Matemática 1 ÁLGEBRA E FUNÇÕES PARTE 1. A escolha de quem pensa! 1 SUPER II

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3 Matemática 1 ÁLGEBRA E FUNÇÕES PARTE O gráfico de setores abaixo ilustra como a massa de um homem de 80 kg está distribuída entre músculos, gordura, ossos e outros. O ângulo de cada setor está mostrado em graus. Com base nesse gráfico, responda às perguntas: reflexão. Essa lei implica que os raios de luz verticais, encontrando a parábola no ponto (a,a ), serão refletidos na direção da reta 4ay + (1 4a ).x = a. Sendo assim, calcule o ponto em que os raios de luz verticais refletidos em (1,1) e (,4) se encontrarão. a) Quantos quilogramas de músculos esse homem possui? b) Juntos, gordura e ossos representam que percentual da massa desse homem? litros de uma solução contêm inicialmente 75% de álcool e 5% de água. Nessa solução, após x litros da água serem removidos, volume da água na solução após x litros da água serem retirados f( x) = volume da solução após x litros da água serem removidos a) Qual o valor de f(0)? b) Obtenha a expressão de f(x) em termos de x. 03. Suponha que a expressão P = sen (πt) descreve de maneira aproximada a pressão sanguínea P, em milímetros de mercúrio, de uma certa pessoa durante um teste. Nessa expressão, t representa o tempo em segundos. A pressão oscila entre 0 milímetros de mercúrio acima e abaixo dos 100 milímetros de mercúrio, indicando que a pressão sanguínea da pessoa é 10 por 80. Como essa função tem um período de 1 segundo, o coração da pessoa bate 60 vezes por minuto durante o teste. a) Dê o valor da pressão sanguínea dessa pessoa em t = 0 s e t = 0,75 s. b) Em que momento, durante o primeiro segundo, a pressão sanguínea atingiu seu mínimo? 04. Alguns telescópios usam espelhos parabólicos, pois essa forma geométrica reflete a luz que entra para um único ponto, chamado foco. O gráfico de y = x, por exemplo, tem a forma de uma parábola. A luz que vem verticalmente, de cima para baixo (paralelamente ao eixo y), encontra a parábola e é refletida segundo a lei de que o ângulo de incidência é igual ao ângulo de 05. Uma piscina possui duas bombas ligadas a ela. A primeira bomba, funcionando sozinha, esvazia a piscina em horas. A segunda bomba, também funcionando sozinha, leva 3 horas para esvaziar a piscina. A piscina estará vazia em quantos minutos, caso as duas bombas sejam ligadas juntas, mantendo o mesmo regime de funcionamento? 06. Sabe-se que a velocidade do som no ar depende da temperatura. Uma equação que relaciona essa velocidade V (em metros por segundo) com a temperatura t (em graus Celsius) de maneira aproximada é V = 0. t Com base nessas informações, responda as seguintes perguntas: a) Qual é a velocidade do som à temperatura de 7 C? (sugestão: use 3 = 1, 73 ) b) Costuma-se assumir que a velocidade do som é de 340 m/s. Isso ocorre a que temperatura, em graus Celsius? 07. Para atrair novos clientes, um supermercado decidiu fazer uma promoção reduzindo o preço do leite. O gerente desse estabelecimento estima que, para cada R$ 0,01 de desconto no preço do leite, será possível vender 5 litros de leite a mais que em um dia sem promoção. Sabendo que, em um dia sem promoção, esse supermercado vende.600 litros de leite ao preço de R$ 1,60 por litro: a) Qual é o valor arrecadado por esse supermercado com a venda de leite em um dia sem promoção? b) Qual será o valor arrecadado por esse supermercado com a venda de leite em um dia, se cada litro de leite for vendido por R$ 1,40? c) Qual é o preço do litro de leite que fornece a esse supermercado o maior valor arrecadado possível? De quanto é esse valor arrecadado? A escolha de quem pensa! 1

4 08. Uma fábrica de produtos químicos possui um sistema de filtragem do ar que é ligado automaticamente toda vez que a quantidade de poluentes no ar atinge certo nível previamente estabelecido. Sabe-se que a quantidade Q(t) de poluentes no ar dessa fábrica, depois de ligado o sistema de filtragem, é dada em função do tempo 10.t pela expressão: Qt ( ) =, sendo a quantidade t + 15 Q(t) medida em partículas por litro de ar e o tempo (t) em minutos. a) Qual a quantidade de poluentes existente no ar no instante inicial t = 0 em que o sistema de filtragem foi acionado? Em quinze minutos depois da filtragem ter sido iniciada? b) Esse sistema de filtragem está programado para desligar automaticamente no momento em que a quantidade de poluentes no ar atingir 1 partículas por litro de ar. Quantas horas esse sistema de filtragem precisa funcionar até atingir o ponto de desligamento automático? c) Encontre o valor das constantes A, B e C tais que B Qt ( ) = A+. t+ C ( ) 0,1t 09. Em estudos realizados numa área de proteção ambiental, constataram que o número N de indivíduos de certa espécie de primata está crescendo em função do tempo t (dado em anos), segundo a expressão 600 Nt ( ) =. Supondo que o instante t = 0 corres ponde ao início desse estudo e que a expressão continue válida com o passar dos anos, determine: a) O número de primatas dessa espécie presentes na reserva no início do estudo. b) O número aproximado de primatas dessa espécie presentes na reserva 0 anos após o início do estudo. c) Demonstre que o número de primatas dessa espécie presentes na reserva nunca ultrapassará 10 indivíduos. b) Qual é o valor máximo de toneladas produzidas em um dia, considerando-se exclusivamente o aço tipo Ypsilon? c) Se num único dia forem produzidos 500 kg de aço tipo Ypsilon, qual a quantidade máxima de toneladas do aço tipo Xis que ainda podem ser produzidas? 1. Um determinado tipo de canhão para artilharia antiaérea dispara projéteis que descrevem uma trajetória parabólica. Após vários disparos, um grupo de engenheiros militares constatou que, desprezandose a resistência do ar, os projéteis lançados a partir do solo descrevem uma parábola de equação y = 16. k. x. k. x, sendo x e y dados em metros e k um fator positivo relacionado à inclinação que pode ser ajustado diretamente no canhão. a) Que valor deve-se atribuir a k para que um projétil lançado por este canhão atinja o solo a exatamente 400 m do ponto de disparo? b) Qual é o menor valor que se deve atribuir a k para que um projétil lançado por este canhão atinja a altura de m? 13. O lucro diário L é a receita gerada R menos o custo de produção C. Suponha que, em certa fábrica, a receita gerada e o custo de produção sejam dados, em reais, pelas funções R(x) = 60x x e C(x) = 10.(x + 40), sendo x o número de itens produzidos por dia. Sabe-se que a fábrica tem capacidade de produzir até 50 itens por dia. a) Qual o número mínimo de itens x que devem ser produzidos para que a fábrica não tenha prejuízo? b) Para que a fábrica tenha o maior lucro possível, quantos itens x deve produzir? c) Se a fábrica produzir 50 itens x por dia terá lucro ou prejuízo? 14. O gráfico da função f(x) = y = Ax + Bx + C é a parábola representada pela figura abaixo. Com base nestas informações, determine o valor de (B 5.C) A. 10. Considere as funções reais ( ) (x) = (x x + 6). (x x ): a) Calcule f g(0) e g f(1). b) Determine o domínio da função f g(x) f x = + x e 11. Alguns processos de produção permitem obter mais de um produto a partir dos mesmos recursos, por exemplo, a variação da quantidade de níquel no processo de produção do aço fornece ligas com diferentes graus de resistência. Uma companhia siderúrgica pode produzir, por dia, x toneladas do aço tipo Xis e y toneladas do aço tipo Ypsilon utilizando o mesmo processo de produção. A equação x + 3y + 9y 30 = 0, chamada de curva de transformação de produto, estabelece a relação de dependência entre essas duas quantidades. Obviamente deve-se supor x 0 e y 0. Com base nessas informações, determine: a) Qual é o valor máximo de toneladas produzidas em um dia, considerando-se exclusivamente o aço tipo Xis? 15. Sejam as funções reais dadas por f(x) = x x e g(x) = ax + b, onde a e b são números reais. a) Determine (f g)(x). b) Calcule os valores de a e b para os quais os números 0 e 1 sejam raízes da equação (f g)(x) = a) 30 Kg b) 37,5% 0. a) 1/4 5 x b) f ( x ) =,x x Gabarito A escolha de quem pensa!

5 03. a) 100 mmhg e 80 mmhg b) 0,75 segundos 04. (0 ; 1/4) minutos 06. a) 346 m/s b) 16 C 07. a) R$ 4.160,00 b) R$ 4.340,00 c) R$ 1,3 e R$ 4.356, a) 50 e a) 75 b) 4,75 horas c) A = 10, B = 600 e C = 15 b) 104 c) a) e 36 b) {x R / 0 x } 11. a) 15 T b) T c) 1,375 T 1. a) k = 5 b) k =,5 13. a) 10 a) 5 b) prejuízo a x + a (b 1) x + b b b) (0, 0),(0, ),(, 0),(, ) A escolha de quem pensa! 3

6 ÁLGEBRA E FUNÇÕES PARTE 01. Na figura abaixo, a reta y = x + 6 intercepta a parábola y = x nos pontos A e B. 06. O custo da viagem de estudos de uma turma de terceirão é de R$.800,00. No dia da viagem faltaram cinco alunos, o que obrigou cada um dos demais a pagar, além de sua parte, um adicional de R$ 10,00. Portanto, determine o número total de alunos desta turma de terceirão. 07. Seja f uma função polinomial do primeiro grau, decrescente, tal que f(3) = e f(f(1)) = 1. Com base nos dados do enunciado, determine: a) A função f. b) O valor da abscissa do ponto onde o gráfico de f corta o eixo x. a) Determine as coordenadas dos pontos A e B. b) Seja C = (a,b) um ponto da parábola distinto de A e B. Calcule a área do triângulo ABC, provando que 5 seu valor é.a + a 6 unidades de área. 0. Um forno elétrico estava em pleno funcionamento quando ocorreu uma falha de energia elétrica, que durou algumas horas. A partir do instante em que ocorreu a falha, a temperatura no interior do forno pode ser expressa pela função: T(t) = () t () t, com t em horas, t 0, e a temperatura em graus Celsius. a) Determine as temperaturas do forno no instante em que ocorreu a falha de energia elétrica e uma hora depois. b) Quando a energia elétrica voltou, a temperatura no interior do forno era de 40 graus. Determine por quanto tempo houve falta de energia elétrica. (Use a aproximação log 5 =,3) 03. Uma transportadora entrega, com caminhões, 60 toneladas de açúcar por dia. Devido a problemas operacionais, em um certo dia cada caminhão foi carregado com 500 kg a menos que o usual, tendo sido necessário, naquele dia, alugar mais 4 caminhões. a) Quantos caminhões foram necessários naquele dia? b) Quantos quilos transportou cada caminhão naquele dia? 04. Uma função f satisfaz a identidade f(ax) = af(x) para todos os números reais a e x. Além disso, sabe-se que f(4) =. Considere ainda a função g(x) = f (x 1) + 1 para todo o número real x. a) Calcule g(3). b) Determine f(x), para todo x real. c) Resolva a equação g(x) = O gráfico de uma função do segundo grau tem seu eixo de simetria na reta x = 3, tem uma raiz igual a 1 e corta o eixo dos y em y = 5, sendo assim, determine : a) A equação desta função do segundo grau. b) O conjunto imagem desta função do segundo grau. 08. Dois líquidos diferentes encontram-se em recipientes idênticos e têm taxas de evaporação constantes. O líquido A encontra-se inicialmente em um nível de 100 mm e evapora-se completamente no quadragésimo dia. O líquido B, inicialmente com nível de 80 mm, evapora-se completamente no quadragésimo oitavo dia. Determinar, antes da evaporação completa de ambos, ao final de qual dia os líquidos terão o mesmo nível (em mm) nesses mesmos recipientes. 09. Em um sistema de piscicultura superintensiva, uma grande quantidade de peixes é cultivada em tanquesrede colocados em açudes, com alta densidade populacional e alimentação à base de ração. Os tanques-rede têm a forma de um paralelepípedo e são revestidos com uma rede que impede a fuga dos peixes, mas permite a passagem da água. a) Um grupo de 600 peixes de duas espécies foi posto em um conjunto de tanques-rede. Os peixes consomem, no total, 800 g de ração por refeição. Sabendo-se que um peixe da espécie A consome 1,5 g de ração por refeição e que um peixe da espécie B consome 1,0 g por refeição, calcule quantos peixes de cada espécie o conjunto de tanques-rede contém. b) Para uma determinada espécie, a densidade máxima de um tanque-rede é de 400 peixes adultos por metro cúbico. Suponha que um tanque possua largura igual ao comprimento e altura igual a m. Quais devem ser as dimensões mínimas do tanque para que ele comporte 7.00 peixes adultos da espécie considerada? 10. Um fio de 48 cm de comprimento é cortado em duas partes, para formar dois quadrados, de modo que a área de um deles seja quatro vezes a área do outro. a) Qual deve ser o comprimento de cada uma das partes do fio? b) Qual será a área de cada um dos quadrados formados? 4 A escolha de quem pensa!

7 11. Uma pessoa investiu em papéis de duas empresas no mercado de ações durante 1 meses. O valor, em reais, das ações da empresa A variou de acordo com a função A(t) = t + 10, e o valor,em reais, das ações da empresa B obedeceu à função B(t) = t 4t Nessas duas funções, o tempo t é medido em meses, sendo t = 0 o momento da compra das ações. Com base nessas informações, determine das empresas A e B têm valores iguais: a) após 5 meses da compra, quando valem R$ 15,00 b) Qual é o valor de cada uma ações passados 10 meses? c) Após quantos meses, essas duas ações estarão com valores iguais e qual é esse valor em reais? 1. Um ônibus de 40 lugares transporta diariamente turistas de um determinado hotel para um passeio ecológico pela cidade. Se todos os lugares estão ocupados, o preço de cada passagem é R$ 0,00. Caso contrário, para cada lugar vago será acrescida a importância de R$ 1,00 ao preço de cada passagem. Assim, o faturamento da empresa de ônibus, em cada viagem, é dado pela função f(x) = (40 x). (0 + x), onde x indica o número de lugares vagos (0 x 40). Determine: a) Quantos devem ser os lugares vagos no ônibus, em cada viagem, para que a empresa obtenha faturamento máximo; b) Qual é o faturamento máximo obtido em cada viagem. 13. Uma bola, ao ser chutada num tiro de meta por um goleiro, numa partida de futebol, teve sua trajetória descrita pela equação h(t) =.t. 8.t (t 0), onde t é o tempo medido em segundos e h(t) é a altura em metros da bola no instante t. Determine, após o chute: a) o instante em que a bola retornará ao solo. b) a altura máxima atingida pela bola. 01. a) A =( 3,9) e B = (,4) 5 b) S =.a + a 6 0. a) 401 e 0 b) 4,3 horas 03. a) 4 caminhões b).500 kg 04. a) g(3) = x b) f( x) = c) a) y = 5x 30x b) [ 0; ) 07. a) f(x) = 1x + 5 b) a) A = 400 B = 00 b) 3 m, 3 m e m 10. a) 16 cm e 3 cm b) 16 cm e 64 cm Gabarito 11. a) A = R$ 0,00 e B = R$ 70,00 b) 5 meses e valem R$ 15,00 1. a) 10 lugares vagos b) R$ 900, a) 4 s b) 8 m 14. a) 5 < n < 13, n Z b) n = 9 e L = R$ 80, a) f(x) = x + 8 e g(x) = x 6.x b) Considere as seguintes funções, relativas a uma ninhada de pássaros: C = n; C = custo mensal, em reais, para a manutenção de n pássaros. V = 5n + 100n 30; V = valor arrecadado, em reais, com a venda de n pássaros, 4 n 16. Sabe-se que o lucro mensal obtido é determinado pela diferença entre os valores de venda V e custo C. a) Determine os possíveis valores de n, para que haja lucro nas vendas. b) Calcule o valor de n que proporciona o maior lucro possível e o valor, em reais, desse lucro. 15. Dadas as funções reais f e g são tais que f(g(x)) = x 6x + 8 e f(x 3) = x + 5, determine: a) A função f(x) e a função g(x). b) O valor de k, se g (k) é o menor valor possível. A escolha de quem pensa! 5

8 PROGRESSÃO ARITMÉTICA E PROGRESSÃO GEOMÉTRICA 01. Atribui-se ao matemático De Moivre uma lenda sobre um homem que previu sua própria morte. As condições da previsão estão dentro de uma narrativa que modela grosseiramente vários aspectos da realidade. Por exemplo, dormir 4 horas seguidas equivale a morrer, e assim por diante. A lenda é a seguinte: um homem observou que cada dia dormia 15 minutos a mais que no dia anterior. Se ele fez essa observação exatamente após ter dormido 8 horas, quanto tempo levará para que ele durma 4 horas seguidas, não mais acordando? 0. Um quadrado está sendo preenchido como mostra a sequência de figura abaixo: No passo 1, metade do quadrado original é preenchido. No passo, metade da área não coberta no passo anterior é preenchida. No passo 3, metade da área não coberta nos passos anteriores é preenchida, e assim por diante. a) No passo 4, que percentual do quadrado original estará preenchido? b) Qual é o número mínimo de passos necessários para que 99,9% do quadrado original seja preenchido? 03. Considerando a tabela de números naturais abaixo. Observe a regra de formação das linhas e considere que as linhas seguintes sejam obtidas seguindo a mesma regra. a) Qual é a soma dos elementos da décima linha desta tabela? b) Use a fórmula da soma dos termos de uma progressão aritmética para mostrar que a soma dos elementos da linha n dessa tabela é S n = (.n 1). 04. Considere a sequência finita de números (1,, 5, 7, 10, 11, 13, 14, 17, 19,..., 1.001), na qual aparecem todos os números naturais menores ou iguais a 1.001, exceto os números múltiplos de 3 ou os números múltiplos de 4. a) Quantos termos possui esta sequência? b) Qual a soma dos termos desta sequência? 05. Considere a função f definida no conjunto dos números naturais pela expressão f(n + ) = f(n) + 3, sendo n um número natural, e pelos dados f(0) = 10 e f(1) = 5. Determine o valor de f(0) e f(41). 06. Os lados de um triângulo retângulo estão em progressão aritmética de razão positiva. Determine o perímetro e a área deste triângulo retângulo em função da razão R. 07. No trecho de maior movimento de uma rodovia, ou seja, entre o km 35 e o km 41, foram colocados outdoors educativos de 300 em 300 metros. Como o 10 outdoor foi colocado exatamente 50 metros após o km 35, determine em metros, a distância entre o 130 outdoor e o km Após o nascimento do filho,o pai comprometeu-se a depositar mensalmente, em uma caderneta de poupança, os valores de R$ 1,00, R$,00, R$ 4,00 e assim sucessivamente, até o mês em que o valor do depósito atingisse R$.048,00. No mês seguinte o pai re começaria os depósitos como de início e assim o faria até o 1º aniversário do filho. Não tendo ocorrido falha de depósito ao longo do período, determine o montante total dos depósitos, em reais, feitos em caderneta de poupança. 09. Dois sites de relacionamento desejam aumentar o número de integrantes usando estratégias agressivas de propaganda. O site A, que tem 150 participantes atualmente, espera conseguir 100 novos integrantes em um período de uma semana e dobrar o número de novos participantes a cada semana subsequente. Assim, entrarão 100 internautas novos na primeira semana, 00 na segunda, 400 na terceira, e assim por diante. Por sua vez, o site B, que já tem.00 membros, acredita que conseguirá mais 100 associados na primeira semana e que, a cada semana subsequente, aumentará o número de internautas novos em 100 pessoas. Ou seja, 100 novos membros entrarão no site B na primeira semana, 00 entrarão na segunda, 300 na terceira, etc. a) Quantos membros novos o site A espera atrair daqui a 6 semanas? Quantos associados o site A espera ter daqui a 6 semanas? b) Em quantas semanas o site B espera chegar à marca dos membros? 10. Considere a sucessão de figuras apresentada a seguir. Observe que cada figura é formada por um conjunto de palitos de fósforo. Suponha que essas figuras representam os três primeiros termos de uma sucessão de figuras que seguem a mesma lei de formação. Suponha também que F 1, F e F 3 indiquem, respectivamente, o número de palitos usados para produzir as figuras 1, e 3, e que o número de fósforos utilizados para formar a figura N seja F N. a) Calcule F 10 e escreva a expressão geral de F N. 6 A escolha de quem pensa!

9 b) Determine o número de fósforos necessários para que seja possível exibir concomitantemente todas as primeiras 50 figuras. 11. Suponha que, em uma prova, um aluno gaste para resolver cada questão, a partir da segunda, o dobro de tempo gasto para resolver a questão anterior. Suponha ainda que, para resolver todas as questões, exceto a última, ele tenha gasto 63,5 minutos e para resolver todas as questões, exceto as duas últimas, ele tenha gasto 31,5 minutos. Calcule: a) O número total de questões da referida prova. b) O tempo necessário para que aquele aluno resolva todas as questões da prova. 1. A soma dos cinco primeiros termos de uma P.G., de razão negativa, é 1. Além disso, a diferença entre o sétimo termo e o segundo termo da P.G. é igual a 3. Nessas condições, determine: a) A razão da PG. b) A soma dos três primeiros termos da PG. 10. a) F 10 = 76 e F N = 8N 4, N N* b) a) 8 questões b) 17,5 min 1. a) b) a) b = e r = b) a 0 = 5 c) S0 = a) r = 15 b) S3 = 15. razão = 70 e média = Em uma progressão aritmética, a soma dos N primeiros termos é dada por S N = b.n + N, sendo b um número real. Sabendo-se que a 3 = 7, determine: a) O valor de b e a razão da progressão aritmética. b) O 0º termo da progressão. c) A soma dos 0 primeiros termos da progressão. 14. Seja x > 0 tal que a sequência a1 = log( x), a = log( 4x) 4 e a = log( 8x) forme, nessa ordem, uma progressão 3 8 aritmética. Com base nestas informações, determine: a) A razão desta progressão aritmética. b) a soma dos três primeiros termos desta progressão aritmética. 15. Determine a razão e a média aritmética dos seis meios aritméticos que podem ser interpolados entre 10 e 500. Gabarito dias 0. a) 93,75% b) 10 passos 03. a) 361 b) S n = (n 1) 04. a) 501 b) f(0) = 40 e f(41) = perímetro = 6R área = 1R m 08. R$ , a) 3.00 e b) 1 semanas A escolha de quem pensa! 7

10 EXPONENCIAIS E LOGARÍTMOS 01. Suponha que o tempo t (em minutos) necessário para ferver água em um forno de micro-ondas seja dado pela função T(n) = A.(n) B, sendo A e B constantes e n o número de copos de água que se deseja aquecer. Número de copos Tempo de aquecimento 1 1 minuto a 30 segundos minutos a) Com base nos dados da tabela, determine os valores de A e B. (Sugestão : use log = 0,30 e log 3 = 0,45) b) Qual o tempo necessário para se ferverem 4 copos de água nesse forno de micro-ondas? 0. O gráfico abaixo corresponde a uma função exponencial da forma f(x) = () a.x + b sendo a e b constantes e x. a) Calcule os valores de a e b da expressão de f(x) que correspondem a esse gráfico. b) Calcule o valor de x para o qual se tem f(x) = 1. c) Dado k > 0 qualquer, mostre que o ponto x = log( 4k ) satisfaz a equação f(x) = k. 03. O teste de alcoolemia informa a quantidade de álcool no sangue levando em conta fatores como a quantidade e o tipo de bebida ingerida. O código de transito brasileiro determina que o limite tolerável de álcool no sangue, para uma pessoa dirigir um automóvel, é de até 0,6 g/l. Suponha que um teste de alcoolemia acusou a presença de 1,8 g/l de álcool no sangue de um indivíduo. A partir do momento em que ele pára de beber, a quantidade, em g/l, de álcool no seu sangue decresce segundo a função Q(t) = 1,8.() 0,5 t, sendo o tempo t em horas. a) Quando t =, qual é a quantidade de álcool no sangue desse indivíduo? b) Quantas horas após esse indivíduo parar de beber a quantidade de álcool no seu sangue atingirá o limite favorável para ele poder dirigir? (Use log = 0,30 e log 3 = 0,47) 04. Um método para se estimar a ordem de grandeza de um número positivo N é usar uma pequena variação do conceito de notação científica. O método consiste em determinar o valor X que satisfaz a equação N = 10 x e usar propriedades dos logaritmos para saber o número de casas decimais desse número. Dados log = 0,30 e log = 0,47, utilizando esse método determine o número X inteiro que mais se aproxima de N () 130. (3) Em um experimento feito em laboratório, um pesquisador colocou numa mesma lâmina dois tipos de bactérias, sabendo que as bactérias do tipo I são predadoras das bactérias do tipo II. Após acompanhar o experimento por alguns minutos, o pesquisador concluiu que o número de bactérias do tipo I era dado pela função f(x) =.(3) t + 1, e que o número de bactérias do tipo II era dado pela função g(x) = 3.() 4 t, ambas em função do número t de horas. a) Qual era o número de bactérias, de cada tipo, no instante inicial do experimento? b) Após quantos minutos,aproximadamente, a lâmina terá o mesmo número de bactérias do tipo I e II? (Use log = 0,30 e log 3 = 0,47) 06. Um medicamento é administrado continuamente a um paciente, e a concentração desse medicamento em mg/ ml de sangue aumenta progressivamente, aproximandose de um número fixo S, chamado nível de saturação. A quantidade Q(t) desse medicamento na corrente sanguínea é dada pela fórmula Q(t) = S. 1 ( 0,) t, sendo t dado em horas. a) Após quantas horas,aproximadamente, a quantidade desse medicamento na corrente sanguínea fica exatamente igual a metade do valor do nível de saturação? (Use log = 0,30) b) Após 1 horas a quantidade desse medicamento na corrente sanguínea fica exatamente igual qual porcentagem do valor do nível de saturação? 07. Uma determinada substância radioativa desintegra-se com o tempo, segundo a função M(t) = M 0.(e) Kt, sendo M 0, a massa inicial, K uma constante característica da substância (K 0) e t o tempo dado em anos. Sabendose que a quantidade inicial de 100 g dessa substância radioativa diminui para 50 g em 8 anos, calcule quanto tempo será necessário para que 100 g dessa substância se reduzam a 5 g. 08. Um grupo de estudantes resolveu repetir a medição da altura do Pico da Neblina feita na década de 60. Para isso, escalaram essa montanha e levaram um barômetro. Chegando ao cume da montanha, efetuaram várias medições da pressão atmosférica no local e obtiveram o valor médio de 530 mmhg. A pressão atmosférica P(h) a uma dada altura h (em metros, em relação ao nível do mar) é fornecida pela função P(h) = P 0.(e) αh, sendo e a base do sistema de logaritmos neperianos, P 0 = 760 mmhg a pressão atmosférica no nível do mar, e a um número que depende principalmente da temperatura média no local de medição. Sabendo-se que, nas condições desse experimento, α = 0,001 e que os estudantes usaram valores aproximados ln 760 = 6,63 e ln 530 = 6,7, qual foi a altura que encontraram no Pico da Neblina? x 1 = 4+ y, determine o valor de 09. Dado o sistema ( ) 4 ( x y). ( ) log x + y = 1 8 A escolha de quem pensa!

11 10. Um capital de R$ 1.000,00 é aplicado a uma taxa anual de 8%, com juros capitalizados anualmente. Considerando que não foram feitas novas aplicações ou retiradas, encontre: a) O capital acumulado após anos. b) O número inteiro mínimo de anos necessários para que o capital acumulado seja maior que o dobro do capital inicial. (Se necessário, use log = 0,301 e log 3 = 0,477 ). 11. Determine a solução (x,y), com y > 1 para o sistema log( 9x 35) = 6 y. log( 7x 81) = 3 3y anos m a) R$ ,80 b) (11, ) anos a) cidade A = 6 e cidade B = 5 b) 3 anos e 4 1. Determine a soma dos valores reais, que formam o 5 conjunto solução da equação log x + log =. 16 x O valor de um automóvel sofre uma depreciação de 4% ao ano. Sabendo-se que o valor atual de um carro é de R$ ,00, depois de quantos anos o valor desse carro será de R$ ,00? (Use o valor de 0,3 para log e o valor de 0,48 para log 3). 14. Determine o conjunto solução da equação exponencial ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x 5 x 1 x x 3 x = , com (x >0). 15. As populações de duas cidades, A e B, são dadas em milhões de habitantes pelas funções A ( t) = log( 1+ t) 6 e ( ) ( ) A t = log 4 + 4t, onde a variável t representa o tempo em anos. a) Qual é a população, em milhões de habitantes, em cada uma das cidades para t = 7? b) Após certo tempo t, essas duas cidades ficam com suas populações iguais. Determine o valor desse tempo t e também o valor da população, em milhões de habitantes, em cada uma destas cidades neste tempo t. 8 Gabarito 01. a) A = 1,5 e B = 0,5 b) 3 min 0. a) a = ½ e b = 1 b) x = x = log 4k c) ( ) 03. a) 0,9 g/l b) 3h 8 min a) I = 6 e II = 48 b) 50,4 min 06. a) 0,48 horas b) 80% A escolha de quem pensa! 9

12 MATRIZES E DETERMINANTES a + bi 1+ i f a + bi = det, a e b são números i 1 i reais e i é a unidade imaginária. 01. Na função ( ) Considerando que para calcular o determinante acima usa-se a mesma regra de determinantes de matrizes com números reais: a) Calcule f(1 + I) e f(0). b) Encontre os números reais a e b tais que f(a + bi) = Se A é uma matriz quadrada de ordem e I é a matriz identidade de mesma ordem, pode-se mostrar que, para cada n natural, existem números reais a e b tais que (A) n = α.a + β.i. 3 Dada a matriz A = 0 1 : a) Encontre α e β tais que (A) = α.a + β.i. b) Multiplicando a expressão do item anterior pela matriz inversa A 1, obtém-se a expressão A = α.i + β.a 1. Use esta informação para calcular a matriz A Admita que a matriz cuja inversa seja formada apenas por elementos inteiros pares receba o nome de EVEN. Seja M uma matriz, com elementos reais, tal que 3x M=. x + 1 x Admita que M seja EVEN, e que sua inversa tenha o elemento da primeira linha e primeira coluna igual a. a) Determine o valor de x nas condições dadas. b) Determine a inversa de M nas condições dadas Dadas as matrizes A 1 3 = e B = 1 1, 0 1 sendo N = 50 + det(ab), determine o valor de N. 05. Qual valor do determinante da matriz abaixo? tg α tg β tg θ cos α cos β cos θ 1 x 06. Dadas as matrizes A = y z, 1 B = 1 1 e 4 5 C = com x, y e z números reais. Se A.B = C, determine: a) A soma dos elementos da matriz A. b) Determine, se possível, a matriz inversa de A. log x log x log x Seja a matriz A= 1 1 1, determine o valor 1 3 de x, sabendo que det A = Se x é um número real positivo, tal que A = x 0 e x 1 B = 1 1 e det(a.b) =, calcule: a) O valor de (x) x. b) A matriz inversa de B Considere a matriz M= 3. Calcule a soma das 3 x raízes da equação det(m ) = Considere a matriz quadrada A de ordem n, sendo n inteiro e positivo, definida por A = (a ij ) tal que aij = 0,para i j i+ j aij = ( ),para i = j Com base nos dados do enunciado, determine: a) O valor do determinante da matriz A. b) O valor do determinante da matriz A, admitindo ser a matriz A de ordem. c) O valor do traço da matriz A, admitindo ser a matriz A de ordem 3. log x Dada a matriz H= 0 log x 1, determine: a) Os valores de x que garantem que a matriz H seja invertível. b) O valor do determinante da matriz H para x = O traço de uma matriz quadrada é a soma dos elementos de sua diagonal principal. Se os números inteiros x e y 1 0 são tais que a matriz 3 x 4 tem traço igual a 4 e 1 1 y determinante igual a 19, então determine o valor do produto xy. 13. Foi realizada uma pesquisa, num bairro de determinada cidade, com um grupo de 500 crianças de 3 a 1 anos de idade. Para esse grupo, em função da idade x da criança, concluiu-se que o peso médio p(x), em quilogramas, era dado pelo determinante da matriz A, onde A = 3 0 x. 0 3 Com base na fórmula p(x) = det A, determine: a) O peso médio de uma criança de 5 anos; b) A idade mais provável de uma criança cujo peso é 30 kg. 10 A escolha de quem pensa!

13 14. Se A = x 1 3, B = 0 1, det(a.b) = 0 e se 4 y det(a + B) = 0, então determine: a) Os valores de x e y. b) O valor de det(a) + det(b). 15. Sejam A uma matriz quadrada de ordem 3, det A = d, det (A.A t ) = 4.k, sendo At a transposta de A e d a ordem da matriz B. Se det B = e det (3.B) = 16. Com base nos dados descritos no enunciado, determine o valor (k + d). Gabarito 01. a) e 1 + i b) a = 3/5 e b = 1/5 0. a) α = 3 e β = b) A = a) x = 1 6 b) M = a) 40 b) não possui a) 1/ b) B = a) () n + n b) 64 c) a) x ex b) a) 18 Kg b) 11 anos 14. a) x = 3 e y = 3 b) A escolha de quem pensa! 11

14 DETERMINANTES E SISTEMAS 01. No diagrama abaixo, os números dos círculos grandes são obtidos a partir de uma determinada regra. 05. Luiz Carlos investiu R$ ,00 no mercado financeiro da seguinte forma: parte no fundo de ações, parte no fundo de renda fixa e parte na poupança. Após um ano ele recebeu R$ 1.018,00 em juros simples dos três investimentos. Nesse período de um ano, o fundo de ações rendeu 15%, o fundo de renda fixa rendeu 10% e a poupança rendeu 8%. Sabendo que Luiz Carlos investiu no fundo de ações apenas metade do que ele investiu na poupança, determine os juros que ele obteve, respectivamente, em cada um dos investimentos. a) Descreva a regra pela qual os números dos círculos grandes desse diagrama são obtidos. b) Sabendo-se que os números dos círculos maiores do diagrama abaixo são obtidos pela mesma regra do diagrama anterior, determine a, b, c, d, de modo que esses números sejam inteiros positivos. 0. Durante o mês de dezembro, uma loja de cosméticos obteve um total de R$ 900,00 pelas vendas de um certo perfume. Com a chegada do mês de janeiro, a loja decidiu dar um desconto para estimular as vendas, baixando o preço deste perfume em R$ 10,00. Com isso, vendeu em janeiro 5 perfumes a mais do que em dezembro, obtendo um total de R$ 1.000,00 pelas vendas de janeiro. Qual o preço que esse perfume era vendido em dezembro? 03. Uma parábola é o gráfico de uma função da forma y = a.x + b.x + c, com a 0. a) Encontre a função cujo gráfico é a parábola que contém os pontos P = ( 1; ), Q = (1; ) e R = (; 5). (Sugestão: utilize os pontos dados para construir um sistema linear.) b) Existe uma parábola que contém os pontos P = ( 1; 1), Q = (1; 3) e R = (; 5). Justifique. 04. Encontre a solução do sistema linear x+ y+ z+ w = 1 x y + z + w 0 x + y z + w = 1 x y+ z = (sugestão: utilize o processo de escalonamento ou o de substituição de variáveis.) 06. Artur e Isabel viajaram para o litoral nas férias e passaram por 3 locais diferentes, permanecendo 7 dias em Guaratuba, 3 dias na Ilha do Mel e 5 dias em Matinhos. O casal gastou R$ 1.0,00 em hospedagem, sendo que a diária do hotel de Guaratuba é /3 da diária da Ilha do Mel, e esta última é o dobro da diária do hotel de Matinhos. Quanto eles gastaram em hospedagem em cada um dos lugares visitados? 07. Os clientes de um determinado banco podem fazer saques no caixa automático, no qual há cédulas disponíveis nos valores de R$ 5,00, R$ 10,00 e R$ 0,00. Considerando que um cliente fez um saque no valor de R$ 300,00. a) De quantas formas diferentes ele pode sacar esse valor com exatamente 0 cédulas? b) Com a quantidade igual de Cédulas de cada um dos três valores disponíveis, qual é o número de formas diferentes ele pode sacar esse valor? 08. Considere o seguinte sistema linear: mx + 4y + 5z = m + 1 x+ ( m 1) y+ ( m+ 1) z= 4 1x + 1y + z = Sabendo que esse sistema é possível para qualquer m real: a) Resolva o sistema para m =. b) Encontre os valores de m que tornam esse sistema possível e indeterminado. 09. Em um exame, foi usado o seguinte critério de correção: I. Para cada questão respondida corretamente o candidato recebeu 5 pontos; II. Para cada questão respondida incorretamente o candidato perdeu pontos; III. Para cada questão em branco o candidato perdeu 1 ponto. A tabela abaixo apresenta o desempenho, nesse exame, dos candidatos Antônio e Maria. Nº de questões respondidas corretamente Nº de questões respondidas incorretamente Nº de questões em branco Pontos obtidos Antônio y + z y z 84 Maria 3y + z y z y 100 Com base nos dados acima, determine o número de questões do exame. 1 A escolha de quem pensa!

15 10. Uma confeitaria produz dois tipos de bolos de festa. Cada quilograma do bolo do tipo A consome 0,4 kg de açúcar e 0, kg de farinha. Por sua vez, o bolo do tipo B consome 0, kg de açúcar e 0,3 kg de farinha para cada quilograma produzido. Sabendo que, no momento, a confeitaria dispõe de 10 kg de açúcar e 6kg de farinha, responda às questões abaixo. a) Será que é possível produzir 7 kg de bolo do tipo A e 18 kg de bolo do tipo B? Justifique sua resposta. b) Quantos quilogramas de bolo do tipo A e de bolo do tipo B devem ser produzidos se a confeitaria pretende gastar toda a farinha e todo o açúcar de que dispõe? 11. João entrou na lanchonete BOG e pediu 3 hambúrgueres, 1 suco de laranja e cocadas, gastando R$ 1,50. Na mesa ao lado, algumas pessoas pediram 8 hambúrgueres, 3 sucos de laranja e 5 cocadas, gastando R$ 57,00. Sabendo-se que o preço de um hambúrguer, mais o de um suco de laranja, mais o de uma cocada totaliza R$ 10,00, calcule o preço de cada um desses itens. 1. Um caminhão transporta maçãs, peras e laranjas, num total de frutas. As frutas estão condicionadas em caixas (cada caixa só contém um tipo de fruta), sendo que cada caixa de maçãs, peras e laranjas, tem, respectivamente 50 maçãs, 60 peras e 100 laranjas e custam, respectivamente, 0, 40 e 10 reais. Se a carga do caminhão tem 140 caixas e custa R$ 3.300,00, calcule: a) Calcule quantas maçãs, peras e laranjas estão sendo transportadas. b) Se a quantidade de maçãs e de peras for toda trocada por laranjas(uma por uma), determine qual será a quantidade total de caixas de laranjas transportadas por este caminhão. 13. Carlos, Luís e Sílvio tinham, juntos, 100 mil reais para investir por um ano. Carlos escolheu uma aplicação que rendia 15% ao ano. Luís, uma que rendia 0% ao ano. Sílvio aplicou metade de seu dinheiro em um fundo que rendia 0% ao ano, investindo a outra metade numa aplicação de risco, com rendimento anual pós-fixado. Depois de um ano, Carlos e Luís tinham juntos 59 mil reais; Carlos e Sílvio, 93 mil reais; Luís e Sílvio, 106 mil reais. a) Quantos reais cada um tinha inicialmente? b) Qual o rendimento da aplicação de risco? 14. A tabela abaixo indica o consumo efetuado num restaurante, em três mesas diferentes, especificando as porções consumidas de cada alimento e a conta em reais. 15. Num grande acampamento militar há 150 blindados dos tipos BM3, BM4 e BM5, isto é, equipados com 3, 4 e 5 canhões do tipo MX9 respectivamente. O total de canhões disponíveis é igual a 530. A soma dos BM4 com os BM5 corresponde aos /3 dos BM3. Se para o início de uma manobra militar, cada canhão carrega 1 projéteis, determine: a) Quantos blindados de cada tipo temos neste acampamento? b) Quantos projéteis serão necessários para o grupo todo dos BM4 no início da operação? Gabarito 01. a) a soma dos menores é igual ao maior adjacente. b) {0 d; d 8; 19 d; d} 0. R$ 60, a) y = x + 1 b) não, pois são alinhados 04. x = 3/ y = z = 5/ w = 05. Ação = R$ 70,00 Renda = R$ 460,00 Poupança = R$ 88, Guaratuba = R$ 560,00 Ilha = R$ 360,00 Matinhos = R$ 300, a) 4 b) a) {1, 1, 1} b) m = 1 e m = a) não, pois faltará farinha b) Tipo A:,5 kg; tipo B: 5 kg 11. Hambúrguer = R$ 4,00 Suco = R$,50 Cocada = R$ 3,50 1. a).000 maçãs peras laranjas b) 100 caixas 13. a) Carlos = 0 mil Luís = 30 mil Sílvio = 50 mil b) 60% 14. R$ 6, a) BM3 = 90 BM4 = 40 BM5 = 0 b) 190 Sendo x reais a conta da mesa III, calcule x. Número de porções consumidas Arroz Feijão Frango Refrigerante Valor da conta R$ Mesa I ,00 Mesa II 1 1 6,00 Mesa III x A escolha de quem pensa! 13

16 Matemática CONJUNTOS E TRIGONOMETRIA I 06. A expressão 1, , , é igual a: 01. O Festival de Dança de Joinville é considerado o maior do mundo pelo Guinnes Book of Records de 005. Desde 1998, este festival é realizado no Centreventos Cau Hansen, que tem capacidade para 4.00 pessoas por noite. Suponha que no 8º Festival de Dança, realizado em julho de 010, houve uma noite exclusiva para cada uma das seguintes modalidades: ballet, dança de rua e jazz. A noite da dança de rua teve seus ingressos esgotados; na noite do jazz restaram 5% dos ingressos; e a noite do ballet teve 90% dos ingressos disponíveis vendidos. Sabe-se que algumas pessoas costumam prestigiar mais de uma noite do Festival. Neste ano, 700 pessoas assistiram à dança de rua e ao jazz; assistiram ao ballet e à dança de rua; 380 assistiram ao ballet e ao jazz e 105 prestigiaram as três modalidades de dança. Se todas as pessoas que adquiriram os ingressos do Festival assistiram à(s) apresentação(ões), então qual o número total de pessoas distintas que assistiu a pelo menos uma das três modalidades anteriormente mencionadas? 0. Mediante uma pesquisa de mercado foi constatado que 00 pessoas utilizam pelo menos um dos sabonetes A ou B. Sabendo que 80 dessas pessoas não usam a marca A e que 70 pessoas usam somente o sabonete A, qual é o número de pessoas que utilizam o sabonete A? 07. Dois representantes de laboratórios farmacêuticos estiveram numa determinada cidade no dia 1º de março de 010. Um deles voltou a cidade 1 dias depois, e o outro 35 dias depois. Durante todo o ano de 010, os dois visitaram a cidade com esses intervalos constantes (1 e 35 dias). Pode-se afirmar que, depois do dia 1º de março, o primeiro dia em que a presença simultânea dos dois, nessa cidade ocorreu, foi: 08. Em Aracaju, os estudantes do Curso de Recreação que optarem por estágios em ONGs, que acolham grupos da terceira idade são, automáticamente, participantes do Festival de Conhecimentos do qual faz parte a resolução das questões a seguir. Considerando que conjuntos numéricos podem ser representados sob a forma M = [0, 3], N = [, 3] e P = [, 3], o vencedor deverá afirmar que (N M) P representa o conjunto em qual intervalo? 09. De um ponto A, situado no mesmo nível da base de uma torre, o ângulo de elevação do topo da torre é de 0. De um ponto B, situado na mesma vertical de A e 5m acima, o ângulo de elevação do topo da torre é de 18. Qual a altura da torre? Dados: use as aproximações tg 0 0,36 e tg 18 0,3 03. O controle de vacinação em uma creche indica que, dentre 98 crianças cadastradas, 60 receberam a vacina Sabin, 3 foram vacinadas contra o sarampo e 1 crianças não foram vacinadas. Dessa forma, qual o número de crianças que não receberam exatamente as duas vacinas? 04. Para avaliar o aspecto disciplinar dos jogadores em certo campeonato de futebol, depois de selecionada uma partida para cada time participante do campeonato, foi feito um levantamento das faltas cometidas pelos jogadores durante essas partidas. O resultado obtido indicou que, dentre os jogadores que cometeram pelo menos uma falta, 0 receberam cartão amarelo ou vermelho e dentre eles: 6 receberam cartão vermelho após ter recebido o amarelo; 4 receberam cartão vermelho sem ter recebido o amarelo. Com base nesses dados, nas partidas selecionadas, qual o número de jogadores que receberam cartão amarelo pelas faltas cometidas? 10. Uma pessoa construiu um triângulo ABC, retângulo em A, em que o ângulo C media α e os lados AB e BC mediam, respectivamente, (3. cos α) e 6. Nessas condições, qual a tangente do ângulo α? 05. Dados A e B conjuntos, a operação de diferença simétrica ( ) é definida por A B = A B A B. Se A = {1, {1},, a} e B = {1,, { }, a, b} então o conjunto A B é igual a: A escolha de quem pensa! 1

17 11. Um ângulo do segundo quadrante tem seno igual a 1. Qual o valor do cosseno, tangente, cotangente, 13 cossecante e da secante desse ângulo? 1. Seja m tal que existe um ângulo x com cos x = e tg x = m. Qual o valor de m 1? m Na figura, temos duas circunferências concêntricas coplanares. Sendo OM = PQ = cm, e 3 cm o comprimento do arco PM,qual o comprimento do arco QN? 14. O valor da expressão tg 5 π 3tg ( 10 ) é: Um triângulo tem dois dos seus ângulos internos medindo α e α, os lados opostos a estes ângulos têm 1 cm e cm de comprimento, respectivamente. O ângulo a mede: Gabarito {{1},, { },, b} 06. 1,5 07. Na primeira quinzena de junho. 08. [, 0[ ,5 11. cossec = 13 1 cos = 5 13 sec = 13 5 tang = 1 5 cotang = A escolha de quem pensa!

18 TRIGONOMETRIA II 01. Suponha que a expressão P = sen (πt) descreve de maneira aproximada a pressão sanguínea P, em milímetros de mercúrio, de uma certa pessoa durante um teste. Nessa expressão, t representa o tempo em segundos. A pressão oscila entre 0 milímetros de mercúrio acima e abaixo dos 100 milímetros de mercúrio, indicando que a pressão sanguínea da pessoa é 10 por 80. Como essa função tem um período de 1 segundo, o coração da pessoa bate 60 vezes por minuto durante o teste. a) Dê o valor da pressão sanguínea dessa pessoa em t = 0 s; t = 0,75 s. b) Em que momento, durante o primeiro segundo, a pressão sanguínea atingiu seu mínimo? 0. No dia primeiro de janeiro de 011, ocorreu a cerimônia de posse da nova Presidente da República. Um dos atos solenes desta cerimônia foi a subida da rampa do Palácio do Planalto, sede do governo brasileiro que pode ser vista na Figura abaixo. Palácio do Planalto. Disponível em: <http://pt.wikipedia.org/wiki/ Ficheiro:Palacio_do_Planalto.JPG>. Acesso em: 1/8/010. Suponha que essa rampa possua uma elevação de 15 em relação à sua base e uma altura de 3 m. Então a nova Chefe de Estado, ao subir toda a rampa presidencial, percorrerá uma distância de quantos metros? 03. Sabendo que sen 30 = 1, qual o valor de sen 15. cos15? 04. Quantas soluções a equação trigonométrica sen 4 x cos 4 x = 1 admite no intervalo fechado com extremos 0 e 35π? 05. Calcule as soluções da equação (sen x) 3. cos x sen x. (cos x) 3 = Na ilustração abaixo, temos dois retângulos congruentes com base medindo 1 cm, e altura 5 cm. Qual o inteiro mais próximo da distância, em cm, do ponto A até a horizontal? Dado: use a aproximação 3 1, O conjunto solução da equação senx. cosx = x e [0, π] é: 4, para 08. Marés são movimentos periódicos de rebaixamento e elevação de grandes massas de água formadas pelos oceanos, mares e lagos. Em determinada cidade litorânea, a altura da maré é dada pela função π h(t) = 3 + 0,. cos.t, onde é medido em horas a 6 partir da meia noite. Um turista contratou um passeio de carro pela orla dessa cidade e, para tanto, precisa conhecer o movimento das marés. Desse modo, a) qual a altura máxima atingida pela maré? b) em quais horários isto ocorre no período de um dia? 09. Analise cada uma das proposições seguintes e conclua sobre sua respectiva veracidade. (( ) Sejam x 1, x e x + 1 as medidas dos lados de um triângulo, numa dada unidade de comprimento. Se um dos ângulos internos desse triângulo mede 10, o seu perímetro, na unidade de comprimento considerada é 7,5. (( ) (sen.550 ). [tg (.115 )] + (cos ). (cotg ) > 0. (( ) Considerando que a é um número real tal que 0 < α < p, então o menor número inteiro m que satisfaz a sentença cos α = 1 3m é igual a. 5 (( ) Se a é um arco trigonométrico tal que sec a < 0 e cotg a > 0, então a pertence ao segundo quadrante. (( ) A equação cossec x =. sen x admite apenas oito soluções no intervalo [ π, π[. 10. Um turista caminhando em linha reta, ao longo da orla da praia de atalaia, vai do ponto P ao ponto Q, fazendo um percurso de 800 metros. Quando em P, ele avista um navio parado no ponto N, de tal maneira que o ângulo NPQ é de 30, e quando em Q, verifica que o ângulo NQP é de 45. Com base nessas informações, qual a distância, em metros, do navio à praia? 11. Suponha que sec α = x e tg α = x 1, então qual o valor de x? 1. Considere a função f, com domínio e contradomínio o conjunto dos números reais, dada por f(x) = 3 cos x 0 sen x, que tem parte de seu gráfico esboçado a seguir. A escolha de quem pensa! 3

19 Analise a veracidade das afirmações seguintes acerca de f: π (( ) f(x) =. sen x + 6, para todo x real. (( ) f é periódica com período π. π (( ) As raízes de f(x) são + kπ, com k inteiro. 6 (( ) f(x) 3, para todo x real. (( ) f(x), para todo x real. 13. A Figura abaixo representa uma torre de altura H equilibrada por dois cabos de comprimentos L 1 e L, fixados nos pontos C e D, respectivamente. Entre os pontos B e C passa um rio, dificultando a medição das distâncias entre esses pontos. Apenas com as medidas dos ângulos C e D e a distância entre B e D, um engenheiro calculou a quantidade de cabo (L 1 + L ) que usou para fixar a torre. O valor encontrado, usando 3 = 1,73 e BD = 10 m, é 14. Considere tga e tgβ raízes da equação x x + 1 = 0. Se 0 α + β π, então qual a medida de α + β? 15. Se sen x = 1 e x é um arco do quadrante, então qual o valor do cos x? Gabarito 01. 0,75 seg m π kπ x = +, com k inteiro ,3 cm 07. π , π, π, π a) 3, b) 0h, 1h e 4h 09. F, F, F e V ( 3 1) F, V, F, F e V , A escolha de quem pensa!

20 ANÁLISE COMBINATÓRIA E BINÔMIO DE NEWTON 01. A soma dos coeficientes do primeiro, segundo e terceiro m 1 termos do desenvolvimento de x + é 46. O termo x independente de x vale: 10. Sete cadeiras estão enfileiradas. Júnior escolhe uma delas, aleatória e com mesma probabilidade, e sentase. Em seguida, Beatriz escolhe uma das cadeiras restantes, ao acaso e com igual chance, e senta-se. Qual a probabilidade de Júnior e Beatriz estarem sentados lado a lado? 0. Considere o binômio 3x +. Calcule os seguintes x itens: a) a soma dos coeficientes do desenvolvimento. b) o termo central do desenvolvimento Aproveitando a Semana de Promoções de um Shopping Center, um jovem verifica que tem dinheiro para comprar apenas 3 dos 4 DVDs disponíveis em uma loja. De quantas maneiras diferentes esse jovem poderá fazer sua escolha? 04. Para fazer uma cama de gato, é necessário ligar com cordão, os cinco pontos de uma circunferência que constitui um conjunto. Considerando-se que existem n polígonos, cujos vértices pertencem a esse conjunto, pode-se afirmar que o valor de n é: 05. Um tanque de um pesque-pague contém apenas 15 peixes, sendo 40% destes carpas. Um usuário do pesque-pague lança uma rede no tanque e pesca 10 peixes. O número de formas distintas possíveis para que o usuário pesque exatamente 4 carpas é: 06. A importação ilegal de 9 carros esportivos foi detectada pela policia federal de um pais. Decidiu-se então, que o lote de carros iria a leilão. Os carros eram idênticos e foram leiloados um a um. De quantas maneiras diferentes esses carros podem ter sido distribuídos entre os quatro compradores que os adquiriram no leilão? 07. Uma equipe, formada por cinco estudantes, deve ser escolhida em uma turma com vinte estudantes, para participar de uma olimpíada. De quantas maneiras a equipe pode ser escolhida, se o estudante que ganhou a olimpíada no ano anterior, e que faz parte do grupo dos vinte estudantes, deve fazer parte da equipe? 08. Quatro amigos (duas moças e dois rapazes) estão se colocando lado a lado para tirar uma foto. O número de maneiras diferentes que eles poderão se organizar, de modo que as moças e os rapazes fiquem intercalados, é: 09. Segundo estudos realizados em um centro de pesquisas geológicas, a probabilidade de um terremoto ocorrer no mar de certa cidade é de 70%, e a probabilidade de ocorrer em terra é de 30%. Em ambos os casos podem ou não ocorrer danos à cidade. Se o terremoto ocorre no mar há 60% de chances de ocorrer danos à cidade. Se o terremoto ocorre em terra, a probabilidade de ocorrer danos é de 8%. Qual é a probabilidade de um terremoto ocorrer no mar e não haver danos à cidade? 11. Considerando o espaço amostral constituído pelos números de 3 algarismos distintos, formados pelos algarismos, 3, 4, e 5, assinale a opção em que consta a probabilidade de que, ao escolhermos um destes números, aleatoriamente, este seja múltiplo de Considere o conjunto de todos os números de cinco algarismos distintos, formados com os algarismos 1, 3, 5, 8 e 9. Escolhendo, aleatoriamente, um elemento desse conjunto, calcule a probabilidade de o número escolhido ser menor que o número Um construtor compra 60% das suas telhas da Companhia A e o restante da Companhia B. Suponha que 96% das telhas compradas de A são entregues sem defeito, e o mesmo ocorre com 98% das telhas de B. Se uma telha foi entregue com defeito, calcule a probabilidade percentual p% de ter sido entregue pela Companhia A. Indique p. 14. Uma gaveta contém 6 meias azuis e 4 meias pretas. Escolhendo, aleatoriamente, 4 meias da gaveta, qual a probabilidade de elas formarem um par de meias azuis e outro de meias pretas? a) 1/9 b) 1/7 c) /7 d) 3/7 e) 1/5 15. Considere três caixas contendo bolas brancas e pretas, conforme ilustra a figura. Uma bola é retirada aleatoriamente da caixa 1 e colocada na caixa. Então, uma bola é retirada aleatoriamente da caixa e colocada na caixa 3. Finalmente, uma bola é retirada aleatoriamente da caixa 3. Calcule a probabilidade de que essa última bola retirada seja branca. A escolha de quem pensa! 5

21 Gabarito a) soma = 1 b) termo central = % 10. / / 1. 65/ % 14. d 15. /45 6 A escolha de quem pensa!

22 ESTATÍSTICA 01. O gráfico ao lado representa a velocidade de um veículo durante um passeio de três horas, iniciado às 13h00. b) Juntos, gordura e ossos representam que percentual da massa desse homem? 05. Considerando a tabela abaixo, em que constam os resultados obtidos em uma eleição para prefeito de um certo município, responda os seguintes itens: Candidato Porcentagem do total de votos A 46% B 3% C 19% Número de votos em milhares Nulos e Brancos 9,75 De acordo com o gráfico, o percentual de tempo nesse passeio em que o veículo esteve a uma velocidade igual ou superior a 50 quilômetros por hora foi de: 0. Em 010, uma loja de carros vendeu 70 carros a mais que em 009. Ao lado temos um gráfico ilustrando as vendas nesses dois anos. a) Qual o total de eleitores que votaram para prefeito? b) Em um gráfico de setores circulares, qual seria a medida do ângulo central correspondente ao candidato B? 06. João Apostador passou em frente a uma lotérica e resolveu fazer uma fezinha. Entre todas as loterias disponíveis, escolheu a Mega Sena e fez uma aposta simples. Porém, ao assinalar os números cometeu um equívoco, assinalando 7 números no cartão. Sabendo que os jogos da Mega Sena são compostos de 6 números, e cada aposta com 6 números custa R$,00, qual o custo do cartão preenchido por João? Nessas condições, pode-se concluir que a média aritmética simples das vendas efetuadas por essa loja durante os dois anos foi de: 03. Em uma cidade de habitantes, aproximadamente foram vacinados contra o vírus H1N1, número muito menor do que as autoridades de saúde previam. Se tomarmos aleatoriamente 50 habitantes dessa cidade, quantos deles se espera que tenham sido vacinados contra o vírus H1N1? 07. Em uma pesquisa para saber a intenção de voto de de eleitores, foi escolhida uma amostra de.700 pessoas, o que corresponde a 0,00% do total dos eleitores. Esse percentual representa a pesquisa da opinião de duas pessoas para deduzir qual é a intenção de voto de eleitores. Qual é o valor que completa a lacuna acima, de modo a tornar a sentença verdadeira? 08. O gráfico mostra o número de gols por temporada, marcados pelo atacante brasileiro Ronaldo fenômeno, até maio de O gráfico de setores abaixo ilustra como a massa de um homem de 80 kg está distribuída entre músculos, gordura, ossos e outros. O ângulo de cada setor está mostrado em graus. Com base nesse gráfico, responda às perguntas: a) Quantos quilogramas de músculos esse homem possui? Se não for considerado o ano de 000, em que o craque esteve em tratamento de uma séria lesão no joelho e praticamente não jogou, a sua média de gols entre 1997 e 008 foi de, aproximadamente: A escolha de quem pensa! 7

23 09. O gráfico a seguir apresenta uma previsão, para os próximos dez anos, do volume de negócios, em milhões de dólares, e o crescimento das áreas dinâmicas da biotecnologia médica. Gráfico de frequência das notas atribuidas à qualidade de ensino. DIEGUEZ, Flávio. A guerra dos genes. Revista Fórum, Ano 9, ago Neste gráfico, as áreas dos círculos são proporcionais ao respectivo volume de negócios, e a área do círculo associado à Europa é proporcional a 1, dólares. Assim, sendo R o raio do círculo referente aos Estados Unidos e R 7 o raio do círculo referente à Europa, 4 calcule o valor do volume de negócios dos Estados Unidos para os próximos dez anos. 10. Em uma cidade com três mil habitantes, cada morador escova os dentes, em média, três vezes ao dia durante três minutos. Considerando que cada habitante deixa a torneira parcialmente aberta durante a escovação e desperdiça, em média, cinco gotas de água por segundo, quantos litros de água, em média, são desperdiçados a cada 30 dias nessa cidade? Dado: 1 ml = 0 gotas 11. Realizada uma pesquisa na Escola Vamos Estudar para saber o número de horas que seus alunos dormem por dia, encontrou-se o resultado apresentado no quadro a seguir: Número de horas Número de alunos Qual o tempo médio dormido pelos alunos dessa Escola? 1. O site de uma cidade criou uma enquete para que os munícipes atribuíssem notas de 1 a 10 para a qualidade do ensino ofertado na rede municipal de educação. Com as notas das 500 pessoas que responderam a enquete, os organizadores elaboraram um gráfico (conforme Figura a seguir) de frequência para divulgar o resultado. De acordo com o resultado apresentado no gráfico da figura acima, qual a média aritmética, a mediana e a moda das notas? 13. O salário médio, em reais, dos funcionários de uma empresa, conforme nos mostra a tabela de distribuição abaixo, é: Faixa Salarial (Em reais) Número de Funcionários O serviço de atendimento ao consumidor de uma concessionária de veículos recebe as reclamações dos clientes via telefone. Tendo em vista a melhoria nesse serviço, foram anotados os números de chamadas durante um período de sete dias consecutivos. Os resultados obtidos foram os seguintes: Dia Dom Seg Ter Qua Qui Sex Sáb Número de chamadas Calcule os seguintes itens: a) O número médio de chamadas dos últimos sete dias. b) O desvio padrão. 15. Uma determinada região apresentou, nos últimos cinco meses, os seguintes valores (fornecidos em mm) para a precipitação pluviométrica média: jun jul ago set out A média, a mediana e a variância do conjunto de valores acima são, respectivamente: 8 A escolha de quem pensa!

24 Gabarito % carros 03. habitantes ,5 % 05. a) 35 mil b) 115, graus 06. R$ 14,00, pois é possível formar 7 combinações , Dólares ml que corresponde a litros de água h 4 min , 6 e , a) 6 b) ; 9 e 6,8 A escolha de quem pensa! 9

25 GEOMETRIA ANALÍTICA 01. As retas (r) x + 3y 14 = 0 e (s) 3x 5y = 0 do plano cartesiano interceptam-se no ponto P. Qual a distância do ponto P até a origem do sistema de coordenadas? 0. A reta t do plano cartesiano passa pelo ponto ( 8, 0) e tangencia a circunferência de equação (x 5) + y = 5 num ponto do 1º quadrante, como representado no esquema. 07. O quádruplo da área de um triângulo de vértices B(0, 1), C(1, ) e D( 3, 1) é: 08. A equação reduzida da reta que intercepta o eixo y no ponto (0, 4) e o eixo x no ponto (, 0), é: 09. Considerando-se os pontos M( 3, 4), N( 1, 1) e Q(1, 4), pode-se afirmar que uma equação da reta que contém a altura relativa ao lado MN, do triângulo MNQ, é: 10. Observe o gráfico. Qual o coeficiente angular da reta t? 03. Em um sistema ortogonal de coordenadas cartesianas, com unidades nos eixos medidas em centímetro e com origem no ponto Q(0, 0), as retas 3x + y 18 = 0 e x y + 8 = 0 interceptam os eixo-x e eixo-y respectivamente nos pontos R e S. Se estas retas se interceptam no ponto P, a medida da área do quadrilátero convexo cujos vértices são os pontos P, R, Q e S, em cm, é: 04. Qual o perímetro de um triângulo de vértices D(, 0), E(0, 4) e F(0, 4)? 05. Na figura a seguir, os pontos A, B estão no gráfico das x funções y = x 1 e y = e os segmentos AD e BC são paralelos ao eixo y. O perímetro do quadrilátero ABCD, em cm, é: Qual a Lei de formação da função? 11. O gráfico a seguir mostra as posições, em função do tempo, de dois ônibus que partiram simultaneamente. O ônibus A partiu de Cuiabá para Jaciara e o ônibus B partiu de Jaciara para Cuiabá. As distâncias são medidas a partir de Cuiabá. A que distância de Cuiabá, em quilômetros, ocorre o encontro entre os dois ônibus? 06. Os gráficos da função quadrática f (x) = 4 x e da reta r estão representados a seguir. Então r tem equação: 10 A escolha de quem pensa!

26 1. São dados os pontos A = (0,0) e B = (6,8). a) Escreva a equação reduzida da circunferência que tem centro no ponto médio do segmento AB e contem os pontos A e B: b) Encontre as coordenadas do ponto P, distinto de A, no qual a circunferência intercepta o eixo y. 13. A figura abaixo mostra uma circunferência tangente ao eixo y, com centro C sobre o eixo x e diâmetro de 10 unidades. 06. x y + = y = x x 3y + 10 = x 19 y = Km 1. a) (x 3) + (y 4) = 5 b) (0,8) 13. a) 30 b) (5,5) (4,1) a) Sabendo que A + (8,4) e que r : 3y + x = 0 é a reta que passa por A e B, calcule a área do triângulo CAB. b) Encontre as coordenadas do ponto D. 14. O retângulo ABCD está inscrito na circunferência de equação x + y x 4y 8 = 0. Seja A (, 4) um dos vértices da diagonal AC. Então qual a soma das coordenadas do vértice C? 15. Um balão de ar quente foi lançado de uma rampa inclinada. Utilizando o plano cartesiano, a figura descreve a situação de maneira simplificada. Ao ser lançado, o balão esticou uma corda presa aos pontos P e Q, mantendo-se fixo no ar. Quais as coordenadas do ponto P? Gabarito ( + 5) u.a A escolha de quem pensa! 11

27 GEOMETRIA ANALÍTICA II 01. Considerando-se 3x + y 1 = 0 e x 3y + 8 = 0 equações cartesianas das retas suportes das diagonais de um quadrado que tem um dos vértices no ponto P (3, 1), pode-se afirmar que uma equação cartesiana da circunferência circunscrita a esse quadrado é: de distância, rio acima, com velocidade média de 0 a 30 km/h, para preparar seus órgãos sexuais para a desova. Supondo-se que um determinado Dourado tenha se deslocado por 65 km até o ponto de desova com velocidade constante de 5 km/h, de acordo com a curva de deslocamento s (em quilômetros) em relação ao tempo t (em horas) abaixo. 0. Dado o ponto P(3, 6) e a reta r de equação y = x 15, então a equação da reta que passa por P e forma com a reta r um ângulo de 90 é: 03. A equação da circunferência com raio r = cm e que tem centro no ponto S de encontro das retas y x 1 = 0 e y + x 3 = 0, corta o eixo-y nos pontos A e B. Dessa forma, sendo as medidas em centímetros, qual a distância entre os pontos A e B? 04. Uma corda AB da circunferência de equação (x 4) + (y 5) = 16 tem ponto médio (6, 7). Se α é o ângulo que a reta suporte de AB forma com o eixo x, então tg α é: 05. Seja (a, b) o ortocentro do triângulo com vértices nos pontos com coordenadas (5, 1), (7, ) e (1, 3). Qual o valor de 4a b? 06. Sendo A (, 1) e B (5, 3) dois vértices de um triângulo no plano cartesiano, qual o lugar geométrico do terceiro vértice C, para que a área do triângulo ABC seja 10 (unidades de área)? 07. Duas circunferências C 1 e C são dadas, respectivamente pelas equações x + y 4x y 4 = 0 e x + y 1x + 4y + 36 = 0. Qual a posição relativa a respeito dessas circunferências? 08. Um quadrado inscrito na circunferência de equação x + y 4x + 6y 1 = 0 tem x unidades de área. Com base nessas informações, qual o valor de x? 09. Na feira de artesanato em Maceió ou no mercado municipal em Aracaju, são colocadas à venda peças interessantes confeccionadas pelos artistas ou artesãos regionais. Dentre elas, destaca-se uma mandala composta de duas circunferências, tais que a circunferência L 1 tem centro no ponto (, 3) e é tangente exteriormente à circunferência L de equação x + y 1x 6y 4 = 0. Com base nessas informações, qual a medida, em u.c., do raio de L 1? 10. O Dourado é um dos peixes mais conhecidos e apreciados pela população mato-grossense. É um peixe de piracema que na época de reprodução necessita percorrer de 500 a km (varia conforme a espécie) a) Qual a função que define a reta acima? b) Qual a posição no instante 18 horas? 11. Qual o comprimento da corda que a reta y = x determina na circunferência de equação ( x + ) + ( y ) = 16? 1. Sejam as retas r: 3x + 4y + k = 0 e a circunferência x + y x 4y 0 = 0. Se a reta r determina sobra a circunferência uma corda de comprimento 8, então qual o valor de k? 13. As retas r e s tangenciam a circunferência de equação x + y 4x + 3 = 0 respectivamente nos pontos P e Q e passam pelo ponto O(0,0). Qual a medida do ângulo POQ? 14. Qual a menor distância entre a reta de equação 3x 4y + 8 = 0 e a circunferência de centro (1, 1) e raio 1? 15. No plano cartesiano Oxy, a circunferência C tem centro no ponto A = ( 5, 1) e é tangente à reta de equação 4x 3y = 0 em um ponto P. Determine as coordenadas do ponto P. 01. (x + 1) + (y ) = 5 0. x + y 15 = cm Gabarito 06. Um par de retas paralelas ao segmento AB. 1 A escolha de quem pensa!

28 07. C 1 e C se tangenciam exteriormente a) y = 5x b) , ou ( 1, ) A escolha de quem pensa! 13

29 Matemática 3 GEOMETRIA PLANA 01. A bandeira do Brasil, hasteada na Praça dos Três Poderes, em Brasília, é uma das maiores bandeiras hasteadas do mundo. A figura abaixo indica as suas medidas de acordo com as normas oficiais. a) Se o retângulo tiver a medida da altura igual a um terço da medida da base, qual é a sua área? b) Se a medida da base do retângulo inscrito for x, obtenha uma expressão da área do retângulo em função de x. c) Calcule a maior área possível desses retângulos inscritos. 04. Um canteiro de flores possui 5 m de área e tem o formato de um triângulo retângulo. Esse triângulo foi dividido em cinco partes, por segmentos de reta igualmente espaçados e paralelos a um dos catetos, conforme indica a figura abaixo. Qual é a área do trapézio hachurado indicado na figura? a) Sabendo-se que o raio do círculo azul da bandeira da Praça dos Três Poderes mede 3,5 m, quanto mede a área da região amarela visível dessa bandeira? Sugestão: use π = 3,14. b) Deseja-se construir uma bandeira do Brasil com o lado maior do retângulo medindo m e nas mesmas proporções da bandeira da Praça dos Três Poderes. Qual será a medida da região amarela visível dessa outra bandeira? 0. A figura abaixo mostra um quadrado ABCD no qual os segmentos BC e EC medem 4 cm e 1 cm, respectivamente. 05. Um terreno possui o formato de um triângulo cujos catetos medem 60 m e 30 m. O proprietário pretende construir nesse terreno uma casa de planta retangular, de modo que os dois lados do retângulo fiquem sobre os catetos e um vértice do retângulo pertença a hipotenusa, como na figura abaixo. Nessas condições, obtenha: a) Calcule o perímetro do triângulo de vértices A, E e C. b) Calcule o seno e o cosseno do ângulo α. 03. Num triângulo ABC com 18 cm de base e 1 cm de altura, é inscrito um retângulo com a sua base sobre o lado AB, conforme a figura abaixo. a) A área do retângulo cuja base x mede 30 m. b) A expressão que fornece a área do retângulo em função da medida variável x. c) O valor de x para o qual se tem o retângulo de maior área. 06. Considere a figura na qual a curva que contém os pontos A, B, C é uma semicircunferência de raio r e a curva que contém os pontos A, D, C é um arco de circunferência de raio r. Obtenha a expressão da área limitada pelas duas curvas, em função de r. Explique os procedimentos usados. A escolha de quem pensa! 1

30 07. Nesta figura plana, PQR é um triângulo equilátero de lado a e, sobre os lados desse triângulo, estão construídos os quadrados ABQP e EFPR: 10. Um disco desloca-se no interior de um quadrado, sempre tangenciando pelo menos um dos seus lados. Uma volta completa do disco ao longo dos quatro lados divide o interior do quadrado em duas regiões: a região A dos pontos que foram encobertos pela passagem do disco e a região B dos pontos que não foram encobertos. O raio do disco mede cm e o lado do quadrado mede 10 cm. Considerando essas informações, a) Determine o perímetro do hexágono ABCDEF. b) Determine a área do hexágono ABCDEF. c) Determine o raio da circunferência que passa pelos vértices do hexágono ABCDEF. 08. Para irrigar uma região retangular R de dimensões l x 3l, um irrigador giratório é acoplado a uma bomba hidráulica por meio de um tubo condutor de água. A bomba é instalada em um ponto B. Quando o irrigador é colocado no ponto C, a uma distância 3l/ do ponto B, ele irriga um círculo de centro C e raio l (veja figura). Determine a área da região B. 11. Considere um setor circular AOC, cujo ângulo central q é medido em radianos. A reta que tangencia o círculo no extremo P do diâmetro CP encontra o prolongamento do diâmetro AB em um ponto Q, como ilustra a figura. a) Calcule a área da porção irrigada de R quando o irrigador está no ponto C. b) Admitindo que o raio da região irrigada seja inversamente proporcional a distância do irrigador até a bomba, calcule o raio da região irrigada quando o irrigador é colocado no centro da região retangular R. 09. O triângulo ABC da figura a seguir tem ângulo reto em B. O segmento BD é a altura relativa a AC. Os segmentos AD e DC medem 1 cm e 4 cm, respectivamente. O ponto E pertence ao lado BC e BC = 4EC. Sabendo que o ângulo q satisfaz a igualdade tgq = q, calcule a razão entre a área do setor AOC e a área do triângulo OPQ. 1. Na figura a seguir, os segmentos AB e CD são paralelos, o ângulo OAB mede 10, AO = 3 e AB =. Sabendo-se ainda que a área do triângulo OCD vale 600 3, Determine o comprimento do segmento DE. a) calcule a área do triângulo OAB. b) determine OC e CD. A escolha de quem pensa!

31 13. A figura representa um trapézio ABCD de bases AB e CD, inscrito em uma circunferência cujo centro O está no interior do trapézio. Sabe-se que AB = 4, CD = e AC = 3. a) Determine a altura do trapézio. b) Calcule o raio da circunferência na qual ele está inscrito. c) Calcule a área da região exterior ao trapézio e delimitada pela circunferência. 14. Em um triângulo com vértices A, B e C, inscrevemos um círculo de raio r. Sabe-se que o ângulo  tem 90 e que o círculo inscrito tangencia o lado BC no ponto P, dividindo esse lado em dois trechos com comprimentos PB = 10 e PC = 3. a) Determine r. b) Determine AB e AC. c) Determine a área da região que é, ao mesmo tempo, interna ao triângulo e externa ao círculo. 07. a) ED = 3a( 3 +1) b) S = a ( 3 +3) 4+ 3 c) a 3 l π b) r = l a) ( ) (5 π) cm a) 3 3 b) OC = 60 OD = a) h = 3 b) 5 c) S = 5π a) r = b) AB = 1 AC = 5 c) S = 30 4π 15. a) DO = 5 cm EO = 7 cm FO = 7 cm b) EF = 7 ED = 9 DF = Um triângulo retângulo de vértices A, B e C é tal que AC = 6 cm, AB = 8 cm e BC = 10 cm. Os segmentos AC, AB e BC também são lados de quadrados construídos externamente ao triângulo ABC. Seja O o centro da circunferência que circunscreve o triângulo e sejam D, E e F os centros dos quadrados com lados BC, AC e AB, respectivamente. a) Calcule os comprimentos dos segmentos DO, EO e FO. b) Calcule os comprimentos dos lados do triângulo de vértices D, E e F. 01. a) 49,515 m b) 0,49515 m 0. p = ( + 3) sen α = 03. a) S = 48 cm x b) S(x) = + 1x 3 c) S máx = 54 cm 04. S = 1 m 05. a) S = 450 m x b) S(x) = 30x c) x = 30 m r 06. S = ( 6 3 π) 6 Gabarito 10 e cos α = 7 10 A escolha de quem pensa! 3

32 GEOMETRIA ESPACIAL I 01. Uma calha será construída a partir de folhas metálicas em formato retangular, cada uma medindo 1 m por 40 cm. Fazendo-se duas dobras de largura x, paralelas ao lado maior de uma dessas folhas, obtém-se três faces de um bloco retangular, como mostra a figura abaixo. a) Sabendo que o perímetro do triângulo DBV é igual a (6 + 3), qual é a altura da pirâmide? b) Qual é o volume e a área total da pirâmide? 05. Sejam AB, BC e AC diagonais das faces de um cubo de aresta 10 cm, conforme a figura abaixo. a) Obtenha uma expressão para o volume desse bloco retangular em termos de x. b) Para qual valor de x o volume desse bloco retangular será máximo? 0. Uma caixa de papel em forma de bloco retangular está sendo projetada de modo a ter altura e comprimento de mesma medida e largura 3 cm maior que seu comprimento. Quais as dimensões dessa caixa para que seu volume seja 00 cm 3? 03. Considere um cubo no qual a aresta tem medida a e cujos vértices são designados por letras, como está indicado na figura abaixo. M é o ponto médio da aresta AB e N é ponto médio da aresta BC. Calcule o volume do sólido MNDE, em função de a. Explique os procedimentos usados. a) Calcule a área do triângulo ABC. b) Calcule a área total da pirâmide ABCD. c) Calcule o volume da pirâmide ABCD. 06. Num cubo de aresta N, inscreve-se um hexágono regular, cujos vértices são pontos médios das arestas do cubo. Ache a expressão da área do hexágono em função de N, explicando os procedimentos usados. 07. A pirâmide ABCD é tal que as faces ABC, ABD e ACD são triângulos retângulos cujos catetos medem a. Considere o cubo de volume máximo contido em ABCD tal que um de seus vértices seja o ponto A, como ilustra a figura a seguir. Determine a medida da aresta desse cubo em função de a. 04. Na figura abaixo, está representada uma pirâmide de base quadrada que tem todas as arestas com o mesmo comprimento. 08. Pretende-se fabricar uma caixa com faces retangulares e ângulos retos, aberta em cima, com um volume de 10 m 3 (conforme figura a seguir). O comprimento de um dos lados da base deve ser o dobro do comprimento do outro lado. O material para construir a base custa R$ 10,00 por metro quadrado, ao passo que o material para construir as laterais custa R$ 6,00 por metro quadrado. 4 A escolha de quem pensa!

33 11. No cubo ABCDEFGH considere o ponto P na aresta AE satisfazendo AP = 3PE. Sabendo que PG mede 33 cm, calcule o volume do cubo. a) Se o lado p mede metros, quanto vale n? b) Com os valores do item (a), calcule o custo de construção da caixa. c) Encontre o custo de construção da caixa em função de p. 09. Uma pirâmide de base quadrada é seccionada por um plano paralelo à sua base, distante m dela. A área total da pirâmide menor, obtida pela secção, é igual à metade da área total da pirâmide original. a) Calcule a altura da pirâmide original. b) Calcule o volume do tronco de pirâmide obtido pela secção para o caso em que a aresta da base da pirâmide maior mede 3 m. 10. Prevenindo-se contra o período anual de seca, um agricultor pretende construir uma cisterna fechada, que acumule toda a água proveniente da chuva que cai sobre o telhado de sua casa, ao longo de um período de um ano. As figuras e o gráfico representam as dimensões do telhado da casa, a forma da cisterna a ser construída e a quantidade média mensal de chuva na região onde o agricultor possui sua casa. 1. Em uma estrada de ferro, os dormentes e os trilhos são assentados sobre uma base composta basicamente por brita. Essa base (ou lastro) tem uma seção trapezoidal, conforme representado na figura a seguir. A base menor do trapézio, que é isósceles, tem m, a base maior tem,8 m e as arestas laterais têm 50 cm de comprimento. Supondo que um trecho de 10 km de estrada deva ser construído, responda às seguintes questões. a) Que volume de brita será gasto com o lastro nesse trecho de ferrovia? b) Se a parte interna da caçamba de um caminhão basculante tem 6 m de comprimento,,5 m de largura e 0,6 m de altura, quantas viagens de caminhão serão necessárias para transportar toda a brita? 13. Um poliedro é construído a partir de um cubo de aresta a > 0, cortando-se em cada um de seus cantos uma pirâmide regular de base triangular equilateral (os três lados da base da pirâmide são iguais). Denote por x, 0 < x a, a aresta lateral das pirâmides cortadas. Sabendo que 100 milímetros de chuva equivalem ao acúmulo de 100 litros de água em uma superfície plana horizontal de 1 metro quadrado, determine a profundidade (h) da cisterna para que ela comporte todo o volume de água da chuva armazenada durante um ano, acrescido de 10% desse volume. a) Dê o número de faces do poliedro construído. b) Obtenha o valor de x, 0 < x a, para o qual o volume do poliedro construído fique igual a cinco sextos do volume do cubo original. A altura de cada pirâmide cortada, relativa a base equilateral, é x 3. A escolha de quem pensa! 5

34 14. Um octaedro é um poliedro regular cujas faces são oito triângulos equiláteros, conforme indicado na figura. c) a 6 3 3( 3 ) cm Para um octaedro de aresta a: a) Qual é a sua área total? b) Qual é o seu volume? c) Qual é a distância entre duas faces opostas? 15. Considere uma pirâmide regular de base hexagonal, cujo apótema da base mede 3 cm. Secciona-se a pirâmide por um plano paralelo à base, obtendo-se um tronco de volume igual a 1 cm 3 e uma nova pirâmide. Dado que a razão entre as alturas das pirâmides é 1, calcule a altura do tronco. Gabarito 01. a) V = x + 0,4x b) x = 10 cm 0. a) 5 x 5 x 8 cm 03. a 3 V = a) h = 3 b) V = a) S = 50 3 cm e St = 9 ( 3 + 1) b) ST = 50( 3 + 3) cm c) V = cm a a a) 1,5 m b) R$ 170,00 c) 0p p 09. a) (4 + )m b) V = (9 + 3 )m ,7 m 11. V = 64 m 3 1. a) 7.00 m 3 b) a) 14 b) x = a 14. a) a 3 b) V= 3 a 3 6 A escolha de quem pensa!

35 GEOMETRIA ESPACIAL II 01. Uma jarra de vidro em forma cilíndrica tem 15 cm de altura e 8 cm de diâmetro. A jarra está com água até quase a borda, faltando 1 cm de sua altura para ficar totalmente cheia. a) Se uma bolinha de gude de cm de diâmetro for colocada dentro dessa jarra, ela deslocará que volume de água? b) Quantas bolinhas de gude de cm de diâmetro serão necessárias para fazer com que a água se desloque até a borda superior da jarra? 0. Um cilindro está inscrito em um cubo, conforme sugere a figura abaixo. Sabe-se que o volume do cubo é 56 cm Seja um cilindro circular reto de altura h e base de raio r. Considere as duas hipóteses seguintes: 1. O raio r é aumentado de 0 metros e a altura é mantida.. O raio r é mantido e a altura h é multiplicada por 4. Em cada uma das hipóteses há um acréscimo no volume do cilindro. Sabendo que estes acréscimos são iguais, ache o raio r em metros. 06. Um cone circular reto cuja altura forma um ângulo de 30 com a geratriz está inscrito numa esfera de raio R. Ache a expressão do volume do cone em função de R, detalhando os procedimentos usados. 07. Considerando que um cilindro circular reto de altura x seja inscrito em uma esfera oca de 0 cm de raio, obtenha a expressão do volume do cilindro em função de x. 08. O volume de um cone reto é 1.04π cm 3. Se a altura, o raio da base e a geratriz desse cone formam, nessa ordem, uma progressão aritmética, então calcule a medida da geratriz, em centímetros, e assinale o valor obtido no cartão-resposta. a) Calcule o volume do cilindro. b) Calcule a área total do cilindro. 03. A parte superior de uma taça tem o formato de um cone, com as dimensões indicadas na figura. 09. Uma peça esférica de madeira maciça foi escavada, adquirindo o formato de anel, como mostra a figura a seguir. Observe que, na escavação, retirou-se um cilindro de madeira com duas tampas em formato de calota esférica. Sabe-se que uma calota esférica tem volume πh V cal = (3R h), em que h é a altura da calota e R 3 é o raio da esfera. Além disso, a área da superfície da calota esférica (excluindo a porção plana da base) é dada por A cal =πrh. Atenção: não use um valor aproximado para π. a) Qual o volume de líquido que essa taça comporta quando está completamente cheia? b) Obtenha uma expressão para o volume V de líquido nessa taça, em função da altura x indicada na figura. 04. Considere um trapézio ABCD no qual os ângulos com vértices A e B são retos, a medida do lado AB é x, que é igual a do lado BC e é o triplo da medida do lado AD. Determine, em função de x, a expressão do volume do sólido de revolução obtido quando a região plana limitada pelo trapézio gira em torno do lado BC. a) Supondo que h = R, determine o volume do anel de madeira, em função de R. b) Depois de escavada, a peça de madeira receberá uma camada de verniz, tanto na parte externa, como na interna. Supondo, novamente, que h = R, determine a área sobre a qual o verniz será aplicado. A escolha de quem pensa! 7

36 10. Um cilíndro circular reto é inscrito em um cone, de modo que os eixos desses dois sólidos sejam colineares, conforme representado na ilustração a seguir. Sabendo que a extensão do túnel é de 000 m, que AB = 4 3m e que 3R = 6m, determine o volume aproximado de terra, em m 3, que foi retirado na construção do túnel. Dados: 3 π 1,05 e 3 1,7. A altura do cone e o diâmetro da sua base medem, cada um, 1 cm. Admita que as medidas, em centímetros, da altura e do raio do cilíndro variem no intervalo ]0;1[ de modo que ele permaneça inscrito nesse cone. Calcule a medida que a altura do cilindro deve ter para que sua área lateral seja máxima. 11. Numa região muito pobre e com escassez de água, uma família usa para tomar banho um chuveiro manual, cujo reservatório de água tem o formato de um cilindro circular reto de 30 cm de altura e base com 1 cm de raio, seguido de um tronco de cone reto cujas bases são círculos paralelos, de raios medindo 1 cm e 6 cm, respectivamente, e altura 10 cm, como mostrado na figura. Por outro lado, numa praça de uma certa cidade há uma torneira com um gotejamento que provoca um desperdício de 46,44 litros de água por dia. Considerando a aproximação π = 3, determine quantos dias de gotejamento são necessários para que a quantidade de água desperdiçada seja igual à usada para 6 banhos, ou seja, encher completamente 6 vezes aquele chuveiro manual. Dado: cm 3 = 1 litro. 1. Na construção de uma estrada retilínea foi necessário escavar um túnel cilíndrico para atravessar um morro. Esse túnel tem seção transversal na forma de um círculo de raio R seccionado pela corda AB e altura máxima h, relativa à corda, conforme figura a seguir. 13. A circunferência inscrita num triângulo equilátero com lados de 6 cm de comprimento é a interseção de uma esfera de raio igual a 4 cm com o plano do triângulo. Determine a distância do centro da esfera aos vértices do triângulo. 14. Num cilíndro circular reto sabe-se que a altura h e o raio da base r são tais que os números π, h e r formam, nesta ordem, uma progressão aritmética de soma 6π. Calcule a área total do cilíndro. 15. Uma esfera de raio 5 cm é seccionada por um plano a 3 cm do centro. Calcule: a) a área da calota esférica obtida na esfera; b) a área do fuso esférico de 30, contido na esfera; c) o volume da cunha esférica de 45, contida na esfera. 01. a) 4 π cm 3 3 b) 1 0. a) V = 64π cm 3 b) S t = 48π 3 cm 03. a) 16πm 3 x 3 π b) πx V = r = 0 cm πr V = 8 πx 1600 x 07. V = ( ) πr a) 6 b) S = ( + 3)πR dias m cm π a) Sc = 0π cm b) S = 5 π cm 3 c) Vc = 15 π cm 3 6 Gabarito 8 A escolha de quem pensa!

37 GEOMETRIA ANALÍTICA I 01. Um losango do plano cartesiano Oxy tem vértices A(0, 0), B(3, 0), C(4, 3) e D(1, 3). a) Determine a equação da reta que contém a diagonal AC. b) Determine a equação da reta que contém a diagonal BD. c) Encontre as coordenadas do ponto de interseção das diagonais AC e BD. Nessas condições: a) Encontre a projeção Q do ponto P ; b) Encontre as coordenadas do ponto P, pertencente ao círculo, cuja projeção é o ponto Q = (3,0). 04. Um sólido de revolução é um objeto obtido a partir da rotação de uma figura plana em torno de um dos eixos coordenados. Por exemplo, rotacionando-se um retângulo em torno do eixo y, pode-se obter um cilindro, como na figura abaixo. 0. Seja M o ponto médio do segmento OB e N o ponto médio do segmento OC, sendo B = (0, ) e C = (, 0), conforme figura abaixo. Considere agora a região R do primeiro quadrante do plano xy delimitada pelas retas r 1 : y = x, r : x = 0 e r 3 : x = 1 e pela circunferência Y: x + (y 4) = 1. a) Utilize os eixos cartesianos abaixo para fazer um esboço da região R e do sólido de revolução obtido pela rotação dessa região em torno do eixo y. a) Encontre a equação da reta r determinada pelos pontos B e N e a equação da reta s determinada pelos pontos C e M. b) Encontre as coordenadas do ponto P de interseção das retas r e s. c) Demonstre que a distância de P até B é o dobro da distância de P até N. 03. A projeção esfereográfica é um método de projetar pontos de um círculo sobre uma reta que pode ser utilizado na confecção de mapas (situação em que os círculos são os meridianos do globo terrestre). Suponha que y é o círculo de raio 1 centrado na origem do plano xy, N = (0,1) é um ponto fixado e P = (a,b) é um ponto qualquer do círculo y distinto de N. A projeção esfereográfica do ponto P é a interseção da reta r determinada por N e P com o eixo x, representada pelo ponto Q na figura abaixo. b) Encontre o volume do sólido de revolução obtido no item acima. 05. No sistema cartesiano ortogonal Oxy, considere a circunferência de centro C = (4, 3) e raio r = 5. a) Encontre a equação cartesiana da circunferência. b) Encontre as coordenadas dos pontos de interseção da circunferência com o eixo Oy. c) Seja P o ponto de interseção da circunferência com o eixo Oy, de ordenada positiva. Encontre a equação da reta que tangencia a circunferência nesse ponto P. 06. Em uma folha de fórmica retangular ABCD com 15 cm de comprimento AB por 10 dm de largura AD um marceneiro traça dois segmentos de reta, AE e BD. No ponto F onde o marceneiro pretende fixar um prego, ocorre a interseção desses segmentos. A figura a seguir representa a folha de fórmica no primeiro quadrante de um sistema de eixos coordenados. A escolha de quem pensa! 9

38 Considerando a medida do segmento EC igual a 5 dm determine as coordenadas do ponto F. 07. Sejam P = (a, b), Q = (1, 3) e R = ( 1, 1) pontos do plano. Se a + b = 7, determine P de modo que P, Q e R sejam colineares. 15. A secção meridiana de um cone circular reto está representada em um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais no plano; nessa representação, o vértice do cone é o ponto P (3, 1), a reta suporte do diâmetro da base tem equação x + 1 = 0 e a reta suporte de uma das geratrizes tem equação 3x + 4y 5 = Dada a reta r : y = x do plano cartesiano xy, determine a equação da reta s, a qual é paralela à r, e está, de r, a uma distância igual a 1 e não intercepta o quarto quadrante do plano cartesiano. Calcule o valor do quociente 3V do cone. π Gabarito, sendo V o volume 09. Considerando que os pontos A (1; 1), B (3; 5) e C (; 8) são vértices de um triângulo ABC. Com relação a esse triângulo, determine: a) A equação da reta suporte da mediana relativa ao lado AB. b) A equação da mediatriz do lado AB. 10. As retas de equações y = ax + b e y = cx são ilustradas na figura a seguir. Sabendo que o coeficiente b é igual à média aritmética dos coeficientes a e c, a) expresse as coordenadas dos pontos P, Q e R em termos dos coeficientes a e b; b) determine a, b e c, sabendo que a área do triângulo OPR é o dobro da área do triângulo ORQ e que o triângulo OPQ tem área a) y = 3 x b) y = x + c) P (; 3 ) 0. a) (r): x + y = 0 (s): x + y = 0 b) P ; a) Q ( + 1; 0) 3 4 b) P ; a) -- b) V = 8 π a) (x 4) + (y 3) = 5 b) (0; 0) e (0; 6) c) (t): 4x 3y + 18 = F (6; 6) 07. P (; 5) 08. s: y = x a) x + 6y 0 = 0 b) x + y 8 = b a) P ;0 a, Q (0; b) e R b b(b a) ; b a b a b) a = 8, b = 4 e c = a) duas retas b) x y + 1 = 0 e x + y 1 = Seja dada a reta x 3y + 6 = 0 no plano xy. a) Se P é um ponto qualquer desse plano, quantas retas do plano passam por P e formam um ângulo de 45 com a reta dada acima? b) Para o ponto P com coordenadas (, 5), determine as equações das retas mencionadas no item (a). 1. S = 15 ua q = arctg Considere no plano cartesiano xy o triângulo delimitado pelas retas x = y, x = y e x = y A área desse triângulo mede: 13. Seja o ponto A ( ; 3) um dos vértices de um triângulo. Sabendo que o lado oposto a este vértice está situado sobre a reta que contém o ponto P ( 3; 4) e é paralelo à reta determinada pelos pontos M (; ) e N (6; 1), calcular a medida da altura do triângulo baixada a partir de A. 14. Calcule e o ângulo agudo formado pelas retas (r)x = 3t e y = 4t e (s) x + y = A escolha de quem pensa!

39 GEOMETRIA ANALÍTICA II 01. A figura abaixo mostra uma circunferência tangente ao eixo y, com centro C sobre o eixo x e diâmetro de 10 unidades. 08. No plano cartesiano, considere o círculo S descrito pela equação cartesiana x + y = 5 e a reta r descrita pela equação cartesiana y = x. Assim, r intersecta S nos pontos A e B. Considerando uma nova reta h, descrita pela equação cartesiana y = x + 1, esta reta intersecta S nos pontos A e C. a) Determine os pontos A, B e C. b) Determine a área de triângulo de vértices A, B e C. 09. Os pontos ( 6, ), ( 3, 1), e ( 5, 5) pertencem a uma circunferência. Determine o raio dessa circunferência. a) Sabendo que A = (8,4) e que r : 3y + x = 0 é a reta que passa por A e B, calcule a área do triângulo CAB. b) Encontre as coordenadas do ponto D, indicado na figura acima, no qual a reta r intercepta a circunferência. 0. São dados os pontos A = (0,0) e B = (6,8) no plano cartesiano Oxy. a) Escreva a equação reduzida da circunferência a que tem centro no ponto médio do segmento AB e contém os pontos A e B. b) Encontre as coordenadas do ponto P, distinto de A, no qual a circunferência α intercepta o eixo y. 03. Ache a equação da circunferência que passa pelos pontos A (3, 1), B (1, 5) e tem centro sobre a reta de equação x + y + 1 = No plano cartesiano, ache a equação da circunferência que tem centro no ponto médio do segmento de extremidades A (6; 4) e B ( ; ) e é tangente à reta que contém os pontos C (; 6) e D ( 1; ). 05. Uma circunferência de perímetro P 1 e centro na origem do sistema de coordenadas, é tangente a uma circunferência de perímetro P e de equação x + y 16x 1y + 36 = 0. P Se P > P 1, calcular o valor de P1 06. Determinar o maior valor inteiro de k a fim de que x + y 6x + 10y + k = 0 seja equação de uma circunferência de raio não nulo. 07. Os vértices de um triângulo são: o centro da circunferência de equação x + y 6x 8y = 0 e os pontos de intersecção dessa circunferência com a reta que passa pela origem e tem coeficiente angular 1/7. Calcule: a) a área do triângulo; b) o perímetro do triângulo; c) classifique o triângulo quanto aos lados. 10. No plano cartesiano Oxy, a circunferência C tem centro no ponto A = ( 5, 1) e é tangente à reta t de equação 4x 3y = 0 em um ponto P. Seja ainda Q o ponto de intersecção da reta t com o eixo Ox. Assim: a) Determine as coordenadas do ponto P. b) Escreva uma equação para a circunferência C. c) Calcule a área do triangulo APQ. 11. No plano cartesiano, seja λ a circunferência de centro C = (3,5) e raio 4 e seja r a reta de equação y = x + 6. a) Determine todos os valores de x para os quais o ponto P = (x, y) pertence à reta r e está no interior da circunferência λ. b) Encontre a equação cartesiana da circunferência λ 1 oncêntrica à circunferência λ e tangente à reta r. 1. Considerando, no sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, a circunferência de equação x + y + 6x 1y + 5 = 0 e a reta de equação x + y + 8 = 0, a) obtenha a equação da reta que contém o centro da circunferência e é paralela à reta dada; b) calcule as coordenadas do ponto de intersecção da reta dada com a reta tangente à circunferência no ponto P (1, 4). 13. Uma circunferência tem centro no ponto (6; 0) do sistema de coordenadas cartesianas ortogonais e passa pelo ponto de intersecção das retas x + y 7 = 0 e x y = 0. Obtenha a equação da circunferência, explicando os procedimentos usados. 14. Em um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, a equação de uma circunferência é: x + y 6x + y = 0. Calcule a área do triângulo cujos vértices são o centro da circunferência e os pontos de intersecção da reta de equação x + y 10 = 0 com a circunferência. Explique os procedimentos usados. 15. São dados os pontos A = (1, 3), B = (4, 1) e C = (6, 4) no plano cartesiano Oxy. a) Usando coeficientes angulares, mostre que a reta r, que contém os pontos A e B, é perpendicular à reta s, que contém os pontos B e C. A escolha de quem pensa! 11

40 b) Sabendo que A, B, C e D são vértices de um quadrado, encontre as coordenadas do ponto D. c) Escreva a equação da circunferência que contém os pontos A, B, C e D. Gabarito 01. a) S = 30 b) A (8; 4) D (5; 5) 0. a) (x 3) + (y 4) = 5 b) P (0; 8 ) 03. (x + ) + (y 1) = (x ) + (y + 1) = 9 P P = a) S = 5 ua b) p = (10 5 ) uc c) isosceles 08. a) A (1; ) B (1; ) C ( ; 1) b) S = 3 ua 10. a) P ( 1; ) b) (x + 5) + (y 1) = 5 c) S = 5 4 ua 11. a) 7 < x < + 7 b) y = 4 x 3 1. a) x + y = 0 5 b) ; x + y 1x + 11 = S = 5 ua 15. a)-- b) D (3; 6) c) x + y = 4 1 A escolha de quem pensa!

41 NÚMEROS COMPLEXOS 01. Considere os números complexos z = 1 + i e z = 1 i e sendo i = 1 a unidade imaginária. a) Escreva os números z 3 e z 4 na forma x + iy. b) Sabendo que z, z e são raízes do polinômio P(x) = x 3 + ax + bx + c, calcule os valores de a, b e c. 0. Considere os números complexos z = cos 18 π + isen 18 π a) Mostre que o produto z. w é igual a 3 + i b) Mostre que z 18 é igual a 1. π π 03. Sejam os números complexos z = cos + isen 3 3 e w = i 3 + i + i. Achar y = z 6 + w Os números complexos distintos z e w são tais que z + w = 1 e z. w = 1. a) Calcule z b) Calcule o valor z 4 + w 4 sabendo-se que z está no primeiro quadrante do plano complexo. 10. No jogo Batalha Complexa são dados números complexos z e w, chamados mira e alvo respectivamente. O tiro certeiro de z em w é o número complexo t tal que tz = w. 04. Considerando o número complexo z = 1 + i: a) obtenha uma equação polinomial do grau com coeficientes reais da qual z seja uma das raízes; b) calcule o menor número inteiro positivo n para o qual zn é número real; c) calcule o valor de x para que o número x + i seja imaginário puro. z 05. Considere o número complexo z = 5 + 1i onde i = 1. Se x é a parte real de z e y a parte imaginária de z calcule x 4 + y, explicando os procedimentos usados. 06. Calcule as raízes quadradas do número complexo i 07. Calcule as raízes cúbicas de um número complexo z, cujo módulo é igual a 8 e seu argumento principal vale π rad. 08. Em 1545, o italiano Girolamo Cardano ( ) publicou o seu mais importante livro A grande arte, e tão orgulhoso ficou que, no final, escreveu a frase: Escrito em cinco anos, pode durar muitos milhares. No livro, um problema aparentemente simples começou a aprofundar a discussão sobre um novo tipo de número, ainda desconhecido na Matemática: Dividir 10 em duas parcelas tais que o seu produto seja 40. a) Determine as duas parcelas e expresse-as na forma a + bi, em que a,b são números reais e i = 1. b) Expresse as duas parcelas do item A na forma de pares ordenados (a,b) e represente-os graficamente no plano cartesiano. c) Calcule, na forma decimal aproximada, a área do triângulo cujos vértices são os dois pares ordenados do item B e a origem. Se precisar, use as aproximações: 3 = 1,7; 5 =,. d) Encontre uma equação polinomial de coeficientes inteiros com o menor grau possível, sendo dadas três de suas raízes: as duas parcelas do item A e o numero complexo i. Considere a mira z e o alvo w indicados na figura anterior. Determine o tiro certeiro de z em w. 11. Determine o módulo, o argumento e represente graficamente o número complexo z = + ( 3 ) i. 1. No plano de Argand-Gauss (figura), o ponto A é chamado afixo do número complexo z = x + yi, cujo módulo (indicado por z ) é a medida do segmento OA e cujo argumento (indicado por q) é o menor ângulo formado com OA no sentido anti-horário, a partir do eixo Re(z). O número complexo z = i é chamado unidade imaginária. a) Determinar os números reais x tais que z = (x + i) 4 é um número real. b) Se uma das raízes quartas de um número complexo z é o complexo z 0 cujo afixo é o ponto (0, a), a > 0 determine z. A escolha de quem pensa! 13

42 13. a) Calcule a área do losango ABCD cujos vértices são os afixos dos números complexos: 3, 6i e 6i, respectivamente. b) Quais são as coordenadas dos vértices do losango A B C D que se obtém girando 90 o losango ABCD em torno da origem do plano cartesiano, no sentido anti-horário? c) Por qual número devemos multiplicar o número complexo cujo afixo é o ponto B para obter o número complexo cujo afixo é o ponto B? 1. a) x = 0, x= e x = b) a a) S = 36 ua b) A (0; 3), B ( 6; 0), C (0; 3) e D (6; 0) c) i 14. z = i 15. a = 3 cm 14. O número complexo z = a + bi é vértice de um triângulo equilátero, como mostra a figura. Sabendo que a área desse triângulo é igual a 36 3, determine z. 15. Considere os números complexos w = 4 + i e z = 3a + 4ai, onde a é um número real positivo e i indica a unidade imaginária. Se, em centímetros, a altura de um triângulo é z e a base é a parte real de z. w, determine a de modo que a área do triângulo seja 90 cm. Gabarito 01. a) z 3 = + i z = 4 0. a) -- b) a = 4; b = 6 e c = 4 b) y = a) x x + = 0 b) n = 4 c) x = R1 = i e R = i 07. R 1 = 3 + i R = 3 + i R 3 = i 08. a) x = i e y = 5 15i ou x = 5 15i e y = i b) (5; 15i ) e (5; 15i ) c) S = 18,7 d) a) 1 b) t = 3 i 11. z = 4; q = p/3 rad 14 A escolha de quem pensa!

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