CAPÍTULO IV SOLICITAÇÃO AXIAL DE PEÇAS LINEARES

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1 ÍTULO IV SOLIITÇÃO XIL ÇS LIRS.. RSUMO TORI... Introução O aso mais simpes e soiitação axia é o e uma barra inear e seção onstante, em tração por uas forças iguais e opostas (), onforme iustrao na Fig... δ Fig.. eça inear em tração s expressões para a tensão, eformações e ei e Hooke são óbvias, e poem esrever-se a seguinte forma: ε ε νε t δ ν (.) One é o omprimento iniia a barra, é a área a respetiva seção reta, é a tensão norma sobre a seção reta, ε e ε são a eformação inear ongituina e a eformação inear transversa, respetivamente, δ é o aongamento tota entre as uas extremiaes, é o móuo e eastiiae o materia e ν o oefiiente e oisson. J. F. Siva Gomes, FU - orto, 9

2 Meânia os Materiais e struturas Lineares. Teoria e piações s expressões anteriores são iguamente váias para uma barra urta em ompressão, ese que não se verifiquem onições e instabiiae à enurvaura, onforme será isutio mais à frente, no apítuo VIII.... nergia ástia e eformação energia eástia e eformação numa barra à tração ou à ompressão aua-se através a equação gera (.). este aso partiuar, em que a únia omponente não nua a tensa é xx /, obtém-se: δ U Uo V (.) V o aso mais gera uma barra e seção variáve (x) sujeita a uma arga também variáve (x), a energia eástia e eformação obtém-se e forma iêntia: U [ ( x) ] x ( x) (.)... struturas rtiuaas Isostátias Os sistemas artiuaos sob a ação e forças onentraas exusivamente apiaas nos nós são exempos típios e estruturas onstituías por peças ineares soiitaas axiamente. Uma estrutura este tipo iz-se isostátia, se toos os esforços se puerem eterminar reorreno uniamente às equações a estátia (equações e equiíbrio estátio). É, por exempo, o aso a estrutura artiuaa representaa na Fig.., em que as três inógnitas R, R e H poem ser eterminaas utiizano as três equações e equiíbrio estátio goba reativas ao vetor prinipa as forças externas (reações inuías). Tais equações e equiíbrio goba trauzem que os somatórios as forças vertiais e as forças horizontais são nuos e que o somatório os momentos e toas as forças externas num ponto quaquer é também nuo. Sistemas este tipo izem-se estruturas externamente isostátias. J. F. Siva Gomes, FU - orto, 9

3 apítuo IV - Soiitação xia e eças Lineares H R R Fig.. strutura estatiamente eterminaa ou isostátia o aso uma estrutura artiuaa omo a representaa na Fig.., para eterminar os esforços axiais nas iferentes barras utiizam-se as equações e equiíbrio em aa um os nós. omo a aa nó orresponem uas equações e equiíbrio ( x F e F ), e omo três essas equações foram já utiizaas no áuo as reações externas, o número tota e equações isponíveis para auar os esforços nas barras é igua ao obro o número e nós (n) menos três, isto é, (n-). ara se poer eterminar univoamente os esforços nas barras everá observar-se, então, a seguinte reação: b n one b é o número tota e barras o sistema; neste aso está-se em presença um sistema artiuao internamente isostátio. Quano se onsieram gobamente toas as inógnitas, externas (reações nos apoios e momentos) e internas (esforços nas barras), a onição e isostatiiae o sistema é trauzia pea seguinte equação agébria: a + b n y one a é o número as inógnitas externas, b é o número e barras e n é o número e nós a estrutura artiuaa. o aso e ser (a + b < n), o sistema é gobamente hipostátio e inematiamente instáve ou ineterminao. J. F. Siva Gomes, FU - orto, 9

4 Meânia os Materiais e struturas Lineares. Teoria e piações... struturas rtiuaas Hiperstátias uma situação em que (a + b > n), as equações a estátia são insufiientes para auar toos os esforços na estrutura, e iz-se que o sistema é gobamente hiperstátio. O grau e hiperstatiiae (h) o sistema é então ao pea expressão seguinte: h a + b n É o aso, por exempo, a estrutura artiuaa representaa na Fig.., em que a 6, b e n, one tratar-se uma estrutura hiperstátia e grau (h 6+-x ), o que quer izer que uma as igações ao exterior é reunante. V H H H V V Fig.. strutura estatiamente ineterminaa ou hiperstátia metooogia para a resoução os sistemas artiuaos hiperstátios geramente onsiste em esoher primeiro as igações a onsierar omo reunantes, suprimi-as e substituí-as peas forças orresponentes, transformano, assim, o sistema numa estrutura isostátia (estrutura primária). Resove-se, então, a estrutura primária em função as inógnitas reunantes, que poem epois ser auaas impono as onições e ompatibiiae os esoamentos reais nas igações reunantes que foram suprimias. ara o aso a estrutura representaa na Fig.., por exempo, ver o probema resovio... J. F. Siva Gomes, FU - orto, 9

5 apítuo IV - Soiitação xia e eças Lineares 5.. ROLMS RSOLVIOS ROLM... Uma barra e seção iruar em aço ( Ga), om 5mm e iâmetro, está sujeita à ação e quatro forças axiais, onforme iniao na figura. etermine: 5k k k k,75m m,5m a)- O vaor máximo a tensão axia na barra. b)- O vaor o aongamento tota a barra. )- energia tota e eformação na barra RSOLUÇÃO: s forças externas satisfazem as onições e equiíbrio estátio, peo que a barra está gobamente em equiíbrio, assim estano, também em equiíbrio, aa um os troços, e. onsierano, por exempo, o troço, o respetivo iagrama e orpo ivre está representao na figura (a) a seguir: 5k 5k k k (a) (b) k k () ara assegurar o equiíbrio o troço, a força norma na seção eve ser igua e e sentio ontrário à força apiaa na seção, isto é: 5k (em tração). Iguamente para o troço, ujo iagrama e orpo ivre está representao na figura (b). O esforço norma neste segmento eve equiibrar a resutante as forças externas à esquera, isto é: 5 k (em tração) J. F. Siva Gomes, FU - orto, 9

6 6 Meânia os Materiais e struturas Lineares. Teoria e piações Finamente, o troço, ujo iagrama e orpo ivre está representao na figura (). O esforço norma neste segmento eve equiibrar a resutante a força externa apiaa na seção, isto é: 5k (em tração) a)- Tensão axia máxima tensão em aa um os segmentos a barra é aa peo quoiente entre o esforço norma nesse segmento e a área a seção reta. seção é uniforme, om a área um íruo e 5mm e iâmetro: π 9,88mm one as tensões para os iversos segmentos: 5,9 m,9 m,5,9 m,86ma 6,Ma 9,67Ma tensão máxima oorre no segmento e é, portanto, igua a: max, 86Ma b)- ongamento tota a barra O aongamento tota a barra () é igua à soma os aongamentos e aa um os segmentos. Ora, para aa um esses segmentos, tem-se:,86 m δ,75m,8 9 m 6, m δ m,6 9 m 6 6 9,67 m δ,5m 5,7 9 m 6 m m m J. F. Siva Gomes, FU - orto, 9

7 apítuo IV - Soiitação xia e eças Lineares 7 Finamente, o aongamento tota obtém por aição os aongamentos sofrios por aa um os segmentos a barra: δ δ + δ + δ (,8 +,6 + 5,7) m, 6mm )- nergia eástia e eformação energia eástia e eformação na barra aua-se através a equação gera (.). Uma vez que a barra é toa um mesmo materia e mantém uma seção reta onstante ao ongo e too o omprimento: U [ ( x) ],75 x ( 5 ) ( x) +,75,75 9,9 ( ) x + (,5 ) x 7Joue,75 x ROLM... uas barras prismátias, rigiamente igaas entre si, suportam uma arga axia 5k, onforme iustrao na figura. barra superior, em aço (γ a 78k/m, a Ga), tem omprimento a m e área e seção reta a 6m. barra inferior, em obre (γ 89k/m, Ga), tem omprimento 8m e área e seção reta 5m. etermine: a)- O vaor a tensão máxima em aa um os eementos. b)- O aongamento tota o onjunto. )- energia tota e eformação o onjunto. )- ompare os vaores obtios om o resutao a que se hegaria se fosse esprezao o peso o materia. RSOLUÇÃO: a)- Tensões máximas tensão máxima no eemento inferior (obre) oorre na seção -, one a tensão resuta o efeito ombinao a força e o peso próprio a barra e obre. 8m 5k m J. F. Siva Gomes, FU - orto, 9

8 8 Meânia os Materiais e struturas Lineares. Teoria e piações O peso o eemento em obre é: W γ 5 8 8,9, 56k one a tensão na seção -: + W 5 +,56, 7Ma 5 tensão máxima no eemento superior (aço) oorre na seção -, one a tensão resuta o efeito ombinao a força e o peso tota o onjunto (W +W a ). O peso o eemento em aço é: Wa a a γ a 6 7,8, 68k one a tensão na seção -: a + W + Wa 5 +,56 +,68 9, 7Ma 6 b)- ongamento tota O aongamento tota o onjunto obtém-se por aição os aongamentos e aa um os ois eementos: a δ δ + δa x + a x a o segmento e obre, a tensão é aa pea expressão seguinte: (x) W x + W ( x) ( x) ou seja: 7 8,9 x + + W ( x) x ( x) 5 J. F. Siva Gomes, FU - orto, 9

9 apítuo IV - Soiitação xia e eças Lineares 9 one: δ x 8 8,9 7 x x 6,9 9 + m a or outro ao, no segmento e aço, a tensão a é aa pea expressão seguinte: W a (x) x a + W + W a ( x) a a ( x) +W ou seja: one: a 7,8 x + 8, , x ( x) 6 a a δ a a x O aongamento tota o onjunto é, portanto: 7,8 6 x 8,9 x,6 9 + δ δ + δa 6,9 +,6,5 m, 5mm m )- nergia eástia e eformação energia eástia e eformação aua-se através a equação gera (.), isto é: U [ ( x) ] x ( x) Substituino os vaores e, e para o aso vertente, obtém-se: isto é: U a [ + W ( x) ] x + [ + W W ( x) ] + a a a x J. F. Siva Gomes, FU - orto, 9

10 Meânia os Materiais e struturas Lineares. Teoria e piações 6 U, 8 [,5x + 5] x + [,68x 5,56] Ou seja, auano os integrais: )- ão onsierano o peso 6, U, 9Joue o aso em que se espreza o efeito o peso o materia, basta fazer W e W a nas expressões anteriores para as tensões. esta aboragem simpifiaa, obtém-se, para as tensões: a 6 e, para a energia eástia e eformação:,ma 8,Ma x a U + a a, , ,Joue Finamente, o aongamento tota o onjunto: a δ δ + δa a a ,8 m,8mm ota Importante: este aso partiuar, em que é a únia força que atua sobre o sistema, o Teorema e apeyron permitiria obter iretamente o esoamento δ, a partir a energia eástia e eformação: U 7, δ,8 5 m,8mm J. F. Siva Gomes, FU - orto, 9

11 apítuo IV - Soiitação xia e eças Lineares ROLM... Uma esutura em betão é onstituía por uas ounas trono-ónias, onforme representao na figura a seguir (as imensões iniaas são em metros). o topo a ouna () assenta um orpo rígio om um peso ton. mitino que o móuo e eastiiae o betão é Ga e que o respetivo peso espeífio é γ 5k/m, etermine: a)- tensão em aa um os eementos a ouna e betão. b)- O enurtamento a atura tota o onjunto, evio ao peso o orpo rígio e o peso próprio o materia. RSOLUÇÃO: a)- istribuição as tensões φ m () φ6 m () φ6 r u u x m naisano em separao aa um os eementos, omee-se peo eemento (), referino a posição a aa seção reta pea istânia x à seção superior -. om base na semehança e triânguos, poe eterminar-se o raio essa seção orrente: 6 x r ( x) + ou seja: x 6 r ( x) +,x + e a respetiva área a seção reta (x) é: ( x) π r,6x +,6x +, O peso e betão aima a seção (x) é ao pea expressão seguinte: J. F. Siva Gomes, FU - orto, 9

12 Meânia os Materiais e struturas Lineares. Teoria e piações W ( x) x x πγr u,u 7,85 π 5 (,u + ) u (,5x + 5,7x + 78,5x) +,u O peso tota o eemento () obtém-se fazeno x m: ou seja: W + u (,5 + 5,7 + 78,5 ) W ( ) 6 W, ton mitino um estao e tensão uniaxia ao ongo e too o omprimento (o que está, naturamente, onge a verae, peo menos junto a seção inferior -, one o ampo e tensões é muito mais ompexo!...), a tensão em aa seção o eemento () obtém-se iviino a arga tota nessa seção pea área respetiva: ou seja: + W ( x) ( x) ( x),5,57 7,85 ( ) x + x + x + x,6,6, x + x + assano agora para o eemento (), tem-se a situação representaa na figura a seguir. Utiizano o mesmo raioínio que foi seguio para o eemento (), poe esrever-se, suessivamente: r ( x) + x e a respetiva área a seção reta (x) é: x 6 r ( x) +,x + ( x) π r,x +,68x +, x 6 J. F. Siva Gomes, FU - orto, 9

13 apítuo IV - Soiitação xia e eças Lineares +W O peso e betão aima a seção (x) é ao pea expressão seguinte: 6 r u x u m W ( x) x x πγr u,u 7,85 (,6x + 7,85x + 78,5x) 5π (,u + ) u +,u + u O peso tota o eemento () obtém-se fazeno x m: W ou seja: W (),6 ( 6 + 7, ,5 W 6,8 68ton x ) tensão em aa seção o eemento () obtém-se iviino a arga tota nessa seção pea área respetiva: + W + W ( x) ( x) ( x) ou seja:,6,785 7,85, ( ) x + x + x + + x,,68, x + x + istribuição as tensões ao ongo o eixo a peça está representaa na figura a seguir: 6 J. F. Siva Gomes, FU - orto, 9

14 Meânia os Materiais e struturas Lineares. Teoria e piações (Ma) x.... max,7ma tensão máxima oorre na seção -: 6 + W, max, 7 () π Ma (ompressão) b)- nurtamento o onjunto artino a expressão euzia na aínea anterior para a tensão no eemento (): obtém-se, pea ei e Hooke: e o aongamento δ o eemento (): + W ( x) ( x) ( x) ( x) + W ( x) ε ( x) ( x) δ ε( x) x + W ( x) x ( x) integração em x não é naa fái, peo que será mais onveniente fazer uma muança e variáve para r (raio orrente a seção), teno em onta a equação e igação: e, portanto: x r ( x) + J. F. Siva Gomes, FU - orto, 9

15 apítuo IV - Soiitação xia e eças Lineares 5 J. F. Siva Gomes, FU - orto, 9 r x ém isso, poe esrever-se: ) ( r x π e 8 ) ( ) ( / r r r u r x W r x γπ γπ γπ Substituino, agora, na expressão aima para δ, resuta: + + / / / / / / 8 ) ( ) ( 8 ) ( ) ( r r r r r r r r γ π γπ π δ pós o áuo os integrais, obtém-se: + + ) 6( γ π δ expressão para o enurtamento δ o eemento () é semehante, apenas everá ser usao a arga tota (+W ), em vez e e, naturamente, em vez e : W ) 6( ) ( γ π δ Finamente, o enurtamento tota o onjunto: W ) 6( ) ( ) ( γ π δ δ δ

16 6 Meânia os Materiais e struturas Lineares. Teoria e piações Ou aina, substituino as iferentes granezas peos respetivos vaores numérios: δ, m ROLM... O perfi a peça inear representaa na figura é ta que, sob a ação uma arga axia e o seu próprio peso (peso espeífio γ ), a tensão é onstante ao ongo e too o seu omprimento. Uma peça este tipo iz-se e igua resistênia, e o probema põe-se, por exempo, no imensionamento e abos e extração em minas profunas ou e piares e viautos muito eevaos. x x (x) x x o (x) o a)- etermine o perfi a peça inear, (x). b)- etermine o aongamento tota a peça, δ. RSOLUÇÃO: a)- eterminação o perfi a peça onsiere-se o eemento e voume assinaao na figura em ima, e atura eementar x, e esreva-se a equação que trauz o equiíbrio as forças que sobre ee atuam (seja o o vaor onstante a tensão): x ( + ) o + γx o ( + ) γx o o ou seja: o γx ou aina: J. F. Siva Gomes, FU - orto, 9

17 apítuo IV - Soiitação xia e eças Lineares 7 one, integrano: γ o γ n ( ) x + One é uma onstante e integração. omo, para x everá ser o, aquea onstante e integração terá e ser: e, portanto: o n( o ) x one: n γ o o x ( x) e γ x o o or outro ao, uma vez fixaa a tensão o, everá ser: e, portanto: b)- ongamento tota a peça o o ( x) e o γ x o variação o omprimento a peça obtém-se a partir a equação habitua: x o o δ x ROLM..5. onsiere uma barra onstituía por ois segmentos e araterístias meânias e geométrias iferentes (,, e,, ). barra está fixaa em suportes fixos nas extremiaes e sujeita a uma força axia e intensiae na seção e transição, onforme iustrao na figura. J. F. Siva Gomes, FU - orto, 9

18 8 Meânia os Materiais e struturas Lineares. Teoria e piações etermine: a)- O esoamento vertia a seção e transição. b)- s tensões em aa um os segmentos a barra. RSOLUÇÃO: s reações R e R nas igações aos apoios fixos não poem ser enontraas reorreno exusivamente às onições a estátia, uma vez que há apenas uma equação e equiíbrio as forças vertiais (ver figura a seguir): R + R (a) R Uma equação aiiona é então neessária, reorreno aos esoamentos, isto é, impono a onição e que o aongamento tota a peça é nuo: R δ δ + δ (b) Utiizano as equações habituais para o arregamento axia e barras, poe esrever-se: δ δ Substituino em (b), obtém-se: R R Resoveno o sistema e equações (a) e (), obtém-se: R R + + R R () () J. F. Siva Gomes, FU - orto, 9

19 apítuo IV - Soiitação xia e eças Lineares 9 a)-esoamento a seção e transição O esoamento vertia a seção e transição (no sentio e ima parabaixo) é igua ao aongamento o segmento. ste poe obter-se iretamente a primeira as equações () aima: δ δ R + o aso partiuar uma barra únia um mesmo materia e seção reta onstante (, ), a expressão anterior simpifia-se e assume a forma: δ L one L + é o omprimento tota a barra. b)-tensões nos segmentos s tensões em aa um os segmentos a barra obtêm-se iviino o esforço norma em aa uma eas pea respetiva área a seção reta, isto é: + + Iguamente, no aso partiuar uma barra únia um mesmo materia e om seção reta onstante (, ), as expressões anteriores reuzem-se às formas simpifiaas seguintes: L L one L + é o omprimento tota a barra. ROLM..6. Uma peça inear omposta é onstruía a partir um iinro iruar sóio e obre () enerrao num tubo iruar em aço (a). O onjunto é omprimio J. F. Siva Gomes, FU - orto, 9 aço obre

20 Meânia os Materiais e struturas Lineares. Teoria e piações entre uas faanges rígias por forças iguais e opostas e k, onforme representao na figura. peça tem um omprimento,5m, iinro e obre tem mm e iâmetro e o tubo e aço tem mm e iâmetro exterior. O móuo e eastiiae o aço é a G e o o obre é G. etermine: a)- s forças e ompressão no iinro e obre e no tubo e aço. b)- s tensões e ompressão orresponentes. )- O enurtamento tota o onjunto RSOLUÇÃO: Trata-se um probema hiperstátio, na meia em que há apenas uma equação e equiíbrio a estátia para eterminar as uas forças e ompressão nos ois eementos que onstituem o onjunto. a)- áuo as forças e ompressão aço a obre onsiere-se o iagrama e orpo ivre a parte inferior o onjunto, resutante a seção por um pano quaquer interméio entre as uas faanges. equação e equiíbrio as forças permite esrever: a + k (a) one a e são as forças e omprtessão no aço e no obre, respetivamente. or outro ao, omo as faanges nas extremiaes são rígias, o tubo exterior e aço e o iinro interior e obre evem enurtar uma mesma quantiae: δ a δ (b) Os enurtamentos em aa um os eementos são aos peas expressões habituais: a δ a e a a δ () J. F. Siva Gomes, FU - orto, 9

21 apítuo IV - Soiitação xia e eças Lineares One e são o móuo e Young e a área o eemento a que izem respeito. Substituino em (b), resuta: a a a Tomano os vaores numérios orresponentes, obtém-se: ou seja: a 9 9 π (,6,5 ) π,5, 77 () a Resoveno as equações (a) e () obtém-se, finamente: b)- Tensões e ompressão a,5k 69,5k onheias as forças axiais a e, poem faimente obter-se as tensões em aa um os materiais: a a a,5 π (,6,5,695 π,5 )- nurtamento tota o onjunto 5 5 ),6 Ma 7,8Ma O enurtamento δ e too o onjunto poe obter-se utiizano quaquer uma as equações (). Tomano a seguna equação, por exempo: δ a 5,695,5,7 9 π,5 m ROLM..7. Uma barra prismátia em aço, e omprimento 8m, está igaa a ois apoios rígios e, onforme iustrao na figura a seguir. Supono que a temperatura a barra aumenta uniformemente em T5º, etermine o vaor a tensão térmia esenvovia no materia. J. F. Siva Gomes, FU - orto, 9

22 Meânia os Materiais e struturas Lineares. Teoria e piações O móuo e eastiiae o aço é Ga e o respetivo oefiiente e expansão térmia é α,7x 6 /º. RSOLUÇÃO: Quano a temperatura aumenta, a barra tem tenênia a aumentar e omprimento, mas é restringia peos apoios fixos em e. m onsequênia essa restrição, vão surgir reações R e R nas extremiaes e, respetivamente, onforme sugerio no esquema a figura a seguir: onição e equiíbrio as forças exigem R 8m que seja R R, fiano a barra sujeita a uma ompressão axia uniforme e intensiae, ujo vaor é, por enquanto esonheio. ntrano agora em onsieração om a onição e que o aongamento a barra é nuo, poe esrever-se: δ δ T + δ (a) one δ T representa o aongamento (positivo) provoao peo aumento e temperatura T: δ α( T ),7 5,8,68 m (b) T R 8m 6 e δ representa o aongamento (negativo) provoao peo esforço axia uniforme : δ,8,8 T () O símboo T, refere-se à tensão térmia T /. Substituino (b) e () na equação o esoamento goba (a), resuta:,68 +,8 T one se obtém, finamente, a tensão térmia instaaa no materia:,68 T, 8Ma,8 J. F. Siva Gomes, FU - orto, 9

23 apítuo IV - Soiitação xia e eças Lineares ROLM..8. Uma estrutura é onstituía por um iinro em obre, montao no interior um tubo e aço, onforme iustrao no esquema a figura a seguir. O onjunto assenta sobre uma base rígia e, na outra extremiae é apiaa uma força ton, onforme é também sugerio na figura. ton Simutaneamente à apiação a arga, o sistema é também sujeito a uma variação e temperatura T. etermine o vaor mínimo o aumento e aço 5m obre temperatura a estrutura para que seja o eemento e obre a absorver a totaiae a arga. ara efeitos e áuo onsiere o omprimento 5m e tome, para o aço, a Ga, a m, α a,7x 6 /º e, para o iinro e obre, Ga, 6m, α 6,7x 6 /º. RSOLUÇÃO: omeça-se por onsierar a estrutura ivre na seção superior, e sujeita a uma variação e temperatura T (ver figura a seguir). T δ aço obre T δ a 5m estas irunstânias, o onjunto expane-se para a onfiguração iniaa a traejao. s variações e omprimento sofrias peos ois eementos são iferentes entre si, em virtue a iferença entre os oefiientes e expansão térmia os respetivos materiais. O tubo e aço sobre um aongamento enquanto que o iinro e obre sofre um aongamento T δ 6 T 6 a,7 5 T δ 6,7 5 T (a) onsierano, agora que é o iinro e obre que absorve a totaiae a arga, o esforço axia neste eemento será: k e o enurtamento provoao pea ação meânia o esforço não poerá exeer a iferença entre as eformações térmias para o obre e o aço. aso ontrário, uma parte a arga passaria para o tubo e aço. O esforço axia no iinro e obre está reaionao om o enurtamento a barra provoao pea arga axia através a equação habitua: J. F. Siva Gomes, FU - orto, 9

24 Meânia os Materiais e struturas Lineares. Teoria e piações ou seja: δ T δ δ T a 6 6,5 6,7,5 T,7,5 T 9 6 one: T 66,7º ROLM..9. onsiere a estrutura artiuaa representaa na figura ao ao, onstituía por três barras e aço (Ga), teno as barras e uma mesma seção reta, om uma área e 5mm, e a barra tem uma área e 5 mm. estrutura está sujeita a uma arga vertia k apiaa no nó. Ignorano quaquer eventua efeito e enurvaura nas barras, etermine: a)- O esforço axia em aa uma as barra e as orresponentes tensões. b)- Os esoamentos vertiais os nós e. m m y k x RSOLUÇÃO: Trata-se uma estrutura gobamente isostátia, onforme se poe verifiar através a equação habitua: h a + b n one a é o número e inógnitas assoiaas às reações, b é o número e barras e n é o número e nós. o aso vertente, tem-se a, orresponente a uas forças e reação em e uma em, b e n. Substituino estes vaores na equação anterior, obtém-se: h + s reações nos apoios e auam-se a forma habitua, a partir as onições e equiíbrio estátio as forças externas. ssim, tomano momentos em, por exempo, obtém-se a seguinte equação e equiíbrio os momentos: R x R y M + Rx one: R x y k J. F. Siva Gomes, FU - orto, 9 x

25 apítuo IV - Soiitação xia e eças Lineares 5 one: R x k or outro ao, a onição e equiíbrio as forças na ireção horizonta (eixo os xx), resuta: F x R x + Rx + Rx R x k Finamente, a onição e equiíbrio as forças na ireção vertia (eixo os yy), resuta: F R one: a)- sforços axiais e tensões y y R y k ara obter os esforços axiais nas barras onsieram-se suessivamente os iagramas e orpo ivre e aa nó e estabeeem-se as onições e equiíbrio estátio para aa um ees. omeçano peo nó, por exempo: one: 5 R x 5 F x + 5 one:, 7k e, também: 5 F y,7 5 + k onsierano agora o iagrama e orpo ivre a rótua, as onições e equiíbrio estátio as forças que sobre ea atuam esrevem-se: R y F x + one: R x + k J. F. Siva Gomes, FU - orto, 9

26 6 Meânia os Materiais e struturas Lineares. Teoria e piações one: e, também: F y + k onfirmano-se, assim, o resutao obtio anteriormente para o esforço axia na barra. mbora estejam já auaos os esforços em toas as barras o sistema, poe aina onsierar-se o iagrama e equiíbrio o nó (), o que permite obter uma onfirmação aiiona os resutaos obtios: 5 F 5 x (,7) 5 Verifia-se, portanto o equiíbrio as forças seguno a ireção x. or outro ao: k 5 F y (,7), 5 o que onfirma, também, o equiíbrio as forças vertiais sobre o nó. Uma vez obtios os esforços axiais nas iversas barras que onstituem o sistema artiuao, as respetivas tensões auam-se iviino esses vaores peas áreas as respetivas seções retas. o aso vertente as áreas as barras são toas iguais ( 5mm ), peo que: +,5,5,7,5 b)- esoamentos vertiais os nós e +,Ma + 66,6Ma 9,9Ma Teno em vista a utiização os métoos energétios para auar os esoamentos em pontos espeífios, será onveniente auar, primeiro, a energia eástia e eformação o sistema. Reorreno à fórmua gera para a energia um sistema e barras artiuaas em tração/ompressão, poe esrever-se: J. F. Siva Gomes, FU - orto, 9

27 apítuo IV - Soiitação xia e eças Lineares 7 U + + ou seja, substituino peos vaores numérios orresponentes: 8 8 U 6 9 +,5, ,85Joue,5 este aso partiuar, em que é a únia força que atua sobre o sistema, o Teorema e apeyron permite obter iretamente o esoamento vertia δ o nó (ponto e apiação a força ), a partir a energia eástia e eformação: U 8,85 δ 8,5 m 8,5mm ara obter o esoamento o nó, neste aso partiuar trata-se um probema trivia, na meia em que esse esoamento é igua ao aongamento a barra, isto é: δ δ 6,67 m, 67mm 9,5 o entanto, para exempifiar a apiação o Teorema e astigiano, onsiera-se e seguia a resoução o probema também por esta via. O métoo onsiste em, aiionamente ao arregamento rea, arregar a estrutura om uma arga vertia onentraa apiaa no nó, onforme iustrao na figura a seguir. ' y x epois, euz-se a expressão a energia eástia e eformação o sistema assim arregao, eriva-se em orem à arga virtua e aua-se o vaor essa erivaa para. este aso é trivia reonheer que a arga é ireta e integramente transmitia à barra, até ser absorvia no apoio. O esforço norma nesta barra é, então: ' ' seno nuos os esforços axiais nas uas restantes barras o sistema. J. F. Siva Gomes, FU - orto, 9

28 8 Meânia os Materiais e struturas Lineares. Teoria e piações ombinano este arregamento virtua om o arregamento rea, por apiação o prinípio a sobreposição, obtém-se: " " " + ' + ' + ' ',7 one a energia eástia e eformação assoiaa: ou seja: U ' " " 9 ( + + " ' ),5 + " U ' 8,85 + 6,67 ' +,67 8,5,5 ota Importante: Repare-se que a energia eástia o sistema sob a ação ombinaa o arregamento rea mais o arregamento fitíio não é igua à soma simpes as energias assoiaas a aa um esses arregamentos em separao, ao ontrário o que aontee para os esforços nas barras. Isso eve-se ao fato a expressão para a energia eástia e um sistema quaquer não ser uma função inear as forças exteriores apiaas, enquanto que os esforços internos e as tensões são. gora, erivano a expressão a energia eástia e eformação U em orem à arga fitíia, obtém-se: U ' ' 6,67 +, Finamente, o vaor o esoamento vertia o nó, no sentio a força 8 ' isto é, no sentio esenente, obtém-se fazeno ' : δ 6,67 m, 67mm ' ', ROLM... estrutura artiuaa representaa na figura a seguir é onstruía em barras e aço (Ga), teno toas a mesma seção reta, om uma área e mm. m m J. F. Siva Gomes, FU - orto, 9 m F k m F k y x

29 apítuo IV - Soiitação xia e eças Lineares 9 estrutura está sujeita a uas argas e intensiaes k e F k nos nós e F. Ignorano quaquer eventua efeito e enurvaura nas barras, etermine: a)- tensão norma em aa uma as barras a estrutura. b)- O esoamento vertia o nó. RSOLUÇÃO: Trata-se uma estrutura gobamente isostátia, onforme se poe verifiar através a equação para eterminar o grau e hiperstatiiae: h a + b n s reações nos apoios e auam-se a forma habitua, a partir as onições e equiíbrio estátio as forças externas. ssim, tomano momentos em, por exempo, obtém-se a seguinte equação e equiíbrio os momentos: one: R x R x one: R y F k k y M + Rx x R x, k or outro ao, a onição e equiíbrio as forças na ireção horizonta (eixo os xx), resuta: F x R x + Rx, + Rx one: R x, k, a onição e equiíbrio as forças na ireção vertia (eixo os yy), resuta: R y k F y R y a)- Tensão norma em aa uma as barras onsierano o iagrama e orpo ivre a rótua, as onições e equiíbrio estátio as forças que sobre ea atuam impiam que everão ser nuas as uas omponentes seguno x e seguno y. J. F. Siva Gomes, FU - orto, 9

30 Meânia os Materiais e struturas Lineares. Teoria e piações e, também: one: 5 F ssim, tem-se: F F x, + 5 one: F 9, 8k F + F y 5 +6, 67k onsierano agora o iagrama e orpo ivre a rótua, as onições e equiíbrio estátio as forças que sobre ea atuam esrevem-se: k R x F x, + one:,k +, k e, também: F y one: + k o que iz respeito ao equiíbrio as forças na rótua, tem-se: F k F y F one: F, k e, também: one: F x +, + k J. F. Siva Gomes, FU - orto, 9

31 apítuo IV - Soiitação xia e eças Lineares Quanto ao equiíbrio a rótua, poe esrever-se:,k F k F x, + one:, 7k e, também: one: onsierano o equiíbrio a rótua : F y F +,7 F +, k k F x,7 + F one:,7k 6,67k F F +, k Finamente, onsierano o equiíbrio a rótua F, poem onfirmar-se os resutaos aima auaos:,k,k F 5 x, + 9,8, 5,k e, também: 9,8k k Fy, + 9,8 5 5, Uma vez obtios os esforços normais nas iversas barras que onstituem o sistema artiuao, as respetivas tensões auam-se iviino esses vaores peas áreas as respetivas seções retas. o aso vertente as áreas as barras são toas iguais ( mm ), peo que: J. F. Siva Gomes, FU - orto, 9

32 Meânia os Materiais e struturas Lineares. Teoria e piações F F F F b)- esoamento vertia o nó + 6,67 +,Ma F 9,8 9,Ma F +, + 6,7Ma,7,6Ma + + 5,Ma +, + 66,7Ma +, + 5,Ma F +, + 6,7Ma F, 7,7Ma Utiizano o Teorema e astigiano, arrega-se a estrutura om uma arga vertia onentraa apiaa no nó, onforme iustrao na figura a seguir. ' F y x este aso é trivia reonheer que a arga é ireta e integramente transmitia à barras e, até ser absorvia no apoio. Os esforços normais orresponentes nas barras são, então: ' ' ' Seno nuos os esforços normais em toas as restantes barras o sistema. ombinano este arregamento virtua om o arregamento rea, por apiação o prinípio a sobreposição, obtém-se: J. F. Siva Gomes, FU - orto, 9

33 apítuo IV - Soiitação xia e eças Lineares " " " " " " " " " F F F F F F F F + ' + ' + ' + ' + ' + ' + ' F F + ' + ' F F + 6,67 + ' 9,8 +,,7 +,, +, +, + + ' one a energia eástia e eformação assoiaa: " U ' " + " ( + " + " F F + " + " F F + " + " F F + " F F ) ou seja: 9 5 ( 9,65 +, ' + ' ) U ' gora, erivano em orem à arga fitíia, obtém-se: U ' ' 5 (, + ' ) Finamente, o vaor o esoamento vertia o nó, no sentio a força isto é, no sentio esenente, obtém-se fazeno ' : 5, δ, m, mm 9 ', ROLM... onsiere a montagem representaa esquematiamente na figura a seguir, reativa a uma estrutura artiuaa onstituía por três barras e um mesmo materia (), toas o mesmo omprimentos, J. F. Siva Gomes, FU - orto, 9 5 º 5º

34 Meânia os Materiais e struturas Lineares. Teoria e piações soiitaas por uma força onforme iniao. barra vertia tem uma seção e área e as outras uas barras têm seções iguais om área. etermine: a)- s forças axiais em aa uma as barras. b)- O esoamento (vertia) o ponto. RSOLUÇÃO: a)- sforços axiais nas barras Trata-se um sistema hiperstátio o primeiro grau. om efeito, esignano por a o número e inógnitas externas (uas por aa amarração), por b o número e barras e por n o número e nós, poe esrever-se: X X h a + b n 6 + Seeione-se omo força reunante a força e tração X na barra vertia, por exempo. estrutura primária orresponente está representaa na Fig.(a). onsierano o equiíbrio o nó (ver figura), poe esrever-se: e + X one: ( X ) energia eástia e eformação o sistema é, então: X ( X ) U + extremiae a barra vertia eve ter um esoamento nuo. ntão, por apiação o Teorema e astigiano, poe esrever-se: J. F. Siva Gomes, FU - orto, 9

35 apítuo IV - Soiitação xia e eças Lineares 5 one: e, portanto: U X X ( X ) X + X + + b)- esoamento vertia o ponto força no nó é a únia força exterior iretamente apiaa sobre o sistema. ntão, e aoro om o Teorema e apeyron, o esoamento vertia o ponto é ao pea expressão seguinte: ou seja: δ U X ( X ) + δ + ( + ) ROLM... onsiere a estrutura artiuaa e quatro barras iguais (,, ) onvergentes num nó, onforme representao na figura a seguir. iretamente sobre o nó atuam uas forças H e V, onforme é também iniao na figura. V etermine: a)- s forças axiais em aa uma as barras. b)- s omponentes horizonta e vertia o esoamento o ponto. RSOLUÇÃO: a)- sforços axiais nas barras º º º H J. F. Siva Gomes, FU - orto, 9

36 6 Meânia os Materiais e struturas Lineares. Teoria e piações Trata-se um sistema hiperstátio o seguno grau. om efeito, esignano por a o número e inógnitas externas (uas por aa amarração), por b o número e barras e por n o número e nós, poe esrever-se: X º º º X V Y V H H Y h a + b n Seeione-se omo forças reunantes as forças e tração X e Y nas barras e, respetivamente. estrutura primária orresponente está representaa na figura ao ao. onsierano o equiíbrio o nó, poe esrever-se: e + X + H + Y + V Resoveno em orem a e, obtém-se: X Y Y H + X V + V H (a) energia eástia e eformação o sistema é, então: U Y ( ) + ( X Y H + V ) + ( Y X V + H ) + X Os nós e têm esoamentos reais nuos, porque são fixos. ntão, por apiação o Teorema e astigiano, poe esrever-se: (b) ou seja: U X U Y 5X Y H V Y + 5Y V H one, resoveno em orem a X e Y, se obtém: J. F. Siva Gomes, FU - orto, 9

37 apítuo IV - Soiitação xia e eças Lineares 7 e, substituino em (a): b)- esoamento o ponto 8H V X H 8V Y + H V + H V + e aoro om o Teorema e astigiano, as omponentes horizonta e vertia o esoamento o ponto são aas peas erivaas a expressão a energia (U) reativamente a H e V, respetivamente: ( δ ) h ( δ ) v U H U V ou seja, teno em onta a expressão para a energia U aa por (b): ( δ ) ( H V ) h ( δ ) ( H + V ) v J. F. Siva Gomes, FU - orto, 9

38 8 Meânia os Materiais e struturas Lineares. Teoria e piações.. ROLMS ROOSTOS... retene-se esoher um abo iínrio em aço (Ga), om m e omprimento, para suspener uma arga e 6k, estano o aongamento tota imitao a um vaor máximo e mm. etermine: a) O menor iâmetro que eve ser seeionao para o abo. b) tensão e tração orresponente a que o abo fia sujeito. Soução: a) 6,9mm. b) 6,Ma... Uma barra e seção quaraa em aumínio (7Ga) é soiitaa em tração por uma força e 8k, onforme representao na figura a seguir. a 8k 8k onsierano que o aongamento tota a barra está imitao a um vaor máximo,mm e que a resistênia à tração o aumínio a barra é am Ma, etermine: a) O vaor máximo amissíve para o omprimento () a barra. b) O vaor (a) que everá ter ao a seção a barra. Soução: a) 87mm. b) a 5,8mm... retene-se imensionar um abo e seção iruar em aço (Ga) e 5m e omprimento, para suspener uma arga e 9k. etermine o iâmetro que everá ter a seção transversa o abo, sabeno que o aongamento tota máximo permitio é max 5mm e que a tensão amissíve o materia em tração é am 5Ma. Soução:,7mm.... Uma barra, onstituía por ois segmentos e seção iruar om iâmetros iguais a 5mm e 8mm, respetivamente, é soiitaa por uma força axia apiaa na extremiae, onforme iniao na figura a seguir. ara uma tensão axia em igua a,ma, etermine o orresponente vaor a tensão axia em. Soução: 69,5Ma...5. Uma barra, onstituía por ois segmentos e seção iruar, seno e mm o iâmetro o segmento. barra é onstruía num materia om móuo e eastiiae 5Ga e é soiitaa por uma força axia 58k apiaa na extremiae, onforme iniao na figura a seguir. φmm φ,m,8m etermine o iâmetro o segmento e ta moo que o aongamento tota o onjunto seja e mm. Soução: 6,5mm. 58k..6. onsiere um tubo e seção iruar em ferro funio (Ga), om mm e omprimento, iâmetro externo e 75mm e iâmetro interno e 6mm, sujeito a uma força axia e ompressão 5k, onforme representao na figura a seguir. esprezano a possibiiae e oorrer enurvaura, etermine: J. F. Siva Gomes, FU - orto, 9

39 apítuo IV - Soiitação xia e eças Lineares 9 5k..9. Uma barra ónia está suspensa vertiamente pea base, onforme representao na figura a seguir. a) O enurtamento o tubo. b) tensão norma orresponente. Soução: a),mm. b),5ma..7. Uma barra e aço om 5mm e omprimento e seção iruar e 6mm e iâmetro está igaa a uma barra e atão om mm e omprimento e seção transversa quaraa om 5mm e ao, onforme representao na figura a seguir. O onjunto as uas barras é sujeito a uma tração e 6k. 6k etermine o aongamento tota o onjunto, onsierano Ga para o aço e 9Ga para o atão. Soução:,57mm...8. barra representaa na figura a seguir, om 5mm e omprimento, espessura onstante e,5mm e atura variáve inearmente entre 5mm e mm, está sujeita a uas forças iguais e opostas e 6k apiaas nas seções extremas. 5mm φ6mm 5mm etermine o aongamento a barra, onsierano o móuo e eastiiae Ga. Soução:,5mm. 5mm 5mm mm mm 6k,5mm 6k 6k H etermine o aongamento a barra evio ao seu peso próprio, em função as imensões e H, o móuo e Young e o peso espeífio γ o materia. Soução: γh /6.... Resova o probema anterior para os seguintes vaores numérios: m, H 5m, Ga e γ 78km. Soução:,55x mm.... etermine a energia eástia e eformação numa barra prismátia em materia eástio (), e seção iruar, om omprimento e iâmetro, suspensa vertiamente por uma as bases e sujeita à ação e uma força axia () apiaa na extremiae ivre. φ Soução: U. π... Resova o probema anterior para os seguintes vaores numérios: m, mm, Ga e ton. Soução: U,6kJoue. J. F. Siva Gomes, FU - orto, 9

40 Meânia os Materiais e struturas Lineares. Teoria e piações... Reonsiere a barra a que se refere o probema.., agora sujeita à ação exusiva o peso próprio (peso espeífio γ). φ etermine a energia eástia e eformação na barra. Soução: γ π U.... Resova o probema anterior para os seguintes vaores numérios: m, mm, Ga e γ 78km. Soução: U,96mJoue...5. ina reativamente à barra a que se referem os quatro probemas anteriores, etermine a energia eástia e eformação, onsierano, agora, a ação simutânea o peso próprio e a força. φ γ γ..7. onsiere uma barra em materia eástio (), onstituía por ois segmentos e, e omprimentos iguais (/), e seções transversais om áreas e e, respetivamente. O onjunto está suspenso e um suporte rígio em e é soiitao por uma força F na extremiae, onforme iustrao na figura a seguir: / / a) euza a expressão a energia eástia e eformação (U), em termos os parâmetros,, e. b) aue a quantiae e energia armazenaa na barra, onsierano os seguintes vaores numérios os parâmetros: k, 6m, Ga e m. Soução: a) U 5 /(6); b) U 7,8Joue...8. Uma barra prismátia e omprimento, seção transversa e área, e móuo e eastiiae, está sujeita a forças, e, onforme iustrao na figura a seguir. Soução: γ π γ U + +. π..6. Resova o probema anterior para os seguintes vaores numérios: m, mm, Ga, ton e γ 78km. Soução: U,5kJoue. / / / a) euza a expressão a energia eástia e eformação (U), em termos os parâmetros,, e. b) aue a quantiae e energia armazenaa na barra, onsierano os seguintes vaores numérios: k,,5m, Ga e m. J. F. Siva Gomes, FU - orto, 9

41 apítuo IV - Soiitação xia e eças Lineares Soução: a) U /(); b) U,Joue...9. Uma barra prismátia e omprimento, seção transversa e área, e móuo e eastiiae, está sujeita a uas forças e Q onforme iustrao na figura a seguir. euza as expressão a energia eástia e eformação (U), em termos os parâmetros, Q,, e, em aa uma as seguintes situações: a) força atua sozinha (Q). b) força Q atua sozinha (). ) força e Q atuam em onjunto. Soução: a) U /(); b) U Q /(). ) U ( +Q+Q )/().... Resova o probema anterior para os seguintes vaores numérios: m, m, 7Ga, 5ton e Qton. Soução: a) U,67kJoue. b) U,57kJoue. ) U,6kJoue.... Uma barra trono-ónia em materia eástio, homogéneo e isotrópio (), e omprimento e iâmetros e em e, respetivamente, é enastraa em e soiitaa por uma força axia apiaa na outra extremiae, onforme iniao na figura a seguir. / a) euza a expressão a energia eástia e eformação (U), em termos os parâmetros,, e. Q / b) euza a expressão para o aongamento a barra, em termos os parâmetros,, e. Soução: a) U /(π ). b) /(π ).... Resova o probema anterior para os seguintes vaores numérios: m, mm, mm, 8Ga e 5ton. Soução: a) U,kJoue. b),995mm.... Uma barra e omprimento, seção transversa e área, e móuo e eastiiae, está inseria entro um tubo om o mesmo omprimento, seção transversa e área, e móuo e eastiiae, onforme iustrao na figura a seguir. O onjunto é montao entre uas fanges rígias e sujeito a uma ompressão axia por uas forças iguais e opostas. etermine: a) s forças e ompressão e a que fiam sujeitos aa um os eementos o onjunto. b) variação e omprimento ( ) o onjunto. Soução: a), + b) Resova o probema anterior para os seguintes vaores numérios: m, m, m, Ga, 8Ga e ton. Soução: a) 6,87ton, 9,ton. J. F. Siva Gomes, FU - orto, 9

42 Meânia os Materiais e struturas Lineares. Teoria e piações b),87mm...5. Um tubo em aço ( a Ga), e seção iruar, om iâmetro interno e 5mm e paree e mm, é heio e betão ( b Ga) e omprimio entre uas paas rígias, onforme iniao na figura a seguir: Soução: a,6ma; aço 6,6Ma...7. Uma ouna e omprimento, seção transversa e área, e móuo e eastiiae, está igaa a suportes rígios em e, onforme iustrao na figura a seguir., a φ 5 mm mm b onsierano as tensões amissíveis para o aço e para o betão, ( am ) a Ma e ( am ) b 8Ma, respetivamente, etermine o vaor máximo a arga que o onjunto poe suportar. Soução: max 776k...6. ois tubos em aumínio e aço ( a 7Ga, a 6mm e aço Ga, aço 6mm ) estão igaos através e uma paa rígia em e montaas entre uas amarrações rígias. O onjunto é então soiitao por uma istribuição inear e forças ao ongo o perímetro a paa e igação, om uma resutante k, onforme representao na figura a seguir. tubo em Fe k etermine as tensões axiais a e aço nos tubos e aumínio e e aço, respetivamente. tubo em etermine as tensões e nos segmentos e, respetivamente, em resutao a força apiaa na seção interméia. Soução: b, a...8. Resova o probema anterior para os seguintes vaores numérios: m, m, Ga, a,5m, b,5m e 5ton. Soução: a) 5,6Ma, 6,Ma...9. Uma barra e omprimento é onstituía por três segmentos, om uas seções retas istintas mm e 6mm, onforme iniao na figura a seguir. barra está rigiamente imitaa nas seções extremas e sujeita a uas forças iguais e opostas e intensiae k, omo é também iniao na figura. 7 7 etermine a tensão axia no segmento entra a barra. 7 J. F. Siva Gomes, FU - orto, 9

43 apítuo IV - Soiitação xia e eças Lineares Soução: 6,7Ma.... Uma barra e omprimento () e rigiez axia () está suspensa e um suporte rígio pea extremiae e soiitaa por uma força apiaa numa seção a / o omprimento, a partir o extremo, onforme representao na figura a seguir. ntre a extremiae a barra e a base fixa inferior existe uma foga iniia (e), onforme está também iniao na figura. etermine a expressão para a foga (e), e ta moo que sejam iguais as reações em e. Soução: e /(6).... Resova o probema anterior para os seguintes vaores numérios:,5m, m, 7Ga e ton. Soução: e 6,mm.... onsiere uma barra em aço (Ga), onstituía por ois segmentos e, aa um ees om mm e omprimento, e seções transversais om áreas e 5mm e mm, respetivamente, onforme iustrao na figura a seguir: 5mm mm 6k / / e k 5mm 5mm 5mm 5mm O onjunto está igao a ois suportes rígios em e e é soiitao por uas forças e k e 6k etermine as reações R e R nos apoios e, respetivamente. Soução: R k; R 577k.... Reonsiere o probema anterior, amitino agora que existe uma foga iniia e,5mm entre a barra e o apoio inferior, onforme iustrao na figura a seguir: 5mm etermine as reações R e R nos apoios e, respetivamente. Soução: R 78,6k; R 5,k.... Um arame e aço (Ga, αx -6 /º) é estiao entre ois suportes rígios a uma tensão e o Ma, à temperatura ambiente e º, onforme iniao na figura a seguir. mm δ,5mm k 6k o Ma 5mm 5mm 5mm 5mm etermine: a) tensão no arame quano a temperatura ese para º. a) temperatura T para a qua se torna nua a tensão no arame. Soução: a) 98,8Ma. b) T,6º...5. Uma barra e obre (Ga, α7x -6 /º), om m e omprimento, é posiionaa entre uas parees rígias, haveno uma foga iniia e,mm, à temperatura ambiente e J. F. Siva Gomes, FU - orto, 9

44 Meânia os Materiais e struturas Lineares. Teoria e piações º, onforme represen-tao na figura a seguir. etermine a tensão a que a barra fia submetia quano a temperatura sobe para os 7º. Soução: a) 7,5Ma...6. barra representaa na figura a seguir é montaa (sem quaquer foga ou aperto ) entre os ois apoios rígios e, à temperatura ambiente e º. Tomano para o móuo e Young o materia o vaor Ga e para o oefiiente e iatação térmia o vaor αx 6 /º, etermine as tensões nos segmentos e quano a temperatura a barra passa para 5º. Soução: -Ma, -8Ma...7. onsiere a estrutura artiuaa pana representaa na figura a seguir, onstituía por uas barras iguais, e rigiez axia (), sujeitas à ação uma força vertia () apiaa no nó e igação entre os ois eementos. 78mm β etermine o esoamento vertia o ponto. Soução: h ( δ ). v os ( β) β m,mm mm mm 9mm h..8. Resova o probema anterior para os seguintes vaores numérios: h,5m, mm, β 5º, Ga e 5k. Soução: ( δ ) mm v, onsiere a estrutura artiuaa pana representaa na figura a seguir, onstituía por uas barras iguais, e rigiez axia (), sujeita à ação uma força horizonta () apiaa no nó e igação entre os ois eementos. etermine: a) energia eástia e eformação na estrutura. b) O esoamento horizonta o ponto e apiação a arga. Soução: a) U /( ). b) (δ ) h /( ).... Resova o probema anterior para os seguintes vaores numérios: m, m, 7Ga e ton. Soução: a) U 66,9Joue. b) (δ ) h,mm.... onsiere a estrutura artiuaa pana representaa na figura a seguir, onstituía por uas barras e igua rigiez axia (), sujeita à ação uma força vertia () apiaa no nó. etermine: a) energia eástia e eformação. 5 º 5º J. F. Siva Gomes, FU - orto, 9

45 apítuo IV - Soiitação xia e eças Lineares 5 b) O esoamento vertia o ponto. Soução: a) U,6 /(). b) (δ ) v,78/().... Resova o probema anterior para os seguintes vaores numérios: 5m, 8mm, Ga e 5ton. Soução: a) U,Joue. b) (δ ) h,mm.... ina reativamente à situação a que se refere o probema.., etermine o esoamento horizonta o ponto. Soução: (δ ) h,96/().... Resova o probema anterior para os seguintes vaores numérios: m, m, 8Ga e 5k. Soução: (δ ) h,mm...5. onsiere a estrutura artiuaa pana representaa na figura a seguir, onstituía por uas barras om a mesma rigiez axia (), sujeita à ação e uas forças H e V, apiaas no nó e igação entre os ois eementos. H a m, 5mm, 7Ga, H k. e V k. Soução: a) U H 68,57Joue. b) U V 8,Joue. ) U HV 5,86Joue...7. onsiere a estrutura artiuaa pana representaa na figura a seguir, onstituía por três barras em aço (Ga), om as áreas iniaas na figura, e sujeita à ação uma força vertia (k) apiaa no nó.,5m,5m mm mm 8mm m etermine o esoamento vertia o ponto e apiação a força. Soução: (δ ) v,9mm...8. onsiere a estrutura artiuaa pana representaa na figura a seguir, onstituía por ino barras om a mesma rigiez axia (), sujeita à ação uma força vertia () apiaa no nó. k a V a etermine a energia eástia e eformação na estrutura, em aa uma as situações seguintes: a) tua apenas a força H (i.e. V). b) tua apenas a força V (i.e. H). ) tuam as uas forças (H, V ). Soução: a) U H H a/(). b) U V V a/(). ) U HV a(h +HV+6V )/(6)...6. Resova o probema anterior para os seguintes vaores numérios: 5 º 5º etermine: a) energia eástia e eformação na estrutura. b) O esoamento vertia o ponto e apiação a arga (). Soução: a) U,57 /(). b) (δ ) v,9/(). J. F. Siva Gomes, FU - orto, 9

46 6 Meânia os Materiais e struturas Lineares. Teoria e piações..9. Resova o probema anterior para os seguintes vaores numérios: m, k, m, Ga. Soução: Soução: a) U,9Joue. b) (δ ) v,78mm...5. onsiere a estrutura artiuaa pana representaa na figura a seguir, onstituía por ino barras om a mesma rigiez axia (), sujeita à ação uma força horizonta (H) apiaa no nó. H etermine o esoamento horizonta o ponto e apiação a força H. Soução: (δ ) h,75h/()...5. Resova o probema anterior para os seguintes vaores numérios:,5m, 5m, 7Ga e H ton. Soução: (δ ) h,mm...5. onsiere a estrutura artiuaa pana representaa na figura a seguir, onstituía por ino barras om a mesma rigiez axia (), sujeita à ação uma força horizonta (H) apiaa no nó. etermine o esoamento horizonta o ponto e apiação a força H. Soução: (δ ) h,75h/()...5. Resova o probema anterior para os seguintes vaores numérios:,5m, 5m, 7Ga e H ton. Soução: (δ ) h,mm. H..5. onsiere a estrutura artiuaa pana representaa na figura a seguir, onstituía por ino barras om a mesma rigiez axia (), sujeita à ação e uas forças ( e ) apiaas no nó. etermine: a) O esoamento horizonta o ponto. a) O esoamento vertia o. Soução: a) (δ ) h,88/(). b) (δ ) v /() Resova o probema anterior para os seguintes vaores numérios:,m, 5m, Ga e 6ton. Soução: a) (δ ) h,mm. b) (δ ) v,6mm Reativamente à estrutura a que se refere o probema..5, etermine: a) O ânguo e rotação o eemento. b) variação a istânia entre os nós e. Soução: a) θ /(). b) /()..57. ina reativamente à estrutura a que se refere o probema..5, e onsierano o oefiiente e expansão térmia (α) o materia, etermine o esoamento horizonta o ponto prouzio por uma variação e temperatura ( T ) a barra. Soução: (δ ) h α( T) onsiere a estrutura artiuaa pana quaranguar representaa na figura a seguir. J. F. Siva Gomes, FU - orto, 9

47 apítuo IV - Soiitação xia e eças Lineares 7 Supono que o oefiiente e expansão térmia o materia é α, etermine a variação a istânia entre os nós e quano há um aumento T a temperatura o onjunto. Soução: α( T ) Resova o probema anterior para os seguintes vaores numérios: m, α,6x 6 /º e T º. Soução:,8mm...6. s barras a estrutura retiuaa representaa na figura a seguir são em tubo e aumínio (7Ga) om as áreas e seção transversa iniaas ( 5m, m ).,6m etermine o esoamento vertia o ponto e apiação a força. Soução: (δ ) v 6,7mm...6. ina reativamente à situação a que se refere o probema anterior, etermine o esoamento vertia o nó. Soução: (δ ) v,6mm...6. onsiere a estrutura artiuaa pana representaa na figura a seguir, onstituía por nove barras om a mesma rigiez axia (), sujeita à ação uas forças vertiais ( e ) apiaas nos nós e, respetivamente.,5m k,8m etermine: a) O esoamento vertia o nó. b) variação a istânia entre os nós e. Soução: a) (δ ) v 8,7a/(). b),85a/()..6. Resova o probema anterior para os seguintes vaores numérios: a,5m, ton, Ga e 8mm. Soução: a) (δ ) v,69mm. b),8mm...6. onsiere a estrutura artiuaa pana representaa na figura a seguir, onstruía a partir e barras e aço () om as seguintes áreas transversais: ementos e : Área ementos, F, FG e G: Área emento : Área ementos, F, F e G: Área estrutura está sujeita à ação e três forças, e, onforme iniao na figura. a a a a onsierano os vaores numérios k, k, m, m, 8m, m, am, bm e Ga, aue: a) O esoamento vertia o nó. b) O esoamento horizonta o mesmo nó. Soução: a) (δ ) v,89mm. b) (δ ) h,6mm. a a a F F a G b J. F. Siva Gomes, FU - orto, 9

48 8 Meânia os Materiais e struturas Lineares. Teoria e piações..65. ina reativamente à estrutura a que se refere o probema anterior, aue: a) O ânguo e rotação o eemento. b) variação a istânia entre os nós e F. Soução: a) θ 8,x 6 ra. b) F,9mm Uma força é suportaa por um sistema e três barras artiuaas, toas e igua rigiez axia (), onforme representao na figura a seguir. etermine o esforço axia na barra Soução: /(+os a) Uma força é suportaa por um sistema e três barras artiuaas, toas e igua rigiez axia (), onforme representao na figura a seguir. α,6,8 α,5 etermine o esforço axia em aa uma as barras. Soução:,6;,;, Uma força é suportaa por um sistema e três barras artiuaas, toas e igua rigiez axia (), onforme representao na figura a seguir. etermine o esforço axia na barra. Soução: 7/ Uma força é suportaa por um sistema e oito barras artiuaas, toas e igua rigiez axia (), onforme representao na figura a seguir. etermine o esforço axia na barra. Soução:,58... ILIOGRFI [6.]-Timoshenko, S.. an Young.H., "ements of Strength of Materias",. Van ostran, ew York, (96). [6.]-rano,..M., "Meânia aouste Gubenkian, Lisboa, (985). os Materiais",. Funação [6.]-Massonnet,., "Résistane es Matériaux",. uno, aris, (968). J. F. Siva Gomes, FU - orto, 9