Análise não-line de estutus espiis de bos e membns Pulo M Piment & Ruy M O Puletti Esol Politéni d Univesidde de São Pulo Abstt his wo ddesses the nonline nlysis of ble nd membne sptil stutues With the id of the ntul method simple nd elegnt fomultion of the stti nd dynmi nlyses of suh stutues e pesented Some ttention is given to the deivtion of onsistent othotopi onstitutive equtions nd to the deivtion of onsistent element tngent stiffness mties his fomultion is t this time being implemented in the demi pogmming system PEFSYS [5] whih is t development t the Deptment of Stutul nd Foundtion Engineeing of the Esol Politéni d Univesidde de São Pulo Keywods: nonline nlysis ble stutues membne stutues Intodução Este tblho tem omo objetivo eve teoi geometimente ext pesentd em [] p nálise não-line de teliçs espiis e elbo um extensão dos esultdos p nálise não-line de membns espiis P isso seá utilizdo o Método Ntul de JH Agyis onfome [] que pemite um genelizção uitiv p o estdo plno de tensões que ooe em membns espiis Estutus de bos Elemento de bo Nest seção pesent-se fomulção gel de um teoi geometimente ext p bs de teliçs ou elementos de bos espiis Po simpliidde supo-se-á que os elementos de bo sejm etos e possum um seção tnsvesl onstnte Adot-se-á dest vez omo gndezs inemátis e estátis básis o longmento qudátio de Geen e su tensão enegetimente onjugd onheid omo segund tensão de Piol-Kihhoff Isto é feito p filit extensão p membns Pofesso itul Deptmento de Engenhi de Estutus e Fundções d Esol Politéni d Univesidde de São Pulo Cix Postl 6548-0544-970 - São Pulo - SP - Bsil e-mil: ppiment@uspb Pofesso Douto Deptmento de Engenhi de Estutus e Fundções d Esol Politéni d Univesidde de São Pulo Cix Postl 6548-0544-970 - São Pulo - SP - Bsil e-mil: puletti@uspb
Sej o ompimento do elemento n onfigução de efeêni e o ompimento do mesmo elemento n onfigução defomd ou oente onfome figu bixo O estimento do elemento é definido po λ = () O longmento qudátio ou de Geen de um elemento é ddo po ε = ( λ ) () Note-se que po lineizção onsistente de () defomção vitul oespnte é dd po δ δε = λ () δ é vição vitul do ompimento do elemento n onfigução oente b b l l A Figu : elemento de bo ns onfiguções de efeêni e oente A Sej A áe d seção tnsvesl n onfigução de efeêni e sej V = A o volume n mesm onfigução Po segund tensão de Piol-Kihhoff tunte no elemento n su onfigução defomd entende-se tensão σ tl que o tblho vitul eno sej ddo po δw = V σδε (4) Note-se que δw = Nδ (5) N é foç noml tunte no elemento Logo om jud de () (4) e (5) foç noml é dd po N = A λσ (6) A equção onstitutiv elásti pode se expess po σ = (7) ε função ψˆ ( ε ) é enegi espeífi de defomção do mteil No so de bos (7) deve-se uid p que potensão iniil sej possível e que o elemento não pesente igidez n ompessão Um gndez impotnte é o módulo tngente de igidez elásti definido po ψ D = (8) ε ε Note-se que em gel D é função de ε
Intoduz-se um sistem de oodends tesins qui denomindo sistem globl de oodends que vle p tod estutu Sej x o veto posição de um ponto no espço em elção oigem deste sistem e sej u o veto deslomento do mesmo ponto no espço Sejm denotds po e b s extemiddes de um elemento de bo onfome figu Com os vetoes x e u dests extemiddes é possível onstui o veto ds oodends nodis do elemento n onfigução de efeêni o veto ds oodends nodis do elemento n onfigução oente e o veto dos deslomentos nodis que são ddos espetivmente po x x u ξ = = e = = ξ p ξ ξ (9) xb xb ub Os vetoes que unem extemidde om extemidde b ns onfiguções de efeêni e oente om oigem n extemidde são ddos espetivmente po l = Lξ e l = Lξ (0) L= [ I I ] () Em () e no estnte do texto I n epesent mtiz identidde de odem n Os ompimentos do elemento ns onfiguções de efeêni e oente são ddos espetivmente po = l l e = l l () O longmento qudátio pode se então esito omo função dos deslomentos nodis de odo om ( ξ + p) L L( ξ + p) ε = () ξ LLξ O veto dos esfoços nodis enos do elemento qui denotdo po P é definido onfome os blhos Vituis de tl fom que δw = P δ p (4) Ms pel eg d dei tem-se δε = b δp (5) po difeenição de () se oduziu o segue veto ε b= = L l (6) p Com (5) em (4) e est em (4) heg-se P = V σ b (7) A mtiz en de igidez tngente de um elemento tem segue definição P = (8) p qul plid em (7) fonee σ b = V b + V σ (9) p p Note-se que utilizndo-se eg d dei e s equções (6) e (8) pode-se eseve σ σ ε = = Db (0) p ε p e difeenindo-se (6) pode-se defini segue mtiz
b G = = L L p () Intoduzindo-se (0) e () em (9) tem-se = V ( Dbb + σ G ) () A mtiz de mss de um elemento eto de bo é dd po m= V ρ I 6 () de modo que s foçs ineiis do elemento podem se lulds po meio de mp Em () ρ é mss espeífi do bo n onfigução de efeêni Mteil elástio line Um bo que obedee à segue elção onstitutiv N = E ( λ ) (4) A E é o módulo de elstiidde é usulmente denomindo de elástio line Logo levndo em ont elção (6) su equção onstitutiv é σ = Eλ ( λ ) λ = + ε (5) Conseqüentemente tem-se D = λ E (6) Obseve-se que D não é onstnte A enegi de defomção espeífi deste mteil é dd po ψ = ( ) E λ (7) Análise estutul De posse de P e p todos os elementos d estutu pode-se lul de fom usul o veto dos esfoços nodis enos e mtiz de igidez tngente en d estutu po meio de nel nel = = e= e= R A P e K A A (8) espetivmente R é o veto dos esfoços enos nodis d estutu K é mtiz en de igidez tngente d estutu e A é mtiz de onetividde ou inidêni do elemento e definid p d elemento de fom que p= A (9) é o veto dos deslomentos nodis d estutu no sistem globl O veto dos esfoços nodis esiduis e mtiz totl de igidez tngente d estutu são ddos po R = Rext R e K = K (0) espetivmente R ext é o veto dos esfoços nodis extenos qui supostos po simpliidde independentes dos deslomentos nodis A nálise estáti esume-se então em esolve o segue sistem de equções não-linees Rˆ ( ) = o () levndo-se em ont s estições imposts pelos vínulos inemátios () pode se esolvid pelo Método de Newton omo esquemtizdo segui 4
estimtiv iniil: = 0 ; + ( + ) ( ) 0 0 ( ) = ˆ ( ) esolv o sistem line: K d R ; = + d; Rˆ 4 se < tol pe; seno + e volte p o psso Rˆ () A mtiz totl de mss d estutu é dd po n el M = A ma () e= de modo que s equções difeeniis do movimento d estutu podem se expesss po M Rˆ ( t) = o (4) A nálise dinâmi esume-se então em egá-ls no tempo onsidendo-se s ondições de ontono inemátis Estutus de membns espiis Elemento de tingul de membn Sejm e γ os ldos de um elemento tingul de membn sob defomção onstnte espetivmente opostos os véties b e onfome figu bixo Sejm e os ompimentos destes ldos n onfigução de efeêni e e os γ ompimentos destes ldos n onfigução oente Os estimentos dos ldos e γ do elemento são ddos espetivmente po γ λ = λ e = λ γ = γ γ Os longmentos qudátios destes ldos po su vez são ddos po ε = ( λ ) ε = ( λ ) e εγ = ( λγ ) () Com eles pode-se então onstui o veto ds defomções ntuis bixo ε ε n = ε () ε γ () Note-se que ε Cε (4) n = E ε = E (5) E 5
é um veto que eúne s omponentes do tenso ds defomções de Geen em um sistem de tesino lol ( xi i= ) olodo no plno do elemento n onfigução de efeêni omponentes ests indids em (5) po Eij i j = e C = (6) é um mtiz que eúne os o-senos dos ângulos ente os ldos e γ e os eixos x i indidos em (6) po i i e γ i i= É eessnte segue popiedde os γ os CC = A = os γ os (7) os os e γ são os ângulos dos véties b e n onfigução de efeêni Obseve-se que mtiz A não depende do sistem tesino lol De (7) tem-se C = C A (8) Potnto ε = CA ε n (9) As omponentes do veto ε são qui indids po ε i = i γ A γ A l l γ b Figu : elemento de membn ns onfiguções de efeêni e oente O veto ds omponentes do segundo tenso de Piol-Kihhoff no sistem tesino lol im definido é qui onstuído d segue fom S σ = S (0) S Sej A áe do elemento tingul n onfigução de efeêni onfome figu Sej V = t A o volume do elemento nest mesm onfigução t é espessu O tblho vitul eno de um elemento é ddo então po δw = V σ δ ε () 6
Já o veto ds tensões ntuis enegetimente onjugds om s defomções ntuis é denotdo po σ n e definido de modo que o tblho vitul eno do elemento sej ddo po δw = V σnδε n () Logo de () e () tem-se σ = C σn e σn = A Cσ () As omponentes do veto ds tensões ntuis são denotds po σ σ e σ γ A equção onstitutiv elásti pode se expess pel função enegi de defomção espeífi ψˆ ( ε ) tl que σ = (4) ε A equção (4) deve uid p que sej possível um potensão iniil e que o enugmento no enutmento em um dieção estej dequdmente desito A onsideção d ototopi é fundmentl [] [4] Um gndez impotnte é mtiz dos módulos tngentes de igidez elásti definid po ψ D = (5) ε Note-se que em gel D é um função de ε Sej novmente o sistem globl de oodends d seção nteio Com os vetoes x e u dos véties b e do tiângulo é possível onstui o veto ds oodends nodis do elemento n onfigução de efeêni o veto ds oodends nodis n onfigução oente e o veto dos deslomentos nodis ddos espetivmente po x x u ξ = b b e x ξ = x p= ξ ξ = ub (6) x x u Os vetoes dos ldos dos tiângulos ns onfiguções de efeêni e oente são ddos espetivmente po l = Lξ l = Lξ lγ = Lγξ e (7) l = Lξ l = Lξ lγ = Lγξ L = [ I I O] L = [ O I I] e Lγ = [ I O I ] (8) Os ompimentos do ldo do tiângulo ns onfiguções de efeêni e oente são ddos espetivmente po e = l l = l l (9) vlendo expessões nálogs p os demis ldos O longmento qudátio do ldo do tiângulo pode se então esito omo função dos deslomentos nodis de odo om ( ξ + p) L ( L ξ + p) ε = (0) ξ LLξ vlendo expessões nálogs p os demis ldos 7
O veto dos esfoços nodis enos do elemento qui denotdo po P é definido onfome os blhos Vituis de tl fom que δw = P δ p () Ms pel eg d dei tem-se δε = bδp () po difeenição de (0) se oduziu o segue veto ε b = = Ll () p P os demis ldos vlem expessões nálogs () Com () e () heg-se δ ε = Bnδ p (4) b Bn = b (5) bγ Intoduzindo-se (4) em () e ompndo-se om () obtém-se P = V B σ (6) n n A mtiz en de igidez tngente de um elemento tem segue definição P = (7) p qul plid em (6) fonee σn b b bγ = V Bn + V σ + σ + σγ (8) p p p p Utilizndo-se eg d dei pode-se eseve σn σn εn = = DB n n (9) p εn p σn Dn = (0) εn é mtiz dos módulos ntuis de igidez tngente Difeenindo-se () pode-se defini segue mtiz b G = = LL () p vlendo expessões nálogs p os demis ldos Assim tem-se = V ( BnDnBn + σg + σg + σγg γ ) () Pel eg d dei e om jud de (9) e () tem-se tmbém que σn σ ε D n = = A CDC A () σ ε ε Logo out expessão p () é ( = V + σ + σ + σγ γ ) n B DB G G G (4) B= C A B n (5) 8
A mtiz de mss de um elemento eto de bo é dd po m= V ρ I 9 (6) de modo que s foçs ineiis do elemento podem se lulds po meio de mp Em (6) ρ é mss espeífi d membn n onfigução de efeêni Mteiis elástios isótopos P mteiis isótopos enegi de defomção espeífi ssume segue fom gel ψ = ψˆ ( I I) (7) I = ε e I = ( ε ) (8) são invintes não dependendo do sistem lol s omponentes do tenso de Geen são deteminds Assim s tensões são dds po I I σ = (9) I I ε I A mtiz dos módulos tngentes de igidez elásti é dd po (5) Seus elementos são D = + + ε I I I I I ψ ψ D = D = + I + ε ε I I I I ψ ψ ψ D = + + ε I I I I I (40) ψ D = D = ε ε I I I ψ D = D = ε ε e I I I ψ D = I I I I Um enegi de defomção espeífi qudáti dd po ψ = Λ I + GI (4) Λ e G são pâmetos do mteil lev à segue equção onstitutiv line Λ+ G Λ 0 σ = Dε D = Λ Λ+ G 0 (4) 0 0 G 9
Mteiis elástios otótopos P mteiis otótopos enegi de defomção espeífi ssume segue fom gel ψ = ψˆ ( I I I I4) (4) os invintes I = ε I = ε I = ε e I4 = ε (44) são luldos om s omponentes do tenso ds defomções de Geen deteminds no sistem tesino lol de ototopi do mteil As dieções d tm e do udume do teido d membn são esolhs ntuis p estes eixos lois Assim o veto ds tensões no sistem lol de ototopi do mteil pss se ddo po I I σ = (45) I I ε I4 A mtiz dos módulos tngentes de igidez elásti é dd po (5) ou sej seus elementos são D = + + ε I I I I I ψ ψ ψ ψ D = D = ε I I I I I I I ψ ψ D = + + ε I I I I I (46) ψ D = D = ε ε I I4 I I4 ψ D = D = ε ε e I I4 I I4 ψ D = + ε I I 4 4 Um enegi de defomção espeífi omo bixo mostd ψ = ϕ I I I + GI (47) ( ) 4 0
pode se popid p membns otótops existentes no medo e fonee s segues expessões p o veto ds tensões e p os oefiientes d mtiz dos módulos tngentes de igidez elásti ϕ ϕ I I ϕ ϕ σ = I I (48) Gε e ϕ ϕ ϕ ϕ D = + + ε I I I I I ϕ ϕ ϕ ϕ D = D = ε I I I I I I I ϕ ϕ ϕ ϕ D = + + ε (49) I I I I I D = D = D = D = 0 e D = G Po exemplo um enegi de defomção espeífi om temos úbios dd po ψ = AI + BI + CI + DI + EII + FII+ GI 4 (50) ABCDEF eg são pâmetos do mteil petene est lsse de funções e fonee s segues expessões p o veto ds tensões e mtiz dos módulos tngentes de igidez elásti σ = DL + DQ ε e D= DL + D Q (5) A+ B A 0 ( D+ E) I+ Eε DI+ Eε+ Fε 0 DL = A A C 0 + e D Q = DI+ Eε+ Fε ( D+ F) I+ Fε 0 (5) 0 0 G 0 0 0 Expessões mis omplexs que (50) tlvez se fçm neessáis p se simul o enugmento que ooe em membns n pesenç de enutmentos em um ds dieções de ototopi 4 Cegmentos extenos Os pinipis egmentos sobe um membn são os devidos o peso pópio à pessão do vento e eventuis sobegs de neve ou águ umuld O egmento devido o peso pópio povo o peimento de foçs extens nodis dds po V ρ g Pext = V ρ g (5) V ρ g
g é o veto d eleção d gvidde A mtiz exten de igidez tngente definid po Pext ext = (54) p é nul p o peso pópio O egmento devido um pessão do vento p noml o elemento tingul de membn povo o peimento de foçs extens nodis dds po n Pext = pa n (55) n A é áe do elemento de membn n onfigução oente e n é o veso noml o plno do elemento Note-se ontudo que A n= l l (56) Logo (55) é tmbém expess po l l Pext = p 6 l l (57) l l Po difeenição de (56) heg-se em ( l l) = ΛL ΛL (58) p Λ e Λ são mtizes nti-simétis ujos vetoes xiis são l e l espetivmente Assim mtiz exten de igidez tngente é dd po ΛL ΛL ext = p 6 Λ L Λ L (59) ΛL ΛL Note-se que mtiz im não é siméti ext 5 Análise estutul De posse de P e p tods os elementos d estutu pode-se lul de fom usul o veto dos esfoços nodis enos e mtiz de igidez tngente en d estutu po meio de nel nel = = e= e= R A P e K A A (60) espetivmente R é o veto dos esfoços enos nodis d estutu K é mtiz en de igidez tngente d estutu e A é mtiz de onetividde ou inidêni do elemento e definid p d elemento de fom que p= A (6) é o veto dos deslomentos nodis d estutu no sistem globl De fom nálog o veto dos esfoços nodis extenos e mtiz de igidez tngente exten d estutu podem se montdos po meio de
nel nel ext = ext ext = ext e= e= R A P e K A A (6) O veto dos esfoços nodis esiduis e mtiz totl de igidez tngente d estutu são então ddos po R = Rext R e K = K K ext (6) espetivmente A nálise estáti esume-se então em esolve o segue sistem de equções não-linees Rˆ ( ) = o (64) sujeito às estições imposts pelos vínulos inemátios A solução de (64) segue os pssos de () A mtiz totl de mss d estutu é dd po n el M = A ma (65) e= de modo que s equções difeeniis do movimento d estutu podem se expesss po M Rˆ ( t) = o (66) A nálise dinâmi esume-se novmente em egá-ls levndo-se em ont s ondições de ontono inemátis 4 Refeênis [] Piment PM Análise não-line de teliçs espiis B-PEF/8604 Boletim énio do Deptmento de Engenhi de Estutus e Fundções d Esol Politéni d USP 986 [] Piment PM Zu Eindeutigeit de Bewegung niht-visose Kontinu unte endlihen Dehnungen und deen Beehnung nh de Methode de finiten Elemente D-Ing Dissettion Univesität Stuttgt 98 [] Rible Reese S Wigges P A finite element fomultion to model the othotopi non-linely elsti mteil behvio of pneumti membnes Zeitshift fü ngewndte Mthemti und Mehni 000 [4] Reese S Rible Wigges P Finite element modelling of othotopi mteil behviou in pneumti membnes Intentionl Jounl of Solids nd Stutues 8 955-9544 00 [5] Piment P M Mffei CEM Gonçlves HHS Puletti RMO A pogmming system fo nonline dynmi nd stti nlysis of tll buildings In: Computtionl Mehnis: new ends nd Applitions Edited by S Idelsohn E Oñte E Dvoin Belon 998