Índices de Capacidade Multivariados para Processos Autocorrelacionados

Unversdade Federal de Mnas Geras Insuo de Cêncas Exaas - Icex Deparaeno de Esaísca Índces de Capacdade Mulvarados para Processos Auocorrelaconados Avdade Copleenar Aluna: Bruna de Casro Das Bcalho Orenadora: Profa. Suel Aparecda Mngo

RESUMO Nos úlos anos, índces de capacdade de processos ê sdo usados freqüeneene para deernar se u processo é capaz de produzr ens e confordade co a olerânca especfcada. No enano, aé o oeno nenhu esudo fo publcado acerca de índces de capacdade para processos auocorrelaconados. Nese rabalho, alando as eodologas proposas por Mngo e Glóra (2004) e Kalgonda e Kulkarn (2004), apresenaos ua proposa para eses índces, ass coo, pleenaos na lnguage Mnab for Wndows u prograa para os cálculos dos esos. Palavra-chave: Índces de Capacdade Mulvarados; Auocorrelação; Mnab for Wndows.

SUMÁRIO 1 - Inrodução...1 2 Kalgonda e Kulkarn (2004) Gráfcos de Conrole de Qualdade Mulvarados para Processos Auocorrelaconados... 4 3 Índces de Capacdade Mulvarados Modfcados de Chen: Mngo e Glóra (2004)...11 4 Proposa de Índces de Capacdade para Processos Mulvarados Auocorrelaconados...15 5 Ipleenação Copuaconal... 16 6 Exeplo de Aplcação... 25 7 Consderações Fnas...29 8 Referêncas Bblográfcas... 30

1. INTRODUÇÃO A qualdade ornou-se u dos as poranes faores na decsão dos consudores na seleção de servços e produos que copee enre s. Co sso, o aperfeçoaeno da qualdade e se ornado ua avdade essencal na aor pare das organzações para aner a exsênca de clenes e a conqusa de novos ercados. O conrole esaísco de processos (CEP) é ua coleção de ferraenas ulzadas para ober esabldade e reduzr a varabldade do processo, ou seja, objeva a prevenção conra a perda de qualdade e a busca peranene da elhora. As see prncpas ferraenas do CEP são: Hsograa, Folha de Verfcação, Gráfco de Pareo, Dagraa de Causa e Efeo, Esrafcação, Dagraa de dspersão e Gráfco de conrole. Por exeplo, o gráfco de conrole por varáves avala o produo aravés de ensurações, e escala conínua, de caraceríscas qualavas, e o gráfco de conrole por arbuos classfca o produo coo defeuoso ou não defeuoso. Exse dos pos de varabldade no processo de produção denonadas de causas aleaóras e causas especas. As causas aleaóras esão presenes e qualquer processo, é ua varabldade naural que é nerene ao processo e que é resulane de uas pequenas causas essencalene neváves. Quando a varabldade é relavaene pequena, consdera-se o processo e nível aceável de desepenho e dz-se, enão, que o processo esá sob conrole esaísco. Ouras causas de varabldade, poré, pode esar presenes, coo nadequação do nsrueno de avalação, erros de operadores, aéra pra defeuosa, ec. Esas são as causas especas e, quando presenes, são geralene uo aores que a varabldade naural. Quando sso ocorre, o processo de produção se apresena e u nível de desepenho não aceável, enão o ssea de produção é do fora de conrole esaísco. Aravés do CEP busca-se enão deernar o as rápdo possível a ocorrênca de as varabldades, de odo que as ações correvas possa ser feas anes que uas undades não confores seja produzdas. O onoraeno e conrole do processo aborda dos casos: unvarado, quando há apenas ua varável sendo onorada no processo ou ua caracerísca de neresse, e

ulvarado, quando se faz necessáro o onoraeno sulâneo de duas ou as caraceríscas de qualdade. De acordo co Mongoery (2004), na práca, uos, se não a aora, dos cenáros de onoraeno e conrole do processo envolve váras varáves relaconadas. As écncas para conrole esaísco de processos unvarados são uo conhecdas e já pleenadas e dversos sofwares esaíscos. Poré, o uso da eodologa de esaísca ulvarada não e sdo cou nos processos de conrole de qualdade devdo às dfculdades nerenes das écncas ulvaradas. Ua solução possível é o onoraeno ndvdual de cada caracerísca aravés dos gráfcos de conrole. No enano, ese procedeno pode ser defcene pelo fao de se gnorar as correlações enre as caraceríscas de neresse, auenando consderavelene o erro do po 1 esabelecdo. Hoellng (1947) sugere ua solução para ese problea usando a esaísca T², conudo, o éodo proposo não denfca dreaene a(s) caracerísca(s) responsável (es) pela fala de conrole no processo. Ua alernava ao ese T² de Hoellng, é proposo no argo de Hayer & Tsu (1994). Os auores sugere a consrução de nervalos de confança para cada varável as de odo que a aberura dos les de confança leve e consderação a correlação exsene enre as varáves eddas. Ese éodo conrola o erro do po I, denfca as varáves e quanfca udanças nas édas das varáves. Esas écncas de conrole de processos ulvarados são baseadas na suposção de que os veores de observações são ndependenes. Poré, devdo a auoação dos sseas de colea dos dados, as caraceríscas de qualdade são eddas de acordo co a orde de produção, e nervalos de epo be pequenos, o que pode acarrear a presença de auocorrelação e ua ou as varáves. Kalgonda e Kulkarn (2004) propusera u procedeno de conrole para onorar o veor de édas de processos ulvarados auocorrelaconados consderando, e parcular, veores de observações que segue u odelo de séres eporas ulvarado VAR(1) auoregressvo de orde 1. O procedeno proposo esá fundaenado nas déas de Hayer e Tsu (1994). Ese éodo abé possu a habldade de denfcar as varáves responsáves pela ausênca de conrole denro do processo.

U processo esável abé pode apresenar ens defeuosos, porano se faz necessáro avalar a capacdade do processo, so é, sua capacdade de produzr ens confores, ou seja, de acordo co as especfcações esabelecdas pelos clenes. A capacdade do processo pode ser avalada aravés das análses gráfcas, na coparação de hsograas ou gráfcos seqüencas, ou aravés de índces de capacdade. Os índces de capacdade para processos unvarados, as usuas, são: Cp, Cpk e Cp. Mngo e Glóra (2004) desenvolvera índces de capacdade ulvarados odfcados de Chen, usando alguas déas sugerdas por Hayer e Tsu (1994) para avalar processos ulvarados correlaconados. O objevo dese projeo é consrur e pleenar no sofware esaísco Mnab for Wndows, os índces de capacdade ulvarados para processos auocorrelaconados, cobnando as eodologas proposas por Mngo e Glóra (2004) e Kalgonda e Kulkarn (2004). Na prera seção, ou seja, no capíulo 2 será apresenado a proposa de Kalgonda e Kulkarn (2004) para o onoraeno do veor de édas do processo; na segunda seção osraos a eodologa de Mngo e Glóra (2004) para a consrução de índces de capacdade ulvarados odfcados de Chen; na ercera seção é apresenada a proposa de índces de capacdade ulvarados para processos auocorrelaconados; na quara a pleenação copuaconal deses índces; na quna osraos u exeplo de aplcação usando os dados do argo de Nverh e Dey (2000); na sexa seção eos as consderações fnas e fnalene, as referêncas bblográfcas.

2. KALGONDA E KULKARNI (2004) GRÁFICOS DE CONTROLE DE QUALIDADE MULTIVARIADOS PARA PROCESSOS AUTOCORRELACIONADOS Kalgonda e Kulkarn (2004) propusera u procedeno de conrole para onorar o veor de édas de processos ulvarados auocorrelaconados, consderando, e parcular, veores de observações que segue u odelo de séres eporas ulvarado, VAR(1) auoregressvo de orde 1. Ese procedeno esá fundaenado nas déas de Hayer e Tsu (1994). 2.1. VAR(1) - MODELO AUTOREGRESSIVO MULTIVARIADO DE ORDEM 1 Seja Υ u veor aleaóro noral p-varado observado no epo, odelado por u processo AR(1). ( μ ) Υ = μ + Φ Υ 1 + ε (1) onde μ é o veor de édas no epo, ε é o veor de varáves aleaóras noras ndependenes co veor de édas zero e arz de covarânca Σ, e Φ é a arz de aanho p p de parâeros do odelo VAR(1). Devdo a suposção de esaconaredade de Logo, a equação (1) pode ser escra coo: ( 1 μ) Υ, μ é consane para odo epo. Υ` = μ + Φ Υ + ε (2) 2.2. MATRIZ DE COVARIÂNCIA CRUZADA Se Φ é ua arz nula, enão o odelo da equação (2) se reduz a: Υ = μ + ε (3) Caso conráro, Φ afea a arz de covarânca do odelo. Enão, precsaos ober ua arz de covarânca cruzada para o odelo VAR(1). Seja Γ (, + h) a arz de covarânca cruzada enre Υ e Υ +h, sendo que o eleeno correspondene a lnha e a coluna j, é dado por:

{ ( Υ μ ) ( Υ ) } γ ( ) (4) j h = E j + h μ j + h Devdo a suposção de esaconaredade, μ é ua consane, Γ (, + h) será ua função de lag h, que pode ser escra coo Γ ( h). onde A arz de correlação cruzada ρ ( h) de lag h, é dada por: ρ 1 1 2 2 ( h) = V Γ( h) V ( γ ( ), γ ( 0),..., γ ( 0) ) 11 0 22 pp, dgaos μ e V = dag (6) e γ (0) é a varânca correspondene a varável, = 1,2,..., p, ou seja, é o eleeno da - ésa lnha e da -ésa coluna da arz de covarâncas cruzada de lag 0. Quando Φ e Σ são dados, usando as equações de Yule-Walker (Moren e Tolo, 2004), obeos a arz de covarâncas cruzada de lag 0, dada por: ` ( ) = ΦΓ( 0) Φ + Σ logo, ρ ( 0) pode ser obdo soluconando-se a equação (7). Γ 0 (7) (5) 2.3. PROCEDIMENTO DE CONTROLE PROPOSTO POR KALGONDA E KULKARNI (2004) Suponha que Υ é u veor aleaóro p-varado observado no epo, odelado por u processo VAR(1), auoregressvo de orde 1. Logo, Υ ~ N p ( μ, Γ(0)) (8) Se o processo esá sob conrole, enão { Υ } segue ua dsrbução noral ulvarada co veor de édas ( μ μ μ ) ` μ 0 = 10, 20,..., p0 e arz de covarâncas cruzada Γ( 0). O processo é consderado fora de conrole se pelo enos ua desas hpóeses, Ho = μ = μ0, = 1,2,..., p não é verdadera. A esaísca de ese proposa por Kalgonda e Kulkarn (2004) para avalar se o processo esá ou não sob conrole é: y μ 0 Z =, = 1,2,..., p γ (0) (9)

onde γ (0) é a raz quadrada de γ (0). Sob H, Z segue ua dsrbução noral padrão. Coo conseqüênca, quando o processo esá sob conrole, obeos: [ C, = 1,2,..., ] = 1 α Pr 0 Z ρ (0), α p 0 H (10) onde C ρ (0),α é ua consane que pode ser obda quando a equação (10) é sasfea para u deernado nível de sgnfcânca. Coo Y ' s são correlaconados enre s e os Z ' s abé são, C depende da esruura da arz de covarâncas cruzada de Υ. ρ (0),α Logo o processo esará sob conrole se: μ 0 Cρ (0), αγ ( 0) Y μ0 + Cρ (0), αγ (0), = 1,2,..., p (11) Equvaleneene, o processo pode ser consderado sob conrole se: Z [ Z ] ρ ( 0, )α = Max 1 p C (12) 2.4. GRÁFICO Z Os passos para a consrução do gráfco Z de conrole de qualdade ulvarado para processos auocorrelaconados, são os segunes: 1. Seja os les de conrole: LIC = 0 e LSC = C. 2. Calcular Z Max [ Z ] 3. Ploar os valores de Z. = 1. p ρ ( 0, )α 4. Se os valores de esvere denro do nervalo, enão o processo é consderado sob Z conrole. Caso conráro, o processo esá fora de conrole. A denfcação da varável responsável, pela fala de conrole no processo, é fea analsando-se os valores de Z s, = 1,2,..., p para cada varável.

2.5. OBTENÇÃO DE C ρ (0), α O valor de C ρ (0),α pode ser obdo usando u procedeno de sulação, dado o valor de α e a arz de correlação cruzada ρ (0). Os passos para a obenção dese valor críco de acordo co Kalgonda e Kulkarn (2004) são: 1. Gerar u núero grande N * de veores de Υ segundo ua dsrbução noral ulvarada co éda zero e arz de covarânca ρ (0). 2. Calcular Z para cada u deses veores. 3. A ordenada correspondene ao percenl de orde ( 1 α) da dsrbução epírca de Z é a esava do pono críco C. ρ (0), α 2.6. EXEMPLO DE APLICAÇÃO (KALGONDA E KULKARNI, 2004) Consdere u veor bvarado = ( Y Y ) ' Υ onde abas as varáves segue u, 1 2 odelo de séres eporas, AR(1). O veor de édas μ 0, a arz de parâeros Φ e a ' 1 0,5 arz de covarânca Σ são dados por: μ 0 = (0,0) ; Φ = dag(0,5;0,7); Σ =. 0,5 1 Γ γ γ Usando a equação (7), obeos a arz de covarâncas cruzada coo se segue: ' ( 0) = ΦΓ( 0) Φ + Σ Γ( 0) 11 21 γ 12 0,25γ 11 = γ 22 0,35γ 21 0,5 0 γ 11 γ 12 0,5 0 1 0,5 = + 0 0,7 γ 21 γ 22 0 0,7 0,5 1 0,35γ 12 1 0,5 γ 11 γ 12 0,25γ 11 + 1 0,35γ 12 + 0,5 + = 0,49γ 22 0,5 1 γ 21 γ 22 0,35γ 21 + 0,5 0,49γ 22 + 1 γ γ γ 11 12 22 = 0,25γ = 0,35γ = 0,49γ 11 11 22 + 1 γ 11 + 0,5 γ + 1 γ 22 = 1,333 12 = 0,7692 = γ = 1,9608. 21 Ass, a arz de correlação cruzada de lag 0 é: Γ 1,333 0,7692 0,7692 ( 0 ) = 1,9608 * Segundo Hayer e Tsu (2004) N * deve ser u valor próxo de 100000. No enano, Mngo e Glóra (2004) osra que N * =10000 fornece resulados adequados.

ρ 1 0,4757 0,4757 ( 0) = No argo de Kalgonda e Kulkarn (2004), os auores sulara quaro processos, A, B, C e D, cada u co 5 veores de observações. O processo A não eve nenhua udança na éda; para os ouros processos, as udanças nas édas, pode ser vsualzadas na Tabela 1. 1 μ I 0 10 Tabela 1: Mudanças na éda de quaro processos sulados Processos A B C D μ Nenhua udança Nenhua udança μ 2 μ 2 μ Nenhua udança 1 20 20 + 10 + 10 μ Nenhua udança Nenhua udança A Tabela 2 apresena nas colunas 3 e 4 as cnco observações para cada u dos quaro processos, na coluna 5 a esaísca de ese Z 1 Z 2 valores de e respecvaene. Z e as colunas 6 e 7 fornece os Tabela 2: Cálculo da esaísca de ese Z para os processos A, B, C e D Y 1 Processo Núero da observação 1-1,723-1,433 1,493 2 0,696 0,438 0,602 A 3-0,097-0,657 0,469 4-1,167-0,589 1,011 5-0,027-1,806 1,290 1 1,336 1,683 1,202 2 0,729 1,710 1,221 B 3 0,625 2,503 1,782 4 3,142 5,136 3,668* 2,721 3,668* 5 2,454 4,887 3,490* 2,125 3,490* 1 4,137 2,879 3,583* 3,583* 2,056 2 3,753 2,204 3,251* 3,251* 1,574 C 3 3,818 2,224 3,307* 3,307* 1,588 4 4,508 3,227 3,905* 3,905* 2,304 D Y 2 Z Z 1 Z 2 5 3,401 3,272 2,945 1-2,602 0,429 2,253 2 4,736 0,229 4,102* 4,102* 0,164 3-4,087-0,843 3,539* 3,539* 0,602 4-5,035-1,439 4,361* 4,361* 1,028 5-5,573-1,889 4,825* 4,825* 1,349

Os valores de A Fgura 1 apresena os gráfcos de conrole Z para cada u dos quaro processos. Z são ploados nos gráfcos 1, 2, 3 e 4 para cada u dos processos, A, B, C e D respecvaene. O le superor de conrole nos gráfcos é obdo por sulação, consderando u nível de sgnfcânca α = 0,05, resulando e C ρ ( 0 ), α = 3, 012. O le nferor de conrole é 0. 3 LSC=3,012 4 2 3 LSC=3,012 Z 2 1 Z 1 0 LIC=0 0 LIC=0 1 2 3 4 Núero da observação 5 1 2 3 4 Núero da observação 5 Gráfco 1: Gráfco de conrole Z Processo (A) Gráfco 2: Gráfco de conrole Z Processo (B) 4 5 3 LSC=3,012 4 3 LSC=3,012 Z 2 2 1 Z 1 0 LIC=0 0 LIC=0 1 2 3 4 Núero da observação 5 1 2 3 4 Núero da observação 5 Gráfco 3: Gráfco de conrole Z Processo (C) Gráfco 4: Gráfco de conrole Z Processo (D) Fgura 1: Gráfcos de conrole Z para os processos A, B, C e D.

2.7. RESULTADOS Pela Fgura 1 observa-se que soene o processo A esá sob conrole, pos odos os ponos esão denro dos les nferor e superor Os processos B, C e D ndca claraene a suação de fala de conrole pos, u núero subsancal de ponos esão aca do le superor. A denfcação da(s) varável(es) responsável (es) pelo processo esar fora de conrole é realzada coparandose os valores de e Z 2 dados na Tabela 2 co o valor C ( ) 3, 012. A varável que Z 1 ρ 0, α = apresenar o valor de Z, = 1,2 aor que 3,012 é a causadora da fala de conrole do processo (os valores arcados co * na Tabela 2, denfca a varável responsável pela fala de conrole). As conclusões sobre os processos B, C e D são apresenadas a segur: O processo B esá fora de conrole, observações 4 e 5, devdo a udanças na éda da varável Y 2. O processo C esá fora de conrole, observações 1-4, devdo a udanças na éda da varável Y 1. E o processo D esá fora de conrole, observações 1-4, devdo a udanças na éda da varável. Y 1

3. ÍNDICES DE CAPACIDADE MULTIVARIADOS MODIFICADOS DE CHEN : MINGOTI E GLÓRIA (2004) Os índces de capacdade do processo são usados para avalar se o processo é capaz de aender as especfcações esabelecdas pelos clenes. Mngo e Glóra (2004) desenvolvera índces de capacdade ulvarados odfcados de Chen para processos não auocorrelaconados noras ulvarados, usando alguas déas sugerdas por Hayer e Tsu (1994). 3.1. HAYTER E TSUI (1994) : LIMITES DE CONTROLE CORRIGIDOS ` Seja Χ = ( Χ1 Χ2... Χ p neresse. Suponha que μ = ( 1 2 0 μ0μ0... μ p 0 ) ` Χ ) u veor conendo as caraceríscas de qualdade de enha ua dsrbução noral p-varada co veor de édas e arz de covarânca Σ. Os les de conrole de ( 1 α ) 100% p p para cada varável Χ, = 1,2,..., p são dados por: 0 Χ μ P CR α, = 1,2,..., p = 1 α (13) σ Iso é, a probabldade que o nervalo [ ± C ] cada 0 Χ conenha o verdadero valor de para σ Rα = 1,2,..., p, é gual a ( 1 α ), 0 < α < 1. O valor críco depende da arz de C Rα μ correlação eórca P p p do veor aleaóro Χ. Consequeneene, a esruura de correlação de se: Χ afea odos os nervalos sulaneaene. O processo é consderado fora de conrole 0 Χ μ M = Max, = 1,2,..., p > C σ Rα (14) C Rα O valor de é obdo por sulação de aosras co dsrbução noral p- varada co éda zero e arz de covarânca P p p. Ese procedeno é slar à aquele ulzado na obenção de C ρ ( 0, )α. Ver Mngo e Glóra (2004) para as nforações sobre C Rα o algoro de sulação usado para enconrar.

3.2. ÍNDICE DE CAPACIDADE MULTIVARIADO DE CHEN : onde S μ Seja V a regão de especfcação do processo defnda coo: V p S { Χ R : Χ r, = 1,2,..., p } = μ (15) é a éda de especfcação para a varável Χ e r, = 1,2,..., p, são as consanes de especfcação do processo. O índce de capacdade de Chen é defndo coo: onde r é al que: 1 MC p = r S Χ μ P Max, = 1,2,..., p r = 1 α (16) r O processo é consderado capaz se MC p é aor que 1 e ncapaz caso conráro. O valor de r é obdo usando a função de dsrbução acuulada FH da varável H defnda coo: H 0 Χ μ = Max, = 1,2 p σ,..., (17) A slardade enre as equações (13), (14), (16) e (17) pode ser usadas para consrur índces de capacdade cobnando as eodologas de Hayer e Tsu (1994) e Chen (1994). 3.3. ÍNDICES DE CAPACIDADE MULTIVARIADOS MODIFICADOS DE CHEN Ao nvés de usar algu procedeno nuérco para enconrar a consane r usando a dsrbução eórca da varável H e a equação (17), ese pode ser obdo usando o procedeno de sulação para obenção do valor críco C Rα (Mngo e Glóra, 2004). Fora desenvolvdos rês índces de capacdade correspondenes às segunes especfcações: o veor de édas do processo é gual ao veor de édas de especfcação, o processo não esá cenrado no veor de édas de especfcação e os les de especfcação não esão cenrados no veor de édas nonas de especfcação, que serão apresenados a segur, al proposo por Mngo e Glóra (2004).

Prero Caso: O veor de édas do processo é gual ao veor de édas de especfcação Consderando a regão de especfcação V defnda e (15), 0 S μ = μ, = 1,2,..., p, e usando o procedeno de obenção do valor de eos que: C, para u valor fxo de α, 0 < α < 1, Rα S Χ μ P Max, = 1,2,..., p CR α = 1 α (18) r Porano o processo será consderado capaz para odo = 1,2,..., p se: ou equvaleneene se: r σ C Rα 1 (19) σ CR α 1 r Enão, o índce de capacdade ulvarado do processo pode ser defndo coo: (20) r C p = n, = 1,2,..., p σ CRα (21) O processo é consderado capaz se C p é aor ou gual a 1. Segundo Caso: O processo não esá cenrado no veor de édas de especfcação E uas suações o processo esá sob conrole esaísco as não esá cenrado no veor de édas de especfcação. O índce C p defndo e (21), ass coo o MCp defndo por Chen, não são sensíves às udanças na éda do processo. No caso unvarado derva-se o índce C pk para soluconar ese po de problea, desa fora, adoa-se algo slar para defnr u coefcene ulvarado. Seja LIE e LSE os les nferor e superor de especfcação para a C pk caracerísca de qualdade Χ e x é a éda esada do processo para a varável Χ.

Enão, o coefcene ulvarado C pk é defndo coo: x LSE x LIE C = pk n ;, = 1,2,..., p CR α CR α (22) e Consderando que r 1 = μ LIE e r 2 e = LSE μ onde μ e é a éda de especfcação de, enão a equação (22) é gual a: Χ e 1 e 2 x ( μ r ) ( μ + r ) x C = pk n ;, = 1,2,..., p (23) CR ασ CR ασ E porano, esa equação leva e cona possíves desvos dos valores da éda do processo para os valores édos de especfcação. A equação (22) é gual a equação (21) quando o veor de édas do processo esá cenrado no veor de édas de especfcação. Tercero Caso: Os les de especfcação não esão cenrados no veor de édas nonas de especfcação Seja LIE e LSE defndos anerorene as não necessaraene cenrados na éda de especfcação. Enão o índce de capacdade ulvarado é defndo coo: onde { C, 1,2 p } C p = n p =,..., (24) 1 2 r + r C p =, = 1,2,..., p 2σ C Rα (25) sendo σ o desvo padrão de.o processo é consderado capaz se é aor ou gual a 1. Χ C p

4. PROPOSTA DE ÍNDICES DE CAPACIDADE PARA PROCESSOS MULTIVARIADOS AUTOCORRELACIONADOS A proposa de índces de capacdade para processos ulvarados auocorrelaconados é cobnar a eodologa de Mngo e Glóra (2004) e Kalgonda e Kulkarn (2004). Para levar e consderação a auocorrelação que pode exsr enre os veores de observações, o valor de C é subsuído pelo C nas fórulas (18) (25). Rα ρ (0), α

5. IMPLEMENTAÇÃO COMPUTACIONAL Nesa seção apresenaos o funconaeno da acro cpa desenvolvda no sofware esaísco Mnab for Wndows, versão 14, para o cálculo de índces de capacdade ulvarados para processos auocorrelaconados. É porane salenar que a acro cpa funcona soene nesa versão do prograa, pos o coando noral que gera veores aleaóros co dsrbução noral ulvarada, usado na acro, não esá dsponblzado nas versões anerores do sofware. Exse duas foras dsnas do usuáro enrar co as nforações para a análse dos índces de capacdade. Na prera o usuáro enra co os dados 1 nas colunas da planlha de rabalho, ou seja, co as caraceríscas de qualdade de neresse na workshee do Mnab. Na segunda espera-se que o usuáro já enha a arz de covarâncas dos resíduos, o veor de parâeros Φ e o veor de édas calculados pelo odelo auoregressvo de orde 1, VAR(1). Esas nforações abé deve esar dsposas nas colunas da planlha de rabalho. As Fguras 2 e 3 exeplfca a fora de enrada dos dados para o prero e para o segundo caso respecvaene. 1 A pare decal do núero é separada por vírgula na planlha de rabalho, poré o pono é que é consderado o separador decal quando o usuáro fornece os les nferores, superores e as édas de especfcação.

Fgura 2: Exeplo da enrada dos dados para o prero caso. Observaos pela Fgura 2 que o usuáro esá avalando duas caraceríscas, co 10 valores cada ua, que esão arazenadas nas colunas C1 e C2 da workshee.

Fgura 3: Exeplo da enrada dos dados para o segundo caso. A Fgura 3 osra que o usuáro nseru nas colunas C1 e C2 a arz de covarâncas dos resíduos, na coluna C3 os parâeros Φ e na coluna C4 as édas das duas varáves que serão avaladas. Para ncar a acro o usuáro deve clcar na sesson wndow para orná-la ava, r e Edor e Enable coands. Quando o prop de coando do Mnab, MTB >, aparecer, o usuáro deverá chaar a acro dgando %cpa; e aperar ener. Esaos supondo que o arquvo cpa.ac esá denro do dreóro Macros do Mnab. Caso o usuáro eseja lendo o arquvo do dsquee, por exeplo, deverá dgar %a:/cpa; e aperar ener. Iso é, o usuáro deverá sepre nforar o dreóro onde o arquvo cpa.ac esá arazenado. E subcoandos, SUBC>, o usuáro deve fornecer as colunas onde as nforações esão arazenadas e poderá escolher o nível de sgnfcânca e o núero de sulações para o cálculo de C ρ (0),α. O valor de defaul para o nível de

sgnfcânca 2 é dado e porcenage e é gual a 5 (α =0,05 ) e do núero de sulações 3 é 10000. Os subcoandos são dferenes para o prero e segundo caso de enrada dos dados. No prero caso os subcoandos são lusrados na Fgura 4. MTB > %cpa; SUBC> dados c1-c2; SUBC> alfa 6; SUBC> a 11000. Fgura 4: Subcoandos para o prero caso de enrada dos dados. No prero subcoando o usuáro deve dgar dados e nforar as colunas onde as varáves esão arazenados. Nese exeplo, eos duas caraceríscas que esão dsposas nas colunas C1 a C2. É porane desacar que as varáves deve ser arazenadas de fora conínua na planlha, ou seja, enre as colunas onde os dados esão dsposos não deve haver nenhua coluna vaza. O próxo subcoando é opconal, o usuáro dga alfa e escolhe o valor do nível de sgnfcânca (e porcenage). No exeplo aca o ndvíduo escolheu α =6. O ercero e úlo subcoando a ndca o núero de sulações para o cálculo de Cρ (0),α e abé é opconal. O usuáro deve dgar a e escolher o núero de sulações. Nese caso o usuáro escolheu 11000 sulações. A orde dos subcoandos pode ser escolhda pelo usuáro lebrando que o subcoando dados não é opconal, soene os coandos alfa e a são opconas. Para fnalzar os subcoandos e rodar a acro o usuáro deve dgar pono e se quser connuar co os subcoandos deve dgar pono e vírgula. Alguns exeplos de coo ncar a acro são apresenados na Fgura 5. 2 Nas análses esaíscas o nível de sgnfcânca as usual é α =0,05. 3 O valor de defaul gual a 10000 para o núero de sulações esá baseado no argo de Mngo e Glóra (2004).

MTB > %cpa; SUBC> dados c1-c2. MTB > %cpa; SUBC> dados c1-c2; SUBC> alfa 6; SUBC> a 11000. MTB > %cpa; SUBC> a 11000; SUBC> dados c1-c2. MTB > %cpa; SUBC> dados c1-c2; SUBC> alfa 6. MTB > %cpa; SUBC> dados c1-c2; SUBC> a 11000. SUBC> alfa 6. MTB > %cpa; SUBC> alfa 6; SUBC> a 11000; SUBC> dados c1-c2. MTB > %cpa; SUBC> dados c1-c2; SUBC> a 11000. MTB > %cpa; SUBC> alfa 6; SUBC> dados c1-c2. MTB > %cpa; SUBC> a 11000; SUBC> alfa 6; SUBC> dados c1-c2. Fgura 5 - Exeplos de ncalzação da acro para o prero caso. Na Fgura 6 osraos o segundo caso de enrada dos dados: MTB > %cpa; SUBC> cova c1-c2; SUBC> pars c3; SUBC> edas c4; SUBC> alfa 4; SUBC> a 11000. Fgura 6: Subcoandos para o segundo caso de enrada dos dados. No prero subcoando o usuáro deve dgar cova e nforar as colunas onde esá arazenada a arz de covarânca resdual. Nese exeplo, que esaos avalando duas caraceríscas, a arz esá arazenada nas colunas C1 a C2. O próxo subcoando é pars, onde o usuáro deve ndcar e qual coluna os parâeros Φ calculados pelo odelo VAR(1) esão dsposos. Nese exeplo os parâeros esão na coluna 3, ou C3. Depos o usuáro fornece a coluna onde esão as édas das caraceríscas abé calculadas pelo odelo auoregressvo de orde 1 dgando edas e ndcando a coluna. Os subcoandos cova, pars e éda não são opconas e a orde dos subcoandos abé pode ser aleaóra coo fo explcado anerorene.

A prera eapa do prograa calcula o valor de Cρ (0),α e dsponblza na sesson wndow quando esaos rabalhando co o caso 1 de enrada dos dados: a éda, o desvopadrão e a varânca dos dados, o veor de édas e o veor de parâeros calculados pelo odelo AR(1), a arz de covarânca dos resíduos, a arz de covarânca e correlação cruzada de lag zero e o valor de C ρ (0),α. Iso é lusrado pela Fgura 7 ulzando os dados apresenados na Fgura 2. Nese exeplo ulzaos u nível de sgnfcânca porcenage) e 10000 sulações. α =5 (e O usuáro nforou os dados: PRIMEIRA PARTE : Inforações fornecdas pelos dados para o cálculo dos índces de capacdade ulvarados Méda dos dados MED 0,285272 0,433219 Desvo-padrão dos dados DP 0,834491 1,316528 Varânca dos dados VAR 0,696375 1,733247 Veor de édas calculadas pelo odelo AR(1) MD 0,280223 0,388859 Veor de parâeros ph do odelo AR(1) MP -0,0447021-0,3445211 Marz de covarânca dos resíduos do odelo AR(1) Marx MCOVA 0,694979 0,10749 0,107494 1,54308 Marz de covarânca cruzada de lag zero Marx MGAMA 0,696371 0,10918 0,109176 1,75090 Marz de correlação cruzada de lag zero Marx MCORR 1,00000 0,09887 0,09887 1,00000 Valor de c rô zero alfa CROZALFA 2,22418 Fgura 7: Saída da acro para a prera eapa do prograa.

Quando o usuáro fornece a arz de covarânca dos resíduos, os parâeros Φ e as édas das varáves, o prograa pre os resulados coo osrado na Fgura 8. Esaos ulzando as nforações da Fgura 3 que são as esas do exeplo de aplcação apresenado na seção 2.6 dese relaóro. Nese caso, usaos α = 0, 5 (e porcenage) e 10000 sulações ass coo fo feo no argo de Kalgonda e Kulkarn (2004). O valor de Cρ (0),α confore Fgura 8. calculado é uo próxo do valor fornecdo no rabalho deses auores, O usuáro nforou a arz de covarânca dos resíduos do odelo AR(1), a coluna de parâeros do odelo e a coluna de édas das caraceríscas de neresse: PRIMEIRA PARTE : Inforações fornecdas pelos dados para o cálculo dos índces de capacdade ulvarados Veor de édas calculadas pelo odelo AR(1) C4 0 0 Veor de parâeros ph do odelo AR(1) C3 0,7 0,5 Marz de covarânca dos resíduos do odelo AR(1) Marx MCOVA 1,0 0,5 0,5 1,0 Marz de covarânca cruzada de lag zero Marx MGAMA 1,96078 0,76923 0,76923 1,33333 Marz de correlação cruzada de lag zero Marx MCORR 1,00000 0,47574 0,47574 1,00000 Valor de c rô zero alfa CROZALFA 3,00495 Fgura 8: Saída da acro para a prera eapa do prograa.

A segunda pare do prograa, que é gual para os dos casos de enradas dos dados, calcula os índces de capacdade ulvarados, e C p C pk p 4 C para processos auocorrelaconados. O usuáro deverá nforar, nesa orde, os les nferores, superores e as édas de especfcação. É porane desacar que o usuáro deve enrar co os dados anendo sepre a esa orde das varáves envolvdas no processo. Por exeplo, se ele nfora que os dados esão nas colunas C1 a C2, enão quando lhe é peddo os les e édas de especfcação, ese deve sepre dgar os valores da prera varável, que esá arazenada na coluna 1, e depos os valores da segunda varável. Poserorene o usuáro escolhe qual índce que deseja calcular dgando 1 se é o índce C p, 2 se é o e 3 se é o. A acro é fnalzada co o dígo 4. C pk C p A Fgura 9 apresena os resulados da segunda pare do prograa ulzando as nforações da Fgura 3. SEGUNDA PARTE: CÁLCULO DOS ÍNDICES DE CAPACIDADE MULTIVARIADOS Infore os les nferores de especfcação: ATENÇÃO: O usuáro deve enrar co os dados anendo sepre a esa orde das varáves envolvdas no processo. DATA> -3-4 Infore os les superores de especfcação: ATENÇÃO: O usuáro deve enrar co os dados anendo sepre a esa orde das varáves envolvdas no processo. DATA> 4 5 Infore o veor de édas de especfcação. ATENÇÃO: O usuáro deve enrar co os dados anendo sepre a esa orde das varáves envolvdas no processo. DATA> 0 0 Escolha o índce de capacdade ulvarado que deseja calcular: 1 - Prero caso: O veor de édas do processo é gual ao veor de édas de especfcação. Cálculo do índce CPM. 2 - Segundo caso: O processo não esá cenrado no veor de édas de especfcação. Cálculo do índce CPKM. 3 - Tercero caso: Os les de especfcação não esão cenrados no veor de édas nonas de especfcação. Cálculo do índce CPMM. 4 - Sar Fgura 9: Cálculo dos índces de capacdade ulvarados - segunda eapa do prograa. 4 Os índces, e são apresenados no prograa coo CPM, CPKM e CPMM respecvaene. C p C pk C p

Connuação da Fgura 9 DATA> 3 Veor dos índces de capacdade ulvarado CPI para cada ua das caraceríscas de neresse: CPI 0,83180 1,29690 Índce de capacdade ulvarado - CPMM ID_CPMM 0,831795 O processo não é capaz. Escolha o índce de capacdade ulvarado que deseja calcular: 1 - Prero caso: O veor de édas do processo é gual ao veor de édas de especfcação. Cálculo do índce CPM. 2 - Segundo caso: O processo não esá cenrado no veor de édas de especfcação. Cálculo do índce CPKM. 3 - Tercero caso: Os les de especfcação não esão cenrados no veor de édas nonas de especfcação. Cálculo do índce CPMM. 4 - Sar DATA> 4 MTB > Fgura 9: Cálculo dos índces de capacdade ulvarados - segunda eapa do prograa. Pela Fgura 9 observaos que os les nferores de especfcação são -3 e -4, os les superores são 4 e 5 e as édas de especfcação são 0 e 0. Coo os les de especfcação não esão cenrados no veor de édas nonas de especfcação, calculaos soene o índce de capacdade ulvarado C p. Sendo o índce C p = 0,831795 enor que 1, o processo não é capaz. A acro abé apresena o veor C p co os valores do índce C p para cada caracerísca de neresse.

6. EXEMPLO DE APLICAÇÃO Nesa seção lusraos u exeplo de aplcação usando dados reas de avões apresenados no argo de Nver e Dey (2000). Os les nferores e superores e as édas de especfcação são fornecdos nese argo. Esaos avalando 9 caraceríscas e usando u nível de sgnfcânca α =5 (e porcenage) e 10000 sulações. A Fgura 10 apresena a dsposção dos dados na planlha e a Fgura 11 os resulados. Fgura 10: Caraceríscas dos avões dsposas na workshee do Mnab. Nese exeplo de aplcação cada caracerísca de neresse possu 50 observações. Na Fgura 10 apresenaos as preras observações.

MTB > %cpa; SUBC> dados c1-c9. Execung fro fle: C:\Arquvos de prograas\minitab 14\MACROS\cpa.MAC O usuáro nforou os dados: PRIMEIRA PARTE : Inforações fornecdas pelos dados para o cálculo dos índces de capacdade ulvarados Méda dos dados MED 6,3951 0,5971 8,2979 7,8942 22,0492 1,8544 6,3932 3,0468 23,6792 Desvo-padrão dos dados DP 0,0002788 0,0011516 0,0011586 0,0004892 0,0003033 0,0003429 0,0008697 0,0019010 0,0003769 Varânca dos dados VAR 0,0000001 0,0000013 0,0000013 0,0000002 0,0000001 0,0000001 0,0000008 0,0000036 0,0000001 Veor de édas calculadas pelo odelo AR(1) MD 6,3951 0,5971 8,2979 7,8942 22,0492 1,8544 6,3932 3,0468 23,6792 Veor de parâeros ph do odelo AR(1) MP 0,0118782 0,2424965-0,1932701-0,2256669 0,1029317 0,3308603 0,0849436 0,4350308 0,1954095 Marz de covarânca dos resíduos do odelo AR(1) Marx MCOVA 0,0000001-0,0000001 0,0000001 0,0000000-0,0000000 0,0000000-0,0000001 0,0000012 0,0000002 0,0000000 0,0000001-0,0000001 0,0000001 0,0000002 0,0000013-0,0000001 0,0000000 0,0000001 0,0000000 0,0000000-0,0000001 0,0000002 0,0000000-0,0000000-0,0000000 0,0000001 0,0000000 0,0000000 0,0000001 0,0000000 0,0000000-0,0000001 0,0000001-0,0000000 0,0000000 0,0000001 0,0000000 0,0000000 0,0000000-0,0000000 0,0000000-0,0000000-0,0000001-0,0000000 0,0000001-0,0000002-0,0000001 0,0000000-0,0000000 0,0000000-0,0000001-0,0000000-0,0000000-0,0000000 0,0000000-0,0000001-0,0000000 0,0000000-0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,0000001-0,0000001-0,0000000-0,0000002-0,0000000 0,0000000-0,0000001-0,0000000-0,0000000 0,0000000-0,0000000 0,0000008-0,0000004-0,0000000-0,0000004 0,0000029 0,0000001-0,0000000 0,0000001 0,0000001 Fgura 11: Resulados do exeplo de aplcação usando os dados do argo de Nverh e Dey (2000).

Connuação da Fgura 11 Marz de covarânca cruzada de lag zero Marx MGAMA 0,0000001-0,0000001 0,0000001 0,0000000-0,0000000 0,0000000-0,0000001 0,0000013 0,0000002 0,0000000 0,0000001-0,0000001 0,0000001 0,0000002 0,0000013-0,0000001 0,0000000 0,0000001 0,0000000 0,0000000-0,0000001 0,0000002 0,0000000-0,0000000-0,0000000 0,0000001 0,0000000 0,0000000 0,0000001 0,0000000 0,0000000-0,0000001 0,0000001-0,0000000 0,0000000 0,0000001 0,0000000 0,0000000 0,0000000-0,0000000 0,0000000-0,0000000-0,0000001-0,0000000 0,0000001-0,0000002-0,0000001 0,0000000-0,0000000 0,0000000-0,0000001-0,0000000-0,0000000-0,0000000 0,0000000-0,0000001-0,0000000 0,0000000-0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,0000001-0,0000001-0,0000000-0,0000002-0,0000000 0,0000000-0,0000001-0,0000000-0,0000000 0,0000000-0,0000000 0,0000008-0,0000004-0,0000000-0,0000004 0,0000036 0,0000001-0,0000000 0,0000001 0,0000001 Marz de correlação cruzada de lag zero Marx MCORR 1,00000-0,19638 0,17658 0,09643-0,07173 0,28335 0,10203-0,25501-0,19638 1,00000 0,15380 0,04438 0,15398-0,21992 0,04112-0,00516 0,17658 0,15380 1,00000-0,17779 0,02710 0,13935 0,01575 0,03982 0,09643 0,04438-0,17779 1,00000 0,27964-0,15829-0,01986-0,18249-0,07173 0,15398 0,02710 0,27964 1,00000 0,18086 0,00719-0,09785 0,28335-0,21992 0,13935-0,15829 0,18086 1,00000-0,13319 0,04140 0,10203 0,04112 0,01575-0,01986 0,00719-0,13319 1,00000-0,24714-0,25501-0,00516 0,03982-0,18249-0,09785 0,04140-0,24714 1,00000-0,30836 0,01034-0,16531-0,09239-0,15750-0,19180-0,09619 0,15370-0,30836 0,01034-0,16531-0,09239-0,15750-0,19180-0,09619 0,15370 1,00000 Valor de c rô zero alfa CROZALFA 2,74618 SEGUNDA PARTE: CÁLCULO DOS ÍNDICES DE CAPACIDADE MULTIVARIADOS Infore os les nferores de especfcação: IMPORTANTE: O usuáro deve enrar co os dados anendo sepre a esa orde das varáves envolvdas no processo. DATA> 6.393 0.594 8.294 7.892 22.047 1.852 6.390 3.038 23.6770 Infore os les superores de especfcação: ATENÇÃO: O usuáro deve enrar co os dados anendo sepre a esa orde das varáves envolvdas no processo. DATA> 6.397 0.60 8.302 7.896 22.051 1.856 6.396 3.052 23.6810 Fgura 11: Resulados do exeplo de aplcação usando os dados do argo de Nverh e Dey (2000).

Connuação da Fgura 11 Infore o veor de édas de especfcação. ATENÇÃO: O usuáro deve enrar co os dados anendo sepre a esa orde das varáves envolvdas no processo. DATA> 6.395 0.597 8.298 7.894 22.049 1.854 6.393 3.045 23.679 Escolha o índce de capacdade ulvarado que deseja calcular: 1 - Prero caso: O veor de édas do processo é gual ao veor de édas de especfcação. Cálculo do índce CPM. 2 - Segundo caso: O processo não esá cenrado no veor de édas de especfcação. Cálculo do índce CPKM. 3 - Tercero caso: Os les de especfcação não esão cenrados no veor de édas nonas de especfcação. Cálculo do índce CPMM. 4 - Sar DATA> 1 Veor dos índces de capacdade ulvarado CP para cada ua das caraceríscas de neresse: CPM 5,22437 1,89731 2,51428 2,97670 4,80158 4,24129 2,51215 2,68218 3,85878 Índce de capacdade ulvarado - CPM ID_CPM 1,89731 O processo é capaz. DATA> 2 Veor dos índces de capacdade ulvarado CPK para cada ua das caraceríscas de neresse: CPK 0,0006802 0,0010694 0,0014214 0,0006657 0,0006676 0,0005848 0,0010356 0,0019010 0,0006568 Índce de capacdade ulvarado - CPKM ID_CPKM 0,000584781 O processo não é capaz. DATA> 3 Veor dos índces de capacdade ulvarado CPI para cada ua das caraceríscas de neresse: CPI 2,61218 0,94866 1,25714 1,48835 2,40079 2,12064 1,25608 1,34109 1,92939 Índce de capacdade ulvarado - CPMM ID_CPMM 0,948656 O processo não é capaz. DATA> 4 MTB > Fgura 11: Resulados do exeplo de aplcação usando os dados do argo de Nverh e Dey (2000). Observaos pela Fgura 11 que o índce C p = 1,89731 ndca que o processo é capaz, e os índces C = 0,000584781 e = 0, 948656 ndca que o processo não é capaz. pk C p

7. CONSIDERAÇÕES FINAIS A leura de argos da área de conrole de qualdade para processos e índces de capacdade ulvarados, e especal, os de Kalgonda e Kulkarn (2004) e Mngo e Glóra (2004), possblara a consrução de índces de capacdade ulvarados para processos auocorrelaconados. O objevo dese rabalho fo de apenas apresenar os índces de capacdade e pleená-los no sofware Mnab, não esaos avalando a qualdade dos índces proposos.

8. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS BICALHO, B. de C. D. Esudo sobre écncas esaíscas para conrole de processos ulvarados auocorrelaconados. Projeo desenvolvdo na dscplna Avdade Copleenar do curso de Esaísca da UFMG Unversdade Federal de Mnas Geras, 2004. FRANÇA, J. L. e al. Manual para Noralzação de publcações écnco-cenífcas. 6. Ed. ver. Belo Horzone: Ed. UFMG, 2003. HAYTER, A. J., TSUI, K-L. (1994). Idenfcaon and quanfcaon n ulvarae qualy conrol probles. Journal of Qualy Technology 26, pgs. 197-208. KALGONDA, A. A., KULKARNI, S. R. (2004). Mulvarae qualy conrol char for auocorrelaed processes. Journal of Appled Sascs 31, pgs. 317-327. MINGOTI, S. A., GLÓRIA, F. A. A. (2004). A odfcaon of chen s ulvarae capably ndex and a coparson wh Nverh and Dey capably ndces. Argo subedo à revsa nernaconal (aguardando publcação). MONTGOMERY, D. C. Inrodução ao conrole esaísco da qualdade. 4ed. LTC, 2004. MORETTIN, P. A., TOLOI, C. M. C. Análse de séres eporas. 1ed. Edgard Blücher, 2004. NIVERTHI, M., DEY, D. K. (2000). "Mulvarae process capably a bayesan perspecve". Cou. Sas. - Sula., 29(2), pgs. 667-687.