MTMÁTI - 11o no Geometria - quações de retas e planos ercícios de eames e testes intermédios 1. Na figura ao lado, está representado, num referencial o.n., um cilindro de revolução de altura 3 o ponto tem coordenadas (1,2,0) e é o centro da base inferior do cilindro, a qual está contida no plano o ponto tem coordenadas (1,3,0) e pertence à circunferência que delimita a base inferior do cilindro; o ponto é o centro da base superior do cilindro. etermine as coordenadas do ponto de intersecção da reta com o plano ame 2017, Ép. especial 2. Na figura ao lado, está representado, num referencial o.n., o cubo [F GH] H a face [] está contida no plano a aresta [] está contida no eio o ponto tem coordenadas (0,4,0) o plano G é definido pela equação + 6 = 0 erifique que o vértice tem abcissa igual a 2 F G ame 2017, 2 a Fase 3. Na figura ao lado, está representado, num referencial o.n., o prisma quadrangular regular [ QRST U ] a face [ QR] está contida no plano o vértice Q pertence ao eio e o vértice T pertence ao eio o plano ST U tem equação = 3 Uma equação do plano Q é + = 2 etermine uma condição cartesiana que defina a reta T Q T U R S Q ame 2017, 1 a Fase ágina 1 de 21
4. Na figura ao lado, está representado, num referencial o.n., o prisma quadrangular regular [F G] os pontos, e pertencem aos eios coordenados, e, respetivamente; o ponto tem coordenadas (0,2,0) o plano F é definido pela equação 3 + 3 = 0 F G 4.1. etermine uma equação do plano paralelo ao plano F que passa no ponto 4.2. efina a reta por uma condição cartesiana. 5. onsidere, num referencial o.n., o plano α definido pela equação 3 + 2 + 4 12 = 0 Seja o ponto de coordenadas (2,1,4) screva uma equação vetorial da reta perpendicular ao plano a que passa no ponto ame 2016, Ép. especial ame 2016, 2 a Fase 6. Na figura ao lado, está representada, num referencial o.n., uma pirâmide quadrangular regular a base [] da pirâmide é paralela ao plano o ponto tem coordenadas ( 1,1,1) o ponto tem coordenadas ( 3,3,1) o plano é definido pela equação 3 + 10 = 0 etermine as coordenadas do ponto ame 2016, 1 a Fase 7. onsidere, num referencial o.n., o plano β definido pela condição 2 + 4 = 0 onsidere o ponto ( 2,1,3a), sendo a um certo número real. Sabe-se que a reta é perpendicular ao plano β, sendo a origem do referencial. etermine o valor de a ame 2015, Ép. especial ágina 2 de 21
8. Na figura ao lado, está representado, num referencial o.n., o poliedro [N QRST U ] que se pode decompor num cubo e numa pirâmide quadrangular regular. o vértice pertence ao eio o vértice N pertence ao eio o vértice T pertence ao eio o vértice R tem coordenadas (2,2,2) T S o plano Q é definido pela equação 6 + 12 = 0 8.1. etermine as coordenadas do ponto 8.2. screva uma equação cartesiana do plano que passa no ponto e é perpendicular à reta R U R Q N ame 2015, 2 a Fase 9. onsidere, num referencial o.n., os pontos (0,0,2) e (4,0,0) onsidere o plano α de equação 2 + + 3 = 0 screva uma equação do plano que passa no ponto e é paralelo ao plano α ame 2015, 1 a Fase 10. Na figura ao lado, está representada, num referencial o.n., a pirâmide [] o ponto pertence ao semieio positivo os pontos e têm igual abcissa; o ponto pertence ao plano e tem ordenada 3 o ponto pertence ao semieio negativo o ponto pertence ao semieio positivo a reta é definida por 3 = 3 5 = 0 2 = 41 etermine as coordenadas de um vetor normal ao plano que contém a face [], recorrendo a métodos analíticos, sem utiliar a calculadora. ame 2014, Ép. especial 11. onsidere, num referencial o.n., o ponto, de coordenadas (2,0,3), e o plano α, definido por 2 = 3 Seja r a reta perpendicular ao plano a que passa pelo ponto Qual das condições seguintes pode definir a reta r? () + 2 = + 1 = 0 () + 5 = + 3 = + 3 2 () 1 2 = + 2 3 = 1 () 2 = = 3 ame 2014, Ép. especial ágina 3 de 21
12. onsidere, num referencial o.n., o ponto, de coordenadas (1, 0, 3), e o plano α, definido por 3 + 2 4 = 0 Seja β um plano perpendicular ao plano α e que passa pelo ponto Qual das condições seguintes pode definir o plano β? () 3 + 2 3 = 0 () 2 3 + 1 = 0 () 2 3 + = 0 () 3 + 2 = 0 13. onsidere, num referencial o.n., o plano α, definido por 4 + 1 = 0 Seja r uma reta perpendicular ao plano α Qual das condições seguintes pode definir a reta r? ame 2014, 2 a Fase () 4 = = 1 () = 4 = 1 () 3 = 4 = 0 () 3 4 = = 1 14. Na figura ao lado, está representada, num referencial o.n., uma pirâmide quadrangular regular [ ], cuja base está contida no plano e cujo vértice tem cota positiva. ponto é o centro da base da pirâmide. ame 2014, 1 a Fase dmita que: = 10 o vértice pertence ao eio e tem abcissa igual a 6 o vértice tem abcissa e ordenada iguais a 6 14.1. Mostre que o vértice tem cota igual a 8 14.2. Seja M o ponto médio da aresta [ ] etermine uma condição cartesiana que defina a reta M 14.3. etermine uma equação cartesiana do plano que passa no ponto e que é perpendicular à aresta Teste Intermédio 12 o ano 30.04.2014 15. Na figura ao lado, em cima, está representada, num referencial o.n., parte do plano, de equação + + 2 = 12 Tal como a figura sugere,, e são os pontos de interseção deste plano com os eios coordenados. 15.1. etermine uma equação cartesiana do plano que passa no ponto (1,2,3) e é paralelo ao plano 15.2. Seja M o ponto médio do segmento de reta [] etermine uma condição cartesiana da reta M Teste Intermédio 11 o ano 11.03.2014 ágina 4 de 21
= 16. onsidere, num referencial o.n., a reta definida por = 2 Qual das equações seguintes define um plano perpendicular a esta reta? () + = 5 () + + 2 = 5 () = 5 () + = 5 Teste Intermédio 11 o ano 06.03.2013 17. Na figura seguinte, está representado, num referencial o.n., o cubo [F GH] (o ponto não está representado na figura). o ponto F tem coordenadas (1,3, 4) o vetor F tem coordenadas (2,3,6) 17.1. screva uma condição cartesiana que defina cada um dos seguintes conjuntos de pontos. 17.1.1. lano F GH 17.1.2. Reta F H 17.2. Sabe-se ainda que a equação 6 + 2 3 + 25 = 0 define o plano H etermine, sem recorrer à calculadora, as coordenadas do ponto (vértice do cubo, não representado na figura). G F Teste Intermédio 11 o ano 06.03.2013 18. Seja a um número real. onsidere, num referencial o.n., a reta s e o plano β definidos, respetivamente, por (,,) = ( 1,0,3) + k(1,1, 1), k R e 3 + 3 + a = 1 Sabe-se que a reta s é paralela ao plano β Qual é o valor de a? () 3 () 1 () 3 () 6 Teste Intermédio 11 o ano 09.02.2012 ágina 5 de 21
19. Na figura ao lado, está representada, num referencial o.n., a pirâmide quadrangular regular [] Seja F o centro da base da pirâmide. o ponto F tem coordenadas (2,1, 1) o vetor F tem coordenadas ( 1,2,2) a reta é definida pela condição (,,) = ( 3,3,1) + k(1, 5,1), k R F 19.1. screva uma condição cartesiana que defina a reta Nota Não necessita de apresentar cálculos. 19.2. Mostre que o plano pode ser definido pela equação 2 + 2 + 2 = 0 Teste Intermédio 11 o ano 09.02.2012 20. Na figura ao lado, está representada, num referencial o.n., uma pirâmide quadrangular regular [] cuja base está contida no plano o vértice tem coordenadas (1,0,0) o vértice tem coordenadas (0,1,0) o plano é perpendicular à reta definida pela condição 3 = 3 = etermine o volume da pirâmide Nota ode ser-lhe útil determinar uma equação do plano Teste Intermédio 11 o ano 24.05.2011 ágina 6 de 21
21. Na figura ao lado, está representado, em referencial o.n., o poliedro [ N QURST ], que se pode decompor num cubo e numa pirâmide quadrangular regular. a base da pirâmide coincide com a face superior do cubo e está contida no plano o ponto pertence ao eio o ponto U tem coordenadas (4, 4, 4) o plano QT é definido pela equação 5 + 2 + 2 = 12 N 21.1. ara cada um dos seguintes conjuntos de pontos, escreva uma condição cartesiana que o defina. Q 21.1.1. lano paralelo ao plano QT e que passa na origem do referencial. 21.1.2. Reta perpendicular ao plano QT e que passa no ponto U R S 21.2. etermine o volume do poliedro [ N QURST ] U T Teste Intermédio 11 o ano 27.01.2011 22. Na figura ao lado, está representada, num referencial o.n., parte de um plano ada um dos pontos, e pertence a um eio coordenado. plano é definido pela equação 6 + 3 + 4 = 12 Seja r a reta que passa no ponto e é perpendicular ao plano etermine uma equação vetorial da reta r Teste Intermédio 11 o ano 06.05.2010 23. onsidere, num referencial o.n., a reta r e o plano α, definidos, respetivamente, por: r : = 2 = 3 α : 3 = 0 Qual é a intersecção da reta r com o plano α? () É o ponto (0,2,3) () É o ponto (0,0,0) () É o conjunto vaio () É a reta r Teste Intermédio 11 o ano 27.01.2010 ágina 7 de 21
24. Na figura seguinte, está representada, num referencial o.n., uma pirâmide quadrangular regular [ ] cuja base está contida no plano o ponto pertence ao eio o ponto tem coordenadas (5,3,0) o ponto pertence ao plano de equação = 6 6 + 18 5 = 24 é uma equação do plano 24.1. etermine o volume da pirâmide. 24.2. Seja S o ponto de coordenadas ( 1, 15,5) Seja r a reta que contém o ponto S e é perpendicular ao plano verigue se a reta r contém o ponto Teste Intermédio 11 o ano 27.01.2010 25. Na figura ao lado está representado um referencial o.n. ada um dos pontos, e pertence a um eio coordenado. ponto pertence ao plano. ponto desloca-se no plano, de tal modo que é sempre vértice de um prisma quadrangular regular, em que os restantes vértices pertencem aos planos coordenados. plano é definido pela equação + 2 + 3 = 9 25.1. Seja a a abcissa do ponto (a ]0,3[) Mostre que o volume do prisma é dado, em função de a, por 3a 2 a 3 25.2. Seja r a reta que contém o ponto e é perpendicular ao plano. etermine uma equação vetorial da reta r. Teste Intermédio 11 o ano 07.05.2009 ágina 8 de 21
26. Na figura seguinte está representado, em referencial o.n., um cone de revolução. a base do cone está contida no plano α de equação + 2 2 = 11 α o vértice do cone tem coordenadas (1,2,6) o ponto é o centro da base do cone 26.1. etermine uma equação do plano γ que contém o vértice do cone e que é paralelo ao plano α 26.2. Seja β o plano definido pela equação 2 + = 3 verigue se os planos α e β são perpendiculares. Teste Intermédio 11 o ano 29.01.2009 27. Na figura seguinte está representada, em referencial o.n., uma pirâmide quadrangular. dmita que o vértice se desloca no semieio positivo, entre a origem e o ponto de cota 6, nunca coincidindo com qualquer um destes dois pontos. (0,0,c) om o movimento do vértice, os outros quatro vértices da pirâmide deslocam-se no plano, de tal forma que: a pirâmide permanece sempre regular o vértice tem sempre abcissa igual à ordenada sendo a abcissa de e sendo c a cota de, tem-se sempre + c = 6 (,,0) dmita que = 1. Indique, para este caso, as coordenadas dos pontos, e e determine uma equação cartesiana do plano. Teste Intermédio 11 o ano 06.05.2008 28. Num referencial o. n., sejam α e β os planos definidos pelas equações: α : + = 1 e β : 2 + 2 2 = 1 intersecção dos planos α e β é () o conjunto vaio () um ponto () uma reta () um plano Teste Intermédio 11 o ano 24.01.2008 ágina 9 de 21
29. Na figura ao lado está representado, em referencial o.n., um cubo [ QRST U ] de aresta 5 vértice do cubo coincide com a origem do referencial. S N s vértices, R e S do cubo pertencem aos semieios positivos, e, respetivamente. T M U triângulo escaleno [M N Q] é a secção produida no cubo pelo plano α de equação R 10 + 15 + 6 = 125 screva uma condição que defina a reta que passa por U e é perpendicular ao plano α Q Teste Intermédio 11 o ano 24.01.2008 30. onsidere, em referencial o.n., o ponto (0,4,3) Seja α o plano que contém o ponto e é perpendicular à reta de equação vetorial (,,) = (0,1, 3) + k(1,0,2), k R etermine a área da secção produida pelo plano α na esfera definida pela condição ( + 2) 2 + ( 1) 2 + ( 4) 2 3 Sugere-se que: etermine uma equação do plano α. Mostre que o centro da esfera pertence ao plano α. tendendo ao ponto anterior, determine a área da secção. Teste Intermédio 11 o ano 10.05.2007 31. Na figura ao lado está representada, em referencial o.n., uma pirâmide regular. a base é um quadrado [RST U] de área 4 com centro na origem do referencial; a aresta [RS] é paralela ao eio ; o vértice tem coordenadas (0,0,2) Mostre que a reta definida pela condição = 0 = 2 é perpendicular ao plano ST e escreva uma equação deste plano. R U S T Teste Intermédio 11 o ano 19.05.2006 ágina 10 de 21
32. Na figura ao lado está representado, em referencial o.n., um sólido formado por um paralelepípedo retângulo [F GH] e uma pirâmide [ ]. base [F GH] do paralelepípedo está contida no plano e a base da pirâmide [] coincide com a face superior do paralelepípedo. aresta [GF ] está contida no eio. ponto tem coordenadas (1,1,1) e o ponto H tem coordenadas (1, 2,0) H G F Mostre que uma equação do plano GH é 3 +2 = 0 33. onsidere duas retas distintas, r e s, perpendiculares a um mesmo plano. Qual das seguintes afirmações é verdadeira? ame 2001, rova de reserva (cód. 135) () r é perpendicular a s () r é paralela a s () r e s são concorrentes, mas não perpendiculares () r e s não são complanares 34. onsidere, num referencial o.n., um plano α de equação + 2 = 2 Seja β o plano que é paralelo a α e que contém o ponto (0,1,2) Qual das condições seguintes é uma equação do plano β? ame 2001, Ép. especial (cód. 135) () + 2 = 1 () + = 2 () 2 + = 0 () + = 1 ame 2001, 2 a fase (cód. 135) 35. Na figura ao lado está representado, em referencial o.n., um octaedro [F GH] o vértice tem coordenadas (1,0,1) o vértice tem coordenadas (0,1,1) o vértice F pertence ao plano o vértice tem coordenadas (1,1,2) Mostre que a reta definida pela condição = = é perpendicular ao plano F ame 2001, 2 a fase (cód. 135) ágina 11 de 21
36. ara um certo número real k as retas r e s, definidas, em referencial o.n., pelas condições r : 1 2 = 3 2 são coincidentes. Qual é o valor de k? = 3 () 1 () 2 () 3 () 4 e s : 3 2 = 5 2 = k 3 ame 2001, 1 a fase - 2 a chamada (cód. 135) 37. Na figura ao lado está representada, em referencial o.n., uma pirâmide quadrangular regular. base da pirâmide está contida no plano de equação = 4 vértice pertence ao eio vértice pertence ao plano vértice pertence ao plano vértice tem coordenadas (4,4,4) altura da pirâmide é 6 37.1. Mostre que uma condição que define a reta é 4 = = 4 3 37.2. etermine uma equação do plano que contém o ponto e é perpendicular à reta ame 2001, 1 a fase - 2 a chamada (cód. 135) 38. Na figura ao lado está representado, em referencial o.n., um cubo. vértice é a origem do referencial vértice pertence ao eio vértice G pertence ao eio vértice pertence ao eio H é o centro da face [GF ] Uma equação do plano que contém os pontos, e H é + = 10 Qual é a medida da aresta do cubo? H F G () 5 () 10 () 5 2 () 10 2 39. onsidere, num referencial o.n., duas retas, r e s, de equações, respetivamente. 1 2 = + 1 3 39.1. Justifique que as retas r e s definem um plano. ame 2001, 1 a fase - 1 a chamada (cód. 135) = e (,,) = (1, 1,0) + k(2,1, 1), k R 39.2. Mostre que o plano definido pelas retas r e s é paralelo ao plano de equação + = 10 ame 2001, 1 a fase - 1 a chamada (cód. 135) ágina 12 de 21
40. Na figura seguinte está representada, em referencial o.n., uma pirâmide quadrangular regular. vértice é a origem do referencial vértice pertence ao eio vértice R pertence ao plano vértice tem coordenadas ( 2,11,5) Uma equação vetorial da reta que contém a altura da pirâmide é (,,) = (7, 1,5) + k(6, 8,0), k R Q 40.1. Mostre que a base da pirâmide está contida no plano de equação 3 4 = 0 40.2. Justifique que o centro da base da pirâmide é o ponto de coordenadas (4,3,5) R ame 2001, rova Modelo (cód. 135) ame 2000, 2 a Fase (cód. 135) 41. Num referencial o.n., considere um paralelepípedo retângulo [ QRST U ] s pontos, R e pertencem aos semieios positivos, e, respetivamente. quadrilátero [] é a secção obtida no paralelepípedo pelo plano de equação 2+3+ = 22, que é perpendicular à reta T ponto R tem ordenada 6 S Q T U R 41.1. Justifique que o ponto T tem coordenadas (4,6,2) 41.2. etermine uma equação do plano que é paralelo ao plano e que contém o ponto Q 42. Num referencial o.n., considere os pontos (1,0,0), Q(0,1,0) e R(0,0,1) Qual das condições seguintes define uma reta perpendicular ao plano QR? () = 1 = 1 = 1 () = 1 = 1 () 1 = 2 = 3 () + + = 1 43. Num referencial o.n., a condição define ( 1) 2 + ( 1) 2 + ( 1) 2 = 25 = ame 2000, rova 2 para Militares (cód. 135) ame 2000, rova para Militares (cód. 135) ame 2000, Ép. special (cód. 135) () uma circunferência () um segmento de reta () um ponto () o conjunto vaio ame 2000, rova para Militares (cód. 135) ame 2000, Ép. special (cód. 135) ágina 13 de 21
44. Na figura ao lado está representado em referencial o.n., um cone cuja base está contida no plano e cujo vértice pertence ao semieio positivo base tem raio 3 e centro em, origem do referencial. r reta r, de equação (,,) = (0,3,0) + k(3, 1,0), k R, contém uma geratri do cone. etermine uma equação do plano que contém o vértice do cone e é perpendicular à reta r 45. Num referencial o.n., considere as retas r e s, definidas por: r : 2 = 1 = 3 s : (,,) = (2,1,3) + k(1,0,1), k R Qual das afirmações seguintes é verdadeira? ame 2000, Ép. special (cód. 135) ame 2000, rova para Militares (cód. 135) () r e s e são concorrentes () r e s e são estritamente paralelas () r e s e são não complanares () r e s e são coincidentes ame 2000, Ép. special (setembro) (cód. 135) ame 1999, rova de reserva (cód. 135) (adaptado) 46. Na figura ao lado está representada, em referencial o.n., uma pirâmide quadrangular regular. base da pirâmide é paralela ao plano ponto tem coordenadas (8,8,7) ponto pertence ao plano ponto pertence ao eio ponto pertence ao plano ponto é o centro da base da pirâmide vértice da pirâmide pertence ao plano Seja α o plano que contém o ponto e que é paralelo ao plano Mostre que o eio está contido no plano α ame 2000, Ép. special (setembro) (cód. 135) ame 1999, rova de reserva (cód. 135) 47. Num referencial o.n., considere o plano α, de equação = Qual das seguintes pontos é o simétrico do ponto (1,0,0), em relação ao plano α? () ( 1,0,0) () (1, 1,0) () (1,0,1) () (0,1,0) ame 2000, 1 a fase - 2 a chamada (cód. 135) ágina 14 de 21
48. onsidere dois planos concorrentes α e β Sejam a e b vetores normais aos planos α e β, respetivamente. Seja r um vetor com a direção da reta de interseção dos planos α e β Qual das afirmações seguintes é verdadeira? () r é paralelo a a e r é paralelo a b () r é perpendicular a a e r é paralelo a b () r é paralelo a a e r é perpendicular a b () r é perpendicular a a e r é perpendicular a b 49. onsidere, num referencial o.n., dois planos concorrentes, de equações Seja r a reta de intersecção dos dois planos. Qual dos pontos seguintes pertence à reta r? + 3 = 1 e + 7 = 7 () (5,5,0) () (1,0,0) () (0,0, 1) () (4,3,0) ame 2000, 1 a fase - 2 a chamada (cód. 135) ame 1999, rova para Militares (cód. 135) 50. onsidere, num referencial o. n., os pontos (2,3,10) e (10,13,25) Um tiro é disparado de, de tal forma que o projétil passa pelo ponto retende-se atingir um alvo situado no ponto (98,123,190) e sabemos que, se o projétil seguir uma trajetória retilínea, o alvo é atingido. Justifique que eiste um e um só plano α que contém a origem do referencial e os pontos, e verigue se esse plano é perpendicular ao plano ame 1999, rova para Militares (cód. 135) 51. Na figura ao lado, está representado, num referencial o.n. [] é uma face do cubo [F GH] é a face oposta à face [] (o ponto H não está representado na figura) [], [F ], [G] e [H] são quatro arestas do cubo ponto tem coordenadas (3,5,3) ponto tem coordenadas ( 3,3,6) ponto tem coordenadas (1,2, 3) ponto é o ponto de intersecção do eio com a face [] etermine as coordenadas do ponto F G ame 1999, Época special (cód. 135) 52. Num referencial o.n., qual das seguintes condições define uma reta paralela ao eio? = 2 () () (,,) = (1,2,0) + k(1,1,0), k R () = 1 () 2 = 3 = = 1 ame 1999, 2 a fase (cód. 135) ágina 15 de 21
53. Sejam α e β dois planos perpendiculares. Qual das afirmações seguintes é verdadeira? () Qualquer reta paralela a α é paralela a β () Qualquer reta paralela à intersecção de α e β é paralela a β () Qualquer reta perpendicular a α é perpendicular a β () Qualquer reta perpendicular à intersecção de α e β é perpendicular a β ame 1999, 1 a fase - 2 a chamada (cód. 135) 54. Na figura ao lado está representado um cubo, em referencial o.n. S T a face [ QR] está contida no plano a face [S R] está contida no plano a face [ST ] está contida no plano uma equação do plano T Q é + + = 6 54.1. Mostre que o volume do cubo é 27 54.2. Seja α o plano que contém o ponto S e é paralelo ao plano T Q rove que a reta R está contida em α R U Q ame 1999, 1 a fase - 2 a chamada (cód. 135) 55. onsidere, num referencial o.n., o plano definido pela equação + 2 + 3 = 10 ara um certo número real m, a condição = 2 = define uma reta paralela ao referido plano. m Indique o valor de m () 2 () 1 () 2 () 1 ame 1999, 1 a fase - 1 a chamada (cód. 135) 56. Na figura seguinte está representado, em referencial o.n., um cone de revolução. base do cone está contida no plano e tem o seu centro na origem do referencial [] e [] são diâmetros da base ponto pertence ao semieio positivo ponto pertence ao semieio positivo vértice pertence ao semieio positivo Sabendo que uma equação do plano é 4+4+3 = 12, mostre que o comprimento do raio da base é 3 e a altura do cone é 4 ame 1999, 1 a fase - 1 a chamada (cód. 135) ágina 16 de 21
57. Num referencial o.n., considere o plano α, de equação + = 4 plano α é () paralelo ao plano () paralelo ao eio () perpendicular ao plano () perpendicular ao eio ame 1999, rova Modelo (cód. 135) 58. onsidere, num referencial o.n. o ponto (10,0,0) o ponto (0,2,1) o ponto (0,5,0) a reta a reta Justifique que as retas e são complanares e mostre que o plano α por elas definido admite como equação +2 +6 = 10 ame 1999, rova Modelo (cód. 135) 59. figura ao lado representa uma pirâmide quadrangular regular, em referencial o.n. base da pirâmide é um quadrado contido no plano s pontos e pertencem ao eio s pontos e pertencem ao eio ponto pertence ao eio 59.1. Sabendo que uma equação do plano é 2 + 2 + = 6, determine o volume da pirâmide. 59.2. Justifique que a reta definida pela condição 2 = 2 = é perpendicular ao plano e contém a origem do referencial. Formulário: olume da irâmide = 1 Área da ase ltura 3 ame 1998, rova para militares (cód. 135) 60. onsidere, num referencial o.n., a reta r definida por = 1 = 4 Qual das afirmações seguintes é verdadeira? () r é paralela ao plano () r contém o ponto (2,3,5) () r é paralela ao eio () r é concorrente com o eio ame 1998, rova de reserva (cód. 135) ágina 17 de 21
61. onsidere, num referencial o.n., uma pirâmide triangular não regular [ Q ] Tem-se que: vértice da pirâmide é a origem do referencial vértice tem coordenadas (0,4,2) vértice Q pertence ao plano Uma equação do plano Q é = 0 Uma equação do plano Q é + + = 6 Uma equação do plano é + 2 = 0 Q 61.1. Mostre que o ponto tem coordenadas (2,2,2) e que o ponto Q tem coordenadas (3,3,0) 61.2. Justifique que a reta é perpendicular ao plano Q ame 1998, rova de reserva (cód. 135) 62. onsidere, relativamente a um referencial o.n. : um plano α, definido pela equação 3 = 2 uma reta r, definida pela condição = 2 = 3 um ponto, de coordenadas (0,2,3) Qual das afirmações seguintes é verdadeira? () pertence a α () r é paralela a α () pertence a r () r é perpendicular a α ame 1998, 2 a fase (cód. 135) 63. onsidere, num referencial o.n., os pontos (5,0,0) e (0,3,1) Mostre que a reta está contida no plano de equação +2 = 5 5 1 3 ame 1998, 2 a fase (cód. 135) 64. onsidere, num referencial o.n. : o plano α, de equação 2 + 2 + 2 = 5 a reta r, definida pela condição = = Qual é a posição relativa da reta r e do plano α? () r é perpendicular a α () r é estritamente paralela a α () r e α são concorrentes, mas não perpendiculares () r está contida em α ame 1998, 1 a fase - 2 a chamada (cód. 135) ágina 18 de 21
65. Na figura abaio está representada, em referencial o.n., uma caia cilíndrica construída num material de espessura despreável. caia contém duas bolas encostadas uma à outra e às bases da caia cilíndrica. cilindro tem uma das bases no plano centro dessa base é o ponto de coordenadas (3,0,3) outra base está contida no plano de equação = 12 s bolas são esferas de raio igual a 3 s diâmetros das esferas e das bases do cilindro são iguais superfície esférica correspondente à bola mais afastada do plano tem centro no ponto (3,9,3) e o ponto (1,8,1) pertence a essa superfície esférica. screva uma equação do plano tangente, no ponto (1,8,1), à superfície esférica referida. Nota: um plano tangente a uma superfície esférica é perpendicular ao raio relativo ao ponto de tangência. ame 1998, 1 a fase - 2 a chamada (cód. 135) 66. Num referencial o.n., o ponto de intersecção da reta r : + 1 2 coordenadas: = 2 1 = 3 com o plano tem () ( 1,2,0) () (1,0,2) () (1,0,6) () (3,0,6) 67. ois planos α e β são estritamente paralelos. Qual das afirmações seguintes é verdadeira? () Qualquer reta contida em α é paralela a qualquer reta contida em β () Há retas contidas em α que intersetam β () Há retas perpendiculares a α que não são perpendiculares a β () ada uma reta contida em α eistem em β infinitas retas que lhe são paralelas ame 1998, rova Modelo (cód. 135) ame 1998, rova Modelo (cód. 135) 68. Na figura ao lado está representado um cubo, em referencial o.n. vértice coincide com a origem do referencial. vértice R pertence ao semieio positivo vértice pertence ao semieio positivo vértice S pertence ao semieio positivo abcissa do ponto R é 2 etermine uma equação cartesiana do plano U R S U Q T ame 1998, rova Modelo (cód. 135) ágina 19 de 21
69. Na figura ao lado estão representados em referencial o.n., um prisma quadrangular regular e uma pirâmide cuja base [F G] coincide com a do prisma e está assente no plano. vértice da pirâmide coincide com o centro da base superior do prisma. H ponto G tem coordenadas (4,4,0) e o ponto H tem coordenadas (2,2,6) F screva uma equação cartesiana do plano H G ame 1997, rova para militares (cód. 135) 70. Indique qual dos pares de equações seguintes define, num referencial o.n. um par de planos perpendiculares. () + = 3 e + = 0 () + = 1 e 3 + 2 + 2 = 2 () = e = 0 () 2 + 2 + = 9 e 3 = 0 71. Num referencial o.n. as retas e r são paralelas. vetor tem coordenadas ( 2,m,3) reta r é definida pela condição 1 = = 2 3 valor de m é: ame 1997, 2 a fase (cód. 135) () 1 3 () 1 () 0 () 1 ame 1997, 1 a fase - 2 a chamada (cód. 135) 72. onsidere, num referencial o.n., uma pirâmide regular de base quadrada (ver figura ao lado). vértice da pirâmide pertence ao semieio positivo e tem cota 6 base da pirâmide está contida no plano aresta [ Q] é paralela ao eio. ponto Q tem coordenadas (2,2,0) 72.1. Mostre que o plano QR pode ser definido pela equação 3+ = 6 72.2. etermine uma condição que defina a reta que passa na origem do referencial e é perpendicular ao plano QR S Q R ame 1997, 1 a fase - 2 a chamada (cód. 135) ágina 20 de 21
73. Num referencial o.n., o ponto de interseção da reta r : + 1 2 coordenadas () ( 1,2,0) () (1,0,2) () (1,0,6) () (3,0,6) = 2 1 = 3 com o plano tem ame 1997, 1 a fase - 1 a chamada (cód. 135) 74. Num referencial o.n., os planos α e β são definidos pelas equações: α : + + 1 = 0 e β : 2 + 2 + 2 + 1 = 0 2 s planos α e β são: () oincidentes () oncorrentes não perpendiculares () stritamente paralelos () erpendiculares ame 1997, 1 a fase - 1 a chamada (cód. 135) 75. onsidere, num referencial o.n., um cilindro de revolução como o representado na figura ao lado. base inferior do cilindro tem centro na origem do referencial e está contida no plano [] é um diâmetro da base inferior, contido no eio. ponto tem coordenadas (0, 5,0) ponto pertence à circunferência que limita a base inferior do cilindro e tem coordenadas (4,3,0) reta r passa no ponto e é paralela ao eio ponto pertence à reta r e à circunferência que limita a base superior do cilindro. Justifique que é um vetor perpendicular ao plano etermine uma equação deste plano. ame 1997, 1 a fase - 1 a chamada (cód. 135) ágina 21 de 21