LIMITES DE FUNÇÕES REAIS DE UMA VARIÁVEL

BÁRBARA DENICOL DO AMARAL RODRIGUEZ CINTHYA MARIA SCHNEIDER MENEGHETTI CRISTIANA ANDRADE POFFAL LIMITES DE FUNÇÕES REAIS DE UMA VARIÁVEL a Edição Rio Grande Editora da FURG 06

Universidade Federal do Rio Grande - FURG NOTAS DE AULA DE CÁLCULO Instituto de Matemática, Estatística e Física - IMEF Bárbara Rodriguez Cinthya Meneghetti Cristiana Poffal sites.google.com/site/calculofurg Notas de aula de Cálculo - FURG

Sumário Limites de funções reais de uma variável 4. Definições importantes.......................... 5. Motivação para a definição de ite.................. 6.3 Definição formal de ite finito......................4 Construção geométrica que ilustra a noção de ite.......... 3.5 Limites Laterais.............................. 5.5. Definição de ite à direita................... 5.5. Definição de ite à esquerda.................. 5.6 Propriedades usadas no cálculo de ites.................6. Limite de uma constante......................6. Limite da função identidade....................6.3 Limite da soma...........................6.4 Limite da diferença........................ 3.6.5 Limite do produto........................ 3.6.6 Limite do quociente........................ 5.6.7 Limite da multiplicação por uma constante........... 5.6.8 Limite da potenciação...................... 6.6.9 Limite da radiciação....................... 7.6.0 Limite de uma função polinomial................ 7.6. Limite de uma função racional.................. 8.6. Limite do logaritmo de uma função............... 9.7 Limites infinitos.............................. 35.8 Limites no infinito............................ 40.8. Limites no infinito de n..................... 43.9 Limites especiais............................. 45 3

SUMÁRIO.9. Indeterminação do tipo 0 0.................... 46.9. Indeterminação do tipo.................... 5.9.3 Indeterminação do tipo................. 54.9.4 Indeterminação tipo 0.................... 55.0 Teorema do confronto........................... 57. Limite de funções transcendentes.................... 58.. Função seno............................ 58.. Função cosseno.......................... 59..3 Função tangente......................... 60..4 Função eponencial........................ 6..5 Função logarítmica........................ 67. Limites fundamentais........................... 68.. Limite fundamental trigonométrico............... 68.. Limite fundamental eponencial I................ 7..3 Limite fundamental eponencial II............... 75.3 Lista de Eercícios............................ 78 4 Notas de aula de Cálculo - FURG

Capítulo Limites de funções reais de uma variável Apresentação O Cálculo apresentado no Ensino Superior é fundamentalmente diferente da matemática estudada durante o Ensino Médio. Ele trata de variação e de movimento, bem como de quantidades que tendem a outras quantidades. Ele teve sua origem em quatro problemas nos quais os matemáticos europeus estavam trabalhando durante o século XVII. São eles: O problema da reta tangente; O problema da velocidade e da aceleração; O problema de máimos e mínimos; O problema da área. Cada um destes problemas envolve o conceito de ite e é possível introduzir o cálculo diferencial e integral a partir de qualquer um deles. Neste capítulo serão apresentados os conceitos de ites que permitem estudar o comportamento de uma função nas proimidades de um determinado ponto. 5

.. DEFINIÇÕES IMPORTANTES. Definições importantes a) Vizinhança: Chama-se vizinhança (ou entorno) de centro em a e raio δ o intervalo aberto (a δ, a + δ), onde δ > 0. Notação: V (a, δ) = (a δ, a + δ) = { R a < δ}. Veja a representação gráfica na Figura. (a). ( ) ( ) a_ a a+ a_ a a+ (a) vizinhança (b) vizinhança perfurada Figura.: Representação gráfica de vizinhança e vizinhança perfurada. b) Vizinhança perfurada: É o intervalo (a δ, a) (a, a + δ). Ou seja, é um entorno de raio δ onde o centro a não está incluído. Notação: V p (a, δ) = (a δ, a) (a, a + δ) V p (a, δ) = { R a δ < < a + δ a}. A representação gráfica pode ser vista na Figura. (b). c) Ponto de acumulação ou ponto ite: Um número a é dito ponto de acumulação de um conjunto C se, e somente se, para toda vizinhança perfurada V p (a, δ) de centro a, eiste pelo menos um ponto a tal que C e V p (a, δ). Eemplo... Se C = R, então todo elemento de C é ponto de acumulação, pois toda vizinhança de qualquer elemento de C contém uma infinidade de elementos de C. Eercício... Seja A o intervalo [, 4). Determine os pontos de acumulação de A. d) Ponto isolado: Um ponto a pertencente a C é ponto isolado de C se eiste V p (a, δ) tal que C, a então / V p (a, δ). Eemplo... Represente a vizinhança 5 <. 6 Notas de aula de Cálculo - FURG

.. MOTIVAÇÃO PARA A DEFINIÇÃO DE LIMITE Comparando com a definição de Vizinhança, tem-se que o centro é a = 5 e o raio é δ =. Para comprovar, utiliza-se a definição de módulo para encontrar o intervalo que representa a vizinhança: Assim, tem-se: 5 < < 5 <. < 5 < + 5 < 5 + 5 < + 5 9 < <. Portanto, a vizinhança é representada por V ( 5, ) = ( 9, ). A representação gráfica pode ser vista na Figura.. _ ( ) 5 5 5+ Figura.: Representação da vizinhança V ( 5, ).. Motivação para a definição de ite A idéia de ite aparece intuitivamente em muitas situações. Na Física, por eemplo, para definir a velocidade instantânea de um móvel utiliza-se o cálculo da velocidade média para o caso onde o intervalo de tempo seja muito próimo de zero. A velocidade média v m é calculada como v m = s s 0 = s t t 0 t, onde s é a posição e t é o tempo (veja na Figura.3). Então, a velocidade instantânea v i é definida como: v i = t 0 s t. 7 Notas de aula de Cálculo - FURG

.. MOTIVAÇÃO PARA A DEFINIÇÃO DE LIMITE s s s 0 t 0 Figura.3: Gráfico da posição de um móvel ao longo do tempo. t Em outras palavras, a velocidade instantânea é o ite da velocidade média quando t tende a zero. O estudo de ites serve para descrever como uma função se comporta quando a variável independente tende a um dado valor. Notação: a f() = L. Lê-se: L é o ite de f() quando se aproima de a. O matemático francês Augustin-Louis Cauchy (789-857) foi a primeira pessoa a atribuir um significado matematicamente rigoroso às frases f() se aproima arbitrariamente de L e se aproima de a. Observação... A epressão a f() = L descreve o comportamento de f() quando está muito próimo de a, e não quando = a. Eemplo... Como será o comportamento da função f() = + quando se aproimar cada vez mais de? A determinação do comportamento de f() para valores próimos de pode ser analisada de várias formas. Inicialmente, atribuem-se valores que se aproimam de para e, calculando f() para cada um desses valores, pode-se construir a Tabela : Tabela : Valores da função f() para valores próimos de.,5,9,99,999,00,0,,5 3 f(),75,7,970,99700-3,00300 3,030 3,3 4,75 7 aproimação à esquerda t s t aproimação à direita 8 Notas de aula de Cálculo - FURG

.. MOTIVAÇÃO PARA A DEFINIÇÃO DE LIMITE Primeiramente, observe que não foi colocado na Tabela o valor de f() quando =. Esse valor foi omitido, pois se deseja estudar apenas os valores de f() quando está próimo de, e não o valor da função quando =. Percebe-se que quando se aproima de (em qualquer sentido) f() se aproima de 3. Logo, pode-se dizer que f() = 3. Observe a Figura.4. Comprova-se que o gráfico da função se aproima para o mesmo valor quando está se aproimando de, tanto para valores maiores quanto para valores menores do que. 5 4 3 3 Figura.4: Gráfico de f(). y Nesse caso, o valor do ite coincidiu com o valor da função quando =, pois f() = 3. Mas nem sempre esse comportamento vai se verificar, como pode ser visto no próimo eemplo., se 3 Eemplo... Como será o comportamento da função f() = 3, se = 3 quando está cada vez mais próimo de 3? Assim como no eemplo anterior, primeiramente atribuem-se valores para e, encontrando os valores de f() correspondentes, pode-se construir a Tabela : Tabela : Valores da função f() para valores próimos de 3.,5,9,99,999 3 3,00 3,0 3, 3,5 4 f() 3 4 4,8 4,98 4,998-5,00 5,0 5, 6 7 aproimação à esquerda aproimação à direita 9 Notas de aula de Cálculo - FURG

.. MOTIVAÇÃO PARA A DEFINIÇÃO DE LIMITE Percebe-se que quando se aproima de 3 em ambos os sentidos, f() se aproima cada vez mais de 5. Logo, 3 f() = 5. Esse comportamento pode ser observado na Figura.5. 6 5 4 3 3 4 5 6 y Figura.5: Gráfico de f(). Observe que nesse caso, o valor de f() quando = 3 é f(3) = 3, justamente o ponto que se encontra fora da curva descrita por f(). Ou seja, f(3) f(). Por isso, enfatiza-se o fato de que o ite descreve o comportamento da função à medida em que se aproima de 3, e não no próprio = 3. 3, se 0 Eemplo..3. Como será o comportamento da função f() =, se < 0 quando está cada vez mais próimo de 0? Observe o gráfico da função na Figura.6. Figura.6: Gráfico de f(). Percebe-se que quando se aproima de 0 por valores menores do que 0 Notas de aula de Cálculo - FURG

.. MOTIVAÇÃO PARA A DEFINIÇÃO DE LIMITE 0, f() se aproima de e quando se aproima de 0 por valores maiores do que 0, f() se aproima de f(0) =. Ou seja, não há um único valor ao qual f() se aproima quando tende a 0. Observação... Veja os gráficos das funções f, g e h na Figura.7, e o gráfico da função i na figura.8. y L a f ( ) y g( a) L a g( ) Figura.7: Gráfico das funções f, g e h. Nota-se que nos gráficos das funções f, g e h quando se aproima de a, y se aproima de L, independente do valor de y quando = a. Assim, pode-se dizer que o ite da função f quando tende a a é L (escreve-se a f() = L) e o mesmo pode ser dito sobre as funções g e h. y L i ( a) a i ( ) Figura.8: Gráfico da função i. Já para a função i, quando se aproima de a para valores maiores que a, i se aproima de i(a), e quando se aproima de a por valores menores que a, i() tende a L. Ou seja, não há um valor único ao qual i() se aproima quando tende a a. Assim, não eiste o ite da função i para tendendo a a. y L a h( ) Notas de aula de Cálculo - FURG

.3. DEFINIÇÃO FORMAL DE LIMITE FINITO.3 Definição formal de ite finito A linguagem utilizada até aqui não é uma linguagem matemática, pois ao dizer, por eemplo, suficientemente próimo de a, não se sabe quantificar o quão próimo está de a. Então como eprimir em linguagem matemática a definição de a f() = L? (a) f() deve ser arbitrariamente próimo de L para todo suficientemente próimo de a (mas diferente de a). É necessário definir o conceito de proimidade arbitrária. Para tal, utilizam-se pequenos valores representados geralmente pelas letras gregas como ɛ (epsilon) e δ (delta), que servem de parâmetro de comparação para determinar se um valor está ou não próimo de outro. Considere um ɛ > 0, arbitrário. Os valores de f() são tais que L ɛ < f() < L + ɛ, isto é, sua distância a L é menor do que ɛ, ou seja, f() L < ɛ. Portanto, dizer que f() é arbitrariamente próimo de L é o mesmo que dizer: dado um ɛ > 0, tem-se f() L < ɛ. Assim, (a) pode ser reescrito como: (b) Dado ɛ > 0, deve-se ter f() L < ɛ para todo suficientemente próimo de a (e diferente de a). Dizer que é suficientemente próimo de a para f() L < ɛ significa dizer que a sua distância a a é suficientemente pequena para que isto ocorra, ou seja, eiste δ > 0 tal que, se a < δ e a, então f() L < ɛ. Em suma, dando um ɛ > 0 qualquer, fia-se a proimidade de f() a L. Então se a f() = L, deve ser possível encontrar um δ > 0 em correspondência a ɛ > 0, tal que para todo a cuja a distância até a seja menor que δ, tem-se a distância de f() a L menor que ɛ. A partir de (a) e (b), pode-se agora formular a definição formal de ite finito: Definição.3.. Seja uma função f com domínio D(f), a um ponto de acumulação de D(f), e L um número real, diz-se que o número L é o ite de f() com Notas de aula de Cálculo - FURG

.3. DEFINIÇÃO FORMAL DE LIMITE FINITO tendendo a a se, dado qualquer ɛ > 0, eiste δ > 0 tal que se D(f) e 0 < a < δ então f() L < ɛ. Para indicar essa definição, escreve-se a f() = L. Observe que a Definição.3. pode ser reescrita como Definição.3.. Seja uma função f com domínio D(f), a um ponto de acumulação de D(f) e L um número real. Dado ɛ > 0, eiste δ(ɛ) > 0 tal que se V p (a, δ), então f() V p (L, ɛ). Observação.3.. Na definição formal de ites, emprega-se o conceito de módulo. A ideia básica no conceito de módulo de um número real é medir a distância desse número até a origem. Por eemplo, = significa que dista duas unidades da origem da reta real 0. Teorema.3.. (Unicidade do ite) Se f() = L e f() = M, então a a L = M. Demonstração: Supondo-se por absurdo que L M. Sem perda de generalidade, podese escrever que L > M. Tomando-se ɛ = L M > 0. Se f() = L, então eiste δ > 0, tal que se 0 < a < δ a f() M < L M, então f() < L + M. (.3.) Se f() = M, então eiste δ > 0, tal que se 0 < a < δ a f() L < L M, então L + M < f(). (.3.) De (.3.) e (.3.), tem-se que para δ = min{δ, δ }, 0 < a < δ que implica que f() < f(), o que é um absurdo. Logo a suposição inicial é falsa e L = M. 3 Notas de aula de Cálculo - FURG

.4. CONSTRUÇÃO GEOMÉTRICA QUE ILUSTRA A NOÇÃO DE LIMITE.4 Construção geométrica que ilustra a noção de ite Sendo conhecidos f, a, L e ɛ, sabendo que a f() = L, necessita-se achar δ que satisfaça a definição de ite. Observe a Figura.9. Marcam-se L + ɛ e L ɛ no eio y e por esses pontos traçam-se retas paralelas ao eio, que encontram o gráfico de f nos pontos A e B. Traçando retas paralelas ao eio dos y por esses pontos, obtêm-se os pontos C e D, intersecções dessas retas com o eio. Basta tomar δ > 0 tal que a δ e a+δ sejam pontos do segmento CD. Observe que δ não é único e equivale à distância de a ao etremo mais próimo do intervalo representado pelo segmento CD. y L a f ( ) y L + L L _ A B C D a _ a a + Figura.9: Representação geométrica de ite. Eemplo.4.. Prove formalmente que 3 ( 4) =. Comparando ao ite geral a f() = L, tem-se nesse caso que a = 3, f() = 4 e L =. Assim, deve-se provar que dado qualquer ɛ > 0, eiste δ > 0 tal que se D(f) e 0 < 3 < δ então ( 4) < ɛ. Obtemos o delta procurado a partir da equação: ( 4) = 6 = 3, pois, como 0 < 3 < δ, então 3 < δ. Escolhendo δ = ɛ : ( 4) = 3 < δ = ɛ f ( ) = ɛ. Portanto, ( 4) < ɛ. 4 Notas de aula de Cálculo - FURG

.4. CONSTRUÇÃO GEOMÉTRICA QUE ILUSTRA A NOÇÃO DE LIMITE Logo, dado qualquer ɛ > 0, eiste δ = ɛ tal que se D(f) e 0 < 3 < δ então ( 4) < ɛ, que é justamente a definição de ite. Assim, 3 ( 4) =. Eemplo.4.. Prove formalmente que = 4. Comparando com o ite geral a f() = L, tem-se que a =, f() = e L = 4. Assim, deve-se provar que dado um ɛ > 0, eiste δ > 0 tal que se D(f) e 0 < < δ, então ( ) 4 < ɛ. Fatorando: 4 = +. É preciso determinar uma desigualdade envolvendo + e um valor constante. Como < δ, então supondo δ = tem-se que <. Portanto: < < < < 3 3 < + < 5. Como < δ e + < 5, então + < 5 δ. Assim, { escolhendo δ = min, ɛ }, ou seja, o menor entre os valores e ɛ 5 5, tem-se: + < 5 δ 4 < 5 ɛ 5 4 < ɛ. Logo, dado qualquer ɛ > 0, eiste δ = min 0 < < δ, então 4 < ɛ. Portanto, = 4. {, ɛ } tal que se D(f) e 5 Eemplo.4.3. Considere que = 4. Dado ɛ = 0, 05, determine δ > 0 tal que < δ sempre que ( ) 4 < ɛ. { No eemplo.4., foi visto que escolhendo δ = min, ɛ } 5 definição do ite para esse caso. Como ɛ = 0, 05, então: obtém-se a 5 Notas de aula de Cálculo - FURG

.5. LIMITES LATERAIS δ = min { }, 0,05 { 5 } = min, 00 = 00 δ = 0, 0. Assim, < 0, 0 sempre que ( ) 4 < 0, 05. Eercício.4.. Mostre que (3 + 7) =. Em seguida, dado ɛ = 0, 03, determine δ > 0 tal que (3 + 7) < ɛ sempre que + < δ., se 0 Eercício.4.. Prove que o ite de f() = quando tende a, se > 0 zero não eiste..5 Limites Laterais.5. Definição de ite à direita Seja uma função f definida pelo menos em um intervalo (a, b), diz-se que o número L é o ite de f() com tendendo a a pela direita se, dado qualquer ɛ > 0, eiste δ > 0 tal que se 0 < a < δ então f() L < ɛ. Para indicar essa epressão, escreve-se a +f() = L..5. Definição de ite à esquerda Seja uma função f definida pelo menos em um intervalo (c, a), diz-se que o número L é o ite de f() com tendendo a a pela esquerda se, dado qualquer ɛ > 0, eiste δ > 0 tal que se δ < a < 0 então f() L < ɛ. Para indicar essa epressão, escreve-se a f() = L. Teorema.5.. (Eistência do ite finito) O ite f() = L eiste e é a igual a L se, e somente se, os ites laterais a +f() e a f() eistirem e ambos forem iguais a L. Demonstração: 6 Notas de aula de Cálculo - FURG

.5. LIMITES LATERAIS Tem-se que a f() = L. Portanto, pela definição de ite, ɛ > 0 δ > 0 tal que se 0 < a < δ, então f() L < ɛ. Note que 0 < a < δ se e somente se δ < a < 0 ou 0 < a < δ. Pode-se afirmar que ɛ > 0 δ > 0 tal que e se δ < a < 0, então f() L < ɛ se 0 < a < δ, então f() L < ɛ. Finalmente, f() = L e f() = L. a a + Eemplo.5.. Considere as funções f() = a) 0 +f() b) 0 f() c) 0 f() função f(). f(a) = a a = a a f(a) =. f( a) = a a d) 0 +g() e) 0 g() f) 0 g(). e g() =. Calcule, se houver: Antes de determinar os ites solicitados será construído o gráfico da Considere um número real a > 0. Calculando o valor de f() para = a: Agora, calculando f() quando = a: = a a f( a) =. 7 Notas de aula de Cálculo - FURG

.5. LIMITES LATERAIS Como o denominador de f() não pode ser nulo, então essa função não está definida para = 0. Assim, a função f() pode ser reescrita como:, se < 0 f() = e seu gráfico pode ser visto na Figura.0 a). Na Figura, se > 0.0 b) está a representação gráfica de g() =. 3 3 3 y 3 3 a) f ( ) = b) g ( ) = Figura.0: Gráficos de f() e g(). Resolvendo cada um dos itens: a) 0 +f() corresponde ao ite lateral para tendendo a 0 pela direita. Na Figura., pode-se ver que quando se aproima de 0 pela direita, o valor de y se mantém igual a. 3 3 3 Figura.: Representação do ite lateral à direita em f(). Assim, 0 +f() =. y y 8 Notas de aula de Cálculo - FURG

.5. LIMITES LATERAIS b) 0 f() corresponde ao ite lateral para tendendo a 0 pela esquerda. Observase na Figura. que à medida que se aproima de 0 pela esquerda, y se mantém com valor igual a. 3 3 3 Figura.: Representação do ite lateral à esquerda em f(). Ou seja, 0 f() =. c) Para 0 f() eistir, os ites laterais para tendendo a 0 pela direita e pela esquerda devem eistir e serem iguais. Como foi visto nos itens anteriores, esses y ites eistem, mas são diferentes. Logo, 0 f() não eiste. Observe na Figura.3 como os valores da função não se aproimam de um mesmo valor para valores próimos de 0. 3 3 3 Figura.3: Gráfico de f(). d) Para calcular 0 +g(), analisam-se os valores de y quando se aproima de 0 pela direita. Observando o gráfico de g() na Figura.4, percebe-se que y y 9 Notas de aula de Cálculo - FURG

.5. LIMITES LATERAIS também fica cada vez mais próimo de 0 nesse sentido, ou seja, 0 +g() = 0. 3 3 y Figura.4: Representação do ite lateral à direita em g(). e) 0 g() é obtido observando o comportamento de y quando se aproima de 0 pela esquerda. Pode ser verificado na Figura.5 que y se aproima de 0 quando tende a 0 pela esquerda, então 0 g() = 0. 3 3 y Figura.5: Representação do ite lateral à esquerda em g(). f) Para 0 g() eistir, os ites laterais para tendendo a 0 pela direita e pela esquerda devem eistir e serem iguais. Foi visto nos itens anteriores que eles de fato eistem e ambos são iguais a 0. Assim, 0 g() = 0. Veja na Figura.6 como as imagens da função se aproimam do mesmo número para valores de próimos de zero. Eercício.5.. Seja a função f() =, determine, se houver: 0 Notas de aula de Cálculo - FURG

.5. LIMITES LATERAIS a) 0 f() b) 0 +f() c) 0 f(). 3 3 y Figura.6: Gráfico de g(). Eercício.5.. Para cada um dos casos a seguir, calcule o ite L, depois determine δ > 0 tal que f() L < 0, 0 sempre que 0 < a < δ. a) 5 4 b) 3 + c) + 5 + 6. + Respostas dos eercícios.5.. a) Não eiste. b) 0 +f() = 0.5.. a) 5 4 =, δ = 0, 0 3 + b) c) + 5 + 6 + =, δ = 0, 0 =, δ = 0, 0. c) Não eiste. Notas de aula de Cálculo - FURG

FURG - IMEF - FURG - IMEF - FURG - IMEF - FURG - IMEF - FURG - IMEF - FURG - IMEF - FURG - IMEF - F FURG - IMEF - FURG - IMEF - FURG - IMEF - FURG - IMEF - FURG - IMEF - FURG - IMEF - FURG - IMEF - F.6. PROPRIEDADES USADAS NO CÁLCULO DE LIMITES.6 Propriedades usadas no cálculo de ites Sejam L, M, a e k números reais e f() = L e g() = M. Então, a a as seguintes propriedades são válidas:.6. Limite de uma constante Demonstração: então k k < ɛ. O ite de uma constante é a própria constante: k = k. a Figura.7: Limite de uma constante. Seja ɛ > 0, deve-se mostrar que eiste δ > 0 tal que se 0 < a < δ, Mas como k k = 0, pode-se atribuir qualquer número positivo para δ tal que se 0 < a < δ então k k < ɛ. Logo a k = k. Eemplo.6.. Calcule os ites: a) 4 b) π. a) 4 = b) π = π. Pela propriedade.6., tem-se: Notas de aula de Cálculo - FURG

.6. PROPRIEDADES USADAS NO CÁLCULO DE LIMITES.6. Limite da função identidade O ite da função identidade f() = é o valor de a: = a. a Figura.8: Limite da função identidade. Eemplo.6.. Resolva os tes a seguir: a) 3 b). Pela propriedade.6., tem-se: a) 3 = 3 b) =. Eercício.6.. Utilizando a definição formal de ite, mostre que a = a..6.3 Limite da soma Demonstração: O ite da soma de duas funções é a soma de seus ites: {f() + g()} = L + M. a Seja ɛ > 0, considera-se ɛ para ser utilizado na definição de ite. Assim: Eiste δ > 0 tal que se 0 < a < δ, então f() L < ɛ. (.6.) 3 Notas de aula de Cálculo - FURG

.6. PROPRIEDADES USADAS NO CÁLCULO DE LIMITES Eiste δ > 0 tal que se 0 < a < δ então f() M < ɛ. (.6.) Deve-se escolher δ > 0 tal que (.6.) e (.6.) sejam verdadeiras, o que acontece para δ = min{δ, δ }. De fato: Se 0 < a < δ então f()+g() (L+M) f() L + g() M < ɛ + ɛ = ɛ. Portanto, a {f() + g()} = L + M..6.4 Limite da diferença O ite da diferença de duas funções é a diferença de seus ites: {f() g()} = L M. a Eemplo.6.3. Verifique que ( + ) = 5 e ( 4) = 5. 3 Pelas propriedades.6.3 e.6.4, tem-se: ( + ) = + = + 3 = 5 3 3 3 ( 4) = 4 = 4 = 5. Eercício.6.. Aplicando a definição formal de ite, mostre que:.6.5 Limite do produto Demonstração: {f() g()} = L M. a O ite do produto de duas funções é o produto de seus ites: {f() g()} = L M. a Deseja-se provar que a {f() g()} = L M. Primeiro demonstrarse-á um caso particular onde o produto dos ites de duas funções resulta em zero, através da definição de ite, para posteriormente, através das propriedades apresentadas nessa seção, obter a epressão procurada. 4 Notas de aula de Cálculo - FURG

.6. PROPRIEDADES USADAS NO CÁLCULO DE LIMITES Considerando o caso particular onde h é uma função tal que h() = 0, a logo deseja-se provar que [ h() f()] = 0. a Como f() = L e sendo ɛ > 0, considera-se ɛ = para ser utilizado a na definição de ite. Assim eiste δ > 0, tal que se 0 < a < δ, então f() L <. (.6.3) Pode-se escrever f() = f() L + L < f() L + L < + L, e portanto, eiste δ > 0 tal que se 0 < a < δ então h() f() < h() ( + L ). (.6.4) ɛ Assim, sendo ɛ > 0, considera-se para ser utilizado na definição + L de ite da função h tendendo a a da seguinte forma: eiste δ > 0, tal que se 0 < a < δ, então h() 0 = h() < ɛ + L. (.6.5) Para que (.6.4) e (.6.5) se verifiquem, toma-se δ = min{δ, δ }, logo eiste δ > 0, tal que se 0 < a < δ, então h() f() 0 < ( + L ) Portanto, a h() f() = 0. ɛ + L = ɛ. (.6.6) Agora, lembrando que a f() = L e a g() = M, observa-se que: f() g() L M = f() g() f() M + f() M L M = f() [g() M] + M [f() L]. Ou ainda, através da propriedade do ite da soma.6.3: [f() g() L M] = {f() [g() M] + {M [f() L]}. (.6.7) a a a a Como f() = L e g() = M, então f() L = 0 e a a a g() M = 0, e portanto, através da propriedade demonstrada no caso particular, tem-se que: f() [g() M] = 0 e g() [f() L] = 0. (.6.8) a a 5 Notas de aula de Cálculo - FURG

.6. PROPRIEDADES USADAS NO CÁLCULO DE LIMITES De (.6.7) e (.6.8), e utilizando as propriedades do ite da diferença.6.4 e do ite de uma constante.6. conclui-se que: [f() g() L M] a = 0 + 0 [f() g()] [L M] a a = 0 [f() g()] a = [L M] a [f() g()] a = L M. Logo, a [f() g()] = L M..6.6 Limite do quociente O ite do quociente de duas funções é o quociente de seus ites, desde que o ite do denominador não seja zero: a Eemplo.6.4. Resolva os ites: a) ( + ) + b) 3 3. { } f() = L g() M, M 0. Pelas propriedades.6.5 e.6.6, tem-se: a) ( + ) = ( + ) = ( + ) = 8 + ( + ) b) 3 3 = 3 (3 ) = 6 = 3. 3.6.7 Limite da multiplicação por uma constante O ite de uma constante multiplicada por uma função é a constante multiplicada pelo ite da função: {k f()} = k L. a Eemplo.6.5. Usando a propriedade.6.7, calcule os ites: 6 Notas de aula de Cálculo - FURG

.6. PROPRIEDADES USADAS NO CÁLCULO DE LIMITES a) 0 3 b) 3. a) 0 3 = 3 0 = 3 0 = 0 b) 3 = 3 = 3 ( ) = 3. Eercício.6.3. Através da definição formal de ite, sabendo que a f() = L, mostre que a {k f()} = k L..6.8 Limite da potenciação do ite da função: Demonstração: O ite da n-ésima potência de uma função é igual à n-ésima potência Ou ainda: [ ] n a [f()]n = f() = L n. a [ ] a [f()]g() = f() g() a = L M. a Reescreve-se a potência como uma multiplicação de n fatores: a [f()]n = [f() f() f()... f()]. a Da propriedade do ite do produto.6.5, tem-se: a [f()]n = f() f() f()... f(). a a a a a [f()]n = Mas como são n fatores, então: [ ] n f(). a Logo, a [f()] n = [ a f() ] n = L n. Eemplo.6.6. Usando a propriedade.6.8, resolva os ites: a) (3)4 b) 4. 7 Notas de aula de Cálculo - FURG

.6. PROPRIEDADES USADAS NO CÁLCULO DE LIMITES ( ) 4 a) (3)4 = 3 = ( 3) 4 = 8 ( ) b) 4 = 4 = 4 = 4() = 4..6.9 Limite da radiciação da função: O ite da raiz n-ésima de uma função é igual à raiz n-ésima do ite n f() = n f() = n L, a a se L > 0 e n é um inteiro positivo ou se L 0 e n é um inteiro positivo ímpar. Eemplo.6.7. Calcule os ites: a) 4 b) 5 3. Aplicando as propriedades.6.7,.6.8 e.6.9, tem-se: a) 4 = 4 = 4 = b) 5 3 = 5 3 = 5 3 = 5 6..6.0 Limite de uma função polinomial número real a, então: Demonstração: Para qualquer polinômio, p() = c 0 + c + c +... + c n n e qualquer p() = p(a). a Essa propriedade é consequência direta das propriedades do ite da soma.6.3 e do ite da multiplicação por uma constante.6.7: 8 Notas de aula de Cálculo - FURG

.6. PROPRIEDADES USADAS NO CÁLCULO DE LIMITES p() a = 0 + c + c +... + c n n ] a = c 0 + c + c +... + c n n a a a a = c 0 + c + c +... + c n n a a a a = c 0 + c a + c a +... + c n a n. Logo a p() = p(a). Eemplo.6.8. Usando as propriedades operatórias dos ites mostre que (35 + 4 4 ) = 8 e ( 4 + 4 3 + 5) = 5. 0 Pela propriedade.6.0, tem-se: (35 + 4 4 ) = 3 ( ) 5 + 4 ( ) 4 ( ) = 96 + 64 + 4 = 8 0 (4 + 4 3 + 5) = (0) 4 + 4 (0) 3 (0) + 5 = 5..6. Limite de uma função racional Seja a função racional f() = P (), então seu ite é dado por: Q() P () f() = a a Q() = P (a), desde que Q(a) 0. Q(a) Eemplo.6.9. Calcule os ites a seguir: 3 + 4 3 a) + 5 5 b). 0 3 + 4 3 a) + 5 b) 0 5 Pela propriedade.6., tem-se: = ( )3 + 4 ( ) 3 ( ) + 5 = 5 = 5. = 0 6 = 0 9 Notas de aula de Cálculo - FURG

.6. PROPRIEDADES USADAS NO CÁLCULO DE LIMITES.6. Limite do logaritmo de uma função função: O ite do logaritmo de uma função é igual ao logaritmo do ite da a { logβ [f()] } [ ] = log β f() = log β (L), L > 0, 0 < β. a Eemplo.6.0. Pela propriedade.6., tem-se: ( ) e ln( ) = ln e = ln(e ) =. Observação.6.. A propriedade.6. pode ser utilizada para logaritmos de base β tal que 0 < β. Eemplo.6.. Calcule os ites: a) 5 ( + 3) b) 3 + 5 c) ( + 5) + d) ( + 4)5 3 e) + f) 3 9 g) + [ln( + )] h) 3 [ln( 4 + 4)]. a) Como 5 ( + 3) representa o ite de uma função polinomial, então basta calcular o valor da função para = 5 (para onde está tendendo) utilizando a propriedade do ite de um polinômio.6.0. Assim: 5 ( + 3) = (5) + 3(5) = 40. Portanto, 5 ( + 3) = 40. b) Pelo fato de representar o ite de uma função racional, utilizando a 3 + 5 propriedade do ite de um quociente.6.6 basta calcular o valor dessa função para = 3, desde que o denominador não seja nulo. Então: 30 Notas de aula de Cálculo - FURG

.6. PROPRIEDADES USADAS NO CÁLCULO DE LIMITES 3 + 5 = Logo, 3 + 5 =. 3 ( ) ( + 5) = (3) (3) + 5 3 =. c) Sendo ( + 5) um ite lateral com tendendo a pela direita, pode-se + fazer uma mudança de variável para se obter uma epressão que resulte no mesmo ite solicitado. Note que se tende a por valores um pouco maiores do que, pode-se dizer que = + h, onde h é um número positivo muito próimo de zero, e assim, obtém-se: [( + h) + 5]. h 0 Observe que h é a distância de até o ponto para o qual está tendendo, assim, quando h se aproima muito de 0, ( + h) se aproima muito de pela direita, por isso as duas epressões são equivalentes. Como o lado direito da igualdade representa o ite finito de uma função polinomial, basta calcular o valor dessa função para h = 0. Assim: ( + h) + 5 = ( + 0) + 5 = 9. h 0 Portanto, ( + 5) = 9. + d) Assim como no item anterior, pode-se obter um ite que produza o mesmo resultado de ( + 4)5. Como se aproima de 3 por valores um pouco 3 menores do que 3, substitui-se por (3 h), onde h é positivo e muito próimo de zero, e obtém-se: [(3 h) + h 0 4]5. O valor de h segue representando a distância de até o ponto para onde está tendendo, nesse caso a distância até 3, e por isso se utiliza a epressão 3 h para representar valores à esquerda (menores) do que 3. E quando h tende a 0, a função se aproima do mesmo ponto de quando se aproima de 3 pela esquerda. Calculando: [(3 h) + h 0 4]5 = [(3 0) + 4] 5 = 6.807. 3 Notas de aula de Cálculo - FURG

.6. PROPRIEDADES USADAS NO CÁLCULO DE LIMITES Logo, 3 ( + 4)5 = 6.807. e) Sendo h a distância de até o ponto para onde está tendendo, substitui-se por ( + h) e obtém-se o ite: ( + h). h 0 A propriedade do ite de uma radiciação.6.9 permite que se obtenha a igualdade: ( + h) = ( + h). Como o índice da raiz é par, o h 0 h 0 ite ( + h) deve ser maior ou igual a zero para que ( + h) h 0 h 0 eista. E como ( + h) representa uma função polinomial, pode-se encontrar o ite dessa função quando h tende a zero calculando o valor dessa função para h = 0, logo: ( + h) = ( + h) h 0 h 0 ( + h) = 0. h 0 = ( + 0) Portanto, + = 0. f) Pelo fato de h representar a distância de até o ponto para onde está tendendo, substituindo por (3 h) tem-se que: 9 (3 h). h 0 Utilizando as propriedades do ite da radiciação.6.9 e do ite de um polinômio.6.0, calcula-se: 9 (3 h) = 9 (3 h) h 0 h 0 = 9 (3 0) = 9 9 9 (3 h) = 0. h 0 Portanto, 3 9 = 0. g) Sendo h a distância de até o ponto para onde está tendendo, substitui-se por ( + h) e se obtém o ite: ln[( + h 0 h) + ]. 3 Notas de aula de Cálculo - FURG

.6. PROPRIEDADES USADAS NO CÁLCULO DE LIMITES Utilizando as propriedades do ite de um logaritmo natural.6. e do ite de um polinômio.6.0, calcula-se: [ ] ln[( + h 0 h) + ] = ln ( + h 0 h) + = ln[( + 0) + ] ln[( + h 0 h) + ] = ln(). Portanto, + [ln( + )] = ln(). h) Utilizando a propriedade do ite de um logaritmo natural.6. e do ite de um polinômio.6.0, calcula-se: [ ] 3 [ln( 4 + 4)] = ln 3 ( 4 + 4) = ln [(3) 4(3) + 4] = ln() 3 [ln( 4 + 4)] = 0. Logo, [ln( 4 + 4)] = 0. 3 +, se < Eemplo.6.. Esboce o gráfico da função f() =. Calcule, se, se houver: a) + f() b) f() c) f(). O gráfico da função f() pode ser visualizado na Figura.9. a) Calcular o ite de f() quando tende a pela direita significa determinar o comportamento de f() quando assume valores muito próimos de, mas maiores que. Assim, para, f() =. Para calcular o ite lateral à direita, substitui-se por ( + h), e obtém-se o seguinte ite com h tendendo a zero: ( + h 0 h). 33 Notas de aula de Cálculo - FURG

.6. PROPRIEDADES USADAS NO CÁLCULO DE LIMITES Figura.9: Gráfico de f(). Utilizando a propriedade do ite de um polinômio.6.0, calcula-se: ( + h 0 h) = ( + 0) = 0. Logo, f() = 0. + b) Da mesma forma, quando tende a pela esquerda, significa que está assumindo valores menores que. Como para <, f() = +, então o ite lateral pode ser calculado substituindo por ( h), e obtendo o seguinte ite com h tendendo a zero: ( h) +. h 0 Utilizando a propriedade do ite de um polinômio.6.0, calcula-se: ( h) + = ( 0) + =. h 0 Portanto, f() =. c) Segundo o teorema da eistência do ite finito.5., como f() + f(), então não eiste ite de f() para tendendo a. Eemplo.6.3. A derivada de uma função f() representa a inclinação da reta tangente à curva em um ponto e é definida como f f( + h) f() () =. h 0 h Determine a derivada da função f() =. Aplicando a fórmula de f () para o caso onde f() =, calcula-se: 34 Notas de aula de Cálculo - FURG

.6. PROPRIEDADES USADAS NO CÁLCULO DE LIMITES f () = h 0 ( + h) h = h 0 + h + h h = h 0 h( + h) h f () = h 0 ( + h). Utilizando a propriedade do ite de um polinômio.6.0 ( + h) = + (0) =. h 0 Portanto, f () =. Eercício.6.4. Considere a função f() =, responda: a) Eiste f( )? Em caso afirmativo, calcule seu valor., se < 0, se 0 < <, se = b) Eiste f()? Em caso afirmativo, calcule seu valor. + c) O valor de f() é igual a f( )? + d) Eiste f()? Em caso afirmativo, calcule f(). e) Eiste f()? Justifique sua resposta. f) Os valores de f() e f() são iguais?.6.4. Resposta do eercício a) Sim, f( ) = 0. b) Sim, +f() = 0. d) Sim, f() =. e) Sim, f() =. + 4, se < < 0, se < < 3 c) Sim. f) Não. 35 Notas de aula de Cálculo - FURG

.7. LIMITES INFINITOS.7 Limites infinitos Se os valores de f() crescem indefinidamente quando tende a a, escreve-se a f() = +. Isso significa que para cada M > 0, eiste δ > 0 tal que f() > M sempre que 0 < a < δ. Veja a representação gráfica na Figura.0. f ( ) M y ( a ) a - a + f ( ) > M Figura.0: Gráfico de f(). Da mesma forma, se f() decresce indefinidamente quando tende a a, escreve-se a f() =. Formalmente, diz-se que para cada N < 0, eiste δ > 0 tal que f() < N sempre que 0 < a < δ, como pode ser visto na Figura.. N f ( ) f ( ) < N Figura.: Gráfico de f(). Definição.7.. A reta vertical = a é chamada assíntota vertical ao gráfico de f() se pelo menos uma das seguintes condições for verdadeira: 36 Notas de aula de Cálculo - FURG

.7. LIMITES INFINITOS f() = + a + f() = + a f() = a + f() =. a Observação.7.. Basta que um dos quatro ites da Definição.7. se verifique para que o gráfico de f() tenha uma assíntota vertical. Observação.7.. Uma maneira de determinar as assíntotas verticais em um gráfico consiste em investigar os pontos onde a função não está definida, pois caso a assíntota vertical seja a reta = a, então obrigatoriamente a / D(f). Eemplo.7.. Mostre que = +. 0 Deve-se mostrar que para qualquer M > 0, eiste δ > 0 tal que, sempre que 0 < 0 < δ, ou seja, 0 < < δ. Tomando-se > 0, tem-se que =. > M. (.7.) Pela desigualdade (.7.), obtém-se um indicativo para a melhor escolha de δ. Para > 0, as seguintes desigualdades são equivalentes, Assim, tomando-se δ = > M < M <, tem-se que M M. > M sempre que 0 < 0 < δ, ou seja, 0 < < δ. Eemplo.7.. Considerando a função f() =. a) Calcule 0 + f(). 37 Notas de aula de Cálculo - FURG

.7. LIMITES INFINITOS b) Determine a(s) assíntota(s) vertical(is), se houver. a) A definição de ite permite mostrar que f() = +. Deve-se mostrar 0 + que para qualquer M > 0, eiste δ > 0 tal que se 0 < < δ, então > M. Tomando-se δ = M, tem-se que < M e, portanto, f() = +. 0 + > M. Logo, b) Pela Definição.7. e pelo resultado do item anterior, conclui-se que = 0 é assíntota vertical de f() =. Para valores inteiros positivos de n, o comportamento da função f() = na vizinhança de = 0 é caracterizado no Teorema.7.. n Teorema.7.. (Comportamento da função f() = n zero) Se n é um número inteiro positivo, então 0 n = +, se n {, 4, 6, 8,...} não eiste, se n {, 3, 5, 7,...} quando tende a Eemplo.7.3. Em cada caso, calcule a f() e indique se a reta = a é assíntota vertical: a) 4 4 b) 3 ( 3) 3 + c). 0 a) 4 4 Para calcular deve-se, primeiramente, obter os ites 4 4 laterais, uma vez que para = 4 o denominador é nulo. Estudar o ite quando tende a 4 pela esquerda significa determinar o comportamento da função quando assume valores muito próimos de 38 Notas de aula de Cálculo - FURG.

.7. LIMITES INFINITOS 4, mas menores que 4. Para determinar o ite lateral à esquerda, substitui-se por (4 h) e obtém-se, 4 4 = h 0 4 h (4 h) 4 = 4 h h 0 h ( ) 4 = h 0 h +. Aplicando-se as propriedades operatórias.6.3,.6. e.6.7, 4 Pelo teorema.7., h 0 h 4 4 = 4 h 0 h. = +. Portanto, 4 = 4 h 0 h =. Repete-se o processo para obter o ite lateral à direita, ou seja, determinar o comportamento da função quando assume valores muito próimos de 4, mas maiores que 4. Para determinar o ite lateral à direita, substitui-se por (4 + h) e obtém-se, 4 + 4 = h 0 Como 4 4 + h (4 + h) 4 = 4 + h h 0 h 4 = e 4 + 4 pode-se afirmar que não eiste 4 4. ( ) 4 = h 0 h + = +. = +, (.7.) Pela Definição.7. e pelo resultado (.7.), pode-se afirmar que = 4 é assíntota vertical de f() = 4. b) 3 ( 3) Deve-se, primeiramente, obter os ites laterais, uma vez que para = 3 o denominador é nulo. h) e obtém-se, Para determinar o ite lateral à esquerda, substitui-se por (3 3 ( 3) = h 0 (3 h 3) = h 0 ( h) = h 0 h. 39 Notas de aula de Cálculo - FURG

.7. LIMITES INFINITOS c) 0 e obtém-se, Pelo Teorema.7., = +. Portanto, h h 0 3 ( 3) = h 0 h = +. Para determinar o ite lateral à direita, substitui-se por (3 + h) 3 + ( 3) = h 0 Como (3 + h 3) = h 0 h = h 0 h = +. 3 ( 3) = = +, (.7.3) 3 + ( 3) pode-se afirmar que 3 ( 3) = +. Pela Definição.7. e pelo resultado (.7.3), pode-se afirmar que = 3 é assíntota vertical de f() = ( 3). 3 + Calculam-se os ites laterais, uma vez que para = 0 o denominador é nulo. O ite lateral à esquerda é obtido substituindo-se por (0 h), 3 + 0 = h 0 3 + (0 h) 0 h = h 0 3 + h h 3 + h =. h 0 h Reescrevendo-se o quociente 3 + h como 3 + e aplicando as h h propriedades operatórias dos ites.6.9,.6.3 e.6.7 tem-se, ( ) 3 + 3 = 0 h 0 h + = 3 h 0 h +. h 0 Pelo teorema.7., = +. Portanto, h 3 + =. 0 e obtém-se, h 0 Para determinar o ite lateral à direita, substitui-se por (0 + h) 0 + 3 + = +. 40 Notas de aula de Cálculo - FURG

.8. LIMITES NO INFINITO Como 0 pode-se afirmar que 0 3 + 3 + = e 0 + não eiste. 3 + = +. (.7.4) Pela Definição.7. e pelo resultado (.7.4), pode-se afirmar que 3 + = 0 é assíntota vertical de f() =. Eemplo.7.4. Para a função f() =, calcule 3 f(). 3 Note que a função f() pode ser reescrita como, f() = 3, se > 3. 3, se < 3 Calculam-se os ites laterais, uma vez que para = 3 o denominador é nulo. O ite lateral à esquerda é obtido substituindo-se por (3 + h) e aplicando-se o Teorema.7. tem-se, obtém-se, f() = 3 + 3 + 3 = h 0 (3 + h) 3 = h 0 h = +. Para determinar o ite lateral à esquerda, substitui-se por (3 h) e f() = 3 3 3 = h 0 3 (3 h) = h 0 h = +. Pode-se então afirmar que 3 f() = +. Neste caso, diz-se que a função f() não possui ite finito quando tende a 3..8 Limites no infinito Seja uma função f definida para todo pertencente a um intervalo aberto infinito, o qual se estende na direção positiva do eio, escreve-se f() = L + se dado qualquer ɛ > 0, há um número correspondente M > 0 tal que f() L < ɛ se > M, como pode ser visto na Figura.. 4 Notas de aula de Cálculo - FURG

).8. LIMITES NO INFINITO L + L - ) f ( ) L y ) M > M Figura.: Gráfico de f(). Da mesma forma, seja f uma função definida para todo pertencente a um intervalo aberto infinito, o qual se estende na direção negativa do eio, escrevese f() = L se dado qualquer ɛ > 0, há um número correspondente N < 0 tal que f() L < ɛ se < N. Veja a representação gráfica na Figura.3. N ) y L f ( ) L + L - < N Figura.3: Gráfico de f(). Definição.8.. A reta horizontal y = L é chamada de assíntota horizontal ao gráfico de f() se f() = L ou f() = L. + Observação.8.. Basta que apenas um dos ites da Definição.8. se verifique para que se tenha uma assíntota horizontal. Observação.8.. O gráfico de uma função f() pode ter até duas assíntotas horizontais f() = L e f() = L. Veja na Figura.4. + 4 Notas de aula de Cálculo - FURG

.8. LIMITES NO INFINITO Eemplo.8.. Mostre que y L L Figura.4: Gráfico com duas assíntotas horizontais. + = 0. Deve-se mostrar que para qualquer ɛ, eiste M > 0 tal que se > M, então 0 < ɛ. Escolhendo M = ɛ, tem-se que > M e 0 < ɛ. Portanto, = 0. De acordo com a Definição.8., pode-se afirmar que y = 0 é assíntota + horizontal de f(). Para valores inteiros positivos de n, o comportamento da função f() = no infinito é caracterizado no Teorema.8.. n Teorema.8.. (Comportamento da função f() = no infinito) Se n é n um número inteiro positivo, então + = 0 e n = 0. n Eemplo.8.. Calcule os ites: a) + + b) + + c). a) Para resolver, aplica-se uma mudança de variável, considera-se u = + + +. Quando tende a infinito, a variável u também tende a infinito. Logo, 43 Notas de aula de Cálculo - FURG

.8. LIMITES NO INFINITO o novo ite pode ser escrito como Portanto, + + = 0. u +. Pelo Teorema.8., u u + u = 0. b) A solução de segue as mesmas etapas do item anterior. Aplica-se + + uma mudança de variável, considera-se u = +. Quando tende a infinito, a variável u também tende a infinito. Logo, o novo ite pode ser escrito como. Pelo Teorema.8., u = 0. Portanto, u + u = 0. + + u + c) O domínio de f() = corresponde ao conjunto D(f) = { R > }, portanto o cálculo do ite não faz sentido. Eemplo.8.3. O preço de um certo aparelho eletrônico sofre uma desvalorização ao longo do tempo t de acordo com a função p(t) = 40 + 40 unidades monetárias. + t O que acontecerá com o preço desse aparelho quando o tempo crescer indefinidamente? Para avaliar o preço do aparelho quando o tempo cresce indefinidamente, deve-se calcular o ite da função p(t) quando tende para mais infinito, ou seja, ( p(t) = 40 + 40 ). + + + t tem-se Aplicando-se as propriedades do ite da soma.6.3 e do quociente.6.6 p(t) = 40 + + + + 40 + t = 40. Isto significa que a medida que o tempo passa o preço do aparelho eletrônico sofre uma desvalorização até atingir o preço de 40 unidades monetárias..8. Limites no infinito de n A função f() = n tem os seguintes ites no infinito: a) + n = +, para qualquer n > 0. +, se n {, 4, 6, 8,...} b) n =, se n {, 3, 5, 7,...}. 44 Notas de aula de Cálculo - FURG

.8. LIMITES NO INFINITO Observação.8.3. Um polinômio se comporta como o seu termo de maior grau quando + ou. Eemplo.8.4. Calcule: a) + (8 + 3) b) (75 6 4 ). a) Para calcular + (8 + 3) deve-se lembrar que um polinômio se comporta como o seu termo de maior grau quando + ou. Portanto, neste caso, o comportamento do polinômio 8 + 3 é definido pelo termo 8 quando tende para +. Isto implica que + (8 + 3) = +. b) Para determinar (75 6 4 ) deve-se proceder da mesma forma do item a). Portanto, neste caso, o comportamento do polinômio 7 5 6 4 é definido pelo termo 7 5 quando tende para. Isto implica que (75 6 4 ) =. Eercício.8.. Calcule os ites: a) (5 ) g) 3 3 + 5 b) 0 3 c) 4 d) 3 e) 3 + 3 + 3 ( 4 + 3 + + 3 f) 4 + + ) h) 4 6 + 7 i) 3 + j) 5 5 k) ( )( ) + e l) 3 4. Resposta do eercício 45 Notas de aula de Cálculo - FURG

.9. LIMITES ESPECIAIS.8.. a) 3 b) 5 c) Não eiste. d) e) 4 f) 3 g) i) 7 3 3 4 j) Não eiste. k) 0 l).9 Limites especiais h) Não eiste. Determina-se o comportamento de uma função f de variável real nas proimidades de determinado valor da variável, calculando-se o ite de f através da aplicação das propriedades para o cálculo de ites. Em certos casos, obtêm-se epressões que não têm um significado conhecido. Observe os ites abaio: a) 0 = b) 0 4 = 0 c) 0 ( e / ) = e d) + ( ) / = 4 e) + = f) = g) ( ) = 0 + h) [ ( + )] =. + Os eemplos anteriores ilustram situações onde não é possível atribuir de imediato o valor do ite, caso ele eista. Nos itens a) - d), pode-se observar o quociente de duas quantidades variáveis que tendem a zero, chamadas infinitésimos. Nos itens de e) - h) estão representadas outras relações: infinitamente grandes com quantidades infinitamente grandes (representadas por ). Tais epressões recebem o nome de indeterminações. Nestes casos, diz-se que se deve levantar estas indeterminações. Este processo consiste, basicamente, em redefinir o próprio ite com o objetivo de einar pelo menos um infinitésimo ou um infinitamente grande. e 46 Notas de aula de Cálculo - FURG

.9. LIMITES ESPECIAIS São indeterminações as substituições obtidas no cálculo de ites que resultam em 0 0,, ou nas potências, 0 0, 0..9. Indeterminação do tipo 0 0 Função racional P () Em um ite de uma função racional do tipo, quando o denominador e o numerador forem ambos nulos em = a, fatoram-se o numerador a Q() e o denominador, cancelando seus fatores comuns. Assim, pode-se reduzir a fração à outra, onde o numerador e o denominador não sejam mais ambos nulos em = a. Se isso acontecer, obtém-se o ite por substituição na fração simplificada. Eemplo.9.. Como é o comportamento da função f() = 6 + 9 quando 3 se aproima de 3? de 3, calcula-se obtém-se Para estudar o comportamento da função f() quando se aproima 3 6 + 9. 3 Fatorando-se o numerador, tem-se 6 + 9 3 3 = 3 ( 3) 3. Simplificando e aplicando a propriedade do ite de um polinômio.6.0, 6 + 9 3 3 = 3 ( 3) = 0. Observação.9.. Observa-se que o mesmo resultado pode ser obtido efetuando-se a divisão entre os polinômios 6 + 9 e 3. Eemplo.9.. Calcule os ites: a) 6 36 6 47 Notas de aula de Cálculo - FURG

.9. LIMITES ESPECIAIS b) 3 9 + 9. a) 6 36 6 Observa-se que o grau do polinômio do numerador é maior que o grau do polinômio do denominador, portanto é possível dividir um polinômio pelo outro, obtendo-se 36 6 6 = ( + 6). 6 Aplicando-se a propriedade do ite de um polinômio.6.0, tem-se b) 3 9 + 9. 36 6 6 =. Observa-se que o grau do polinômio do numerador é menor que o grau do polinômio do denominador, portanto fatora-se o polinômio do denominador, obtendo-se 3 9 + 9 = ( )( 9). Substituindo a epressão fatorada no ite original, resulta Assim, 3 9 + 9 = 3 9 + 9 = Usando a propriedade do ite do quociente.6.6, Eemplo.9.3. Seja f() = ( )( 9). 9. 3 9 + 9 = 8. + 6, se < 3 3 8 +, se > 4 O ite f() eiste se f() = f(). +, calcule f(). 48 Notas de aula de Cálculo - FURG

FURG - IMEF - FURG - IMEF - FURG - IMEF - FURG - IMEF - FURG - IMEF - FURG - IMEF - FURG - IMEF - F FURG - IMEF - FURG - IMEF - FURG - IMEF - FURG - IMEF - FURG - IMEF - FURG - IMEF - FURG - IMEF - F.9. LIMITES ESPECIAIS O cálculo de f() utiliza a epressão que define f() para <, isto é, + 6. Escreve-se f() = + 6. Fatora-se o numerador, obtendo-se + 6 = ( )( + 3). Substituindo no ite: f() = ( )( + 3). Cancelando os fatores comuns, chega-se a f() = ( + 3). Calcula-se o último ite aplicando a propriedade do ite de uma função polinomial.6.0 e obtém-se: f() = ( + 3) = 5. O cálculo de f() utiliza a epressão que define f() para >, + isto é, 3 3 8 +. Escreve-se 4 respectivamente: e f() = + 3 3 8 +. 4 Fatoram-se os polinômios do numerador e do denominador, obtendo-se, 3 3 8 + = ( )( + )( 3) Substituindo no ite: 4 = ( )( + ). f() = + ( )( + )( 3). ( )( + ) Cancelando os fatores comuns, chega-se a f() = ( 3). + Calcula-se o último ite aplicando a propriedade do ite de uma função polinomial.6.0 e obtém-se: f() = ( 3) =. + Como f() f(), conclui-se que não eiste f(). + 49 Notas de aula de Cálculo - FURG

.9. LIMITES ESPECIAIS Função irracional Em uma função algébrica irracional, uma maneira de determinar o ite de uma função para qual a substituição direta leva a uma forma 0 é usar a técnica 0 de racionalização. Essa técnica pode ser usada para racionalizar o denominador ou o numerador. Outra forma alternativa consiste em realizar mudanças de variáveis adequadas que einem os termos de epoentes fracionários. Eemplo.9.4. Calcule os ites: a) 0 + 4 b). a) 0 + A substituição de por 0 no ite 0 indeterminação do tipo 0 0. + leva a uma Como se trata de uma função irracional, neste caso, racionaliza-se, isto é, multiplica-se o numerador e o denominador pelo termo + +, ou seja, 4 b) 0 + = ( + + ) 0 ( + )( + + ). Multiplicando os fatores do denominador ( + + ) =. 0 + 0 + Simplificando, o ite resultante fica Logo, 0 + = 0 + +. 0 + =. 4 A substituição de por no ite leva a uma indeter- minação do tipo 0. Neste caso, realiza-se uma mudança de variável de modo a 0 50 Notas de aula de Cálculo - FURG

.9. LIMITES ESPECIAIS einar os termos com epoente fracionário. Considera-se = t 4. Observa-se que quando tende a, a nova variável t também tende a. Escreve-se o novo ite: 4 = t 4 t4 t4 = t t t. Observa-se que a função obtida neste processo é racional, porém a indeterminação do tipo 0 não foi einada. Para continuar o cálculo, fatorase o denominador, isto é, escreve-se t = (t )(t + ) e se substitui 0 no ite, obtendo-se t t t = t t (t )(t + ). Simplificando os fatores comuns, chega-se ao ite de um quociente que pode ser resolvido pela propriedade.6.6: Portanto, Eercício.9.. Calcule: a) 0 3 t t (t )(t + ) = t t + =. b) 3 f) 0 c) 8 8 3 g) 4 =. 3 e) 7 49 + 3 5 + 4 5 a + 6 + 5 d), a 0 h) a a 3 4..9.. a) b) e) 56 Resposta do eercício 3 f) g) 3 c) d) 4a a h) 4 5. 5 Notas de aula de Cálculo - FURG

.9. LIMITES ESPECIAIS.9. Indeterminação do tipo f() Se + g() = ou f() g() =, divide-se o numerador e o denominador pela maior potência de que aparece no denominador. Eemplo.9.5. Determine o valor dos seguintes ites: a) + 3 3 6 5 + 9 b) + 4 + 3 + 5 c) + 6 3 7 3 + d) + 9 + + 4 + 9. a) + 3 Este ite resulta na forma indeterminada. Com o objetivo de levantar a indeterminação, divide-se o numerador e o denominador pela maior potência de do denominador (neste caso, ). Assim, + 3 = + 3 = + 3 Aplicando as propriedades do ite do quociente.6.6 e do ite da diferença.6.4, obtém-se: + 3 = + + 3 O Teorema.8. permite escrever que Portanto, + 3 = = + + 3 + 3 3 + = 0. =. 5 Notas de aula de Cálculo - FURG..

.9. LIMITES ESPECIAIS 3 6 5 + 9 b) + 4 + A tentativa de cálculo deste ite resulta na forma indeterminada. Com o objetivo de levantar a indeterminação, divide-se o numerador e o denominador pela maior potência de do denominador (neste caso, 4 ). Assim, 3 6 5 + 9 + 4 + = + 3 6 5 + 9 4 4 + 4 3 5 = + 9 4 + +. 4 Aplicando as propriedades do ite do quociente.6.6, do ite da diferença.6.4 e do ite da soma.6.3, obtém-se: 3 + 5 c) + 6 3 7 3 6 5 + 9 + 4 + = + 3 + + + O teorema.8. permite escrever que + Portanto, 5 = 0, + 9 4 = 0 e 3 6 5 + 9 + 4 + = + 5 + 9 + 4. 4 + + 3 4 = 0. = +. O cálculo deste ite resulta na forma indeterminada. Com o objetivo de levantar a indeterminação, divide-se o numerador e o denominador pela maior potência de do denominador (neste caso, 3 ). Assim, + 3 + 5 6 3 7 = Simplificando + + 3 + 5 6 3 7 = 3 + 5 3 6 3 7 3 + = + 3 + 5 3 6 7 3. 3 + 5 3 3 6 3 7. 3 3 53 Notas de aula de Cálculo - FURG

.9. LIMITES ESPECIAIS Aplicando as propriedades do ite do quociente.6.6, do ite da diferença.6.4 e do ite da soma.6.3, obtém-se: + 3 + 5 6 3 7 = + 3 + + 6 + + O Teorema.8. permite escrever que + Portanto, 3 + d) + 9 + + 4 + 9. 3 = 0 + + 3 + 5 6 3 7 = 5 3 = 0 e 0 + 6 + = 0. 5 3. 7 3 7 3 = 0. Este ite resulta na forma indeterminada. Com o objetivo de levantar a indeterminação, divide-se o numerador e o denominador pela maior potência de do denominador (neste caso, ). Assim, + + 3 + + 9 + 4 + 9 = + 3 + + 9 + 4 + 9 Efetuando as operações de divisão, escreve-se: 3 + 3 + 9 + 4 + 9 = + + 9 + 4 + + 9 3 + = + +. + 9 4 + 9. Aplicando as propriedades do ite do quociente.6.6 e do ite da soma.6.3, obtém-se: + escrever 3 + + 9 + 4 + 9 = 3 + + + + + 9 4 + 9 = 3 + + + + + + + 9 4 + 9. Utilizando a propriedade do ite da radiciação.6.9, pode-se + 3 + + 9 + 4 + 9 = 3 + + + + + + + 4 + + + 9 9 54 Notas de aula de Cálculo - FURG.