RRNTS GTRI LN TRIGNTRI TRIÂNGUL RTÂNGUL () comç, você tm qu s s dfnçõs d sno, cossno tngnt dos ângulos gudos do tângulo tângulo ç go sss dfnçõs mntlmnt (sno é zão nt o ctto) () Lm-s d qu dos ângulos são complmnts s som d sus mdds é gul 90º s ângulos gudos d um tângulo tângulo são complmnts 90o + sn cos () plv cossno, qu sgnfc sno do complmnto, é um lusão o fto d qu o cossno d um ângulo é o sn sno 0 do complmnto dss ângulo o cos70 o cos55 o sn5 o o xmplo,, tc (4) onvém você s fmlz com os vlos d ltu do tângulo quláto d dgonl do quddo, pos, como já s, tgonomt dos ângulos fundmnts, sto é, 0º, 45º 60º, é gd po sss dus fgus () stânc d um ponto um t é mdd do sgmnto qu tm um xtmdd m, out num ponto Q d t tl qu Q é ppndcul à t (4) sstz d um ângulo é smt qu tm ogm no vétc dss ângulo qu o dvd m dos ângulos congunts (5) sstz d um ângulo é o lug gométco dos pontos qüdstnts dos ldos dss ângulo Q mo ldo 0 o ldo ldo 45 o ldo (6) No tângulo sóscls, ltu, sstz mdn ltvs à s concdm num só sgmnto d t ss sgmnto stá contdo n mdtz d s 60 o 45 o mo ldo ldo ltu sstz mdn NGRUÊNI TRIÂNGULS N ul d conguênc d tângulos, psntmos os ctéos d conguênc São os sgunts: LLL LL L L LL RT oém, lém dsso, fcm stlcdos conctos popdds stutus mpotnts d Gomt Vj qus são () dtz d um sgmnto d t é t qu pss plo ponto médo d qu é ppndcul () dtz d um sgmnto d t é o lug gométco dos pontos qüdstnts d mdtz NTS NTÁVIS TRIÂNGUL st ul psntou-l váos conctos popdds É mpscndívl qu você os compnd os tn onfom tmos nsstdo dunt s uls, os conctos consttum o voculáo com qu nos comuncmos s popdds são s ms qu mpgmos p solv os polms L tntmnt s colocçõs sgunts () ç p você msmo, mntlmnt, s dfnçõs d ltu, mdn sstz ntn d um tângulo fn, go, mdtz d um sgmnto d t No cso d sstz d mdtz, lm tmém s popdds d sus pontos
svção Vl nsst qu sstz, ltu mdn são sgmntos dstntos, com dfnts funçõs, qu mdtz é um t qu, pncípo, nd tm v com sss sgmntos oém, com lção à s d um tângulo sóscls, como já vmos, ltu, sstz mdn concdm stão contds n mdtz d s (4) o fm, dê spcl tnção o fto d qu, no tângulo quláto, pns nl, os quto pontos notávs concdm R R ltu sstz mdn mdtz () Rlm, go, qus são os pontos notávs do tângulo cnto: nconto ds mdns Incnto: nconto ds sstzs ntns tocnto: nconto ds ts supots ds ltus cuncnto: nconto ds mdtzs dos ldos () sgu, lm s popdds dos pontos notávs RINTR (G) INNTR ( I) QURILÁTRS LÍGNS GRL s um vz você stá dnt d um ul c m conctos popdds tfqu-s d qu você ssmlou s dfnçõs dos pllogmos dos tpézos ssgu-s tmém d qu domnou s popdds so os ângulos dos pllogmos so sus dgons () qudo xo ndc com lt X s popdds ds dgons dos pllogmos pllogmo qulqu R tângulo L losngo Q quddo G N I G G G G GN G RTNTR () nto d ccunfênc nsct IRUNNTR () S IGNIS R L Q RT-S I X X X X SÃ NGRUNTS X X SÃ NIULRS X X SÃ ISSTRIZS X X So os ângulos d um pllogmo qulqu você tm qu s qu: () s ângulos opostos são congunts Sm popdd dstc nto d ccunfênc ccunsct () os ângulos djcnts um msmo ldo são suplmnts + 80o
(4) om lção um polígono convxo, você tm qu s clcul o númo d dgons, som dos ângulos ntnos s o vlo d som d sus ângulos xtnos (60º nt dsts fgus n n n n d ( ) S n 80o ( ) S 60o você dv nxg sts mdds: (5) o fm, lm-s d qu o polígono gul, po dfnção, é quláto quângulo omo consqüênc, sus ângulos xtnos são congunts, como som d todos os ângulos xtnos é gul 60º, fc fácl clcul o vlo d cd um 60o n 80o + () ocu gst, não somnt qu o tângulo tângulo é nsctívl num smccunfênc, ms tmém qu mdn ltv à potnus é gul à mtd d potnus ÂNGULS N IRUNRÊNI () N fgu xo, dz-s qu o ângulo d mdd stá nscto n ccunfênc, ou nd, qu l stá nscto no co ocu ncopo sso o su voculáo (4) qu dfnc o qudláto nsctívl num ccunfênc dos dms qudlátos? Sus ângulos opostos são suplmnts 80o + () o dp-s com um ângulo nscto num ccunfênc, do qul s conc mdd, c o áto d clcul mntlmnt não pns mdd do co qu l nxg, ms tmém do co m qu l stá nscto sv tntmnt s stuçõs sgu (5) Todo polígono gul é nsctívl num ccunfênc sná-l pod fclt stnt s soluçõs d polms qu os nvolvm sv o ângulo fomdo po dus ds dgons do nágono gul d fgu snndo-s ccunfênc ccunsct, como n fgu, pssmos t um ângulo xcêntco ntno d mdd fclmnt clculávl
fgu fgu Rp qu, m, nss odm, fomm um ogssão tmétc Tom undmntl d Smlnç S dos ldos d um tângulo, ou sus polongmntos, são cotdos po um pll o tco ldo, o novo tângulo fomdo é smlnt o tângulo pmtvo SLNÇ TRIÂNGULS lém d fot psnç nos xms vstuls, smlnç d tângulos consttu um stutu fundmntl p Gomt Sgum lmntos d dstqu dst ul stud-os com tnção () ctéo fundmntl d smlnç d tângulos (ctéo ) é o sgunt: os tângulos são smlnts s dos ângulos d um dls são congunts dos ângulos do outo () sntnç ~ QR pmt conclu qu Q Q R QR R o sso, o scv sntnç ~, coloqu s lts smp m odm d cospondênc () s méd d um tângulo é qulqu sgmnto qu un os pontos médos d dos ldos dss tângulo s méd é smp pll o tco ldo su mdd é mtd d mdd dss ldo N N // N // ~ st é o tom fundmntl d smlnç l s fz psnt m polms qu nvolvm pllogmos (sto é, losngos, tângulos, quddos), nsctos m tângulos, como no cso do tângulo nscto no tângulo d fgu sgunt y θ θ x IRTNT // ~ y x Supon qu dos ldos d um tângulo sjm ntsctdos po um t pll o tco ldo ntão, sss dos ldos tods s cvns ltvs o tco ldo fcm dvddos num msm zão tculmnt, s t pss plos pontos médos dos ldos, pssá plos pontos médos d tods sss cvns θ y x θ ( x) (4) s méd d um tpézo é o sgmnto qu un os pontos médos dos ldos tnsvsos dss tpézo l é smp pll às ss su mdd é méd tmétc ds mdds ds ss N // // R S T Q R S T Q m N + m R S Q 4
TRIÂNGUL RTÂNGUL () s lçõs qu nvolvm os ldos do tângulo tângulo, ltu ltv à potnus s pojçõs dos cttos so l são s sgunts c m n c + n c m c m n Tnslção no tpézo Tçdo d os ons ) Rt ccunfênc () fn su voculáo mtmátco, lm-s d qu: + S x, ntão x é méd tmétc nt S x, ntão x é méd gométc nt T t T t () Loclz nt s fómuls cm s qu stão nuncds sgu m todo tângulo tângulo, cd ctto é méd gométc nt potnus su pojção otogonl so l m todo tângulo tângulo, ltu ltv à potnus é méd gométc nt s pojçõs otogons dos cttos so potnus (4) S o ldo d um tângulo qüláto é concdo, é ncssáo qu você tn pontos ltu, o o do cículo nscto o o do cículo ccunscto ss tângulo l ) cunfêncs tngnts s Impotnt s cntos os pontos d tngênc são pontos lndos Not qu, confom tngênc sj xtn ou ntn, dstânc dos cntos é gul à som ou à dfnç dos os, spctvmnt (Vj sts fgus) s R R TÉNIS RSLUÇÃ STRUTURS ULTS IGURS R R + c) cunfêncs scnts té qu, dunt s uls, dscutmos lgums técncs stnt fcnts n solução d polms om tmém dstcds lgums stutus qu s ptm fqüntmnt ns fgus, ocults ns msms, qu, um vz pcds, podm o cmno d solução Vmos dstc lgums dsss técncs stutus 5
od d ccunfênc stutu ocult m todo tângulo cd ldo é mno do qu som dos outos dos c c < + c < + c c < + cunfênc tngnt os ldos d um ângulo ) Ângulo qulqu stutu ocult Sgmntos d tngnts S dus ts, conconts num ponto, tngncm um ccunfênc nos pontos, ntão ) Ângulo Rto stutu ocult Rlçõs métcs n ccunfênc fgu, tmos: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) p fgu, T ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) fgu fgu RRIS IVRSS V é um quddo Tvmos um ul m qu vás popdds fom psntds Ts popdds não têm sdo xplods ntnsmnt nos vstuls oém, stão nos pogms, potnto, você tm qu sêls São s sgunts sguldds no tângulo m todo tângulo o mo ldo opõm-s o mo ângulo, cpocmnt c c ÁR TRIÂNGUL Vmos dstc lguns lmntos tócos qu são mpscndívs p um s sóld no cálculo d ás () Você tm qu s, com dsnvoltu, s tês fómuls fundmnts p á do tângulo c snâ ómul d ão: S p p p p c ( )( )( ) T 6
ê spcl tnção à fómul plc com nom fqüênc c snâ l s s ltu () uts vzs, fómul pmt ntptçõs ápds ns fgus o xmplo Tângulos com ss gus, têm sus ás popocons às ltus ltvs sss ss stutu ocult S S stutu ocult Tângulos com dus ltus gus, têm sus ás popocons às ss cospondnts sss ltus 5 () qu tnto o tângulo quláto Não á ncssdd d s mmoz um fómul p clcul su á, ms é pcso s clcul su á com pdz S S 5 ÁR ÍRUL SUS RTS st ul cscnt pns dus fómuls às qu você já vm utlzndo u sj: π R S ículo π R cunfênc oém, os polms so á do cículo, d sus pts, mpgm váos tns d to studdos nts stqu p os sgunts 60 o sn60 0 S ou S () ltu do tângulo quláto dgonl do quddo (Vj ls í novmnt) d (4) om o xágono gul você tm qu t totl ntmdd Tm qu s qu, lgndo sus vétcs o cnto, l fc dcomposto m 6 tângulos qülátos í, é mdto conclu qu: sus ângulos ntnos mdm 0º cd um; su ldo é gul o o do cículo ccunscto d () Você dv s clcul com dsnvoltu o o do cículo nscto o o do cículo ccunscto no quddo, no tângulo quláto no xágono gul, qundo dls s concm os ldos lcul sss os p os sgunts csos: 0 o 60 o ) Quddo d ldo gul 4 (5) Ns fgus, pocu osv com tnção psnç d sgmntos ppndculs ldos ls podm funcon como ltus d tângulos ocultos 7
) Tângulo quláto d ldo gul 6 LI S SNS LI S SSNS 6 6 L dos snos m todo tângulo os ldos são popocons os snos dos ângulos opostos constnt d popoconldd é gul R, ond R é o o d ccunfênc ccunsct o tângulo c) xágono gul d ldo gul 4 4 (4) Tn smp m mnt s stutus ocults m dtmnds fgus, como s sgunts, qu já fom psntds ntomnt 4 c R sn sn sn L dos cossnos od d ccunfênc stutu ocult m todo tângulo, o quddo d qulqu ldo é gul à som dos quddos dos outos dos ldos, mnos o duplo poduto dsss dos ldos plo cossno do ângulo compnddo nt ls cunfênc tngnt os ldos d um ângulo ) Ângulo qulqu stutu ocult + c c cos Rconcmnto d ntuz d um tângulo Sjm, c os ldos d um tângulo sj o mo dsss ldos co d mdto d l dos cossnos qu: ) Ângulo Rto stutu ocult < + c < 90 + c 90 > + c > 90 o o o Isso pmt qu clssfqumos um tângulo qunto os ângulos qundo dl concmos pns os ldos V é um quddo 8