A B C A e B A e C B e C A, B e C

2 O ANO EM Matemática I RAPHAEL LIMA Lista 6. Durate o desfile de Caraval das escolas de samba do Rio de Jaeiro em 207, uma empresa especializada em pesquisa de opiião etrevistou 40 foliões sobre qual agremiação receberia o prêmio de melhor do ao que é cocedido apeas a uma escola de samba. Agrupados os resultados obtidos, apresetaram-se os ídices coforme o quadro a seguir: Agremiação escolhida Nº de foliões que escolheram A B C A e B A e C B e C A, B e C 77 7 70 20 25 40 5 A respeito dos dados colhidos, aalise as proposições a seguir e classifique-as em V (VERDADEIRA) ou F (FALSA). ( ) Se A for a agremiação vecedora em 207 e se um dos foliões que opiaram for escolhido ao acaso, etão a probabilidade de que ele NÃO teha votado a agremiação que veceu é igual a 45%. ( ) Escolhido ao acaso um folião, a probabilidade de que ele teha idicado exatamete duas agremiações é de 50%. ( ) Se a agremiação B for a campeã em 207, a probabilidade de que o folião etrevistado teha idicado apeas esta como campeã é meor que 0%. A sequêcia correta é a) V V F b) F V V c) F V F d) V F V 2. Em um certo grupo de pessoas, 40 falam iglês, 2 falam espahol, 20 falam fracês, 2 falam iglês e espahol, 8 falam iglês e fracês, 6 falam espahol e fracês, 2 falam as líguas e 2 ão falam ehuma das líguas. Escolhedo aleatoriamete uma pessoa desse grupo, qual a probabilidade de essa pessoa falar espahol ou fracês? a) 7,5%. b) 40%. c) 50%. d) 57,5%. e) 67,5%.. Durate os séculos 8 e 9, muitos matemáticos se destacaram por suas cotribuições a área da matemática. Detre eles está Carl Friedrich Gauss (777 855) que ficou cohecido como "o prícipe da matemática" ou "o mais otável dos matemáticos" e seu trabalho teve eorme importâcia pricipalmete em áreas como a teoria da probabilidade. De posse dessa teoria, duas pessoas, A e B, decidem laçar um par de dados. Eles combiam que se a soma dos úmeros dos dados for 7, A gaha, e se a soma for 0, B gaha. Cada par de dados é laçado uma úica vez. A probabilidade de B gahar é de a) 6 b) 2 c) 6 d) 2 MATEMÁTICA I RAPHAEL LIMA 207

4. Um exame de laboratório tem eficiêcia de 90% para detectar uma doeça quado essa doeça existe de fato. Etretato, o teste apota um resultado falso positivo (o resultado idica doeça, mas ela ão existe) para das pessoas sadias testadas. Se,5% da população tem a doeças, qual a probabilidade de uma pessoa ter a doeça dado que seu exame foi positivo? % a) b) c) d) e) 95 294 60 4 270 467 75 204 7 255 5. Uma loteria cosiste o sorteio de três úmeros distitos etre os 20 úmeros iteiros de a 20; a ordem deles ão é levada em cosideração. Gaha um prêmio de R$ 00.000,00 o apostador que comprou o bilhete com os úmeros sorteados. Não existem bilhetes com a mesma trica de úmeros. O gaho esperado do apostador que comprou um determiado bilhete é igual ao prêmio multiplicado pela probabilidade de gaho. Quem apostou a trica a) R$ 88,00 b) R$ 89,00 c) R$ 90,00 d) R$ 9,00 e) R$ 92,00 {4, 7,8} tem um gaho esperado de aproximadamete 6. Ao laçar um dado a) 8 b) 4 c) 8 d) 58 e) 78 vezes sucessivas, qual é a probabilidade de obter ao meos um úmero ímpar? 7. Sofia deveria ter estudado 0 temas de biologia para fazer uma avaliação, porém só estudou 2. Nessa avaliação, ela poderá ser reprovada (R), aprovada com ressalvas (AR) ou aprovada (A). Ates de iiciar a avaliação, a professora de Sofia dá a ela o direito de escolher uma das seguites estruturas de avaliação: Avaliação composta por apeas 2 questões, cada uma tratado de um dos 0 temas (sem repetir os temas), sedo que errar duas implica R, acertar apeas uma implica AR, e acertar as duas implica A. Avaliação 2 composta por apeas questões, cada uma tratado de um dos 0 temas (sem repetir os temas), sedo que errar duas ou mais questões implica R, acertar apeas duas implica AR, e acertar as três implica A. Cosidere que Sofia sempre acerta questões dos temas que estudou, e que sempre erra questões dos temas que ão estudou. a) Calcule as probabilidades de R, AR e A para o caso de Sofia ter escolhido a avaliação. b) Se Sofia pretede ser aprovada, idepedetemete de ser com ressalvas (AR) ou diretamete (A), em qual das avaliações ela terá maior chace? Justifique matematicamete sua coclusão por meio de cálculos de probabilidade.

8. Uma ura cotém 8 bolas vermelhas, 2 amarelas e 20 bracas, sedo todas idêticas. Quatas bolas bracas devem ser retiradas dessa ura, de modo que, ao sortear uma bola, a probabilidade de ela ser braca seja igual a a) 6 b) 5 c) 4 d) e) 2? 6 9. a) De forma cosecutiva extraímos de uma ura três bolas umeradas de a 9, repodo a bola retirada após cada extração, formado um úmero de três algarismos. O primeiro algarismo sorteado é o algarismo das ceteas; o segudo, o das dezeas; e o terceiro, o das uidades. Calcule a probabilidade de que saia um úmero I. com três algarismos repetidos; II. sem ehum algarismo repetido; III. com exatamete dois algarismos exatamete iguais. b) Em uma caixa com 0 lapiseiras, 4 delas estão com defeito. Se um cliete compra 2 lapiseiras escolhidas aleatoriamete, é certo afirmar que a probabilidade de que ehuma lapiseira esteja com defeito é maior que 0%? 0. Uma prova costa de 7 questões de múltipla escolha, com 4 alterativas cada uma, e apeas uma correta. Se um aluo escolher como correta uma alterativa ao acaso em cada questão, a probabilidade de que ele acerte ao meos uma questão da prova é de, aproximadamete: a) 87%. b) 85%. c) 90%. d) 47%.. O valor da expressão a) 9 0 b) 9 0 5 0 5 c) d) 999.999 5 e) 999 0 2. Assiale o que for correto. ( 4)! 20( 2)! 0) Simplificado a expressão ( 8) ( 2)! 5 4 2 E (999) 5 (999) 0 (999) 0 (999) 5 (999) é igual a 4 obtém-se. a 02) No desevolvimeto do biômio x, x o termo idepedete de x é 27. 2 Etão 2 a. 4 04) Permutado os algarismos,,,,, 5 podem ser formados 20 úmeros maiores que 500.000. 20 20 20 20 20 08) 2 2. 4 5 20 6) Num estádio há 2 portas de etrada e saída. Existem 2 possibilidades de uma pessoa etrar por uma porta e sair por outra diferete.

. Sabedo que 256, etão o valor de p p0 a) 8 b) 7 c) 6 d) 5 e) 4 vale 4. No desevolvimeto do biômio 2 k x, x ode e k são úmeros reais, o 4º termo vale 7 280x. Nesse cotexto, assiale o que for correto. 0) é um úmero primo. 02) k 0. 04) O desevolvimeto ão tem um termo idepedete de x. 08) A soma de seus coeficietes é 8. 6) O coeficiete do º termo vale 84. 5. Se é um úmero atural maior do que dois, ao ordearmos o desevolvimeto de x 2x 2 segudo as potêcias decrescetes de x, verificamos que os coeficietes dos três primeiros termos estão em progressão aritmética. Nessas codições, o valor de é a) 8. b) 6. c) 4. d) 0. 6. Um grupo de oito aluos está sedo liderado em um passeio por dois professores e, em determiado mometo, deve se dividir em dois subgrupos. Cada professor irá liderar um dos subgrupos e cada aluo deverá escolher um professor. A úica restrição é que cada subgrupo deve ter o míimo um aluo. O úmero de maeiras distitas de essa subdivisão ser feita é a) 28. b) 64. c) 248. d) 254. e) 256. 7. Seja o desevolvimeto do Teorema Biomial k k 2 2 (a b) a b a a b a b b k 0 2 k0 ode, a e b e os coeficietes biomiais,,,, 0 2 determiados por! p ( p)!p! com e p e p. Cosiderado as codições acima em relação ao Teorema Biomial, a) desevolva 2 x x 5 ; b) para determiar um termo específico do biômio de Newto, é utilizado o termo geral Determie o 8º termo do biômio 2 x x 2. k k Tk a b. k

Gabarito: Resposta da questão : [A] Cosidere o diagrama. Tem-se que o úmero de foliões que ão votaram em A é igual a 8 5 0 6. Logo, a probabilidade de que um folião escolhido ao acaso ão teha votado em A é dada por 6 00% 45%. 40 Escolhido ao acaso um folião, a probabilidade de que ele teha idicado exatamete duas agremiações é de 5 20 5 00% 50%. 40 Se a agremiação B for a campeã em 207, a probabilidade de que o folião etrevistado teha idicado apeas esta como campeã é 8 4 0%. 40 40 Resposta da questão 2: [D] Seja o diagrama de Ve com todas as pessoas e as líguas que falam: Para obter a probabilidade de quem fala espahol ou fracês deve-se obter a probabilidade de quem fala espahol mais a probabilidade de quem fala fracês meos a probabilidade de quem fala espahol e fracês, ou seja: Sabedo que o total de pessoas é 80, temos a seguite probabilidade: P P(espahol) P(fracês) P(espaholfracês) 2 20 6 P 80 80 80 P 0,4 0,25 0,075 P 0,575 P 57,5%

Resposta da questão : [D] Para que B veça, as possíveis combiações dos dois dados devem ser: ou 5 5 ou 6 4 4 6 Observe que a probabilidade de se laçar um dado e cair um úmero ao acaso é, 6 visto que um dado possui seis faces. Desta forma, as probabilidades (P(X)), são o produto de ambas as possibilidades de se obter a soma desejada. Ou seja, P(4 6) 6 6 6 P(5 5) 6 6 6 P(6 4) 6 6 6 Logo, somado as possíveis probabilidades temos: P(4 6) P(5 5) P(6 4) 6 6 6 2 Resposta da questão 4: [C] Sedo P o total de pessoas da população, temos: 98,5 Pessoas sadias que são cosideradas doetes: P 00 00 Pessoas doetes que são cosideradas doetes: 90,5 P 00 00 Assim, a probabilidade de uma pessoa ter a doeça dado que o exame apotou positivo é: 90,5 P 00 00 270 98,5 90,5 467 P P 00 00 00 00 Resposta da questão 5: [A] Calculado: 20! C20, 40! 7! P(4,7,8) C20, 40 Gaho 00000 87,72 88 reais 40 Resposta da questão 6: [E] Supodo um dado covecioal (seis faces, umeradas de a 6) e ão viciado, sedo P obter três úmeros pares em três laçametos sucessivos, temos: P 6 6 6 a probabilidade de P 8

A probabilidade de obter ao meos um úmero ímpar o laçameto de tal dado três vezes sucessivas é P, modo que: PP de Etão, P 8 P 8 7 P 8 Resposta da questão 7: a) A probabilidade de R 8 8! 2 2! 6! 28. 0 0! 45 2 2! 8! é dada por A probabilidade de AR é igual a 2 8 2 8 6. 0 0! 45 2 2! 8! Desde que o úico caso favorável para A podemos cocluir que a probabilidade de A ocorre quado os dois temas sorteados são os que Sofia estudou, é. 45 b) Coforme (a), Sofia é aprovada a avaliação com probabilidade igual a 7. Por outro lado, ela é aprovada a avaliação 2 com probabilidade 2 8 2 8. 0 0! 45! 7! 45 Em cosequêcia, como 7, podemos afirmar que ela terá mais chace a avaliação. 45 45 Resposta da questão 8: [C] Admitido que x seja a quatidade de bolas bracas que serão retiradas, temos: 20 x 50 x 20 6x 5x 70 x 4 50 x 6 Resposta da questão 9: a) Calculado: 9 [I] P(x) 9 9 9 8 9 8 7 56 [II] P(x) 9 9 9 8

[III] 56 24 8 P(x) 8 8 8 27 b) Calculado: 6 5 P(x) % 0% 0 9 Resposta da questão 0: [A] A probabilidade de ele acertar ao meos uma questão da prova é igual a probabilidade total (00%) probabilidade de ele errar todas as questões. Cada questão tem a probabilidade de acerto de 25% erro de 75% 7 (ou 4). Assim, a probabilidade de errar todas as questões seria: 287 0, % 4 684 E a probabilidade de que ele acerte ao meos uma questão da prova é de, aproximadamete: 00% % 87% Resposta da questão : [C] 5 5 5 4 2 5 5 E (999) 5 (999) 0 (999) 0 (999) 5 (999) ( 999) 000 0 0 Resposta da questão 2: 0 + 02 + 08 + 6 = 27. [0] Verdadeira. De fato, sedo 2, com, temos ( 4)! 20( 2)! ( 4)( ) 20 ( 8) ( 2)! 8 ( )( 8) ( 8). [02] Verdadeira. O termo geral do desevolvimeto do biômio é p 4 4p a T p (x) p x 4 4p a p x 42p. p meos a (ou 4) e de Logo, se o termo idepedete de x é 27, 2 etão 4 42 2 27 2 27 2 a 6 9 a a. 2 2 2 4 [04] Falsa. Fixado o algarismo 5 a casa das ceteas de milhar, tem-se que existem, com os algarismos (, 2) 5! dispoíveis, P5 0 úmeros maiores do que 500.000.! 2! [08] Verdadeira. Com efeito, pelo Teorema das Lihas, segue que

20 20 20 20 20 20 20 20 2 0 2 4 5 20 20 20 20 20 20 20 90 2 4 5 20 20 20 20 20 20 2 2. 4 5 20 [6] Verdadeira. De fato, pois como existem 2 possibilidades para etrar e para sair, pelo Pricípio Multiplicativo, há 2 2 maeiras de etrar por uma porta e sair por outra diferete. Resposta da questão : [A] p0 Assim,... 2 p 0 2 2 256 8 2 2 8 Resposta da questão 4: 0 + 6 = 7. Vamos supor que seja um úmero atural. Desse modo, o termo geral do biômio 2 p k T p (x ) p x p 2 2p p k x p 7p 2 p k x. p p 2 k x x é igual a Logo, se 27 7 k x 280x, etão 7 e, portato, temos 7 k 280 k 8 k 2. [0] Verdadeira. Com efeito, pois 7 é um úmero primo. [02] Falsa. Temos k 7 2 9 0. [04] Falsa. Para que o desevolvimeto apresete pelo meos um termo idepedete de 7p 2 0, ou seja, x. x, devemos ter 7p. Em cosequêcia, o desevolvimeto possui dois termos idepedetes de 6 [08] Falsa. Tomado x, segue que a soma dos coeficietes do biômio é igual a 7 2 2 7 287. [6] Verdadeira. De fato, pois 2 7 2 4 2 84. 2

Resposta da questão 5: [A] O termo geral do desevolvimeto de 2 x, 2x segudo as potêcias decrescetes de x, é k 2 k 2k k T k (x ) x. k 2x 2 k Assim, os coeficietes dos três primeiros termos são:, 2 8 e ( ). Portato, segue que ( ) 2 2 9 8 0 8. 2 8 Resposta da questão 6: [D] Cosiderado dois grupos A e B. Portato, o úmero de maeiras de se formar os grupos A ou B será dado por: 8 8 8 6 8 8 8 8 8 8 2 256 254 2 4 5 6 7 0 8 Portato, o úmero de maeiras de se realizar a divisão pedida será dada por 254. Resposta da questão 7: a) Temos 5 5 4 2 5 5 5 2 x 0 2 2 x 2 2 x x x x x 2 4 5 5 5 5 2 x 4 2 x x x 5 x 5 0 0 5. 0 8 7 5 4 2 x x x x x x x x x b) O oitavo termo do biômio 2 2 x x é 5 7 2 T8 7 2 x x 2! 7! 5! 0 x x x 792. x x