Uma Introdução ao Estudo de Sistemas Dinâmicos Discretos

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1 Uma Introdução ao Estudo de Sistemas Dinâmicos Discretos Pryscilla dos Santos Ferreira Silva 1 Resumo Neste artigo, apresento a parte inicial da teoria dos Sistemas Dinâmicos Discretos, fornecendo a definição de iteração de funções, órbita, dentre outros temas fundamentais para o estudo da teoria. Palavras-chave Sistemas Dinâmicos Discretos, iteração, funções, órbita. Introdução O estudo de Sistemas Dinâmicos Discretos é baseado em iteração de funções, aliado a alguns conhecimentos de Cálculo Diferencial e Espaços Métricos, obtendo resultados como: a órbita de um ponto, pontos fixos e periódicos. O presente artigo tem por objetivo definir e fornecer exemplos, com o intuito de apresentar noções básicas sobre o tema. 1 Sistemas Dinâmicos Discretos A função f : R R dada por f(b) = 2b é uma regra que especifica para cada número b um número duas vezes maior. Este é um modelo matemático simples. Nós podemos imaginar que b representa a população de bactérias em um laboratório de cultura e que f(b) representa a população uma hora depois. Então a regra expressa o fato de que a população dobra a cada hora. Se a cultura tem uma população de bactérias, então depois de uma hora existirão f(10.000) = bactérias, depois de duas horas existirão f(f(10.000)) = bactérias, e assim por diante, note que a população de uma hora 1 propryscilla@gmail.com. Curso Licenciatura em Matemática. Universidade Estadual de Feira de Santana Trabalho realizado com parte da avaliação das disciplinas Orientação à Pesquisa I sob orientação do professor Cristhian Bugs, Projeto I e II sob orientação da professora Fabíola Pedreira. 1

2 depois está diretamente relacionada à população de uma hora antes. Tal situação se encaixa perfeitamente nas características de um Sistema Dinâmico Discreto. Um Sistema Dinâmico Discreto consiste de um conjunto de estados possíveis, juntamente com uma regra que determina o estado presente em termos do estado passado, cujo o estado só muda durante os instantes {t 0, t 1, t 2,...}, ou seja, o sistema faz exame do estado atual com a entrada e atualiza a situação produzindo um estado novo com a saída. Da origem do sistema, teremos em vista todas as informações necessárias assim que a regra for aplicada 2. Fazendo uma comparação da definição anterior com o exemplo já visto, podemos notar que: O objetivo do exemplo é analisar a população de bactérias (um conjunto de estados possíveis). A regra utilizada é determinada pela função f(b) = 2b. Além disso para saber qual a população após duas horas foi suficiente a composição f(f(10.000)) = , ou seja o seu estado atual (40.000) é determinado pelo seu estado inicial (10.000). Logo a regra determina o estado presente em termos do estado passado. Note que o estado do sistema só muda para os valores {b 0 = , b 1 = , b 2 = , b 3 = ,...}, em que b 0 é a população inicial, b 1 é a população após uma hora, b 2 a população após duas horas e assim por diante. Assim entre os b i, com i = 0, 1, 2, 3,..., o sistema permanece constante. Deste modo o sistema faz exame do estado atual com a entrada e atualiza a situação produzindo um estado novo com a saída 3. 2 Iteração Para compreender Sistemas Dinâmicos Discretos é necessário ter em mente o conceito de iteração. Iterar significa repetir, em Matemática essa repetição consiste em compor uma função com ela mesma várias vezes: primeiro exemplo temos que: f... f f. Utilizando o nosso 2 cf. Alligood (1996) e Villate (2007). 3 As leituras dos autores Alligood (1996) e Villate(2007) nos auxiliaram na concepção do exemplo. 2

3 Para a primeira hora teremos uma população b; Para uma hora depois teremos o dobro da população, ou seja, f(b) = 2b; Para duas horas depois teremos f(f(b)) = f 2 (b) = 2.2b = 2 2 b = 4b, e assim sucessivamente para n horas depois teremos f n (b) = 2 n.b. Tomando um ponto x 0 R, denotaremos f(x 0 ) = x 1, f(x 1 ) = x 2,..., f(x n 1 ) = x n, para facilitar a leitura de uma iteração. Assim (f... f)(x 0 ) = x n, de forma que estaremos aplicando x 0 na composição de f com ela mesma n vezes. Do mesmo modo escrevemos: f 2 (x) = (f f)(x), f 3 (x) = (f f f)(x) ou f 3 (x) = (f f 2 )(x), generalizando, f n (x) = (f f n 1 )(x) para n 1. Nós também escrevemos f 0 (x) para a identidade f 0 (x) = x. Afim de esclarecer o que foi dito, observe os exemplos 4 abaixo, considerando que as funções utilizadas são definidas de R em R. Exemplo 2.1 Se f(x) = x.(1 x), então f 2 (x) = (f f)(x) = f(x.(1 x)) = x.(1 x).[1 (x.(1 x))]. Robinson (1995), nos leva a perceber que sendo f uma função de caráter razoavelmente simples, já se torna complexo definir sua composta e conseqüentemente sua derivada, caso exista, em f 2 (x). Para iteradas cada vez maiores será cada vez mais difícil, neste momento a notação anterior é útil, nos permitindo chegar a seguinte relação : (f n ) (x 0 ) = (f) (x n 1 )...(f) (x 0 ). Exemplo 2.2 Para esclarecer vejamos o que acontece para a função do exem plo : Tomando f(x) = x(1 x) e escolhendo o ponto x 0 = 1 3 e n = 3, temos f(x 0 ) = f( 1 3 ) = 1 3 (1 1 3 ) = 2 9 = x 1 4 Os exemplos são baseados nas leituras de Robinson (1995) e Holmgren (1996). 5 cf. Robinson (1995) 3

4 f 2 (x 0 ) = f(f(x 0 )) = f(x 1 ) = f( 2 9 ) = = x 2 f (x) = 1 2x como (f n ) (x 0 ) = (f) (x n 1 )...(f) (x 0 ), segue (f 3 ) (x 0 ) = (f) (x 2 ).(f) (x 1 ).(f) (x 0 ) e então (f 3 ) ( 1 ) = ( ).( ).( ) = Observe que a praticidade do método consiste em dispensar (para o cálculo da derivada no ponto) o uso excessivo da Regra da Cadeia, desde que f seja diferenciável em {x 0, x 1,..., x n 1 }. Considere X, Y R e f : X Y x f(x) = y uma função inversível e derivável em a X X (em que X é o conjunto dos pontos de acumulação de X); f(a) = b com b 0. Então a derivada de (f 1 ) (f(a)) = 1 f (a) Sendo f 1 a inversa de f temos que, f 2 (x) = (f 2 ) 1 (x) = (f 1 ) 2 (x) e f n (x) = (f n ) 1 (x) = (f 1 ) n (x) para n < 0. Deste modo, de acordo com Robinson (1995), podemos aplicar o método anterior em compostas de funções inversas, desde que f 1, assim como f, seja diferenciável em {x 0, x 1,..., x n 1 }(grifo nosso) Pontos Periódicos Afirmamos anteriormente que o conceito de iteração é fundamental para o estudo da teoria dos Sistemas Dinâmicos Discretos.Deste momento em diante, é inevitável conhecermos as definições de órbita e pontos periódicos. f : I R R, além de f ser C 1 ou C 2. Para isso estamos considerando 6 cf. Lima (1995) 7 A diferenciabilidade é um fenômeno local, por isso esta observação se faz necessária. 4

5 Definição 3.1 Dado um ponto a e uma função f contínua, o conjunto de pontos {a, f(a), f 2 (a), f 3 (a),...} é denominado a órbita positiva de a e é denotado por ϕ + (a) = {f k (a); k 0}. Se f é inversível, o conjunto de pontos {a, f 1 (a), f 2 (a), f 3 (a),...} é denominado a órbita negativa de a e é denotada por ϕ (a) = {f k (a); k 0} 8. Exemplo 3.1 Seja f(x) = x(1 x), calculemos a órbita positiva de x = 2: x = 2 f(2) = 2(1 2) = 2 f 2 (2) = f(f(2)) = 6 f 3 (2) = f(f(f(2))) = 42 Assim, pela definição anterior teremos que: ϕ + (2) = {f k (2); k 0} = {2, f(2), f 2 (2), f 3 (2),...} = = {2, 2, 6, 42,...}. Exemplo 3.2 Dada a função j(x) = x 3, a órbita de 8 é o conjunto {8, 512,, ,...} ou seja {8, j(8), j 2 (8), j 3 (8),...}. A inversa de j é definida por j 1 (x) = 3 x, logo a órbita negativa de 8 é o conjunto {8, 2, 3 2,...} Caso queiramos observar o comportamento das iteradas negativas de um ponto para funções não inversíveis, Robinson (1995) sugere considerarmos {x 1, x 2,..., x n }, tal que f(x n ) = x n+1 (ou seja um conjunto das imagens inversas de f(x n ) ). Exemplo 3.3 Dada a função não inversível, h(x) = x 2 1 temos h(x) = 2 x 2 1 = 2 x = ± h(x) = x 2 1 = x = ± Logo h 1 ( 2) (uma vez que também pertence, 8 cf. Robinson(1995) 5

6 a escolha de é apenas por conveniência), assim como f 1 ( 1 + 2) 9. Dessa forma, podemos montar uma seqüência com os elementos do domínio, a nossa escolha, usados anteriormente : x 1 = 2; x 2 = 1 + 2; x 3 = h(x 2 ) = x 2+1 = x 1 donde h( 1 + 2) = ( 1 + 2) 2 1 = = 2 h(x 3 ) = x 3+1 = x 2 h( ) = ( ) 2 1 = = Definição 3.2 Dizemos que a é um ponto fixo de uma função f se f(a) = a. O ponto a é um ponto periódico de período n se f n (a) = a para algum n > 0 e f j (a) a, para 0 < j < n (podemos verificar que n é o menor período, pois f kn (a) = a k 1, com k N ). Isto é, se a tem período n, então a é um ponto fixo para a função f n. Além disso a órbita positiva de a, ϕ + (a), é chamada órbita periódica quando a é um ponto periódico de período n 10. Exemplo 3.4 Para a função m(x) = x 2 x o conjunto dos pontos fixos de f será dado por m(x) = x, ou seja, 9 As leituras de Robinson (1995) nos ajudaram a desenvolver este exemplo, bem como os exemplos 3.1, 3.2 e Esta definição é baseada em Holmgren (1996) e Robinson (1995), entretanto Holmgren faz alguns comentários sobre pontos periódicos de período primo o que achamos desnecessário, pois a Definição 3.2 serve para qualquer período. 6

7 x 2 x = x x 2 2x = 0 x = 0 ou x = 2 Logo x = 0 e x = 2 são pontos fixos da função m. Exemplo 3.5 A função g(x) = x 2 2x possui pelo menos um ponto periódico. De fato dada g(x), temos que o ponto x 0 = é tal que (g g)(x 0 ) = g(g( )) = g( ) = x 0. A notação que usamos para todos os pontos fixos por f n é: P er(f, n) = {x; f n (x) = x} e F ix(f) = P er(f, 1) = {x; f(x) = x} Finalmente, um ponto a é eventualmente periódico de período n, se existe um m > 0 tal que f m+n (a) = f m (a) ou f j+n (a) = f j (a) para j m e f m (a) é um ponto periódico. Exemplo 3.6 Dada v(x) = x 3 x os pontos fixos que satisfazem a equação x 3 x = x, são: x 3 2x = 0 x(x 2 2) = 0 x = 0 ou x = ± 2, para os pontos x = ±1 temos que v(1) = 1 1 = 0 v 2 (1) = v(v(1)) = v(0) = 0 v( 1) = = 0 v 2 ( 1) = v(v( 1)) = v(0) = 0. Usando a definição anterior f m (a) = f m+n (a) = f m (a) v(1) = v 1+1 (1) = 0 7

8 v( 1) = v 1+1 ( 1) = 0 Logo 1 e -1 são eventualmente periódicos 11. Conclusão Partindo de algo tão simples como a composição de funções, fornecemos importantes definições relativas à teoria dos Sistemas Dinâmicos Discretos. O comportamento das funções apresentadas nos exemplos nos levam não só a observar aspectos raramente discutidos como a indagar que outras implicações estes aspectos têm para a teoria. Referências ALLIGOOD, Rathlee T.; SAUER, Tid D.; YORKE, James A. Chaos: an introduction to Dynamical Systems. New York: Springer, HOLMGREN, Richard A.A first course in Discrete Dynamical Systems.2. ed. New York: Springer, LIMA, Elon Lages. Curso de Análise. Vol ed. Rio de janeiro: IMPA, ROBINSON, Clark. Dynamical systems : stability, symbolic dynamic, and chaos. Florida: CRC Press, VILLATE, Jaime E. Introdução aos sistemas dinâmicos: uma abordagem prática com o Máxima. Disponível em : http : //fisica.fe.up.pt/maxima/book/sistdinam 1 2.pdf. Acesso em : 01 de novembro de Os exemplos 3.5, 3.6 e 3.7 são baseados nas leituras de Robinson(1995) e Holmgren(1996). 8