PROVA DE MATEMÁTICA DA UFMG VESTIBULAR 0 a Fase Profa Mara Antôna Gouvea PROVA A QUESTÃO 0 Consdere as retas r, s e t de equações, resectvamente, y x, y x e x 7 y TRACE, no lano cartesano abaxo, os gráfcos dessas três retas CALCULE as coordenadas dos ontos de nterseção A r s, B r t e C s t DETERMINE a área do trângulo ABC Para traçar as retas necessta-se determnar ara cada uma delas elo menos dos ares ordenados I Reta r: y x x y 0 r ossu x y 8 os ontos (, 0) e (, ) II Reta s: y x x y 6 s x 8 y 8 ossu os ontos (, 6) e (8, ) x 7 III Reta t: y 7 x y t ossu 7 x y os ontos (, ) e (, )
As coordenadas dos ontos de nterseção A r s, B r t e C s t serão determnados ela análse do gráfco acma ou ela resolução dos sstemas: y x y x y x, x 7 e x 7 y x y y y 8 y x y 6 A (,6), y x x 8 y x 9y 8 y x y x x 7 y B (,) y y x 7 0y x x y x 6y 8 y x x 7 y C ( 8,) y y x 7 x 8 RESPOSTA: A (, 6), B (, ) e C (8 ) Sendo A (, 6), B (, ) e C (8, ), a área do trângulo ABC é: 6 S 0 9 8 6 8 67 9 8 9 ua 8 RESPOSTA: A área do trângulo ABC é 9ua Um outra manera de calcular a área do trângulo da segunte forma: S ABC S BDEF (S BDC S CEA S AFB ) S ABC 0 9
QUESTÃO 0 Uma fábrca vende determnado roduto somente or encomenda de, no mínmo, 00 undades e, no máxmo, 000 undades O reço P, em reas de cada undade desse roduto, é fxado, de acordo com o número x de undades 90, se 00 x 000 encomendadas, or meo desta equação: P 00 0,0x,se000 < x 000 O custo C, em reas, relatvo à rodução de x undades desse roduto é calculado ela equação C 60x 0000 O lucro L aurado com a venda de x undades desse roduto corresonde à dferença entre a receta aurada com a venda dessa quantdade e o custo relatvo à sua rodução Consderando essas nformações, ESCREVA a exressão do lucro L corresondente à venda de x undades desse roduto ara 00 x 000 e ara 000 < x 000 CALCULE o reço da undade desse roduto corresondente à encomenda que maxmza o lucro CALCULE o número mínmo de undades que uma encomenda deve ter ara gerar um lucro de, elo menos, R$ 600,00 O lucro é a dferença entre a receta corresondente à venda de x undades e o custo relatvo à rodução destas x undades I Para 00 x 000, R 90x, então, L 90x (60x 0000) L 0x 0000 II Para 000 < x 000, R x(00 0,0x), então L 0,0x 00x (60x 0000) L 0,0x 0x 0000 RESPOSTA: A a exressão do lucro L corresondente à venda de x undades desse roduto ara 00 x 000 é L 0,0x 0x 0000 L 0,0x 0 0 000 0x 0000, assume o valor máxmo ara x 000 ( 0,0) 0,0 Como 000 ertence ao ntervalo 000 < x 000, o reço da undade desse roduto será: P 00 000 0,0 00 0 80 reas RESPOSTA: O o reço da undade desse roduto corresondente à encomenda que maxmza o lucro é de R$ 80,00 Para 00 x 000 o lucro máxmo será de L 0000 0000 0000 reas Então o lucro de, elo menos, R$ 600,00 será atngdo nesse ntervalo Assm, L 0x 0000 600 0x 600 x, RESPOSTA: O número mínmo de undades que uma encomenda deve ter ara gerar um lucro de, elo menos, R$ 600,00 é QUESTÃO 0 Um to esecal de bactéra caracterza-se or uma dnâmca de crescmento artcular Quando colocada em meo de cultura, sua oulação mantém-se constante or dos das e, do tercero da em dante, cresce exonencalmente, dobrando sua quantdade a cada 8 horas Sabe-se que uma oulação ncal de 000 bactéras desse to fo colocada em meo de cultura Consderando essas nformações, CALCULE a oulação de bactéras aós 6 das em meo de cultura DETERMINE a exressão da oulação P, de bactéras, em função do temo t em das CALCULE o temo necessáro ara que a oulação de bactéras se torne 0 vezes a oulação ncal (Em seus cálculos, use log 0, e log 0,7)
A oulação das bactéras ermanece constante or dos das e, do tercero da em dante, cresce exonencalmente, dobrando sua quantdade a cada 8 horas, e como do o ao 6 o da exstem eríodos de 8 horas, ode-se reresentar esta stuação no segunte esquema Da Da Da Da Da Da 6 Logo aós 6 das em meo de cultura o número P de bactéras é: P 000 096 000 RESPOSTA: A oulação de bactéras aós 6 das em meo de cultura é de 096000 Consderando como o número ncal de bactéras e que não vara nos dos rmeros das, (t ) é o número de eríodos de 8 horas em (t ) das RESPOSTA: Logo, a exressão da oulação P, de bactéras, em função do temo t, é ( t P ) com t > ( t) ( t) ( t P 0 0 log ) ( ) log0 ( t ) log log log log 7 09 ( t ) 0, 0, 0,7 log0 log 0,9( t ),7 0,9t,7,8 t das 90 0 RESPOSTA: O temo necessáro ara que a oulação de bactéras se torne 0 vezes a oulação 09 ncal é de das 0 QUESTÃO 0 Numa brncadera, um dado, com faces numeradas de a 6, será lançado or Crstano e, deos, or Ronaldo Será consderado vencedor aquele que obtver o maor lançamento Se, nos dos lançamentos, for obtdo o mesmo resultado, ocorrerá emate Com base nessas nformações, CALCULE a robabldade de ocorrer um emate CALCULE a robabldade de Crstano ser o vencedor Número do esaço amostral: 6 ossbldades ara Crstano e 6 ossbldades ara Ronaldo, assm n(e) 6 6 6 CRISTIANO RONALDO Emate 6 ossbldades ossbldade ( a que tver saído ara Crstano) Número de casos favoráves: n(a) 6 6 n(a) 6 RESPOSTA: A robabldade de ocorrer um emate é n(e) 6 6 CRISTIANO RONALDO Possbldades Vtóra ara Crstano Sando o 6 ossbldades (,,, ou ) Sando o ossbldades (,, ou ) Sando o ossbldades (, ou ) Sando o ossbldades ( ou ) Sando o ossbldades () Total de ossbldades favoráves RESPOSTA: A robabldade de ocorrer vtóra ara Crstano é n(a) n(e) 6
QUESTÃO 0 PQR é um trângulo equlátero de lado a e, sobre os lados desse trângulo, estão construídos os quadrados ABQP, CDRQ e EFPR: Consderando essas nformações, DETERMINE o erímetro do hexágono ABCDEF DETERMINE a área do hexágono ABCDEF DETERMINE o rao da crcunferênca que assa elos vértces do hexágono ABCDEF Em torno do onto R exstem quatro ângulos: dos de 90, um de 60 e um de 0 (90 90 60 0 60 ) Os trângulos ERD, CQB e FPA são congruentes e em cada um deles, ela Le dos Cossenos: x a a a cos0 x a x a x a RESPOSTA: Então o erímetro do hexágono ABCDEF é a a a ( ) O hexágono ABCDEF é formado or três quadrados (ABPQ, CDRQ e EFPR), or um trângulo equlátero (PQR) e or três trângulos obtusângulos (DER, AFP e BCQ), logo a sua área é gual à soma das áreas destes sete olígonos S a a a sen0 a a a a RESPOSTA: A área do hexágono ABCDEF é a ( ) A soma dos arcos EF e ED é gual à soma dos arcos DC e CB que é gual à soma dos arcos AB e AF, logo, o trângulo BDF é equlátero nscrto na crcunferênca que assa elos vértces do hexágono ABCDEF No trãngulo DEF, alcando a Le dos Cossenos: x x a a a a a x a a a (lado do BDF) O lado de um trângulo equlátero nscrto em função do rao mede r a a ( ) a a Assm: r a r RESPOSTA: O rao da crcunferênca que assa elos vértces do hexágono ABCDEF mede a
PROVA B QUESTÃO 0 Cnco tmes de futebol, de gual excelênca, vão dsutar oto edções segudas de um torneo anual Consderando essa nformação CALCULE a robabldade de um mesmo tme vencer as duas rmeras edções desse torneo CALCULE a robabldade de não haver vencedores consecutvos durante a realzação das oto edções desse torneo Ed Ed Ed Ed Ed Ed6 Ed7 Ed8 n(e) Casos ossíves 8 Casos favoráves Ed Ed Ed Ed Ed Ed6 Ed7 Ed8 Para vencer a edção exstem ossbldades O vencedor da edção deve, nesse caso, ser o mesmo da edção, logo ara a edção somente exste uma ossbldade e ara cada uma das seguntes exstem semre osssbldades O total de casos favoráves é: n(a) 6 RESPOSTA: Então a robabldade de um mesmo tme vencer as duas rmeras edções desse 7 torneo é: 8 Um tme não ode nunca vencer duas edções segudas Logo o vencedor da edção não ode ser o vencedor da edção ; o vencedor desta não ode ser o da edção, e assm sucessvamente Esta stuação está reresentada abaxo Casos favoráves Ed Ed Ed Ed Ed Ed6 Ed7 Ed8 O número de casos favoráves é: n(b) 7 RESPOSTA: A robabldade de não haver vencedores consecutvos durante a realzação das oto edções desse torneo é 8 7 7 7 7 QUESTÃO 0 Consdere a fgura ao lado O trângulo ABC é equlátero, de lado ; o trângulo CDE é equlátero, de lado ; os ontos A, C e D estão alnhados; e o segmento BD ntersecta o segmento CE no onto F Com base nessas nformações, DETERMINE o comrmento do segmento BD DETERMINE o comrmento do segmento CF DETERMINE a área do trângulo sombreado BCF 6
No trângulo BCD, ela Le dos Cossenos: BD 9 BD 6 BD 9 RESPOSTA: BD 9 Os trângulos BCF e DEF são semelhantes, logo, os lados homólogos são roorconas, assm : BC CF x x x x x 0,8 CF x, ED FE x RESPOSTA: CF, A área do trângulo sombreado BCF é dada ela relação: S BC CF sen60, 0,9 RESPOSTA: A área do trângulo BCF é: QUESTÃO 0 9 0 Um gruo de anmas de certa eséce está sendo estudado or veternáros A cada ses meses, esses anmas são submetdos a rocedmentos de morfometra e, ara tanto, são sedados com certa droga A quantdade mínma da droga que deve ermanecer na corrente sanguínea de cada um desses anmas, ara mantê-los sedados, é de 0 mg or qulograma de eso cororal Além dsso, a mea-vda da droga usada é de hora sto é, a cada 60 mnutos, a quantdade da droga resente na corrente sanguínea de um anmal reduz-se à metade Sabe-se que a quantdade q(t) da droga resente na corrente sanguínea de cada anmal, t mnutos k t aós um dado nstante ncal, é dada or q(t) q, em que: 0 q 0 é a quantdade de droga resente na corrente sanguínea de cada anmal no nstante ncal; e k é uma constante característca da droga e da eséce Consdere que um dos anmas em estudo, que esa 0 qulogramas, recebe uma dose ncal de 00 mg da droga e que, aós 0 mnutos, deve receber uma segunda dose Suonha que, antes dessa dose ncal, não hava qualquer quantdade da droga no organsmo do mesmo anmal Com base nessas nformações, CALCULE a quantdade da droga resente no organsmo desse anmal medatamente antes de se alcar a segunda dose CALCULE a quantdade mínma da droga que esse anmal deve receber, como segunda dose, a fm de ermanecer sedado or, elo menos, mas 0 mnutos 9 0 7
Como antes da alcação da dose ncal, não hava qualquer quantdade da droga no organsmo do 60( k) 60k 60k k t mesmo anmal: 0 00 k q(t) q 60 0 q0 60 A quantdade da droga resente no organsmo desse anmal medatamente antes de se alcar a segunda dose, ou seja ao fnal de 0 mnutos é: 0 00 00 q(0) 00 60 00 00 0 RESPOSTA: A quantdade da droga resente no organsmo desse anmal medatamente antes de se alcar a segunda dose, ou seja ao fnal de 0 mnutos é 0 mg Sendo 0 mg or qulograma de eso cororal, a quantdade mínma da droga que deve ermanecer na corrente sanguínea de cada um desses anmas, ara mantê-los sedados, então como o eso desses anmas é de 0 kg, essa quantdade mínma é de 0 0mg 00mg Consderando q 0 0 x como a quantdade da droga resente no organsmo desse anmal medatamente antes de se alcar a segunda dose: 0 ( 0 x) 00 q(0) q 60 x x 0 00 0 00 0 x 0 RESPOSTA: A quantdade mínma da droga que esse anmal deve receber ara ermanecer sedado or mas 0 mnutos é 0 mg QUESTÃO 0 Um banco oferece dos lanos ara agamento de um emréstmo de R$ 0000,00, em restações mensas guas e com a mesma taxa mensal de juros: no Plano, o eríodo é de meses; e no Plano, o eríodo é de meses Contudo a restação de um desses lanos é 80% maor que a restação do outro Consderando essas nformações, DETERMINE em qual dos dos Plano ou Plano o valor da restação é maor Suonha que R$ 0000,00 são nvestdos a uma taxa de catalzação mensal gual à taxa mensal de juros oferecda elo mesmo banco CALCULE o saldo da alcação desse valor ao fnal de meses Os dos Planos têm a mesma taxa mensal de juros, e como no Plano o número de restações é menor que no Plano, o valor de suas restações é maor que nesse últmo lano t Seja a restação do Plano e a do Plano,8,8,8,8 No Plano, sendo,8 : 0000, onde o ( ) o membro é a ( ) ( ) ( ),8 soma dos termos de uma PG fnta cujo o termo é e de razão ( ) ( ),8 Pode-se então escrever: 0000 (I) ( ) 8
9 No Plano : ( ) ( ) ( ) ( ) 0000 O o membro dessa gualdade também é a soma dos termos de uma PG fnta na qual o o termo é ( ) e de razão ( ) ( ) 0000 (II) De (I) e (II) ( ),8 ( ),8 0,8,8,8 ( ) O montante da alcação de R$ 0000,00 nvestdos a uma taxa de catalzação mensal gual à taxa mensal de juros oferecda elo mesmo banco, ao fnal de meses, é: M ( ) 00 0000 0000 0000 RESPOSTA: O montante é de R$ 00,00 QUESTÃO 0 Consdere a fgura: Nessa fgura ABCD tem ângulos retos nos vértces B e C ; ângulo de no vértce A ; AD aoado sobre uma reta r ; e AB, BC e CD Com base nessas nformações, DETERMINE a dstânca h do onto C à reta r DETERMINE a dstânca H do onto B à reta r DETERMlINE a função y f(x), ara 0 x H, tal que f(x) seja gual à área sombreada de uma fgura como a lustrada abaxo, que é a arte do quadrlátero ABCD comreendda entre a reta r e uma reta s, aralela à r, de modo que a dstânca entre r e s é gual a x Consdere, agora, um recente de comrmento 0, aoado em um lano horzontal, cuja seção
transversal é o quadrlátero ABCD, já mostrado nos tens anterores desta questão: Suonha que esse recente está arcalmente cheo de água e que o nível dessa água é x Com base nessas nformações, A) DETERMINE uma exressão ara o volume V(x) da água contda no recente ara 0 x H B) DETERMINE o nível x de água no recente ara que o volume de água dentro dele seja gual à metade do volume total do mesmo recente O trângulo retângulo CFD é sósceles de catetos medndo h e hotenusa medndo Alcando o Teorema de Ptágoras: h h RESPOSTA: A dstânca h do onto C à reta r mede O trângulo retângulo AED é sósceles de catetos medndo H e hotenusa medndo Alcando o Teorema de Ptágoras: H H 6 H RESPOSTA: A dstânca H do onto B à reta r mede FIGURA O objetvo da construção da FIGURA fo a determnação da medda do lado AD do quadrlátero ABCD Deslocando a reta s de modo a assar elo onto C, determnam-se os trângulos retângulos BHG e BCH, sósceles e congruentes No trângulo BHG: GH 8 GH 9 GH HC Como os lados oostos de um aralelogramo são congruentes, AD 6 FIGURA O aralelogramo ADCG tem altura x, tal que 0 < x, tem área dada ela função g(x) 6x 0
FIGURA FIGURA À medda que a reta s é deslocada afastando-se de r e aroxmando-se do onto B, (FIGURAS E ) o quadrlátero sombreado va tomando a forma de um quadrlátero formado or um aralelogramo de altura, encmado or um traézo sósceles de bases 6 e 8 x, e altura x Consderando como h(x) a área ( 6 8 x) (x ) 6x x do traézo, tem-se: h(x) x 8x 7 e g(x) 6x Sendo f(x) g() h(x) f(x) 6() x 8x 7 x 8x 6x, RESPOSTA: f(x ) x se 0 < x 8x, se < x A) O recente tem altura 0 e a área do quadrlátero ABCD é dada ela função 6x, se 0 < x f(x ) x 8x, se 0 < x 60x, se 0 < x se 0 < x Logo o seu volume é V(x) 0 ( x 8x ), RESPOSTA: V(x) 0 ( x 8x ) B) Para x, o volume do recente é 60 Para x, o volume total do recente é 0: V() 0 ( 8 ) 0( 6 ) 0 0 A metade do volume total é 7, então maor que 60 logo, < x < ( x 8x 0 ) 7 ( x 8x ) x 6x x 6x 7 V(x) 0 6 ± 6 6 6 ± 0 6 ± 0 0 ± 0 0 0 0 0 x x ou x > RESPOSTA: O nível da água ara que o volume seja 7 é 0 0 x