Nome: nº Data: / _ / 017 Professor: Gustavo Bueno Silva - Ensino Médio - 3º ano Lista de Revisão para Substitutiva e A.P.E. Matrizes Determinantes Sistemas Lineares Números Complexos Polinômios 3 3 a a b b 3 1. (Espcex (Aman) 017) Considere a matriz M a a 0. 5 3 det(m) 0, então o valor de 14a 1b é igual a a) 15 b) 8 c) 35 d) 49 e) 70 Se a e b são números reais não nulos e. (Fgv 017) Uma matriz A de ordem transmite uma palavra de 4 letras em que cada elemento da matriz representa uma letra do alfabeto. A fim de dificultar a leitura da palavra, por se tratar de informação secreta, a matriz A é multiplicada pela matriz 3 1 B 5 obtendo-se a matriz codificada B A. Sabendo que a matriz B Aé igual a a) 46 b) 48 c) 49 d) 47 e) 50 10 7, 1 39 podemos afirmar que a soma dos elementos da matriz A é: TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: Utilize o fragmento de texto abaixo para responder à(s) questão(ões). O salário total ST(x) de um funcionário de certa empresa é composto de duas partes, uma fixa no valor de R$ 1.30,00 e outra que varia de acordo com a função s(x) 10x det A, sendo x o tempo de serviço, em anos, do funcionário na empresa, com
1 x x A 1 0. 3 5 1 3. (G1 - ifsul 017) A função que descreve o salário total do funcionário é a) ST(x) 7x 8x 131 b) ST(x) 7x 10x 130 c) ST(x) 7x 10x 131 d) ST(x) 7x 8x 130 3 4. (G1 - ifal 016) A matriz A ij( 3) tem elementos definidos pela expressão a i j. Portanto, a matriz A é 0 3 8. 7 4 1 0 7 6. 3 4 3 0 3 7 4. 6 3 0 7 3 4. 8 1 0 1. 1 0 1 a) b) c) d) e) ij 5. (Unicamp 015) Considere a matriz invertível, então a) a 1 e b 1. b) a 1 e b 0. c) a 0 e b 0. d) a 0 e b 1. 6. (Uerj 017) Observe a matriz: a 0 A, b 1 onde a e b são números reais. Se A A e A é 3 t 4 3 t 4 Para que o determinante dessa matriz seja nulo, o maior valor real de t deve ser igual a: a) 1 b)
c) 3 d) 4 7. (Mackenzie 017) Para a matriz quadrada a) 1 16 b) 1 3 c) 1 64 d) e) 1 18 1 56 cos17 0 sen17 M 1 1 1 sen8 0 cos8 o valor do determinante de 10 M é x 0 x 8. (Unigranrio - Medicina 017) Considere as funções f(x) 1 x e 1 1 pode-se afirmar que o ponto de interseção das funções f(x) e g(x), é: x 1 4 g(x) 10 11 x. Desta forma, 1 0 a) (6, 30) b) (9, 90) c) (9, 7) d) (6, 4) e) (6, 4) 9. (Famerp 017) No estudo da dinâmica de populações é comum ser necessário determinar o número real λ na equação det(m λi) 0, em que M é uma matriz quadrada, I é a matriz identidade, da mesma ordem de M, e det representa o determinante da matriz (M λi). Se, em um desses estudos, tem-se a) 5. b) 8. c) 9. d) 1. e) 6. 0 17 M 0 0, 1 0 0 o valor positivo de λ é igual a 10. (Unisc 017) Dadas as matrizes a) 4 b) 6 1 A 3 4 e 1 B, 1 0 o determinante da matriz A Bé
c) 8 d) 1 e) 7 11. (Ita 017) Determine todos os valores reais de a para os quais o seguinte sistema linear é impossível: x ay z x y 3z 1. 3x az 5 1. (Acafe 017) Num restaurante, uma torta de legumes pesa 50 gramas, o que equivale a 500 calorias, e a porção de carne tem 40 gramas e contém 600 calorias. Uma pessoa com restrição alimentar compra uma torta e uma porção de carne, mas ela sabe que pode ingerir no máximo 84 calorias. Considerando que x e y representam, respectivamente, em gramas, a quantidade de torta e de carne que ela pode ingerir, então, se essa pessoa consumir entre 180 gramas e 0 gramas de carne, ela só poderá comer uma quantidade de torta entre: a) 17 g e 197 g. b) 138 g e 188 g. c) 137 g e 187 g. d) 147 g e 177 g. 13. (G1 - ifsc 017) Um cliente foi ao caixa do banco do qual é correntista e sacou R$ 580,00. Sabendo-se que a pessoa recebeu toda a quantia em 47 notas e que eram apenas notas de R$ 5,00 e de R$ 0,00, é CORRETO afirmar que a pessoa recebeu a) 5 notas de R$ 5,00 e notas de R$ 0,00. b) 0 notas de R$ 5,00 e 7 notas de R$ 0,00. c) 3 notas de R$ 5,00 e 4 notas de R$ 0,00. d) 7 notas de R$ 5,00 e 0 notas de R$ 0,00. e) 4 notas de R$ 5,00 e 3 notas de R$ 0,00. 14. (Unicamp 017) A figura abaixo exibe três círculos no plano, tangentes dois a dois, com centros em A, B e C e raios de comprimentos a, b e c, respectivamente.
a) Determine os valores de a, b e c, sabendo que a distância entre A e B é de 5 cm, a distância entre A e C é de 6 cm e a distância entre B e C é de 9 cm. b) Para a cm e b 3 cm, determine o valor de c b de modo que o triângulo de vértices em A, B e C seja retângulo. 15. (Unicamp 017) Sejam a e b números reais. Considere, então, os dois sistemas lineares abaixo, nas variáveis x, y e z: x y a, z y 1, e x y, y z b. Sabendo que esses dois sistemas possuem uma solução em comum, podemos afirmar corretamente que a) a b 0. b) a b 1. c) a b. d) a b 3. 16. (G1 - ifal 017) Sabendo que Tales e Platão têm juntos massa de 159 kg; Platão e Fermat, 147 kg; e Tales e Fermat, 134 kg, determine a massa de Tales, Platão e Fermat juntos: a) 00. b) 10. c) 0. d) 30. e) 40. 17. (G1 - ifpe 017) Karina foi à feira e comprou 15 frutas (maçãs e abacaxis). Karina pagou R$ 0,80 por cada maçã e R$ 4,50 por cada abacaxi, totalizando R$ 34,0. Karina comprou a) 6 maçãs. b) 9 abacaxis. c) 9 maçãs. d) 8 abacaxis. e) 8 maçãs. 7 18. (Uece 017) Se i é o número complexo cujo quadrado é igual a 1, então, o valor de 5 i 6 i 13 i igual a a) i 1. b) 4i 1. c) 6i 1. d) 6i. é 19. (Unisc 017) A parte real do número complexo a) 1 b) 1 c) 1 (3i) z 1 i é
d) e) 4 0. (Mackenzie 017) O resultado da expressão 3 i a) 11 14 i 17 17 b) 11 14 i 15 15 1 4i na forma x yi é c) 11 14 i 17 17 d) 11 14 i 15 15 1 e) 3 i 3 1. (Eear 017) Se i é a unidade imaginária, então i 3i 3i é um número complexo que pode ser representado no plano de Argand-Gauss no quadrante. a) primeiro b) segundo c) terceiro d) quarto. (G1 - ifal 016) O número complexo Z 1 i representado na forma trigonométrica é 1 a) (cos 45 isen 45 ). b) (cos 90 isen 90 ). c) 4(cos 60 isen 60 ). d) 4(cos 60 isen 60 ). e) (cos 90 isen 90 ). 3. (G1 - ifce 016) Sendo i a unidade imaginária tal que i 1, são dados os números complexos z1 9 3i e z i. a) 1 6i. b) 18 6i. c) 18 3i. d) 18 3i. e) 1 3i. Ao calcular corretamente o produto z1 z, obtemos o número 4. (Uece 017) O termo independente de x no desenvolvimento da expressão algébrica 3 (x 1) (x x ) é a) 4. b) 4. c) 8. d) 8.
3 5. (Uefs 017) Considerando-se que o polinômio P(x) x ax bx c tem 1 como raiz dupla e 3 como raiz simples, é correto afirmar que o resto da divisão de P(x) por (x 1) é a) 0 b) 18 c) 16 d) 14 e) 6. (Fac. Albert Einstein - Medicin 017) O resto da divisão de um polinômio do segundo grau P pelo binômio (x 1) é igual a 3. Dado que P(0) 6 e P(1) 5, o valor de P(3) é a) 7 b) 9 c) 7 d) 9 3 7. (Eear 017) Considere P(x) x bx cx, tal que P(1) e P() 6. Assim, os valores de b e c são, respectivamente, a) 1 e b) 1 e c) 1 e 3 d) 1 e 3 3 8. (Pucrs 016) O polinômio p(x) ax bx cx, em é divisível por (x 1). Podemos afirmar que p(p(1)) é a) 1 b) 0 c) 1 d) a b c e) a b c 3 9. (Fgv 016) Um dos fatores do polinômio P(x) x x 5x 6 é (x 3). Outro fator desse polinômio é a) (x 8) b) (x 5) c) (x 4) d) (x 1) e) (x 1) 30. (Espm 016) O quociente e o resto da divisão do polinômio x x 1 pelo binômio x 3 são, respectivamente: a) x e 5 b) x e 6 c) x 3 e d) x 1 e 0 e) x 1 e
Gabarito: Resposta da questão 1: [C] 3 3 a a b b 3 4 3 4 3 detm a a a 3a 5ab a b 3a 3ab 5 3 ab (5 a 3b ) 0 a 0 ou b 0 ou 5 a 3b 0 Como a e b são nulos, devemos considerar que: 5 a 3b 0 a 3b 5 Portanto, 14a 1b 7 (a 3b ) 7 5 35 Resposta da questão : [D] Calculando: 10 7 3 1 a b 10 7 B A 1 39 5 c d 1 39 3a c 3b d 10 7 5a c 5b d 1 39 3a c a 1 5a c c 13 3b d b 15 5b d d 18 a b c d 1 13 15 18 47 Resposta da questão 3: [A] Para obter a função que descreve o salário total do funcionário, basta calcular o valor do determinante da matriz e somá-lo ao salário fixo. Desta forma, utilizando o Método de Sarrus para o cálculo de determinantes, tem-se que: 1 x x 1 x det(a) 1 0 1 (1 0 10x ) (3x 0 x) 3 5 1 3 5 det(a) 7x x 1 Somando s(x) 130 para obter ST(x) temos:
ST(x) 10x det A 130 ST(x) 10x (7x x 1) 130 ST(x) 7x 8x 131 Resposta da questão 4: [A] 3 aij i j 3 3 3 1 1 1 1 3 3 3 3 3 a11 a1 a13 0 3 8 a1 a a 3 1 7 4 1 Resposta da questão 5: [B] Sabendo que A I 1 A e A A I, com I sendo a matriz identidade de segunda ordem, temos A A A A A 1 1 A A A A A A I I A I. Por conseguinte, segue que a 1 e b 0. Resposta da questão 6: [A] Tem-se que 3 t 4 3 t 4 0 (t 3)(t 4) 1 0 t(t 1) 0 t 0 ou t 1. Portanto, como 1 0, segue que a resposta é 1. Resposta da questão 7: [B] cos17 0 sen17 De M 1 1 1, sen8 0 cos8 cos17 0 sen17 detm 1 1 1. sen8 0 cos8
Pela regra de Sarrus, detm cos17 1 cos 8 0 1 sen8 sen17 1 0 sen17 1 sen8 cos17 1 0 0 1 cos 8 detm cos17 cos 8 sen17sen8 detm cos 17 8 detm cos 45 detm Então, detm detm detm 10 10 10 5 10 1 3 10 Resposta da questão 8: [D] x 0 x f(x) 1 x x x x x x x 1 1 x 11 4 g(x) 10 11 x 11x 80 44 x x 11x 36 1 0 x 11x 36 x x x 1x 36 0 x 6 f(x) y x x 36 6 y 4 Resposta da questão 9: [E] Tem-se que 0 17 1 0 0 M λi 0 0 λ 0 1 0 1 0 0 0 0 1 λ 17 λ 0. 1 0 λ Logo, vem
λ 17 det(m λi) 0 λ 0 0 1 0 λ λ( λ 6)( λ 6) 0 λ 6 ou λ 0 ou λ 6. A resposta é, portanto, λ 6. Resposta da questão 10: [A] Pelo Teorema de Binet, det(ab) det A detb, ou seja, 1 1 det(ab) 3 4 1 0 det(ab) (1 4 3) ( 1 0 1) det(ab) ( ) det(ab) 4 Resposta da questão 11: Utilizando a Regra de Cramer: SI ou SPI D 0 x ay z 1 a 1 x y 3z 1 D 1 3 a 7a 6 0 3x 0y az 5 3 0 a a' 1 a'' 6 Mas, Dx x Dx 0 D a 1 D 1 3 a 11a 10 0 x 5 0 a a' 1 a'' 10 Assim, a 6. Resposta da questão 1: [C] Calculando: Para o mínimo de carne: 40 g 600 Carne x 450 calorias 180 g x 50 g Torta 84 cal 450 cal 374 cal y 500 y 187 g 374
Para o máximo de carne: 40 g 600 Carne x 550 calorias 0 g x 40 g Torta 84 cal 550 cal 74 cal y 500 y 137 g 74 Resposta da questão 13: [E] Seja x o número de notas de cinco reais e y o número de notas de vinte reais, temos: 5x 0y 580 x 4y 116 x y 47 y 3 47 y 4y 116 x 4 Resposta da questão 14: a) Tem-se que a b 5 a b 5 a c 6 a b 3 b c 9 c 9 b a 1cm b 4cm. c 5cm b) Se c b, então a hipotenusa do triângulo ABC é BC. Portanto, pelo Teorema de Pitágoras, vem (c 3) (c ) 5 (c 3 c )(c 3 c ) 5 Resposta da questão 15: [D] c 5 5 c 10cm. Se o sistema possui solução em comum, o sistema formado pelas quatro equações tem solução. Portanto, pode-se escrever: x y a z y 1 x y y z b z y 1 z x 3 x y x y a z x a b y z b a b 3
Resposta da questão 16: [C] Seja Tales representado por t. Platão representado por p. Fermat representado por f. Sabendo que Tales e Platão têm juntos massa de 159 kg; Platão e Fermat, 147 kg; e Tales e Fermat, 134 kg : t p 159 t p 159 t p 159 p f 147 p f 147 ( 1) p f 147 t f 134 t f 134 t f 134 Somando o sistema temos: t p 159 p f 147 t 73 t f 134 t 146 Substituindo na primeira equação: t p 159 73 p 159 p 86 Substituindo na última equação temos: t f 134 73 f 134 f 61 Somando os três pesos temos: t p f 73 86 61 0 kg Resposta da questão 17: [C] Seja maçãs (m) e abacaxis (a) temos: 0,8 m 4,5 a 34,0 m a 15 Desta maneira, 0,8 m 4,5 a 34,0 0,8 m 4,5 a 34,0 m a 15 m 15 a substituindo a segunda equação na primeira temos: 0,8 (15 a) 4,5a 34,0 1 0,8a 4,5a 34,0 3,7a,0 a 6 m 9 Resposta da questão 18: [C]
Sabemos que: 7 56 4 3 6 1 4 13 3 4 1 Portanto, 7 6 13 3 5 i i i 5 i i i 5i 1 i 6i 1 Resposta da questão 19: [E] 1 (3i) z 1 i 1 9i z 1 i 1 9 z 1 i 8 z 1 i 8 1i z 1i 1i 8 8i z 1 i 8 8i z z 4 4i Re(z) 4 Resposta da questão 0: ANULADA Questão anulada no gabarito oficial. Lembrando que i 1, temos 3 i 3 i 1 4i 1 4i 1 4i 1 4i 3 1i i 8i 116i 5 14 i. 17 17 Resposta da questão 1: [B] Sendo
3 i 3i 3i i 3 3i 1 i ( 1, 1), 3 podemos concluir que a imagem do complexo i 3i 3i está situada no segundo quadrante. Resposta da questão : [A] ρ 1 1 ρ a 1 cosθ cosθ θ 45 ρ b 1 sen θ sen θ θ 45 ρ 1 Z cos 45 i sen 45 cos 45 isen 45 Resposta da questão 3: [E] 9 3i i 18 9i 6i 3i 18 3i 3 ( 1) 1 3i Resposta da questão 4: [B] Para determinar o termo independente de um polinômio, devemos admitir x 0. Portanto, o termo 3 independente de (x 1) (x x ) será dado por: 3 (0 1) (0 0 ) 1 4 4 Resposta da questão 5: [C] As raízes são 3, 3 e 1, portanto o polinômio poderá ser escrito na forma fatorada por: P(x) 1 (x 1) (x 1) (x 3) Portanto, o resto da divisão de P(x) por (x 1) será dado por P( 1). P( 1) 1 ( 11) ( 11) ( 1 3) 16 Resposta da questão 6: [B] Seja P(x) ax bx c. Se o resto da divisão de P pelo binômio x 1 é igual a 3, então, pelo Teorema do Resto, segue que a b c 3. Ademais, sendo P(0) 6 e P(1) 5, temos c 6 e a b c 5. Daí, vem a b 3 e b, implicando em b 1 e a.
Em consequência, a resposta é P(3) ( ) 3 13 6 9. Resposta da questão 7: [D] Tem-se que 3 P(1) 1 b 1 c 1 b c 4 e 3 P() 6 b c 6 b c 5. Portanto, resolvendo o sistema formado por essas equações, encontramos b 1 e c 3. Resposta da questão 8: [B] Se p(x) é divisível por (x 1), então, p(1) 0. Logo, 3 p(p(1)) p(0) a 0 b 0 c 0 0. Resposta da questão 9: [E] Como um dos fatores de Px é x 3, x 3 é uma raiz de Px. Assim, usando o dispositivo prático de Briot-Ruffini, temos: Dessa forma, P x x 3 x x Calculando as raízes de x x 0, obtemos x e x3 1, logo, x x x x 1 x x x x 1 Voltando ao polinômio Px, obtemos: Px x 3x x 1
Dessa maneira, os fatores de Px são Resposta da questão 30: [A] x e x 3, Desde que x x 1 (x 3)(x ) 5, segue o resultado. x 1.