Faculdade de Economia Universidade Nova de Lisboa EXAME E CÁLCULO I Ano Lectivo 007-08 - º Semestre Eame Final de ª Época em de Junho de 008 Duração: horas e 30 minutos É proibido usar máquinas de calcular ou telemóveis Não tenha o seu telemóvel consigo Não são esclarecidas dúvidas Simpliique os cálculos ao máimo Justiique sempre as suas respostas Pode usar o verso das olhas de eame Os rascunhos devem estar bem identiicados Não pode desagraar as olhas do eame Identiique todas as olhas Data de publicação das notas: 6 de Junho às 9h00 Data ÚNICA de consulta pedagógica: 7 de Junho às 0h00 na Sala 0 (Uma vez encerrada está encerrada!!) TÓPICOS DE CORRECÇÃO
. (3 valores) Conorme prometido no dia de Abril, aqui vai o eercício sobre o teorema da piscina agitada com umas variantes. Considere a unção y ln RESOLUÇÃO: a) ( valor) Calcule a sua primitiva. a) Trata-se da primitiva de um produto de duas unções, e ln. Está mesmo a pedir o método por partes. Faça-se u, e v ln. Então, u u, e v ; então + C.ln ln ln ln b) Tendo obtido na alínea anterior a primitiva da unção y ln, para calcular este integral basta simplesmente utilizar a Fórmula de Barrow: ln d. b) ( valor) Calcule c) ( valor) Justiique por que não consegue encontrar por meios elementares o valor h [,] de que ala o teorema da piscina agitada, ainda que esse valor eista. Note que esta pergunta tem duas partes: justiicação da eistência de h, justiicação de que não o consegue determinar por meios elementares.ln ln ( 8ln ) 5 ln 8ln c) i) Primeiro, vamos justiicar a eistência de h. Para isso, basta ter presente o célebre Teorema da Média, aplicado a este conteto, que nos diz:, h, tal que: Seja () uma unção contínua no intervalo [ ]; então, eiste [ ] ( ) d ( ) ( h)
Resta justiicar que é uma unção contínua pois é o produto de duas unções contínuas, a saber: a unção identidade y, contínua, e a unção y ln, contínua no seu domínio. 5 ii) Para obter o h, teríamos de azer: 8ln ( )( hln h). Como temos um h dentro do argumento da unção logaritmo e outro ora, é impossível resolver esta equação em ordem a h por meios elementares. 3
. ( valor) Segue-se uma primitiva tão ácil que até vai pensar no provérbio quando a esmola é grande o pobre desconia : P [ ( )] e cos π sin e RESOLUÇÃO: Mais uma vez não há razão para desconiar, é mesmo uma primitiva imediata dada! e u. e cos u u Sabendo que a derivada de uma unção eponencial ( ) que pode passar para ora da primitiva, basta azer Note que u sin. e cos e cos e cos Assim, sin ( e ) π sin ( e ) π. e + C π. Não percebeu? Derive!! u e, e que π é uma constante para termos a resposta à questão.
3. ( valores) Considere as duas unções: ( ) sin g( ) sin a) (0.5 valores) Qual o cardinal do número de zeros de cada uma das unções? b) ( valor) Diga, justiicando, por que motivo () é dierenciável em R, enquanto que g() tem ininitos pontos do seu domínio onde não é dierenciável. c) (.5 valores) Considere ambas as unções, () e g() deinidas apenas no intervalo π 3π, ; diga por que motivo (ou motivos) o Teorema de Rolle é aplicável a () mas não a g(). d) ( valor) Com base nos eemplos da alínea c) diga se o Teorema de Rolle é condição necessária para a eistência de etremo. RESOLUÇÃO: Consideremos o gráico de cada uma das unções acima mencionadas: ( ) sin g( ) sin a) Ambas as unções repetem um mesmo padrão ciclicamente, um número ininito (mas contável/ordenável) de vezes. Assim, o cardinal do número de zeros de cada uma das unções é o mesmo: Ale Zero. b) As unções e g parecem iguais mas não são!! Nos pontos onde g ( ) 0, a unção muda bruscamente de direcção, enquanto isso não acontece nos pontos onde ( ) 0 (que são os mesmos!!). Vamos conirmá-lo analiticamente. 5
A unção é contínua e dierenciável em todo o seu domínio, e a sua unção derivada será: ( ) ( sin ) sin. cos Já a unção g, numa vizinhança do ponto 0, é-nos dada por: { sin( ), > 0 g ( ) sin( ), < 0 A derivada da unção g no ponto zero será: g g ( ) lim e h 0 h< 0 g g ( ) lim d h 0 h> 0 ( 0 + h) g( 0) sin( h) h lim h 0 h> 0 sin 0 h ( 0 + h) g( 0) sin( (0 + h) ) sin( 0) sin( h) h lim h 0 h< 0 h lim h 0 h< 0 h Logo, não eiste derivada da unção g para 0, padrão este que se repete em todos os pontos kπ, com k Ζ. c) O Teorema de Rolle eige, para poder ser aplicado neste caso, que a unção seja contínua no intervalo π 3π π 3π, (e ambas são), e que seja dierenciável no intervalo,, eigência que só a unção cumpre. Assim, à luz do Teorema de Rolle, a unção terá necessariamente um zero da derivada entre π 3π,, enquanto relativamente à unção g, o Teorema de Rolle não nos assegura este acto, já que não se cumprem as condições para a sua aplicação. d) Não é condição necessária, como se pode constatar pelo acto de a unção g ter uma ininidade de mínimos locais em todos os pontos em que g ( ) 0 mas não ser dierenciável em nenhum desses pontos, onde, portanto, g' ( ) não se anula pois nem sequer eiste. Mais genericamente, o mesmo raciocínio é válido para o mais amoso contra-eemplo da história h, que tem um etremo local em 0, apesar de a unção não da humanidade, a unção ( ) ser dierenciável nesse ponto. 6
. ( valores) Considere as seguintes sucessões: u n ( ) n n, v n n + e w n n. a) (0,5 valores) Mostre que é termo da sucessão u n. 50 b) (,5 valores) Encontre o menor índice n para o qual as três sucessões estão simultaneamente a uma distância do seu limite inerior a 50. c) ( valor) Calcule lim w n w n. d) (,5 valores) Mostre que o limite da sucessão u n pode ser calculado através do Teorema das Sucessões Enquadradas, usando as sucessões v n e w n e seus respectivos limites (não se esqueça de veriicar que o enquadramento é válido para qualquer n). RESOLUÇÃO: a) Será o termo que veriica a equação 50 ( )n, logo o índice será ímpar e teremos n 50 n n 5 n 5. É o quinto termo da sucessão. b) O limite das três sucessões é zero, trivialmente. Podemos veriicar quando é que esta condição se veriica para cada sucessão individualmente. Para a sucessão u n será o seto termo, uma vez que a distância a zero dos termos da sucessão diminui com n. No caso da sucessão v n temos: v n < 50 n + < n +> 50 n > 9, pelo que a condição veriica-se a partir do 50 termo de ordem 50. Finalmente para a sucessão w n temos: w n < 50 n < n > 50, pelo 50 que a condição eigida veriica-se a partir do termo de ordem 5. Logo as três sucessões estão simultaneamente a uma distância inerior do seu limite inerior a 50 5. c) Substituindo e simpliicando obtemos: lim w w n n lim + n n lim + n n ( e ) e a partir do termo de ordem 7
d) Para o enquadramento de u n ser válido temos que mostrar que n ( )n n n +, para qualquer n. Para n ímpar temos n n, onde a segunda desigualdade é imediata dado o sinal n + dos termos. Temos que veriicar que n n n n n, o que é válido para qualquer natural. Para n par temos n n, onde a primeira desigualdade é imediata dado o sinal dos n + termos. Temos que veriicar que n n + n + n n n + n n 0. Aplicando a órmula resolvente temos que esta desigualdade é válida para n, o que se veriica para qualquer natural. Portanto, para qualquer n, w n u n v n. Como limw n limv n 0, pelo TSE, limu n 0. 8
5. (5 valores) Considere a seguinte unção deinida de R R z (, y) ln ( y) : a) (0.5 valores) Indique o domínio da unção (, y ), graicamente. D, e represente-o b) (.5 valores) Calcule a ronteira, o interior, o eterior, os pontos de acumulação e a aderência de D. É um conjunto aberto, echado, ou nem uma coisa nem outra? c) (0.5 valores) Justiique que a curva de nível de cota ( z ) deine uma relação implícita entre e y, y g(). Encontre y g(). d) d) ( valor) Suponha agora que (, y) 0 deine de orma implícita como e, ou seja, h(y). Calcule '( e) unção de y em (, ) Implícita. ' h pelo Teorema da Função d) (,5 valores) Calcule ( h ) () através da regra de derivação da unção inversa e posteriormente conirme o resultado encontrado através da regra da derivada da unção implicita, em que y é deinido implicitamente como unção de. RESOLUÇÃO: a) (, y) D { R : y > 0} (, y) { : 0 > 0} y Ou seja, o domínio é ormado pelo primeiro quadrante e pelo segundo quadrante, ecluindo os eios. 9
b) ront( D ) {(, y) R : y 0 ( y 0 0) } int( D ) {(, y) R : y > 0} D et. ( D ) {(, y) R : y < 0} D {(, y) R : y 0} {(, y) R : y 0} D c) ln( y) ln( y) D é um conjunto aberto, e não conseguimos reescrever esta unção da orma usual y g(). No entanto, estamos perante uma relação implícita entre y e, em que a cada valor de está associado um só valor de y que veriica a condição. Concretamente, quando d) Seja ln( y) ln( y), temos.ln( y ) ln( y) y e, e não conseguimos reescrever esta unção da orma h(y). No entanto, através do Teorema da Derivada da Função Implícita, podemos aspirar a conhecer h ( y). Derivando de ambos os lados em ordem a y, não esquecendo que h(y) : ' d) ln( y) ln( y) [ ln( y) ] y y ( + y) + y + 0 ( + ) y y y + y + y Agora, tal como vimos na alínea c), quando y e, temos que. Assim, avaliando h (y), y, e : em ( ) ( ) h ( e) e + 3e ' y 0
d) O Teorema da derivada da Função Inversa diz-nos que sendo h (y) uma unção, y, e, temos a seguinte relação: injectiva numa vizinhança do ponto ( ) ( ) ( h )() h( e) ( h )() 3e 3e, e portanto Conirmando o resultado encontrado através da regra da derivada da unção implícita, em que y é deinido implicitamente como unção de, g() ln y : ' ( y) ln( y) [ ln( y) ] y y ( y + y ) + y y y y + y y que é de acto o inverso do que oi obtido na alínea d)., y, e : Concretizando agora para ( ) ( ).. e + e ( h )() 3e ' Está conirmado, unciona!
6. (3 valores) Considere a seguinte unção: 0 ( ) < + cos 0 a) (0.5 valores) Pronuncie-se sobre a dierenciabilidade da unção em todo o seu domínio. b) ( valor) Escreva o desenvolvimento desta unção pela Fórmula de Taylor, em π torno de, até ao termo de terceira ordem (termo onde igura a terceira derivada). Não se esqueça de indicar o respectivo Resto de Lagrange (não é necessário majorá-lo). c) (.5 valores) Estude a unção quanto à monotonia para 0. Usando esta inormação, e outra que possa achar útil, aça um esboço do gráico da unção e comprove a legitimidade do polinómio encontrado na alínea anterior. RESOLUÇÃO a) Para < 0 a unção tem derivada inita em todos os pontos porque qualquer unção polimonial é contínua e não eistem pontos angulosos. Para > 0 a unção é igualmente dierenciável porque é a soma de duas unções dierenciáveis em R (contínuas e sem pontos angulosos). No ponto de mudança de ramo, 0, a unção não admite derivada inita porque não é contínua. Ora comprove: lim ( ) lim lim 0 ( ) 0 0 0 lim ( ) lim + cos 0 + 0 0 Como não eiste limite no ponto 0 (limites laterais dierentes), a unção não é contínua neste ponto e por isso não é dierenciável em 0. R \ 0. Assim, é dierenciável em { } b) 3 ( ) π ' π π '' π π ''' π π + + + + R! 3! π π R3 c cos c! IV onde ( ) ( ) π com c 3
π π π ( ) + 0 + 0 + 0 + + cos( c) π 6 π ( ) + + cos( c) π π + 6 3 ( ) + R3 3 π 6 π 3 π c) Para estudar a unção quanto à monotonia, temos que estudar o sinal da primeira derivada da unção. Sabemos que não eiste derivada no ponto 0, sendo a unção relativa à primeira derivada dada por: 0 ( ) < sen > 0 Para > 0, a derivada é sempre positiva ou igual a zero, logo a unção será crescente. Note que sen 0 sen, o que é sempre verdade. Onde é que a derivada se anula? Muito simples π sen 0 sen + kπ, com k Ζ Por outras palavras, a unção anula-se em π 5π,,... 3
π π y + 6 3 Eis o polinómio de 3º grau em torno do ponto naquela vizinhança! π. Ajusta-se bem ao gráico da unção