Pré-Cálculo Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense Funções monótonas Parte 3 Funções crescentes Pré-Cálculo 1 Atividade Pré-Cálculo 2 Dizemos que uma função f : D C é crescente em um subconjunto S de D se 1, 2 S, 1 < 2 f ( 1 ) < f ( 2 ). f ( 2 ) [01] Se uma função f : R R é crescente nos intervalos [a, b) e [b, c], com a < b < c, podemos dizer que f é crescente em [a, c]? f ( 1 ) 1 2 Pré-Cálculo 3 Pré-Cálculo 4
Atividade Solução [02] Mostre que a função f : R R, f () = 2 é crescente em R. [02] Mostre que a função f : R R, f () = 2 é crescente em R. Lembre-se de que queremos provar que 1, 2 R, 1 < 2 f ( 1 ) < f ( 2 ), Demonstração. Sejam 1, 2 S = R, com 1 < 2. Como 2 > 0, temos então logo 2 1 < 2 2, f ( 1 ) < f ( 2 ). Logo, f é uma função crescente em R. Atividade Pré-Cálculo 5 Solução Pré-Cálculo 6 [03] Mostre que a função f : R R, f () = 2 é crescente em [0, + ). [03] Mostre que a função f : R R, f () = 2 é crescente em [0, + ). Lembre-se de que queremos provar que 1, 2 [0, + ), 1 < 2 ( 1 ) 2 < ( 2 ) 2. Demonstração. Sejam 1, 2 S = [0, + ), com 1 < 2. Com estas condições, vale que 2 > 0 e 2 1 > 0. Como 1 0 e 2 > 0, segue-se que 2 + 1 > 0. Como o produto de dois números reais positivos é ainda um número real positivo, temos que ( 2 1 )( 2 + 1 ) > 0. Sendo assim, e, consequentemente, 2 2 2 1 > 0 2 2 > 2 1, isto é, f ( 2 ) > f ( 1 ). Mostramos então que 1, 2 S, 1 < 2 f ( 1 ) < f ( 2 ). Logo, f é uma função crescente em [0, + ). Pré-Cálculo 7 Pré-Cálculo 8
Funções decrescentes Atividade Dizemos que uma função f : D C é decrescente em um subconjunto S de D se 1, 2 S, 1 < 2 f ( 1 ) > f ( 2 ). [04] Prove que a função f : R R, f () = 2 é decrescente em R. Lembre-se de que queremos provar que 1, 2 R, 1 < 2 f ( 1 ) > f ( 2 ), isto é, que f ( 1 ) 1, 2 R, 1 < 2 2 1 > 2 2. f ( 2 ) 1 2 Atividade Pré-Cálculo 9 Funções monótonas não-decrescentes Pré-Cálculo 10 [05] Prove que a função f : R R, f () = 2 é decrescente em (, 0]. Dizemos que uma função f : D C é monótona não-decrescente em um subconjunto S de D se 1, 2 S, 1 < 2 f ( 1 ) f ( 2 ). Lembre-se de que queremos provar que 1, 2 (, 0], 1 < 2 ( 1 ) 2 > ( 2 ) 2. f ( 2 ) f ( 1 ) 1 2 Pré-Cálculo 11 Pré-Cálculo 12
Funções monótonas não-decrescentes Dizemos que uma função f : D C é monótona não-decrescente em um subconjunto S de D se 1, 2 S, 1 < 2 f ( 1 ) f ( 2 ). Funções monótonas não-crescentes Dizemos que uma função f : D C é monótona não-crescente em um subconjunto S de D se 1, 2 S, 1 < 2 f ( 1 ) f ( 2 ). f ( 2 ) f ( 1 ) f ( 1 ) f ( 2 ) 1 2 1 2 Funções monótonas não-crescentes Pré-Cálculo 13 Dizemos que uma função f : D C é monótona não-crescente em um subconjunto S de D se 1, 2 S, 1 < 2 f ( 1 ) f ( 2 ). f ( 1 ) f ( 2 ) Observações Pré-Cálculo 14 Uma função monótona em um conjunto S é uma função que é crescente, decrescente, monótona não-decrescente ou monótona não-crescente neste conjunto. Note que toda função crescente em um conjunto S também é monótona não-decrescente neste conjunto e que toda função decrescente em um conjunto S também é monótona não-crescente neste conjunto. Alguns autores chamam funções monótonas não-decrescentes simplesmente de funções não-decrescentes e funções monótonas nãocrescentes simplesmente de funções não-crescentes. Note, contudo, que negar (por eemplo) que uma função seja decrescente em um conjunto S não implica necessariamente que ela seja monótona não-decrescente neste conjunto. 1 2 Uma função é estritamente monótona em um conjunto S se ou ela é crescente ou ela é decrescente neste conjunto. Pré-Cálculo 15 Pré-Cálculo 16
Observações Eistem funções que não são monótonas. Por eemplo, a função descrita na figura abaio não é monótona no conjunto S = [ 1, 4]. Contudo, ela é monótona em [ 1, 0], em [0, 1], em [1, 3] e em [3, 4]. Estudar o crescimento de funções pode ser difícil! Em quais intervalos a função f abaio é crescente? 40 20 f : R R f () = 2 2 + 1 2 1 0 1 2 3 4 5 f é crescente nos intervalos (, 1 ] 1 (ln(2)) 2 ln(2) = (, 0.402806113...] e [ 1+ 1 (ln(2)) 2 ln(2), + ) = [2.482583968..., + ). 20 A disciplina de Cálculo ensinará novas ferramentas para se resolver questões deste tipo! Pré-Cálculo 17 Estudar o crescimento de funções pode ser difícil! f : R R f () = 2 2 + 1 Atividade (desafio!) Pré-Cálculo 18 4 3 2 [06] Uma função f : D C pode ser, simultaneamente, monótona não-crescente e monótona não-decrescente em um conjunto S? Em caso afirmativo, como será a função f em S? 1 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 1 Pré-Cálculo 19 Pré-Cálculo 20
Atividades [07] Se f : D C é monótona crescente em S D, podemos dizer que f é monótona não-decrescente em D? [08] Se f : D C é monótona não-decrescente em S D, podemos dizer que f é monótona crescente em D? [09] Se f : D C é monótona crescente em S D, e g : D C é definida por g() = f () para todo D, mostre que g é monótona decrescente em S. Funções injetivas, sobrejetivas e bijetivas Funções injetivas Pré-Cálculo 21 Funções injetivas Pré-Cálculo 22 Dizemos que f : D C é injetiva se elementos diferentes de D são transformados por f em elementos diferentes em C, isto é, se f satisfaz a seguinte condição: 1, 2 D, se 1 2, então f ( 1 ) f ( 2 ). Forma equivalente (usando a contrapositiva): f : D C é injetiva se ela satisfaz a seguinte condição: 1, 2 D, se f ( 1 ) = f ( 2 ), então 1 = 2. (Ir para o GeoGebra) Pré-Cálculo 23 Pré-Cálculo 24
Funções injetivas Funções injetivas (Ir para o GeoGebra) (Ir para o GeoGebra) Eemplo Pré-Cálculo 25 Atividade Pré-Cálculo 26 Mostre que a função f : R R definida por = f () = 2 + 1 é injetiva. Demonstração. Sejam 1, 2 R tais que f ( 1 ) = f ( 2 ). Temos que f ( 1 ) = f ( 2 ) 2 1 + 1 = 2 2 + 1 2 1 = 2 2 1 = 2. [01] Mostre que a função f : [0, + ) R definida por = f () = 2 é injetiva. Demonstração: Sejam 1, 2 [0, ) tais que f ( 1 ) = f ( 2 ). Temos que f ( 1 ) = f ( 2 ) 1 2 = 2 2 1 2 2 2 = 0 ( 1 2 )( 1 + 2 ) = 0. Assim, 1 2 = 0 ou 1 + 2 = 0, isto é, 1 = 2 ou 1 = 2. No caso em que 1 = 2, como 1 0 e 2 0, concluímos que obrigatoriamente 1 = 0 e 2 = 0. Em particular, 1 = 2. Outra demonstração. sejam 1, 2 [0, + ), com 1 2. Então 1 < 2 ou 2 < 1. Como f é crescente em [0, + ), segue-se que f ( 1 ) < f ( 2 ) ou f ( 2 ) < f ( 1 ). Nos dois casos, f ( 1 ) f ( 2 ). Pré-Cálculo 27 Pré-Cálculo 28
Eercício Funções sobrejetivas [02] Se a função f : D C é monótona crescente em D, mostre que f é injetiva. Demonstração: Sejam 1, 2 D tais que 1 2. Temos que 1 < 2 ou 2 < 1 Caso 1 < 2, como f é crescente em D, f ( 1 ) < f ( 2 ), logo f ( 1 ) f ( 2 ). Caso 2 < 1, como f é crescente em D, f ( 2 ) < f ( 1 ), logo f ( 1 ) f ( 2 ). Dizemos que f : D C é sobrejetiva se sua imagem é igual ao seu contradomínio, isto é, se para todo C, pode-se encontrar (pelo menos) um elemento D tal que f () =. Com isso, f ( 1 ) f ( 2 ) qualquer que seja o caso, logo f é injetiva. Funções sobrejetivas Pré-Cálculo 29 Funções sobrejetivas Pré-Cálculo 30 (Ir para o GeoGebra) (Ir para o GeoGebra) Pré-Cálculo 31 Pré-Cálculo 32
Funções sobrejetivas Eemplo Mostre que a função f : R R definida por = f () = 2 + 1 é sobrejetiva. f : R R f () = 1 não é sobrejetiva! Demonstração. Seja R. Observe que f () = 2 + 1 = 2 = 1 = 1 2. Assim, = ( 1)/2 R é tal que f () =. Isto mostra que f é sobrejetiva. Mas g : R {1} g() = 1 é sobrejetiva! Atenção! Pré-Cálculo 33 Funções bijetivas Pré-Cálculo 34 Mostrar que a função f : [0, + ) [0, + ) definida por = f () = 2 é sobrejetiva é bem mais complicado! Para fazer isto, precisaríamos do conceito de continuidade, que será visto em Cálculo I -A-. Dizemos que f : D C é bijetiva se ela é injetiva e sobrejetiva. Pré-Cálculo 35 Pré-Cálculo 36
Funções bijetivas f : R R f () = 2 + 1 é bijetiva. Funções bijetivas f : R R f () = 2 não é bijetiva, pois não é injetiva e nem sobrejetiva. 0 0 Pré-Cálculo 37 Pré-Cálculo 38 Funções bijetivas Funções bijetivas f : R [0, + ) f () = 2 não é bijetiva, pois não é injetiva (mas é sobrejetiva). f : [0, + ) [0, + ) f () = 2 é bijetiva. 0 0 Pré-Cálculo 39 Pré-Cálculo 40
Eercícios 1)Considere a função g : R + R definida por {, se < 1 g() = 2, se 1 a) g é injetora? b) g é crescente? g é decrescente? 2) Considere a função f : {0, 1, 2, 3, 4, } Z definida por n, se n é par f (n) = 2 (n + 1), se n é ímpar 2 Novas funções a partir de antigas: operações com funções Mostre que a função é bijetora. Operações com funções Pré-Cálculo 41 Eemplo: soma Pré-Cálculo 42 Sejam f : D f R e g : D g R duas funções reais. Definimos as funções soma f + g, diferença f g, produto f g e quociente f /g da seguinte forma: (f +g)() = f ()+g(), com D f+g = D f D g (f g)() = f () g(), com D f g = D f D g (f g)() = f () g(), com D f g = D f D g (f / g)() = f () / g(), com D f / g = { D f D g g() 0}. f () = 1 + 2, g() = 3. D f = [2, + ), D g = R. (f + g)() = f () + g() = 1 + 2 + 3 = 2 + 2, D f +g = D f D g = [2, + ). Pré-Cálculo 43 Pré-Cálculo 44
Eemplo: diferença Eemplo: produto f () = 1 + 2, g() = 3. D f = [2, + ), D g = R. f () = 1 + 2, g() = 3. D f = [2, + ), D g = R. (f g)() = f () g() = 1 + 2 ( 3) = 4 + 2, D f g = D f D g = [2, + ). (f g)() = f () g() = (1 + 2) ( 3), D f g = D f D g = [2, + ). Eemplo: quociente Pré-Cálculo 45 Cuidado! Pré-Cálculo 46 f () = 1 + 2, g() = 3. D f = [2, + ), D g = R. f () =, g() =. D f = R, D g = R. (f /g)() = f ()/g() = 1 + 2, 3 D f /g = D f D g { D g g() = 0} = [2, + ) {3}. ( ) f () = f () g g() = = 1, D f /g = D f D g { D g g() = 0} = R {0}. Pré-Cálculo 47 Pré-Cálculo 48
Composição de funções Sejam f : D f C f e g : D g C g duas funções reais tais que Im g D f. A composição de f e g é a função f g : D f g C f definida por: (f g)() = f (g()), Composição de funções com D f g = { D g : g() D f } = { D g } { : g() D f } Pré-Cálculo 49 Pré-Cálculo 50 Composição de funções Composição de funções Sejam f : D f C f e g : D g C g duas funções reais tais que Im g D f. A composição de f e g é a função f g : D f g C f definida por: (f g)() = f (g()), com D f g = { D g : g() D f } = { D g } { : g() D f } Sejam f : D f C f e g : D g C g duas funções reais tais que Im g D f. A composição de f e g é a função f g : D f g C f definida por: (f g)() = f (g()), com D f g = { D g : g() D f } = { D g } { : g() D f } (entrada) (saída) (entrada) (saída) Pré-Cálculo 51 Pré-Cálculo 52
Eemplo Eemplo f () = 2 + 3, g() =. [01] Determine (f g)() (f g)() = f (g()) = f ( ) = ( ) 2 + 3 = + 3. [02] Qual o domínio de f g? f : R R, g : [0, + ) R, logo f g : [0, + ) R [03] Determine (g f )(). f () = 2 + 3, g() =. (g f )() = g(f ()) = g( 2 + 3) = [04] Por que é possível a composição (g f )()? 2 + 3. Note que Im f = [3, + ) D g, logo é possível compor g f. Mesmo que a epressão de f g esteja definida para R! Eemplo Pré-Cálculo 53 Identificando composições Pré-Cálculo 54 f () = 2 + 3, g() =. h() = ( 2 + 1) 10 = (f g)() (f g)() = + 3, (g f )() = 2 + 3. onde Moral: (em geral) f g g f. A operação de composição de funções não é comutativa! f () = 10 e g() = 2 + 1. Pré-Cálculo 55 Pré-Cálculo 56
Identificando composições Identificando composições h() = tg( 5 ) = (f g)() h() = 4 3 = (f g)() onde onde f () = tg() e g() = 5. f () = e g() = 4 3. Identificando composições Pré-Cálculo 57 Identificando composições Pré-Cálculo 58 h() = 8 + = (f g)() h() = 1/( + 1) = (f g)() onde onde f () = 8 + e g() =. f () = 1/ e g() = + 1. Pré-Cálculo 59 Pré-Cálculo 60
Eercícios 1) Considere a função g() = 2 1, com domínio restrito a 0 e a função f () =. Encontre as epressões (ou leis de formação) das funções compostas f g e g f e seus respectivos domínios. 2) Sejam f () = 1 1 e g() = 1. Encontre as epressões das + 1 funções compostas f g e g f e seus respectivos domínios. 3) Use os gráficos das funções f e g da figura abaio e determine o valor de cada uma das seguintes epressões apresentadas nos itens a seguir. Justifique sempre que não for possível determinar algum destes valores. a) (f g)(2) b) (f g)(0) c) g(f (3)) d) (g f )(5) e) g(g( 2)) f) f (f (2)) Pré-Cálculo 61 Funções inversíveis Pré-Cálculo 62 Dizemos que uma função f : D C é inversível se eiste função g : C D tal que Funções inversíveis e (g f )() = g(f ()) =, para todo D (f g)() = f (g()) =, para todo C. Neste caso, dizemos que g é a inversa de f e escreveremos: g = f 1. Pré-Cálculo 63 Pré-Cálculo 64
Eemplo Eemplo Eemplo A função f : D = R C = R = f () = 2 + 1 é inversível, pois g : C = R D = R = g() = ( 1)/2 Pré-Cálculo 65 Cuidado Cuidado! f 1 () e (f ()) 1 denotam objetos diferentes! Pré-Cálculo 66 é tal que (g f )() = g(f ()) = g(2 + 1) = ((2 + 1) 1)/2 =, D = R e (f g)() = f (g()) = f (( 1)/2) = 2(( 1)/2) + 1 =, C = R. Podemos então escrever que f 1 () = g() = ( 1)/2. f 1 () é a função inversa de f calculada em. (f ()) 1 é igual a 1/f (). No eemplo anterior, f 1 () = ( 1)/2, enquanto que (f ()) 1 = (2 + 1) 1 = 1/(2 + 1). Pré-Cálculo 67 Pré-Cálculo 68
Eercício Proposição [1] Dê eemplo de três pares funções f, g : R R tais que f (g()) =. Proposição f : D C é uma função inversível se, e somente se, f é bijetiva, isto é, se, e somente se, 1. f é injetiva: para todo 1, 2 D, se 1 2, então f ( 1 ) f ( 2 ) e, ao mesmo tempo, 2. f é sobrejetiva: para todo C, eiste pelo menos um D tal que f () =. Demonstração: ( ) Pré-Cálculo 69 Se f : D C é inversível, então eiste uma função g : C D tal que D, (g f )() = g(f ()) = e C, (f g)() = f (g()) =. Suponha, por absurdo, que f não seja injetiva. Então eistem 1, 2 D tais que 1 2 e f ( 1 ) = f ( 2 ). Mas, se f ( 1 ) = f ( 2 ), então g(f ( 1 )) = g(f ( 2 )), isto é, 1 = 2, uma contradição. Assim f : D C é injetiva. Demonstração: ( ) Pré-Cálculo 70 Como f : D C é sobrejetiva, para todo C, eiste D tal que f () =. Mais ainda: como f é injetiva, esse é único. Considere então a função g : C D definida por g() = = o único elemento de D tal que f () =. Observe que g(f ()) = g() =, D e f (g()) = f () =, C. Sendo assim, f é inversível e sua inversa é f 1 = g. Seja C. Se = g(), então f () = f (g()) =. Isso mostra que f : D C é sobrejetiva. Como f : D C é injetiva e sobrejetiva, segue-se que f : D C é bijetiva. Pré-Cálculo 71 Pré-Cálculo 72
Observações Pergunta Provar que uma função é inversível pode não ser uma tarefa fácil seja com a definição, seja com a proposição anterior. A disciplina de Cálculo ensinará novas ferramentas para estudar se uma função é inversível (localmente). [2] Toda função f : R R inversível é crescente em R ou decrescente em R? Se verdadeiro, prove; se falso, esboce o gráfico de uma função que seja contra-eemplo. O gráfico da função inversa Pré-Cálculo 73 O gráfico da função inversa Pré-Cálculo 74 Seja f uma função real inversível. Se f (1) = 2, então f 1 (2) = 1. Assim, o ponto (1, 2) pertence ao gráfico de f e (2, 1) pertence ao gráfico de f 1. Se f (2) = 3, então f 1 (3) = 2. Assim, o ponto (2, 3) pertence ao gráfico de f e (3, 2) pertence ao gráfico de f 1. Se f () =, então f 1 () =. Assim, o ponto (, ) pertence ao gráfico de f e (, ) pertence ao gráfico de f 1. (Ir para o GeoGebra) Pré-Cálculo 75 Pré-Cálculo 76
O gráfico da função inversa O gráfico da função inversa [3] A figura abaio eibe o gráfico de uma função f : [0, 7] [ 3, 6]. Qual é a relação entre o gráfico de uma função e sua inversa? Se uma mesma escala foi usada para os eios e, os gráficos de f e f 1 são simétricos com relação a reta =. Se uma mesma escala foi usada para os eios e, o gráfico da inversa f 1 é obtido fazendo-se uma refleão do gráfico de f com relação a reta =. (a) A função f é inversível? Justifique. (b) Caso f seja inversível, esboce o gráfico de f 1. (c) Caso f seja inversível, dê os valores de (f 1 f )(7) e de (f f 1 )(7), se estiverem definidos. Pré-Cálculo 77 Pré-Cálculo 78