Rubens L. Cirino Instituto Politécnico IPRJ Nova Friburgo. Diego C. Knupp Agência Nacional de Transportes Terrestres ANTT

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1 APLICAÇÃO DO ALGORITMO DOS VAGALUMES NA IDENTIFICAÇÃO SIMULTÂNEA DA ESPESSURA ÓPTICA E ALBEDO COM VARIAÇÃO ESPACIAL EM UM PROBLEMA INVERSO DE TRANSFERÊNCIA RADIATIVA Rubens L. Cirino Instituto Politécnico IPRJ Nova Friburgo Universidade do Estado do Rio de Janeiro UERJ Diego C. Knupp Agência Nacional de Transportes Terrestres ANTT Antônio J. Silva Neto Instituto Politécnico IPRJ Nova Friburgo Universidade do Estado do Rio de Janeiro - UERJ Resumo: A necessidade de solução de problemas de otimização aparece em diferentes contextos com aplicações práticas, notadamente em engenharia, onde tem importância no contexto de otimização de desenho de produtos, layout de produção e logística. Outro contexto onde a solução de problemas de otimização exerce papel fundamental é na solução de problemas inversos, quando formulados implicitamente e a solução é dada pela minimização de uma função objetivo dada pelo somatório dos resíduos entre as medidas experimentais e as grandezas calculadas em função dos parâmetros sendo estimados. Neste trabalho, motivados por um problema inverso em transferência radiativa, introduzimos a utilização da heurística conhecida como algoritmo dos vagalumes (Firefly Algorithm FA) na minimização da função objetivo para solução do problema inverso de estimativa simultânea da espessura óptica e do albedo com variação espacial, formulado como um problema de estimativa de parâmetros. Os resultados são criticamente comparados a dois outros métodos estocásticos de otimização bastante difundidos na comunidade científica, o algoritmo de colisões de partículas (Particle Collision Algorithm PCA) e o algoritmo de enxame de partículas (Particle Swarm Optimization PSO), que já foram utilizados com sucesso pelos autores na solução de problemas inversos em transferência radiativa. O desempenho superior do algoritmo dos vagalumes observado no caso teste apresentado motiva o estudo mais aprofundado, hibridizações e derivações com base nesta heurística em trabalhos futuros. Introdução Os problemas inversos são geralmente formulados implicitamente [1], definindo-se uma função objetivo dada pela soma dos quadrados dos resíduos entre as medidas experimentais e os correspondentes valores calculados através do modelo direto, em função dos parâmetros que se deseja estimar. Assim, a solução do problema inverso se torna o problema de minimização da função objetivo definida. Dada a forma funcional da função objetivo, geralmente complexa e repleta de mínimos locais, o emprego direto de métodos determinísticos de otimização pode levar à não convergência da solução ou à estagnação em um dos mínimos locais. Métodos estocásticos de otimização, geralmente inspirados em comportamentos observados na natureza, têm se apresentado eficazes na recuperação de mínimos globais [], mesmo de funções complexas, dado um número suficientemente alto de iterações. O desenvolvimento paulatino na velocidade de processamento dos computadores vem permitindo tanto a utilização de métodos estocásticos de otimização quanto a proposição de modelos computacionais cada vez mais complexos em problemas de engenharia, motivando o desenvolvimento de novas heurísticas e suas aplicações em uma vasta gama de problemas. O estudo de problemas inversos aplicados à transferência radiativa tem sido objeto de intensa pesquisa objetivando atender a diversas aplicações que vão desde a medicina até a indústria [3], 139

2 onde geralmente se busca a realização de testes não invasivos/destrutivos [4]. Nosso grupo de pesquisa publicou diversos trabalhos em transferência radiativa onde buscou-se comparar métodos estocásticos de otimização já estabelecidos, bem como testar novas propostas de hibridização e variações de métodos tradicionais. Apenas para citar alguns exemplos, abordamos o PCA e o Luus-Jaakola [5], o PSO [6], O recozimento simulado (Simulated Annealing SA), algoritmos genéticos (Genetic Algorithms GA), otimização por colônia de formigas (Ant Colony Optimization ACO), otimização extrema generalizada (Generalized Extremal Optimization GEO) e evolução diferencial (Differential Evolution DE) []. O presente trabalho está focado no estudo do Firefly Algorithm (FA) para a solução de um problema em transferência radiativa onde é considerado que o albedo de espalhamento apresenta variação espacial e deve ser estimado [7]. Neste trabalho também consideramos a estimativa simultânea da espessura óptica do meio [8]. Com o intuito de ter uma medida objetiva do desempenho do FA, comparamos suas soluções com dois outros métodos estocásticos já bastante difundidos na comunidade científica, PCA e PSO, cuja aplicação no tratamento de problemas inversos em transferência radiativa já foi abordada com sucesso [,6]. Formulação Matemática e Solução do Problema Direto Considera-se um meio unidimensional, cinza, heterogêneo, com espalhamento isotrópico de espessura óptica τ, com superfícies de contorno transparentes. Os contornos em τ = e τ = τ estão sujeitos a fontes externas de radiação isotrópica com intensidades A 1 e A, respectivamente, como ilustra esquematicamente a Fig. 1, onde ρ1 = ρ =. Figura 1. Representação esquemática de um meio participante unidimensional sujeito à incidência de radiação originada por fontes externas. O modelo matemático para a interação da radiação com o meio participante é dado pela equação de Boltzmann, que para o caso de simetria azimutal e albedo com dependência espacial é escrito na forma adimensional como: I ( τ, u) ω( x) 1 ' ' µ + I( τ, u) = I( τ, u ) dµ ; τ 1 em < τ < τ, para -1 µ 1 (1a) I (, µ ) = A1, µ >, I( τ, µ ) = A, µ < (1b,c) onde τ é a variável óptica, I é a intensidade da radiação, µ é o cosseno do ângulo polar e ω (τ ) é o albedo de espalhamento que aqui é representado como a seguinte expansão: K D k k= k ( τ ) = τ ω () Quando a geometria, as propriedades radiativas e as condições de contorno são conhecidas, o problema (1) pode ser resolvido e a intensidade da radiação I é determinada para todo o domínio espacial e angular, isto é, τ τ e -1 µ 1. Este é o chamado problema direto. Quando as 131

3 propriedades radiativas ou as condições de contorno não são conhecidas, mas dados experimentais das intensidades de radiação podem ser obtidos, os parâmetros desconhecidos podem ser estimados através da proposição de um problema inverso. Formulação Matemática e Solução do Problema Inverso Considere a espessura óptica do meio, τ, e o albedo com dependência espacial, representado na forma dada pela Eq. (), sejam desconhecidos. Ou seja, desejamos encontrar estimativas para τ e os coeficientes, k =,1,,..., K. Portanto, temos o seguinte vetor de incógnitas: Considere que os dados experimentais adquiridos em ambos os contornos, externamente ao meio, em diferentes ângulos polares, podem ser obtidos. Assim, temos a disposição Y i, i = 1,, 3,..., N d, onde N d é o número total de dados experimentais. Este problema inverso pode, então, ser formulado como um problema de otimização, onde buscamos minimizar a função objetivo dada pelo somatório dos quadrados dos resíduos: Neste trabalho, dados experimentais reais não estão disponíveis e as intensidades experimentais,, são então simuladas, calculando-se os valores com a solução do problema (1) usando os valores exatos dos parâmetros que desejamos estimar no problema inverso. A estes valores são adicionados ruídos aleatórios de uma distribuição normal com média zero, simulando erros experimentais: (5) onde r são números aleatórios de uma distribuição normal com média zero e desvio padrão unitário, e σ e simula o desvio padrão dos erros de medição. Para a minimização da função objetivo dada pela Eq. (4), neste trabalho utilizamos o algoritmo dos vagalumes, cuja descrição é dada em maiores detalhes a seguir. De modo a ser objetivo quanto ao desempenho deste método na solução do problema investigado, fazemos uma comparação crítica com dois outros métodos estocásticos já bastante difundidos, o algoritmo de colisões de partículas (Particle Collision Algorithm PCA) e o algoritmo de enxame de partículas (Particle Swarm Optimization PSO). Por questões de brevidade, as descrições destes dois últimos métodos serão omitidas, mas podem ser encontradas em detalhes nas referências [9-1]. Algoritmo dos Vagalumes (Firefly Algorithm - FA) Para uma melhor compreensão do Firefly Algorithm (FA) [11,1], duas características do algoritmo devem ser destacadas: como se dá a variação da intensidade da luz percebida pelo vagalume; e como é formulada a atratividade entre os vagalumes. A intensidade de emissão de luz por parte de um vagalume é proporcional à função objetivo, porém a intensidade de luz percebida por um vagalume decai em função da distância entre os vagalumes. Logo, a intensidade percebida por um vagalume é dada por:, em que é a intensidade da luz emitida; r é a distância Euclidiana entre os vagalumes i e j, sendo i o vagalume mais brilhante e j o vagalume menos brilhante; γ é o parâmetro de absorção da luz pelo meio. Desta maneira o fator de atratividade pode ser formulado como: (6) 1311

4 onde é a atratividade para uma distância r =, e pode ser fixado em. Assim, a movimentação em um dado passo de tempo t de um vagalume i em direção a um melhor vagalume j é definida como: onde o segundo termo do lado direito da equação insere o fator de atratividade enquanto o terceiro termo, regulado pelo parâmetro, insere aleatoriedade no caminho percorrido pelo vagalume; rand é um número aleatório de uma distribuição uniforme entre e 1. O Pseudocódigo do Firefly Algorithm é apresentado na Fig.. Resultados e Discussão Início Definir a função objetivo; Definir os parâmetros ; Gerar a população inicial de vagalumes Para t=1 até ; Calcular a intensidade para proporcionalmente à função objetivo; Para i=1 até n; Calcular o fator de atratividade de acordo com ; Mover o vagalume i em direção aos vagalumes mais brilhantes. Verificar se o vagalume está dentro dos limites; Fim-Para Fim-Para Pós-processar e visualizar os resultados Fim Figura. Pseudocódigo do Firefly Algorithm. Nos resultados apresentados para o caso teste selecionado a seguir, foram utilizados dois níveis de ruído diferentes na simulação dos dados experimentais, com e, resultando em erros de até % e 5%, respectivamente. O problema selecionado para os testes possui espessura óptica unitária, isto é, τ = 1 e o albedo com variação espacial é dado por uma reta, ω( τ ) = τ. Consideramos ainda a iluminação externa dada por A 1= 1 e A =, nas Eqs. (1b,c). No procedimento de solução do problema inverso, consideramos que a expansão dada pela Eq. () possui três termos, ou seja, K = 3. Portanto, para o exemplo investigado, temos os seguintes valores exatos dos parâmetros a serem estimados: r Zexato = { τ = 1, D =, D1 = 1, D = } (8) Na solução do problema de otimização, consideramos os seguintes parâmetros para o FA: n=, MaxGerações=, e γ = 1. A escolha destes parâmetros foi baseada em [11]. O PSO, por sua vez, foi ajustado considerando uma população de 8 partículas por gerações e para os parâmetros foi considerado α = β = e γ = 1, escolhidos também com base na ref. [11]. Quanto ao PCA, este método não apresenta a necessidade de ajuste de outros parâmetros além do número de iterações no loop externo e interno, que aqui foram escolhidos como e, em ambos os casos. Os parâmetros que definem o número de iterações foram escolhidos de modo que os três métodos desempenhassem aproximadamente o mesmo esforço computacional, neste caso, em torno de 45 avaliações da função objetivo. Os algoritmos foram executados em um PC com processador Intel Core Duo CPU RAM, e sistema operacional Windows 7. de 3 bits. Cada execução, para cada um dos métodos, levou aproximadamente 3 minutos. 131

5 Para cada método, a solução do problema de otimização foi executada por 11 vezes de forma independente, considerando o mesmo conjunto de dados experimentais. Como os métodos são estocásticos, esperamos uma solução distinta a cada execução e o objetivo de várias execuções é medir a dispersão das soluções obtidas. Nas Tabs. 1 e a seguir, apresentamos o resumo das soluções para os três métodos estudados, considerando e 5% de ruído nos dados experimentais, respectivamente. Nestas tabelas, e se referem à melhor e à pior estimativa obtida dentre as 11 execuções, respectivamente. Aqui, melhores estimativas são consideradas quando levam a um menor valor na avaliação da função objetivo. Nestes resultados, fica evidente que o FA foi o que apresentou melhor desempenho na minimização da função objetivo entre os três algoritmos investigados, para ambos os níveis de ruído, onde suas melhores estimativas levaram a função objetivo a valores até três ordens de grandeza inferiores ao PCA e o PSO. Outra importante conclusão que pode ser inferida destas tabelas diz respeito à dispersão das soluções. O desvio padrão das estimativas obtidas para a espessura óptica, τ, onde os três métodos tiveram bom desempenho resultando em estimativas bastante próximas do esperado o FA demonstrou menor dispersão nas soluções dentre os três casos. Quanto à dispersão nas estimativas dos coeficientes D, D 1 e D, os desvios padrão calculados são maiores para o FA com relação ao PCA, entretanto, tanto a média quanto a melhor solução do FA são muito mais próximas do valor esperado, indicando que o PCA provavelmente ficou estagnado na redondeza do mesmo mínimo local em várias das 11 execuções. Ressalta-se ainda, que quanto aos coeficientes D, D 1 e D, o objetivo final é a estimativa da função ω( τ ) a partir destes coeficientes, e não a estimativa dos parâmetros em si. Portanto, as Figs. 3a,b apresentam as curvas traçadas a partir das estimadas na melhor execução de cada método em comparação com a curva exata, ω( τ ) = τ, para dados experimentais simulados com % e 5% de erro, respectivamente, onde fica evidente que os três métodos foram capazes de obter estimativas para os coeficientes que geram curvas que tendem para a curva exata. Entretanto fica claro que a curva estimada pelo FA foi a que ficou mais próxima do resultado esperado, praticamente coincidente com a curva exata. Finalmente, as Figs. 4a,b apresentam a evolução do valor da função objetivo, dada pela solução naquele momento, com respeito ao número de acessos. Estes resultados confirmam que o FA apresentou desempenho superior ao PCA e ao PSO, que parecem ficar estagnados em uma solução por um grande número de iterações, provavelmente um mínimo local. Cabe ressaltar que o número reduzido de iterações teve justamente o objetivo de evidenciar diferenças de desempenho entre os três métodos. Outro ponto a ser ressaltado, é o melhor desempenho do FA alcançado com um ruído de 5% e não com o de %. Este resultado não era o esperado, o que merece, ainda, um estudo mais aprofundado para se tentar levantar a sua causa. Conclusões Neste trabalho, motivados por um problema inverso em transferência radiativa, introduzimos a utilização da heurística conhecida como algoritmo dos vagalumes (Firefly Algorithm FA) na minimização da função objetivo para solução do problema inverso de estimativa simultânea da espessura óptica e do albedo de espalhamento com variação espacial, formulado como um problema de estimativa de parâmetros. Os resultados são criticamente comparados a dois outros métodos estocásticos de otimização bastante difundidos na comunidade científica, o algoritmo de colisões de partículas (Particle Collision Algorithm PCA) e o algoritmo de enxame de partículas (Particle Swarm Optimization PSO), que já foram utilizados com sucesso pelos autores na solução de problemas inversos em transferência radiativa. Os resultados obtidos pelo FA são notoriamente superiores aos obtidos pelo PCA e PSO, indicando boa perspectiva na utilização desta heurística nesta classe de problemas. O trabalho deve prosseguir na investigação 1313

6 mais aprofundada dos mecanismos de inteligência artificial do FA para desenvolvimento de variações e hibridizações específicas, de modo a garantir sua robustez e desempenho, características desejáveis na solução de problemas computacionalmente intensivos. (a) (b) Figura 3. Estimativas de ω( τ ) em comparação com a curva exata para ruídos de: (a) até %. (b) até 5%. (a) (b) Tabela 1. Resultados obtidos com o FA, PCA e PSO para dados experimentais simulados com ruído de: (a) até % (b) até 5%. Agradecimentos Os autores agradecem ao suporte financeiro do Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico, CNPq e da Fundação Carlos Chagas Filho de Amparo à Pesquisa do Estado do Rio de Janeiro, FAPERJ. 1314

7 (a) (b) Figura 4. Evolução do valor da função objetivo para níveis de ruído de: (a) até %. (b) até 5%. Referências [1] Silva Neto, A. J., e Moura Neto, F. D., Problemas Inversos Conceitos Fundamentos e Aplicações, Ed. UERJ, 5. [] Silva Neto, A. J., e Becceneri, J. C., Técnicas de Inteligência Computacional Inspiradas na Natureza Aplicação em Problemas Inversos em Transferência Radiativa Notas em Matemática Aplicada SBMAC Vol. 41, 9. [3] Arridge, S.R., Optical tomography in medical imaging, inverse problems, Vol. 15, pp R41 R93, [4] Oliva Soares, P., Soeiro, F. J. C. P. e Silva Neto, A.J., Solution of inverse radiative transfer problems with artificial neural networks and hybrid methods, Inverse Problems in Engineering, Seminar, Cincinnati, USA, 4. [5] Knupp, D.C., Silva Neto, A.J., Sacco, W. F. Radiative properties estimation with the luus-jaakola and the particle collision algorithm, CMES, vol.54, no., pp , 9. [6] Becceneri, J. C., Stephany, S., Campos Velho, H. F., Silva Neto, A.J., Solution of the inverse problem of radiative properties estimation with the particle swarm optimization technique, 14th Inverse Problems In Engineering Seminar, 6. [7] Stephany, S, Becceneri, J. C., Souto, R. P., Campos Velho, H. F., Silva Neto, A. J., A preregularization scheme for the reconstruction of a spatial dependent scattering albedo using a hybrid ant colony optimization implementation - Applied Mathematical Modelling 34- pp , 1. [8] Knupp, D.C., Silva Neto, A. J., Simultaneous identification of the optical thickness and space-dependent albedo using Bayesian Inference. 1st International Congress of Mechanical Engineering, 11. [9] Sacco, W. F. and de Oliveira, C. R. E. A new stochastic optimization algorithm based on a particle collision metaheuristic. Proceedins of 6th WCSMO, 5. [1] Kennedy, J. and Eberhart, R. C. Particle swarm optimization. Proceedings of IEEE International Conference on Neural Networks, Piscataway, NJ. pp , [11] Yang, Xin-She, Nature-Inspired Metaheuristic Algorithms, Luniver Press, 8. [1] Luz, E.F.P., Becceneri, J. C., Campos Velho, H. F., Conceitualização do algoritmo vagalume e sua aplicação na estimativa de condição inicial da equação de calor; Workshop dos Cursos de Computação Aplicada, São José dos Campos/SP Brasil,