Pequ Operconl e o Deenvolvmento utentável 7 /9/5, Grmdo, R ETABILIZAÇÃO DA GERAÇÃO DE COLUNA APLICADA NO PROBLEMA DE CORTE DE ETOQUE UNIDIMENIONAL Mrco Antono Lozno Port Lope Mrco Nereu Arenle {mlpl@cmc.up.r, renle@cmc.up.r} Inttuto de Cênc Mtemátc e de Computção ICMC Unverdde de ão Pulo UP Av. Trlhdor ão-crlene, 4 - C Potl 668. 56-97 ão Crlo P REUMO O prolem de corte de etoque conte em cortr oeto more, dponíve em etoque, pr produzr um quntdde requtd de peç menore, de modo que um cert função oetvo e otmzd. Um modelo de otmzção lner tem do mplmente utlzdo n olução dee prolem dede o no 6, que ncorpor prte d etrutur comntór nerente o prolem n contrução d colun d mtrz de retrçõe, qul tem um número muto grnde de colun. O método mple com gerção de colun tem do empregdo pr reolução dee modelo, emor preente convergênc qundo prómo d otmldde, pouco melhorndo função oetvo. Am, etrtég pr celerção do Método mple ão neceár e um d mner conte n eplorção do epço dul, com ntrodução de retrçõe (colun no prml) que evte grnde vrçõe n vráve du. Nete rtgo ão generlzd retrçõe du d ltertur. Plvr-chve: prolem de corte de etoque, gerção de colun, epço dul. ABTRACT The cuttng tock prolem cont of cuttng lrge vlle oect to produce pecfc quntt of ordered mll tem, n uch w to optmze gven oectve functon. A Lner Optmzton prolem h een gretl ued to olve th prolem nce the 6, n whch prt of the comntorl tructure emedded. The mple Method wth column generton ued to olve tht model, lthough t preent low convergence ner to optmlt. Therefore, trtege to ccelerte the mple Method re welcome whch cn e otned ddng dul cut (prml column). In th pper we etend pulhed dul cut. Ke-word: cuttng tock prolem, column generton, dul pce.. Introdução A otmzção do proceo de corte de peç more, dponíve em etoque, pr produção de peç menore, em quntdde encomendd, tem do oeto de etudo há qutro décd, dede o trlho ponero de Glmore e Gomor [4, 5 e 6], o qu podemo detcr o Método mple com gerção de colun pr um modelo de otmzção lner (um promção do prolem) que, pel prmer vez, reolveu prolem grnde de corte undmenonl com olução ótm. Em 96 o memo utore preentrm um novo método pr o prolem d mochl e reolverm um etudo de co no corte de ppel. Dede então vár modfcçõe form nerd no proceo de gerção de colun orgnl. No nco d décd de 8, form propot lgum modfcçõe por Heler [7]. T modfcçõe e referem o procedmento que germ olução ncl e n gerção do pdrõe entrr n e. egundo o utor, controlr gerção do pdrõe entrr n e e ur um formulção m retrt, porém meno efcente, do prolem d mochl, ud
Pequ Operconl e o Deenvolvmento utentável 7 /9/5, Grmdo, R reduzr prolem de rredondmento e mudnç de pdrõe de corte. Merle [] ugeru um método edo no método de otep de Mrten [], o qul tende der vráve du, cd terção, retrt um ntervlo defndo n terção nteror. Ben Amor et. l. [] propô um método edo n teor d regão de confnç, qul penlz vráve du co não pertençm e regão. Nete memo rtgo o utor ct um método generlzdo que contém o método de Botep. M recentemente, Bem Amor et l. [] propõem nov retrçõe pr o epço dul. Retrçõe m mple form utlzd por Glmore e Gomor em 96, de modo evtr ruc vrçõe (ntldde) n oluçõe du, oetvndo celerr o método de gerção de colun.. O prolem de corte de etoque O prolem de corte de etoque undmenonl (pen um dmenão é relevnte no proceo de corte) pode er defndo d egunte form: Condermo um número grnde de oeto (como por eemplo, rolo de ppel - on, cno(pvc)) de um determndo comprmento L que devem er cortdo pr produção de um conunto de ten de comprmento l ( l L) e demnd,,...,m, de modo que um função oetvo e mnmzd. Vár funçõe oetvo têm do utlzd n ltertur. Em prtculr, nete trlho, o oetvo conte em mnmzr o número de oeto cortdo.. Defnção e formulção mtemátc O modelo de Glmore e Gomor de 96 erá utlzdo pr o prolem de corte de etoque o qul etá decrto o. Defnção.: Chmmo de pdrão de corte mner pel qul um oeto em etoque é cortdo pr produção do ten demnddo. A um pdrão de corte ocmo um vetor m-dmenonl que contlz o ten produzdo: (,,..., m ) T em que é quntdde de ten do tpo, no pdrão de corte. Um pdrão de corte deve tfzer retrção fíc de cpcdde de um mochl: l l... l m m L (.),,..., m,,...,n (.) O modelo mtemátco pr o prolem de corte de etoque é ddo egur. Índce:,..., n : n é o número de pdrõe de corte;,..., m : número de tpo de ten erem cortdo. Ddo: L : comprmento do oeto; l : comprmento do tem,,..., m; : demnd do tem,,..., m. Prâmetro: c : cuto de cortr o oeto L, nete co c,,...n; 65
Pequ Operconl e o Deenvolvmento utentável 7 /9/5, Grmdo, R Vráve de decão: : número de oeto cortdo pelo pdrão de corte ;. Modelo mtemátco: Mnmzr n.. f (,,... ),, K, m, n c,, n e ntero. Prolem de corte undmenonl (.) A condção de ntegrldde d váve torn o prolem de corte (.) dfícl, enão mpoível, de er reolvdo computconlmente. Pr contornr ete prolem relmo condção de ntegrldde d vráve e reolvemo o prolem de otmzção lner reultnte pelo Método mple. Em prolem prátco m (que é quntdde de tpo de ten) é d ordem de dezen, enqunto que n (o qul depende de m, L e l,,...,m ) pode er d ordem de mlhõe, o que nvlz reolução dret do prolem. Pr contornr et dfculdde, utlzmo o proceo de gerção de colun n reolução d relção por otmzção lner de (.).Arredondmento heurítco podem er deenvolvdo pr otenção de oluçõe nter (Wächer e Gu, 996, Pold, ), retndo um prolem redul de demnd, que Pold [] motrou que tmém pode er reolvdo efcentemente pelo memo modelo lner. Aper do Método mple com gerção de colun er um método efcente, emo que o memo preent convergênc rápd, porém qundo no prommo d otmldde converge lentmente pr olução ótm, como podemo ver no gráfco o contruído pel reolução de um prolem de corte de etoque (rr de comprmento 5 cm. e 45 ten de váro comprmento) reolvdo pelo método de gerção de colun. N terção de número 7 o vlor d função oetvo er de 7 e n terção (qundo otmldde fo encontrd) o vlor d função oetvo er de 76, notmo que função oetvo decreceu 7 undde em 6 terçõe. Et crcterítc é típc n gerção de colun e é chmd de cud ( tl ). Vlor d função Oetvo 5 5 75 5 5 75 5 5 6 9 5 8 4 7 Número d terção Fgur : Vlor d função oetvo pelo número d terção. Gerção de colun e o epço dul Condere o pr prml dul: Mn f ( ) c M g ( ).. A.. A c rretrto 66
Pequ Operconl e o Deenvolvmento utentável 7 /9/5, Grmdo, R Conderndo um colun do prolem prml, ou e, um pdrão de corte do prolem de corte de etoque, et colun produzrá um retrção no epço dul. Conderndo et propredde podemo decrever o método de gerção de colun d egunte form: Ur um conunto de colun prm, ou retrçõe du pr ncr o prolem; A cd terção, nov retrçõe du ão nerd no modelo elmnndo oluçõe nfctíve; O epço dul é retrto té encontrrmo olução deed. Podemo ver no gráfco como o método de gerção de colun e comport no epço dul. Conforme decrto cm começmo com um conunto de colun (pdrõe de corte) o que no epço dul é repreentd pel retrçõe e, com qu olução ótm é o ponto (A). Germo um novo pdrão de corte, ou e, um nov retrção, m nov olução (B) é determnd pel retrçõe e. Itermo m um vez gerndo retrção 4, que ld á retrção determn olução (C) e, por fm, germo qunt retrção, que ld à retrção 4 determn olução ótm (D). 5 4 Gráfco : O método de gerção de colun no epço dul A etrtég ugerd por Crvlho [] conte em ntroduzr um número polnoml de retrçõe du de tl form que o epço em quetão fque m retrto. Introduzndo retrçõe do tpo D d, temo o egunte pr prml-dul etenddo: Mn f ( ) c d M g ( ).. A D,.. A c D d rretrto Podemo ver que Glmore e Gomor [4] á utlzrm et etrtég, prtr do prolem ncl podemo reecrevê-lo d egunte form: Mn f ( ) c Mn f ( ) c.. A.. A D, 67
7 /9/5, Grmdo, R Pequ Operconl e o Deenvolvmento utentável 68 Anlndo retrção dul gerd por um colun d mtrz D temo: Logo encontrmo relção de não-negtvdde d vráve du.. Fmíl de corte du de Crvlho Condermo plcção d dé de nerção de retrçõe do tpo D d no prolem dul. A retrção nvetgd por Crvlho utlz um tem, endo que etão em ordem decrecente, pr produzr ten menore, dede que om dete ten menore e menor ou gul o tem ncl. Ito é, e o tem de comprmento l e coleção de uconunto de ten, t que: A egunte retrçõe ão conderd no epço dul, chmd "corte du": Crvlho [] motr que et retrçõe ão deguldde váld pr o prolem dul. Et retrçõe ão nerd no prolem dul, crndo o prolem dul etenddo. O repectvo prolem prml chmdo prml etenddo, pode er reolvdo por gerção de colun. A olução otd erá d form: Encontrd olução temo que elmnr vráve reltv o corte du:,,..., r, em que contém p colun ocd pdrõe de corte (gerd pel reolução do prolem d mochl) e p colun ocd o corte du ( rgor et colun não ão gerdo, un mple tete dentfc e devem entrr n e).. Um nov nterpretção do corte du Por mplcdde, condermo um corte dul mple (eção.) d egunte form: e o tem e o conunto untáro {} (pr que e um corte dul d fmíl de Crvlho, l l ) e o corte dul: (o co em que não é untáro, tem mem nterpretção o). e o pdrão de corte ddo por: (,...,,...,,..., m ) e uponh que > (. é., o tem é cortdo veze nete pdrão). Podemo contrur um novo pdrão de corte uttundo o ten ( veze ) por ten (á que l l ) o qul tem egunte colun ocd: ( ) ( ) m m T K K K K, m r n mp p p m M M L M M L M l l
Pequ Operconl e o Deenvolvmento utentável 7 /9/5, Grmdo, R (,...,,...,,..., m ). Oerve que: - (,...,-,...,,..., ) (,...,-,...,,..., ) d. (elemento - e etão n poçõe e repectvmente). Am, d (,...,-,...,,..., ) é etmente colun ocd o corte dul de Crvlho []. Podemo nterpretr o corte du como um operção elementr (utrção entre colun) n colun d mtrz A, o que correponde um mudnç de vrável (um nov vrável urge pr nov colun). Oerve que et nov colun (decorrente do corte du) podem er gerd prore, em necedde de e conhecer o pdrõe, como Crvlho[] em perceeu. Et nov nterpretção no permtu defnr nov fmíl de corte (ve eção 5).. Recuperndo olução do prolem prml Dd olução do prolem prml etenddo: K n n d K d r r (.) deemo encontrr olução do prolem prml: ' ' K ' (.) Ecolhemo um pdrão de corte que pou ten n lnh repectv lnh que pou um - do corte dul, o memo é ordendo lecogrfcmente. Ecolhdo o pdrõe temo egunte guldde: d K (.) n qul é um pdrão de corte e d é o corte dul. Prmermente uttuímo n olução (.) o corte dul (.) encontrndo o egunte: K Pr nov olução er fctível devemo ter: (.4) (.5) Co o conteç, egundo truçõe o, encontrmo olução do prolem prml. Det form o proceo e repete té que todo vráve reltv o corte du em nuld. ' ' ' ' ',, K Co deguldde (.5) não e oedecd o corte dul d deve cortr m peç que o pdrão de corte fornece, m o pdrão de corte não erá m utlzdo e o vlor d vrável reltv o corte dul d decrece gerndo olução o. ( ) K d 69
7 /9/5, Grmdo, R Pequ Operconl e o Deenvolvmento utentável 6 Como o corte dul permnece n olução eleconmo outro pdrão de corte pr zerr vrável reltv o corte dul. Det form o proceo e repete té que todo vráve reltv o corte du em nuld. A quntdde de cd tem não e lter durnte recuperção d olução, em como o vlor d função oetvo. Ao ntroduzr o corte du durnte todo o proceo d gerção de colun evtmo que mochl em gerd celerndo o proceo, po o pdrõe á etão mplctmente n olução e ão recuperdo o plcrmo o proceo cm decrto. Como o corte du retrngem o epço dul meno ponto etão dponíve pr o método de gerção de colun tetr, evtndo grnde oclçõe d vráve du tentndo m etlzá-lo. 4 Eemplo Como eemplo utlzremo trê ten com u repectv demnd pr erem cortdo prtr de um oeto de tmnho 4 cm. Condere olução o: Nete co temo pen um corte dul que erá ecolhdo e ldo o prmero pdrão de corte plcremo o procedmento cm. Clculndo quntdde do ten produzdo pelo pdrão de corte e pelo corte dul decormo que temo que cortr m ten que o pdrão no dponlz, logo o prmero pdrão erá etnto e vrável reltv o corte dul decrecer de vlor e um novo pdrão entrr n olução (um novo pdrão gerdo pelo prmero pdrão endo que quntdde cortd no tem erá cortd no tem ). Reorgnzndo o pdrõe temo: Iterndo m um vez o procedmento, ecolhemo o corte dul e o pdrão numero trê. 9, 7,,,, 4 l l l 9 7 8 9 7. ; 6 8 ; 6) (8 ' <
7 /9/5, Grmdo, R Pequ Operconl e o Deenvolvmento utentável 6 Clculndo quntdde do ten produzdo pelo pdrão de corte e pelo corte dul decormo que nete co o pdrão de corte dponlz m ten do que o pdrão requt, logo o pdrão é mntdo, o novo pdrão gerdo d mem form que no co nteror entr n olução e vrável reltv o corte dul ume o vlor zero. Reorgnzndo o pdrõe temo olução fnl em corte du: Ao fnl do procedmento podemo notr que demnd e mntém nlterd durnte todo o proceo, em como o vlor d função oetvo, conderndo que o corte du pouem cuto nulo e o pdrõe de corte pouem cuto untáro. 5 Propot pr um nov fmíl de corte du Propomo um etenão do corte de Crvlho, ou e, deguldde e o corte du: pel etenão: qul uttu um tem por um comnção de ten menore cu om e menor que o tem ncl e não m uttur um tem por um outro menor como fez Crvlho. Podemo ver no gráfco que o emplno defndo pel retrção B ( ) retrnge m o epço dul do que o emplno gerdo pel retrção A ( ) propot por Crvlho []. 9 7. ; ; ) ( ' < l l l l β, ntero e, β β
Pequ Operconl e o Deenvolvmento utentável 7 /9/5, Grmdo, R Gráfco : Corte dul de Crvlho e nov propot O corte dul propoto conte num retrção váld pr o prolem dul conforme o teorem o. Teorem 5. A nov fmíl de corte du ugerd n eção 5 ão nequçõe váld pr o epço de oluçõe ótm do prolem dul do prolem de corte undmenonl. 6 Epermento computcon Relzmo lgun tete computcon pr comprr o reultdo do método de gerção de colun em corte du e gerção de colun com corte du. O corte du ntroduzdo form: Corte GG: corte du do tpo Glmore e Gomor que germ egunte colun no prolem prml: (,...,,-,,...,) T ; Corte GG e : corte du do tpo Glmore e Gomor e corte de Crvlho ( ) que germ egunte colun no prolem prml repectvmente: (,...,,-,,...,) T e (,...,,-,,...,,,...,) T ; Corte GG e : corte du do tpo Glmore e Gomor e corte de Crvlho com pen do ten ( ) que germ egunte colun no prolem prml repectvmente: (,...,, -,,..., ) T e (,...,, -,,...,,,...,,,,..., ) T; Corte GG e : corte du do tpo Glmore e Gomor e corte novo eção 5 ( ) que germ egunte colun no prolem prml repectvmente: (,...,, -,,..., ) T e (,..., -,,...,,k,,..., ) T, em que k é quntdde do tem menor que ce no tem mor. Corte GG e e : é unção do Corte e Corte ctdo nterormente; Corte GG e e e : é unção do Corte, Corte e Corte e Corte GG ctdo nterormente; Corte : é dêntco o Corte e GG em utlzrmo o corte de Glmore e Gomor. O lgortmo form mplementdo em Delph 5 e o tete form eecutdo em um mcrocomputdor Athlon. MHZ com 5M de RAM. O método mple com gerção de colun fo ceddo por Pold []. Utlzmo um gerdor letóro com egunte crcterítc: L5; m45; d [5,6]; l [5,4]. (eemplre com outro prâmetro form reolvdo, m por lmtção de epço não preentmo) 6
Pequ Operconl e o Deenvolvmento utentável 7 /9/5, Grmdo, R A tel o motr o reultdo otdo com o ddo cm defndo. Tel : Méd de eemplo índce Tpo de corte nº mochl tempo cud nº terçõe EM CORTE,,7749 65,9, CORTE GG 79,9,788,6 5, CORTE E GG,,8498, 6,5 CORTE E GG 46,9,998, 579,5 4 CORTE E GG 66,,894,8 46,6 5 CORTE E E GG 4,,8657,6 57,9 6 CORTE E E E GG 8,,7,8 6, 7 CORTE 66,9,849,8 458, Pel Tel pudemo oervr que, o tpo com índce 6 (todo o tpo de corte du) oteve mor redução em relção o número de mochl, 87%. Ao nlrmo cud podemo ver que redução d mem etá entre 94% e 98% e, por fm, nlndo colun reltv o número de terçõe podemo conttr que o corte du provocrm crécmo no número de terçõe do método mple (porém, reolvemo meno mochl). 7 Agrdecmento O utore grdecem ugetõe do revor nônmo d BPO. Ete trlho teve poo d FAPEP e CNPq. 8 Concluõe e perpectv Net prmer mplementçõe conegumo um redução de tempo, número de mochl e dmnuímo o tmnho d cud no proceo de gerção de colun. A próm modfcção é de ntroduzr o corte du durnte gerção de colun e não m no níco, como conderdo nete trlho. Ete trlho erá etenddo pr prolem de corte com dvero oeto em etoque. Blogrf [] ARENALE, M. N., MORABITO, R., O Prolem de Corte e Empcotmento e Aplcçõe Indutr. Lvro-teto de Mn curo, XX CNMAC - Congreo Nconl de Mtemátc Aplcd e Computconl, Grmdo - R, (997). [] BEN AMOR, H., DERODIER, J., VALÉRIO DE CARVALHO, J. M., Dul-optml nequlte for tlzed column generton. Le Cher du GERAD, G-- (). [] BEN AMOR, H. nd DERODIER, J. () A Proml Trut Regon Algorthm for Column Generton tlzton. Le Cher du GERAD G--4 (). To pper n Comp. & OR. [4] GILMORE, P. C., GOMORY, R. E., A lner progrmmng pproch to the cuttng tock prolem. Operton Reerch, 9: 848-859 (96). 6
Pequ Operconl e o Deenvolvmento utentável 7 /9/5, Grmdo, R [5] GILMORE, P. C., GOMORY, R. E., A lner progrmmng pproch to the cuttng tock prolem - Prt II. Operton Reerch, : 86-888 (96). [6] GILMORE, P. C., GOMORY, R. E., Mult-tge cuttng tock prolem of two nd more dmenon. Operton Reerch, : 94- (965). [7] HAELER, R. W., A note on computtonl modfcton to the Glmore-Gomor cuttng tock lgorthm. Operton Reerch, 8: -5 (98). [8] HINXMAN, A., The trm-lo nd ortment prolem: urve. Europen Journl of Opertonl Reerch, 5: 8-8 (98). [9] Lűecke M. E. Dul vrle ed fthomng n dnmc progrm for column generton. Europen Journl of Opertonl Reerch, 6: -5 (5). [] MARTEN, R.E., The ue of the otep method n dcrete optmzton. Mthemtcl Progrmmng tud,, 7-44 (975). [] MERLE, O., VILLENUEVE, D., DEROIER, J., HANEN, P., tlzed column generton. Dcrete Mthemtc, 94, 9-7 (999). [] POLDI, K. C., Algum etenõe do prolem de corte de etoque. Tee de Metrdo, ICMC - UP, (). [] VALÉRIO DE CARVALHO, J. M., Ung etr dul cut to ccelerte convergence n column generton. INFORM Journl on Computng (). 64