UNIVASF Análise de Sinais e Sisemas Inrodução aos Sinais Prof. Rodrigo Ramos godoga@gmail.com
Classificação de Sinais
Sinais Sinais geralmene ransporam informações a respeio do esado ou do comporameno de um sisema físico e, geralmene, são sineizados para a comunicação enre humanos ou enre humanos e máquinas Sinais são represenados maemaicamene como funções de uma ou mais variáveis independenes Um sinal de voz pode ser represenado maemaicamene como uma função do empo Um imagem foográfica pode ser represenada maemaicamene como a variação do brilho e da cor em função de duas variáveis no espaço
Sinais Deerminísicos x Sinais Aleaórios Sinais Deerminísicos Podem ser represenados por uma função analíica É possível deerminar precisamene o valor do sinal em um dado insane de empo ex: f()=acos(ω o ), onde A e ω o são consanes 1 Sinal Deerminísico Ampliude (V).8.6.4.2 -.2 -.4 -.6 -.8-1.2.4.6.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 Tempo (s)
Sinais Deerminísicos x Sinais Aleaórios Sinais Aleaórios Sinal sobre o qual há incereza anes de sua ocorrência. Só podem ser represenados por suas caracerísicas esocásicas (média, variância, auocorrelação ec) Não podem ser represenados por uma função analíica (não é possível deerminar precisamene o valor do sinal em um dado insane de empo) ex: f()=acos(ω o ), onde A é uma V.A. conínua Gaussiana ex: f() é um sinal.8 de voz.6 Sinal Aleaório - Voz.4 Ampliude (V).2 -.2 -.4 -.6 -.8-1.2.4.6.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 Tempo (s)
Tempo Conínuo nuo x Tempo Discreo Sinais em Tempo Conínuo Definidos ao longo de odos os insanes de empo num inervalo possível de valores. Porano, podem ser represenados por uma variável independene conínua x() onde pode assumir qualquer valor real Sinais em Tempo Discreo Definidos apenas em insanes disinos do empo num inervalo possível de valores. Porano, podem ser represenados por uma variável independene discrea São maemaicamene represenados como sequências de números x[n] onde n {...-3,-2,-1,,1,2,3...} Normalmene são derivados de sinais em empo conínuo aravés do processo de amosragem
Sinais Digiais x Sinais Analógicos Sinais Analógicos Variação conínua da ampliude Número infinio de símbolos Sinais Digiais Variação discrea da ampliude Número finio de símbolos Maior imunidade ao ruído e disorção do canal Regeneração do sinal empregando repeidores (TX noise free) Codificação Muliplexação de sinais digiais é mais simples e eficiene 1-1
Sinais Digiais x Sinais Analógicos 1 Sinal Analógico 1 Sinal em Tempo Discreo 4 Sinal Digial.8.8 3.6.6.4.4 2.2.2 1 -.2 -.2 -.4 -.4 -.6 -.6-1 -.8 -.8-1.1.2.3.4.5.6.7.8.9.1-1.1.2.3.4.5.6.7.8.9.1-2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Sinal Conínuo em Ampliude e no Tempo (Sinal Analógico) Sinal Conínuo em Ampliude e Discreo no Tempo Sinal Discreo em Ampliude e no Tempo (Sinal Digial)
Tempo Conínuo nuo x Tempo Discreo Tempo-Conínuo x Tempo-Discreo O ermo discreo significa quanização no empo Analógico x Digial Digial significa quanização na ampliude Um processador de sinais digiais (DSP) é um sisema digial em empo discreo Um DSP é adequado para implemenação de filros digiais LTI
Sinais Periódicos x Sinais Aperiódicos Sinais Periódicos Apresenam uma repeição de seus valores de ampliude a inervalos regulares de empo Saisfazem a condição: f() = f( + kt ), para odo Onde, T é o período fundamenal de repeição e k é um n o ineiro De forma equivalene, f = 1/T é a freqüência fundamenal A área sob qualquer inervalo de duração igual a kt é a mesma Inegrar de a T é equivalene a inegrar de T /2 a T /2 1.8.6.4 Sinal Periódico f().2 -.2 -.4 T o 2T o -.6 -.8-1.2.4.6.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
Sinais Periódicos x Sinais Aperiódicos Sinais Aperiódicos Não exise T que saisfaça a condição de periodicidade Não apresenam um repeição de seus valores de ampliude a inervalos regulares de empo 1 Sinal Aperiódico.9.8.7 f().6.5.4.3.2.1.2.4.6.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
Sinais Causais x Sinais Não-Causais Sinais Causais Definidos apenas para > Sinais Não-Causais Definidos para > e < Sinais Ani-Causais Definidos apenas para valores de <
Sinais de Poência x Sinais de Energia Energia e Poência de Sinais (Tamanho do sinal) A energia e a poência de um sinal podem ser definidas considerando uma resisência normalizada de 1 Ω Dese modo, em-se que a energia oal e poência média de um sinal podem ser obidas por: E P = = lim T / 2 T T / 2 1 lim T T f ( ) T / 2 T / 2 2 d f ( ) 2 d Para sinais periódicos, a poência média do sinal é dada por: P = 1 o T o T T o 2 2 f ( ) 2 d P = v 2 / R P = i 2. R
Sinais de Poência x Sinais de Energia Sinal de Energia Um sinal é dio de energia se < E < Sinal de Poência Um sinal é dio de poência se < P < Regra geral Sinais periódicos e os aleaórios são sinais de poência (power signal) Sinais deerminísicos aperiódicos são sinais de energia (energy signal)
Sinais de Poência x Sinais de Energia Exemplo: Deerminar as medidas adequadas para os sinais abaixo:
Sinais de Poência x Sinais de Energia Exemplo de Sinal de Energia
Sinais de Poência x Sinais de Energia Exemplo de Sinal de Poência
Sinais de Poência x Sinais de Energia Sinais de Poência Duração infinia Poência normalizada finia e não-zero Energia média normalizada sobre um inervalo infinio igual a infinio Traável maemaicamene Sinais de Energia Duração finia Energia normalizada finia e não-zero Poência média normalizada sobre um inervalo infinio igual a zero Fisicamene realizável
Sinais Pares x Sinais Ímpares Sinal Par Um sinal x e () é dio ser par se x e () = x e (-). Um sinal par possui os mesmos valores para os insanes e - (simérico). Sinal Ímpar Um sinal x o () é dio ser ímpar se x o () = -x o (-). O valor do sinal ímpar no insane é o negaivo de seu valor em - (ani-simérico).
Sinais Pares x Sinais Ímpares Área Sinais pares Sinais ímpares
Operações Básicas B com Sinais
Operações Básicas B com Sinais Muliplicação por escalar Modifica a ampliude do sinal original Se x() for um sinal, uma mudança de escala é dado pelo sinal y() = cx() Se c > 1 em-se uma amplificação Se < c < 1 em-se uma aenuação
Operações Básicas B com Sinais Escalonameno emporal Modifica a duração do sinal original O sinal f(2) é f() comprimido por um faor de 2. O sinal f(/2) é f() expandido por um faor de 2. Em geral: - se f() é comprimido de um faor a > 1, o sinal resulane será f(a). - se f() é expandido de um faor a > 1, o sinal resulane será f(/a).
Operações Básicas B com Sinais Deslocameno Temporal Realiza o deslocameno do sinal original sobre o eixo do empo y() = x( - T) Se T > em-se araso no empo Se T < em-se adianameno no empo
Operações Básicas B com Sinais Reversão Temporal Realiza o rebaimeno do sinal em relação ao eixo do empo y() = x(-) Exemplo: Dado g(), enconrar g(-)
Tipos de Sinais
Pulso Uniário Pulso Uniário com largura τ e ampliude 1/τ p τ ( ) = 1 τ < < τ < ou > τ cuja área é uniária: p τ ( ) d =1 p τ () 1/τ τ
Pulso Pora Uniário Um Pulso Pora Uniário em largura e ampliude 1 re ( ) = 1 τ < 2 τ > 2 re τ 1 Noa: para τ = 1, a área do pulso é uniária τ/2 τ/2
Pulso Triangular Uniário Um Pulso Triangular Uniário em base e alura 1 ( ) = 1 2 τ τ < 2 τ 2 ( ) 1 τ/2 τ/2
Impulso Uniário Idealismo maemáico para um eveno insanâneo Função Dela de Dirac δ() = para δ() é indefinida, mas em área uniária: δ ( ) d = 1 Caso limie do pulso reangular uniário: δ ( ) = lim p ( ) ε ε
Impulso Uniário Principais Propriedades δ ( ) d =1 f ) δ ( ) d = f ( ) ( o o 1 δ ( a) = δ ( ) a δ ( ) = δ ( ) x( ) δ ( ) = x() δ ( ) x( ) δ ( T ) = x( T ) δ ( T )
Impulso Uniário Operações com a função δ() f () f () δ ( ) f () f ( o ) δ ( o ) o f ( ) δ ( ) d = f () f ) δ ( ) d = f ( ) ( o o
Impulso Uniário Pode-se simplificar δ() sob a operação de inegração 1 f ( ) δ ( ) d = f ( ) O que resula de f ( ) δ ( ) d =? Resposa:
Impulso Uniário Ouros exemplos δ δ e ( ) ( 2) 2 e jϖ d = 1 π cos d = 4 ( x ) 2( x 2) ( ) δ 2 d = e O que ocorre nas vizinhanças da origem? δ ( ) d =? δ ( ) d = + δ ( ) d = 1
Degrau Uniário Degrau Uniário A função degrau foi inroduzida por Heaviside e é comumene referida na maemáica como função de Heaviside u ( ) = 1 < > u() 1 Relação enre o Impulso Uniário e o Degrau Uniário u ( ) δ ( τ ) = dτ = 1 > < du d ( ) = δ ( )
Degrau Uniário Se quisermos um sinal que comece em =, basa muliplicá-lo por u(). Por exemplo, e -a represena uma exponencial nãocausal. Para obermos sua forma causal, fazemos e -a u()
Função Degrau Uniário Resumo de operações com o Degrau Uniário u() u(-) u( - ) -u() u(- - ) u( + ) -u( - ) u(- + ) - - -u( + ) - u() u() u( 1) u( + 1) u( 1) u( + 1) -2 u(-2)= u(-2)= u(-3)= u(-1)= u(1)=1 u(3)=1-1 u(-1)= u(-1)= u(-2)= u()=1 u()=1 u(2)=1 u()= 1 u()= -1 u(-1)= u(1)=1 u(-1)= u(1)=1 1 u(1)= 1 u(1)= -1 u()=1 u(2)=1 u(-2)= u()=1 2 u(2)= 1 u(2)= -1 u(1)=1 u(3)=1 u(-3)= u(-1)=
Função Degrau Uniário Relação enre o Pulso Uniário e o Degrau Uniário p τ 1 τ ( ) = [ u( ) u( τ )] u() u( - τ) 1/τ u() - u( - τ) τ Relação enre o pulso Pora Uniário e o Degrau Uniário re τ τ = + 2 2 ( ) u u u( + τ/2) u( - τ/2) 1 -τ/2 u( + τ/2) - u( - τ/2) τ/2
Função Sign (Sinal) Função Sign sgn ( ) = 1 1 < > sgn() 1 1
Função Sign (Sinal) Relação enre a função Sign e o Degrau Uniário sgn sgn ( ) = u( ) u( ) ( ) = 2 u( ) 1 u() 1 u(-) u() - u(-) -1
Função de Amosragem Função de Amosragem (Sampling) Função Par Zeros em ±π, ±2π, ±3π, Ampliude decai proporcionalmene à 1/x Sa(x) 1 Sa ( x) = sen( x) x 3π 2π x π π 2π 3π Em vários livros de comunicação (Lahi) cosuma-se usar a mesma definição para as funções de amosragem (Sa) e de inerpolação (Sinc)
Sinal Senoidal Propriedades Básicas das Funções Senoidais
Sinal Senoidal Principais Idenidades Trigonoméricas