QUESTÕES DISCURSIVAS Quesão a) O piso de uma sala reangular de 00 dm de comprimeno por 0 dm de largura vai ser revesido com placas quadradas, as maiores possíveis. Qual é a área de cada uma? b) Sobre uma dessas placas cai um anel circular com cm de diâmero. Deermine a área do lugar geomérico em que o cenro do anel deve esar, para que o anel fique apenas sobre essa placa. a) O maior valor do lado das placas é o máximo divisor comum de 00 = 5 e 0 = 5. Porano o lado é mdc (00,0) = 0 dm e a área de cada placa é 0 = 00 dm. b) O cenro do anel deve esar no quadrado de lado 00,5 = 97 cm. A área desse quadrado é 97 = (00 ) = 00 00 + = = 8 809 cm. Suponha que, no rajeo enre A e B, exisa um pono D, de parada obrigaória. A parir desse pono, a disância que ainda fala para chegar ao pono C é 60% do caminho já percorrido. Deermine a disância enre D e B. Considere a figura a seguir: Quesão 0 dm = 00 cm Na figura a seguir, em que os ângulos A e B são reos, considere que um indivíduo eseja no pono O e queira aingir o pono C, passando pelos ponos A e B. Sabe-se que OC = = 0 000 m, AB = 8 000 m e que a disância enre B e C é 5% do percurso que o indivíduo preende fazer para aingir o pono C. Seja P OA al que CP // AB ed AB al que BD = y. No riângulo reângulo OCP, aplicando o Teorema de Piágoras, (0 000) = (8 000) + (OP) OP = 6 000 m. Sendo PA = BC = x, emos que x = 5%(6 000 + + x + 8 000 + x) x = 7 000 m. Assim, y + 7 000 = 60%(6 000 + 7 000 + + 8 000 y) y = 500 m. Quesão Paulo é pecuarisa e possui um rebanho bovino de 00 cabeças, cuja axa de crescimeno anual é uma porcenagem represenada por.
maemáica Paulo realizou a venda de 800 cabeças, compromeendo-se a enregar 000 no final de ano e, as ouras 800, no final de anos. a) Deermine, considerando que, após a ª enrega, não sobre cabeça alguma. b) Se log = 0, e = 5%, quanos anos aproximadamene o pecuarisa levaria para fazer a ª enrega? a) Como a axa de crescimeno anual do rebanho é, obedecendo às condições do enunciado: [ 00 ( + ) 000] ( + ) = 800 + = 6 ( + ) 5 ( + ) = 0 ou. + = Já que > 0, + = = = 00%. b) Com = 5% =, após fazer a primeira enrega o pecuarisa fica com 00 + 000 = = 00 5 000 = 500 cabeças de gado. Seja n o número de anos necessários após a primeira enrega para que o pecuarisa enregue 800 n cabeças. Enão 500 + = 800 0 n = 8 = 6 0 log 0 n = log 6 8 0 n log 0 8 = = (log 6 log 0) n ( log ) = log n ( log ) = log. Supondo log = 0,, n 0, = 0, e, assim, n anos. Quesão Um alea corre 000 meros numa direção, dá meia-vola e reorna meade do percurso; novamene dá meia-vola e corre meade do úlimo recho; orna a virar-se e corre meade do recho anerior, coninuando assim indefinidamene. a) Quano erá percorrido aproximadamene esse alea, desde o início, quando complear o percurso da oiava meia-vola? b) Se coninuar a correr dessa maneira, indefinidamene, a que disância do pono de parida inicial o alea chegará? a) O percurso de uma meia-vola é igual à meade do percurso da meia-vola anerior, de modo que as medidas dos rechos formam uma progressão geomérica de razão. Ao complear o percurso da oiava meia-vola, o alea percorreu 9 rechos: o inicial e as 8 meias-vol- 9 as. Assim, o alea percorre 000 = 000 996 9 meros. b) A disância desejada é igual a 000 000 + 000 000 +... = 000 = = 000 meros. Quesão 5 João invesiu R$0 000,00 num fundo de renda fixa que remunera as aplicações à axa de juro composo de 0% ao ano, com o objeivo de comprar um auomóvel cujo preço aual é R$0 000,00, que é desvalorizado à axa de juro de 0% ao ano. Depois de quanos anos João conseguirá adquirir o auomóvel preendido? São dados: log = 0, e log = 0,8. Após anos, João em aplicados 0 000 0 + = 0 000, reais e o preço do 00 0 carro é 0 000 = 0 000 0,9 reais. 00 Ele conseguirá adquirir o auomóvel se 0 000, 0 000 0,9, 0 000 0,9 0 000 log log (log log ) log log. Adoando as aproximações dadas, anos. log log 0,8 0, 0,8 Assim, João conseguirá adquirir o auomóvel após anos. =
maemáica Quesão 6 Um jogo consise em lançar um dado e, em seguida, uma moeda, um número de vezes igual ao número obido no lançameno do dado. Sairá vencedor aquele que conseguir o maior número de caras nos lançamenos da moeda. Pedro, que dispua com Paulo, conseguiu irar 5 caras. Qual a probabilidade de Paulo sair vencedor? Para Paulo sair vencedor ele deve conseguir 6 caras, ou seja, deve irar 6 no lançameno do dado e, ao jogar a moeda seis vezes, ober 6 caras. Logo, supondo que o dado e a moeda sejam honesos, a probabilidade pedida é 6 6 = 8. Quesão 7 Um viajane, diane de uma bifurcação da esrada, dirige-se ao poso de combusível mais próximo para saber que direção deve omar, para chegar ao seu desino. Ocorre que nesse poso há rês funcionários: Franco, que sempre fala a verdade; Hilário, que sempre mene e Dúbio, que diz a verdade duas em cada rês vezes. a) Se os rês funcionários esiverem rabalhando no poso quando o viajane pedir a informação a um deles, qual a probabilidade de ele chegar ao seu desino correamene? b) Suponha, agora, que um único funcionário rabalhe em cada urno, que Franco rabalhe o dobro de urnos de Dúbio e que ese úlimo rabalhe uma vez e meia o número de urnos de Hilário. Nesse caso, qual a probabilidade de a informação ser correa? que o viajane vá seguir a direção indicada pelo funcionário, a probabilidade é 0 + + 5 = 9. b) Seja p a probabilidade de que seja Hilário o funcionário do urno. Enão, nas condições dadas: a probabilidade de que seja Dúbio o funcionário do urno é,5p; a probabilidade de que seja Franco o funcionário do urno é,5p = p. Assim, p +,5p + p = p = 5,5 = e a probabilidade de a informação ser correa é p + p 0 +,5p = p = = 8. Quesão 8 Represene graficamene a região dada pelas y > 5x resrições y > x e calcule a sua área. y < ver comenário Os ponos (x; y) que saisfazem y > 5x são os ponos acima da rea y = 5x x y + =, 5 que passa pelos ponos 5 ;0 e (0; ): Na resolução, vamos supor que o fao de Dúbio dizer a verdade duas em cada rês vezes significa que a probabilidade de ele dizer a verdade é. a) Como Franco em a probabilidade de dizer a verdade e Hilário em probabilidade 0, supondo
maemáica Os ponos (x; y) que saisfazem y > x são os ponos à esquerda do gráfico de y = x x 0 e (y = x ou y = x): Os ponos (x; y) que saisfazem y < são os ponos de ordenada menor que : Como a rea y = 5x cora a rea y = em 5 ;, a rea y = xem ; e a rea y = xem ;, a área da região obida é + 5 5 = 0. Quesão 9 A região dos ponos (x; y) que saisfaz o sisema y > 5x y > x é a inerseção das rês regiões aneriores: y < Sabendo que é raiz dupla do polinômio P(x) = x x 7x + 5x + 8, deermine as ouras raízes. Uilizando o disposiivo de Brio-Ruffini, como é raiz dupla, emos: 7 5 8 0 7 6 0 0 Assim P(x) = (x ) (x + x + ) e P(x) = 0 x = ou x + x + = 0 x = ou (x = oux = ) As ouras raízes de P(x) são e. A região obida é infinia e, porano, não em área definida. Observação: supondo que y 0, obemos a região: Quesão 0 Um fabricane produz um ipo de elha que em a forma abaixo, cujas medidas esão expressas em cm:
maemáica 5 a) A figura A é um quadrado de lado 0 cm. Ele preende fabricar ouro ipo de elha em que, como se observa na figura, há semicircunferências de raio R. A figura A é equivalene a um reângulo de base R e alura R. a) Se as áreas A e A devem ser iguais para que a vazão de água da chuva se manenha a mesma, qual é o valor de R? Como as áreas das duas figuras devem ser iguais, emos R = 00 R = 5 R = 5 cm. b) Para fazer uma elha do modelo anigo, a chapa deve er 0 cm de comprimeno. b) Qual é a economia de maerial, expressa em porcenagem, que o fabricane vai ober com a mudança do ipo de elha? As duas chapas êm larguras iguais, L, e comprimenos diferenes. A nova elha necessia de uma chapa de π 5 = = 0π cm. Assim, a economia de maerial da elha nova em relação à elha aniga é: 0 0π 0 0, = 0,5 =,5% 0 0