Pontifícia Universidade Católica do Rio Grande do Sul Faculdade de Informática

Transcrição

1 Pontifícia Universidade Católica do Rio Grande do Sul Faculdade de Informática Avaliação Quantitativa de Sistemas Rafael Chanin Fernando L. Dotti Paulo Fernandes Afonso Sales Porto Alegre, agosto de 2005.

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3 iii Resumo Este documento é a primeira versão de um material didático de apoio à disciplina de Avaliação Quantitativa de Sistemas, ministrada aos cursos de Informática da Faculdade de Informática da Pontifícia Universidade Católica do Rio Grande do Sul. Seu uso é limitado a este fim. A reprodução deste material para outros fins é indevida. O documento é organizado conforme as principais partes da referida disciplina. Ao longo do documento (assim como da disciplina) são abordados vários formalismos estocásticos para modelagem de sistemas. Para cada formalismo de modelagem apresentado, procura-se descrevêlo informalmente e formalmente, mostrar a forma de solução a ser empregada, exemplificar, e propor exercícios para fixação de conceitos. O capítulo de Introdução contextualiza o conteúdo a ser abordado e traz, de maneira bastante sucinta, alguns conceitos que se consideram dominados pelo leitor do restante do documento. A seguir, dedica-se um capítulo a cada um dos temas: Processo de Nascimento e Morte, Cadeias de Markov, Redes de Filas de Espera, Redes de Petri Estocásticas e Redes de Autômatos Estocásticos.

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5 Sumário RESUMO LISTA DE TABELAS LISTA DE FIGURAS LISTA DE SÍMBOLOS E ABREVIATURAS iii vii ix xi Capítulo 1: Introdução Motivação Avaliação de Sistemas Técnicas de Avaliação de Sistemas Fases da Avaliação Medidas de Desempenho Noções de Probabilidade Notação de Teoria das Filas Capítulo 2: Processo de Nascimento e Morte Definição Informal Definição Formal Solução Solução para M/M/1/ Solução para M/M/C/K Exemplificação Exercícios Capítulo 3: Cadeias de Markov Definição Informal Escala de Tempo Propriedades Exemplo Definição Formal Solução Exemplificação Descrição

6 vi SUMÁRIO Gerador Infinitesimal Vetor de Probabilidade Exercícios Capítulo 4: Redes de Filas de Espera Definição Informal Sistema de Filas Definição Formal Solução Solução para Redes Abertas Solução para Redes de Filas Fechadas Exemplificação Exemplificação com rede fechada Exercícios: Filas Abertas Exercícios: Filas Fechadas Capítulo 5: Redes de Autômatos Estocásticos Definição Informal Autômatos Estocásticos Eventos Taxas e Probabilidades Funcionais Definição Formal SAN bem definida Exercícios Capítulo 6: Redes de Petri Estocásticas Redes de Petri Definição Informal Exemplificação Redes de Petri Estocásticas Definição Informal Definição Formal Exemplificação Exercícios REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 69 Apêndice A: Armazenamento do Descritor Markoviano de SAN 71 A.0.1 Exemplificação A.0.2 Descrição A.0.3 Tensores

7 Lista de Tabelas 6.1 Marcações da Figura A.1 Descritor Markoviano

8 viii LISTA DE TABELAS

9 Lista de Figuras 1.1 Estação de serviço com m servidores Processo de nascimento e morte Processo de nascimento e morte M/M/1/ Processo de nascimento e morte M/M/1/ Processo de nascimento e morte M/M/C/K Exemplificação de um processo de nascimento e morte Andrei Andreyevich Markov Modelo em CTMC com quatro estados e seis transições Modelo em CTMC com oito estados Tipos de filas Exemplo de rede de filas fechada Exemplo de rede de filas aberta Rede de filas de espera fechada Rede de fila de espera aberta Exemplificação com rede de fila de espera fechada Modelo em SAN com 2 autômatos independentes CTMC equivalente ao modelo da Figura Modelo em SAN com 2 autômatos, 1 evento sincronizante e uma taxa funcional CTMC equivalente ao modelo da Figura Exemplo de representação gráfica de uma Rede de Petri Exemplo de uma Rede de Petri marcada Disparo da transição t 1 de uma Rede de Petri Árvore de atingibilidade da Figura Compartilhamento de recursos com exclusão mútua - PN Exemplo de uma Rede de Petri Temporizada Exemplo de uma Rede de Petri Estocástica Árvore de atingibilidade da Figura Cadeia de Markov equivalente à Figura Compartilhamento de recursos com exclusão mútua - SPN Árvore de atingibilidade da Figura A.1 Modelo em SAN com três autômatos

10 x LISTA DE FIGURAS

11 Lista de Símbolos e Abreviaturas CTMC Continuous Time Markov Chains 17 DTMC Discrete Time Markov Chains 18 PN Petri Nets 51 RS Reachability Set 53 TPN Timed Petri Nets 56 SPN Stochastic Petri Nets 57

12 xii LISTA DE SÍMBOLOS E ABREVIATURAS

13 Capítulo 1 Introdução 1.1 Motivação Ao longo de sua vida profissional, o egresso dos cursos da área de Computação certamente se depara com situações onde tem que analisar uma situação do ponto de vista quantitativo. A seguir, ilustramos algumas situações para tentar tornar um pouco mais concretos os aspectos que pretendemos tratar. Situação 1 Suponha que à placa de rede de um computador chegam, em média, 300 pacotes por segundo. Desprezando as variações de tamanho de pacote e sabendo que a placa consegue tratar em média 500 pacotes por segundo, pergunta-se: quantos pacotes o buffer da placa deve poder armazenar para que a probabilidade de perda de pacote seja menor que 1 em 1000? Situação 2 Suponha que em um posto do INSS 5 pessoas podem ficar sentadas a espera. Lá fora no entanto, uma fila de capacidade infinita continua, dando voltas e voltas na quadra. Supondo que ninguém fura a fila e que ninguém morre na fila, e dado que 18 pessoas por hora entram na fila e que o único médico do posto atende criteriosamente uma pessoa a cada 3 minutos, diga: (i) Todas pessoas que entram na fila poderão ser atendidas em prazo limitado? (ii) Quanto % do seu tempo o médico do posto pode dormir em uma maca a sua disposição? (iii) Qual a probabilidade de haver ao menos 1 pessoa tomando chuva na fila, em um dia chuvoso? (iv) Qual a probabilidade de exatamente 2 pessoas estarem tomando chuva? Situação 3 Suponha um sistema operacional embarcado que tem sempre as mesmas 4 tarefas rodando, cumprindo um fim específico. A CPU atende cada tarefa em média em 5 u.t. (unidades de tempo). Uma tarefa sai da CPU 30% das vezes para esperar entrada do disco, 20% para esperar entrada da rede, e 50% das vezes por seu tempo de uso de CPU ter expirado (voltando para a fila ready). O disco atende à requisição, em média, em 10 u.t. Uma entrada da rede chega em média em 20 u.t. Pergunta-se: (i) qual o tamanho médio da fila ready; (ii) dobrar a velocidade de atendimento do disco resulta em alguma modificação significativa no sistema?

14 2 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO Situação 4 Em redes ad-hoc os pontos roteadores utilizam wireless. Cada estação wireless tem um raio de interferência. Se outra estação estiver neste raio de interferência, elas não podem transmitir simultaneamente. Imagine uma rota de 10 estações onde cada estação está no raio de interferência de outras duas (anterior e posterior). Supondo uso de tecnologia IEEE : (i) Qual a vazão líquida de dados na rota de 10 estações? (ii) Aumentando-se o grau de interferência (cada estação interfere com 2 antes e 2 depois), qual o impacto na vazão líquida de dados? 1.2 Avaliação de Sistemas Avaliar um sistema é pronunciar-se sobre as características de um certo sistema. Dado um sistema real qualquer, uma avaliação deste sistema pode ser definida como toda e qualquer observação feita sobre ele. Neste sendito, existem basicamente dois tipos de avaliação: Avaliação qualitativa: quando existe a necessidade de uma comparação com o senso-comum, ou ainda uma comparação com um referencial de base; Avaliação quantitativa: baseia-se na formulação de valores específicos, sem expressar considerações dos méritos dos valores obtidos. Em princípio, toda avaliação tem por objetivo o estabelecimento de um julgamento qualitativo sobre o sistema avaliado. No entanto, toda avaliação científica é feita sobre resultados quantitativos. Tais resultados devem ser objetivamente apresentados ao usuário final, de forma que esse possa tomar decisões acerca de seu sistema. Esta disciplina, como o nome sugere, tem foco no aspecto quantitativo. A aplicação prática da avaliação de desempenho é o conhecimento da situação (estado) do sistema avaliado. Tanto situações anteriores como situações atuais podem ser avaliadas para tornar possível a observação da evolução do sistema. Além disso, a observação do comportamento do sistema ajuda a entender o seu funcionamento. Podem ser ainda avaliadas situações futuras, com a finalidade de previsão e planejamento. Ainda, dentro do contexto de avaliação de sistemas, cabe salientar que é sempre recomendável um estudo da confiabilidade do método; para este fim é freqüente realizar-se a comparação de resultados de diversos técnicas diferentes. 1.3 Técnicas de Avaliação de Sistemas Existem diferentes técnicas de avaliação de desempenho de sistemas, que são tradicionalmente divididas em três abordagens distintas [20]: Monitoração Esta técnica, como o próprio nome sugere, consiste na observação (monitoração) de sistemas reais. Dentre as técnicas citadas, esta é a que propicia maior fidelidade dos índices obtidos, pois não é feita nenhuma abstração (modelagem) do sistema em questão. Porém, há algumas desvantagens visíveis desta abordagem, como por exemplo, a necessidade da existência do sistema a ser avaliado. Isto pode gerar problemas em relação ao custo e ao

15 1.3. TÉCNICAS DE AVALIAÇÃO DE SISTEMAS 3 tempo, pois o sistema implementado pode não satisfazer as necessidades, tendo que ser abandonado [20]. Uma outra desvantagem é a questão da amostragem. É necessário que se faça o uso correto de técnicas de estatística para que os dados recolhidos tenham validade. Simulação Esta abordagem consiste em construir um modelo que simule o funcionamento do sistema a ser avaliado. Este modelo deve descrever as características funcionais do sistema em uma escala adequada de tempo [20]. Este modelo deve conter os detalhes importantes referentes ao sistema, mas não a sua totalidade. Em outras palavras, há um certo nível de abstração. Contudo, deve-se salientar que esta abstração não deve acarretar na inclusão de erros no modelo nem mesmo na exclusão de características importantes. Comparativamente à monitoração, a simulação costuma ser menos dispendiosa e consumir menos tempo para que os índices sejam calculados, permitindo que sejam feitos quantos experimentos forem necessários. Porém, por se tratar de uma abstração da realidade, a fidelidade das medidas tende a ser menor na simulação se compararmos com a monitoração. Além disso, da mesma forma que na monitoração, a quantidade e representatividade das amostras consideradas é muito importante para a obtenção de resultados corretos. Métodos Analíticos Esta técnica de avaliação de desempenho, assim como a simulação, também se baseia no desenvolvimento de um modelo do sistema real, porém com um nível de abstração mais alto. Neste caso, o modelo é puramente matemático. Neste tipo de modelo, o funcionamento do sistema real é reduzido a relações matemáticas. Modelos analíticos podem ser determinísticos ou estocásticos. Em um modelo determinístico, todos os parâmetros do sistema são previamente determinados. Já em um modelo estocástico, o comportamento do sistema é analisado probabilisticamente, ou seja, os parâmetros do sistema são descritos por variáveis aleatórias, com distribuições de probabilidade convenientes. No último caso, o sistema é descrito em termos de um conjunto de estados em que o mesmo pode se encontrar e de transições estocásticas entre esses estados (uma transição estocástica é aquela cuja ocorrência é descrita por uma variável aleatória [13]). Desenvolver modelos analíticos normalmente exige maior abstração de aspectos da realidade, se comparado a modelos de simulação. Ainda, em alguns casos, não se consegue obter uma resolução numérica, mas sim uma resolução analítica 1. Algumas vezes a complexidade computacional do modelo pode tornar a resolução muito cara, ficando mais dispendiosa que uma resolução igualmente aceitável em simulação. Mesmo assim, métodos analíticos podem ser empregados com maior facilidade que outros em vários casos. Uma vantagem desta técnica em relação as outras descritas é que não há 1 Exemplificando: uma resolução numérica, passando por uma relação matemática dependente do espaço de estados (sistema de equações dependente do espaço de estados do problema), pode não ser possível pois o problema pode ser estado infinito. Para alguns de tais casos é possível obter-se solução analítica à forma produto, com fórmulas independentes do número de estados. Como exemplo cita-se o processo de nascimento e morte M/M/1/.

16 4 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO a necessidade de se preocupar com um conjunto específico de amostras de funcionamento do sistema para a obtenção dos índices de desempenho. Desta forma, o domínio de métodos anlíticos para avaliação de sistemas compreende um ferramental importante para profissionais da área de Informática. 1.4 Fases da Avaliação A avaliação de um sistema exige que sejam seguidos alguns passos: Modelagem: nesta etapa, são realizadas as observações sobre o sistema e definem-se as abstrações com que se vai trabalhar. A modelagem exige a definição de uma abordagem de modelagem de sistemas. Ao final desta etapa, tem-se um modelo do sistema considerado; Extração ou Resolução: nesta etapa, são realizados os cálculos e o processamento necessário à obtenção de resultados numéricos sobre o sistema a partir do modelo gerado na etapa anterior; Interpretação: a última etapa compreende a análise dos resultados obtidos e a tomada de decisão sobre alterações e melhorias. 1.5 Medidas de Desempenho Desempenho pode ser definido como a maneira como um sistema se comporta. Isto é, o desempenho de um sistema é determinado por suas características de execução. Portanto, avaliar o desempenho de um sistema demanda definir quais características comportamentais interessam ser consideradas. Por exemplo, se quisermos avaliar o desempenho de um automóvel, iremos considerar fatores tais como velocidade máxima, capacidade de aceleração (tempo necessário para ir de 0 Km/h a 100 Km/h), espaço de frenagem a uma dada velocidade, consumo médio de combustível, etc. Para sistemas computacionais, em geral consideram-se 4 fatores para medida de desempenho: Vazão (throughput): taxa de atendimento de pedidos pelo sistema. Ex.: Sistemas em lotes: jobs por segundo; Sistemas interativos: requisições por segundo; CPU: MIPS ou MFLOPS; Redes: pacotes por segundo (pps) ou bits por segundo (bps); Sistemas de processamento de transações: transações por segundo (TPS); Utilização: fatia de tempo em que o sistema permanece ocupado, atendendo a pedidos; População: quantidade de atendimentos a serem feitos em um determinado instante; Tempo de resposta: intervalo de tempo entre o pedido e o início/conclusão do serviço. 1.6 Noções de Probabilidade Fenômeno Determinístico: É possível saber que evento irá acontecer no futuro. Por exemplo, avanço de uma música em uma fita cassete. Sempre se sabe qual será a música seguinte, pois a ordem já é previamente conhecida;

17 1.6. NOÇÕES DE PROBABILIDADE 5 Fenômeno Aleatório: não é possível saber que evento irá acontecer no futuro. Ao lançar uma moeda não há como saber-se qual lado ficará à vista quando a moeda chegar ao solo, mesmo após inúmeros lançamentos; Evento discreto: Considera-se a ocorrência de um fenômeno apenas em determinados instantes de tempo dentro de um período (verifica-se fenômeno a cada intervalo de 5 minutos, por exemplo); Evento contínuo: Fenômeno pode ocorrer em qualquer instante de tempo. Variável aleatória: Uma variável aleatória é uma função que reflete o resultado de uma experiência aleatória. Podemos conhecer seu comportamento para um conjunto de valores, mas não sabemos o valor para uma ocorrência específica. Por exemplo,lançar uma moeda. Variável aleatória discreta: Seu conjunto possível de valores é composto por um número finito ou infinito enumerável de elementos. Variável aleatória contínua: números reais. Quando pode assumir qualquer valor de um intervalo de Distribuição de probabilidade: Não é possível saber de antemão o valor de uma variável aleatória e, para estudá-la, é necessário identificar os valores que ela pode assumir e com que freqüência ela ocorre, ou seja, a sua distribuição de probabilidade. Exemplos: jogar moeda (P(cara), P(coroa)); jogar um dado (P(lado1),...P(lado6)); jogar dois dados e obter uma determinada soma (P(soma=2), P(soma=3),... P(soma=12)); probabilidade de obter a primeira cara somente na n=ésima jogada (exemplo de distribuição geométrica); etc. Estes são exemplos de distribuições discretas de probabilidade. Temos também distribuições contínuas de probabilidade, quando o fenômeno observado pode assumir qualquer valor de uma escala. Seja a experiência aleatória medir o tempo entre dois eventos, por exemplo: o tempo entre duas requisições chegarem a um servidor; o tempo entre dois pacotes na rede; o tempo entre dois pacotes errados recebidos; tempo entre falhas de um componente eletrônico; tempo decorrido para abrir a porta novamente. Distribuição exponencial: as únicas distribuiçoes com característica "memoryless"são a geométrica (discreta) e a exponencial (contínua). "Memoryless"significa, de forma intuitiva, que saber o que aconteceu no passado não ajuda a prever o futuro. Assim, considerando um evento discreto como jogar moeda para cima, saber o resultados anteriores não afeta de maneira alguma as probabilidades associadas à próxima jogada de moeda. Considere um evento contínuo, como por exemplo a chegada de trabalhos em um sistema com distribuição exponencial e média 5. Se até o instante 4 não foi observada nenhuma chegada de trabalho, isto não aumenta a probabilidade de um trabalho chegar dentro do próximo segundo. Assim, com a característica "memoryless"o próximo estado de um sistema não depende dos estados anteriores. Esta característica propicia a utilização de métodos analíticos de avaliação. Processo estocástico: um processo estocástico é utilizado para modelar fenômenos onde várias variáveis aleatórias ou distribuições são encontradas. Tome-se como exemplo um

18 6 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO servidor de requisições. Temos duas distribuições envolvidas: (i) a freqüência de chegada de requisições e (ii) o tempo de serviço do servidor. Podemos considerar esta realidade, bem como o que desejamos observar dela, como um processo estocástico. Isto dá origem a várias configurações: Suponha que nosso interesse é saber o tamanho da fila de requisições a qualquer tempo, então temos espaço de estados discreto (número de requisições) e tempo contínuo (observado continuamente); Suponha que o interesse é saber o tamanho da fila no momento que uma requisição acabou de ser atendida, então o espaço de estados é discreto (número de requisições) e o tempo é discreto também (pois só será medido o tamanho da fila quando uma requisição acabar de ser atendida); Suponha que queiramos medir o tempo que uma requisição espera para ser atendida, então o processo estocásitico é estado contínuo (pois está-se medindo algo contínuo, que é o tempo de espera) e o tempo é discreto (pois mede-se para cada requisição) 2 ; Suponha que queiramos medir o tempo para acabar todos os processos em qualquer instante, então temos um processo estocástico de tempo e espaço contínuos. Às combinações são dados também os seguintes nomes: Estado Discreto x Tempo Discreto = Cadeia estocástica de tempo discreto; Estado Discreto x Tempo Contínuo = Cadeia estocástica de tempo contínuo; Estado Contínuo x Tempo Discreto = Processo de estado contínuo e espaço discreto; Estado Contínuo x Tempo Contínuo = Processo de estado contínuo e tempo discreto. Cadeias estocásticas são também chamadas de Cadeias de Markov (MC), dando origem a Cadeias de Markov de Tempo Discreto (DTMC) e de Tempo Contínuo (CTMC). Processo estacionário: quando não muda com o avançar do tempo t. Processo de Markov: se o próximo estado do processo depende somente do estado atual, i.e., os estados passados não importam na determinação do estado futuro. 1.7 Notação de Teoria das Filas Um sistema de filas com apenas uma fila, como pode ser visto na Figura 1.1, consiste de um fila de tamanho finito ou infinito e de um ou mais servidores identicos. Um servidor atende apenas um cliente por vez, logo pode estar ocioso ou ocupado. Se todos os servidores estão ocupados quando da chegada de um cliente, este será colocado em um buffer (assumindo que há espaço) e espera para ser atendido. A seguinte notação, conhecida como notação de Kendall, é muito utilizada para decrever sistemas de filas: A/B/m/K onde A indica a distribuição da chegada de cliente, B denota a distribuição do tempo de serviço, m indica o número de servidores (m 1) e K indica o tamanho máximo da fila (capacidade). Os seguintes símbolos são normalmente utilizados para A e B: 2 Não se deixe confundir: o que estamos medindo é o "espaço"e quando medimos é o "tempo"do processo estocástico. Se estamos medindo o tempo de espera, então o "espaço do processo estocástico"é contínuo; se medimos para cada processo ou quando um processo acaba, então o "tempo do processo estocástico"é discreto.

19 1.7. NOTAÇÃO DE TEORIA DAS FILAS 7 chegada de clientes 1. m Servidores saída de clientes Figura 1.1: Estação de serviço com m servidores. M: Distribuição exponencial (Memoryless); D: Distribuição determinística; Ek: Distribuição Erlang com k-fases; Hk: Distribuição Hyperexponential com k-fases. Por exemplo, M/M/1/3 indica que o tempo entre chegadas e o tempo de serviço são regidos por distribuições exponenciais, há apenas 1 servidor e a capacidade da fila é de 3 clientes.

20 8 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO

21 Capítulo 2 Processo de Nascimento e Morte Neste capítulo, apresenta-se as definições informal e formal de processo de nascimento de morte. Em seguida, através de um exemplo, é mostrado como esse tipo de problema é resolvido. Por fim, exercícios sobre o tema são sugeridos. 2.1 Definição Informal Processo de nascimento e morte é uma representação através de estados e transições entre esses estados de um sistema com uma fila simples (Figura 2.1). O nascimento representa a chegada de mais um cliente na fila, enquanto a morte representa um cliente que foi atendido. É importante frizar que o tamanho desta fila pode ser tanto infinito quanto finito. λ λ λ λ λ λ i i+1 i+2... µ µ µ µ µ µ Figura 2.1: Processo de nascimento e morte. Como pode ser observado na Figura 2.1, λ representa a taxa que ocorrem nascimentos em um dado estado (taxa de nascimento) e µ representa a taxa que ocorrem mortes em um dado estado (taxa de morte). Em outras palavras, podemos dizer que λ é a taxa de chegada de clientes e µ é a taxa de serviço dos mesmos. Logo, o tempo de chegada entre cliente é, em média, 1 λ e o tempo de serviço de cada cliente é, em média, 1 µ. Além disso, pode-se observar a razão ρ = λ µ (intensidade de tráfego) mostra que: se ρ > 1, há mais chegadas do que saídas de clientes. O número de clientes no sistema é ilimitado, o sistema é instável; se ρ < 1, há mais saídas do que chegadas de clientes. Existe uma solução estacionária para o sistema; se ρ = 1, significa que chega, em média, o mesmo número de clientes que saem do sistema. Qualquer número de clientes no sistema é equiprovável, o sistema é instável.

22 10 CAPÍTULO 2. PROCESSO DE NASCIMENTO E MORTE 2.2 Definição Formal O Processo de Nascimento e Morte pode ser estado finito ou infinito, sendo que ambos os casos podem ser solucionados, como visto em seção a seguir. Um Processo de Nascimento e Morte é caracterizado pela dupla (M, T ), onde: M T (x, y) é o conjunto de estados; é taxa de ocorrência da transição do estado x para o estado y. T é a função de transição a qual associa uma taxa de ocorrência de uma transição de um estado para outro. A função T possui domínio em M M e contradomínio nos R +, i.e., a função é definida como T : M M R +. Note que no Processo de Nascimento e Morte somente são possíveis transições entre estados estados vizinhos. Assim, a definição da função T deve ser restringida. Seja: R uma função de rotulação R : M N, ou seja a função R associa um número natural a cada estado de M. Restrição de T (x, y) usando R: a função T (x, y) é válida para todo par de estados x, y tal que R(x) = R(y) 1 ou R(x) = R(y) Solução Neste documento seão apresentadas duas formas de resolver processos de nascimento e morte. A primeira delas é quando o sistema possui capacidade infinita e um servidor (M/M/1/ ), também chamado independente de carga. A segunda é quando o sistema possui capacidade finita, podendo ter vários servidores (M/M/C/K), também chamado dependente de carga Solução para M/M/1/ A Figura 2.2 mostra um processo de nascimento e morte M/M/1/. λ λ λ µ µ µ Figura 2.2: Processo de nascimento e morte M/M/1/. Intuição: a probabilidade de estar no estado i depende da probabilidade de estar no estado i 1 e das taxas de saída de i 1 para i e de retorno de i para i 1. Como o somatório de todas probabilidades tem que ser 1, a probabilidade do primeiro estado (estado 0) é determinada sabendo-se a soma de todas outras probabilidades. Desta maneira, para i > 0 temos que a probabilidade de se encontrar no estado i (P i ) é: Ou, de outra maneira: P i = P i 1 ( λ µ )

23 2.3. SOLUÇÃO 11 P i = P 0 ( λ µ )i Agora falta encontrar P 0. Sabe-se que: i 0 P i = 1 Ou seja: i 0 ρi P 0 = 1 Assim tem-se que a probabilidade de se encontrar no estado i = 0 (P 0 ) é: Por uma sucessão de manipulações tem-se: 1 P 0 = i 0 ρi 1 P 0 = = 1 ρ = 1 λ i 0 ρi µ Este passo pode ser demonstrado da seguinte maneira 1. Deseja-se mostrar que: 1 = 1 ρ i 0 ρi Ou, invertendo-se: Seja S m = m i=0 ρi i 0 ρi = 1 1 ρ S m+1 = S m + ρ m+1 = m+1 i=0 ρi S m + ρ m+1 = 1 + m+1 i=1 ρi S m + ρ m+1 = 1 + m i=0 ρi+1 S m + ρ m+1 = 1 + ρ m i=0 ρi S m + ρ m+1 = 1 + ρ S m S m (ρ S m ) = 1 ρ m+1 S m (1 ρ) = 1 ρ m+1 S m = 1 ρm+1 1 ρ Sejam m e ρ < 1: S = 1 ρ 1 ρ = 1 1 ρ Levando à primeira igualdade Solução para M/M/C/K Este caso pode ser dividido em duas situações: quando o sistema possui apenas um servidor (M/M/1/K) ou quando possui mais de um servidor (M/M/C > 1/K). A Figura 2.3 ilustra a situação onde temos apenas 1 servidor no sistema e capacidade para 4 clientes. λ λ λ λ µ µ µ µ Figura 2.3: Processo de nascimento e morte M/M/1/4. Uma forma de solucionar (obter as probabilidades para cada estado) o sistema é como segue: 1 Agradecimentos ao Prof. João Batista

24 12 CAPÍTULO 2. PROCESSO DE NASCIMENTO E MORTE primeiramente atribui-se um peso qualquer para o estado i = 0 (W 0 ). Para facilidade de cálculos pode-se utilizar W 0 = 1; para obter os pesos dos estados onde i > 0 utiliza-se a fórmula para o cálculo de probabilidades: W i = W i 1 ( λ µ ) = ( λ µ )i W 0 assim obtém-se W 0..W K pesos para os estados 0 a K. Estes pesos mantém, entre eles, as mesmas proporções que as probabilidades P 0..P K. Assim, deve-se normalizar os resultados obtidos para que a soma das probabilidades seja 1, fazendo: P i = W i K j=0 W j Quando C > 1 (Figura 2.4) o modo de resolução é bastante similar, porém, após atribuir um peso ao estado i = 0 (por exemplo, W 0 = 1), utiliza-se a seguinte fórmula para obter pesos para os demais estados: W i = W i 1 ( λ min(i,c) µ ) Onde min(x,y) = x, se x < y ou min(x,y) = y em caso contrário. A partir disso, os resultados são normalizados como no caso anterior para obter as probabilidades. λ λ λ λ λ λ... C 2 C C µ 2µ 3µ (C 1)µ Cµ Cµ Figura 2.4: Processo de nascimento e morte M/M/C/K. 2.4 Exemplificação Supondo um processo de nascimento e morte M/M/1/4 (Figura 2.5) com taxa de chegada de clientes igual a 2 taxa de serviço igual a 4. Vamos calcular a probabilidade da fila estar em cada um dos estados. λ λ λ λ µ µ µ µ Figura 2.5: Exemplificação de um processo de nascimento e morte. Estabelecendo que P 0 = 16. temos que:

25 2.5. EXERCÍCIOS 13 W 0 = 16 W 1 = ( λ µ ) W 0 = 8 W 2 = ( λ µ ) W 1 = 4 W 3 = ( λ µ ) W 2 = 2 W 4 = ( λ µ ) W 3 = 1 A soma de todas as probabilidades é igual a 31, então, normalizando os valores obtidos chegamos as probabilidades de se encontrar em cada estado do sistema: P 0 = P 1 = 8 31 P 2 = 4 31 P 3 = 2 31 P 4 = 1 31 = 0, 5161 = 0, 2581 = 0, 1290 = 0, 0645 = 0, Exercícios 1. A emergência do Hospital Marcel Neuts possui capacidade para no máximo sete pacientes. Sabe-se que um paciente a cada 7,5 minutos chega na emergência e que há três médicos trabalhando na mesma. Sabe-se também que um médico leva em média dez minutos para atender um paciente. a) Logo, deseja-se saber qual a probabilidade da emergência se encontrar lotada? b) E qual a perda de pacientes por hora? 2. Uma fila recebe em média um cliente por hora e atende um cliente a cada 12 minutos. Qual a capacidade ideal desta fila para que a probabilidade dela se encontrar cheia seja menor do que 8%? 3. Uma mercearia com capacidade para até 5 clientes abre às 10h e fecha às 19h. Neste tempo, 810 clientes chegam para serem atendidos. Dois atendentes atendem um cliente a cada dois minutos por atendente. Caso este problema resulte em um modelo que respeite a hipótese da estacionariedade, qual a população média da mercearia? Caso contrário, qual o número máximo de clientes por dia que a mercearia poderia atender? 4. A avenida Kendal possui um espaço de oito carros em seu canteiro central para realizar o seu cruzamento. Porém, é possível que dois carros fiquem lado a lado no canteiro central para realizar o cruzamento da avenida. Em média, a cada 10 segundos chega um carro no cruzamento, enquanto leva-se em média 12 segundos para realizar o cruzamento da avenida. a) Com isso, deseja-se saber qual a probabilidade de não haver mais espaço no canteiro central para se realizar o cruzamento? Entretanto, a avenida Kendal irá sofrer obras. Logo, o canteiro central não suportará mais dois carros lado a lado e se levará apenas 7,5 segundos em média para se realizar o cruzamento. b) Para que o fluxo do cruzamento não seja prejudicado, quantos carros o canteiro central precisaria suportar para que a probabilidade de não haver mais espaço no mesmo não seja superior ao que ele suporta atualmente?

26 14 CAPÍTULO 2. PROCESSO DE NASCIMENTO E MORTE Canteiro Central Avenida Kendal Avenida Kendal 5. O setor de reclamações das lojas Tabajara possui capacidade para no máximo quatro clientes. Sabe-se que chega um cliente a cada 15 minutos para fazer uma reclamação e que há quatro funcionários trabalhando no mesmo. Sabe-se também que um funcionário leva em média 7 minutos para atender um cliente. Qual a probabilidade do setor de reclamações se encontrar lotado? 6. Uma fila com capacidade para até 5 clientes possui 2 servidores, taxa de chegada igual a 10 clientes por hora, e taxa de atendimento igual a 8 clientes por hora. Deseja-se saber: a) Qual a probabilidade da fila estar vazia? b) Qual a probabilidade da fila estar cheia? c) Qual a perda por hora de clientes? 7. Suponha que em um posto do INSS 5 pessoas podem ficar sentadas a espera. Lá fora no entanto, uma fila de capacidade infinita continua, dando voltas e voltas na quadra. Supondo que ninguém fura a fila e que ninguém morre na fila, e dado que 18 pessoas por hora entram na fila e que o único médico do posto atende criteriosamente uma pessoa a cada 3 minutos, diga: a) Todas pessoas que entram na fila poderão ser atendidas em prazo limitado? b) Quanto % do seu tempo o médico do posto pode dormir em uma maca a sua disposição? c) Qual a probabilidade de haver ao menos 1 pessoa tomando chuva na fila, em um dia chuvoso? d) Qual a probabilidade de exatamente 2 pessoas estarem tomando chuva? 8. Suponha o mesmo exemplo do INSS, só que somente 5 clientes ficam na fila. Quando um cliente chega e a fila está cheia, ele vai embora (perda). a) Quanto % do seu tempo o médico do posto pode dormir em uma maca a sua disposição? Compare com os resultados para a fila que dá voltas na quadra! b) Qual a taxa (clientes por unidade de tempo) de clientes que vão embora, pelo fato da fila estar cheia? Suponha agora que um novo médico é contratado para o posto do INSS. A sala de espera continua com os mesmos 5 lugares. Cada médico atende a um paciente a cada 3 minutos e 18 pacientes tentam entrar no posto por hora. c) Quanto % do seu tempo os médicos poderão dormir ou falar mal do sistema de saúde? d) Qual a taxa (clientes por unidade de tempo) de clientes que vão embora pois a fila está cheia? 9. Considere um sistema de filas simples com um servidor e sem limite de capacidade onde se atende um cliente em 0,1 horas e um cliente chega a cada 0,125 horas. a) A fila respeita a hipótese da estacionariedade? b) Qual é a probabilidade da fila não estar vazia? c) Qual a probabilidade da fila ter 1, 2 e 3 clientes?

27 2.5. EXERCÍCIOS Um banco tem dois caixas que funcionam das 10 horas da manhã até as 16 horas da tarde. Desejam ser atendidos no banco, em média, 240 clientes por dia. Cada caixa atende em média um cliente a cada dois minutos. A recomendação da gerência é manter a fila com no máximo 10 clientes. O gerente do banco deve: a) Dispensar um caixa? b) Colocar mais um caixa? c) Colocar mais dois caixas? d) Deixar a fila como está? 11. Um roteador serve 3000 pacotes por segundo de um enlace. Supondo que 2000 pacotes são gerados por segundo, qual o tamanho do buffer em número de pacotes para que seja perdido, em média, um pacote por segundo? E aceitando uma perda média de 5 pacotes por segundo, que tamanho a fila poderia ter?

28 16 CAPÍTULO 2. PROCESSO DE NASCIMENTO E MORTE

29 Capítulo 3 Cadeias de Markov Andrei Andreyevich Markov nasceu em 14 de junho de 1856 em Ryazan, Russia, graduouse na Universidade de São Petersburgo (1878) e começou a atuar como professor na mesma universidade em A partir de 1900 estudou processos estocásticos. Em 20 julho de 1922 faleceu na então Petrogrado (agora São Petersburgo), Russia. Figura 3.1: Andrei Andreyevich Markov Neste capítulo, apresenta-se uma definição informal do formalismo de Cadeias de Markov (MC - Markov Chains). Em seguida, apresenta-se a definição formal de MC à escala de tempo contínua (CTMC - Continuous Time Markov Chains) englobando os conceitos definidos informalmente. Além disso, demonstra-se as regras necessárias para a obtenção do gerador infinitesimal de um modelo descrito pelo formalismo de MC, bem como um exemplo completo de obtenção do mesmo. 3.1 Definição Informal O formalismo de Cadeias de Markov [7, 25, 29] é um formalismo matemático para modelagem de sistemas. Através do uso de formalismo de MC, é possível descrever o funcionamento de um sistema utilizando um conjunto de estados e transições entre esses estados. As transições entre os estados são modeladas por um processo estocástico de tempo contínuo ou discreto definidos por distribuições exponenciais ou geométricas respectivamente. Um modelo descrito pelo formalismo de MC pode ser interpretado como uma máquina de estados, onde os nodos da mesma representam os estados e os arcos representam as transições

30 18 CAPÍTULO 3. CADEIAS DE MARKOV entre os estados do modelo em MC. No decorrer deste documento, adota-se a seguinte notação para a definição dos modelos em MC: Seja x x-ésimo estado de um modelo, onde 0 é o primeiro estado do modelo. A seguir, apresenta-se a definição das escalas de tempo utilizadas pelo formalismo de MC Escala de Tempo Um modelo descrito pelo formalismo de MC [7, 25, 29] pode ser classificado de acordo com a sua escala de tempo: Cadeias de Markov à escala de Tempo Contínua (CTMC - Continuous Time Markov Chains); Cadeias de Markov à escala de Tempo Discreta (DTMC - Discrete Time Markov Chains). Os modelos em CTMC diferem dos modelos em DTMC basicamente por suas transições entre os estados poderem ocorrer em qualquer instante de tempo e não em pontos discretos de tempo Propriedades Segundo Stewart [25], apresenta-se a seguir as propriedades para a construção de um modelo descrito pelo formalismo de MC. Os estados do modelo são discretos e enumeráveis. Assim, o formalismo de MCpermite cadeias de infinitos estados. A escala de tempo para a transição entre os estados do modelo pode ser de forma contínua (CTMC) ou discreta (DTMC). A transição entre os estados do modelo depende exclusivamente do estado atual do modelo, sem importar quais foram os estados prévios ou serão os estados futuros do modelo. A taxa (CTMC) ou probabilidade (DTMC) de transição de estados do modelo dá-se obedecendo a uma lei exponencial ou geométrica respectivamente. A representação gráfica de um modelo em MC é feita por autômatos, onde é associado para cada estado do autômato um estado do modelo e para cada transição uma taxa (CTMC) ou uma probabilidade (DTMC). Um modelo em MC é representado, matematicamente, por uma matriz de transição de estados. A probabilidade de cada estado em regime estacionário (solução de um modelo em MC) é a solução do sistema da equação linear: πq = 0, (3.1) onde Q é a matriz de transição de estados e π (vetor de probabilidade) é o autovetor correspondente ao autovalor unitário da matriz de transição. É importante ressaltar que a soma dos

31 3.2. DEFINIÇÃO FORMAL 19 elementos do vetor de probabilidade π deve ser igual a 1, i.e., π = 1. Para os modelos em CTMC, a matriz de transição de estados Q é denominada de gerador infinitesimal, onde cada elemento não diagonal da linha i e coluna j da matriz representa a taxa de transição do estado i para o estado j do modelo. Os elementos diagonais de Q representam o ajuste necessário para que a soma dos elementos de cada linha seja igual a zero. Para os modelos em DTMC, a matriz de transição de estados P é denominada de matriz estocástica, onde cada elemento não diagonal representa a probabilidade de transição entre os estados do modelo. Os elementos diagonais de P representam o ajuste necessário para que a soma dos elementos de cada linha seja igual a um Exemplo O foco principal deste documento é o formalismo de CTMC. Por conseguinte, as explicações e exemplos apresentados no decorrer deste documento fazem menção para modelos descritos à escala de tempo contínua (taxas de ocorrência) e não à escala de tempo discreta (probabilidades de ocorrência). A Figura 3.2 apresenta um modelo em CTMC com quatro estados e seis transições. Cada transição entre um estado e outro possui associada uma taxa de ocorrência à mesma Figura 3.2: Modelo em CTMC com quatro estados e seis transições A seguir, apresenta-se a definição formal do formalismo de CTMC. 3.2 Definição Formal Apesar do formalismo de MC permitir cadeias infinitas, a solução para cadeias infinitas existe para um conjunto reduzido de casos. Alguns exemplos podem ser encontrados no capítulo referente a Processo de Nascimento e Morte. Por outro lado, toda MC finita tem solução tal como será apresentada na seção seguinte. Assim, nesta seção considera-se a formalização de um modelo em CTMC compreendendo um conjunto finito de estados e transições. Sejam M conjunto de estados;

32 20 CAPÍTULO 3. CADEIAS DE MARKOV M ( M = cardinalidade(m)) 1. O conjunto de estados M compreende M estados x, onde x [0..( M 1)] 2. Definição 1 T é a função de transição a qual associa uma taxa de ocorrência de uma transição de um estado para outro. A função T possui domínio em M M e contra-domínio nos R +, i.e., a função é definida como T : M M R +. Seja T (x, y) taxa de ocorrência da transição do estado x para o estado y. Note que nem toda a transição de um estado x para um estado y possui uma taxa não nula determinada pela função T (x, y). Seja succ(x) conjunto não vazio dos estados y, tais que possua uma transição do estado x para algum estado y, i.e., succ(x) = {y M T (x, y) 0}. O conjunto de estados sucessores de um determinado estado x é importante para a definição do método de obtenção do gerador infinitesimal, o qual será apresentado na próxima seção. 3.3 Solução Um modelo em CTMC, de estados finitos, é representado, matematicamente, por uma matriz de transição de estados, a qual também é denominada de gerador infinitesimal. Logo, a matriz Q é conhecida tanto como matriz de transição de estados como gerador infinitesimal. Neste trabalho, adota-se o termo gerador infinitesimal para descrever matematicamente um modelo descrito pelo formalismo de CTMC. Seja Q(x, y) Definição 2 por: elemento da linha expressa pelo estado x e coluna expressa pelo estado y do gerador infinitesimal Q. Os elementos do gerador infinitesimal Q de um modelo em CTMC são definidos 2.1. x, y M tal que y succ(x) 2.2. x M Q(x, y) = T (x, y); Q(x, x) = y succ(x) T (x, y); 2.3. x, y M tal que y succ(x) Q(x, y) = 0. 1 É adotada a notação X para definir a cardinalidade de um conjunto X. 2 No decorre deste trabalho, é adotada a notação [i..j] referindo-se a um número no intervalo de i até j, inclusive, pertencendo ao conjunto do números naturais; e a notação [i,j] referindo-se a um número pertencente ao intervalo i e j, inclusive, no conjunto de números reais.

33 3.4. EXEMPLIFICAÇÃO 21 A Definição 2.1 corresponde aos elementos não diagonais do gerador infinitesimal, os quais possuem a taxa de ocorrência da transição do estado x para o estado y. Os elementos diagonais (ajuste diagonal das taxas de ocorrência das transições entre os estados) do gerador infinitesimal estão descritos na Definição 2.2. A Definição 2.3 define os elementos nulos do gerador infinitesimal. 3.4 Exemplificação Demonstra-se nesta seção um exemplo completo de obtenção do gerador infinitesimal de um modelo descrito pelo formalismo de CTMC Descrição A Figura 3.3 apresenta um modelo descrito pelo formalismo de CTMC, o qual possui oito estados. Este modelo descreve um buffer de requisições de impressão. Este buffer faz o gerenciamento de duas impressoras: laser e deskjet. Este buffer recebe, em média, uma requisição a cada 5 minutos (12 requisições por hora). A impressora laser leva em média 2 segundos (1800 folhas por hora) para imprimir uma folha, enquanto a impressora deskjet imprime uma folha em 5 segundos (720 folhas por hora). Um pedido de impressão pode ser atendido tanto pela laser como pela deskjet, respeitando a razão de que para cada hora trabalhada pela impressora deskjet, a impressora laser trabalha por 4 horas ,25 1 0,25 1 0,25 1 0, Figura 3.3: Modelo em CTMC com oito estados Os estados 0, 1, 2 e 3 representam o número de requisições no buffer (0, 1, 2 e 3 requisições respectivamente) que estão sendo atendidas pela impressora laser. Em contra partida, os estados 4, 5, 6 e 7 representam o número de requisições no buffer (0, 1, 2 e 3 requisições respectivamente) que estão sendo atendidas pela impressora deskjet. É possível construir o gerador infinitesimal do modelo em CTMC, a partir da identificação das taxas de ocorrência das transições de um estado para outro.

34 22 CAPÍTULO 3. CADEIAS DE MARKOV Gerador Infinitesimal Primeiramente, identifica-se o número de estados M do modelo para se construir o gerador infinitesimal do mesmo. A partir desta informação, o gerador infinitesimal será uma matriz de ordem M M. Através da Definição 2.1, preenche-se os elementos não diagonais do gerador infinitesimal, utilizando as taxas de ocorrência da transição de um estado para outro. Sendo assim, tem o gerador infinitesimal com os elementos não diagonais preenchidos: Q = , , , , Observação: seja uma linha i e uma coluna j, lê-se que a transição do estado i para o estado j tem taxa dada pela célula (i,j) da matriz. Posteriormente, preenche-se os elementos diagonais (ajuste diagonal das taxas de ocorrência das transições entre os estados) do gerador infinitesimal, utilizando a Definição 2.2. Como a soma de cada linha do gerador infinitesimal deve ser igual a zero, o mesmo fica da seguinte maneira após o ajuste da diagonal: Q = , , , , , , ,25 0, Por último, aplicando a Definição 2.3, preenche-se os elementos nulos do gerador infinitesimal. Logo, tem-se o gerador infinitesimal do modelo descrito na Figura 3.3: Q = , , , , , , , ,

35 3.5. EXERCÍCIOS Vetor de Probabilidade A partir do gerador infinitesimal completo de um modelo em CTMC, é possível obter-se a probabilidade de cada estado em regime estacionário (vetor de probabilidade π) através da resolução da equação (3.1). Sendo assim, por exemplo, somando a probabilidade π 3 (buffer encontra-se cheio e está sendo atendido pela impressora laser) com a probabilidade π 7 (buffer encontra-se cheio e está sendo atendido pela impressora deskjet), tem-se a probabilidade do buffer encontrar-se cheio independentemente de qual impressora está atendendo-o. 3.5 Exercícios 1. Um fast-food tem apenas um funcionário atendendo cada cliente em um minuto e meio (em média). O turno de trabalho neste local vai de 9:00 até 21:00 diariamente. Como este fast-food tinha uma procura de 588 clientes por dia, o dono resolveu empregar mais um funcionário para atender os clientes. Considerando que o tempo de atendimento de ambos os funcionários é em média igual e que no máximo quatro clientes podem estar presentes esperando atendimento ou sendo atendidos, pergunta-se: o dono agiu corretamente? Justifique numericamente sua resposta. 2. Seja um laboratório com quatro pontos de trabalho. Suponha que usuários demandam pontos de trabalho a cada 8 minutos e usam os pontos por cerca de 5 minutos. Suponha ainda que (em média) a cada 20 minutos falta luz por 2 minutos e depois da falta de luz todos pontos de trabalho voltam a ficar livres. Pergunta-se qual a probabilidade de pelo menos 2 pontos de trabalho estarem livre e prontos para utilização? Obs: Suponha que todos tempos variam segundo distribuição exponencial. 3. Um servidor recebe em média uma requisição a cada 20 segundos. Este servidor consegue armazenar no máximo quatro requisições. As requisições levam em média 5 segundos para serem atendidas. A cada meia hora ocorre um problema no servidor e este é desligado, levando em média 5 minutos para ser ligado novamente. Quando isso ocorre, todas as requisições armazenadas no buffer do servidor são perdidas. Deseja-se saber: quantas horas no dia o servidor encontra-se desligado? 4. A farmácia Souza e Silva possui apenas um funcionário que fica a espera de clientes. Sabese que a cada dez minutos chega um cliente na farmácia para o funcionário atendê-lo. Por razões de segurança, a farmácia fica fechada e o cliente é atendido na porta de grade. Como a rua é movimentada, na verdade não só há lugar para o cliente em atendimento. Se outro cliente chegar enquanto um está sendo atendido, ele vai embora pois não quer ficar parado na calçada movimentada. O funcionário leva em média trinta segundos para procurar o pedido do cliente. Porém, 75% das vezes, o medicamento solicitado não se encontra no balcão e o funcionário é obrigado a se deslocar para as prateleiras a procura do mesmo. Quando isso ocorre, o funcionário leva mais trinta segundos para procurar o medicamento nas prateleiras. Após encontrado o medicamento, o funcionário leva em média dois minutos para finalizar a compra e voltar a espera de novos clientes. Com isso, deseja-se saber: (i) qual a probabilidade do funcionário se localizar nas prateleiras a procura de medicamentos? (ii) quanto tempo o funcionário não está atendendo clientes que vem na farmácia e poderia, por exemplo, empacotar os tele-pedidos, caso o Sr. Souza e Silva decida abrir este ramo?