Cinemática vetorial. A megarrampa. Capítulo

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1 unidade c Capítulo 8 elocidade e a aceleração caracterizam-se como grandezas etoriais, tendo módulo, direção e sentido. ssim, numrajetória curilínea, pelo menos a direção da elocidade está em constante mudança. aceleração relacionada com a ariação da direção da elocidade é a aceleração centrípeta. Cinemática etorial megarrampa Megaproteção Como serão, em cada instante, a elocidade e a aceleração etoriais do desportista ao percorrer a pista? Vamos obserar alguns detalhes da megarrampa e pensar um pouco sobre isso. 1. Qual é o módulo da aceleração média do atleta 3 s após o início de seu moi mento? 2. o passar pelo ponto mais alto de sua trajetória parabólica, qual é o módulo da aceleração do esqueitista? 3. No instante em que o esqueitista alcança os 21 m de altura, em relação ao solo, qual é o módulo de sua elocidade? 1 uma altura de 27 m, o atleta se prepara para descer a megarrampa. Em menos de 3 s, ele poderá atingir uma elocidade de 80 km/h. 8.1 Velocidade e aceleração etoriais Velocidade e aceleração são caracterizadas como grandezas etoriais. Roupa de neoprene para eitar queimaduras causadas pelo atrito com a pista, em caso de queda. Colete protetor para coluna e cóccix, feito de polietileno de alta densidade. 3 o subir o quarterpipe, 2 Com a elocidade adquirida na primeira rampa, skate e atleta são lançados por um plano inclinado e oam, em trajetória parabólica, sobre um ão de 20 m de comprimento. 8.2 Casos particulares s características da elocidade e da aceleração etoriais são detalhadas em casos particulares. o esqueitista muda bruscamente a direção de seu moimento. Com isso, ele fica sob a ação de uma aceleração cujo módulo é equialente a 7 ezes a aceleração da graidade (7g). 4 Mesmo sob a ação da graidade, o atleta pode alcançar 21 m de altura em relação ao solo. 8.3 Composição de moimentos Estudo do moimento de um corpo como resultado de ários moimentos simultâneos. Medidas megarrampa é tão comprida quanto um campo de futebol e tem altura equialente a um prédio de 9 andares. 27 m ara pensar Equipamentos de segurança tradicionais, como capacete, joelheira e cotoeleira, são feitos hoje de material termoplástico lee e de eleada resistência a impactos. lém disso, os esqueitistas da megarrampa usam alguns equipamentos extras de proteção. 20 m 8m 110 m

2 Seção 8.1 Velocidade e aceleração etoriais Objetios Caracterizar etor deslocamento. Definir a elocidade etorial média e instantânea. nalisar a ariação do módulo e da direção da elocidade etorial nos diferentes moimentos. Definir aceleração etorial média e instantânea. Conceituar aceleração centrípeta e tangencial. Termos e conceitos moimento ariado aceleração tangencial aceleração centrípeta aceleração etorial Numrajetória curilínea, o módulo da ariação do espaço é sempre maior que o módulo do etor deslocamento. Nos capítulos anteriores tratamos a elocidade e a aceleração como grandezas escalares, e por essa razão elas foram chamadas de elocidade escalar e aceleração escalar. Neste capítulo, a elocidade e a aceleração são caracterizadas como grandezas etoriais. Estudaremos a elocidade etorial média e a instantânea, bem como a aceleração etorial média e a instantânea. 1 Vetor deslocamento Um ponto material ocupa num instante t 1 a posição 1 cujo espaço é s 1. No instante posterior t 2, o ponto material ocupa a posição 2 de espaço s 2 (fig. 1). Entre essas posições, a ariação do espaço é Ss s 2 s 1. O etor d, representado pelo segmento orientado de origem 1 e extremidade 2, recebe o nome de etor deslocamento do ponto material entre os instantes t 1 e t 2. Na situação representada na figura 1, em que rajetória é curilínea, o módulo do etor deslocamento é menor do que o módulo da ariação do espaço (OdO OSsO). No caso em que rajetória é retilínea (fig. 2), o módulo do etor deslocamento é igual ao módulo da ariação do espaço (OdO OSsO). Figura 1. O 1 (t 1 ) Figura 2. 2 Velocidade etorial média s s O 1 d 2 s d d = s 2 (t 2 ) Vimos que a elocidade escalar média m é o quociente entre a ariação do espaço Ss e o correspondente interalo de tempo St: m Ss St elocidade etorial média m é o quociente entre o etor deslocamento d e o correspondente interalo de tempo St: + + s Reprodução proibida. rt.184 do Código enal e Lei de 19 de feereiro de m d St 132

3 elocidade etorial média m possui a mesma direção e o mesmo sentido do etor deslocamento d (fig. 3). 1 (t 1 ) d 2 (t 2 ) s 1 (t 1 ) d 2 (t 2 ) s m m Figura 3. O etor m tem a mesma direção e o mesmo sentido do etor deslocamento d. Seu módulo é dado por: O m O OdO St Em trajetórias curilíneas, temos OdO OSsO e portanto O m O O m O. arrajetórias retilíneas, resulta O m O O m O, pois OdO OSsO. or exemplo, na figura 4, uma partícula percorre uma semicircunferência de raio R, em certo interalo de tempo St, partindo do ponto 1 e chegando ao ponto 2. Nesse interalo de tempo, a ariação do espaço é Ss sr e o etor deslocamento d tem módulo igual a 2R (OdO 2R). elocidade escalar média m entre R R 1 d as posições 2 1 e 2 é m sr e o módulo da elocidade etorial St Figura 4. média é O m O 2R St. exercícios propostos. 149 Um carro percorre a quarta parte de uma pista horizontal e circular, de raio 100 m, em 10 s. Determine, nesse interalo de tempo, os módulos: a) da ariação do espaço; b) do etor deslocamento; c) da elocidade escalar média; d) da elocidade etorial média No mapa da rede metroiária de São aulo, destacamos a linha azul. distância que o metrô percorre entre os terminais Jabaquara e Tucurui é de 20,2 km e a duração da iagem é de 44 min. a) Qual é o módulo da elocidade escalar média do metrô entre os terminais Jabaquara e Tucurui? b) Represente o etor deslocamento entre as estações Jabaquara e Tucurui e calcule seu módulo. c) Qual é o módulo da elocidade etorial média entre os citados terminais? Sabe se que, na escala do mapa, cada 1 cm corresponde a 2 km. Capítulo 8 Cinemática etorial 133

4 Unidade C Vetores e grandezas etoriais: Cinemática etorial 3 Velocidade etorial instantânea Considere uma pequena esfera descreendo uma certrajetória em relação a um dado referencial (fig. 5). Num instante t, essa esfera ocupa a posição. elocidade etorial da esfera, no instante t, tem as seguintes características: módulo: igual ao módulo da elocidade escalar no instante t (OO OO); direção: da retangente à trajetória pelo ponto ; sentido: do moimento. Lembre-se de que um etor aria quando qualquer um dos seus elementos aria (módulo, direção, sentido); logo, a elocidade etorial aria quando um desses elementos aria. Desse modo, se um ponto material descree uma cura (fig. 6), sua elocidade etorial já está ariando, pois, em cada ponto da cura, existe uma retangente; portanto, em cada ponto a elocidade etorial possui uma direção. ssim, a elocidade etorial aria num moimento curilíneo independentemente do tipo do moimento (uniforme, uniformemente ariado etc.). Em resumo: Nos moimentos uniformes, a elocidade etorial tem módulo constante, pois a elocidade escalar é constante. Nos moimentos ariados, o módulo da elocidade etorial aria. 4 celeração etorial média Trajetória cura [ Variação da direção da elocidade etorial Moimento ariado [ Variação do módulo da elocidade etorial Trajetória Figura 6. Variação da direção da elocidade etorial. Quando estudamos os moimentos ariados, definimos a aceleração escalar média (a m ) como sendo o quociente entre a ariação da elocidade escalar (S 2 1 ) pelo interalo de tempo correspondente (St t 2 t 1 ). De modo análogo, podemos definir a aceleração etorial média a m. Seja 1 a elocidade etorial de um ponto material num instante t 1 e 2 a elocidade etorial no instante posterior t 2 (fig. 7). aceleração etorial média a m é dada por: a m S St 2 1 t 2 t 1 Moimento Figura 5. Retangente à trajetória por Reprodução proibida. rt.184 do Código enal e Lei de 19 de feereiro de

5 aceleração etorial média a m tem a mesma direção e o mesmo sentido de S (fig. 7). 2 a m 1 2 (t 2 ) (t 1 ) Figura 7. or exemplo, na figura 8, uma partícula passa pelo ponto 1, no instante t 1, com elocidade 1 ; e, no instante t 2, atinge o ponto 2 com elocidade 2, tal que O 1 O O 2 O. Obsere que 1 e 2 são tangentes à trajetória nos pontos 1 e 2 e têm o sentido do moimento. ara o cálculo do módulo da aceleração etorial média no interalo de tempo St t 2 t 1, deemos, inicialmente, calcular o módulo de S 2 1 (fig. 9). Reprodução proibida. rt.184 do Código enal e Lei de 19 de feereiro de (t 1 ) 2 (t 2 ) 2 1 Figura 8. OSO ortanto: Oa m O OSO St ] OSO 3 dll 2 dll 2 St = 2 = Figura 9. exercício proposto. 151 s elocidades etoriais 1, 2 e 3 de uma partícula nos instantes t 1 0, t 2 2 s e t 3 5 s, respectiamente, estão representadas na figura. Calcule o módulo da aceleração etorial média nos interalos de tempo: a) de t 1 2 ; b) de t ,0 m/s Capítulo 8 Cinemática etorial 1,0 m/s 135

6 5 celeração etorial instantânea aceleração etorial instantânea a pode ser entendida como sendo uma aceleração etorial média, quando o interalo de tempo St é extremamente pequeno. Sempre que houer ariação da elocidade etorial, haerá aceleração etorial a. elocidade etorial pode ariar em módulo e em direção*. or esse motio a aceleração etorial a é decomposta em duas acelerações componentes: aceleração tangencial ( ), que está relacionada com a ariação do módulo de, e aceleração centrípeta (a cp ), que está relacionada com a ariação da direção de. celeração tangencial aceleração tangencial possui as seguintes características: módulo: igual ao módulo da aceleração escalar a (O O OaO); direção: tangente à trajetória; sentido: o mesmo de, se o moimento for acelerado, ou oposto ao de, se o moimento for retardado. Unidade C Vetores e grandezas etoriais: Cinemática etorial Moimento acelerado Trajetória Figura 10. aceleração tangencial está relacionada com a ariação do módulo da elocidade etorial. Nos moimentos uniformes, o módulo da elocidade etorial não aria e, portanto, a aceleração tangencial é nula. aceleração tangencial existe somente em moimentos ariados e inde pen de do tipo de trajetória (retilínea ou curilínea). celeração centrípeta aceleração centrípeta a cp possui as seguintes características: módulo: é dado pela expressão Oa cp O 2, na qual é a elocidade escalar do móel e R é o raio de curatura drajetória; R direção: perpendicular à elocidade etorial em cada ponto; sentido: orientado para o centro de curatura drajetória (fig. 11). Nos moimentos retilíneos, a direção da elocidade etorial não aria e a aceleração centrí peta é nula. aceleração centrípeta existe somente em moimentos de trajetórias curas e independe do tipo de moimento (uniforme ou ariado). aceleração centrípeta é também denominada aceleração normal. Moimento retardado Trajetória a cp Trajetória Figura 11. aceleração centrí peta a cp está relacionada com a ariação da direção de. C Reprodução proibida. rt.184 do Código enal e Lei de 19 de feereiro de * Eentualmente pode ocorrer ariação de sentido do moimento, mas somente se também ariar o módulo.

7 celeração etorial soma etorial at acp define a aceleração etorial a do moimento (fig. 12): Trajetória at at a= a at acp + a cp acp R C Figura 12. Reprodução proibida. rt.184 do Código enal e Lei de 19 de feereiro de celeração etorial a at acp Em módulo: OaO2 OatO2 OacpO2 a está relacionada com a ariação da elocidade etorial celeração tangencial celeração centrípeta at acp Está relacionada com a ariação do módulo de ; logo, existe somente em moimentos ariados (nos moimentos uniformes, at 0). OatO OaO Está relacionada com a ariação da direção de ; logo, existe somente em trajetórias curas (nos moimentos retilíneos, acp 0). 2 OacpO R 137 V1_1_UN_C_C_08.indd :12:15

8 Seção 8.2 Casos particulares Objetio nalisar a elocidade etorial e a aceleração etorial em diferentes tipos de moimento. Termos e conceitos moimento uniforme moimento uniformemente ariado 1 MRU (moimento retilíneo e uniforme) elocidade etorial é constante, isto é, tem módulo, direção e sentido constantes. ortanto, a aceleração etorial é nula: a elocidade etorial não aria em módulo, pois o moimento é uniforme (portanto, 0), e não aria em direção, pois rajetória é retilínea (portanto, a cp 0) = 0 a cp = 0 a = 0 Figura MCU (moimento circular e uniforme) elocidade etorial tem módulo constante, pois o moimento é uniforme; logo, a aceleração tangencial é nula. or outro lado, a elocidade etorial aria em direção, pois rajetória é cura. Consequentemente, a aceleração centrípeta não é nula; seu Oa cp O 2 R # é constante, pois a elocidade escalar e o raio R são constantes. aceleração centrípeta, porém, aria em direção e sentido. a cp = 2 = 3 = constante a cp 1 2 n 3 Reprodução proibida. rt.184 do Código enal e Lei de 19 de feereiro de Unidade C Vetores e grandezas etoriais: Cinemática etorial O módulo da aceleração centrípeta de cada criança no gira-gira é diretamente proporcional ao quadrado de sua elocidade. = 0 Figura 14. a cp 0 a = a cp 138

9 3 MRUV (moimento retilíneo uniformemente ariado) elocidade etorial aria em módulo, pois o moimento é ariado e portanto a aceleração tangencial não é nula. aceleração centrípeta a cp é nula, pois rajetória é retilínea. Como no MUV a aceleração escalar a é constante, decorre que a aceleração tangencial tem módulo constante (O O OaO) e direção constante. Quanto ao sentido, terá o mesmo sentido de, se o moimento for acelerado, ou oposto ao de, se retardado MRUV 1 2 acelerado MRUV 1 2 retardado 3 Figura a cp = 0 a = 4 MCUV (moimento circular uniformemente ariado) No moimento circular uniformemente ariado, a aceleração tangencial e a aceleração centrípeta a cp não são nulas, pois a elocidade etorial aria em módulo (moimento ariado) e em direção (rajetória é cura) a = + a cp 3 a cp MCUV acelerado a cp MCUV retardado Figura 16. a = + a cp exercícios resolidos R. 57 Uma partícula descree um moimento circular uniformemente ariado e acelerado no sentido horário. Represente a elocidade etorial, a aceleração centrípeta a cp, a aceleração tangencial e a aceleração resultante a, no instante em que a partícula passa pelo ponto indicado. Sentido do moimento Solução: elocidade etorial é tangente à trajetória pelo ponto e tem o sentido do moimento. aceleração centrípeta a cp é orientada para o centro da circunferência. aceleração tangencial tem o mesmo sentido de, pois o moimento é acelerado. soma etorial a cp define a aceleração resultante a. R. 58 Um ponto material percorre umrajetória circular de raio R 20 m com moimento uniformemente ariado e aceleração escalar a 5 m/s 2. Sabendo se que no instante t 0 sua elocidade escalar é nula, determine no instante t 2 s os módulos da: a) elocidade etorial; c) aceleração centrípeta; b) aceleração tangencial; d) aceleração etorial. a cp a Sentido do moimento Capítulo 8 Cinemática etorial 139

10 Solução: a) Sendo o moimento uniformemente ariado, temos 0 at. Sendo 0 0, a 5 m/s 2 e t 2 s, em: ] 10 m/s elocidade etorial tem módulo igual ao módulo da elocidade escalar. ortanto: OO OO 10 m/s b) aceleração tangencial tem módulo igual ao módulo da aceleração escalar: O O OaO 5 m/s 2 c) O módulo da aceleração centrípeta é dado por Oa cp O 2. Sendo 10 m/s e R 20 m, em: R d) O módulo da aceleração resultante é dado por: Oa cp O ] Oa cpo 5 m/s 2 OaO 2 O O 2 Oa cp O ] Unidade C Vetores e grandezas etoriais: Cinemática etorial Respostas: a) 10 m/s; b) 5 m/s 2 ; c) 5 m/s 2 ; d) 77 m/s 2 exercícios propostos ] OaO 5 dll 2 m/s m/s Uma partícula realiza um moimento circular no sentido anti horário. Represente a elocidade etorial, a aceleração centrípeta a cp, a aceleração tangencial e a aceleração resultante a, no instante em que a partícula passa pelo ponto indicado, nos casos em que: a) o moimento é uniforme; b) o moimento é uniformemente ariado retardado Uma partícula descree um moimento circular de raio R 1 m com a aceleração escalar a 3 m/s 2. Sabe se que no instante t 0 a elocidade escalar da partícula é 0 0,5 m/s. Determine no instante t 0,5 s os módulos da: a) elocidade etorial; b) aceleração centrípeta; c) aceleração tangencial; d) aceleração etorial Uma partícula descree um moimento circular uniforme de raio R 2 m e elocidade escalar 3 m/s. Determine os módulos da: a) aceleração centrípeta; b) aceleração tangencial; c) aceleração etorial Um moimento retilíneo uniformemente ariado tem aceleração escalar a 4 m/s 2. Determine os módulos da: a) aceleração tangencial; b) aceleração centrípeta; c) aceleração etorial. Sentido do moimento Reprodução proibida. rt.184 do Código enal e Lei de 19 de feereiro de

11 Seção 8.3 Composição de moimentos Objetios Identificar moimento de arrastamento e moimento relatio. nalisar o moimento resultante como uma composição entre o moimento relatio e o de arrastamento. Considere uma placa de madeira em cima de uma mesa e uma formiga situada na placa. Reprodução proibida. rt.184 do Código enal e Lei de 19 de feereiro de plicar o princípio dos moimentos simultâneos de Galileu à composição de moimentos. Termos e conceitos moimento relatio moimento de arrastamento moimento resultante princípio da simultaneidade ara cruzar o rio perpendicularmente, o barqueiro conduz o barco obliquamente em relação à correnteza. Figura 17. Imagine a formiga moimentando-se em relação à placa, segundo rajetória indicada na figura 18. Se a formiga estiesse em repouso em relação à placa e esta se deslocasse para a direita, num moimento de translação uniforme, rajetória da formiga seria a indicada na figura 18. Na figura 18C, representamos uma possíel trajetória da formiga, em relação a um obserador na Terra, se ocorressem simultaneamente os dois moimentos citados. Figura 18. Três moimentos podem ser considerados (fig. 19): o moimento da formiga em relação à placa: moimento relatio; o moimento que a formiga teria se estiesse em repouso em relação à placa e fosse arrastada por ela: moimento de arrastamento (o moimento de arrastamento é o moimento de translação da placa em relação à Terra); C o moimento da formiga em relação à Terra: moimento resultante. Formiga Figura 19. Moimento relatio laca Moimento resultante Moimento de arrastamento Terra Capítulo 8 Cinemática etorial elocidade etorial da formiga em relação à placa é denominada elocidade relatia ( rel. ). 141

12 elocidade etorial que a formiga teria, se estiesse em repouso em relação à placa e fosse arrastada por ela, é denominada elocidade de arrastamento ( arr. ). elocidade de arrastamento é a elocidade de translação da placa em relação à Terra. elocidade etorial de em relação à Terra é denominada elocidade resultante ( res. ). Essas elocidades (fig. 20) relacionam-se pela igualdade etorial: res. rel. arr. Moimento relatio Moimento resultante rel. res. arr.. arr. Moimento de arrastamento Figura 20. Unidade C Vetores e grandezas etoriais: Cinemática etorial Em ez de uma formiga, poderíamos ter um barco moimentando-se em relação às águas de um rio, as quais se moimentam em relação à Terra. Nesse caso, o moimento relatio é o do barco em relação às águas. O moimento das águas em relação à Terra, isto é, em relação à margem, é o moimento de arrastamento, e o moimento do barco em relação à Terra (margem) é o moimento resultante (fig. 21): arco Figura 21. Moimento relatio Água Moimento resultante Moimento de arrastamento Outros exemplos: O moimento de um aião em relação ao ar é o moimento relatio. O moimento do ar em relação à Terra, que arrasta o aião, é o moimento de arrastamento, e o moimento do aião em relação à Terra é o moimento resultante (fig. 22). ião Figura 22. Moimento relatio r Moimento resultante Moimento de arrastamento O moimento da chua em relação a um carro é o moimento relatio. O moimento do carro em relação à Terra é o moimento de arrastamento e o moimento da chua em relação à Terra é o moimento resultante (fig. 23). Chua Moimento relatio Carro Moimento de arrastamento Terra Terra Terra Reprodução proibida. rt.184 do Código enal e Lei de 19 de feereiro de Figura 23. Moimento resultante

13 rincípio da independência dos moimentos simultâneos (Galileu) O estudo do moimento resultante a partir dos moimentos relatio e de arrastamento é denominado composição de moimentos. Estudando os problemas relatios a um moimento composto, isto é, resultante da composição de dois ou mais moimentos, Galileu propôs o princípio da simultaneidade ou princípio da independência dos moimentos simultâneos. Se um corpo apresenta um moimento composto, cada um dos moimentos componentes se realiza como se os demais não existissem e no mesmo interalo de tempo. ssim, por exemplo, considere um barco que se moimenta mantendo seu eixo numa direção perpendicular à margem de um rio. artindo de, o barco não atinge a margem oposta em, e sim em C, deido à correnteza (fig. 24). No moimento relatio, o barco percorre rajetória com elocidade rel.. No moimento resultante, o barco percorre rajetória C com elocidade res. e, deido à correnteza, o barco é arrastado de a C com elocidade arr.. Os dois moimentos ocorrem ao mesmo tempo, mas um não interfere na realização do outro. rel. Figura 24. arr. res. C De acordo com Galileu, o interalo de tempo gasto no moimento relatio é igual ao interalo de tempo gasto no moimento resultante, que é igual ao interalo de tempo gasto no moimento de arrastamento. exercícios resolidos R. 59 Um barco está com o motor funcionando em regime constante; sua elocidade em relação à água tem módulo igual a 5 m/s. correnteza do rio moimenta se em relação às margens com 2 m/s, constante. Determine o módulo da elocidade do barco em relação às margens em quatro situações distintas: a) o barco naega paralelo à correnteza e no seu próprio sentido (rio abaixo); b) o barco naega paralelo à correnteza e em sentido contrário (rio acima); c) o barco moimenta se mantendo seu eixo numa direção perpendicular à margem; d) o barco moimenta se indo de um ponto a outro situado exatamente em frente, na margem oposta. Solução: O moimento do barco em relação à água é o moimento relatio (O rel. O 5 m/s). O moi mento das águas em relação às margens é o mo imento de arrastamento (O arr. O 2 m/s). O moimento do barco em relação às margens é o moimento resultante ( res. ): res. rel. arr. arco, margens a) Rio abaixo: arr. arco, água rel. O res. O O rel. O O arr. O 5 2 ] ] O res. O 7 m/s Água, margens res. elocidade resultante res. tem módulo igual à soma dos módulos de rel. e arr., pois esses etores têm a mesma direção e sentido: Capítulo 8 Cinemática etorial 143

14 b) Rio acima: Solução: (Chua/Solo) res. arr. rel. arr. rel. res. (Chua/Carro) rel. res. Unidade C Vetores e grandezas etoriais: Cinemática etorial elocidade resultante res. tem módulo igual à diferença dos módulos de rel. e arr., pois esses etores têm a mesma direção, mas sentidos contrários: O res. O O rel. O O arr. O 5 2 ] ] O res. O 3 m/s c) O barco atinge a outra margem num ponto rio abaixo, em relação ao ponto de partida. elocidade resultante res. tem seu módulo obtido pelo teorema de itágoras: arr. arr. rel. O rel. O 2 O res. O 2 O arr. O 2 ] rel. res. arr. O teorema de itágoras aplicado ao triângulo destacado fornece: ] O res. O dlllllll ] O res. O 7 4,6 m/s Respostas: a) 7 m/s; b) 3 m/s; c) 7 5,4 m/s; d) 7 4,6 m/s res. arr. O res. O 2 O rel. O 2 O arr. O 2 (triângulo destacado) ] ] O res. O dlllllll ] O res. O 7 5,4 m/s d) ara se atingir o ponto exatamente em frente ao ponto de partida dee se dispor o barco obliquamente em relação à correnteza, de modo que a elocidade resultante tenha direção perpendicular à margem. R. 60 Num dia sem ento, a chua cai erticalmente em relação ao solo com elocidade de 10 m/s. Um carro se desloca horizontalmente com 20 m/s em relação ao solo. Determine o módulo da elocidade da chua em relação ao carro. C O moimento da chua em relação ao carro é o moimento relatio, cujo módulo da elocidade ( rel. ) queremos determinar. O moimento do carro em relação ao solo é o moimento de arrastamento (O arr. O 20 m/s). O moimento resultante é o da chua em relação ao solo (O res. O 10 m/s). aplicação do teorema de itágoras ao triângulo destacado permite obter O rel. O: O rel. O 2 O res. O 2 O arr. O 2 O rel. O dllllllll O rel. O 10 dll 5 m/s O rel. O 7 22,4 m/s Resposta: 7 22,4 m/s R. 61 Um disco rola sem escorregar sobre o solo suposto horizontal, mantendo se sempre ertical. elocidade do centro O em relação à Terrem módulo. Determine os módulos das elocidades dos pontos,, C e D, em relação à Terra, no instante mostrado na figura. D C Solução: O moimento do disco pode ser interpretado como a composição de dois moimentos: um de translação e outro de rotação, em torno do centro O. D (Carro/Solo) O C Translação arr. Obsere que, no moimento de translação, todos os pontos do disco apresentam a mesma elocidade do centro O. No moimento D = 2 de rotação, todos os pontos periféricos giram em torno O = 2 do centro O com a D 0 = mesma elocidade = 2 C = 0 em módulo. C Moimento resultante O D O C Rotação Reprodução proibida. rt.184 do Código enal e Lei de 19 de feereiro de

15 Reprodução proibida. rt.184 do Código enal e Lei de 19 de feereiro de É importante notar que, no moimento resultante, o ponto de contato C dee possuir elocidade nula em relação à Terra, pois o disco rola sem escorregar. Sendo assim, o módulo da elocidade dos pontos periféricos, na rotação, também dee ser igual a, pois de outro modo a elocidade resultante no ponto de contato não seria nula. ortanto, as elocidades dos pontos,, C e D, em relação à Terra, possuem módulos: 2 dll 2 C 0 D dll 2 R. 62 Um ponto material realiza um moimento no plano, tal que suas coordenadas são dadas pelas equações x 2 6t e y 5 8t, com x e y medidos em metros e t em segundos. Determine: a) a elocidade do ponto material; b) a equação drajetória descrita pelo ponto. Solução: a) O moimento resultante descrito pelo ponto material pode ser considerado a composição de dois moimentos uniformes realizados segundo dois eixos ortogonais x e y. s equações horárias desses moimentos são, respectiamente: x 2 6t e y 5 8t Como são moimentos uniformes (s s 0 t), as elocidades escalares nas duas direções alem: x 6 m/s e y 8 m/s elocidade resultante é a soma das elocidades etoriais x e y, cujos módulos são iguais aos módulos das elocidades escalares. Então: 2 2 x 2 y y (teorema de itágoras) m/s = x + y x b) equação drajetória relaciona as coordenadas x e y, sendo obtida pela eliminação do tempo t das duas equações anteriores. De x 2 6t, obtemos: 6t x 2 ] t x 2 6 Substituindo t por x 2 em y 5 8t, em: 6 y 5 x 2 6 # ] ] y 5 x 2 3 # ] ] y x 8 3 ] ] y 4 3 x 7 3 (equação drajetória) Graficamente, essa equação é representada por uma reta, que traduz no plano exatamente a trajetória descrita pelo ponto. Na figura, destacamos o instante inicial t 0 (x 2 m, y 5 m) e o instante t 1 s (x 8 m, y 13 m) y (m) Respostas: a) 10 m/s; b) y 4 3 x x (m) exercícios propostos. 156 Um barco alcança a elocidade de 18 km/h em relação às margens do rio, quando se desloca no sentido da correnteza, e de 12 km/h, quando se desloca em sentido contrário ao da correnteza. Determine a elocidade do barco em relação às águas e a elocidade das águas em relação às margens Um pescador rema perpendicularmente às margens de um rio com elocidade de 3 km/h em relação às águas. s águas do rio possuem elocidade de 4 km/h em relação às margens. Determine a elocidade do pescador em relação às margens figura representa um rio, no qual as águas fluem com a elocidade de 3 km/h. No rio estão fixadas três balizas,, e C. s balizas e C estão alinhadas na direção da correnteza. 8 km 8 km Correnteza Dois nadadores, capazes de desenoler a elocidade constante de 5 km/h, iniciam, respectia e simultanea mente, os percursos de a e de a C, percorrendo os em linha reta em ida e olta. Calcular a diferença entre os interalos de tempo necessários para os nadadores completarem os respectios percursos, dando a resposta em horas. C Capítulo 8 Cinemática etorial 145

16 . 159 (FCC-) janela de um trem tem dimensões de 80 cm na horizontal e 60 cm na ertical. O trem está em moimento retilíneo uniforme horizontal, com elocidade de alor. Um passageiro, dentro do trem, ê as gotas de chua caírem inclinadas na direção da diagonal da janela. Supondo que as gotas, em relação ao solo, estejam caindo com elocidade g, na ertical, determine essa elocidade g em função da elocidade (FEI-S) roda da figura rola sem escorregar, paralelamente a um plano ertical fixo. O. 160 (Fuest-S) Um disco roda sobre uma superfície plana, sem deslizar. elocidade do centro O é 0. Em relação ao plano: a) Qual é a elocidade do ponto? b) Qual é a elocidade do ponto? 0 O O centro O da rodem elocidade constante 5 m/s. Qual é o módulo da elocidade do ponto no instante em que o diâmetro é paralelo ao plano de rolamento?. 162 Um ponto material realiza um moimento em um plano tal que suas coordenadas são dadas pelas equações x 1 3t e y 1 4t, com x e y em metros e t em segundos. Determine: a) a elocidade do ponto material; b) a equação drajetória. Unidade C Vetores e grandezas etoriais: Cinemática etorial exercícios propostos de recapitulação. 163 s diersas posições de uma partícula estão representadas na figura. partícula percorre, primeiro, rajetória retilínea C; a seguir, a circunferência de centro O; e, finalmente, rajetória retilínea CF. Os interalos de tempo entre duas posições consecutias são iguais. Os sentidos e os tipos de moimento também estão indicados na figura. MU MU O D MUV C E F Represente a elocidade etorial e a aceleração etorial da partícula nos instantes em que ela passa pelos pontos, D e E (FEI-S) Uma roda-gigante de raio 36,0 m parte do repouso. periferia da roda acelera a umaxa constante de 3,0 m/s 2. pós 4,0 s, qual o módulo da aceleração etorial de um ponto situado na periferia da roda?. 165 s águas de um rio têm elocidade de 3 km/h. Um barco com elocidade de 4 km/h em relação às águas dee atraessar esse rio, que tem 800 m de largura, partindo numa direção perpendicular à margem. Determine: a) o tempo de traessia; b) a distância entre o ponto de chegada do barco e o ponto situado em frente ao de partida; c) a distância efetiamente percorrida pelo barco nraessia; d) qual será a elocidade resultante do barco, se ele partir numa direção adequada para atingir o ponto situado exatamente em frente ao ponto de partida, na margem oposta (UF) Um pássaro parte em oo retilíneo e horizontal do seu ninho para uma árore distante 75 m e olta, sem interromper o oo, sobre a mesmrajetória. Sabendo-se que sopra um ento de 5 m/s na direção e sentido da árore para o ninho e que o pássaro mantém, em relação à massa de ar, uma elocidade constante de 10 m/s, determine, em segundos, o tempo gasto nrajetória de ida e olta. Reprodução proibida. rt.184 do Código enal e Lei de 19 de feereiro de Conteúdo digital Moderna LUS Física em nosso Mundo: Como utilizar um guia de ruas

17 testes propostos T. 129 (UF) Um cidadão está à procura de uma festa. Ele parte de uma praça, com a informação de que o endereço procurado estaria situado a 2 km ao norte. pós chegar ao referido local, ele recebe noa informação de que deeria se deslocar 4 km para o leste. Não encontrando ainda o endereço, o cidadão pede informação a outra pessoa, que diz estar a festa acontecendo a 5 km ao sul daquele ponto. Seguindo essa dica, ele finalmente chega ao eento. Na situação descrita, o módulo do etor deslocamento do cidadão, da praça até o destino final, é: a) 11 km c) 5 km e) 3 km b) 7 km d) 4 km T. 133 (UF) Uma partícula percorre, com moimento uniforme, umrajetória não retilínea. Em cada instante teremos que: a) os etores elocidade e aceleração são paralelos entre si. b) a elocidade etorial é nula. c) os etores elocidade e aceleração são perpendiculares entre si. d) os etores elocidade e aceleração têm direções independentes. e) o alor do ângulo entre o etor elocidade e o etor aceleração muda de ponto a ponto. Reprodução proibida. rt.184 do Código enal e Lei de 19 de feereiro de T. 130 (Mackenzie S) figura em escala mostra os etores deslocamento de uma formiga, que, saindo do ponto, chegou ao ponto, após 3 minutos e 20 s. O módulo do etor elocidade média do moimento da formiga, nesse trajeto, foi de: a) 0,15 cm/s b) 0,20 cm/s c) 0,25 cm/s d) 0,30 cm/s e) 0,40 cm/s 10 cm 10 cm T. 131 Uma partícula realiza 2 um moimento circular uniforme, no sentido anti horário, com elocidade escalar 8 m/s. 2 o passar do ponto 1 ao ponto 2, decorre um interalo de tempo de 4 s. É correto afirmar que o módulo 1 1 da aceleração etorial média entre as posições 1 e 2 é igual a: a) 2 dll 2 m/s 2 c) 1 m/s 2 e) zero b) 2 m/s 2 d) dll 2 m/s 2 T. 132 (UC RS) s informações a seguir referem se a um moimento retilíneo realizado por um objeto qualquer: I. elocidade etorial pode mudar de sentido. II. elocidade etorial tem sempre módulo constante. III. elocidade etorial tem direção constante. alternatia que representa corretamente o moimento retilíneo é: a) I, II e III d) II e III b) somente III e) somente I e III c) somente II T. 134 (FEI S) Uma partícula descree uma circunferência com moimento uniforme. ode se concluir que: a) sua elocidade etorial é constante. b) sua aceleração tangencial é não nula. c) sua aceleração centrípetem módulo constante. d) sua aceleração etorial resultante é nula. e) suas acelerações tangencial e resultante são iguais, em módulo. T. 135 (UE) De acordo com os conceitos estudados em Cinemática, complete adequadamente a coluna da direita com os itens da esquerda: (1) Moimento retilíneo e uniforme (2) Moimento retilíneo e uniformemente ariado (3) Moimento circular e uniforme (4) Moimento circular e uniformemente ariado ( ) Velocidade etorial de direção constante e módulo ariáel ( ) Velocidade etorial constante ( ) Velocidade etorial ariáel em direção e módulo ( ) Velocidade etorial de módulo constante e direção ariáel ssinale a alternatia que corresponde à sequência correta da numeração: a) 1, 2, 3, 4 c) 3, 4, 1, 2 e) 3, 4, 2, 1 b) 2, 1, 4, 3 d) 1, 3, 4, 2 T. 136 (Fatec S) Na figura, representa se um bloco em moimento sobre umrajetória cura, bem como o etor elocidade, o etor aceleração a e seus componentes intrínsecos, aceleração tangencial e aceleração normal a n. a a n Capítulo 8 Cinemática etorial 147

18 nalisando se a figura, conclui se que: a) o módulo da elocidade está aumentando. b) o módulo da elocidade está diminuindo. c) o moimento é uniforme. d) o moimento é necessariamente circular. e) o moimento é retilíneo. T. 141 (Fuest S) Num agão ferroiário, que se moe com elocidade 0 3 m/s em relação aos trilhos, estão dois meninos, e, que correm um em direção ao outro, cada um com elocidade 3 m/s em relação ao agão. T. 137 (UFMG) Um entilador acaba de ser desligado e está parando agarosamente, girando no sentido horário. direção e o sentido da aceleração da pá do entilador no ponto é: 0 a) b) d) e) s elocidades dos meninos e em relação aos trilhos serão respectiamente: a) 6 m/s e 0 m/s d) 9 m/s e 0 m/s b) 3 m/s e 3 m/s e) 0 m/s e 6 m/s c) 0 m/s e 9 m/s Unidade C Vetores e grandezas etoriais: Cinemática etorial c) T. 138 (UEL R) Uma pista é constituída por três trechos: dois retilíneos, e CD, e um circular, C, conforme o esquema. Se um automóel percorre toda a pista com elocidade escalar constante, o módulo da sua aceleração será: a) nulo em todos os trechos. b) constante, não nulo, em todos os trechos. c) constante, não nulo, nos trechos e CD. d) constante, não nulo apenas no trecho C. e) ariáel apenas no trecho C. O enunciado a seguir refere se às questões T.139 e T.140. (UC S) Um móel parte do repouso e percorre umrajetória circular de raio 100 m, assumindo moimento uniformemente acelerado de aceleração escalar 1 m/s 2. T. 139 s componentes tangencial e centrípeta da aceleração alem, respectiamente, após 10 s: a) 1 m/s 2 e 10 m/s 2 d) 10 m/s 2 e 100 m/s 2 b) 10 m/s 2 e 1 m/s 2 e) 1 m/s 2 e 1 m/s 2 c) 10 m/s 2 e 10 m/s 2 T. 140 O ângulo formado entre a aceleração total e o raio drajetória no instante t 10 s ale: a) 180w c) 60w e) 30w b) 90w d) 45w D C T. 142 (UFSC) Descendo um rio em sua canoa, sem remar, dois pescadores leam 300 segundos para atingir o seu ponto de pesca, na mesma margem do rio e em trajetória retilínea. artindo da mesma posição e remando, sendo a elocidade da canoa, em relação ao rio, igual a 2,0 m/s, eles atingem o seu ponto de pesca em 100 segundos. pós a pescaria, remando contra a correnteza do rio, eles gastam 600 segundos para retornar ao ponto de partida. onto de partida Considerando que a elocidade da correnteza CR é constante, assinale a(s) proposição(ões) correta(s). 01) Quando os pescadores remaram rio acima, a elocidade da canoa, em relação à margem, foi igual a 4,00 m/s. 02) Não é possíel calcular a elocidade com que os pescadores retornaram ao ponto de partida, porque a elocidade da correnteza não é conhecida. 04) Quando os pescadores remaram rio acima, a elocidade da canoa, em relação ao rio, foi de 1,50 m/s. 08) elocidade da correnteza do rio é 1,00 m/s. 16) O ponto de pesca fica a 300 metros do ponto de partida. 32) Não é possíel determinar a distância do ponto de partida até o ponto de pesca. 64) Como a elocidade da canoa foi de 2,0 m/s, quando os pescadores remaram rio abaixo, então, a distância do ponto de partida ao ponto de pesca é 200 m. Dê, como resposta, a soma dos números que precedem as proposições corretas. d CR onto de pesca Reprodução proibida. rt.184 do Código enal e Lei de 19 de feereiro de

19 T. 143 (UFMG) Um menino flutua em uma boia que está se moimentando, leada pela correnteza de um rio. Uma outra boia, que flutua no mesmo rio a uma certa distância do menino, também está descendo com a correnteza. posição das duas boias e o sentido da correnteza estão indicados nesta figura: K L M N Correnteza elocidade do barco em relação à correnteza, em km/h, é de: a) 4,0 d) 10 b) 6,0 e) 12 c) 8,0 T. 147 (Uniale MG) Um ultralee mantém a elocidade de 120 km/h em relação ao ar, estando o nariz apontando para Leste. Sopra ento do Norte para o Sul com elocidade de 90 km/h. Nessas condições, podemos afirmar que a elocidade do ultralee em relação à Terra é: a) 150 km/h, na direção Sudeste. b) 30 km/h, na direção Leste. c) 210 km/h, na direção Sudoeste. d) 50 km/h, na direção Nordeste. e) 210 km/h, na direção Sudeste. Considere que a elocidade da correnteza é a mesma em todos os pontos do rio. Nesse caso, para alcançar a segunda boia, o menino dee nadar na direção indicada pela linha: a) K b) L c) M d) N T. 148 (Fesp S) Um motorista iaja em um carro, por uma estrada em linha reta, sob uma chua que cai erticalmente a uma elocidade constante de 10 m/s (em relação ao solo). Reprodução proibida. rt.184 do Código enal e Lei de 19 de feereiro de T. 144 (UFMG) Um barco tenta atraessar um rio com 1,0 km de largura. correnteza do rio é paralela às margens e tem elocidade de 4,0 km/h. elocidade do barco, em relação à água, é de 3,0 km/h, perpendicularmente às margens. Nessas condições, pode se afirmar que o barco: a) atraessará o rio em 12 minutos. b) atraessará o rio em 15 minutos. c) atraessará o rio em 20 minutos. d) nunca atraessará o rio. T. 145 (UC RS) correnteza de um rio tem elocidade constante de 3,0 m/s em relação às margens. Um barco, que se moimenta com elocidade constante de 5,0 m/s em relação à água, atraessa o rio, indo em linha reta, de um ponto a outro ponto, situado imediatamente à frente, na margem oposta. Sabendo se que a direção é perpendicular à elocidade da correnteza, pode se afirmar que a elocidade do barco em relação às margens é de: a) 2,0 m/s c) 5,0 m/s e) 8,0 m/s b) 4,0 m/s d) 5,8 m/s T. 146 (UC Campinas S) Um barco sai de um ponto para atraessar um rio de 4,0 km de largura. elocidade da correnteza, em relação às margens do rio, é de 6,0 km/h. traessia é feita segundo a menor distância Q, como mostra o esquema representado a seguir, e dura 30 minutos. Q Correnteza = 72 km/h I T. 149 (Fatec S) Sob a chua que cai erticalmente, uma pessoa caminha horizontalmente com elocidade 1,0 m/s, inclinando o guarda chua a 30w (em relação à ertical) para resguardar se o melhor possíel. elocidade da chua em relação ao solo (dado: tg 60w 1,7): a) é 1,7 m/s. b) é 2,0 m/s. c) é 0,87 m/s. d) depende do ento. e) depende da altura da nuem de origem. T. 150 (FCMSCS S) Uma pedra se engasta no pneu de um automóel que está com elocidade uniforme de 90 km/h. Supondo que o pneu não patina nem escorrega, e que o sentido de moimento do automóel é o positio, os alores algébricos mínimo e máximo da elocidade da pedra em relação ao solo e em km/h são: a) 180 e 180 d) 0 e 90 b) 90 e 90 e) 0 e 180 c) 90 e 180 II Se o carro se moe da esquerda para a direita com elocidade constante igual a 72 km/h, para o motorista as gotas de chua parecem estar caindo na direção I, II, III, IV ou V, conforme o esquema? a) I d) IV b) II e) V c) III III IV V Capítulo 8 Cinemática etorial 149