Modelos Estocásticos. Resolução de alguns exercícios da Colectânea de Exercícios 2005/06 PROCESSOS ESTOCÁSTICOS E FILAS DE ESPERA LEGI

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1 Modelos Estocásticos Resolução de alguns exercícios da Colectânea de Exercícios 2005/06 LEGI Capítulo 7 PROCESSOS ESTOCÁSTICOS E FILAS DE ESPERA Nota: neste capítulo ilustram-se alguns dos conceitos de processos estocásticos e filas de espera dados no decorrer das aulas. As presentes resoluções servem apenas como um de vários elementos de estudo que o aluno deverá utilizar, e não substituem, de forma alguma, a resolução por parte dos alunos de outros exercícios que constam da colectânea. 7.4 Numa grande empresa o processo de admissão de funcionários consiste num teste psicotécnico seguido dum teste físico e seguido dum teste específico da função. Um indivíduo eliminado numa fase já não passa à fase seguinte mas pode repetir o teste que falhou. Um indivíduo aceite após o teste específico é contratado. As probabilidades de um indivíduo que está numa dada fase passar à fase seguinte são, por ordem sequencial 55%, 70% e 80%. Em cada fase há sempre concorrentes que desistem com probabilidades de 25%, 10% e 2%. (a) Construa um processo estocástico que descreva a situação apresentada e obtenha a matriz de transição. Classifique os estados desta cadeia. (b) Para um indivíduo que concorre a um dado lugar, qual a probabilidade de ser contratado depois de ter efectuado 3 testes? Resolução Seja X n a v.a. que indica a posição do indivíduo ao fim de n etapas, e {X n,n IN} o respectivo processo estocástico. Tome-se a seguinte notação para os estados: Indívíduo na etapa n está a fazer teste psicotécnico: X n = 1; Indívíduo na etapa n está a fazer teste físico: X n = 2; 15

2 Indívíduo na etapa n está a fazer teste específico: X n = 3; Indívíduo na etapa n está contratado: X n = 4; Indívíduo desistiu na etapa n: X n = 5. (a) Uma vez que um indivíduo eliminado numa fase já não passa à fase seguinte mas pode repetir o teste que falhou e que um indivíduo aceite após o teste específico é contratado, então segue-se que a propriedade Markoviana é satisfeita (note-se que X n+1 depende apenas, probabilisticamente, de X n ). A matriz de probabilidades de transição subjacente a este processo é então a seguinte: Note-se, por exemplo, que P(X n+1 = 1 X n = 1) = 1 5 x=2 P(X n+1 = x X n = 1 = 1 ( ). Como p 44 = p 55 = 1, então tanto o estado 4 como o 5 são absorventes; o estado 4 é acessível a partir dos estados 1 (percurso: ), 2 e 3; o estado 5 é acessível também a partir dos mesmos estados (os estados 1,2 e 3 são transientes). Como há dois estados distintos absorventes, a cadeia de Markov não é irredutível. (b) Nesta alínea pretende-se determinar P(X 4 = 4,X 3 = 3,X 2 = 2,X 1 = 1) = P(X 1 = 1)P(X 2 = 2 X 1 = 1) P(X 3 = 3 X 2 = 2)P(X 4 = 4 X 3 = 3) = = uma vez que P(X 1 = 1) (admitindo que os concorrentes têm sempre de começar pelo 1 o teste). 7.5 Admita que as pessoas vacinadas contra a gripe se podem classificar num dos três estados seguintes: A - Muito constipada; B - Pouco constipada; C - Não constipada. 16

3 Note-se que o estado em que se encontram numa dada semana só depende do estado na semana anterior. A matriz de transição que descreve aquele processo é: A B C A B C (a) Defina a matriz representativa das probabilidades condicionadas de estar no estado j ao fim de 3 semanas dado que está inicialmente no estado i. (b) Considere na semana 1 um indivíduo vacinado contra a gripe que não está constipado. Qual a probabilidade do indivíduo estar em cada um dos estados descritos, ao fim de 3 semanas? Resolução (a) Pretende-se construir a matriz de probabilidades de transição a 2 passos, i.e., pretende-se atribuir valores a P (3) = {P(X 3 = j X 1 = i)} i,j {1,2,3} (com a convenção de que A é representado pelo estado 1, B é representado pelo estado 2 e que C é representado pelo estado 3). Decorre das equações de Chapman- Kolmogorov que P (3) = P 3 = (b) Neste caso pretende-se determinar P(X 3 = j X 1 = 3) = p (2) 3j, para j = 1,2,3, valor que decorre da alínea anterior: p (2) 31 = ; p(2) 32 = ; p(2) 33 = Uma padaria tem 1 funcionário para aviar, continuamente, os fregueses que chegam um a um, à taxa de 30 por hora. Ao chegarem, os fregueses são aviados por ordem de chegada, que lhes é indicada por uma senha que tiram quando entram na padaria. Cada freguês leva, em média, 1.5 minutos a ser atendido. O tempo que decorre entre as chegadas, bem como o tempo que o funcionário leva a atender cada freguês, seguem leis exponenciais. (a) Qual a probabilidade de se formar uma fila na padaria? (b) Qual o tamanho médio da fila? (c) Qual o número médio de fregueses na padaria? (d) Qual a probabilidade do funcionário estar desocupado? 17

4 (e) Qual a probabilidade dum freguês esperar menos de 10 minutos até começar a ser atendido? (f) Qual o tempo médio que o cliente passa na padaria? (g) Qual o tempo médio que o cliente passa na fila de espera? (h) Defina e calcule a taxa de utilização. Resolução: de acordo com o enunciado, conclui-se que o sistema estocástico em questão pode ser modelado por uma fila M/M/1, uma vez que o tempo entre chegadas consecutivas de clientes é exponencial, que a duração dos serviços (assumida independente entre clientes e independente das chegadas) é exponencial, existe um único servidor (o funcionário da padaria) e fila de espera infinita; assumese ainda que é um sistema com disciplina de serviço FIFS (first in, first served) (uma vez que existe uma senha). Decorre ainda do enunciado que o número de clientes que chegam ao sistema é um processo de Poisson de taxa 30 (por hora), pelo que o tempo que decorre entre chegadas consecutivas tem distribuição Exponencial de parâmetro 30 (em horas), e que o parâmetro da exponencial correspondente ao serviço é 60/1.5 = 40 horas. (a) Seja p j = lim n P(X n = j), onde X n designa o número de clientes no sistema no instante n, e ρ = λ µ = = Então a probabilidade de se formar fila na padaria é dada por lim P(X n 2) = n j=2 p j = 1 p 0 p 1 = 1 (1 ρ) ρ(1 ρ) = (b) Seja L q = j=2 (j 1)p j o tamanho médio da fila de espera. Decorre da expressão do formulário que: L q = λ 2 µ(µ λ) = (40 30) = 2.25 i.e., tal como o sistema está dimensionado, em média existem 2.25 clientes na fila. (c) O número médio de clientes na padaria é igual a L = λ µ λ = = 3. (d) O funcionário está desocupado se não houver clientes no sistema. Logo a probabilidade de o funcionário estar desocupado é dada por: p 0 = 1 ρ =

5 (e) Seja W q a v.a. que contabiliza o tempo que um cliente arbitrário passa em espera, na fila. Então vem do formulário que P(W q < ) = 1 P(W q < ) = 1 λ µ et/(µ λ) = e10 60 /(40 30) = (f) Seja W v.a. que contabiliza o tempo (em horas) que um cliente arbitrário passa na padaria. Então vem do formulário que W Exp(µ λ) = Exp(10), pelo que E[W] = 0.1 horas, i.e., em média cada cliente fica 6 minutos na padaria. (g) Note-se que W = W q + S, onde S é a v.a. que indica o tempo (em horas) de serviço de um cliente arbitrário. Como S Exp(40), vem que E[W q ] = E[W] E[S] = = (h) A taxa de utilização é o valor ρ = Como ρ < 1, então significa que não há tendência a acumular multidões na padaria, permanecendo o sistema em regime estacionário. O valor de ρ dá ainda uma ideia da percentagem de utilização do servidor (i.e, em cerca de 75% o funcionário está ocupado). 7.7 Um barbeiro trabalha sozinho numa pequena e antiga barbearia de bairro. Para além da cadeira de barbearia, existem no estabelecimento três cadeiras onde os clientes podem esperar a vez de serem atendidos. Assim, um cliente que chegue quando todas as cadeiras estão ocupadas vai-se embora porque não pretende esperar de pé. Assumindo que o tempo entre chegadas de clientes é exponencial com valor médio 20 minutos e que o tempo que o barbeiro leva a atender cada cliente é também exponencial com valor médio 18 minutos, calcule: (a) O valor médio do número de clientes na barbearia. (b) O valor médio do tempo que um cliente permanece na barbearia. (c) A probabilidade do barbeiro estar desocupado. (d) A probabilidade da barbearia estar cheia. Resolução: Seja X n a v.a. que indica o número de clientes na barbearia no instante n, e {p j } = {lim n P(X n = j)} a distribuição em equilíbrio. Decorre do enunciado que se trata de um sistema M/M/1/4 (pois existe um único servidor - o barbeiro ; os tempos (em horas) entre chegadas são exponenciais, Exp(1/0.333), os tempos de atendimento (em horas) também são (Exp(1/0.3)), e existem 3 cadeiras, pelo que a sala de espera é finita, de dimensão 3 (pelo que no máximo podem estar 4 clientes no sistema). 19

6 (a) Seja L a v.a. que designa o número de clientes na barbearia. Decorre do formulário que: E[L] = ρ 1 (N + 1)ρN + Nρ N+1 (1 ρ)(1 ρ N+1 ) com ρ = λ µ = = 0.9 e N = 4, pelo que E[L] = 1.79 i.e., em média há 1.79 clientes na barbearia. (b) Seja agora W a v.a. que contabiliza o tempo que um cliente arbitrário passa na barbearia. Como E[L] = λe[w], vem que E[W] = = horas, i.e., em média um cliente passa cerca de 36 minutos na barbearia. (c) A probabilidade do barbeiro estar desocupado é dada por p 0 = 1 ρ = 1 ρn = (d) A barberia está cheia com probabilidade p 4 = ρ 4 p 0 =