ANÁISE DINÂMICA DE SISTEMAS CONTÍNUOS INTRODUÇÃO Sstemas dscretos e sstemas contínuos representam modelos matemátcos dstntos de sstemas fsícos semelhantes, com característcas dnâmcas semelhantes Os sstemas dscretos têm um número fnto de graus de lberdade e os sstemas contínuos têm nfntos graus de lberdade Os sstemas dscretos são governados por equações dferencas ordnáras, e os sstemas contínuos são governados por equações dferencas parcas Os sstemas contínuos têm soluções eactas apenas em casos especas, essencalmente quando os parametros que caracterzam o sstema são unformemente dstrbudos Neste caso as equações do movmento dferencas de ª ordem reduzem-se à chamada equação de onda NESTE CAPÍTUO Neste capítulo estuda-se o comportamento dnâmco de componentes de geometra prsmátca: cabos, barras, vgas, e veos Componentes estas sujetas apenas a: forças aas, esforços de fleão, esforços de torção
VIBRAÇÕES TRANSVERSAIS DE CABOS ρ(), T () f (,t ) Consdere-se o sstema contínuo e elástco da fgura onde: y(, F (, é uma força eteror ρ() é a densdade d T() é a tensão no ponto Este apenas tensão aal, pos o cabo não tem rgdez à fleão ( ) y, t f (,d T T( ) + ( ) d T () (, t ) y(, t ) + d y +d
VIBRAÇÕES TRANSVERSAIS DE CABOS Aplcando a ª le de Newton ao elemento de corda do dagrama de corpo lvre obtém-se: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),,,,, t t y d d t f t y T d t y t y d T T ρ + + + (5.) Desenvolvendo a epressão anteror e desprezando os termos de ª ordem em d, e dvdndo a equação resultante por d chega-se a: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t t y t f t y T < < +,,, ρ (5.) Osclações lvres - Problema de valores própros No caso das osclações lvres tem-se que f (,, e o problema de condção frontera reduz-se à segunte equação dferencal e condções de frontera: ( ) ( ) ( ) ( ) t t y t y T < <,, ρ ( ) ( ),, t y t y (5.3) (5.4)
VIBRAÇÕES TRANSVERSAIS DE CABOS Procuram-se soluções de movmento síncrono, ou seja, movmento em que todas as partículas têm movmento vertcal com a mesma forma (mesma dependenca do tempo), mas ampltudes dferentes. Matemátcamente o movmento síncrono mplca que a função que descreve o deslocamento é separavel no espaço e no tempo: y, t Y F t (5.5) ( ) ( ) ( ) Introduzndo (5.5) em (5.3) e rearranjando obtém-se: ρ ( ) Y( ) d d T ( ) dy d ( ) F Na eq. anteror as dervadas parcas foram substtudas por dervadas totas porque Y depende apenas de e F depende apenas de t. ( d F dt ( t ) (5.6) O lado esquerdo da eq. (5.6) depende apenas de e o lado dreto depende apenas de t. Conclu-se que para a gualdade se manter para todos os e t então os dos lados representam uma constante. Defnndo esta constante por ω (5.6) resulta em: d F dt ( ( ) + ω F t ( ) d dy T ( ) d d ω ρ ( ) Y( ) < < (5.7) (5.8)
VIBRAÇÕES TRANSVERSAIS DE CABOS Onde ω representa uma solução de movmento estável (não dvergente). Se o movmento síncrono este a função que representa a dependenca do tempo deve ser harmónca, pelo que a solução de (5.7) é: F( C cos ( ωt φ ) (5.9) As constantes C, ω e φ são guas para qualquer função Y() que seja solução de (5.8). Relatvamente à confguração do deslocamento síncrono, Y(), esta solução deve satsfazer (5.8) em todo o domíno e tb as condções frontera seguntes: ( ) Y( ) Y (5.) Problema de valores própros: determnação dos valores de ω para os quas estem soluções não trvas, Y(), de (5.8). Os ω são os valores própros As funções correspondentes, Y(), são as funções própras ou funções característcas ou modos própros Estem nfntas frequêncas naturas ω r e nfntas funções própras Y r () A resposta lvre do sstema no caso geral é dada pela sobreposção dos modos naturas e em termos das coordenadas naturas ou coordenadas normas vem: (, Y ( ) ( t ) y r η (5.) r r
VIBRAÇÕES TRANSVERSAIS DE CABOS Em cada um dos modos naturas o movmento tpo harmónco podeser representado em termos das coordenadas naturas ou coordenadas normas η r (: Cujas soluções são dadas por: η ( + ω η ( r, n r r r,..., η r ( C cos( ω t φ ) r r r (5.) (5.3) Onde C r e φ r são constantes que dependem das condções ncas e ω r é a frequênca natural do modo r. Cabo Unforme e Fo em e (solução do problema de valores própros) Introduzndo ρ()ρ cte e T()Tcte na eq.(5.8) então tem-se a segunte eq dferencal para o deslocamento transversal: d Y d ( ) ω ρ + β Y ( ) β (5.4) T Adconalmente como os etremos estão fos então a equação anteror está sujeta às seguntes condções frontera: ( ) Y ( ) Y (5.5)
A equação dferencal (5.4) tem soluções do tpo harmóncas: Y ( ) Asn β + Bcos β VIBRAÇÕES TRANSVERSAIS DE CABOS (5.6) Introduzndo a prmera condção frontera em (5.6) conclu-se que B, logo a solução é: Y ( ) Asn β Introduzndo a segunda condção frontera em (5.7) obtém-se: sn β (5.7) Que é a equação característca, e cujas soluções são são os valores característcos: β r rπ r,,... (5.8) (5.9) Aos quas corresponde o conjunto nfnto de funções própras: rπ Yr ( ) Ar sn (5.) Onde as ampltudes A r são ndetermnadas logo apenas a forma do movmento é conhecda nesta fase. Da segunda das eqs (5.4) calculam-se as frequêncas naturas do sstema: ω r T T βr rπ r ρ ρ,... (5.) A prmera frequênca é chamada de frequênca fundamental ou prmera harmónca e as outras são chamadas de harmóncas de ordem superor
VIBRAÇÕES TRANSVERSAIS DE CABOS Os 4 prmeros modos naturas estão desenhados na fgura segunte, onde foram normalzados fazendo A r :. y() ρ, T º modo ω π T ρ y(). º modo ω π T ρ nó -.. y() 3º modo ω 3 3 π T ρ nós -. y(). 4º modo ω 4 4 π T ρ -.
VIBRAÇÕES ONGITUDINAIS DE BARRAS As vbrações longtudnas de barras esbeltas satsfaz um problema de condção frontera semelhante ao do cabo elástco sob tensão, então para obter a equação parcal dferencal que representa o movmento basta substtur em (5.) os parametros ρ() e T() por m() e EA() repectvamente.: EA ( ) (, u m ( ) u t (, < < (5.) u(, é o deslocamento segundo o eo- m() é a massa por undade de comprmento EA() é a rgdez aal E é o módulo de elastcdade A() é a área da secção transversal Pelas razões apontadas acma, a estrutura do problema de valores própros é semelhante à do cabo elástco, pelo que no movmento síncrono a função que descreve o deslocamento é separavel no espaço e no tempo: u, t U F t (5.4) onde F( é harmónca no tempo. ( ) ( ) ( )
VIBRAÇÕES ONGITUDINAIS DE BARRAS Por analoga com o caso do cabo elástco, o problema de valores própros toma a forma: ( ) d du EA( ) m d d ω ( ) U ( ) < < Se a barra for unforme, ou seja, m() m cte e EA() EA cte, (5.5) reduz-se a: U d ( ) d + β U( ) β ω A equação dferencal (5.6) tem soluções do tpo harmónca: Barra encastrada em e lvre em, neste caso as condções de frontera são: U ( ) c c cos U ( ) sn β + ( ) β du d m (), EA () u (, m EA (5.5) (5.6) (5.7) (5.8)
VIBRAÇÕES ONGITUDINAIS DE BARRAS Introduzndo a prmera condção frontera na solução (5.7) resulta c, pelo que a solução se reduz a: U ( ) c sn β (5.9) Da segunda condção frontera obtém-se: cos β Que é a equação característca, e cujas soluções são os valores característcos dados por: π r ( r ),,,... Aos quas corresponde o conjunto nfnto de funções própras: β r (5.3) (5.3) U r π ( ) c sn ( r ), r,,... r Fnalmente as frequênca naturas obtêm-se da segunda equação em (5.6): (5.3) ω r π EA m ( r ) (5.33)
VIBRAÇÕES ONGITUDINAIS DE BARRAS Modos Naturas: os 3 prmeros modos naturas estão desenhados na fgura segunte, onde foram normalzados fazendo c r : U() U().. º modo º modo ω π 3 ω π EA m EA m -.. U() -. modo 3º 5 ω 3 π EA m
Barra lvre nas duas etremdades m (), EA () u (, VIBRAÇÕES ONGITUDINAIS DE BARRAS Neste caso as condções de frontera são: du d ( ) du ( ) As condções frontera ntroduzem-se em (5.7). Aplcando a c.f. em resulta c, pelo que a forma das funções própras passa a ser: Aplcando a c.f em resulta na equação característca: U, d ( ) c cos β (5.34) (5.35) β sn β Cujas soluções são os valores característcos dados por: rπ β, β r r,,... (5.36) (5.37)
VIBRAÇÕES ONGITUDINAIS DE BARRAS Onde β corresponde ao movmento de corpo rígdo. Substtundo na eq. dferencal (5.6): Que tem como solução: d U d ( ) ( ) a b U + (5.38) (5.39) A aplcação das condções frontera a esta solução mplca que b, logo o movmento da barra é constante e ndependente de então Movmento de corpo rígdo Substtundo os valores característcos (5.37) em (5.35) resulta num conjunto nfnto de funções própras: ( ) cos rπ U r,,... (5.4) r cr As frequênca naturas obtêm-se da segunda equação em (5.6): ω rπ r EA m (5.4)
VIBRAÇÕES ONGITUDINAIS DE BARRAS Modos Naturas: 4 prmeros modos naturas, normalzados fazendo c r :. U() U() U() U() -.. modo. º modo -.. -. º modo 3º modo ω ω π ω ω 3 3 π π EA m EA m EA m
VIBRAÇÕES TORCIONAIS DE BARRAS Consdere-se: o Uma barra não unforme com o eo ao longo do eo neutro o As característcas da barra são tas que o movmento de rotação não tem empeno o GJ() é a rgdez à torconal e I() é o momento polar de nérca da massa por undade de comprmento I (), GJ () θ() ( M, m T (, t )d θ (, ( ) θ, t θ + (, d M M (, + (, t ) d
Estabelecendo o equlbro dnâmco do elemento de troço tem-se: M Ou smplfcando: T (, + M (, T M T M + T (, t ) + m (, T d + m (, d I ( ) VIBRAÇÕES TORCIONAIS DE BARRAS d (, t ) Por outro lado, num elemento de barra de comprmento d o momento torçor M T () a que corresponde um deslocamento angular dθ é: M T T (, I ( ) ( t ) GJ( ), θ t ( t ) θ, (, Substtundo a epressão anteror em (5.43) resulta na equação dferencal do movmento que governa as vbrações torconas de barras: GJ ( ) θ (, + m T (, I ( ) θ t (, θ t (5.4) (5.43) (5.44) (5.45)
VIBRAÇÕES TORCIONAIS DE BARRAS Eemplo: Osclações lvres do veo unforme encastrado num etremo e com dsco rígdo no outro etremo I D I, GJ No caso das osclações lvres a eq. dfrencal é: GJ E mas uma vez, no movmento síncrono a função que descreve o deslocamento é separavel no espaço e no tempo: Onde a função F( é harmónca. ( ) θ θ (, I ( ) (, Θ( ) F ( θ t (, (5.46) (5.47)
VIBRAÇÕES TORCIONAIS DE BARRAS Deste modo e por analoga com o caso do cabo elástco, o problema de valores própros toma a forma: d dθ( ) GJ( ) ω I ( ) Θ( ) (5.48) d d Que no caso da barra unforme conduz a: d Θ d ( ) A solução de (5.49) é harmónca: + λ Θ ( ) ω I λ (5.49) GJ Θ ( ) C C cos sen λ + λ (5.5) Neste caso as condções frontera são: GJ ( ) θ θ (, (, t ) θ (, I D t (5.5) (5.5)
VIBRAÇÕES TORCIONAIS DE BARRAS Substtundo a ª cond. frontera na eq. solução de movmento síncrono (5.5) vem C logo: Θ ( ) C sen λ A ª condção frontera pode-se apresentar na segunte forma: GJ Combnando (5.53) e (5.54) obtém-se: d ( ) Θ I D d GJλ tan( λ ) ω ( ) ω Θ (5.54) Substtundo na equação anteror a segunda epressão de (5.49) chega-se a: I D I ( ) ( ) I( ) I tan λ V λ tan( λ) I D λ I D λ I D λ (5.53) (5.55) (5.56) Que é a equação característca a ser resolvda numercamente para se obterem os valores caracterstcos. A cada solução corresponde uma função própra e uma frequênca natural: ( ) C sen I I Θ r r λr (5.57) V D
VIBRAÇÕES TRANSVERSAIS DE VIGAS Vbrações Transversas dum Cabo Elástco Vbrações ngtudnas de uma Barra Fna Vbrações Torconas dum Veo de Secção Crcular Problemas de Condção Frontera Eq. dferencal parcal de ª ordem Uma c.f. em cada etremdade ( c.f.) Vbrações Transversas de Vgas Problemas de Condção Frontera Eq. dferencal parcal de 4ª ordem Duas c.f. em cada etremdade (4 c.f.)
VIBRAÇÕES TRANSVERSAIS DE VIGAS o y(, deslocamento transversal em o f(, força mpressa por undade de comp. z m(), EI() f (, o m() massa por undade de comprmento o EI() rgdez à fleão o I() momento de área da secção transversal z d Teora da Vga Smples Consdera-se a rotação do elemento de vga nsgnfcante comparada com o deslocamento vertcal A deformação de corte é pequena comparada com a deformação devdo à fleão Teora válda se / h for grande (>) As smplf. acma mplcam que se despreza a nérca à rotação e a deformação devdo ao corte ( M, ( Q, f (,d Q (, M Q + (, (, d M + (, d
M ( Q (, (, Q + (, d Q (, + f (, d m( ) (, VIBRAÇÕES TRANSVERSAIS DE VIGAS Do dagrama de corpo lvre conclu-se que a equação do movmento do elemento de barra na drecção vertcal é: d (, M, (, ) Q (, ) + d M t + Q t + d d + f (, M (, + Q (, (, M y + f (, d m( ), < t y t (, d < (5.58) Ignorando o momento de nérca assocado à rotação do elemento, o equlíbro de momentos em torno do eo perpendcular a e y e que passa pelo centro de área da secção transversal é: Ignorando os termos de segunda ordem em d a equação anteror vem: Smplfcando tb a epressão (5.58) e combnando com (5.6) resulta: (5.59) (5.6) A equação anteror relacona o momento flector M(,, a força eteror mpressa ao sstema f(, e a deformada em fleão y(,. (5.6)
VIBRAÇÕES TRANSVERSAIS DE VIGAS Por outro lado, para uma vga, a relação entre o momento flector e deformada em fleão é dada por: y(, M (, EI ( ) (5.6) Introduzndo (5.6) em (5.6) obtém-se a equação dferencal das vbrações transversas de vgas: y(, y(, EI ( ) + f (, m( ) < < (5.63) t Problema de Valores Própros Osclações lvres Movmento síncrono mplca que a função que descreve o deslocamento é separável no espaço e no tempo: y (, Y ( ) F( t ) (5.64) Neste caso a função F( é harmónca e se a sua frequênca for ω então o problema de valores própros toma a forma: d d EI ( ) d Y d ( ) ω m ( ) Y ( ) < < (5.65)
Vga Unforme, encastrada numa etremdade e lvre na outra y (, (, y VIBRAÇÕES TRANSVERSAIS DE VIGAS Sendo a vga unforme, I() I cte, m() m cte, então a equação das vbrações transversas é: 4 d Y ( ) 4 4 ω m β Y( ) β 4 d EI (5.66) Resolver o problema de valores própros consste agora em resolver o problema de condção frontera, que satsfaz a equação dferencal (5.66) e as c.f. apropradas, que neste caso são: Encastramento: deslocamento zero e declve zero (5.67) (5.68) Etremdade lvre: momento flector e esforço de corte são nulos EI ( ) EI y (, ( ) y (, (5.69) (5.7)
A solução geral da equação (5.66) é: VIBRAÇÕES TRANSVERSAIS DE VIGAS Y ( ) c c cos c snh c cosh sn β + β + 3 β 4 + A aplcação das condções frontera conduz à equação característca: Y r ( ) cos β cosh β Que tem que ser resolvda numércamente para se obter os valores β r, aos quas correspondem modos naturas dados por: ( sn β r snh β r)( sn β r snh βr ) + ( cos β + cosh β )( cos β + cosh β ) Ar, r r r r r β,,... (5.7) (5.7) (5.73)
MÉTODO DE HOZER PARA VIBRAÇÕES TORCIONAIS Este método aprómado é adequado para vgas com característcas não unformes acentuadas, ou sstemas com um número grande de massas concentradas. Substtu-se o sstema contínuo por um sstema dscreto O sstema é representado por um conjunto de n massas dscretas e rígdas concentradas em n pontos chamados de estações Os segmentos de veo entre as massas dscretas assumem-se sem massa e com rgdez unforme e chama-se de campos A equação do movmento que relacona força com a deformação (ou deslocamento) é substtuda equações de dferenças fntas correspondentes A solução obtém-se passo a passo
A relação entre o deslocamento angular e o momento torçor é dada por: θ (, MT (, GJ ( ) MÉTODO DE HOZER PARA VIBRAÇÕES TORCIONAIS (6.) Por outro lado, deduzu-se anterormente a equação dferencal que governa as vbrações torconas lvres de vgas: M T (, t ) θ ( ) (, I (6.) t Como as vbrações lvres do movmento síncrono são harmóncas então tem-se que o deslocamento angular e o momento torçor são representados por: θ M (, Θ( ) cos( ωt φ ) (, M ( ) cos( ωt φ ) Elmnando a dependênca do tempo, pode-se substtur (6.) e (6.) por: Θ( ) M ( ) d GJ( ) ( ) I( ) Θ( ) d dm d (6.3) (6.4) (6.5) ω (6.6) As equações anterores são a base do método de dferenças fntas a deduzr
MÉTODO DE HOZER PARA VIBRAÇÕES TORCIONAIS Represente-se a vga não unforme da fgura por n+ dscos rígdos lgados por veos crculares, sem massa e com rgdez unforme. Os dscos têm momentos polares de nérca dados por: I I ( ) In + I ( n+ ) n I I,..., ( )( + ) I( ), n (6.7) (6.8) Onde os ncrementos são sufcentemente pequenos para que as apromações em (6.7) e (6.8) sejam váldas.
MÉTODO DE HOZER PARA VIBRAÇÕES TORCIONAIS Adconalmente usa-se a notação: GJ GJ +,,..., n (6.9) Dagrama de corpo lvre da estação e do campo o Os índces R e referem-se respectvamente aos lados dretos e esquerdo da estação o O lado esquerdo do campo usa a notação correspondente ao lado dreto da estação o O lado dreto do campo usa a notação correspondente ao lado esquerdo da estação+ estação campo
MÉTODO DE HOZER PARA VIBRAÇÕES TORCIONAIS R Θ Θ Θ ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) I I M Θ + Θ ω ω R I M M Θ ω R M M + Vão ser utlzadas as equações (6.5) e (6.6) para relaconar os deslocamentos angulares e os momentos torçores nos dos lados da estação e do campo. Como os dscos são rígdos os deslocamentos nos dos lados da estação são guas: (6.) Por outro lado a equação (6.6) na forma ncremental é: Utlzando (6.7), (6.8) e (6.), a epressão anteror vem: Como o segmento de veo assocado ao campo não tem massa, tem-se que: A equação (6.5) na forma ncremental e quando aplcada ao campo é: ( ) R GJ M M GJ M + + + + Θ + + + (6.3) (6.) (6.) (6.4)
MÉTODO DE HOZER PARA VIBRAÇÕES TORCIONAIS Utlzando a equação (6.3) a epressão (6.4) reduz-se a: onde: Θ + Θ a R GJ + a M R (6.5) (6.6) Representa o coefcente de nfluênca da flebldade torconal. Pode ser ntrepertado como o deslocamento angular do dsco + devdo a um momento untáro na estação +, mantendo o dsco sem rotação. As equações (6.) e (6.) podem ser representadas na forma matrcal: θ M R R ω I θ M (6.7) e representam o deslocamento e torque no lado dreto da estação em termos de quantdades semelhantes no lado esquerdo.
MÉTODO DE HOZER PARA VIBRAÇÕES TORCIONAIS Defnem-se as seguntes quantdades como vectores de estado, que são os deslocamentos angulares e torques nos lados dreto e esquerdo da estação : Θ M R R Θ M R Θ M Θ M (6.8) Defne-se anda a matrz de transferênca da estação que relacona os dos vectores de estado (6.6): [ TE ] (6.9) ω I Deste modo a equação (6.7) pode ser escrta numa forma mas compacta: θ M R [ T ] E θ M De forma semelhante as equações (6.3) e (6.5) podem ser representadas por: (6.) onde: θ M + [ T ] C θ M R (6.)
MÉTODO DE HOZER PARA VIBRAÇÕES TORCIONAIS Onde se defne a matrz de transferênca do campo: Introduzndo (6.) em (6.) obtém-se: a [ T ] C (6.) Onde: θ M + [ T ] θ M [ T ] [ T C ] [ T E ] (6.3) (6.4) Representa a matrz de tranferênca que relacona o vector de estado no lado esquerdo da estação + com o vector de estado no lado esquerdo da estação. Pode-se provar que começando com o prmero dsco, se tem a segunte relação: Θ M + Θ M [ T ] [ T ]...[ T ] [ T ],,..., n Adconalmente, observando a últma fgura apresentada, conclu-se que: Θ M R n + Θ [ T ] M (6.5) (6.6)
Onde a matrz de transferênca global é: [ T ] [ TE ] + [ T ] n [ T ] n [ T ] [ ] n... T R R Θ n+ T Θ + TM Mn+ TΘ + TM MÉTODO DE HOZER PARA VIBRAÇÕES TORCIONAIS (6.7) e relacona o vector de estado no lado esquerdo da estação com o vector de estado no lado dreto da estação n +. A equação (6.6) escrta na forma eplícta é: Onde os elementos T j (,j,) da matrz de transferênca global [T] representam polnómos em ω. A equação do sstema em ordem à frequênca obtém-se fazendo um dos elementos desta matrz, ou uma combnação de elementos, gual a zero através das c.f. nos etremos da vga. A - Veo lvre nas duas etremdades Como não estem momentos torçores nas etremdades, as condções frontera são: (6.8) M M R n+ Introduzndo as c.f. na segunda equação de (6.6) conclu-se que: (6.9) T
MÉTODO DE HOZER PARA VIBRAÇÕES TORCIONAIS B - Veo encastrado numa etremdade e lvre na outra Na etremdade esquerda o deslocamento é zero e no lado dreto o torque é zero: Θ M R n + Neste caso tem-se que substtundo em (6.6) resulta: (6.3) C - Veo encastrado nas duas etremdades Neste caso as condções frontera são: T O que resulta em: Θ Θ R n+ T (6.3)