UFSC CFM DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA MTM 5151 MATEMÁTICA FINACEIRA I PROF. FERNANDO GUERRA. UNIDADE 3 JUROS COMPOSTOS Capitalização composta. É aquela em que a taxa de juros icide sempre sobre o capital iicial, acrescido do juro acumulado até o período aterior. Coceito. No critério de juros compostos cosidera-se que os juros formados em cada período são acrescidos ao capital formado o motate do período. Diz-se que os juros são capitalizados, variado expoecialmete em fução do tempo. Exemplo. Cosideremos uma aplicação de 10.000 UM a uma taxa de juros compostos de 10% aa, pelo prazo de 4 aos, coforme figura abaixo. Portato, o motate F, resultate de uma aplicação do capital P a uma taxa de juros compostos i (por período de capitalização) durate períodos de capitalização, é dado por ode F P ( 1 i) a taxa de juros i está expressa a forma uitária; o período de tempo e a taxa de juros i devem estar a mesma uidade de tempo. Difereça etre os regimes de capitalizações Vamos cosiderar os dados do exemplo acima JURO SIMPLES JURO COMPOSTO JURO MONTANTE JURO MONTANTE 1 10.000 x 0,1=1000 11.000 10.000 x 0,1=1.000 11.000 2 10.000 x 0,1=1000 12.000 11.000 x 0,1=1.100 12.100 3 10.000 x 0,1=1000 13.000 12.100 x 0,1=1.210 13.310 4 10.000 x 0,1=1000 14.000 13.310 x 0,1=1.331 14.641 No juro simples temos: No juro composto temos: Gráfico 16
Usado a fórmula do motate dada acima, temos P = 10.000 Um; = 4 aos; i = 10% aa, logo Mais algus exemplos. Exemplos. 1) Calcular o valor de resgate de uma aplicação de 1.200,00 UM pelo prazo de 8 meses à taxa de juros compostos de 3,5% am. Resolução: Dados do problema: P = 1.200,00 UM; = 8 meses; i = 3,5% am = 0,035 am; F =? Usado a fórmula do motate, vem: 8 F 1.200,00 (1 0,035 ) F = 1.580,17 UM. Resposta: O valor de resgate foi de 1.580,17 UM. 2) Calcular a taxa mesal de juros compostos de uma aplicação de 4.000,00 UM que produz um motate de 4.862,03 UM ao fial de 4 meses. Resolução: Dados do problema. P = 4.000,00 UM; F = 4.862,03 UM; = 4 meses; i =? (mesal). Usado a fórmula do motate, vem 4 4 4862, 03 4862, 03 4000(1) i (1) i 1, 22 4000 1 4 1(1,22) i 1,05 1,05 i 1 0,05 i = 5% am. Resposta: A taxa da aplicação é 5% am. 3) Uma aplicação de 20.000,00 UM efetuada em certa data produz, à taxa de juros compostos de 2,5% ao mês, um motate de 23.773,72 UM em certa data futura. Calcular o prazo da operação. Resolução: Dados do problema: P = 20.000,00 UM; F = 23.773,72 UM; i = 2,5% am = 0,025 am; =? Usado a fórmula do motate, vem 23.773, 72 23.773, 72 20.000(1, 025) (1, 025) 1,188686 1, 025 1,188686 20.000 Aplicado logaritmo eperiao a ambos os membros da expressão acima, tem-se l 1, 025 l 1,188686 l 1, 025 l 1,188686 l (1,188686) 0,172848 = 7 = 7 meses. l (1,025) 0,024693 Resposta: O prazo da operação é sete meses. 4) Se eu quiser comprar um carro o valor de 18.000,00 UM, quato devo aplicar hoje para que daqui a dois aos possua tal valor, a uma taxa de aplicação de 24% aa? Resolução: Dados do problema: F = 18.000,00 UM; i = 24% aa = 0,24 aa; = 2 aos; P =? Pela fórmula do motate, vem 2 18.000 18.000 18.000(1, 24) P P 11.706,56. P = 11.706,56 UM. 2 (1, 24) 1,5376 Resposta: Devo aplicar hoje 11.706,56 UM. 17
5) Calcular o juro de um empréstimo de 8.000,00 UM pelo prazo de 5 meses à taxa de juros compostos de 5,5% ao mês. Sabemos que F P J, etão temos J F P P (1) i P ou J P [(1) i 1] Resolução: Dados do problema: P = 8.000,00 UM; = 5 meses; i = 5,5% am = 0,055 am;j =? Usado a fórmula do juro composto acima, vem J 8.000, 00 1 0, 055 5 1 J 8.000, 00 1, 055 5 1 J 2.455,68 UM. Resposta: O juro do empréstimo é de 2.455,68 UM. 6) Durate 90 dias, o capital de 1.500 UM redeu juros de 236,45 UM em um fudo de aplicação de um determiado baco. Determie a taxa mesal de juros compostos utilizada por esse baco. Resolução. 7) O Sr. Feliz da Vida coseguiu dois empréstimos. O primeiro por 4 meses a taxa de 2,5% ao mês e o segudo por 9 meses a taxa de 2% ao mês. Sabedo-se que pagou ao todo 8.384,29 UM de juros, determie o valor do primeiro empréstimo, sabedo-se que ele foi igual à metade do segudo. Resolução. 8) Uma pessoa aplicou 9.000 UM o baco Alegria que remuera os depósitos de seus clietes a taxa de juros simples de 1,5% ao mês.após 10 meses, ela resgata todo o motate e o aplica totalmete em um outro baco, durate 18 meses, a taxa de juros compostos de 4% ao trimestre. Determie o valor do motate o fial da seguda aplicação. 18
Em algumas aplicações fiaceiras, quado o prazo (ou período) ão é um úmero iteiro em relação ao prazo defiido para a taxa ( período fracioário), usamos a coveção liear e a coveção expoecial para calcular o motate, taxa, juros. Coveção liear A coveção liear admite a formação de juros compostos para a parte iteira do período e de juros simples para a parte fracioária. O cálculo do motate a coveção liear é dado por F P ( 1 i) [1 i ( p / q)] ode p / q = parte fracioária do período. Exemplo: Seja um capital de 250.000,00 UM emprestado à taxa de 18% aa pelo prazo de 4 aos e 9 meses. Calcular o motate pela coveção liear. Resolução. Dados do problema: P = 250.000,00 UM; i = 18% aa = 0,18 aa; (iteiro) = 4 aos; p/q (fração do ao) = 9/12; F =? Usado a fórmula acima, vem: F 250.000, 00(1 0,18) [1 0,18 ] 12 F 250.000,00 (1,18) 4 1,14 F 550.128,19 UM. 4 9 Resposta: O motate pela coveção liear é 550.128,19 UM Coveção expoecial A coveção expoecial adota o mesmo regime de capitalização para todo o período (tato para a parte iteira como para a parte fracioária). O cálculo do motate a coveção expoecial é dado por: F, P (1 i) p / q Utilizado-se os dados do exemplo aterior, calcular o motate pela coveção expoecial. Pela fórmula acima, vem 9 4 12 4 F ' 250.000, 00 1,18 0,75 F ' 250.000, 00 1 0,18 F ' 548.756,33 UM. Resposta: O motate pela coveção expoecial é 548.756,33 UM. Observe que existe uma difereça etre os motates: F(Coveção liear) = 550.128,19 UM; F (Coveção expoecial) = 548.756,33 UM; Difereça = 1.371,86 UM. 19
Isto se deve à formação de juros simples o prazo fracioário da coveção liear. Exercícios. 1) O Sr. Epamiodas aplicou certa quatia a taxa de juros simples 18% ao ao, durate 90 dias. Termiado o prazo, retirou 30% do motate e reaplicou o restate a juros compostos a uma taxa de 2,5% ao mês durate 168 dias, recebedo ao fial da ova aplicação a importâcia de 9.687,31 UM. Sabedo-se que para o cálculo do motate utilizou-se a coveção liear, obteha o valor do capital da primeira aplicação. 2) Determie o capital que, em 11 meses e 18 dias, a juros compostos de 2,5% ao mês calculado pela coveção liear resulta o motate de 35.900 UM. Resposta:26.956,64 UM. 3) Uma pessoa aplicou a importâcia de 1.850,00 UM pelo prazo de cico meses e vite e quarto dias, à taxa de 1,46% ao mês. Determiar o valor de resgate pela coveção liear e pela coveção expoecial. 20
Taxas equivaletes Defiição. Dizemos que duas taxas são equivaletes, quado aplicadas a um mesmo capital e durate o mesmo prazo de aplicação, produzirem MONTANTES iguais. Exemplo. As taxas i 1 2,5% am e i 2 34,488882% aa são equivalete, pois, se aplicadas ao mesmo capital de 1.500,00 UM pelo prazo de dois aos produzem motates iguais. De fato. Cálculo da taxa equivalete i eq O cálculo da taxa equivalete é dado pela seguite fórmula ieq d c (1) i 1 ode i taxa cohecida; d período da taxa descohecida; c período da taxa cohecida. Exemplo 1. Calcular a taxa aual equivalete a 2,5% am. Exemplo 2. Calcular a taxa mesal equivalete a 48% aa. Exemplo 3. Determiar a taxa semestral equivalete a 4,5% at. Exemplo 4. Determiar a taxa equivalete a 38% aa pelo prazo de 57 dias. 21
Exemplo 5. Determiar a taxa para 214 dias equivalete a 18% as. Exemplo 6. Calcular a taxa trimestral equivalete a 34,75% em um ao e seis meses. Exemplo 7. A aplicação de certo capital, à taxa de 23% aa, gera um motate de 4.560,00 UM ao fial de um ao e 7 meses. Calcular o valor do juro. Taxa omial e taxa efetiva. Coceito. Para que uma taxa de juros seja cosiderada EFETIVA é ecessário que o período ao qual se refira coicida com o período de capitalização, caso cotrario, a taxa será dita NOMINAL. A taxa omial geralmete é forecida em termos auais e os períodos de capitalização podem ser diário, mesal, trimestral, semestral, bimestral, quadrimestral e aual. Algus exemplos de taxa omial. EX. 1. 24% aa com capitalização trimestral; EX. 2. 48% aa com capitalização mesal; EX. 3. 9,5% as com capitalização trimestral; EX. 4. 4,5% at com capitalização mesal; EX. 5. 3% am com capitalização diária. Cálculo da taxa efetiva ( i f ). O cálculo da taxa efetiva é obtido pela fórmula i i (1) 1 k f k ode i taxa omial de juros; k úmero de capitalizações para um período da taxa omial. 22
Exemplo 1. Calcular a taxa efetiva aual equivalete a 24% aa com capitalização trimestral. Exemplo 2. Determiar a taxa omial com capitalização mesal, da qual resultou a taxa efetiva de 39,75% aa. Exemplo 3. Qual a taxa efetiva mesal equivalete a 19,48% aa com capitalização semestral? Exemplo 4. Qual a taxa efetiva trimestral equivalete a 38,75% aa com capitalização mesal? Exemplo 5. Determiar o motate, ao fial de dois aos e seis meses, de um capital de 2.500,00 UM aplicado a 28,5% aa capitalizados trimestralmete. Exemplo 6. Calcular o juro de uma aplicação de 5.250,00 UM, a 29,5% aa com capitalização mesal pelo prazo de 2 aos e 6 meses. 23
Exemplo 7. Uma pessoa colocou 2 5 de seu capital a 18% aa com capitalização trimestral e o restate 24% aa com capitalização semestral. Ao fial de 3 a 6m retirou o motate de 6.490,00 UM, determie o capital aplicado. 24
Juro composto cotíuo O juro composto é deomiado cotíuo quado o úmero de capitalização tede para ifiito. No regime de capitalização cotíua, os valores moetários fluem cotíua e uiformemete através do tempo. É uma ferrameta muito usada em fiaças, a avaliação de opções, derivativos, projetos de ivestimetos, geração de lucro da empresa, desgaste de equipametos. Exemplo. Um capital de 1.000 UM aplicado por 3 aos a juros de 24% aa resulta os seguites motates em diversas hipóteses de capitalização da taxa omial, dados o quadro abaixo. Período de Capitalização Motate Aual k = 1 0, 24 1 3 F 1.000(1) 1.906, 62 1 Semestral k = 2 0, 24 2 3 F 1.000(1) 1.973,82 2 Trimestral k = 4 0, 24 4 3 F 1.000(1) 2.012, 20 4 Mesal k = 12 0, 24 12 3 F 1.000(1) 2.039,89 12 Diária k = 360 0, 24 360 3 F 1.000(1) 2.053,94 360 Cálculo do motate o regime de capitalização cotíua Para calcular o motate usamos a seguite fórmula matemática F P e ode = a taxa istatâea ou taxa cotíua de juros. Exemplo 1. Determiar o motate de um capital o valor de 7.000,00 UM aplicado por 18 meses à taxa de 3,5% am, capitalizados cotiuamete. Exemplo 2. Calcular o valor de resgate (motate) de um capital de 2.540 UM aplicado por um ao e seis meses à taxa istatâea de 23,5% aa. 25
Exemplo 3. Calcular o valor do capital que resulta o motate de 9.870,00 UM quado aplicado por 17 meses à taxa istatâea de 1,15% am. Exemplo 4. O capital de 2.350,00 UM foi aplicado por 8 meses a uma determiada taxa istatâea ou taxa cotíua ao mês, resultado um motate de 2.780,45 UM. Determie a taxa de juros istatâea. Exemplo 5. O capital de 5.400 UM foi aplicado durate certo período de tempo a taxa istatâea de 5,5% am gerado um motate de 8.384,62 UM, calcule o prazo da aplicação. Taxa equivalete (i) à taxa istatâea ( ). É dada pela fórmula i e 1. Exemplo 1. Qual a taxa aual equivalete à taxa istatâea de 10% aa? Exemplo 2. Calcule a taxa istatâea aual equivalete a 24% aa. 26
Exemplo 3. Calcular a taxa istatâea aual equivalete à taxa de 40% aa com capitalização mesal. Sugestão: Usar a fórmula (1) i k k e. Resposta. 39,34% aa Exemplo 4. Calcular a taxa omial aual com capitalização trimestral equivalete à taxa istatâea de 18% aa. Resposta. 18,41% aa. Exemplo 5. Se um capital fosse aplicado por 7 meses a uma determiada taxa cotíua ao mês, resultaria um motate 50% maior ao motate obtido a taxa de juros de 4% am. Determiar a taxa de juros istatâea. Resposta.9,71% am. 27
Uidade 4. DESCONTOS COMPOSTOS. Valor Nomial de um título N É quato o título vale a data de seu vecimeto. Valor Atual de um título V É o valor que um título tem em uma data que atecede ao seu vecimeto. F P ( 1 i) Sabemos que, como P é o valor presete ou valor atual e F é o valor futuro ou valor omial, tem-se a seguite fórmula: N N V (1) i ou V. (1) i Exemplo 1. Por quato devo comprar hoje um título com vecimeto daqui a 7 meses de valor omial 5.750,00 UM, se a taxa de juros é de 1,75% am? Exemplo 2. Determiar o valor omial de um título com vecimeto daqui a 2 aos sabedo-se que seu valor atual é 3.470,00 UM e a taxa é de 29,5% aa com capitalização trimestral. 1) Descoto racioal ou descoto por detro ( d r ) É a difereça etre o valor omial e o valor atual de um título descotado períodos ates de seu vecimeto, ou seja, dr N Vr. N Sabemos que N V (1) i Vr V, logo (1) i 1 dr N V N r N N [1 ]. (1)(1) i i Portato, o descoto racioal composto será 28
d r 1 N [1 ]. (1) i O cálculo do valor atual racioal é dado pela fórmula N Vr. (1) i Exemplo 1. Calcular o descoto por detro de um título de valor omial 7.850,00 UM descotado 5 meses ates de seu vecimeto à taxa de 3,75% am. Exemplo 2. Calcular o descoto racioal de um título de valor omial 11.500,00 UM, resgatado dois aos e seis meses ates de seu vecimeto, à taxa de 27,25% aa com capitalização trimestral. Exemplo 3. Uma empresa obtém um empréstimo para ser liquidado ao fial de 15 meses, em pagameto úico de 9.500,00 UM à taxa de descoto por detro de 4,5% am. Decorridos exatamete 7 meses, a empresa resolve liquidar esse empréstimo. Calcular o valor líquido a ser pago pela empresa. Exemplo 4. O valor omial de um título é 6.500,00 UM e o descoto racioal obtido pelo cliete foi de 835,63 UM. Determiar o prazo de atecipação se a taxa de descoto é 3,5% am. 29
2) Descoto comercial ou descoto por fora O valor atual comercial ou o valor descotado comercial ( V c ) é dado pela fórmula V N (1) i. Logo, c (1) dc N Vc N N i N[1(1) ] i. Portato, o cálculo do descoto comercial composto é dado por d N [1(1) ] i. c Exemplo 1. Certo cliete descotou um título, de valor omial 7.850,00 UM, sete meses ates de seu vecimeto a uma taxa de descoto comercial de 3,75% am, calcular o valor do descoto por fora e o valor recebido pelo cliete. Exemplo 2. Um título de valor omial 6.500,00 UM foi descotado oito meses ate de seu vecimeto e o valor líquido recebido pelo seu portador é 4.980,00 UM, calcular a taxa mesal de descoto comercial. Exemplo 3. Certo título de valor omial 3.500 UM foi descotado ates de seu vecimeto por 2.879,3557 UM a taxa de descoto comercial de 2,75% am. Determie o prazo de atecipação. 30
Taxa efetiva ( i f ). A taxa efetiva cobrada a operação de descoto comercial composto depede apeas da taxa de descoto (i) utilizado, é dada pela fórmula i i f. 1 i Exemplo 1. A taxa de descoto comercial composto utilizada pelo baco XX é de 24,75% aa. Calcular a taxa efetiva aual utilizada pelo baco XX. Exemplo 2. A taxa efetiva utilizada para descotar comercialmete um título é 34,5% aa. Determiar a taxa de descoto comercial aual. Exemplo 3 Um título foi descotado à taxa de 4,5% am oito meses ates de seu vecimeto. O descoto comercial composto é 5.790,27 UM. Calcular o valor omial do título, o valor atual e a taxa efetiva mesal. Exemplo 4. O quociete etre o descoto comercial composto e o valor omial é 0,25. Sedo prazo de atecipação seis meses, determiar a taxa aual de descoto e a taxa efetiva aual. 31
Equivalêcia de Capitais o regime de juros compostos. Coceito de data focal ou data de referêcia. É a data que se cosidera como base de comparação dos valores referidos a diferetes datas. Equação de Valor. Permite que sejam igualados capitais diferetes, referidos as datas diferetes, em uma mesma data focal. Capitais Equivaletes. Dois ou mais capitais omiais, supostos com datas de vecimeto determiadas, dizem-se EQUIVALENTES quado, descotados para uma mesma data focal à mesma taxa de juros e em idêticas codições, produzirem valores iguais. Exemplo 1. Três títulos, um para doze meses o valor de 20.000 UM, outro para quize meses o valor de 25.000 UM e outro para vite e quatro meses o valor de 45.000 UM, foram substituídos por dois outros, sedo o primeiro de 18.000 UM para ove meses e o segudo para um ao e meio. Sabedo-se que a taxa de descoto racioal adotada é de 4,5% am, qual será o valor do titulo para um ao e meio? Cosiderar data focal 18 meses. Exemplo 2. Resolver o exemplo 1 cosiderado-se data focal 12 e o critério de descoto racioal. Exemplo 3. Resolver o exemplo 1 cosiderado-se o critério de descoto comercial e data focal 12. 32
Exemplo 4 Resolver o exemplo 3 cosiderado-se o critério de descoto comercial e data focal 18. Exemplo 5. Uma pessoa cotraiu, hoje, duas dívidas juto ao Baco Felicidade. A primeira terá o valor de 5.000 UM, o vecimeto, daqui a seis meses; a seguda terá o valor, o vecimeto, daqui a dois aos de 9.500 UM. Cosiderado a taxa de juros de 24% ao ao, capitalizados trimestralmete, se a pessoa optar por substituir as duas dívidas por apeas um, a vecer daqui a um ao e meio, obteha o valor do pagameto para um ao e meio. Exemplo 6. Certa loja vede um bem em 4 prestações mesais, iguais e sucessivas o valor de 145,00 UM, vecedo a primeira prestação daqui a 30 dias. Se a taxa de juros da loja é de 3,5% am, calcular o preço a vista bem. 33