra técnica de espalhamento espectral muito utilizada na prática é o espalhamento espectral por saltos em frequência (FH-SS Frequency Hopping Spread Spectrum). Como sugere o nome, nesta técnica a frequência de portadora está constantemente mudando sua posição espectral, so controle de uma sequência pseudo-aleatória. A figura a seguir ilustra o transmissor (a) e o receptor () para um sistema FH-SS com modulação M-FSK. Controlado por agrupamentos de k chips da sequência de espalhamento, o sintetizador é responsável por gerar a portadora que será utilizada para determinar a posição espectral do sinal M-FSK. Emora não necessariamente existam todas as cominações de k its no agrupamento citado, o número máximo de posições espectrais do sinal FH-SS será k. Tipicamente, a modulação utilizada em sistemas FH-SS é a M-FSK com detecção não coerente, pois é tarefa astante complexa manter a coerência de fase (sincronismo de fase) entre portadoras de transmissão e recepção de um salto para outro, para que seja realizada uma detecção coerente. O filtro de transmissão determinará a faixa espectral total ocupada pelo sinal FH-SS, reduzindo as componentes do sinal fora da faixa que se deseja para o sinal FH-SS. DAYAN ADIONEL GUIMARÃES 07/01 181

182 No receptor, um sintetizador sincronizado com o da transmissão gera os tons de demodulação para que o sinal M-FSK seja transladado para anda-ase ou, em uma etapa anterior, para uma frequência intermediária. O filtro de recepção reduz as componentes de frequência indesejadas que aparecerão por conta do atimento (multiplicação) do sinal receido com os tons de demodulação. Segue-se um demodulador M-FSK não coerente, implementado de forma convencional. Ganho de processamento em sistemas FH-SS A parte (a) da figura a seguir mostra a densidade espectral de potência de um sinal modulado de anda B, contaminado por um sinal interferente de mesma anda. Se a potência média do sinal é P e a potência média do sinal interferente é J, P/J é a relação sinal-interferência. Considere agora a possiilidade de o sinal modulado saltar em k posições espectrais, passando a ocupar uma anda B ss, conforme ilustrado na parte () da figura em questão. Supondo que o sinal interferente se manteve com as mesmas características, a nova relação sinal-interferência será P/(J/ k ) = k P/J, o que representa uma melhoria de k vezes em relação à situação ilustrada na parte (a) da figura. Assim, o ganho de processamento para um sistema FH-SS em que o sinal ocupa k posições espectrais é dado por: B GP = k = ss B Vale oservar que se k linhas de controle forem utilizadas para comandar o sintetizador de frequências, o ganho de processamento não necessariamente será k 1, pois pode não existir todas as cominações de k chips nas k linhas de controle. Para melhor ilustrar esta oservação, suponha que utilizemos os m = k flip-flops de um gerador de sequência de comprimento máximo para controlar o sintetizador de frequências. Como o estado nulo em todos os flip-flops não faz parte da sequência gerada, teremos neste caso m 1 posições espectrais, o que levará a um ganho de processamento k 1. DAYAN ADIONEL GUIMARÃES 07/01 18

183 Sistema FH-SS lento Um sistema FH-SS lento é aquele em que a taxa de saltos é mais aixa que a taxa de símolos da modulação utilizada. Emora mais simples de implementar, num amiente de interferência intencional (campo de atalha, por exemplo) a lentidão dos saltos pode permitir que o interferente rastreie a posição espectral de cada salto e, logo em seguida, gere o sinal interferente. Esta técnica de interferência é denominada interferência por repetição (repeat-ack jamming ou follower jamming). A figura a seguir ilustra um FH-SS lento com modulação 4-FSK: (a) Saltos de frequência em um período da sequência PN, () Variação da frequência no sinal desespalhado. Na figura em questão W c é a anda total ocupada pelo sinal FH-SS, R é a taxa de its de informação, R s é a taxa de símolos da modulação, R h é a taxa de saltos do sinal FH-SS e B é a anda ocupada pelo sinal 4-FSK. Sistema FH-SS rápido Um sistema FH-SS rápido é aquele em que a taxa de saltos é maior que a taxa de símolos da modulação. Devido à necessidade de realizar os saltos antes que um símolo tenha sido transmitido por completo, a implementação desta técnica é mais complexa que a implementação do sistema FH-SS lento. Entretanto, num amiente de interferência intencional, a rapidez dos saltos pode impedir que o interferente rastreie a posição espectral de cada salto. A figura a seguir ilustra um FH-SS rápido com modulação 4-FSK: (a) Saltos de frequência em um período da sequência PN, () Variação da frequência no sinal desespalhado. DAYAN ADIONEL GUIMARÃES 07/01 183

184 Exercícios de fixação 1 Uma das técnicas de interferência intencional de faixa estreita em sistemas com espalhamento espectral por saltos em frequência (FH-SS Frequence Hopping Spread Spectrum) é denominada interferência por repetição (repeat-ack jamming). Nessa técnica, o sistema interferente monitora o espectro e, após detectar a presença de um salto do sinal FHSS, transmite o sinal interferente na correspondente faixa de frequências. Ojetivando evitar interferência intencional do tipo repetição, um sistema FHSS operará a saltos por segundo. Ignorando a curvatura da terra e admitindo que o sistema de comunicação utilize um satélite geo-estacionário (altitude aproximada de km da superfície da terra) localizado exatamente sore a estação terrestre, calcule o raio de vulnerailidade, r, correspondente ao raio fora do qual o sistema de comunicação estará incondicionalmente protegido do sinal interferente que está localizado na terra. Admita que o sistema interferente necessite de 10 µs para detectar a frequência usada em um determinado salto no transmissor FH-SS da terra e acionar o seu transmissor nessa faixa para interferir no sinal receido pelo satélite. Admita ainda que a antena do satélite do sistema de comunicação possua um diagrama de irradiação capaz de receer sinais de uma área aproximadamente igual a ¼ da área da superfície terrestre. Admita tamém que o sistema interferente terá êxito em seu propósito se o sinal interferente afetar qualquer parte do sinal receido pelo satélite durante um salto de frequência do sistema de comunicação. Apresente todos os cálculos. A figura a seguir mostra o diagrama de locos do transmissor didático de um sistema com espalhamento espectral por saltos em frequência. Os its aleatórios são gerados à taxa de 10 it/s e o modulador BFSK opera com os tons de 5 Hz (it 0) e 15 Hz (it 1), ou seja, o desvio é de ±5 Hz em relação à frequência de portadora. O susistema hop control controla os oito possíveis saltos à taxa de 0,5 saltos por segundo, sendo que a posição mais inferior do sinal FH-SS no espectro corresponde a 50 Hz e a distância espectral entre os saltos é tamém de 50 Hz. O gráfico na parte superior da figura DAYAN ADIONEL GUIMARÃES 07/01 184

185 mostra o espectro do sinal FH-SS para o último salto de um intervalo de 3 segundos e o gráfico na parte inferior dessa figura mostra os índices dos saltos realizados nesse intervalo. Sore este diagrama pede-se e/ou pergunta-se: a) Qual o último it enviado no intervalo de oservação de 3 segundos? Justifique. O último it será o it 1. A frequência central do 16º salto será 6 50 = 300 Hz. Como o espectro correspondente a tal salto encontra-se ligeiramente à direita do valor 300 Hz (aproximadamente 305 Hz), conclui-se que se trata da transmissão do it 1. ) Esoce os demais espectros do sinal FH-SS no intervalo de 3 segundos, numerando sore eles a ordem em que ocorrem. A título de exemplo, o último salto em frequência está numerado na figura anterior. c) Os sinais BFSK enviados mantêm ortogonalidade de um salto para outro? Justifique e apresente uma razão para que mantenham essa ortogonalidade. Os sinais mantêm ortogonalidade de um salto para o outro, pois o espaçamento de frequência de um salto para outro é múltiplo inteiro da taxa de chips, que no caso é igual à taxa de símolos. A DAYAN ADIONEL GUIMARÃES 07/01 185

186 ortogonalidade é importante para garantir que os sinais transmitidos nos vários saltos possam ser recuperados facilmente no receptor, com o uso de detecção não coerente. d) Trata-se de um sinal FH-SS rápido ou lento? Justifique. Trata-se de um sinal FH-SS lento, pois a taxa de saltos é menor que a taxa de símolos (tem-se um salto a cada segundos e neste intervalo são transmitidos 0 símolos). e) Estime, de forma aproximada, o Ganho de Processamento do sistema em questão. O ganho de processamento pode ser aproximadamente estimado pela razão entre a anda total ocupada pelo sinal FH-SS e a anda ocupada em um salto. Portanto, GP 360/45 = 8. f) Os saltos em frequência são aleatórios ou pseudo-aleatórios? Justifique. Os saltos em frequência são pseudo-aleatórios. Se fossem aleatórios não seria possível efetuar a recepção da informação transmitida, dado que não há como o receptor conhecer uma sequência de saltos que é aleatória. 3 Um modem FH-SS transmite um pacote de its a cada salto em frequência, ocupando 64 posições espectrais diferentes. Este modem monitora a taxa de erro de it por pacote e se esta taxa exceder um limiar BER max durante um salto, o pacote correspondente é descartado. Suponha que tal sistema está operando em um canal AWGN com BER = Suponha ainda que, a partir de um determinado momento, um sinal interferente com intensidade suficiente para que a BER por pacote ultrapasse o limiar BER max passou a contaminar uma das possíveis posições espectrais utilizadas pelo sistema. Pede-se: a) Calcule o ganho de processamento do sistema. GP = 64 18,06 db. ) Calcule o número de its da palavra de controle do sintetizador de frequências do sistema. k = 64 k = log (64) = 6 its. c) Calcule a taxa de erro de it média na presença de interferência. De cada 64 pacotes transmitidos, um é descartado por ter o correspondente salto coincidindo com a frequência do sinal interferente. Como a taxa de erro de it média na ausência de interferência é de 10 3, a cada 64 saltos são transmitidos its e destes, em média 63 estarão em erro devido ao ruído AWGN e estarão errados devido ao descarte. Então a taxa de erro de it média será: BER = ( )/ = 1, FIM DA AULA DAYAN ADIONEL GUIMARÃES 07/01 186

187 Aula nº 1 Data: / / Tema Espalhamento Espectral - 3. Conteúdo Ojetivos Propagação multipercurso. Diversidade de percurso e o receptor RAKE para sinais DS-SS. Aplicação do DS-SS no CDMA. Exercícios de fixação. Ao final da aula os alunos deverão ser capazes de: 1) conceituar a propagação multipercurso. ) explicar o conceito de diversidade em percursos e o funcionamento do receptor RAKE. 3) explicar o funcionamento do espalhamento espectral no contexto de sistemas de comunicação com tecnologia CDMA. Nesta parte final do curso veremos como um sinal Spread Spectrum permite comater um dos fenômenos mais prejudiciais à comunicação sem fio: a propagação por múltiplos percursos. A técnica empregada para este fim é denominada diversidade de percursos (path diversity). Iniciaremos este estudo aordando o fenômeno de propagação citado. Ao final revisitaremos, com mais profundidade, o atriuto do spread spectrum que o permite ser aplicado na técnica CDMA. Noções sore a propagação de ondas eletromagnéticas por múltiplos percursos Uma das aplicações mais comuns da técnica CDMA, a qual utiliza tipicamente o espalhamento espectral DS-SS, ocorre em sistemas de comunicação móvel. Um dos amientes que mais degradam a comunicação móvel é aquele em que a propagação do sinal ocorre nas proximidades da superfície da Terra, em meio a elevações e a diferentes morfologias e outros ostáculos criados pelo homem. Neste cenário predomina a propagação por múltiplos percursos (ou propagação multipercurso) na qual ecos do sinal transmitido chegam ao receptor com magnitudes e fases variando aleatoriamente. A propagação multipercurso ocorre principalmente devido à reflexão, à difração e ao espalhamento da onda eletromagnética. A figura a seguir ilustra o cenário de propagação multipercurso, usando como exemplo a comunicação entre uma estação radioase (ERB) e um terminal móvel (TM) em um sistema celular. As estruturas cujas dimensões são elevadas em comparação com o comprimento de onda do sinal provocam no sinal a difração, a reflexão ou amos os efeitos. Estruturas com dimensões físicas da ordem de grandeza do comprimento de onda do sinal causam predominantemente o fenômeno de espalhamento da onda eletromagnética. Nas figuras a seguir tem-se a ilustração do efeito da propagação multipercurso para a transmissão de uma portadora não modulada, a qual, por razões puramente didáticas, representa um caso extremo em DAYAN ADIONEL GUIMARÃES 07/01 187

188 termos de anda estreita, para duas situações: (a) cominação construtiva, () cominação destrutiva. Oserve que em amos os casos se pode oter a magnitude e a fase do sinal resultante através de uma simples análise vetorial. À medida que o terminal móvel receptor se desloca, é natural imaginar que a composição vetorial do sinal receido vá apresentar diferentes fases e magnitudes em função da posição espacial do terminal. Como consequência, a envoltória do sinal receido irá variar. Na figura a seguir tem-se a ilustração do efeito da propagação multipercurso na flutuação da envoltória do sinal receido por um TM. A este efeito dá-se o nome de desvanecimento por multipercurso (multipath fading). Em amientes uranos densos, onde o número de percursos de propagação é elevado e a direção de chagada destes no receptor é astante variada, o desvanecimento multipercurso pode se assemelhar à ilustração a seguir. Percea que as variações da potência instantânea do sinal podem conter vales de cerca de 30 db (1.000 vezes) aaixo da potência média. Estas variações podem ocorrer em posições espaciais astante próximas, dado que o comportamento aproximadamente periódico (no espaço) do desvanecimento multipercurso ocorre a cada meio comprimento de onda (λ/). Da mesma maneira que existem variações de magnitude, existem tamém variações de fase, as quais são ilustradas na figura a seguir. Percee-se que há valores aleatórios de fase entre π e +π, com taxa DAYAN ADIONEL GUIMARÃES 07/01 188

189 de variação igual à taxa de variação do desvanecimento na magnitude do sinal. Nota: deve-se atentar para o fato de que a representação das variações de fase em questão foi feita em módulo π, ou seja, um valor imediatamente superior a π é representado por um valor imediatamente inferior a π e viceversa, de forma a confinar o gráfico entre os valores de π e +π. Portanto, as aparentes transições de fase mostradas na figura a seguir de fato não existem. As variações de fase tamém são prejudiciais à comunicação, pois dificultam soremaneira o processo de sincronismo de portadora, principalmente quando tais variações são rápidas, o que ocorre em situações de alta velocidade de movimentação relativa entre transmissor e receptor. Configura-se aqui uma das principais razões pelas quais é tão difícil realizar uma transmissão em altas taxas num amiente de comunicação móvel com propagação multipercurso: o susistema de sincronismo de portadora deve ser preciso e rápido o suficiente para rastrear as variações de fase impostas pelo canal, de tal sorte que a correta referência de fase para demodulação coerente seja estaelecida no receptor. Em caráter informativo, em um amiente de comunicação móvel urano típico os sinais chegam ao receptor por múltiplos percursos vindos de todas as direções. Este caso é um dos mais críticos e as variações de magnitude e de fase do sinal receido seguem, respectivamente, as densidades de proailidade de Rayleigh e Uniforme, amas ilustradas nas figuras a seguir. Na figura a seguir temos a ilustração do efeito da propagação multipercurso para a transmissão de uma portadora chaveada por um curto intervalo de tempo. Novamente por razões didáticas, esta implementação agora pretende fazer com que o sinal transmitido se assemelhe a um impulso, o que seria um caso extremo em termos de anda larga (compare com o caso em que se considerou a transmissão de uma portadora não modulada). Na figura tem-se: (a) pulso transmitido, () envoltória do sinal receido por múltiplos percursos. Na figura em análise, o sinal transmitido supostamente se propaga através do canal com 4 percursos e, no receptor, é detectado por meio de um demodulador AM que poderia ser implementado com um simples detector de envoltória (implementado, por exemplo, com um retificador seguindo de um filtro passa-aixas). Percee-se que, devido à pequena duração dos pulsos de transmissão, os ecos do sinal DAYAN ADIONEL GUIMARÃES 07/01 189

190 não podem não se sorepor temporalmente, diferentemente do que antes acontecia com o sinal de faixa estreita referente à portadora não modulada. Em outras palavras, com um sinal de faixa larga não podemos determinar o sinal resultante por meio de análise vetorial, posto que os sinais componentes podem não se interferir temporalmente. Esta propriedade será explorada mais adiante, onde um sinal Spread Spectrum se tornará o sinal de faixa larga responsável por permitir que as parcelas dos sinais oriundos de vários percursos de propagação sejam discriminadas temporalmente no receptor e, melhor que isto, sejam cominadas para melhorar a confiailidade na decisão pelos its transmitidos. Modelo do canal multipercurso O modelo do canal com propagação por múltiplos percursos pode ser implementado através de uma linha de atrasos com derivações (tapped delay line - TDL), conforme figura a seguir. Cada derivação está associada a um percurso de propagação e em cada derivação o sinal sofre variações de magnitude e fase. Portanto, trata-se de um modelo discreto aproximado, correspondente a um sistema linear variante no tempo que representa por L percursos, de forma aproximada, um contínuo de infinitos percursos. Nesta figura 1/W é o atraso discreto entre cada percurso de propagação, onde W é a largura de faixa do sinal. Percea que, quanto maior esta largura de faixa, mais percursos poderão ser representados pelo modelo em um determinado intervalo de tempo. As funções g l (t), l = 1,,..., L são complexas, ou seja g l (t) = α l (t)exp[jθ l (t)], onde α l (t) é tipicamente uma função amostra de um processo aleatório com distriuição de Rayleigh (quando não há visada direta ou percurso de propagação dominante) ou Rice (quando há visada direta ou percurso de propagação dominante) e θ l (t) é tipicamente uma função amostra de um processo aleatório com DAYAN ADIONEL GUIMARÃES 07/01 190

191 distriuição Uniforme (quando não há visada direta ou percurso de propagação dominante) ou aproximadamente Gaussiana (quando há visada direta ou percurso de propagação dominante). A resposta ao impulso variante no tempo do canal com multipercurso pode ser escrita como: onde t representa a variação temporal do canal e τ representa o atraso dos percursos de propagação a um dado instante de oservação t. A figura a seguir ilustra um conjunto de seis possíveis respostas ao impulso de um canal com multipercurso típico, tomadas em instantes t distintos. Percee-se nitidamente que as respostas diferem entre si, ilustrando o comportamento variante no tempo do canal. Percee-se tamém que a dispersão temporal oservada no eixo τ pode ser interpretada como uma dispersão temporal do sinal transmitido. Em outras palavras, podemos interpretar os ecos como prolongadores da duração do sinal na recepção. Como se não astasse termos fortes variações instantâneas de magnitude e de fase no sinal receido, a dispersão temporal do canal é outro fator de grande degradação da comunicação em amientes de propagação por multipercurso, pois pode fazer com que símolos adjacentes se soreponham, configurando a conhecida Interferência Intersimólica (IIS). Esta interferência é outro dos grandes limitadores da taxa de transmissão em sistemas de comunicação sem fio neste tipo de amiente. Há ainda um quarto elemento de degradação, não particular à propagação multipercurso, mas que merece ser lemrado: o efeito Doppler. Este efeito corresponde à recepção de um sinal de frequência diferente daquela que realmente o sinal tem. O desvio Doppler de frequência, f D, é tanto maior quanto maior a velocidade de movimento relativo entre transmissor e receptor, v, quanto maior a frequência da portadora, f = 1/λ, e quanto mais próximo de 0º ou de 180º for o ângulo φ de chegada da onda eletromagnética. O valor do desvio Doppler é dado por f D v = cosφ. λ Em uma comunicação com percurso único ou forte visada direta, o efeito Doppler causa desvios de frequência que podem ser até certo ponto compensados pelos conhecidos circuitos de CAF (Controle Automático de Frequência). Entretanto, num amiente de propagação multipercurso, imagine um desvio Doppler diferente perceido no sinal receido por meio de cada percurso de propagação. Como resultado não se terá um único desvio Doppler, mas inúmeros desvios que, cominados, gerarão no receptor um sinal aleatório indesejado chamado ruído FM aleatório. Este nome se deve ao fato de que o sinal receido parece de fato ter sido modulado em FM, de forma aleatória, pelo canal de comunicação, numa situação de movimento relativo entre transmissor e receptor. DAYAN ADIONEL GUIMARÃES 07/01 191