PROVA DE MATEMÁTICA DA UFBA VESTIBUAR a Fase RESOUÇÃO: Proa Mara Antôna Gouvea Questão Um quadrado mágco é uma matr quadrada de ordem maor ou gual a cujas somas dos termos de cada lnha de cada coluna da dagonal prncpal e da dagonal secundára têm o mesmo valor que é chamado de constante mágca Estabeleça um sstema de equações que permta determnar os valores de e que tornam a matr A um quadrado mágco e calcule esses valores RESOUÇÃO: Aplcando à matr a le de ormação do quadrado mágco e aendo a soma dos elementos das lnhas das colunas e das dagonas gual a k: Soma das lnhas = + + + + ++ = k + + = k = ++ + + + + = k k = = + + + + ++ = k + = k Soma das colunas C = + + ++ + + = k + = k C = + + + + + = k k = C = ++ + + + ++ = k + + = k Soma das dagonas D = + + + + ++ = k + + = k D = ++ + + + + = k + = k Analsando os resultados encontrados na tabela acmaconclu-se que = C = C e k = chega-se então ao sstema: D D Resolvendo esse sstema: : : RESPOSTA: Os valores de e são respectvamente e
Questão Sabendo-se que o vértce da parábola de equação = a ² + a + a é o ponto de nterseção das curvas de equações log geométrca a a a calcule a RESOUÇÃO: e = e que a a e a são elementos da progressão Para determnar o ponto de ntersecção das curvas de equações log o sstema: V = log e = deve-se resolver log o ponto de ntersecção das curvas é Sendo esse ponto o vértce da parábola = a ² + a + a a a a que a equação da a parábola pode ser escrta: = a ² a + a Se a a e a são elementos da progressão geométrca a a a a =a a a ² = a a a = a a equação da parábola pode agora ser escrta: = a ² a + a Nesta últma equação substtundo por e por coordenadas do ponto V: a a + a = a = a Se e são os três prmeros termos de uma PG então q = a RESPOSTA: O valor de a é Questão Sendo e números compleos tas que é a ra cúbca de que tem ao no segundo quadrante satsa a equação + = e Im > calcule RESOUÇÃO: Consdere-se = = cos +sen k cos sen k k cos sen cos sen cos sen k k
Resolvendo a equação bquadrada + = Como é do o grau: = ac b b = Im Sendo e então = RESPOSTA: O valor de é Questão Dadas as unções reas g e cos sen determne pertencente ao ntervalo tal que g RESOUÇÃO: Se pertence ao ntervalo pertence ao ntervalo g cos sen sen sen sen sen sen sen RESPOSTA: =
Questão Consderem-se no plano cartesano os subconjuntos A={ R²; ² + ² } B={ R²; } e C={ R²; } Calcule a área da regão denda por A B C RESOUÇÃO: O gráco ao lado representa a regão denda por A={ R²; ² + ² } O gráco ao lado representa a regão denda por B={ R²; } que é a ntersecção dos subconjuntos D = { R²; } e E = { R²; } As retas = e = ormam com o sem-eo postvo de O ângulos cujas tangentes são respectvamente guas a e ogo suas meddas são respectvamente e A parte em amarelo do gráco ao lado representa a nterseção entre A={ R²; ² + ² } e B={ R²; } cuja área é: SAB = S círculo S setor de = Ao lado tem-se o gráco da regão denda por C={ R²; }
A regão pntada de amarelo no gráco ao lado representa A B C No trângulo retângulo AHO AO² = OH² + AH² = + AH² AH = OH = que esse trângulo é sósceles Então a área da regão A B C é: SA B Sdo segmento crcular determnado pelo ângulo AÔB S do segmento crcular determnado pelo ângulo AÔB = S sector de S AOC = S A B C = RESPOSTA: A área da regão A B C é gual a ua Questão Sobre um clndro crcular reto C e uma prâmde trangular regular P sabe-se que C tem volume gual a cm³ e área de cada base gual a cm² P tem a mesma altura que C e base nscrta em uma base de C Calcule o volume do tronco dessa prâmde determnado pelo plano paralelo à base que dsta cm do vértce RESOUÇÃO: S base de C = r² = r² = r = V C = r²h = h = h = Sendo P uma prâmde trangular regular ABC é um trângulo equlátero nscrto na crcunerênca da base do clndro cuja r r altura BM mede r No trângulo retângulo BMC BM sen AB ² ² S ABC = cm² S V P = ABC h cm³ Consderando como V o o volume da prâmde VDEF semelhante à prâmde P vale a relação V V o P h o Vo Vo h P O volume do tronco de prâmde é V P V o = RESPOSTA: O volume do tronco de prâmde é cm³