CCI - 22 MATEMÁTICA COMPUTACIONAL

CCI - MATEMÁTICA COMPUTACIONA RESOUÇÃO DE SISTEMAS INEARES Prof. Pulo André http://www.comp.it.br/~puloc puloc@it.br Sl Prédio d Computção

CCI- Introdução Métodos diretos Regr de Crmer Eliminção de Guss Guss-Jordn Decomposição U Métodos itertivos Guss-Jcobi Guss-Seidel Considerções finis

MÉTODOS DE RESOUÇÃO Pr resolução de um sistem liner de equções, há dois grupos de métodos: Métodos diretos: solução é obtid trvés d plicção de um número finito de operções ritmétics Regr de Crmer Eliminção de Guss e de Guss-Jordn Decomposição U Decomposição U Métodos itertivos: solução é obtid trvés de um sequênci de proimções sucessivs, té se lcnçr um respost que stisfç precisão eigid Guss-Jcobi Guss-Seidel

SISTEMAS DE EQUAÇÕES INEARES Form gerl: onde: M n n M...... O n n... nn n n M n b b M b n ij são os coeficientes i são s incógnits b i são os termos independentes n é ordem do sistem Form mtricil: A b onde: A M n M n K K O n n n M nn M n b b b M b n

EXEMPO 5 5 5 5 Form gerl: 5 Form mtricil: 5. 5 5 5

CÁCUO DAS FORÇAS EM UMA TREIÇA Um eemplo: 8 6 8 F h 5 7 9 5 6 6 7 5 7 9 F h Condições de equilíbrio: F fcos5 f f5cos5 F F y f f f f f 5 f 5 F F F N junção : N junção : Gerrá um sistem de ordem 7 F F y f F f 6 f Idem pr demis junções

Introdução CCI- Métodos diretos Regr de Crmer Eliminção de Guss Guss-Jordn Decomposição U Métodos itertivos Guss-Jcobi Guss-Seidel Considerções finis

REGRA DE CRAMER Em um sistem de ordem n, quntos determinntes serim clculdos? n pr os numerdores e pr o denomindor

TEMPO DE PROCESSAMENTO Número m de multiplicções, no cso de 7 equções: 8 det 7 8 ( 7m 7 det 6 ) multiplicções 8 ( 7m 7 ( 6m 6 det 5 )) 8 ( 7m 7 ( 6m 6 ( 5m 5 det ))) 8 ( 7m 7 ( 6m 6 ( 5m 5 ( m (... ( m ( m )...))))) embrndo:

TEMPO DE PROCESSAMENTO 8 ( 7m 7 ( 6m 6 ( 5m 5 ( m (... ( m ( m )...))))) m ( 5... 7 8 5... 7 8 5... 7 8 5... 7 8 : : 6 7 8 7 8 ) 8! ( (/!) (/!)... (/6!) ) multiplicções 9,6 5 multiplicções

TEMPO DE PROCESSAMENTO Quntidde de multiplicções: 9,6 5 Utilizndo um supercomputdor tul: multiplicções por segundo Tempo gsto: 9,6 s di Se o sistem fosse de ordem, eigiri cerc de 8 nos de processmento nesse mesmo computdor! Um lgoritmo bem mis eficiente é o Método d Eliminção de Guss

MÉTODO DA EIMINAÇÃO DE GAUSS Objetivo Trnsformção do sistem liner ser resolvido em um sistem liner tringulr Operções válids Troc d ordem ds linhs Multiplicção de um equção por um número rel não nulo Substituição de um equção por um combinção liner del mesm com outr equção

SISTEMAS INEARES TRIANGUARES Tringulr superior: A M O M M M K K K Tringulr inferior: nn n n n A K M O M M M K K K nn n n n K

RESOUÇÃO DE UM SISTEMA TRIANGUAR Eemplo: 5 5 Pssos d resolução: 5 5 5 ( ) 5

PASSOS Considere mtriz umentd Ab: [ Ab] M n M n K n b inh K n b inh O M M n nn bn inh n Psso : nulr os coeficientes de ns linhs n Substituir linh pel combinção liner: m, onde m Se, trocr com k, onde k Se k não eistir, então o sistem não tem solução Continur nlogmente pr linhs i, < i n Psso i, < i < n: nulr os coeficientes de i ns linhs i n

EXEMPO 5 [ ] 5 Ab [ ] [ ] 5 m, m [ ] [ ] [ ] 7 5, m m [ ] [ ] [ ] 6 6 5 [ ] 6 6 7 5 Ab

EXEMPO [ ] 6 6 7 5 Ab, m m, m m [ ] [ ] [ ] 5 5 7 6 6 [ ] 5 5 7 5 Ab 5 6 5 7 7 5 5

EXEMPO (MANTISSA IGUA A ) 7 5 57 [Ab] 8 7 5 57 8 m [ 7 ] (7/) [ 5 57] [ ] m [ 8] ( /) [ 5 57] [ 86 ] [Ab] 86 5 57

EXEMPO [Ab] 5 86 57 m [ 86 ] ( 86/ ) [ ] [ 6 68 ] 5 57 [Ab] 6 68-68/(-6). [ - (-).]/. [57-5. -.]/.5 No entnto, solução et é: X X X

EIMINAÇÃO DE GAUSS Eliminção Pr cd pivô k do primeiro té o penúltimo Fç Pr tods s linhs i eceto primeir Fç Resolução i i m ik * i (n)b(n)/(n,n) Substitui o vlor de (n) n linh n- e determinr (n-). Substituir o vlor de (n) e (n-) n linh n- e determinr (n-) continur té determinr todos (k)

AGORITMO EIMINAÇÃO DE GAUSS Pr k...n- Pr ik...n m(i,k)/(k,k) (i,k) Pr jk,n (i,j)(i,j)-m*(k,j) b(i)b(i)-m*b(k)

RESOUÇÃO DO SISTEMA INEAR %Resolução pós Eliminção (n)b(n)/(n,n) Pr k n-... s Pr jk... n % Coloc os vlores de (n-) () ss(k,j)*(j) (k)(b(k)-s))/(k,k)

PIVOTEAMENTOS PARCIA E COMPETO Pivôs pequenos germ multiplicdores grndes, que umentm os erros de rredondmento... Um simples lterção no método de Guss é escolher como pivô o elemento de mior módulo: em cd colun (pivotemento prcil) dentre todos os elementos possíveis no processo de eliminção (pivotemento completo) Iremos resolver o eemplo nterior com pivotemento prcil e precisão de css decimis: 7 5 57 8 7 5 57 8

EXEMPO COM PIVOTEAMENTO PARCIA [.7 m m [ 5 [ 87.6 6.5 7] 57] (/7) [7 ] 5. 5] [ 8] (/7) [7 ] 7 7.7 5. 5 87.6 6.5 7 87.6 6.5 7.7 5. 5 m [ 5.8 5.56] [.7 5. 5] (.7/87.6) [ 87.6 6.5 7] 7 X 5.8/5.56.99 87.6 6.5 7 5.8 5.56 X [-7-6.5,99]/(-87.6).997 X [ (-),99.997]/7.

MÉTODO DE GAUSS-JORDAN Consiste em efetur operções sobre s equções do sistem, com finlidde de obter um sistem digonl equivlente, isto é, os elementos ij d mtriz A, onde i j, são todos nulos. A idéi é similr Eliminção de Guss porém sendo feito pr crir zeros bio d digonl principl e depois cim d digonl principl. [A] M M M K K O K K nn

EXEMPO GAUSS-JORDAN 5 5 [ ] 5 5 5 5 Ab [ ] [ ] 5 (/5) 5 m [ ].6..6 [ ] [ ] [ ]..8. 5 (/5) m [ ]..8..6..6 5 Ab

EXEMPO GAUSS-JORDAN [ Ab] 5.6...8.6. m [..8.] (. /.6) [.6..6] [.69.9] [ Ab] 5.6..69.6.9 A EIMINAÇÃO CONTINUA... m [.6..6 ] (./.69) [.69.7 ] [.6. ]

EXEMPO [ Ab] 5.6.69..9 [ 5 ] ( /.6) [.6.] m [ 5.57] [ ] [ ] m 5.57 (/.69).69.9 [ 5.779 ] [ Ab] 5.6.69.779..9 A solução é: X -,56 X -,86 X,78

RESÍDUOS Se () for encontrdo como solução do sistem A b, então o erro dess solução é (). Multiplicndo o erro por A: A(- () ) A A () b b () r () resíduo O resíduo pode ser utilizdo pr se encontrr um solução melhord () : () () δ (), onde δ () é um vetor de correção A () b A( () δ () ) b Aδ () b - A () r () δ () é solução do sistem Aδ r () Esses cálculos permitem um processo de refinmento d solução do sistem A b.

EXEMPO Vmos refinr o sistem bio: 8,7,5 5,, 8,8 8,8 9,,5,5, 5,,, 8,,,5 6, 9,7 8,8 6, Atrvés do método de Guss, podemos encontrr solução bio: () [,97,98 Cálculo do resíduo: r () b,97 A (),] T,,,59,59 Não está bom...

EXEMPO Cálculo do vetor de correção δ () : δ δ δ δ,59,59,,,5, 8,,,,5 8,8 5, 5,,5 8,8,5, 9,, 8,7 Solução: δ,,9,95,95 () Solução melhord: δ,,9999,, () () ()

EXEMPO Novo resíduo: r () b A (),9,,, Melhor que o nterior Cálculo do novo vetor de correção: δ (),,,7, Outr solução melhord: ),,,, Novo ( resíduo: r ( )

MEHOR APROXIMAÇÃO Ddo um sistem A b, sejm y e z dus proimções d solução et. Como sber qul dels é melhor? A estrtégi mis lógic prece ser comprr os respectivos resíduos: o menor seri d melhor solução Infelizmente, isso nem sempre é verdde... Eemplo:,,6,,, 6,, 5,,5,8,5,6 5 y z,,,8 Conclusão: nem sempre proimção de menor resíduo é melhor ou mis et Se encontrr resíduos menores não grnte melhores soluções, como sber se o processo de refinmento por resíduos funcion? r y r z,,,5

CONDICIONAMENTO DE PROBEMAS Um problem é dito ml condiciondo se pequens lterções nos ddos de entrd ocsionm grndes erros no resultdo finl Eemplo:,99,87y, 9,8, y,6 6 Solução: e y- Suponh que os vlores desse sistem sejm obtidos eperimentlmente, e por isso os termos independentes possm vrir de ±,:,99,87y,,8, y,6 Vlor perturbdo Solução:,85 e y-,789 Erro n entrd: (,9-, /.9 ),8% Erro no resultdo: (.-,85 /. ) 8,5%

OUTRO EXEMPO Considere os seguintes sistems: y,5,5 y 6,5 () (b) y,5,5 y 6,5 () (c) Solução: e y Solução:,8 e y, () (b) (c)

MÉTRICAS DE CONDICIONAMENTO Há métrics pr o condicionmento de sistems de equções, bseds em norms de vetores e mtrizes (vide Cláudio & Mrins) No entnto, esses cálculos não resolvem o ml condicionmento pens indicm eistênci... Pode ser demonstrdo que é possível detectr o mu condicionmento de um sistem de equções pens com o uso dos refinmentos: Se os resíduos r (), r (),..., r (n) são pequenos, ms s correções δ (), δ (),..., δ (n) são grndes, então o sistem é ml condiciondo Pr sistems bem condiciondos, bstm no máimo dois refinmentos Ao longo desse processo, os resíduos e s correções devem ser clculdos com precisão dupl

EXEMPO Considere o sistem bio,759,65,6,67,75,9589,5,7,695,8965,79,6789 (),86,77,9 Primeiro refinmento r () b A (),68,7,6789,688,75577,6788,8,5577,76696 Resíduos pequenos δ Resolução de Aδ () r () : (),8,5,57765 Correções pequens Solução melhord () () δ () : (),85,77,9 Sistem bem condiciondo

UMA OUTRA FORMA DE VER... Consideremos o sistem de equções A b: A A () b b b b Após primeir fse d eliminção de Guss: A () () () () () () () () M ().A (), onde M () m m Após segund fse d eliminção de Guss: A () () () () () () () M ().A (), onde M () m

UMA OUTRA FORMA DE VER... Resumindo: A A () A () M ().A () M ().A A () M ().A () M ().M ().A A (M ().M () ) -.A () A (M () ) -.(M () ) -.A () É fácil comprovr que: Portnto: (M () ) (M () ) m m () () () () () A m.u () m m m

DECOMPOSIÇÃO U A comprovção nterior pode ser generlizd em um teorem A m.u m M mn u M n m K u K un M m n M m n K K O K Dd um mtriz qudrd de ordem n, sej A k mtriz constituíd ds primeirs k linhs e coluns de A. Suponh que det(a k ), k n-. Então: Eiste um únic mtriz tringulr inferior (m ij ), com m ii, i n. Os demis são os multiplicdores d Eliminção de Guss Eiste um únic mtriz tringulr superior U(u ij ), tis que.u A. det(a) u.u.....u nn u u M u u M K K O K u u u n M nn

DECOMPOSIÇÃO U Portnto, ddos o sistem liner A b e decomposição (ou ftorção).u d mtriz A, temos: A b (.U) b Sej y U. A solução do sistem pode ser obtid d resolução de dois sistems tringulres: y b U y É possível verificr que y é o vetor constnte do ldo direito obtido o finl d Eliminção de Guss No eemplo do sistem com equções: y b y - b Como (M () ) -.(M () ) -, - M ().M () Portnto, y M ().M ().b

EXEMPO multiplicdores A / / / / / / / / / / / / U / / / / / /

EXEMPO / / / / U y b y y y /y y /y y 5/ y 5 y U 5/ / /

DECOMPOSIÇÃO U COM PIVOTEAMENTO É possível incorporr s estrtégis de pivotemento prcil ou totl à decomposição U As eventuis permutções de linhs n mtriz A (k) podem ser relizds trvés d multiplicção de mtrizes Um mtriz qudrd de ordem n é um mtriz de Um mtriz qudrd de ordem n é um mtriz de permutção se for obtid d correspondente mtriz identidde trvés ds permutções de sus linhs ou coluns Eemplo: 5 6 9 5 5 6 9 5. P.A 5 6 9 5 A

EXEMPO COM PIVOTEAMENTO PARCIA 9 A ) ( / / / / A ) ( P ) (.A P A () () '() P ) ( / / / /.A P A () () '()

EXEMPO COM PIVOTEAMENTO PARCIA 5/8 / / / / A ) ( / / U / / / 5/8 / U A P.A, onde P P ().P () :. P.A A '

EXEMPO COM PIVOTEAMENTO PARCIA 9 / / / 5/8 / U 9 y y Pb 5/ / y y U 9. y y y. / / / 5/ /. 5/8 /

AGORITMO DA FATORAÇÃO U COM PIVOTEAMENTO PARCIA Pr cd linh k d mtriz A Selecionr linh r com mior módulo possível pr pivô Trocr linh r por linh k Fzer eliminção dos elementos bio de (k,k), rmzenndo os multiplicdores m Fzer troc de linhs correspondente em b, cp.b Resolver ycpb Resolver Uy

AGORITMO DA FATORAÇÃO U COM PIVOTEAMENTO PARCIA / Pr i..n p(i)i Pr k...(n-) % pr cd linh pv (k,k) rk Pr i(k)...n % selecion linh Se ( (i,k) > pv então pv (i,k) ri Se pv então Escrev( mtriz singulr ); sir;...

AGORITMO DA FATORAÇÃO U COM PIVOTEAMENTO PARCIA / Se r k então up(k) p(k)u p(r)u Pr j...n % troc linh r por linh k u(k,j) (k,j)(r,j) (r,j)u Pr i(k)...n % eliminção m(i,k)/(k,k) (i,k)m Pr j(k)...n (i,j)(i,j)-m*(k,j) % Fim do Pr k...(n-)

AGORITMO DA FATORAÇÃO U COM PIVOTEAMENTO PARCIA / Pr i...n% troc de linhs em b, isto é cp*b rp(i) c(i)b(r) Pr i...n % Resolução do sistem yc som Pr j...(i-) somsom(i,j)*y(i) y(i)c(i)-som Pr in... % Resolução do sistem Uy som Pr j(i)...n somsom(i,j)*(j) (i)(y(i)-som)/(k,k)

MÉTODOS ITERATIVOS Como foi inicilmente comentdo, os métodos itertivos pr resolução de sistems lineres consistem em encontrr um sequênci de proimções sucessivs Dd um estimtiv inicil (), clcul-se sequênci (), (), ()..., té que determindo critério de prd sej stisfeito O sistem A b é trnsformdo em (k), C (k-) g, k>, onde C é um mtriz e g um vetor Critérios de prd: Máimo erro bsoluto ou máimo erro reltivo Número de iterções Métodos: Guss-Jcobi e Guss-Seidel

MÉTODO DE GAUSS-JACOBI Considere o sistem em su form inicil:... n n b... n n b M M O M M... n n nn n b n Isolndo i-ésim incógnit n i-ésim equção: (/ ) (b - -... - n n ) (/ ) (b - -... - n n )... n (/ nn ) (b n - n -... - n,n- n- )

MÉTODO DE GAUSS-JACOBI Dess form, pr (k) C (k-) g: C / n / / n / M M O M n / nn n / nn g b b b / / M / n nn Eemplos de critérios de prd: Erro bsoluto: d (k) m i (k) (k-) < ε Erro reltivo: d r (k) d (k) /(m i (k) ) < ε

EXEMPO 5 7 8 6 C /5 /5 / / / /5 g 7/ 8/5 6/ ε,5 (), 7,6,6 () C (), 96 g,86,9 () (),6 () (),6 () (), d r (),/(m i () ),88 > ε

EXEMPO / C /5 /5 / / /5 7/ g 8/5 6/ (),96,86,9 C,978 978 g,98,966 ( ) () d () r,/,98,66 > ε () C (),999 g,9888,998 d r (),/,9888,6 < ε

CRITÉRIO DAS INHAS A convergênci de um método itertivo pr solução et não é grntid: é preciso que o sistem stisfç lgums condições De cordo com Demidovich & Mron (Computtionl Mthemtics, 97), há um critério suficiente pr convergênci do método de Guss-Jcobi: n j j i ij < ii, pr i,,...,n Ess condição é conhecid como o critério ds linhs

EXEMPOS Considere o eemplo nterior: 5 7 < 8 6 < 5 < Grnti de convergênci Considere o eemplo bio: < Não há grnti de convergênci No entnto, o método de Guss-Jcobi converge neste sistem pr solução et /. Verifique! Isso mostr que o critério ds linhs é suficiente, ms não necessário

EXEMPOS Reescrevendo o sistem nterior como : < Não há grnti de convergênci Agor, o método de Guss-Jcobi diverge pr este sistem Qundo o critério não é vlido nd se pode firmr sobre convergênci,... não ser plicndo o próprio método Guss- Jcobi e verificndo convergênci...

MAIS UM EXEMPO Considere o sistem seguir: 5 6 8 > 6 5 > 6 < 8 Não há grnti de convergênci No entnto, um permutção entre s dus primeirs linhs grnte convergênci: 5 6 8 6 < 5 < 6 < 8 Grnti de convergênci Qundo o critério ds linhs não for stisfeito, convém tentr um permutção de linhs e/ou coluns

MÉTODO DE GAUSS-SEIDE Anlogmente o método de Guss-Jcobi, clcul-se (k) C (k-) g: C M n / / nn M n / / nn O n n M / / g b b b / / M / n nn No entnto, utiliz-se no cálculo de : Vlores clculdos n mesm iterção: Vlores d iterção nterior: (k) j,..., (k) n (k ) j (k ) (k ),..., j

EXEMPO Processo itertivo: ) ( ε,5 6 6 5 5 ) (k ) (k ) (k (k ) ) (k ) (k (k ) (k ) ) (k,5,5,5,75,5,,

EXEMPO (k ) ) Primeir iterção (k): (k (k ),,5,5 (k ),75 (k ), (k ) (k ),5,5 (k ) (k ) () () (),5,75.,5.,5.,75,75,875 (),75,875 () () () (),75 d r () /(m i () ) > ε () (),875

EXEMPO (k ) ) Segund iterção (k): (k (k ),,5,5 (k ),75 (k ), (k ) (k ),5,5 (k ) (k ) ( ) ( ) ( ),.,75,.,875,5,5,75.,5,5.,875,5.,5,5.,95,9875,95 (),5,95,9875 () (),5 () (), d r (),/(m i () ),95 > ε () (),5

EXEMPO (k ) ) Terceir iterção (k): (k (k ),,5,5 (k ),75 (k ), (k ) (k ),5,5 (k ) (k ) ( ) ( ) ( ),.,95,.,9875,75,5,75.,75,5.,9875,5.,75,5.,99,999,99 (),75,99,999 () (),75 () (), d r (),/(m i () ),9 < ε () (),8

INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA No cso de um sistem de ordem, é possível visulizr convergênci do método: Os pontos ( (k), (k) ) * stisfzem primeir equção, enqunto os pontos ( (k) (k), ) stisfzem segund * Alterndo ordem ds linhs, no mesmo sistem convergênci pode não ocorrer...

CRITÉRIO DE SASSENFED Sejm os seguintes vlores: β n j j β i ii i n β ij j j j i ij, pr < i n β m {β j }, j n Se β <, então o método de Guss-Seidel ger um sequênci convergente, qulquer que sej () Qunto menor for β, mis rápid será convergênci Eercício: Demonstre vlidde do critério!

EXEMPO,,8,,,,,, 7,8,,6,6,,, ( ) ( ) ( ) ( ),7,76,58,8,,,7,,58,,,,7,,,,6,7,6,7,, < β β β β β

EXEMPOS Considere o sistem bio, nteriormente visto: β β β / (.) / / No entnto, o método de Guss-Seidel converge neste sistem pr solução et /. Verifique! Isso mostr que o critério de Sssenfeld, como o ds linhs, é suficiente, ms não necessário

EXEMPOS - Considere mis um sistem: 6 8 β β / ( 6., ) β, <, /, O critério de Sssenfeld grnte convergênci, ms o ds linhs, não fornece grntis nesse cso... N verdde, sempre que o critério ds linhs for verddeiro o critério de Sssenfeld tmbém será... Eercício: Demonstre que se o critério ds linhs é stisfeito Sssenfeld tmbém é stisfeito!

CONSIDERAÇÕES FINAIS Se um sistem stisfz o critério ds linhs, então stisfrá tmbém o critério de Sssenfeld (vide Ruggiero & opes). Portnto, pode ser plicdo tmbém o método de Guss-Seidel Os critérios presentdos são condições suficientes, ms não necessáris Em sistems esprsos (com grnde número de coeficientes nulos), o método de Eliminção de Guss não é proprido, pois não preserv est qulidde vntjos. Nesses csos, convém utilizr métodos itertivos Os métodos itertivos são menos suscetíveis o cúmulo de erros de rredondmento

MÉTODOS DIRETOS VERSUS ITERATIVOS Solução Diretos: sempre ocorre (em sistems não singulres) Itertivos: ocorre sob determinds condições (convergênci) Esprsidde d mtriz de coeficientes Diretos: lterm estrutur d mtriz Itertivos: não lterm estrutur d mtriz Erros de rredondmento Diretos: ocorrem cd etp e podem cumulr-se Itertivos: somente os erros d últim etp fetm solução