Heurísticas para Minimização do Makespan no Problema de Sequenciamento Flowline Híbrido e Flexível

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1 CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA DE MINAS GERAIS Diretoria de Pesquisa e Pós-Graduação Programa de Mestrado em Modelagem Matemática e Computacional Heurísticas para Minimização do Makespan no Problema de Sequenciamento Flowline Híbrido e Flexível Dissertação de Mestrado apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Modelagem Matemática e Computacional, como parte dos requisitos exigidos para a obtenção do título de Mestre em Modelagem Matemática e Computacional. Aluno : Eduardo Camargo de Siqueira Orientador : Prof. Dr. Marcone Jamilson Freitas Souza Co-Orientador : Prof. Dr. Sérgio Ricardo de Souza Belo Horizonte - MG Julho de 2013

2 Dedico à memória de Erasmo de Oliveira ( ). ii

3 Agradecimentos A DEUS pela sua imensa misericórdia, amor e proteção, e por tudo que Ele é, pois sem Ele nada seria possível. À minha esposa, Ana Carolina, pelo apoio incondicional e por suas palavras de encorajamento. Aos meus pais, Nelson Natal e Rosa Maria, pela dedicação e conança que depositaram em meus projetos de vida. Aos meus orientadores, Dr. Marcone Jamilson, Dr. Sérgio Ricardo e Dr. Moacir Franca, pelas orientações e motivações em relação a esse trabalho e a minha carreira acadêmica. À minha tia Vani e suas lhas, Taís e Viviane, que nos receberam tão bem na querida cidade de Belo Horizonte. Ao querido casal de amigos, Paulo e Rozangela, e a seu lho Miguel, pelo carinho e amizade. À família do Rev. Manassés Vilaça e sua esposa Izolismaria, por todo apoio e pelos seus conselhos. Ao professor Dr. José Roberto e sua esposa Kerlen, que nos apoiaram na decisão de iniciar o curso de Mestrado em Belo Horizonte. Aos nossos antigos vizinhos e eternos amigos, Paulo Henrique, Adnéia e Vitória, pela amizade e apoio durante essa caminhada. Aos meus queridos professores de Anápolis, Ms. Viviane Carla e Dr. Nilton Correia, que sempre me ajudaram e apoiaram na minha carreira acadêmica. Aos queridos irmãos da Igreja Presbiteriana Memorial de Belo Horizonte, da 1 a IPI de Anápolis e da 4 a IPI de Anápolis, pelas orações e pelo apoio espiritual durante toda essa jornada. Aos meus colegas no Mestrado, Carolina, Felipe, José Maurício, Juliana, Marcelus, Mateus, Neuma, Patrícia, Rodney, entre outros, pelos conhecimentos e experiências compartilhados, que muito me ajudaram durante esse período. Ao CEFET e a CAPES, pelo apoio nanceiro. E a todos que de forma direta ou indireta contribuíram para realização deste trabalho. iii

4 O que sabemos é uma gota e o que ignoramos é um oceano. Isaac Newton iv

5 Resumo Este trabalho trata o problema de sequenciamento Flowline Híbrido e Flexível. Esse problema é uma variação do Flowshop Híbrido e do Flowline Flexível, em que um conjunto de tarefas passa por um conjunto de estágios e, para cada estágio, existe um conjunto de máquinas paralelas não-relacionadas. Algumas tarefas podem saltar estágios. O critério de otimização considerado é o de minimizar o maior tempo de conclusão das máquinas, o chamado makespan. Para resolvê-lo são apresentados algoritmos baseados nas metaheurísticas Iterated Local Search, Iterated Greedy Search e Estratégias Evolutivas. Os experimentos computacionais realizados mostram que os algoritmos implementados são capazes de superar resultados da literatura em um subconjunto de instâncias do problema e que o algoritmo baseado em Iterated Greedy Search tem o melhor desempenho. Este trabalho traz, também, uma análise estatística dos resultados alcançados pelos algoritmos propostos. PALAVRAS-CHAVE: Sequenciamento de tarefas. Flowline Híbrido e Flexível. Flowshop. Metaheurísticas. Iterated Local Search. Iterated Greedy Search. Estratégias Evolutivas. Makespan. v

6 Abstract This work deals with the problem of scheduling Hybrid and Flexible Flowline. This problem is a variation of the Hybrid Flowshop and Flexible Flowline, wherein a set of jobs is submitted to a set of stages and, for each stage, there is a set of unrelated parallel machines. Some jobs not need to submitted to all stages. The goal is to minimize the makespan. To solve it are presented algorithms based on the metaheuristics Iterated Local Search, Iterated Greedy Search and Evolutionary Strategies. The computational experiments show that the implemented algorithms are able to overcome literature results in a subset of instances of the problem and the algorithm based on Iterated Greedy Search performs better. This work also brings a statistical analysis of the results achieved by the developed algorithms. Keywords: Scheduling. Hybrid and Flexible Flowline. Metaheuristics. Iterated Local Search. Iterated Greedy Search. Evolution Strategies. Makespan. vi

7 Sumário 1 Introdução Apresentação Problemas de Sequenciamento de Tarefas Justicativas Objetivos Objetivo Geral Objetivos Especícos Metodologia de Pesquisa Estrutura do Trabalho Caracterização do Problema Problema HFFL Exemplo do problema Formulação Matemática Revisão Bibliográca Problemas Reais de Sequenciamento de Tarefas Problemas de Flowshop Híbrido Problemas de Flowline Híbrido e Flexível Iterated Greedy aplicados a Problemas de Sequenciamento de Tarefas Computação Evolutiva aplicada a Problemas de Sequenciamento de Tarefas Iterated Local Search Aplicada ao HFFL Iterated Local Search Representação de uma solução Tipos de Movimento Construção Busca Local Algoritmo ILS proposto Resultados Problemas-teste com 15 tarefas Problemas-teste com 50 e 100 tarefas Iterated Greedy Search Aplicado ao HFFL Iterated Greedy Search Representação de uma solução vii

8 5.3 Construção Busca Local Algoritmo IGS proposto Fase de Destruição com Método da Roleta Resultados Problemas-teste com 15 tarefas Problemas-teste com 50 e 100 tarefas Estratégias Evolutivas Estratégias Evolutivas Representação de um indivíduo Tipos de Mutação Construção Busca Local Algoritmo ES proposto Resultados Problemas-teste com 15 tarefas Problemas-teste com 50 e 100 tarefas Estratégias Evolutivas com Iterated Greedy Aplicadas ao HFFL Representação de um indivíduo Tipos de Mutação Construção Busca Local Algoritmo ES-IGS proposto Resultados Problemas-teste com 15 tarefas Problemas-teste com 50 e 100 tarefas Análise dos Experimentos Computacionais Análise de Probabilidade Empírica Teste de Kruskal-Wallis Análise através dos Grácos Box-Plot Conclusões e trabalhos futuros Considerações Finais Trabalhos Futuros Produtos Desenvolvidos 87 Referências 88 A Tabelas de Melhores Valores Encontrados 92 viii

9 Lista de Tabelas 1.1 Família de Instâncias Elegibilidade Tempo de release Tempo de processamento Tempo de latência Tempos de setup e valores A iljk Tempo médio de processamento Gap do algoritmo ILS nas instâncias de 15 tarefas Alcance do valor ótimo do algoritmo ILS nas instâncias de 15 tarefas Gap do algoritmo ILS nas instâncias de 50 tarefas Gap do algoritmo ILS nas instâncias de 100 tarefas Melhora nos melhores valores conhecidos do algoritmo ILS nas instâncias de 50 tarefas Melhora nos melhores valores conhecidos do algoritmo ILS nas instâncias de 100 tarefas Gap do algoritmo IGS nas instâncias de 15 tarefas Alcance do valor ótimo do algoritmo IGS nas instâncias de 15 tarefas Gap do algoritmo IGS nas instâncias de 50 tarefas Gap do algoritmo IGS nas instâncias de 100 tarefas Melhora nos melhores valores conhecidos do algoritmo IGS nas instâncias de 50 tarefas Melhora nos melhores valores conhecidos do algoritmo IGS nas instâncias de 100 tarefas Parâmetros do algoritmo Gap do algoritmo ES nas instâncias de 15 tarefas Alcance do valor ótimo do algoritmo ES nas instâncias de 15 tarefas Gap do algoritmo ES nas instâncias de 50 tarefas Gap do algoritmo ES nas instâncias de 100 tarefas Melhora nos melhores valores conhecidos do algoritmo ES nas instâncias de 50 tarefas Melhora nos melhores valores conhecidos do algoritmo ES nas instâncias de 100 tarefas Parâmetros do algoritmo ix

10 7.2 Alcance do valor ótimo do algoritmo ES-IGS nas instâncias de 15 tarefas Melhora nos melhores valores conhecidos do algoritmo ES-IGS nas instâncias de 50 tarefas Melhora nos melhores valores conhecidos do algoritmo ES-IGS nas instâncias de 100 tarefas Gap do algoritmo proposto nas instâncias de 15 tarefas Gap do algoritmo proposto nas instâncias de 50 tarefas Gap do algoritmo proposto nas instâncias de 100 tarefas Valores alvos para cada problema-teste Notação usada no Teste de Kruskal-Wallis Resultados do Teste de Kruskal-Wallis para o Problema-teste ISM_15_2_ Resultados do Teste de Kruskal-Wallis para o Problema-teste ISM_15_2_ Resultados do Teste de Kruskal-Wallis para o Problema-teste ISM_15_3_ Resultados do Teste de Kruskal-Wallis para o Problema-teste ISM_15_3_ Resultados do Teste de Kruskal-Wallis para o Problema-teste ILG_50_4_ Resultados do Teste de Kruskal-Wallis para o Problema-teste ILG_50_4_ Resultados do Teste de Kruskal-Wallis para o Problema-teste ILG_50_8_ Resultados do Teste de Kruskal-Wallis para o Problema-teste ILG_50_8_ Resultados do Teste de Kruskal-Wallis para o Problema-teste ILG_100_4_ Resultados do Teste de Kruskal-Wallis para o Problema-teste ILG_100_4_ Resultados do Teste de Kruskal-Wallis para o Problema-teste ILG_100_8_ Resultados do Teste de Kruskal-Wallis para o Problema-teste ILG_100_8_ A.1 Melhores valores encontrados nas instâncias de 15 tarefas A.2 Melhores valores encontrados nas instâncias de 50 tarefas A.3 Melhores valores encontrados nas instâncias de 100 tarefas x

11 Lista de Figuras 2.1 Tempo de Latência Positivo Tempo de Latência Negativo Tempo de Setup Antecipativo Tempo de Setup Não-Antecipativo Diagrama de GANTT C max = Representação Completa de uma solução Troca na sequência (MTS) Realocação na sequência (MRS) Troca de máquina (MTM) Realocação de máquina (MRM) Realocação na sequência e de máquina (MRSM) Diagrama de GANTT. C max = Diagrama de GANTT. C max = Diagrama de GANTT. Caminho Crítico Representação Permutacional de uma solução Destruição e Reconstrução Roleta Representação das Estratégias Evolutivas Realocação na sequência de permutação (MRSP) Gráco da Análise de Probabilidade Empírica para o Problema-teste ISM_15_2_ Gráco da Análise de Probabilidade Empírica para o Problema-teste ISM_15_2_ Gráco da Análise de Probabilidade Empírica para o Problema-teste ISM_15_3_ Gráco da Análise de Probabilidade Empírica para o Problema-teste ISM_15_3_ Gráco da Análise de Probabilidade Empírica para o Problema-teste ILG_50_4_ Gráco da Análise de Probabilidade Empírica para o Problema-teste ILG_50_4_ Gráco da Análise de Probabilidade Empírica para o Problema-teste ILG_50_8_ xi

12 8.8 Gráco da Análise de Probabilidade Empírica para o Problema-teste ILG_50_8_ Gráco da Análise de Probabilidade Empírica para o Problema-teste ILG_100_4_ Gráco da Análise de Probabilidade Empírica para o Problema-teste ILG_100_4_ Gráco da Análise de Probabilidade Empírica para o Problema-teste ILG_100_8_ Gráco da Análise de Probabilidade Empírica para o Problema-teste ILG_100_8_ Gráco de Box-Plot para o Problema-teste ISM_15_2_ Gráco de Box-Plot para o Problema-teste ISM_15_2_ Gráco de Box-Plot para o Problema-teste ISM_15_3_ Gráco de Box-Plot para o Problema-teste ISM_15_3_ Gráco de Box-Plot para o Problema-teste ILG_50_4_ Gráco de Box-Plot para o Problema-teste ILG_50_4_ Gráco de Box-Plot para o Problema-teste ILG_50_8_ Gráco de Box-Plot para o Problema-teste ILG_50_8_ Gráco de Box-Plot para o Problema-teste ILG_100_4_ Gráco de Box-Plot para o Problema-teste ILG_100_4_ Gráco de Box-Plot para o Problema-teste ILG_100_8_ Gráco de Box-Plot para o Problema-teste ILG_100_8_ xii

13 Capítulo 1 Introdução Neste Capítulo o tema objeto de estudo é introduzido. Na Seção 1.1 o problema de Sequenciamento de Tarefas considerado neste trabalho é contextualizado e descrito sumariamente. A Seção 1.2 traz uma revisão a respeito dos problemas de sequenciamento de tarefas. As Seções 1.3, 1.4 e 1.5 apresentam, respectivamente, as justicativas, os objetivos e a metodologia de pesquisa deste trabalho. Por m, a Seção 1.6 traz a estrutura do restante do trabalho. 1.1 Apresentação Os problemas de sequenciamento são comuns em diversas áreas do conhecimento, principalmente na produção industrial. Nesse contexto, o problema consiste em de- nir uma sequência de tarefas a serem executadas em um conjunto de máquinas atendendo a um certo objetivo, que pode ser a redução de custos, ou o aumento na capacidade de produção ou estoque, entre outros. O primeiro estudo sobre sequenciamento de tarefas surgiu na década de 1950, com Johnson (1954), e desde então, tem atraído um grande interesse no meio cientíco. Existem diversos estudos a respeito dos problemas de sequenciamento; no entanto, sempre existiu uma distância entre teoria e prática. Há, contudo, uma tendência recente em desenvolver abordagens de solução para problemas reais (Ruiz et al., 2008). Segundo Ruiz et al. (2008), tem havido pouco esforço para o desenvolvimento de modelos complexos para problemas de sequenciamento de tarefas, em que muitas situações realistas são consideradas conjuntamente. Nesse sentido, este trabalho considera características muito comuns em problemas reais, como os tempos de release para máquinas; a existência de máquinas paralelas não-relacionadas em cada estágio; tempos de setup dependentes da sequência; elegibilidade de máquinas; e tempos de latência (lag) entre as operações. Alguns exemplos de problemas reais com estas características estão presentes na indústria de processamento de alimentos, na produção de revestimentos cerâmicos, no processamento de madeira, na fabricação de móveis, dentre outros. Esse problema, descrito em Ruiz et al. (2008), trata de uma variação do problema de Flowshop Híbrido (HFS, do inglês Hybrid Flowshop), em que um conjunto de tarefas passa por um conjunto de estágios e, para cada estágio, existe um conjunto de máquinas paralelas não-relacionadas. A característica de um owshop é que o uxo 1

14 1.2 Introdução 2 de processamento nas máquinas é o mesmo, ou seja, todas as tarefas seguem a mesma sequência de estágios. No entanto, no problema considerado, os estágios podem não ser todos executados. Esta variante, denominada Flowline Híbrido e Flexível (HFFL, do inglês Hybrid Flexible Flowline), é, desta forma, uma generalização do HFS e do Flowline Flexível. O critério de otimização considerado é o de minimizar o maior tempo de conclusão das máquinas, o chamado makespan. Tendo em vista o fato de o HFFL ser da classe NP-difícil, conforme (Ruiz et al., 2008), este trabalho propõe a utilização de métodos heurísticos para sua solução. Em especial, são implementados os métodos Iterated Local Search, Iterated Greedy Search e as Estratégias Evolutivas (ES, do termo em inglês Evolutionary Strategies) (Beyer e Schwefel, 2002; Costa e Oliveira, 2012). Segundo Costa e Oliveira (2012), as ES foram desenvolvidas inicialmente para aplicação em problemas de otimização numérica, e se caracterizam pela sua robustez e eciência. As ES são procedimentos iterativos que realizam a busca pelo espaço de soluções por meio de populações de indivíduos que representam potenciais soluções para o problema de otimização. Cada iteração é, por analogia com os sistemas biológicos, chamada de geração. Em cada geração, os operadores genéticos de recombinação e mutação atuam sobre a população, permitindo a exploração do espaço de busca. O princípio da sobrevivência do mais apto é implementado pelo mecanismo de seleção, que garante a sobrevivência dos indivíduos que representam soluções de melhor qualidade para o problema. O uso dessa classe de algoritmos foi motivado pela sua aplicação bem sucedida na solução de vários problemas de otimização, como os relatados em Coelho et al. (2011) e Costa e Oliveira (2001). A adaptação proposta para a ES é inspirada no trabalho de Coelho et al. (2011) e de Tasgetiren et al. (2012), sendo que esse último trabalho apresenta um algoritmo que combina Diferencial Evolution com Iterated Greedy Search. 1.2 Problemas de Sequenciamento de Tarefas Segundo Pinedo (2008), sequenciamento de tarefas é um processo de decisão que é usado em muitas indústrias e serviços. Esse problema trata da alocação de recursos para tarefas durante períodos de tempo dados e envolve a otimização de um ou mais objetivos. Os problemas de sequenciamento de tarefas podem ser descritos por uma tripla α β γ. O campo α descreve o ambiente de máquinas e contém apenas uma entrada. O campo β fornece detalhes sobre as características e restrições de processamento e pode conter nenhuma entrada, uma única entrada, ou entradas múltiplas. O campo γ descreve o objetivo a ser otimizado, e pode conter uma única entrada (mono-objetivo) ou mais de uma entrada (multiobjetivo). De acordo com Pinedo (2008), são os seguintes os possíveis ambientes de máquinas: Máquina única (1): o caso de uma única máquina é o mais simples de todos os ambientes de máquina possível e é um caso especial dentre todos os outros ambientes de máquinas. Máquinas paralelas idênticas (P m ): são m máquinas idênticas em paralelo. Cada tarefa requer uma operação e podem ser executadas em qualquer uma

15 1.2 Introdução 3 das máquinas ou em qualquer uma que pertença a um dado subconjunto de máquinas. Máquinas paralelas uniformes (Q m ): há m máquinas em paralelo com velocidades diferentes. A velocidade da máquina l é denotado por v l. O tempo que a tarefa j gasta na máquina l é nomeado como p lj, e é igual a p j /v i. Se todas as máquinas têm a mesma velocidade, então o ambiente é de máquinas paralelas idênticas. Máquinas paralelas não-relacionadas (R m ): são m máquinas diferentes em paralelo. A máquina l pode processar a tarefa j na velocidade v lj. O p lj, tempo de processamento da tarefa j na máquina l é igual a p j /v ij. Se as velocidades das máquinas são independentes das tarefas, então o ambiente é de máquinas paralelas uniformes. Flowshop (F m ): existem m máquinas em série. Cada tarefa deve ser executada em cada uma das máquinas. Todas as tarefas seguem o mesmo uxo, ou seja, são processadas primeiro na máquina 1, em seguida, na máquina 2, e assim por diante. Flowshop Híbrido (F F c ): o Flowshop Híbrido é uma generalização do Flowshop e os ambientes de máquinas paralelas. Em vez de máquinas em série, existem c estágios em série, cada estágio possui um número de máquinas idênticas em paralelo. Cada tarefa é executada em primeiro lugar no estágio 1, em seguida, no estágio 2, e assim por diante. Jobshop (J m ): no Jobshop cada tarefa deve ser executada em cada uma das m máquinas, e tem o seu próprio uxo de máquinas pré-determinado. Jobshop Híbrido (F J c ): o Jobshop Híbrido é uma generalização do Jobshop e os ambientes de máquinas paralelas. Em vez de máquinas em série, existem c estágios em série, cada estágio possui um número de máquinas idênticas em paralelo. Openshop (O m ): no Openshop cada tarefa deve ser executada em cada uma das m máquinas. No entanto, não existem restrições sobre o uxo de máquinas em que as tarefas devem ser executadas. Alguns exemplos de características que o campo β pode conter são: Tempos de Release (r j ): a tarefa j não pode iniciar o seu processamento antes do seu tempo de release r j. Restrições de precedência (prec): as restrições de precedência exigem que uma ou mais tarefas estejam concluídas antes do inicio do processamento de uma outra tarefa. Existem várias formas especiais de restrições de precedência: se cada tarefa tem, no máximo, um antecessor e, no máximo, um sucessor, as restrições são chamadas de cadeias. Se cada tarefa tem no máximo um sucessor, as restrições são chamadas de intree. Se cada operação tem no máximo um antecessor, as restrições são chamadas de outtree.

16 1.3 Introdução 4 Tempos de Setup Dependentes da Sequência (s ljk ): s ljk representa o tempo de preparação (setup) da máquina l, quando a tarefa j precede a tarefa k. s ljk pode ser diferente de s lkj, pois o tempo de preparação depende da sequência que está sendo executada. Quando os tempos de setup são independentes da sequência, eles são incluídos nos tempos de processamento das tarefas. Elegibilidade de Máquinas (M j ): a elegibilidade de máquinas indica que nem todas as máquinas são capazes de processar a tarefa j. M j é o conjunto de máquinas que podem executar a tarefa j. Permutação (prmu): esta restrição só aparece em ambientes owshop. Ela implica que a ordem (permutação) em que as tarefas passam pela primeira máquina (ou estágio) é mantida em todas as outras máquinas(ou estágios). Bloqueio (block): o bloqueio também é uma situação que só pode ocorrer em owshops. Essa restrição implica que a máquina que está executando uma operação de uma dada tarefa não é liberada enquanto a mesma não inicie a sua próxima operação, ou seja, a máquina ca bloqueada. no-wait (nwt): essa característica também só ocorre em ambientes owshops, e signica que as tarefas não podem car esperando entre duas operações sucessivas, ou seja, assim que terminar uma operação, a próxima deverá iniciar. Existem diversos objetivos que podem ser objeto de interesse em problemas de owshop, como, por exemplo: Minimização do Makespan (C max ): o makespan é o instante de tempo em que a última tarefa é completada. Minimização do Maior Lateness (L max ): o lateness de uma tarefa é denido por L j = C j d j, sendo C j o instante em que a tarefa j é concluída e d j o instante em que a tarefa deve ser entregue. Se L j é positivo, a tarefa foi concluída depois do tempo de entrega, e se é negativo, a tarefa foi concluída antes da data de entrega. Minimização do somatório ponderado do Tardiness ( w j T j ): o tardiness de uma tarefa é denido por max{l j, 0}, ou seja, se houver atraso, o tardiness é igual ao lateness, e, se não houver atraso, o tardiness é igual a zero. Nesse caso, a cada tarefa é atribuído um peso w j, de acordo com a importância da tarefa. O ambiente de máquina, as características e restrições do problema, e o objetivo de otimização considerados neste trabalho estão denidos no Capítulo Justicativas Há uma tendência recente em desenvolver abordagens de solução para problemas de sequenciamento que possuem características mais próximas de problemas reais. No entanto, pouco esforço no sentido de fornecer modelos para problemas de programação

17 1.4 Introdução 5 complexas têm sido desenvolvidos, em especial no caso em que muitas situações reais são consideradas em conjunto. O presente trabalho de dissertação de mestrado propõe a abordagem de um problema de sequenciamento de tarefas, em ambiente owshop, considerando restrições e características de problemas reais. Alguns exemplos nesse sentido são a indústria de processamento de alimentos, a produção de revestimentos cerâmicos e o processamento de madeira e fabricação de móveis. O problema abordado é da classe NP-difícil e, como tal, não pode ser resolvido na otimalidade por meio de métodos exatos no caso geral. Assim, é resolvido por meio de métodos heurísticos. Conforme Dorigo e Stützle (2004), heurísticas são algoritmos que buscam obter soluções em um tempo computacional baixo, mas sem garantir que as soluções obtidas são ótimas. Esses algoritmos estão divididos em três classes: heurísticas construtivas, métodos de busca local e metaheurísticas. As heurísticas construtivas são algoritmos que têm como função construir uma solução inicial para os problema de otimização considerado. O processo de construção de uma solução é feito, em geral, de forma aleatória e/ou gulosa. Na construção aleatória, o próximo elemento a entrar na solução é escolhido aleatoriamente dentre todos elementos candidatos; já na gulosa, é utilizada uma função de avaliação para denir qual o próximo elemento. Um método de busca local consiste na exploração de forma iterativa sobre a vizinhança da solução corrente por meio de alterações locais, que são denidas por uma estrutura de vizinhança. As metaheurísticas, por outro lado, são métodos genéricos, que têm a capacidade de explorar o espaço de soluções sem carem presas a ótimas locais. Para Hertz e Widmer (2003), as metaheurísticas se dividem em dois tipos básicos: metaheurísticas de trajetória e metaheurísticas de busca populacional. Para resolver o problema proposto serão empregadas três diferentes metaheurísticas, dando origem a quatro algoritmos (ILS, IGS, ES e ES-IGS). Em diversos trabalhos da literatura, essas metaheurísticas se mostraram ecientes na resolução de problemas combinatórios de diversas classes e esse comportamento justica o uso de cada uma delas. As metaheurísticas de trajetória consideradas neste trabalho são Iterated Local Search (ILS) e Iterated Greedy Search (IGS), enquanto as de busca populacional implementadas são baseadas em Estratégias Evolutivas e deram origem aos algoritmos ES e ES-IGS. 1.4 Objetivos Objetivo Geral Tem-se, como objetivo geral, o desenvolvimento e aplicação de algoritmos baseados nas metaheurísticas ILS (Iterated Local Search), IGS (Iterated Greedy Search) e nas Estratégias Evolutivas (ES) ao Problema HFFL (Flowline Híbrido e Flexível) Objetivos Especícos São objetivos especícos:

18 1.6 Introdução 6 Realizar uma revisão bibliográca sobre Problemas de sequenciamento de tarefas em ambientes Flowshop Híbridos; Desenvolver um algoritmo baseado na metaheurística ILS ao Problema HFFL; Desenvolver um algoritmo baseado na metaheurística IGS ao Problema HFFL; Desenvolver um algoritmo baseado em Estratégias Evolutivas ao Problema HFFL; Desenvolver um algoritmo combinando Estratégias Evolutivas e Iterated Greedy ao Problema HFFL; Analisar estatisticamente os resultados obtidos. 1.5 Metodologia de Pesquisa A metodologia para o desenvolvimento do projeto consiste no estudo e aplicação dos algoritmos ILS, IGS e Estratégias Evolutivas para resolução do problema de HFFL. Para testá-los, serão utilizadas 12 famílias de instâncias, de Ruiz et al. (2008), mostradas na Tabela 1.1. Nesta Tabela, n é a quantidade de máquinas, m é o número de estágios e m i o número de máquinas em cada estágio. Como em cada família há 12 instâncias, há um total de 144 instâncias. O objetivo é encontrar o sequenciamento de tarefas em cada máquina de cada estágio que tenha o menor makespan. Tabela 1.1: Família de Instâncias Família de Instâncias n m m i 15_2_1_ _2_3_ _3_1_ _3_3_ _4_2_ _4_4_ _8_2_ _8_4_ _4_2_ _4_4_ _8_2_ _8_4_ Estrutura do Trabalho Este trabalho está dividido em nove capítulos. No Capítulo 1, é feita a introdução, apresentando-se o problema considerado e os problemas de sequenciamento de tarefas de modo geral. No Capítulo 2, o problema considerado neste trabalho e suas características são denidos. O capítulo 3 faz uma revisão sobre problemas de

19 1.6 Introdução 7 sequenciamento de tarefas na literatura. Os Capítulos 4 e 5 apresentam os algoritmos baseados nas metaheurísticas Iterated Local Search e Iterated Greedy Search, respectivamente. Os Capítulos 6 e 7 apresentam os algoritmos baseados em Estratégias Evolutivas, sendo que no primeiro é apresentado um algoritmo baseado em Estratégia Evolutiva pura e no segundo, um algoritmo que combina os procedimentos heurísticos Estratégias Evolutivas e Iterated Greedy. O Capítulo 8 traz as análises estatísticas dos resultados obtidos. O Capítulo 9 traz as conclusões e as perpectivas futuras deste trabalho, enquanto que no Capítulo 10 são listados os trabalhos oriundos desta dissertação que foram publicados e/ou aceitos para publicação em eventos cientícos.

20 Capítulo 2 Caracterização do Problema Neste Capítulo o problema de Sequenciamento de Tarefas Flowline Híbrido e Flexível (HFFL) é descrito em detalhes. Na Seção 2.1 são mostradas suas caracteristicas e restrições. A Seção 2.2 mostra um exemplo do problema HFFL, enquanto a Seção 2.3 traz a formulação matemática para esse problema. 2.1 Problema HFFL No problema HFFL tem-se um conjunto de tarefas N = {1, 2, 3,..., n} que devem ser executadas em um conjunto de estágios M = {1, 2, 3,, m}. Para cada estágio, tem-se um conjunto de máquinas paralelas não-relacionadas. Algumas tarefas podem saltar estágios. Seguem abaixo algumas características que denem o problema: (i) F j : conjunto de estágios que a tarefa j visita, sendo 1 F j m; (ii) p ilj : tempo de processamento da tarefa j na máquina l e estágio i. (iii) rm il : tempo de release da máquina l no estágio i. Ele representa o tempo de início dos processos na máquina. Nenhuma tarefa pode iniciar na máquina antes do tempo de release. (iv) E ij : conjunto de máquinas elegíveis para a tarefa j no estágio i. (v) lag ilj : tempo de latência entre o m da tarefa j, na máquina l do estágio i, e o início do próximo estágio da tarefa j. (vi) S iljk : tempo de preparação (setup) da máquina l no estágio i, quando a tarefa k é executada logo após a tarefa j. Existe um valor binário associado, A iljk, que indica se o setup é antecipativo, ou seja, A iljk assume o valor 1 se a preparação pode ser feita antes que a tarefa seja liberada na fase anterior e o valor 0, caso contrário. O objetivo considerado é o de minimizar o makespan, ou seja, o tempo de término da última tarefa do sistema. Assim, utilizando a notação denida na Seção 1.2, pode-se classicar o problema objeto de interesse como HF F L m rm, lag, S ijk, M j C max. 8

21 2.1 Caracterização do Problema 9 Os itens (i) e (ii) indicam que as máquinas disponíveis em cada fase são independentes e também que as tarefas podem pular algumas etapas, sendo este fato muito comum em diversos processos industriais. Se uma etapa em um processo de produção é um gargalo, os gerentes geralmente adicionam máquinas paralelas a essa etapa, a m de diminuir o gargalo. Da mesma forma, alguns produtos especiais podem pular etapas. O item (iii) considera que a produção está em andamento; logo, as máquinas não estão disponíveis no instante inicial. O item (iv) considera outra situação encontrada na prática, em que algumas tarefas só podem ser realizadas em certas máquinas especializadas, as quais, por sua vez, só podem realizar um certo grupo de tarefas. O item (v) dene o tempo de latência. Caso este seja positivo, estará representando, por exemplo, a secagem ou o resfriamento dos produtos antes de outras operações serem realizadas. Exemplos são o tempo de resfriamento necessário na produção de alimentos ou a secagem necessária do verniz na fabricação de azulejo. Em caso de tempo de latência negativo, este valor representa, por exemplo, grandes lotes de produtos de pequeno porte, em que nem todos os produtos precisam ter terminado em um estágio anterior para que se iniciem as operações na fase seguinte. A Figura 2.1 mostra um exemplo de tempo de latência positivo entre os estágios 1 e 2. Nesse caso, o tempo de latência é igual a 8. Assim, a tarefa j só pode iniciar sua operação no estágio 2 no instante 23, ou seja, 8 unidades de tempo após o término da operação no estágio anterior. Já no caso da Figura 2.2, que representa um tempo de latência negativo, a operação da tarefa j pode se iniciar 5 unidades de tempo antes de terminar a operação no estágio anterior. Estágio S 5 Estágio Figura 2.1: Tempo de Latência Positivo O item (vi) dene as operações de preparação de uma máquina, que podem ser de limpezas, de ajustes ou de mudanças de conguração das máquinas entre a execução de tarefas sucessivas. O caso mais comum é quando os tempos de setup são dependentes da sequência. Em alguns casos, a preparação da máquina pode exigir que o produto esteja presente na máquina, ou seja, um setup não-antecipativo. A Figura 2.3 mostra um exemplo de tempo de setup antecipativo entre as tarefas k e j no estágio 2. Nesse caso, a preparação da máquina é iniciada no instante 21, ou

22 2.1 Caracterização do Problema 10 Estágio S 5 Estágio Figura 2.2: Tempo de Latência Negativo seja, antes da tarefa j ser liberada no estágio anterior. Já o caso da Figura 2.4 mostra que o setup entre essas mesmas tarefas é não-antecipativo, ou seja, a preparação da máquina só pode ser iniciada após a liberação da tarefa j no estágio anterior, nesse caso, no instante Estágio 1S 0 40 j Estágio k S j Figura 2.3: Tempo de Setup Antecipativo

23 2.2 Caracterização do Problema 11 4 Estágio 1S 0 40 j Estágio k S j Figura 2.4: Tempo de Setup Não-Antecipativo 2.2 Exemplo do problema Para exemplicar o problema, seja uma instância com cinco tarefas e dois estágios, com três máquinas em cada estágio. A Tabela 2.1 mostra quais máquinas são elegíveis para cada tarefa em cada estágio. Nesta tabela, j indica uma tarefa, e a linha i representa cada um dos 2 estágios. Por essa tabela verica-se, por exemplo, que a tarefa 1 pode ser executada nas máquinas 2 e 3 no estágio 1, e na máquina 4 no estágio 2. Pode-se vericar também, que as tarefas 1, 2 e 5 visitam todos os estágios, enquanto as tarefas 3 e 4 pulam os estágios 1 e 2, respectivamente. A Tabela 2.2 contém o tempo de release para cada máquina. A linha rm il indica os tempos de release para cada máquina. Por exemplo, o tempo de release da máquina 1 é igual a 20 e o da máquina 2 é igual a 5. A Tabela 2.3 mostra o tempo de processamento de cada tarefa em cada máquina, enquanto a Tabela 2.4 mostra os tempos de latência. Nessas duas tabelas, j indica uma tarefa, a linha i representa cada um dos 2 estágios, e a linha l representa cada uma das 6 máquinas. Nessas tabelas, pode-se vericar que o tempo de processamento da tarefa 1 na máquina 2 é de 8, e o tempo de latência é nulo, enquanto a mesma tarefa na máquina 3 tem um tempo de processamento de 13 unidades e tempo de latência igual a 9. O tempo de processamento de uma tarefa em uma máquina não elegível é nulo. A Tabela 2.5 mostra os tempos de preparação, que são dependentes da sequência, e seus valores binários associados. Esse valor binário indica se o setup é antecipativo (1), ou não (0). Nessa Tabela, j e k indicam uma tarefa, a linha i representa cada um dos 2 estágios, e os dados de cada máquina em cada estágio estão separados por vírgula. Por exemplo, o tempo de setup entre as tarefas 1 e 4 na máquina 3 do primeiro estágio é igual a 10 e o valor binário igual a 0 (não-antecipativo), porém o setup nas máquinas 1 e 2 não existe pois a máquina 2 não é elegível para a tarefa 4. A Figura 2.5 ilustra um possível sequenciamento para esse exemplo. Note que o makespan para esse sequenciamento é igual a 107 unidades de tempo.

24 2.2 Caracterização do Problema 12 Tabela 2.1: Elegibilidade i 1 2 j 1 {2,3} {4} 2 {2,3} {4,5,6} 3 - {5} 4 {1,3} - 5 {1,2} {4,5,6} Tabela 2.2: Tempo de release i 1 2 l rm il Tabela 2.3: Tempo de processamento i 1 2 l j Tabela 2.4: Tempo de latência i 1 l j Tabela 2.5: Tempos de setup e valores A iljk i 1 k j 1 -,-,- -,11(0),5(0) -,-,- -,-,10(0) -,38(0),- 2 -,35(0),10(0) -,-,- -,-,- -,-,38(0) -,22(0),- 3 -,-,- -,-,- -,-,- -,-,- -,-,- 4 -,-,46(0) -,-,21(0) -,-,- -,-,- 43(0),-,- 5 -,6(0),- -,23(0),- -,-,- 25(0),-,- -,-,- i 2 j 1 -,-,- 33(1),-,- -,-,- -,-,- 29(0),-,- 2 30(1),-,- -,-,- -,6(1),- -,-,- 8(1),39(1),27(1) 3 -,-,- -,45(1),- -,-,- -,-,- -,30(0),- 4 -,-,- -,-,- -,-,- -,-,- -,-,- 5 41(0),-,- 47(0),7(0),38(1) -,48(0),- -,-,- -,-,-

25 2.2 Caracterização do Problema 13 i l rm rm 1 S Release Setup Tar 1 Tar 2 Tar 3 Tar 4 Tar 5 rm rm rm rm S Figura 2.5: Diagrama de GANTT C max = 107

26 2.3 Caracterização do Problema Formulação Matemática A formulação matemática do HFFL, apresentada a seguir e extraída de Ruiz et al. (2008), considera as seguintes notações: G i : conjunto de tarefas que visitam o estágio i (G i N e G i = {j i F j }). G il : conjunto de tarefas que podem ser processadas na máquina l do estágio i. F S k : primeiro estágio da tarefa k. LS k : último estágio da tarefa k. As variáveis de decisão são denidas como: X iljk = { 1, se a tarefa j precede a tarefa k na máquina l no estágio i; 0, caso contrário C ij = instante de término da tarefa j no estágio i C max = maior tempo de término O modelo de programação matemática do HFFL é dado pelas equações (2.1) a (2.12): min sujeito a C max j G i {0} j k j G i j k (2.1) l E ij E ik X iljk = 1, k N, i F k (2.2) h G il {0} h k,h j l E ij E ik X iljk 1, k N, i F k (2.3) X ilhj X iljk, j, k N, j k, i F j F k, l E ij E ik (2.4) l E ij E ik (X iljk + X ilkj ) 1, j N, k = j + 1,, n, j k, i F j F k (2.5) k G il X il0k 1, i M, l M i (2.6) C i0 = 0, i M (2.7) C ik + V.(1 X iljk ) max{rm il, C ij + A iljk.s iljk } + (1 A iljk ).S iljk + p ilk, k N, i = F S k, l E ik, j G il {0}, j k (2.8) { C ik + V.(1 X iljk ) max h G i 1 {0} h k C i 1,k + (lag i 1,l,k.X i 1,l,h,k), rm il, C ij + A iljk.s iljk l E i 1,h E i 1,k + (1 A iljk ).S iljk + p ilk, k N, i F k \{F S k }, l E ik, j G il {0}, j k (2.9) C max C LSj,j, j N (2.10) X iljk {0, 1}, j N {0}, k N, j k, i F j F k, l E ij E ik (2.11) C ij 0, j N, i F j (2.12)

27 2.3 Caracterização do Problema 15 O conjunto de restrições (2.2) assegura que cada tarefa seja precedida por exatamente uma tarefa em apenas uma máquina em cada estágio. Para cada máquina, considera-se uma tarefa 0, que precede a primeira tarefa em cada máquina. O conjunto de restrições (2.3) garante que cada tarefa tenha, no máximo, um sucessor. As restrições (2.4) asseguram que se uma tarefa é processada em uma máquina, dado um estágio, então ela deve ter uma antecessora na mesma máquina. As restrições (2.5) evitam a ocorrência de precedências cruzadas. O conjunto de restrições (2.6) assegura que a tarefa 0 só pode ser antecessora de, no máximo, uma tarefa em cada máquina. O conjunto de restrições (2.7) garante que a tarefa 0 é concluída no instante 0 em todos os estágios. As restrições (2.8) controlam o instante de conclusão das tarefas no primeiro estágio, considerando todas as máquinas elegíveis. O valor V representa um número sucientemente grande de modo a tornar as restrições redundantes, se a variável de atribuição for zero. Nota-se que as relações de precedência são consideradas e, também, que ambos os tipos de tempos de setup (antecipativo ou não) também são levados em consideração. O conjunto de restrições (2.9) controla os instantes de conclusão nos estágios subsequentes. Aqui, os tempos de latência são considerados. O conjunto de restrições (2.10) dene o tempo máximo de conclusão das tarefas, enquanto (2.11) e (2.12) denem as variáveis de decisão.

28 Capítulo 3 Revisão Bibliográca Como armado anteriormente, o HFFL é uma generalização do owshop híbrido (HFS). O HFS, por sua vez, é um problema diferente do Flowshop Flexível e do Flowline Flexível, pois, para esses dois últimos problemas, as máquinas disponíveis em cada estágio são idênticas. O HFS não tem essa restrição. Alguns estágios podem ter apenas uma máquina, mas, pelo menos, um estágio deve ter um grupo de máquinas em paralelo. Estas máquinas geralmente são diferentes (Burtseva et al., 2012). Garey e Johnson (1979) mostraram que o problema HFS com o objetivo makespan é NPcompleto. Assim, como o HFFL é uma generalização do HFS, então o HFFL também o é. Neste Capítulo é feita uma revisão bibliográca a respeito dos problemas de sequenciamento de tarefas com características realistas. Na Seção 3.1 é feita uma revisão sobre problemas de sequenciamento de tarefas que retratam casos reais. A Seção 3.2 traz uma revisão sobre os problemas de Flowshop Híbrido. Na Seção 3.3 é feita uma revisão sobre o problema HFFL. As Seções 3.4 e 3.5 trazem uma revisão da aplicação da metaheurística Iterated Greedy Search e da Computação Evolutiva em problemas de sequenciamento de tarefas. 3.1 Problemas Reais de Sequenciamento de Tarefas Parthasarathy e Rajendran (1997) propõem a resolução de um problema de escalonamento em um owshop real com tempos de setup dependentes da sequência e diferentes pesos relativos para cada tarefa. O objetivo foi a minimização do atraso máximo ponderado e do atraso ponderado total. Botta-Genoulaz (2000) propõe várias heurísticas para resolução de um owshop com várias máquinas idênticas em cada estágio, restrições de precedência, tempos de setup não dependentes da sequência, entre outras características. Kurz e Askin (2003) desenvolvem variações de heurísticas para resolver um problema da owline exível com máquinas paralelas idênticas, tempos de setup dependentes da sequência e com o objetivo de minimizar o makespan. Sun et al. (2010) fazem uma revisão sobre algoritmos exatos e heurísticas para resolução multiobjetivo de problemas de sequenciamento em ambientes owshop. Entre os algoritmos abordados estão branch-and-bound, Busca Tabu, Simulated Annealing, Colônia de Formigas e Algoritmos Genéticos. 16

29 3.3 Revisão Bibliográca 17 Naderi e Ruiz (2010) apresentam seis diferentes modelos matemáticos para resolução de uma generalização do problema owshop de permutação. O objetivo a ser otimizado é a minimização do makespan. Os modelos foram testados com instâncias de 4 até 16 tarefas e nenhum deles foi capaz de alcançar a solução ótima em tempo de processamento aceitável para todas as instâncias. Então, foram propostos 14 métodos heurísticos para resolução desse problema. Ruiz e Andrés-Romano (2011) propõem um modelo matemático e a aplicação de heurísticas construtivas para um problema de sequenciamento de tarefas em máquinas paralelas não-relacionadas com tempos de setup dependentes da sequência e dos recursos atribuídos. Tem-se como objetivos a minimização do makespan e a minimização da combinação linear do total dos recursos atribuídos. Com esse modelo foi possível alcançar a melhor solução possível do problema em instâncias de até 8 tarefas e 5 máquinas. 3.2 Problemas de Flowshop Híbrido Segundo Ribas et al. (2010), os trabalhos de pesquisa sobre agendamento HFS apareceram na década de Um dos primeiros trabalhos sobre HFS na modelagem do sistema de produção em uma indústria de bras sintéticas é o de Salvador (1973). Boudhar e Meziani (2010) propõem a aplicação de heurísticas construtivas para um problema de HFS com dois estágios e recirculação. Carpov et al. (2012) também propõem aplicação de heurísticas para o problema de HFS com dois estágios; nesse caso, existem máquinas paralelas não-relacionadas no segundo estágio. O objetivo, nos dois trabalhos, é a minimização do makespan. Ruiz e Vázquez-Rodríguez (2010) fazem uma revisão de algoritmos exatos, heurísticas e metaheurísticas para o HFS. Nishi et al. (2010) apresentam um método de relaxação lagrangeana com geração de cortes para esse problema com o objetivo de minimizar o somatório dos atrasos ponderados. Azzi et al. (2011) utilizam um algoritmo baseado em uma estratégia de agregação e separação em um problema de HFS com o objetivo de minimizar o makespan e aumentar a capacidade produtiva das máquinas. Ziaeifar et al. (2011) apresentam uma nova modelagem matemática para o HFS e Yaurima et al. (2009) modelaram um problema de HFS em linhas de montagem de placas de circuito. Nesses dois trabalhos foram utilizados Algoritmos Genéticos com o objetivo de minimizar o makespan nos problemas propostos. Tadayon e Salmasi (2012a) propõem um algoritmo heurístico para resolução de um problema HFS com elegibilidade de máquinas. Os objetivos a serem otimizados são a minimização do somatório de completion time dos grupos de tarefas e a minimização da soma das diferenças entre o tempo de conclusão e o tempo de entrega desses grupos. Tadayon e Salmasi (2012b) utilizam um algoritmo baseado em Particle Swarm Optimization (PSO) para a resolução desse problema. 3.3 Problemas de Flowline Híbrido e Flexível Ruiz et al. (2008) apresentam um modelo matemático para um novo problema de sequenciamento owshop híbrido e exível, denominado Flowline Híbrido e Flexível

30 3.5 Revisão Bibliográca 18 (HFFL, do inglês Hybrid and Flexible Flowline). Com esse modelo foi possível resolver na otimalidade o HFFL em problemas testes de até 15 tarefas, 3 estágios e 2 máquinas em cada estágio. Nesse trabalho também foram apresentadas algumas heurísticas de construção para resolução de problemas de maior porte, envolvendo de 50 a 100 tarefas. Naderi et al. (2010) chamam a atenção para duas questões importantes a respeito de HFFL: a determinação da sequência em cada estágio e a distribuição das tarefas nas máquinas em cada estágio. É apresentado um algoritmo baseado na metaheurística Iterated Local Search (ILS) com o objetivo de minimizar o makespan. Urlings e Ruiz (2010) e Zandieh et al. (2010) propõem Algoritmos Genéticos para resolução desse problema, tendo como objetivo a minimização do makespan. Defersha e Chen (2011) desenvolvem um processo de solução baseado em Algoritmos Genéticos para o HFFL. O algoritmo foi implementado em plataformas de computação sequenciais e paralelas, e os desempenhos avaliados e comparados. 3.4 Iterated Greedy aplicados a Problemas de Sequenciamento de Tarefas Framinan e Leisten (2008) abordam um problema de Flowshop com o objetivo de minimizar o makespan e o owtime, e propõem um algoritmo multiobjetivo baseado em Iterated Greedy Search. A análise dos resultados mostra que o algoritmo é eciente para a maior parte dos critérios de desempenho considerados. Pan et al. (2008b) propõem um algoritmo baseado em Iterated Greedy Search para resolver um problema de Flowshop no-wait com o objetivo de minimizar o makespan. Os resultados computacionais mostram que o algoritmo proposto pode obter resultados melhores do que os de algumas abordagens existentes na literatura. Ying (2008) propõe um algoritmo baseado em Iterated Greedy Search para resolver um problema de Flowshop com Setup dependentes da sequência e objetivo de minimizar o makespan. Os resultados computacionais são comparados com outros métodos existentes na literatura, tendo o algoritmo desenvolvido se mostrado mais eciente. Naderi et al. (2009) exploram um problema de Flowline com Setup dependentes da sequência. O critério a ser otimizado é a minimização do makespan. Os autores desenvolvem um algoritmo baseado em Iterated Greedy Search para resolver o problema. A ecácia do algoritmo é mostrada através de comparação com outros algoritmos da literatura. Fanjul-Peyro e Ruiz (2010) trabalham com um problema de sequenciamento de tarefas em máquinas paralelas não-relacionas. Nesse trabalho é apresentado um conjunto de algoritmos baseados em Iterated Greedy Search. Os resultados computacionais mostram que os resultados dos algoritmos propostos, na maioria das vezes, é melhor do que o de alguns métodos encontrados na literatura.