Reducing he Spurious Oscillaions in he Lumped Parameers Model Using Low-Pass Filer A. R. J.de Araújo, R.. da Silva and S. Kurokawa Absrac Volages and currens in he ransmission line are described by differenial equaions ha are difficul o solve due soil and skin effec ha has o be considered for accurae resuls, bu i increases heir complexiy. Therefore here are some models o sudy he volages and currens along in ransmission line. The disribued parameers model ha ransforms he equaions in ime domain o he frequency domain and once he soluions are obained, hey are convered o ime domain using he Inverse Laplace Transform using numerical mehods. Anoher model is named lumped parameers model and i considers he ransmission line represened by a π-circui cascade and he currens and volages are described by sae equaions. In he simulaions using he lumped parameers model, i can be observed he presence of spurious oscillaions ha are independen of he quaniy of π- circuis used and do no represen he real value of he ransien. In his work will be projeced a passive low-pass filer direcly insered in he lumped parameers model o reduce he spurious oscillaions in he simulaions, making his model more accurae and reliable for sudying he elecromagneic ransiens in power sysems. Keywords Elecromagneic ransiens, ransmission lines, disribued parameers, lumped parameers, low-pass filer. I. INTRODUÇÃO ENSÕES e correnes em linhas de ransmissão são T descrias por equações diferenciais que são de difícil resolução devido ao efeios solo e frequência e que devem ser considerados sobre os parâmeros da linha para uma resposa precisa e confiável. Nesse conexo diversos pesquisadores e cienisas êm dedicado seus esforços para resolução dessas equações. O primeiro rabalho considerando ransiórios eleromagnéicos foi desenvolvido por Lord Kevin em 854 quando esudava a propagação de ondas em cabos de elecomunição []. Heaviside desenvolveu a "Transformada de Heaviside resulando em equações/soluções nos domínios do empo e frequência. Essa ransformada foi uilizada para ober a resposa ransiória em circuios eléricos represenados por parâmeros discreos. Desde 96 pesquisadores se dedicam no desenvolvimeno de modelos de linhas de ransmissão para esudo de ransiórios eleromagnéicos em sisemas de poência. H. W. Dommel desenvolveu um dos primeiros modelos para represenar linhas de ransmissão direamene no domínio do empo. Esse modelo foi baseado no méodo de Bergeron e combina o méodo numérico rapezoidal, resulando num algorimo para esudo de ransiórios eleromagnéicos A. R. J. de Araujo, Universidade Esadual Paulisa (UNESP), Ilha Soleira, São Paulo, Brasil, anderjuso@yahoo.com.br R..da Silva, Universidade Esadual Paulisa (UNESP), Ilha Soleira, São Paulo, Brasil, rcleber@gmail.com S. Kurokawa, Universidade Esadual Paulisa (UNESP), Ilha Soleira, São Paulo, Brasil, kurokawa@dee.feis.unesp.br. em sisemas de poência usando parâmeros discreos ou disribuídos para represenação da linha. Ese algorimo é denominado Elecromagneic Transiens Program, EMTP []. Para esudar a propagação de ondas eleromagnéicas resulanes de processos de chaveameno, a linha de ransmissão pode ser represenada por uma cascaa de circuios π [3-5]. Esse modelo em como vanagens o fao de considerar cargas não-lineares, perdas pelo efeio corona, além de ser desenvolvido direamene no domínio do empo. A represenação de linhas por cascaas de circuio π considera que um segmeno de linha, cujos parâmeros são disribuídos ao longo de seu comprimeno, pode ser represenado por elemenos discreos de circuio conecados em cascaa. [7,8]. Alguns auores [,6-8] sugerem escrever as correnes e ensões usando equações de esado. As equações de esado são resolvidas usando um méodo numérico em qualquer linguagem compuacional [8-9]. Nesse rabalho será uilizado o méodo de inegração rapezoidal de Heun [9]. Ouro modelo proposo para esudar ransiórios eleromagnéicos é denominado de Universal Line Model (ULM) []. Nesse modelo as equações diferenciais são ransformadas em equações algébricas hiperbólicas usando a ransformada de Laplace. O modelo considera os parâmeros longiudinais e ransversais da linha e pode incluir o efeio da frequência para resulados mais precisos. As soluções no domínio do empo são obidas uilizando a Transformada Inversa de Laplace implemenada numericamene [,]. Nas simulações obidas com o modelo a parâmeros discreos, observam-se oscilações numéricas que são denominadas de oscilações espúrias. Essas oscilações apresenam picos de sobreensão que não represenam o valor real das ensões e correne e caso fossem considerados, poderiam causar auação indevida de sisemas de proeção ou projeos sobresimados de isoladores, ornando-o mais cusosos. As oscilações ocorrem devido à represenação da linha pela cascada de circuios π e independem do méodo numérico uilizado para resolução das equações de esado [9]. Ese rabalho analisará as oscilações espúrias presenes nas simulações de uma linha de ransmissão monofásica de km e circuios π em cascaa, energizada por uma fone senoidal de ensão. Será esudado o especro de frequência das oscilações espúrias para linha represenada pelo modelo a parâmeros discreos e será projeado um filro passivo analógico inserido direamene no modelo, para a redução das oscilações, fazendo com que o modelo se orne mais preciso e confiável para esudo de ransiórios eleromagnéicos em sisemas de poência.
II. SOLUÇÕES DAS EQUAÇÕES DIFERENIAIS DA LINHA DE TRANSMISSÃO As equações diferenciais que modelam a linha de ransmissão são de difícil resolução no domínio do empo, mas no domínio da frequência elas se ornam simples equações algébricas hiperbólicas e as soluções são de fácil obenção. A solução no domínio da frequência é genérica e pode ser aplicada a qualquer condição da linha como, por exemplo, considerar os parâmeros fixos ou dependenes da frequência. A seguir serão apresenados os modelos a parâmeros discreos e disribuídos. A. MODELO A PARÂMETROS DISTRIBUÍDOS onsiderando uma linha de ransmissão (LT) de comprimeno d no domínio da frequência conforme mosra a Fig.. Z ( ω) Z ( ω) Y ( ω) γ( ω) Z( ω) Y( ω) (7) A ransformação de (3) e (4) no domínio do empo é difícil de ober devido as inegrais de convolução. O modelo a parâmeros disribuídos considera que os parâmeros da linha são disribuídos ao longo de seu comprimeno. Nesse modelo as equações diferenciais são ransformadas em equações algébricas hiperbólicas no domínio da frequência. Assim o modelo quando represenado por essas equações é denominado por Universal Line Model (ULM) []. Uma vez obidas as soluções no domínio da frequência, uilizando ac ransformada Inversa de Laplace implemenada numericamene, são obidas as soluções são obidas no domínio do empo. A ransformada de Laplace de uma função f() é definida por: (6) { } s F() s L f() f() e d (8) Em (8) a função f() é zero para. Aplicando a ransformada Inversa de Laplace (3) e (4) e considerando s jω são obidas (9) e (): Figura. Linha de ransmissão de comprimeno d. A linha de ransmissão (LT) em uma impedância longiudinal e admiância ransversal dadas por (): Z( ω) R+ jωl () Y( ω) G+ jω () Em () e () os ermos R e L são a resisência e induância longiudinal por unidade de comprimeno e os ermos e G são as capaciância e conduância ransversal por unidade de comprimeno. Os ermos I A (ω) e I B (ω) são as correnes nos erminais emissor e recepor da LT enquano que V A (ω) e V B (ω) são as ensões nos respecivos erminais e ω é a frequência angular. As correnes e ensões no domínio da frequência são dadas por [4]: I ( ω) Y ( ω) V ( ω) + Y ( ω) V ( ω) (3) A AA A AB B I ( ω) Y ( ω) V ( ω) + Y ( ω) V ( ω) (4) B BA A BB B Os ermos Y AA (ω), Y AB (ω), Y BA (ω) e Y BB (ω) são dados por : YAA coh( γω ( ) d) YAB csch( γω ( ) d) Z Z YBA coh( γω ( ) d) YBB csch( γω ( ) d) Z Z Em (5) Z (ω) e γ(ω) são a impedância de suro e a função de propagação respecivamene dadas por : (5) + j jω I A( ) [ YAA( ω) VA( ω) + YAB( ω) VB( ω) ] e dω π (9) j + j jω I B( ) [ YBA( ω) VA( ω) + YBB( ω) VB( ω) ] e dω π () j As equações (9) e () geralmene de complexa resolução, pois dependem das condições de carga da linha que dificulam enconrar uma solução analíica para I A () e I B (). Assim uiliza o méodo numérico para resolução das equações hiperbólicas (3) e (4) usando a ransformada Inversa de Laplace proposa pelos auores [-4], obendo as ensões e correnes no domínio do empo. B. MODELO A PARÂMETROS A DISRETOS O modelo a parâmeros discreos, ou Lumped Parameers Model (), é amplamene empregado para análise de ransiórios eleromagnéicos em sisemas de poência. Nesse modelo a LT é represenada por uma cascaa de circuios π. A Fig. mosra uma LT monofásica represenada por uma quanidade genérica de circuios π em cascaa e as equações de esado que descrevem as correnes e ensões da linha. Figura. Linha de ransmissão represenada por cascaa de circuios π.
Na Fig., os parâmeros R e L são a resisência e induância de cada circuio π respecivamene. Os parâmeros G e são a conduância e a capaciância de cada circuio π respecivamene. Os parâmeros R, L, G e são escrios como: d d d d R R' L L' ' G G' () n n n n Em () os parâmeros longiudinais R' e L' e ransversais parâmeros ' e G' são dados por unidade de comprimeno, d é o comprimeno da linha e n é o número de circuios π usado na represenação da LT. Nesse modelo as correnes e ensões são obidas direamene no domínio do empo [5-7]. onsiderando a linha de ransmissão de comprimeno d, represenada por n circuios π como mosra a Fig., as correnes e ensões são escrias como mosrado em (). x() [ A][ x() ] + [ B] u() () Em () [x] é o veor com correnes e ensões ao longo da cascaa são escrios na forma: x i() v() i() v() i () () T n vn x ( n n ) [ i ) v ( ) i ( ) v ( ) i ( ) v ( ] T As marizes [A] e [B] são as marizes de esado para LT represenada pelo modelo a parâmeros discreos. As marizes A e B dependem da configuração do erminal recepor da LT para sua formação. Assim por exemplo para uma linha erminada com uma impedância Z no erminal recepor, represenada por n circuios π, as marizes [A] e [B] são dadas por: [ A] R / L / / L G / / / L R / L / ( G Z / L + ) / Z (3 ) (4 T [ B] L ) A mariz [A] é quadrada de ordem n e [B] em a dimensão (nx). A equação () será resolvida usando o méodo de Heun. IV. FILTRO PASSA-BAIXA PASSIVO Um filro passa-baixas passivo é um filro que permie a passagem de sinais com frequência abaixo da frequência de core esabelecida pelo filro, reduzindo as ampliudes dos sinais com frequência acima da frequência de core (f c ). Foi observado que o especro das oscilações espúrias apresena componenes de elevadas frequências. Assim o filro passabaixa proposo miigará essas componenes, ornando as simulações obidas mais próximas do valor real. O filro é inserido direamene no modelo a parâmeros discreos. Em [8] os auores propõem um filro digial do ipo FIR para reduzir as oscilações espúrias. Esse filro reduziu consideravelmene as oscilações, mas apresena a desvanagem de ser pós-processado, ou seja, é necessário similar, armazenar e em seguida aplicar o filro digial no sinal desejado. Exisem diversos filros passa-baixas na lieraura, mas nesse rabalho serão uilizados os filros da Fig. 3. Figura 3. Filros passa-baixas proposos para redução das oscilações espúrias. Na Fig. 3 a configuração () será denominada de filro PI e na configuração () será denominada de filro T nas simulações. Na próxima seção serão apresenados os resulados de uma linha de ransmissão represenada pelo modelo a parâmeros discreos com e sem filros passa-baixas inseridos. V. RESULTADOS Uma linha de ransmissão monofásica será energizada por uma fone senoidal no erminal emissor A e com uma carga resisiva Z conecada no erminal recepor conforme mosra a Fig. 4. A linha será represenada pelo modelo a parâmeros discreos, com circuios π em cascada, cujo comprimeno é de km e energizada no insane e será calculada a ensão V B () para com e sem os filros () e () comparadas com a resposa obida pelo modelo ULM (resposa ideal). Figura 4. Linha monofásica represenada pelo modelo a parâmeros discreos. Na Fig. 4 os parâmeros eléricos da LT são dados pela abela I. TABELA I. PARÂMETROS DA LINHA DE TRANSMISSÃO. PARÂMETROS R L G Z VALORES,5 Ω/km,7 mh/km,556µs/km 6,58 nf/km Ω onsiderando que a linha será energizada por uma fone senoidal dada por: V( ) V cos( ω) (5)
Na equação (5) V é a ampliude e ω é a frequência angular da onda senoidal. Para odas as simulações, em-se que V kv e ω 377 rad/s e os resulados serão apresenados em valores por unidade (p.u.), sendo kv o valor de base. A Fig. 5 mosra V B () para LT da Fig. 4 com as resposas do ULM e do modelo a parâmeros discreos () com circuios π..8.6 ULM A frequência de core para do filro () e () é dada por (6): ( Rf Lf ) + ( Rf Lf ) + 4Lf f (6 π Lf ) Uma vez definida a frequência de core a ser projeada, os parâmeros R f, f e R f do filro foram ajusados para se ober esse valor conforme (6)..4..8.5 com filro PI.6.4..5.5.5.5 3 3.5 4 Figura 5. V B () para os modelos a parâmeros: discreos (vermelha) e disribuídos (azul)..5 As resposas apresenam o mesmo comporameno, mas as curva vermelha apresena as oscilações espúrias, decorrenes da represenação de um segmeno de linha, cujos parâmeros são disribuídos, por elemenos discreos de circuio. Essas oscilações não correspondem ao valor real da ensão. Assim considerando a primeira oscilação, em-se que a curva vermelha apresena um pico 3% superior ao da curva azul. Esse pico, caso considerado, pode resular na auação indevida do sisema de proeção ou na superesimação dos isoladores da linha durane a fase de projeo. A Fig. 6 mosra a linha com um o filro () conecado no erminal recepor da linha..5.5.5 3 3.5 4 Figura 7. V B () para o modelo a parâmeros discreos com filro (curva azul) e sem filro (curva vermelha). A Fig. 7 mosra V B () para a LT da Fig. 6. As oscilações espúrias foram consideravelmene reduzidas com o filro inserido. Em dealhe a primeira reflexão do ransiório onde se observa a redução das oscilações, porém a um pequeno deslocameno na resposa devido ao deslocameno de fase inerene do filro passa-baixas. A Fig. 8 mosra o especro de frequência para as curvas da Fig. 7 usando a ransformada de Fourier. As ampliudes considerando o modelo a parâmeros discreos com o filro passa-baixas foram reduzidas (curva azul). As componenes de elevada frequência foram aenuadas, reduzindo as ampliudes das oscilações espúrias nas simulações no domínio do empo. 3 wih com filer filro Figura 6. Filro passa-baixas () inserido no modelo a parâmeros discreos. Os parâmeros dos filros passa-baixas () e () permaneceram invariáveis durane as simulações e são apresenados na abela II. Usando os parâmeros da abela II, a frequência de core é igual a 43,7 khz. Assim as componenes acime desse valor serão reduzidas significaivamene. Esse valor foi escolhido uma vez observado o especro de frequência das oscilações espúrias TABELA II. PARÂMETROS DO FILTRO PASSA-BAIXAS. PARÂMETROS DO FILTROS VALOR Ampliude (%).5.5.5,3,, 3 4 5 6 7 8 9.5.5.5 3 3.5 Frequency (Hz) no filer sem filro Figura 8. Especro de frequência para as resposas da Fig. 7. Oura possibilidade para reduzir as oscilações espúrias consise em uilizar filros passa-baixas do ipo (), um em cada erminal da linha, conforme mosra a Fig.9. x 4 x 4 R f L f f 9 Ω 5,4 mh 8,4 nf
.8.6 com filros T com filro T.4 Figura 9. Linha de ransmissão com filros passa-baixas PI no. A LT monofásica da Fig. 9 será represenada por circuios π e filros passa- baixas. A Fig. mosra V B () considerando a LT com e sem os filros passa-baixas no..8.6.4..8.6.4. filros PI.5.5.5 3 3.5 4 Figura. V B () com filros passa-baixas (azul) e sem filro (vermelha). Nessa condição, as oscilações apresenaram uma aenuação mais significaiva quando comparadas com a Fig. 7, como pode ser viso no dealhe da primeira reflexão. Assim com filros as resposas se ornam mais próximas ao valor esperado A Fig. mosra a mesma LT represenada pelo modelo a parâmeros discreos com uma carga Z e com filro passa-baixas do ipo () conecado em cascaa com o ulimo circuio π ao erminal recepor. Figura. Linha de ransmissão com filro passa-baixas do ipo ()...8.6.4..5.5.5 3 3.5 4 Figura 3. V B () para circuio () (azul), circuio () (prea) e ULM (vermelha). A ensão V B () no circuio () apresena pequenas oscilações enquano que no circuio () elas são compleamene reduzidas. Há um deslocameno observado, sendo que no circuio () esse deslocameno se orna expressivo. O modelo a parâmeros disribuídos não apresena oscilações espúrias porque uiliza as equações hiperbólicas da linha no domínio da frequência. A fig. 4 mosra a LT represenada pelo modelo a parâmeros desruídos de km e energizada por uma fone senoidal dada por (4) e no erminal recepor B esá conecada uma carga Z. Figura 4. LT com uma carga resisiva no erminal recepor. Os parâmeros da LT são dados pela abela I. A resposa obida com esse modelo, uilizando o ULM, será comparada com a resposa obida com a LT represenada pelo modelo a parâmeros discreos () com filros passa-baixas do ipo () da Fig.9. A Fig. 5 mosra as resposas obidas no domínio do empo. A Fig. mosra a LT com filros filros-baixas do ipo () inseridos..8.6.4 ULM com filros PI..8.6.4. Figure. Transmission line wih low-pass filer (). Os circuios das Fig. e serão nomeados de circuio () e circuio () respecivamene para as próximas simulações. A Fig. 3 mosra V B () para a LT com circuios π obidas nos circuio () e circuio () e para o ULM..5.5.5 3 3.5 4 Figura 5. V B () com os modelos: disribuídos (vermelha) e discreos com filro (azul) do ipo (). A Fig. 5 mosra a resposa para filro passa-baixas é similar a resposa obida pelo modelo a parâmeros disribuídos usando ULM, porém o deslocameno é inrínseco ao filro. Os filros () e () reduziram as oscilações consideravelmene. A inserção de mais filros passa-baixas é possível no modelo a parâmeros discreos, porém pode ocorrer uma sauração nas resposas obidas e a defasagem será maior. As oscilações dependem direamene da quanidade de circuios π e foi
esabelecida uma quanidade de circuio π por quilomero nesse rabalho. Ouro fao a ser enfaizado consise que a frequência de core é ajusável, assim é necessário conhecer o especro de frequência e ajusar os parâmeros do filro passabaixas. Assim as oscilações espúrias podem ser mais aenuadas e as resposas esarão mais próximas das obidas pelo modelo a parâmeros disribuídos usando ULM. VI. ONLUSÕES Nesse rabalho foram apresenados dois modelos de linha de ransmissão comumene uilizados para esudo de ransiórios eleromagnéicos modelo a parâmeros discreos apresene oscilações espúrias que não represenam o valor real das simulações. Assim para reduzir as oscilações espúrias foram projeados dois ipos de filro passa-baixos passivos que foram inseridos direamene no modelo a parâmeros discreos. Os resulados mosraram que com apenas um filro inserido, as oscilações foram reduzidas significaivamene Usando filros passa-baixas, as oscilações foram praicamene eliminadas, fazendo com que as resposas se ornassem semelhanes as obidas pelo ULM, considerado exao, pois suas soluções provem das equações hiperbólicas da linha. Pode-se ambém observar que a inserção de filros passivos provoca um deslocameno nas resposas no domínio do empo que devem ser consideradas para analise de ransiórios, mas em regime permanene odas as resposas convergem para o mesmo valor. O filro passa-baixas apresena a vanagem de ser inserido direamene inserido no modelo a parâmeros discreos e desa forma a filragem é feia em empo real, principal caracerísica do filro passive quando comparado ao filro digial. Ouro fao consise que o filro pode er sua frequência de core ajusada uilizando apenas parâmeros. Assim a inserção de um filro passa-baixas no modelo a parâmeros discreos mosrou ser uma alernaiva válida para reduzir as oscilações espúrias, ornando-o mais preciso e confiável, e pode ser uilizado na análise de ransiórios eleromagnéicos de sisemas de poência. VII. AGRADEIMENTOS Os auores agradecem pelo apoio da Fundação de Amparo à Pesquisa do Esado de São Paulo - FAPESP (/3857-4) e do onselho Nacional de Desenvolvimeno ienífico e Tecnológico - NPq. REFERÊNIAS [] Ameani A. The Hisory and Recen Trends of Transien Analysis in Transmission Lines, The IPST onference, Vancouver, anada,3. [] Dommel, H. W. EMTP Theory Book, Microran Power Sysem Analysis orporaion, Vancouver, Briish olumbia,996. [3] Mamis, M. S. ompuaion of Elecromagneic Transiens on Transmission Lineswi Nonlinear omponens, IEE Proceedings Generarion, Transmission and Disribuion, Vol. 5, No, pp. - 3,3. [4] Mamis, M. 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Anderson Ricardo Juso de Araújo, graduado () e mesre (4) em Engenharia Elérica pela Faculdade de Engenharia Elérica de Ilha Soleira, UNESP - Ilha Soleira e aualmene é esudane de douorado em Engenharia Elérica na Faculdade de Engenharia de Ilha Soleira, UNESP. Suas áreas de ineresse são: ransiórios eleromagnéicos em sisemas eléricos de poência uilizando méodos numéricos e modelagem de linhas de ransmissão. Rodrigo leber da Silva, graduado () em mesre em engenharia elérica pela Faculdade de Engenharia Ilha Soleira. Aualmene esá no douorado na mesma universidade. Professor no Insiuo Federal de São Paulo (IFSP). Suas principais áreas de ineresse são ransiórios eleromagnéicos em sisemas de poência, modelos maemáicos para linhas de ransmissão e méodos numéricos para análise ransiória. Sérgio Kurokawa (S -M 4), graduado em Engenharia Elérica (99). Desde 994 aua como Professor na Faculdade de Engenharia de Ilha Soleira da Universidade Esadual Paulisa (UNESP). Obeve o íulo de Douor em Engenharia Elérica na Faculdade de Engenharia Elérica e da ompuação da Universidade Esadual Paulisa (UNIAMP). Suas principais áreas de ineresse são ransiórios eleromagnéicos em sisemas eléricos de poência e modelos de linhas de ransmissão para simulações de ransiórios eleromagnéicos em sisemas de poência.