Polígonos Disciplina: Matemática Aplicada Prof. Filipe Arantes Fernandes filipe.arantes@ifsudestemg.edu.br
Polígonos Polígonos é uma linha fechada formada apenas por segmentos de reta que não se cruzam no mesmo plano.
Tipos de Polígonos Convexo Não-convexo
Tipos de Polígonos Convexo: No polígono A, se tomarmos dois pontos quaisquer P e Q na região limitada pelo polígono, o segmento de reta que os une estará inteiramente contido nesta região.
Tipos de Polígonos Não-convexo: É possível encontramos dois pontos (R e S) de modo que o segmento de reta RS não esteja inteiramente contido na região limitada por esse polígono.
Elementos de um polígono A B C F E D
Elementos de um polígono A B VÉRTICES São os pontos A, B, C, D, E e F. C F E D
Elementos de um polígono LADOS São os segmentos de reta:
Elementos de um polígono A B LADOS São os segmentos de reta: AB
Elementos de um polígono A B LADOS São os segmentos de reta: AB BC C
Elementos de um polígono A B LADOS C D São os segmentos de reta: AB BC CD
Elementos de um polígono A B LADOS C E D São os segmentos de reta: AB BC CD DE
Elementos de um polígono A B LADOS C F E D São os segmentos de reta: AB BC CD DE EF
Elementos de um polígono A B LADOS C F E D São os segmentos de reta: AB BC CD DE EF FA
Elementos de um polígono A B DIAGONAIS São os segmentos de reta que ligam um vértice a outro vértice não consecutivo a ele: C F E D
Elementos de um polígono A B DIAGONAIS C F E D São os segmentos de reta que ligam um vértice a outro vértice não consecutivo a ele: AC
Elementos de um polígono A B DIAGONAIS C F E D São os segmentos de reta que ligam um vértice a outro vértice não consecutivo a ele: AC AD
Elementos de um polígono A B DIAGONAIS C F E D São os segmentos de reta que ligam um vértice a outro vértice não consecutivo a ele: AC AD AE
Elementos de um polígono A B DIAGONAIS C F E D São os segmentos de reta que ligam um vértice a outro vértice não consecutivo a ele: AC AD AE BD
Elementos de um polígono A B DIAGONAIS C F E D São os segmentos de reta que ligam um vértice a outro vértice não consecutivo a ele: AC AD AE BD BE
Elementos de um polígono A B DIAGONAIS C F E D São os segmentos de reta que ligam um vértice a outro vértice não consecutivo a ele: AC AD AE BD BE BF
Elementos de um polígono A B DIAGONAIS C F E D São os segmentos de reta que ligam um vértice a outro vértice não consecutivo a ele: AC AD AE BD BE BF CE
Elementos de um polígono A B DIAGONAIS C F E D São os segmentos de reta que ligam um vértice a outro vértice não consecutivo a ele: AC AD AE BD BE BF CE CF
Elementos de um polígono A B DIAGONAIS C F E D São os segmentos de reta que ligam um vértice a outro vértice não consecutivo a ele: AC AD AE BD BE BF CE CF DF
Elementos de um polígono A B ÂNGULOS INTERNOS São os ângulos formados por dois lados consecutivos contidos na região interna do polígono: C F E D
Elementos de um polígono A B ÂNGULOS INTERNOS B C F E D São os ângulos formados por dois lados consecutivos contidos na região interna do polígono: ou B ABC
Elementos de um polígono A B ÂNGULOS INTERNOS B C F C São os ângulos formados por dois lados consecutivos contidos na região interna do polígono: ou B ABC E D ou C BCD
Elementos de um polígono A B ÂNGULOS INTERNOS B C F C São os ângulos formados por dois lados consecutivos contidos na região interna do polígono: ou B ABC D E D ou C BCD ou D CDE
Elementos de um polígono A B ÂNGULOS INTERNOS B C F C São os ângulos formados por dois lados consecutivos contidos na região interna do polígono: ou B ABC E E D D ou C BCD ou D CDE ou E DEF
Elementos de um polígono A B ÂNGULOS INTERNOS B F F C C São os ângulos formados por dois lados consecutivos contidos na região interna do polígono: ou B ABC E E D D ou C BCD ou D CDE ou E DEF ou F EFA
Elementos de um polígono A B A F ÂNGULOS INTERNOS B F C C São os ângulos formados por dois lados consecutivos contidos na região interna do polígono: ou B ABC E E D D ou C BCD ou D CDE ou E DEF ou F EFA ou A FAB
Elementos de um polígono ÂNGULOS EXTERNOS São os ângulos formados por um lado e pelo prolongamento do lado consecutivo a este:
Elementos de um polígono ÂNGULOS EXTERNOS São os ângulos formados por um lado e pelo prolongamento do lado consecutivo a este: ou a PAQ
Elementos de um polígono ÂNGULOS EXTERNOS São os ângulos formados por um lado e pelo prolongamento do lado consecutivo a este: ou a PAQ ou b QBC
Elementos de um polígono ÂNGULOS EXTERNOS São os ângulos formados por um lado e pelo prolongamento do lado consecutivo a este: ou a PAQ ou b QBC ou c RCD
Elementos de um polígono ÂNGULOS EXTERNOS São os ângulos formados por um lado e pelo prolongamento do lado consecutivo a este: ou a PAQ ou b QBC ou c RCD ou d SDE
Elementos de um polígono ÂNGULOS EXTERNOS São os ângulos formados por um lado e pelo prolongamento do lado consecutivo a este: ou a PAQ ou b QBC ou c RCD ou d SDE ou e TEF
Elementos de um polígono ÂNGULOS EXTERNOS São os ângulos formados por um lado e pelo prolongamento do lado consecutivo a este: ou a PAQ ou b QBC ou c RCD ou d SDE ou e TEF ou F UFA
Em qualquer polígono convexo, o número de vértices, de lados, de ângulos internos e de ângulos externos é o mesmo.
Nome dos polígonos quanto ao número de lados Número de lados Nome do polígono 3 (tri) Triângulos 4 (quadri) Quadrilátero 5 (penta) Pentágono 6 (hexa) Hexágono 7 (hepta) Heptágono 8 (octo) Octógono 9 (enea) Eneágono 10 (deca) Decágono 11 (um a mais do que dez) Undecágono 12 (dois a mais do que dez) Dodecágono 15 (cinco a mais do que dez) Pentadecágono 20 (icos) Icoságono
Polígonos Regulares Um polígono convexo é denominado regular quanto todos os seus lados são congruentes e todos os seus ângulos internos são congruentes.
Triângulos
Triângulo Triângulo é um polígono que tem três lados (consequentemente tem três vértices e três ângulos internos).
Ângulo externo de um triângulo É cada ângulo adjacente e suplementar a um ângulo interno do triângulo; São três os ângulos externos em um triângulo.
Ângulo externo de um triângulo É cada ângulo adjacente e suplementar a um ângulo interno do triângulo; São três os ângulos externos em um triângulo.
Classificação dos triângulos Quanto aos ângulos Acutângulo
Classificação dos triângulos Quanto aos ângulos Acutângulo 3 ângulos agudos
Classificação dos triângulos Quanto aos ângulos Acutângulo 3 ângulos agudos Retângulo
Classificação dos triângulos Quanto aos ângulos Acutângulo 3 ângulos agudos Retângulo 2 ângulos agudos e 1 ângulo reto
Classificação dos triângulos Quanto aos ângulos Acutângulo 3 ângulos agudos Retângulo 2 ângulos agudos e 1 ângulo reto Obtusângulo
Classificação dos triângulos Quanto aos ângulos Acutângulo 3 ângulos agudos Retângulo 2 ângulos agudos e 1 ângulo reto Obtusângulo 2 ângulos agudos e 1 ângulo obtuso
Classificação dos triângulos Quanto aos lados Equilátero 3 lados iguais
Classificação dos triângulos Quanto aos lados Equilátero 3 lados iguais Isósceles 2 lados iguais
Classificação dos triângulos Quanto aos lados Equilátero Isósceles 3 lados iguais 2 lados iguais Escaleno 0 lados iguais
Classificação dos triângulos Quanto aos ângulos Acutângulo Quanto aos lados 3 ângulos agudos Retângulo 2 ângulos agudos e 1 ângulo reto Obtusângulo 2 ângulos agudos e 1 ângulo obtuso Equilátero Isósceles 3 lados iguais 2 lados iguais Escaleno 0 lados iguais
Propriedades dos triângulos Quanto aos lados Os 3 ângulos internos possuem 60º. Equilátero 3 lados iguais Isósceles 2 lados iguais
Propriedades dos triângulos Quanto aos lados Equilátero Os ângulos da base têm a mesma medida. 3 lados iguais Isósceles 2 lados iguais
Propriedades dos triângulos Triângulo Retângulo AB Teorema de Pitágoras: AB² = BC² + AC² BC AC
Exercícios Fonte: https://static01.nyt.com/images/2007/11/08/opinion/08opart.large.jpg
(Exercício 1) Dado o triângulo retângulo ABC, sendo BC a hipotenusa e AB e AC os catetos, sabemos BC² = AB² + AC², pelo teorema de Pitágoras. Encontre uma relação entre os lados de um triângulo, similar à anterior, no caso de o triângulo ser acutângulo. Faça o mesmo para o triângulo obtusângulo.
(Exercício 1) Dado o triângulo retângulo ABC, sendo BC a hipotenusa e AB e AC os catetos, sabemos BC² = AB² + AC², pelo teorema de Pitágoras. Encontre uma relação entre os lados de um triângulo, similar à anterior, no caso de o triângulo ser acutângulo. Faça o mesmo para o triângulo obtusângulo. Gabarito: Triângulo Acutângulo: BC² < AB² + AC² Triângulo Obtusângulo: BC² > AB² + AC²
(Exercício 2) Aplique as relações encontradas no exercícios anterior para classificar os seguintes triângulos, quanto aos ângulos: a)abc, de lados 20, 15 e 9. b)def, de lados 28, 35, 21. c) GHI, de lados, d)jkl, de lados 9, 5 e 5. e)mno, de lados 4, 4 e 4. e.
(Exercício 2) Aplique as relações encontradas no exercícios anterior para classificar os seguintes triângulos, quanto aos ângulos: Gabarito: a)abc, de lados 20, 15 e 9. a) Triângulo Obtusângulo b)def, de lados 28, 35, 21. b) Triângulo Retângulo c) GHI, de lados, e. c) Triângulo Acutângulo d)jkl, de lados 9, 5 e 5. d) Triângulo Obtusângulo e)mno, de lados 4, 4 e 4. e) Triângulo Acutângulo
Soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo A soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180ª.
Soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo Qualquer que seja o triângulo, é possível conduzirmos por um de seus vértices uma reta (beste caso, r) que seja paralela à reta (s) que contém o lado oposto ao vértice considerado. Assim, os outros lados do triângulo resultam transversais das paralelas r e s, determinando ângulos alternos internos: γ e γ e β e β. Logo,γ = γ e β =e β. Como α +β + γ = 180º, então α +β + γ = 180º. Observe que o esquema é um apoio para conduzir o raciocínio. Em momento algum medimos qualquer coisa nesse esquema. Toda a argumentação é desenvolvida de maneira genérica, ou seja, para qualquer triângulo. Isso é o que chamamos de raciocínio dedutivo.
Soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo Qualquer que seja o triângulo, é possível conduzirmos por um de seus vértices uma reta (beste caso, r) que seja paralela à reta (s) que contém o lado oposto ao vértice considerado. Assim, os outros lados do triângulo resultam transversais das paralelas r e s, determinando ângulos alternos internos: γ e γ e β e β. Logo,γ = γ e β =e β. Como α +β + γ = 180º, então α +β + γ = 180º. Observe que o esquema é um apoio para conduzir o raciocínio. Em momento algum medimos qualquer coisa nesse esquema. Toda a argumentação é desenvolvida de maneira genérica, ou seja, para qualquer triângulo. Isso é o que chamamos de raciocínio dedutivo.
Soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo Qualquer que seja o triângulo, é possível conduzirmos por um de seus vértices uma reta (beste caso, r) que seja paralela à reta (s) que contém o lado oposto ao vértice considerado. Assim, os outros lados do triângulo resultam transversais das paralelas r e s, determinando ângulos alternos internos: γ e γ e β e β. Logo,γ = γ e β =e β. Como α +β + γ = 180º, então α +β + γ = 180º. Observe que o esquema é um apoio para conduzir o raciocínio. Em momento algum medimos qualquer coisa nesse esquema. Toda a argumentação é desenvolvida de maneira genérica, ou seja, para qualquer triângulo. Isso é o que chamamos de raciocínio dedutivo.
Soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo Qualquer que seja o triângulo, é possível conduzirmos por um de seus vértices uma reta (beste caso, r) que seja paralela à reta (s) que contém o lado oposto ao vértice considerado. Assim, os outros lados do triângulo resultam transversais das paralelas r e s, determinando ângulos alternos internos: γ e γ e β e β. Logo,γ = γ e β =e β. Como α +β + γ = 180º, então α +β + γ = 180º. Observe que o esquema é um apoio para conduzir o raciocínio. Em momento algum medimos qualquer coisa nesse esquema. Toda a argumentação é desenvolvida de maneira genérica, ou seja, para qualquer triângulo. Isso é o que chamamos de raciocínio dedutivo.
Referência Dante, Luiz Roberto. "Matemática: contexto e aplicações." São Paulo: Ática 3 (2010).