Teste Intermedio, 20 de Marco de 1999

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1 Faculdade de Economia Universidade Nova de Lisboa Calculo II Teste Intermedio, 0 de Marco de 999 O teste e consttuido por uatro perguntas. Responda a cada uest~ao em folhas separadas. N~ao se esueca de identicar todas as folhas. N~ao ser~ao feitos esclarecimentos individuais sobre as uest~oes durante o teste. A durac~ao do teste e de horas. Bom trabalho!. Considere a seguinte func~ao: z = f(x; y) = 4x y x (a) ( val.) Qual e o domnio da func~ao f? (b) (,5 val.) Represente as curvas de nvel da func~ao para z = e z = 4. (c) ( val.) No plano XOZ, faca os gracos de: (i) z = f(x; x ), (ii) z = f(x; 0),(iii) z = f(x; ) e (iv) z = f(x; x) Com base nestes gracos, o ue pode dizer uanto ao limite de f(x; y) uando (x; y) tende para (0; 0)? Expliue.. Seja f(x ; x ) uma func~ao contnua tal ue f(0; 0) = 0 f 0 x (x ; x ) = x + x f 0 x (0; 0) = 0 (a) ( val.) A func~ao f e diferenciavel no ponto (0; 0)? (b) ( val.) Mostre ue lim (x ;x )!(0;0) f(x ; x ) x + x = 0 (c) (,5 val.) Comente a seguinte armac~ao: \A derivada direccional da func~ao f no ponto (0; 0) segundo o vector u = (h; k) e igual a 0 seja ual for o vector u."

2 . Considere a func~ao f : <! < f(x; y) = x + y ; x + y = (f (x; y); f (x; y)) (a) ( val.) Mostre ue f e contnua no ponto (0; 0). (b) (,5 val.) Utilize o teorema da func~ao composta para mostrar ue f tambem e contnua no ponto (0; 0). (c) (0,5 val.) O ue pode dizer sobre a continuidade da func~ao vectorial f no ponto (0; 0)? (N~ao faca contas). (d) (,5 val.) Prove ue f : <! < e diferenciavel em (0; 0). (e) (,5 val.) Comente a veracidade da armac~ao \se f e diferenciavel em (0; 0), f tambem o e porue f e uma transformac~ao contnua de f ". 4. Inspirado pelo esprito criativo da cadeira de Calculo II o Ambrosio teve a ideia brilhante de generalizar o conceito de func~ao homogenea (o Ambrosio ate ja escolheu o nome para este tipo de func~oes: func~oes super homogeneas). A ideia do Ambrosio e muito simples: consiste em substituir na denic~ao t por uma func~ao arbitraria de t, g(t), em ue g e diferenciavel. Ou seja, uma func~ao diz-se super homogenea se f(tx ; tx ; ; tx n ) = g(t) f(x ; x ; ; x n ) Entusiasmado com a ideia o Ambrosio ganhou coragem para ir falar com a professora... A professora, depois de pensar durante alguns segundos, disse-lhe ue a denic~ao dele n~ao acrescenta nada a denic~ao de func~ao homogenea e ue g(t) so pode ser t. Mas, n~ao lhe explicou poru^e, disse ue isto dava uma excelente pergunta para um teste... (a) ( val.) Mostre ue, se a func~ao f e diferenciavel e super homogenea ent~ao f satifaz a identidade de Euler com = g 0 (). (A professora estava bem disposta no dia em ue fez o teste e resolveu dar uma ajuda: experimente seguir os mesmos passos ue usamos na aula teorica para demonstrar a primeira parte do teorema de Euler). (b) ( val.) Comente a armac~ao da professora: \g(t) so pode ser igual a t ". (Nota: pode responder a esta pergunta mesmo ue n~ao tenha respondido a alnea anterior).

3 Faculdade de Economia Universidade Nova de Lisboa Calculo II Resoluc~ao do Teste Intermedio de 0 Marco de 999. (a) O domnio e (x; y) R : x 6= 0, ou seja, R n f0g R. y (b) Temos 4x x = z, y = (4x z) x ^ x 6= 0. As curvas de nvel s~ao portanto parabolas com a concavidade voltada para cima. Note-se ue apesar de todas elas se aproximarem de (0; 0), neste ponto n~ao est~ao denidas pois ele n~ao pertence ao domnio de f. Na gura temos as duas parabolas pretendidas: [ natheight=.555in, natwidth=.578in, height=.60in, width=.64in] C:/swp55/temp/graphics/gteste. Temos ue f(x; x ) = x, f(x; 0) = 4 x, f(x; ) = 4x x e f(x; x) = 4 x, com x 6= 0. Notemos ue lim x!0 f(x; ) =. Representemos as uatro curvas: [ natheight=.705in, natwidth=.049in, height=.40in, width=.07in] C:/swp55/temp/graphics/gtestes Com base no graco anterior podemos armar ue a func~ao n~ao tem limite na origem, pois temos caminhos com limites diferentes: segundo os caminhos (i) e (ii) tendemos para 0; segundo (iv) tendemos para. Isto contradiz o princpio da unicidade do limite. Alem disso, pelo caminho (iii) tendemos para.. (a) Ambas as derivadas parciais existem na origem e uma delas, f 0 x, e contnua na sua vizinhanca, por ser um polinomio. O numero de variaveis, n, e igual a. Ent~ao, e verdade ue pelo menos n derivadas parciais s~ao contnuas, e todas as n existem no ponto. Logo,a func~ao e diferenciavel. (b) Como fx 0 (0; 0) = 0, fx 0 (0; 0) = x + x (0;0) = 0 e f e diferenciavel na origem, e valida a formula Por denic~ao de o(), tem-se f(h; k) = f(0; 0) + hf 0 x (0; 0) + kf 0 x (0; 0) + o(k(h; k)k) = o(k(h; k)k): o(k(h; k)k) lim = 0 k(h;k)k!0 k(h; k)k

4 f(h; k), lim k(h;k)k!0 k(h; k)k = 0 f(h; k), lim p k(h;k)k!0 h + k = 0: Como k(h; k)k! 0 se e so se (h; k)! (0; 0), ca provado o resultado. (c) Como f e diferenciavel em (0; 0), f u (0; 0) = 5f(0; 0) u = 5f(0; 0) u = (0; 0) (h; k) = 0. (d) Uma func~ao e contnua num ponto de acumulac~ao se o limite da func~ao no ponto for igual ao valor da func~ao no ponto. Como f (0; 0) = 0, temos ue vericar se lim f (x; y) = 0 (x;y)!(0;0) E muito facil vericar ue f e contnua no ponto (0; 0) porue f e metade da norma do vector (x; y). Temos ue mostrar ue seja ual for > 0, existe " > 0 tal ue Mas, 0 < k(x 0; y 0)k < " ) x + y 0 < x + y <, k(x; y)k <, k(x; y)k < logo, basta escolher " para termos 0 < k(x; y)k < " ) k(x; y)k < (e) E facil vericar ue a func~ao f e o uadrupulo do uadrado de f, f = 4(f ). Seja w = f (x; y) e z = f (x; y) e seja h a func~ao real de variavel real denida por h(z) = 4z. A func~ao f pode ser vista como a func~ao composta de f e h, isto e w = f (x; y) = h (f (x; y)) : O teorema da func~ao composta garante-nos ue se f e contnua no ponto (0; 0), e h e contnua no ponto z = 0 (0 e o ponto imagem de f (0; 0)) ent~ao a func~ao f e contnua no ponto (0; 0). Logo, basta provar ue h e contnua no ponto 0. Isso pode ser feito facilmente pela denic~ao. Mas, pode tambem mencionar-se o resultado bem conhecido de ue func~oes polinomiais s~ao contnuas, e h e uma func~ao polinomial. (f) Sabemos ue uma func~ao vectorial e contnua num ponto se e so se cada uma das suas func~oes componentes for contnua nesse ponto. Nas alneas anteriores mostramos ue f e f s~ao ambas contnuas no ponto (0; 0). Logo, a func~ao f e contnua no ponto (0; 0).

5 (g) Pode provar-se ue f e diferenciavel no ponto (0; 0) usando a denic~ao. Contudo, neste caso, e mais simples usar-se a seguinte condic~ao suciente para diferenciabilidade: Seja f uma func~ao de n variaveis cujas derivadas parciais existem todas no ponto a. Se n das derivadas parcias forem contnuas ent~ao a func~ao f e diferenciavel no ponto a. Neste caso, a func~ao so depende de x e y, logo basta mostrar ue existem no ponto (0; 0) e ue, uma dessas derivadas e contnua. = x = y ambas as derivadas parciais existem (e tomam o valor 0 no ponto (0; 0)). Para alem disso, s~ao func~oes contnuas. Logo, a func~ao f e diferenciavel. (h) A armac~ao sugere a utilizac~ao do teorema da (diferenciabilidade) da func~ao composta. Mas, tem um erro! Para podermos aplicar o teorema da func~ao composta, f teria ue ser diferenciavel em (0; 0) e f teria ue ser uma transformac~ao diferenciavel de f no ponto 0 = f (0; 0). No exemplo em concreto a transformac~ao de ue se fala e um meio da raiz uadrada, z = p w, e embora essa func~ao seja contnua no ponto w = 0 ela n~ao e diferenciavel nesse ponto. Por conseguinte, n~ao estamos nas condic~oes do teorema da func~ao composta. N~ao podemos concluir ue f e diferenciavel no ponto (0; 0). 4. (a) Queremos mostrar ue se uma func~ao e super homogenea e diferenciavel ent~ao ela satifaz a identidade de Euler. Uma func~ao e super homogenea se f(tx ; tx ; ; tx n ) = g(t)f(x ; x ; ; x n ) Se derivarmos ambos os membros em ordem a t ) x ) x + n ) x n = dg dt (t) f(x ; x ; ; x n ) A identidade anterior verica-se para todo o t. Em particular tambem se verica para t =. Ora, para t = a identidade anterior e euivalente x x + n x n = g 0 () f(x ; x ; ; x n ) mas isto e a identidade de Euler com = g 0 (). (b) Para responder a esta alnea basta aplicar a segunda parte do teorema de Euler. Como f e diferenciavel e satisfaz a identidade de Euler (de acordo com (a)) ent~ao ela e positivamente homogenea. Logo, f(tx ; tx ; ; tx n ) = t f(x ; x ; ; x n ) em ue = g 0 (). Mas, isto signica ue g(t) = t.