CENTRO UNIVERSITÁRIO FUNDAÇÃO SANTO ANDRÉ THYELLE TERUYA. ECONOFÍSICA Estudo de Elementos de Física aplicada a Economia

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1 CENTRO UNIVERSITÁRIO FUNDAÇÃO SANTO ANDRÉ THYELLE TERUYA ECONOFÍSICA Estudo de Elementos de Física aplicada a Economia Santo André 2012

2 THYELLE TERUYA ECONOFÍSICA Estudo de Elementos de Física aplicada a Economia Trabalho de Iniciação Científica, apresentado a Faculdade de Engenharia Celso Daniel cumprindo especificações para obtenção de bolsa parcial, com orientações do professor Mauricio Bernardino Magro. Santo André 2012

3 SUMÁRIO INTRODUÇÃO... 4 OBJETIVO... 5 METODOLOGIA... 6 DESENVOLVIMENTO DO TRABALHO E RESULTADOS... 7 DISCUSSÃO E CONCLUSÃO REFERÊNCIAS... 27

4 INTRODUÇÃO Recentemente os estudos da física aplicada à economia têm gerado grandes avanços em relação aos modelos aplicados ao mercado financeiro, principalmente no mercado de ações, e em particular na análise das séries temporais econômicas deu origem a uma nova área de pesquisa chamada de Econofísica, a qual foi desenvolvida a partir de 1990, a fim de aplicar ferramentas e métodos da física para obter o comportamento dos dados financeiros e então explicar os fenômenos gerais da Economia. A complexidade do mercado ações, como por exemplo, as variações dos preços das ações, desperta um enorme interesse de pesquisadores para obter conhecimento e o desenvolvimento de análises científicas quanto a essas variações. Os mais interessados nestes estudos são físicos pelo fato do mercado ser assim um exemplo de sistema que apresenta um tipo de comportamento complexo, muito estudado na física. Neste projeto será abordada uma introdução à Econofísica, adquirindo conhecimentos básicos para aplicação em modelos do mercado de ações e também conhecimentos econômicos, para prever através de métodos matemáticos as possíveis variações. As ações decorrentes do estudo poderão ser de qualquer tipo de ativo financeiro, pois a análise geral é a previsão de futuras variações do respectivo ativo estudado.

5 OBJETIVO O objetivo deste projeto em primeiro lugar é assimilar os conhecimentos de física estatística e matemática necessários para sua compreensão, e posteriormente, buscar ligação entre a teoria estudada e, por exemplo, o mercado de ações. Inicialmente, pretendia-se realizar estudos cuidadosos para adquirir conhecimentos da chamada Física Estatística, para que se obtenha o embasamento teórico necessário para aplicação prática em exemplos reais do mercado financeiro, como a modelagem do comportamento do valor de uma ação na bolsa de valores. Alguns dos conhecimentos básicos necessários da física estatística são: Conceitos estatísticos básicos; teorema do limite central; movimento browniano geométrico; análise fundamentalista; transformada de Fourier, expansão de Taylor, processos estocásticos, etc. Posteriormente, pretende-se aplicar os modelos matemáticos estudados em exemplos do mercado financeiro.

6 METODOLOGIA Foi utilizado um método de pesquisa teórico, pois tinha como objetivo estruturar e desenvolver modelos teóricos, e um tipo de pesquisa exploratória, devido à pesquisa bibliográfica e estudos de caso. Realizou-se um plano de estudo baseado em seminários os quais foram apresentados de forma periódica, supervisionados e lecionados pelo orientador do projeto baseado em livros disponíveis e em meios eletrônicos como a Internet. A internet foi extremamente necessária, para a consulta de: métodos matemáticos; aulas de econofísica da USP; artigos científicos. Foi utilizado como bibliografia básica sobre econofísica o livro: An Introduction to Econophysics Correlations and Complexity in Finance, de Rosario Mantegna and H. Eugene Stanley. Alguns dos livros utilizados na pesquisa foram do acervo da biblioteca da FSA, complementado por outros acervos, como o da Universidade de São Paulo, levando em conta também o desenvolvimento de pesquisas na internet.

7 DESENVOLVIMENTO DO TRABALHO E RESULTADOS Dos objetivos traçados, alguns dos resultados primeiramente esperados foram obtidos como os conhecimentos de alguns conceitos necessários para estudar as variações e flutuações de preços de ativos financeiros, vale ressaltar, porém, vale que os estudos ainda estavam em andamento para aprendizado de mais conceitos, pois é uma matéria que abrange múltiplas áreas na matemática e explicações da física. 1 - Análise Fundamentalista e Técnica De acordo com Napolitano (2011) para entender as flutuações e variações de uma determinada ação, é necessária uma base teórica como a análise fundamentalista que analisa a previsão do valor intrínseco para uma ação e quem propôs a primeira fórmula para esse cálculo foi John Burr Williams: onde D n é o dividendo pago no n-ésimo ano e t é a taxa de desconto já incluindo o prêmio pelo risco, houve variações e sofisticações dessa fórmula com o passar do tempo. Se o preço atual de uma ação for menor que seu valor intrínseco, a recomendação é de compra, caso o investidor creia na análise. Segundo Napolitano (2011) a análise técnica também é necessária para entender as variações, pois os analistas tentam prever as tendências dos preços dos ativos financeiros em registros históricos de preços do passado, ou seja, é através de uma certa quantidade de flutuações e variações de preços de ativos financeiros que os analistas estudam para tentar prever futuras variações, sendo assim este método é denominado de análise quantitativa. 2 O Movimento Browniano O movimento Browniano é o movimento aleatório de partículas, porém Bachelier propôs este movimento em 1900 para a dinâmica do preço de um ativo financeiro, o qual foi a sua tese de PhD A Teoria da Especulação. Seguindo a idéia de Napolitano deve-se, primeiramente estudar o movimento aleatório em uma dimensão e

8 posteriormente o seu limite contínuo, definido, assim, o movimento Browniano unidimensional. 3 Movimento Aleatório em uma dimensão Na visão de Kwok (2008) considera-se o movimento de uma partícula apenas ao longo do eixo x, em qualquer um dos seus sentidos, com passos do tamanho δ fixo. A partícula parte da origem e a cada passo existe a probabilidade p de dar um passo no sentido positivo (+δ) e a probabilidade q (sendo p+q=1) de dar um passo negativo (-δ). Cada passo da partícula é independente do passo anterior, considerando p e q constantes. Portanto o valor esperado, x i do i-ésimo passo, independendo de i, é: Após n passos, a partícula tem a posição dada pela somatória de todos os n deslocamentos. 4 Limite contínuo do movimento aleatório Quando δ 0 a partícula pode deslocar-se continuamente, e em cada passo infinitesimal ainda possui probabilidade p de mover-se +δ e probabilidade q de mover-se δ. Seja u(x,t) a probabilidade de que a partícula esteja na posição x no instante t. Suponhamos que a partícula da r passos por unidade de tempo. Assim, o intervalo de tempo entre dois passos é dado por: E, portanto, no limite contínuo, isto é, quando δ 0, temos r e λ 0. Antes de tomarmos o limite, podemos dizer que o número de passos no instante t é dado por Ou ainda, podemos dizer que o instante de tempo t é dado por Com isso, podemos dizer também que, depois de n passos, a partícula tem probabilidade u(x,t) de encontrar-se em x = X n, no instante t. no próximo passo, que ocorre no instante t + λ, a probabilidade de a partícula encontrar-se em x é dada por Para entendermos essa equação, basta pensarmos que, para a partícula estar em x no instante t, pode ter vindo da posição x δ, dando um passo no sentido positivo do eixo x, deslocando-se de + δ, ou pode ter vindo de x + δ, deslocando-se de δ. No primeiro caso, a probabilidade de a partícula estar em x- δ no instante t, anterior a t + δ, é u(x- δ,t) e a

9 probabilidade de deslocar-se + δ é p. Logo, a probabilidade de que a partícula tenha vindo da posição x δ é o produto pu(x- δ,t), já que para dar um passo no sentido positivo e parar em x, a partícula precisa, antes, estar em x δ. Analogamente, qu(x+ δ,t) é a probabilidade de a partícula vir da posição x + δ. Como, em t + λ, a partícula pode ter vindo de x δ ou de x + δ, segue que a probabilidade de estar em x é a soma de pu(x- δ,t) com qu(x+ δ,t). Como temos em mente tomar o limite contínuo fazendo δ 0 e λ 0, podemos expandir a equação acima em série de Taylor para as variáveis δ e λ. (NAPOLITANO, 2011, p.8) Considerando as variáveis acima temos que a equação para a probabilidade u(x,t) fica: Esta é a equação de Fokker-Planck. Verificamos que a solução dessa equação é dada pela distribuição gaussiana: e podemos provar a afirmação acima, sendo: Derivando a equação (1) em relação a t: Derivando a equação (1) em relação a x e multiplicando-a por µ: Derivando a equação (1) pela segunda vez e multiplicando-a pelo termo σ²/2: Simplificando e somando as equações (2), (3) e (4) temos:

10 5 Modelo de Bachelier Na concepção de Napolitano (2011) Bachelier propôs que a primeira dinâmica de um ativo financeiro e para entendermos o modelo proposto é necessário estudar o movimento aleatório em uma dimensão e posteriormente tomar seu limite contínuo. Porém este modelo possui algumas características não desejáveis, como por exemplo, o modelo da probabilidade não nula para o preço do ativo (x) assumir valores negativos, contrariando a condição de responsabilidades limitadas; Bachelier supôs µ=0, sugerindo uma taxa de juros nula, o que nem sempre é verdade. 6 O Movimento Browniano Geométrico No entendimento de Napolitano (2011) o modelo de Bachelier contém uma falha, que ele não pode prever preços negativos de um lote de ação. Por exemplo, quando compramos um lote de ação de uma certa empresa, ela pode ficar devendo muito aos seus credores, fazendo com que as ações comprada possam chegar a um valor 0, porém nunca será negativo, pois simplesmente não poderíamos assumir a dívida da empresa, o que é chamado de responsabilidade limitada, por parte do dono da companhia. Porém, o retorno diário R i pode ser positivo ou negativo se o preço de fechamento de um ativo era S i ontem e hoje é S i+1, então o retorno relativo de um dia fica como: E pode até ser expresso por uma porcentagem e a equação pode ser escrita assim: 1+ R i+ 1 Si = S i

11 Como os preços são positivos (é muito raro o preço ser zero), podemos tomar o logaritmo de ambos os membros da equação acima, e quando o retorno for muito pequeno, podemos escrever: ln ( 1 + R i + 1) R ou Si i+ 1 R i+ 1 ln Si A expressão acima, para retornos pequenos, sugere que uma variável interessante é dada pelo logaritmo do quociente entre os preços de fechamento: Si X = i+ 1 ln Si Caso o preço hoje tender a zero, X i + 1 irá tender a valores negativos muito grandes e caso o preço hoje tender a valores muito altos, X i + 1 também irá tender a valores positivos imensos. Caso seja contínuo, a variável pode ser definida assim: S(t) X(t) = ln S0 Considerando S 0, o preço no instante t=0 e S(t) no instante t>0. O modelo da dinâmica de preços pode ser obtido se supormos que X(t) faz o movimento browniano unidimensional, caracterizado --pelos parâmetros µ e X(t) tenha o valor x no instante t é dada pela distribuição gaussiana: 2 σ. Então a probabilidade de que Podemos provar a integral gaussiana acima: Substituindo (1) em (2): Fazendo a substituição de variável, para a resolução da integral:

12 Porém a equação deve ser positiva, por se tratar de uma probabilidade, então: Por se tratar de coordenadas polares, a substituição pode ser feita da seguinte maneira: Fazendo as substituições: Enfim, temos: Substituindo (3) em (2): Ou seja: Para descobrirmos como é a probabilidade de que o preço,s(t), tenha o valor s no instante t, precisamos levar em consideração que a equação gaussiana mostrada acima não pode descrever a probabilidade no caso contínuo, e sim a densidade de probabilidade de que a variável x assuma um valor entre x e x+dx no instante t, efetuando todos os passos matemáticos pode necessários como: a sua integral; somatória das probabilidades de todos os possíveis eventos; levar em consideração que para cada valor de X(t) existe um valor correspondente de S(t); Definindo a unidade

13 de preços como sendo o valor S 0 e em termos dessa unidade S 0 =1 é possível chegar na equação abaixo : g s, t) = s 2 ( lns µt) 1 exp 2 2πσ t 2σ t ( 2 Que é a densidade de probabilidade de que S(t) tenha o valor s no instante e é a equação que caracteriza o movimento browniano geométrico. As distribuições dos preços dos ativos financeiros muitas vezes são paroximadas por esta equação. 7 O Teorema do Limite Central A teoria do limite central (teoria central do limite) afirma que conforme aumentase o tamanho da amostra a sua distribuição amostral da média se aproximará cada vez mais de uma distribuição normal e na visão de Bussab (2002) a sua variância é igual a viariância populacional dividida pelo tamanho da amostra. Com base em Napolitano, considerando N variáveis reais, aleatórias, identicamente distribuídas na reta real, com densidade de probabilidade dada por p(xi), Para cada i=1,2,...,n, consideramos também que a densidade p seja arbitrária, porém todos os valores médios das potências de xi devem ser finitos: A densidade de probabilidade para a variável: x i, com i = 1,2,..., N X = 1 N N x i i= 1 Para exemplificar um caso discreto, suponhamos uma série de N números de lançamentos de um determinado dado. Cada um desses lançamentos poderá resultar em uma das seis possíveis faces, ou seja, a probabilidade de sair uma das faces é igual a um sexto, então é provável a ocorrência das faces de cada um dos números do dado. Após N lançamentos, foram obtidos os seguintes números: x 1=1, x 2 =5, x 3=4 e a média (1) é a seguinte: 1 X = ( ) =

14 É possível repetir os lançamentos muitas vezes e estimar a sua distribuição de probabilidades de que um determinado valor X ocorra para a média dos valores de face. Para o exemplo feito acima a distribuição não é gaussiana, porém se fizermos esse mesmo exemplo levando em conta o teorema do limite central, se o número de lançamentos N for bem maior, então a distribuição da ocorrência de X será gaussiana. Podemos provar o teorema do limite central, considerando que P(x) é a densidade de probabilidade de que a variável X, definida pela equação (1), e que resulte com um valor entre X e X+dX. Sabendo que Q(K) é a transformada de Fourier de P(x), segue a prova do teorema do limite central: A sua exponencial pode ser escrita como uma série infinita: Logo, Onde denotamos o valor esperado de X n por Depois de desenvolver a equação (4), a densidade de probabilidade pode ser dada por: Usando a equação acima e a aplicação de alguns métodos matemáticos, como, por exemplo, o uso das propriedades da função delta de Dirac e o seu desenvolvimento, foi possível obter um resultado aplicado a equação (4), temos:

15 Utilizando essa igualdade na Equação (3), vem: Reconhecemos a série infinita acima como uma exponencial: Logo, Como estamos supondo que N é muito grande, podemos expandir: Depois da expansão, a Equação (5) pode ser escrita como: Para N muito grande, podemos expandir o logaritmo, então: Essa é a transformada de Fourier da densidade de probabilidade P(X) que procuramos e podemos inverter a Equação (2): E a partir do desenvolvimento total da equação acima concluímos que podemos obter P(X) a partir de Q(K): Então, da Equação (6), e completando o quadrado no argumento da exponencial no integrando, podemos escrever a densidade de probabilidade para a variável X, quando N é muito grande, como um gaussiana:

16 7.1 - Transformada de Fourier Para o entendimento deste tópico, é necessário uma breve explicação sobre a Transformada de Fourier que é tipicamente utilizada para decompor um sinal nas suas componentes em frequência e suas amplitudes. Para chegar na transformada é preciso de alguns conhecimento matemáticos como por exemplo entender a relação de Euler: Para Sodré (2002) a transformada de Fourier é uma função h=h(t) que é absolutamente integrável definida por: E sua inversa: H 1 1 ( g( w)) = + g( w) e 2π Porém aplicado ao teorema do limite central explicado acima a transformada fica: iwt dw E a sua inversa fica: F( x) = f ( k). e No desenvolvimento deste teorema, foi considerado a frequência angular como K e a sua amplitude complexa como Q(K). ixk dk 8 Passeio Aleatório ou The Random Walk A teoria random walk afirma que não é possível prever o futuro com base nos dados do passado, como por exemplo não quer dizer que pelo fato do preço da ação ter aumentado hoje, ontem, ou em outros dias que esse preço irá aumentar amnhã também, pois o mercado funciona de maneira irracional portanto o preço de uma ação seria imprevisível.

17 9 Processos Estocásticos de Lévy e teoremas limite. 9.1 Distribuições estáveis (I) Mantegna e Stanley provaram que as distribuições lorentziana e gaussiana são estáveis, isto é, suas funções densidade de probabilidade têm as mesmas características matemáticas que suas distribuições. Para variáveis aleatórias Lorentzianas, a função da densidade de probabilidade fica: A transformada de Fourier da função da densidade de probabilidade fica: Que é chamada de função característica do processo estocástico. Para distribuições Lorentzianas, a integral é elementar. Se substituirmos (1) em (2), obtemos O teorema da convolução afirma que a transformada de Fourier de uma convolução de duas funções é o produto das transformadas de Fourier de duas funções, para variáveis aleatórias de distribuições independentes e identicamente distribuídas, considera-se: A função da densidade de probabilidade da soma de duas variáveis aleatórias, independentes e identicamente distribuídas é dada pela convolução de duas funções de probabilidade de densidade de cada variável aleatória

18 O teorema da convolução implica então, que a função característica de é dado por: Em casos gerais, (7) Então, A vantagem da função característica aproximada pode ser mostrada através da soma de duas variáveis aleatórias, independentes e identicamente distribuídas, cada uma das quais obedecendo a equação (1). Aplicar a equação (6) seria desagradável, enquanto a função característica aproximada é bastante direta, desde que para a distribuição Lorentziana, fazendo a inversa da transformada de Fourier obtemos a função de probabilidade de densidade A forma funcional de, e geralmente de, é Lorentziana. Por isso uma distribuição Lorentziana é uma distribuição estável. Para variáveis aleatórias gaussianas, a analogia da equação (1) é a seguinte função da densidade de probabilidade:

19 A função característica é: onde por isso a partir da equação (7) temos: Fazendo a inversa da transformada de Fourier, obtemos: Assim a distribuição gaussiana é também uma distribuição estável. Escrevendo a equação acima na forma, obtemos: encontramos a seguinte resposta: Mantegna e Stanley verificaram que dois processos estocásticos existem: Lorentziana e a Gaussiana. As funções características dos dois processos têm a mesma forma funcional: onde para a Lorentziana da equação (3), e para a Gaussiana da equação (8).

20 Paul Pierre Lévy e Aleksandr Khinchin resolveram o problema geral para determinar a classe inteira de distribuições estáveis. Eles encontraram que a forma mais geral de uma função característica de um processo estável é dada por: onde, é um fator de escala positivo, µ é um número real qualquer, e β é um parâmetro de assimetria que varia no intervalo de -1 a 1. A forma analítica da distribuição estável de Lévy é conhecida somente por poucos parâmetros de α e β: α = ½, β = 1 (Lévy Smirnov) α = 1, β = 0 (Lorentziana) α = 2 (Gaussiana) O livro-texto de Lévy e Khinchin informa que, no caso simétrico, isto é, quando β=0 e com µ=0, tem a variância finita: α=2 β=0 µ=0 (Simétrico) com E a distribuição estável tem a forma assintótica, quando x é muito grande: E considerando uma conseqüência do resultado acima, é que o valor esperado de, acaba divergindo para, quando α < 2: Assim, particularmente, todos os processos estáveis de Lévy com α < 2 tem variâncias infinitas, como, por exemplo, a distribuição lorentziana da equação (1):

21 9.2 Distribuições estáveis (II) Analogamente, há uma outra prova, mais formal, para as distribuições estáveis, que pode ser obtida em NAPOLITANO. Considerando uma distribuição lorentziana: Onde N é uma constante real positiva, calculemos N: Então : A integral no denominador pode ser escrita se simplificarmos seu integrando, fica: E então obtêm-se: Considerando o contorno no plano complexo e o teorema dos resíduos:

22 E levando em conta que: Segue o cálculo do resíduo: Pólo simples: Então: Para as variáveis aleatórias lorentzianas, a função normalizada da densidade de probabilidade fica: distribuídas: Considerando variáveis estocásticas independentes e indenticamente Assim: Calculemos a densidade de probabilidade para essa X segundo a equação (1).

23 Então, considerando a transformada de Fourier de P(X), conhecida também como função característica da densidade de probabilidade P(X): Agora vamos calcular a transformada de Fourier, ou a função característica, da lorentziana da equação (1): Então, devemos considerar dois casos q>0 e q<0. Para q>0, temos: E para q<0, temos: Portanto: Logo:

24 E para obtermos a distribuição da variável X, basta somente calcular a transformada de Fourier inversa: Logo, podemos presumir que a densidade de probabilidade para a variável X é também lorentziana, com apenas uma mudança de escala: Segundo a visão de Napolitano, podemos dizer, nesse caso, que a densidade de probabilidade lorentziana é uma distribuição estável, pois sua convolução resulta na mesma distribuição, com uma mudança de escala apenas. Para variáveis aleatórias gaussianas, a função da densidade de probabilidade é: E a sua função característica: Mas, como: Então: Calculando a transformada de Fourier inversa, obtemos:

25 Portanto, a distribuição gaussiana também é uma distribuição estável, porém com uma escala diferente: Assim, particularmente, todos os processos estáveis de Lévy com α < 2 tem variâncias infinitas, como por exemplo a distribuição lorentziana da equação (1):

26 DISCUSSÃO E CONCLUSÃO A partir das matérias estudadas para entender a econofísica, foi possível adquirir alguns conhecimentos de conceitos teóricos mostrados na introdução, entendendo perfeitamente que o preço de uma determinada ação tem a probabilidade de estar em um certo ponto e mudar tanto positivamente quanto negativamente sendo que a densidade de probabilidade para seu valor num dado momento é representada pela função gaussiana. Deve-se levar em conta, para o aperfeiçoamento do modelo, a situação da economia atual do mercado financeiro. É possível acreditar que a partir do embasamento teórico estudado e mais alguns, a variação do preço de uma ação poderá ser calculado e previsto. Pode-se concluir que a econofísica é um assunto complexo, embasando-se fundamentalmente nos princípios matemáticos da estatística. Tais modelos assemelham-se a outros fenômenos da natureza como, por exemplo, o movimento browniano das partículas de um gás. Desse modo, é possível modelar os processos econômicos através das equações e resultados de processos físicos conhecidos da natureza. Como o estudo não será continuado, uma vez que a bolsa não será renovada, os próximos passos a serem seguidos para que se possa chegar a algum resultado seriam: refinar mais alguns princípios matemáticos envolvidos, analisar alguns dados financeiros e assim começar a aplicação prática em alguns exemplos.

27 REFERÊNCIAS BUSSAB, Wilton de O; MORETTIN, Pedro A. Estatística Básica. 5ª edição. São Paulo: Saraiva, BUTKOV, Eugene Física Matemática, 1ª edição. Rio de Janeiro: LTC (1988). BUTKOV, Eugene Física Matemática. Rio de Janeiro: Guanabara Dois (1983). GUERRA, José Mauri; DONAIRE, Denis. Estatística Indutiva, teoria e aplicações. 5ª edição. São Paulo: Livraria Ciência e Tecnologia LTDA, KWOK, Yue-Kuen. Mathematical Models of Financial Derivatives. 2ª edição. Hong Kong: Springer Finance, LORETO, Ana Célia da Costa; Armando Pereira; PAGLIARDE, José Emílio. Cálculo Diferencia e Integral 3 Resumo Teórico e Exercícios Resolvidos e Propostos. São Paulo: LCTE Editora, MANTEGNA, Rosario; STANLEY, Eugene. An Introduction to Econophysics Correlations and Complexity in Finance, Cambridge: Univ. Press, NAPOLITANO, Reginaldo de Jesus. Notas de aula do curso Introdução a Econofísica, ministrado na Universidade de São Paulo, São Carlos, Disponível em: < RODRIGUES, Willian Costa. Apostila de Metodologia Científica. FAETEC, Paracambi, Disponível em: < sta%20rodrigues_metodologia_cientifica.pdf>. Acesso em: 1 de ago SALINAS, Silvio R. A. Introdução a Física Estatística. 2ª edição. São Paulo: Edusp, 2005.

28 VALENTE, Diego Castelo Branco. Modelos estocásticos para a volatilidade do mercado de ações brasileiro Tese de Mestrado Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro, Disponível em: < =5850@1>. Acesso em 1 de Ago