Apresenta-se em primeiro lugar um resumo da simbologia adoptada na formulação do elemento de viga de Timoshenko.

Transcrição

1 CAPÍUO VIGA DE IMOSHEKO formulção o elemento e vg e mohenko [.] é conero que ecçõe pln e mntêm pln. Contuo, upõe-e que um ecção norml o eo vg não mntém e crcterítc pó eformção. Dete moo é poível conerr eformção ev o corte.. - Smolog Apreent-e em prmero lugr um reumo molog opt n formulção o elemento e vg e mohenko. el. - Smolog reltv o elemento e vg e mohenko. u θ J G Comprmento rr prmátc Cooren crten Cmpo e elocmento Delocmento generlzo nol Delocmento nol Rotção nol Cooren crten e um nó e um elemento fnto Cooren locl Cooren locl e um nó e um elemento fnto Jcono trnformção (J / ) Função nterpolor ou função e form Centro e grve

2 Vg e mohenko - Álvro F. M. Azeveo φ ε σ E γ τ G W V S I A A * α F K M V Rotção correponente à eformção por eforço trnvero Etenão Mtrz e eformção reltv o termo e fleão (enng) enão norml Móulo e eltce ou móulo e Young Dtorção Mtrz e eformção reltv o termo e corte (her) enão tngencl Móulo e torção rlho Volume Superfíce Momento e nérc ecção trnverl rr prmátc Áre ecção trnverl rr prmátc Áre efectv e corte reltv à ecção trnverl rr prmátc Coefcente e reução áre ecção trnverl pr tener o corte Forç no equvlente à cção eteror, no gru e lere o elemento fnto, no referencl locl Mtrz e rgez o elemento fnto no referencl locl Momento flector Eforço trnvero. - Vg e o nó com uttução e vrável Fgur. encontr-e repreento um elemento e vg com o nó e com comprmento (ver o Cpítulo ). Supõe-e que no nó não há elocmento eguno. Dete moo pen e coner o comportmento à fleão vg. 4

3 Vg e mohenko - Álvro F. M. Azeveo u ( ) θ 4 θ ( ) ( ) / / u () θ () ( ) ( ) Fg.. - Suttução e vrável num elemento e vg com o nó. O elocmento generlzo o nó o elemento fnto repreento n Fgur. ão o egunte θ () 4 θ A trnformção entre cooren e cooren é, nete co mple, efectu com egunte epreão () eno erv em orem egunte J () 5

4 Vg e mohenko - Álvro F. M. Azeveo A nterpolção o elocmento lterl u e rotção θ é efectuo eprmente pr c um et vráve. Am, e um vez que u e θ preentm o vlore no c, é utlz egunte nterpolção unmenonl com o nó u ( (4) ) ( ) ( ) θ ( ) (5) ( ) ( ) 4 ete eemplo com o nó funçõe e form ão egunte (ver o Cpítulo 4) ( ) ( ) (6) ( ) ( ) (7) Fgur. etá repreento o eo vg n u poção ncl (ore )e correponente eform (ver o Cpítulo ). Etá tmém repreent ecção trnverl cujo eo ão e. Um vez que e conerm pequen eformçõe, upõe-e que o eclve rect tngente o eo conce com o ângulo e rotção o eo rr. u u G u ( ) u Fg.. - rr eform e ecção trnverl. Fgur. etão nco o egunte ângulo: rotção o eo rr ( u ), rotção ecção trnverl (θ ) e rotção correponente à eformção por eforço trnvero (φ ). Encontr-e tmém repreento o cmpo e elocmento u n ecção trnverl. 6

5 Vg e mohenko - Álvro F. M. Azeveo u φ θ u ' θ O O' u (, ) ' O' A' A A' u ( ) O A u Fg.. - rr eform e elocmento ecção trnverl. formulção vg e Euler-ernoull coner-e que o ângulo φ é nulo, eno o ângulo u e θ concente. formulção vg e mohenko, o ângulo φ é conero não nulo, eno u θ φ (8) Ete trê ângulo epenem e. De coro com Fgur., tem-e u ( ) θ ( ) (9), Aetenãoε é efn por [.] u ( θ ) (0) ε eno 7

6 Vg e mohenko - Álvro F. M. Azeveo 8 θ ε () Degnno por ε egunte componente epreão () θ ε () pter-e ε ε () Dervno (5) em orem cheg-e 4 θ (4) Suttuno (4) em () otém-e ε (5) Conere-e gor um mtrz e eformção, que é egn pelo fcto e etr oc à fleão (enng). A u efnção é egunte 0 0 (6) Ateneno (), (5) p ecrever-e ε (7) Suttuno (7) em () otém-e ε (8)

7 Vg e mohenko - Álvro F. M. Azeveo l como no Cpítulo, coner-e le e Hooke refer pen à tenão norml σ eàetenãoε σ E (9) ε Suttuno (8) em (9), tem-e σ E (0) A torção γ é efn por [.] u u γ () Ateneno (9), tem-e egunte torção mé [.] θ ( ) u γ () θ u γ () Suttuno (8) em () otém-e γ φ (4) Dervno (4) em orem cheg-e u (5) Suttuno (5) e (5) em () otém-e γ 4 (6) Em notção mtrcl tem-e 9

8 Vg e mohenko - Álvro F. M. Azeveo γ 4 (7) Conere-e gor um mtrz e eformção, que é egn pelo fcto e etr oc o corte (her). A u efnção é egunte (8) Ateneno (), (7) p ecrever-e γ (9) Um vez que, e coro com le e Hooke pr mter otrópco [.] τ G (0) γ tem-e, epo e uttur (9) em (0) τ G () De coro com o Prncípo o rlho Vrtu (PV) (ver o Cpítulo 4), mte-e que rlho Interno rlho Eterno () Conerno δ W rlho nterno oco à fleão (enng) () δ W rlho nterno oco o corte (her) (4) e δ W rlho eterno (5) De coro com (), tem-e 0

9 Vg e mohenko - Álvro F. M. Azeveo δ W e δ W δ W (6) Conerno que contrução fleão pr o trlho pen epene tenão norml σ, tem-e (ver o Cpítulo 4) δ V (7) W δ ε σ V A equção (8) refer à eformção vrtul é egunte δ ε δ (8) eno equvlente δ δ ε (9) Suttuno (9) e (0) em (7) otém-e δ W δ S E S (40) et equção, S é uperfíce correponente à ecção trnverl rr (ver o Cpítulo ). De coro com Fgur., tem-e S (4) Supono o móulo e Young E contnte em too o ponto o elemento e vg e pno pr for o ntegr tuo o que não epene repectv vrável e ntegrção, reult δ W δ E S S (4) O momento e nérc em relção o eo egno por I (ver Fgur.) é efno egunte form, eno I S S (4)

10 Vg e mohenko - Álvro F. M. Azeveo Suttuno (4) em (4) e upono que rr é e ecção contnte, p ter-e δ W δ E I (44) Conerno que contrução o corte pr o trlho pen epene tenão tngencl τ,tem-e δ V (45) W δ γ τ V A equção (9) refer à eformção vrtul é egunte δ γ δ (46) eno equvlente δ γ δ (47) Suttuno (47) e () em (45) otém-e δ W δ S G S (48) Supono o móulo e torção G contnte em too o ponto o elemento e vg e pno pr for o ntegr tuo o que não epene repectv vrável e ntegrção, reult δ W δ G S S (49) A áre ecção trnverl rr é A S S (50) epreão (49) é neceáro ntrouzr o fctor correctvo e corte α, eno áre reuz e corte efn por [.]

11 Vg e mohenko - Álvro F. M. Azeveo A A α * (5) Suttuno (50) em (49) e conerno áre reuz e corte, p ter-e, no co e um rr e ecção contnte G A W * δ δ (5) Por um quetão e mplfcção et epoção, coner-e que o trlho eterno oco à forç eterore (δ W e ) nclu pen contrução forç generlz concentr no nó rr. et conçõe tem-e F W e δ δ (5) A componente o vector F ão forç generlz (forç e momento) em correponênc com o qutro gru e lere o nó rr (ver Fgur.). Suttuno (44), (5) e (5) em (6), otém-e F G A E I δ δ δ * (54) Um vez que (54) tem e e verfcr pr qulquer eformção vrtul δ, cheg-eà htul equção F K (55) enomtrzergezk clcul com egunte epreão * G A E I K (56) Depo e efectur em (56) uttução e vrável efn em (), tem-e * G A E I K (57)

12 Vg e mohenko - Álvro F. M. Azeveo Suttuno () em (57), cheg-e K E I * G A (58) Pr e oter o elemento mtrze (6) e (8) em função vrável, é neceáro clculr erv funçõe e form em orem. Pr o é ufcente recorrer à regr ce, fcno (59) Ateneno (), p ter-e (60) que é equvlente (6) D ervção e (6) e (7) em orem reult (6) (6) Ateneno (6), tem-e (64) (65) Suttuno (64) e (65) em (6), otém-e 4

13 Vg e mohenko - Álvro F. M. Azeveo 0 0 (66) Suttuno (6), (7), (64) e (65) em (8), otém-e ( ) ( ) (67) O elemento mtrze e pen epenem e, que e coner um prâmetro fo, e vrável. Depo e uttur et epreõe em (58) e e clculr o ntegr em orem, reultegunteepreãoprmtrzergez o elemento fnto K E I 0 SIM G A * SIM. 6 (68) O fcto e epreão (68) er prom, org que n nále e um pórtco c um u rr tenh e er cretz em váro elemento fnto. Et quetão fo já refer no Cpítulo. o Cpítulo encontr-e euz egunte epreão pr o cálculo o momento flector n vg, quno o móulo e Young é contnte M θ E I (69) Ateneno (), (7) e (69), conclu-e que o momento flector poe er oto com M E I (70) Amtrz é vl no ponto em que e pretene clculr o momento flector. Aepreõe(9)e()referem-eàtorçãoméeàtenãotngenclmé. O eforço trnvero V é clculo com egunte epreão 5

14 Vg e mohenko - Álvro F. M. Azeveo ( ) V τ S S (7) et epreão, τ ( ) repreent tenão tngencl rel, que epene cooren (ver Fgur.). Um vez que n preente formulção pen e põe tenão tngencl mé τ, é neceáro clculr o eforço trnvero V com e n áre efectv e corte A *. A u epreão é egunte [.4] * u V G A θ (7) Ateneno (), tem-e V G A * γ (7) Suttuno (4) em (7), otém-e * V G A φ (74) O ângulo φ etá repreento n Fgur.. Suttuno (9) em (7), cheg-e V * G A (75) Amtrz é vl no ponto em que e pretene clculr o eforço trnvero. A epreão que fornece áre efectv e corte A * trnverl [.]. epene form e ecção Deve-e ter em conerção que, quer o momento flector, quer o eforço trnvero, pen preentm vlore com precão cetável em etermno ponto o elemento fnto [.5]. Se e pretener conhecer o vlore o eforço noutro ponto, é em gerl preferível efectur um etrpolção ou nterpolção mple prtr o ponto em que o reulto ão m correcto. 6

15 Vg e mohenko - Álvro F. M. Azeveo. - Conerçõe fn A formulção vg e mohenko qu preent poe er eten o egunte co: rr com m o que o nó, rr curvlíne, rr e ecção vrável, rr trmenon ujet fleão ev, ncluão torção, conerção o centro e corte tnto o centro e grve, rr em que propree o mterl vrm o longo o eo rr ou entro ecção trnverl, etc. [.4]. IIOGRAFIA [.] - Oñte, E. - Cálculo e Etructur por el Métoo e lo Elemento Fnto - Anál Etátco nel, Segun Ecón, CIME, rcelon, 995. [.] - Azeveo, A. F. M. - Mecânc o Sólo, Fcule e Engenhr Unvere o Porto, 996. [.] - Monnet, C. - Rétnce e Mtéru, Duno, Pr, 968. [.4] - rro, J. A. O. - Métoo o Elemento Fnto Aplco Etrutur Retcul, Reltóro 0-DEC/E-99, Unvere o Mnho, 00. [.5] - Cook, R. D.; Mlku, D. S.; Pleh, M. E.; Wtt, R. J. - Concept n Applcton of Fnte Element Anly, Fourth Eton, John Wley & Son, Inc., 00. 7

16 Vg e mohenko - Álvro F. M. Azeveo 8