Ecooma Socal Parte I: CONCEITOS BÁSICOS: Curva de Lorez e Idce de G Ídce de Thel Outras meddas de desgualdade: classe de etropa geeralzada Profa. Daelle Carus Prof. Fábo Walteberg Aula 4 (parte II) agosto de Ecooma UFF Curva de Lorez Dferetemete da Parada de Pe (ou Curva dos Quats), a Curva de Lorez represeta exclusvamete a desgualdade relatva, ou seja, ela é dferete ao ível da dstrbução. A curva de Lorez dz respeto à porcetagem da reda aproprada pelos quats mas pobres. Relembrado... Quats de uma dstrbução: Se usa o termo quatl para a separatrz ou para o estrato. Na prátca se adota a reda da últma pessoa do estrato como demarcação do quatl. Décmos e decs da dstrbução de reda - pessoas ordeadas segudo o ível de reda. o décmo o décm o 9 o décm o o décm o O decl é a separatrz. O termo decldeoma deoma cada quatlde uma dstrbução que fo fracoada em partes. O que é uma Curva de Lorez? - Se ordearmos a dstrbução em ordem crescete das redas(domaspobreatéorco),épossívelrelacoara cada passo a fração populacoal acumulada até al (p) comafração da reda total acumulada até aquele passo (φ). A curva gerada desse modo écohecda como curva delorez(l(p)). -A curva de Lorez os dá a proporção da reda total aproprada por uma dada parcela da população. Ela relacoa a porcetagem acumulada da reda com a porcetagem acumulada da população. φ Porcetagem acumulada da reda Curva de Lorez B 9 8 7 6 Reta de perfeta gualdade 5 4 3 L(p) O C 3 4 5 6 7 8 9 Porcetagem acumulada da população p
Domâca de Lorez: A dstrbução de reda em 7 doma em Lorez a dstrbução em > em 7 exste meos desgualdade a dstrbução da reda do que em. Lorez curves - to 7 A B - Quado comparamos duas dstrbuções A e B cujas curvas de Lorez ão se terceptam, de forma questoável a dstrbução cuja curva de Lorez se stua mas próxma da lha de perfeta gualdade tem meor grau de desgualdade. - Dz-se, etão, que a dstrbução A doma em Lorez a dstrbução B. Cumulatve come percetage 9 8 7 6 5 4 3 7 -Obem-estarémaoremAdoqueemB). 3 4 5 6 7 8 9 Cumulatve populato percetage Source: Estmates based o Pesqusa Nacoal por Amostra de Domcílos (PNAD) - to 7. Exemplo de costrução de uma Curva de Lorez Cosdereadstrbuçãodscreta:(5eméda8) x [ 6 3] x p X/total Φ,,5,5,4,5,5 3,6,5, 4 6,8,5,5 5 3,,75 Exemplo de costrução de uma Curva de Lorez,9,8,7,6,5,4,3,,,,4,6,8 Quado as curvas de Lorez se terceptam, exstem meddas específcas de desgualdade de reda. Essas meddas, etretato, evolvem um certo grau de arbtraredade a mesuração. Relação etre a Curva de Lorez e o Ídce de G (a) A B A é mas gual do que a B (b) A B A é mas desgual em sua cauda feror e meos desgual em sua cauda superor do que em B -O Ídce de G é o mas tradcoal detre os ídces de cocetração. -Uma das prcpas vatages: sua assocação com a Curva de Lorez (pode ser escrto como uma fução da Curva de Lorez). -Como vara etre, quado a curva se cofude com a lha de perfeta gualdade, e ½, que é a área do trâgulo retâgulo à dreta, temos que o Gse stua etre e. -A desgualdade máxma ocorre quado uma úca pessoa se apropra de toda a reda ( MÁX,5). - -O Ídce de Gé defdo como o quocete etre a área de desgualdade () e a desgualdade máxma. Portato, G /,5 > G.
Relação etre a Curva de Lorez e o Ídce de G Curva de Lorez B -Como o Gé gual a duas vezes a área(), sto é, G, sedo a área etre a reta de perfeta gualdade e a curva de Lorez, temos que:,5 β >,5 L( p) dp G L( p) dp A área do trâgulo ode está a curva de Lorez é,5. Portato, +β,5. G > G,5 L( p) dp φ Porcetagem acumulada da reda 9 8 7 6 Reta de perfeta gualdade 5 4 3 L(p) O C 3 4 5 6 7 8 9 Porcetagem acumulada da população p Ф - S P - / p Ф S é a área do -ésmo trapézo. Base maor: Ф Base meor: Ф - Altura: p p - / S /(Ф + Ф - ) [lembra que S (b + b).h/] Como queremos calcular a área de desgualdade, o procedmeto mas smples é calcular a área complemetar em relação ao trâgulo feror (depos fazer ½ -essa área). p A área β pode ser obtda pela soma das áreas S : β S SubsttudoS /(Ф + Ф - ) temos que: β ( φ + φ ) Como: G +β,5 >,5-β G Etão: G.(,5 -β) > G -β (*) Substtudo β em (*), temos que: ( φ + φ ) > ( + ) G φ φ Portato, cohecedo as redas x, podemos obter φ φ x µ Fata da reda aproprada. x p p acum φ φ+φι-,3,3,5,5,3,5,5,75 3,5,,,5 4 6,5,5,5,35 5 3,75,,,5 4,85 5 µ8 φ x G µ ( φ + φ ) φ.,5 5.8 G.,85,63 5 φ.,5 5.8 3
Curvas de Lorez que se cruzam (pratcamete com o mesmo G) Lorez curves for 44 coutres wth ther comes ( $PPP) ad populatos Cum ulatve % of come 8 6 4 G 98 35.6 G 998 34.7 (Cocept dstrbuto) 93 998 7 6 5 3 34 39 43 48 5 57 6 66 7 75 8 84 89 93 98 Cumulatve % of coutres Source: thepast.xls (lorez) Algumas lmtações: A curva de Lorez mostra como o bolo é dvddo mas ão revela ada sobre o tamaho do bolo ou quatas bocas vão comê-lo. As formações sobre a reda méda e o tamaho da população ão podem ser extraídas da curva de Lorez. Quado as curvas de Lorez se terceptam, ão podemos dzer que, de forma questoável, a dstrbução cuja curva de Lorez se stua mas próxma da lha de perfeta gualdade tem meor grau de desgualdade. Exstem váras formas de se medr desgualdade, cada uma com seu apelo (tutvo ou matemátco). Uma medda de desgualdade, assm como qualquer outra ferrameta, é julgada pelo tpo de trabalho que faz: ela é sesível a mudaças o padrão de dstrbução? Respode apropradamete a mudaças a escala global de reda? Etretato, mutas meddas que são aparetemete sesíves se comportam de forma perversa. Por exemplo: a varâca, que é uma das meddas mas smples de desgualdade ão é depedete da escala se dobrarmos a reda de todas as pessoas essa medda de desgualdade quadruplca. Essa ão é uma propredade desejável de uma medda de desgualdade. Prcípos uma medda de desgualdade devera satsfazer. Portato, parece aproprado lmtar a dscussão àquelas meddas que satsfazem certas propredades. Mesmo assm, mutas vezes, ordeamos dstrbuções de forma dferete. Exstem cco propredadesque usualmete uma medda de desgualdade deve satsfazer. Com sso vamos obter uma lsta pequea de meddas de desgualdade pos elmamos aquelas meddas que ão se ajustam a esses prcípos. Mas sso também ajuda a colocar a preferêca pessoal em perspectva quado escolhemos uma medda detre estas. ) Prcípo da Trasferêca de Pgou-Dalto: Esse prcípo requer que a medda de desgualdade aumete (ou pelo meos ão dmua) em resposta a uma trasferêca de reda, que preserve a méda (meapreservgspread), de uma pessoa mas pobre para uma pessoa mas rca; uma trasferêca de reda do mas rco para o mas pobre devera reduzr a desgualdade (ou pelo meos ão aumetar). 4
Cosdere o vetor, que é uma trasformação de, obtdo por uma trasferêca δde j para, ode > j, e + δ> j - δ, etão, o prcípo da trasferêca é satsfeto se I( ) I() - a desgualdade em é maor ou gual a desgualdade em. Mutas meddas utlzadas a lteratura, cludo a famíla de Etropa Geeralzada e a famíla do G satsfazem esse prcípo, com exceção do logarítmoda varâca e da varâca dos logarítmos. ) Idepedêca da escala de reda: Esse prcípo requer que a medda de desgualdade seja varate à mudaças proporcoas uformes se a reda de cada dvíduo muda a mesma proporção (como acotece, por exemplo, quado muda a udade moetára), etão, a desgualdade ão devera se alterar. Assm, para qualquer escalar λ, I() I(λ). Novamete, mutas meddas de desgualdade padrão passam esse teste exceto a varâca, uma vez que Var[λ] λ Var[]. 3) Prcípo da população: Esse prcípo requer que a medda de desgualdade seja varate à replcações da população. Se medrmos a desgualdade uma ecooma partcular com pessoas e, etão, dermos um merge essa ecooma com uma outra dêtca, vamos obter uma ecooma combada com uma população, e com a mesma proporção da população recebedo qualquer dada reda (a desgualdade ão se altera). Se a medda de desgualdade é a mesma para qualquer replcação, etão, esta medda satsfaz esse prcípo. Para qualquer escalar λ>, I()I((λ)), ode (λ) é uma cocateação do vetor, λvezes. 4) Prcípo do Aomato (mparcaldade) Esse prcípo é algumas vezes referdo como smetra. Ele requer que a medda de desgualdade seja depedete de qualquer característca dos dvíduos que ão seja a reda (ou o dcador de bem-estar cuja desgualdade está sedo medda). Assm, para qualquer permutação de, I()I( ). A (,, 3) é equvalete a B (3,, ). 5) Decompobldade: Esse prcípo requer que haja coerêca etre a desgualdade global uma dada socedade e a desgualdade em suas partes costtutes, tas como os subgrupos populacoas. Por exemplo, se a desgualdade etre subgrupos da população (homes x mulheres) aumeta, etão, esperaríamos que a desgualdade total também aumetasse. 5
Algumas meddas, tas como as da famíla de Etropa Geeralzada, são faclmete decompoíves e em compoetes tutvos de desgualdade detro do grupo e desgualdade etre grupos: I TOTAL I DENTRO + I ENTRE Exemplo : Supõe uma ecooma com 6 pessoas; 3 o orte e 3 o sul. Norte Sul 6 3 7 3 8 3 O Sul é bem mas rco que o Norte. O Govero desehou dos tpos de programas: A e B. Esses programas matém a méda costate mas a dstrbução muda. O coefcete de Gé decompoível apeas se as partções ão são sobrepostas, sto é, os subgrupos da população ão se sobrepõe o vetor de redas. Ver exemplos e : Norte Sul A B A B 6 6 3 7 6 3 6 8 9 3 NO7 SUL63 G,63,95,35,386 Atkso,7,9,8,343 Atkso,4,36,363,6 Thel,7,,56,9 Ver Cowell (). Exemplo : Jutato Norte e Sul: Norte Sul A B A B A B 6 6 6 6 3 7 6 7 6 3 6 8 9 8 9 3 3 NO7 SUL63 3 6 3 T35 G,63,95,35,386,56,579 Atkso,7,9,8,343,476,59 Atkso,4,36,363,6,664,7 Thel,7,,56,9,64,63 A desgualdade aumetou o Norte (de A p/b); a desgualdade aumetou o Sul (de A p/b) > a desgualdade aumetou o país como um todo (de A p/b) é cosstete. Exemplo : Supõe que a reda cresceu por um fator de somete o Norte. Jutato Norte e Sul: Norte Sul A B A B A B 6 6 6 6 3 7 6 7 6 3 6 8 9 8 9 3 3 NO7 SUL63 3 6 3 T66 G,63,95,35,386,75,67 Atkso,7,9,8,343,5,98 Atkso,4,36,363,6,36,469 Thel,7,,56,9,6,49 Ido de A B, o Gaumeta o Norte; aumeta o Sul, mas o G do país decresce. Famíla de meddas de Etropa Geeralzada (GE). Se sso ocorre, etão, é mpossível expressar a mudaça a desgualdade total como uma fução cosstete da mudaça de desgualdade os város subgrupos. A varâca dos logarítmos, o logartmoda varâca e o desvo relatvo à méda também se comportam dessa forma. Teorema: Qualquer medda de desgualdade que satsfaça smultaeamete todas essas propredades é um membro da famíla de meddas de Etropa Geeralzada(GE) (ver Cowell, 995). GE( ) Ode: o. de dvíduos a amostra. reda do dvíduo, (,,...,). barra Σ, 6
7 Famíla de meddas de Etropa Geeralzada (GE). Outra forma de escrever (reparametrzado): GE ) ( > ( ) GE ) ( Que ídces fazem parte da famíla de meddas de Etropa Geeralzada(GE)? Ídce de Shorrocks Coefcete de varação Thel-L Thel-T Atkso Famíla de meddas de Etropa Geeralzada (GE). Resumo: a partr de GE() podemos obter cada um desses ídces: -A fórmula de GE() é o própro Ídce de Shorrocks. -Se Coefcete de varação. -Se Thel-L (temos que usar L Hôptal). -Se Thel-T (temos que usar L Hôptal). - O Ídce de Atkso é uma trasformação mootôca crescete do Shorrocks para >. Famíla de meddas de Etropa Geeralzada (GE). Ídce de Shorrocks. Famíla de meddas de Etropa Geeralzada (GE). ( ) S ) ( Exercíco : Mostre que se Coefcete de varação. Se GE CV GE Exercíco : Mostre que se Coefcete de varação. ( ) S ) (. () GE () GE CV > CV CV σ σ Lembra que: Lembra que: Exercíco : Mostre que se Coefcete de varação. () GE CV Na verdade, temos uma trasformação mootôcado CV. Um atratvo do CV como medda de desgualdade é sua assocação com o desvo-padrão (e a varâca), que é a medda de dspersão mas comum em estatístca.
Famíla de meddas de Etropa Geeralzada (GE). Famíla de meddas de Etropa Geeralzada (GE). Exercíco : Mostre que se Thel-L L( ) log log (Log da méda a méda dos logs) Exercíco 3: Mostre que se Thel-T A( ) S [ ( ). ] T ( ). log O debate acadêmco e polítco sobre a desgualdade de reda. - Trade off etre crescmeto e desgualdade. - Custos de efcêca. -Obstáculos da polítca ecooma para uma ampla polítca redstrbutva. -Qual a questão? - crescmeto versus redstrbução. Crescmeto deve preceder redstrbução? É mas efcaz crescer prmero para depos redstrbur? O debate acadêmco e polítco sobre a desgualdade de reda. - Questões mportates para refletr: -Crescmeto ecoômco é essecal, mas ão é sufcete para extgur a pobreza. -As polítcas ecoômcas e socas ão podem colocar em pergo a establdade macroecoômca. -Exstem sergas etre melhoras a dstrbução de reda e crescmeto. Apesar da relação etre reduções o grau de desgualdade e crescmeto ser complexa, exstem múltplas razões para acredtarmos que maor eqüdade pode acelerar o crescmeto. Nesses casos, o combate à desgualdade deve receber total prordade. (Ver Barros, Carvalho, Fraco e Medoça. Capítulo : A mportâca da queda recete da desgualdade sobre a pobreza. Vol. I do Lvro do Ipea). Mesages partcularmete mportates para a redução da pobreza: () Os custos ecoômcos e polítcos de elevados íves de desgualdade podem colocar em rsco a establdade democrátca e afetar egatvamete os vestmetos e o crescmeto ecoômco. () Crescmeto ecoômco e redstrbução de reda ão são processos que ecesstam ocorrer seqüecalmete. O deal é que os dos ocorram smultaeamete. 8
() Há um papel mportate para as polítcas públcas a redução da desgualdade de reda, facltado o acesso a atvos produtvos, partcularmete do captal humao, etre os pobres. Assm, o foco da dscussão passa a ser a aálse das sergas etre o crescmeto e a dstrbução de reda o que mplca que ambos são strumetos complemetarespara redução da pobreza (e são, como vmos). O desafo para os formuladores de polítcas é detfcar quas as polítcas públcas promover um crescmeto mas rápdo e com maor partcpação dos pobres a geração de reda. A loga tradção de pesqusa sobre desgualdade de reda o Brasl. -Há mas de quatro décadas os dados estatístcos dspoíves são utlzados para aalsar o que ocorre com a dstrbução de reda e quas são seus prcpas determates. -Após a dvulgação dos dados do Ceso Demográfco de 97, dos estudos mostraram um crescmeto espatoso a desgualdade da dstrbução da reda o Brasl etre 96 e 97: -Fshlow (97). -Hoffma e Duarte (97). A loga tradção de pesqusa sobre desgualdade de reda o Brasl. -Maro Herque Smose, ctado o trabalho de Hoffma e Duarte, afrmou que o debate sobre o aumeto de cocetração de reda de 96 para 97 só pode ser sustetado com uma boa dose de levadade estatístca (Smose, 97, p. 5). -O trabalho de Lago(973) fo fudametal para estabelecer um coseso sobre o aumeto da desgualdade etre 96 e 97. A loga tradção de pesqusa sobre desgualdade de reda o Brasl. -A partr de etão, o aspecto polêmco passou a ser a terpretação acerca das causas por trás desse feômeo. Algus autores apotavam a polítca goverametal e o ambete sttucoal como os prcpas resposáves, equato outros cosderavam que o problema estava o crescmeto da demada por mão-de-obra mas qualfcada sem o correspodete crescmeto da oferta. -Prolferaram os estudos sobre a desgualdade de reda. Logo os estudos que corroboravam a forte relação etre educaçãoe desgualdaderetratada por Lagogaharam mportâca. A loga tradção de pesqusa sobre Tabela.: Idcadores da desgualdade a reda per capta o Brasl, 7. desgualdade de reda o Brasl. Idcadores Valor -Nos aos 98, grade ateção fo dspesada à segmetação o mercado de trabalho braslero. Das dsttas formas de segmetação, aquela exstete etre os setores formal e formal da ecooma tem sdo, seguramete, a mas estudada. -Na seguda metade da década de 98 e, em partcular, a prmera metade da década de 99, fo a vez da relação etre establdade ecoômca, flação e desgualdade. -Mas recetemete surgram mas estudos sobre dscrmação, sobretudo a dscrmação racal, e prcpalmete, sobre a desgualdade de oportudades gerada pelo sstema educacoal. Porcetagem da reda aproprada pelos décmos mas pobres (%) Prmero.89 Segudo.95 Tercero 5.9 Quarto 9.86 Quto 5. Sexto.5 Sétmo 9.6 Otavo 4.5 Noo 56.5 Porcetagem da reda aproprada pelo últmo cetésmo.3 Coefcete de G.55 Ídce de Thel-T.63 Razão etre a reda aproprada pelos % mas rcos e pelos 4% mas pobres Razão etre a reda aproprada pelos % mas rcos e pelos % mas pobres Fote: Estmatvas produzdas com base a Pesqusa Nacoal por Amostra de Domcílos (PNAD) de 7. 7.7. 9
Dstrbução acumulada da população mudal e dos países segudo o PIB real per capta - Coefcete de G 9 Brasl 7 (.55; 9) 8 Dstrbução acumulada dos países 7 6 5 4 3,,5,3,35,4,45,5,55,6,65,7 Coefcete de G Fote: Estmatvas produzdas com base o Huma Developmet Report (7-8) PNUD. Nota:. Estão sedo cosderados 6 países para os quas exstem a formação.. Fote: Estmatvas produzdas com base a Pesqusa Nacoal por Amostra de Domcílos (PNAD) de e 7.