MENSAGEM FINAL. A Borboleta

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2 MENSAGEM FINAL A Borboleta Um dia, uma pequena abertura apareceu em um casulo, um homem sentou e observou a borboleta por várias horas conforme ela se esforçava para fazer com que seu corpo passasse através daquele pequeno buraco. Então pareceu que ela parou de fazer qualquer progresso. Parecia que ela tinha ido o mais longe que podia, e não conseguia ir mais longe. Então o homem decidiu ajudar a borboleta. Ele pegou uma tesoura e cortou o restante do casulo. A borboleta então saiu facilmente. Mas seu corpo estava murcho e era pequeno e tinha as asas amassadas. O homem continuou a observar a borboleta porque ele esperava que, a qualquer momento, as asas dela se abrissem e esticassem para serem capazes de suportar o corpo, que iria se afirmar a tempo. Nada aconteceu! Na verdade, a borboleta passou o resto da sua vida rastejando com um corpo murcho e asas encolhidas. Ela nunca foi capaz de voar. O que o homem, em uma gentileza e vontade de ajudar, não compreendia era que o casulo apertado e o esforço necessário a borboleta para passar através da pequena abertura era o modo com que Deus fazia com que o fluido do corpo da borboleta fosse para as suas asas de modo que ela estaria pronta para voar uma vez que estivesse livre do casulo. Algumas vezes, o esforço é justamente o que precisamos em nossa vida. Se Deus nos permitisse passar através de nossas vidas sem quaisquer obstáculos, ele nos deixaria aleijados. Nós não iríamos ser tão fortes como poderíamos ter sido. Nós nunca poderíamos voar. 2 95

3 MENSAGEM INICIAL SEJA UM JOVEM GUERREIRO (Richard Carlson) Quer admitamos quer não, e certamente quer gostemos quer não, a vida é cheia de dificuldades. É parte inevitável do pacote. A questão então é, os nossos problemas e dificuldades nos arruínam, nos tomam amargos e apáticos, ou destroem o nosso espírito? Ou são fonte de crescimento, de sabedoria, de objetividade e de paciência? A resposta é, depende totalmente da maneira de encará-los. Don Juan disse certa vez, "A diferença entre um homem comum e um guerreiro é que o guerreiro considera tudo um desafio, enquanto que o homem comum considera tudo uma bênção ou uma maldição." A boa notícia é que com uma pequena mudança na sua atitude, você pode se tomar um "jovem guerreiro", o que será útil na sua vida presente e futura. Pense nas pessoas que você mais respeita pessoas que você conhece de fato, ou heróis que admira. Como essas pessoas reagem aos desafios e às dificuldades de suas vidas? Elas se lamentam e reclamam, e se consideram vítimas? Alimentam ressentimentos? Sentem pena de si mesmas e pensam "Nunca conseguirei superar isso"? É claro que não. Agora pense nas pessoas mais próximas conhecidos, vizinhos ou simplesmente naquelas que já soube que reclamam de absolutamente tudo. Pessoas que se comiseram com as outras, vivem se lamentando, batem o pé e não assumem a responsabilidade pela qualidade da própria vida. Qual é a diferença entre esses dois tipos de pessoas? São as circunstâncias que envolvem suas vidas, ou é a severidade das dificuldades que enfrentam? Nada disso! Na verdade, se você observar bem, verá que as pessoas que demonstram atitudes mais corajosas muitas vezes são as que enfrentam os problemas e desafios maiores. Alguns jovens admiráveis que conheci tiveram problemas físicos ou doenças sérias e/ou dolorosas, superaram problemas com drogas, viveram na pobreza ou cresceram sem os pais. E provavelmente você não ficaria surpreso se eu dissesse que alguns jovens infelizes, insatisfeitos e apáticos que conheci vêm de famílias ricas, têm pai e mãe que os amam, são bonitos, possuem corpos saudáveis e tudo de bom que se possa imaginar. De fato, as circunstâncias não fazem a pessoa... elas revelam quem essa pessoa é! A diferença entre um jovem "comum" e um "jovem guerreiro" reside no modo de encarar os problemas, as disputas e até as dificuldades legítimas. Um adolescente comum rotula as coisas de "boas" ou "más" e fica sobrecarregado com seus problemas. Um jovem guerreiro, por outro lado, tenta encontrar uma dádiva oculta, por menor que seja, em cada obstáculo que enfrenta. Li sobre um monge tibetano que foi jogado numa prisão 94 3

4 chinesa e ficou lá dezoito anos. Ele revelou que considerava os guardas da prisão seus maiores professores porque eles o ajudaram a adquirir paciência e compaixão. Esse certamente é um exemplo extremo, mas sugere que podemos aplicar a mesma sabedoria aos desafios diários e menos sérios que enfrentamos. Sugere que quando alguma coisa dá errado, em vez de reagir como sempre, em vez de ter a sensação de derrota, ficar maluco ou deprimido, podemos encarar a situação de outra forma. Há alguma coisa para aprender paciência, objetividade, humildade, generosidade, perseverança, ou outra coisa? Esse problema pode, de alguma maneira, nos transformar em pessoas melhores? Nós temos mesmo de reagir exageradamente? Ou será que podemos dar a volta por cima? O simples fato de estar aberto para a possibilidade de os problemas poderem ensinar alguma coisa que pode existir uma dádiva oculta em geral é o bastante para transformar os seus problemas em novas oportunidades. Mantendo a mente aberta e encarando os seus problemas desse jeito, você também pode se transformar num jovem guerreiro. 54. O triângulo ABC da figura é isósceles com base CB. Sabendo-se que BC = CD = DE = EF = FA, o valor do ângulo interno no vértice A é: a) 10º b) 15º c) 20º d) 25º e) 30º 4 93

5 52. (FATEC-SP) Nesta figura, r é a reta suporte da bissetriz do ângulo ABC. Se = 40º e = 30º, então: a) = 0º b) = 5º c) = 35º d) = 15º e) Os dados são insuficientes para a determinação de y. AS GEOMETRIAS É muito comum ouvirmos falar de diversas Geometrias. No decorrer do próprio curso falaremos em Geometria Euclidiana (plana e espacial) e em Geometria Analítica. Entretanto, os diversos tratamentos que a Geometria sofreu no decorrer dos séculos permitem uma classificação mais detalhada. 53. (STA CASA-SP) O triângulo ABC, representado na figura abaixo, é isósceles de base BC. A medida do ângulo x assinalado é: a) 90º b) 100º c) 105º d) 110º e) 120º GEOMETRIA EUCLIDIANA Entre 300 a 200 a.c., Euclides de Alexandria reuniu em sua obra Os Elementos os trabalhos de Tales e Pitágoras, assim como outras contribuições à Geometria provenientes dos egípcios e babilônicos. Os Elementos são compostos de treze livros, dos quais seis são dedicados quase exclusivamente à Geometria. A importância de Euclides está na sistematização e organização do conhecimento geométrico e na introdução do raciocínio dedutivo. Também contribuíram para o desenvolvimento da Geometria Euclidiana: Arquimedes, Eratóstenes e Ptolomeu. EUCLIDES GEOMETRIA PROJETIVA A Geometria Projetiva deriva dos trabalhos dos grandes mestres da pintura na Renascença, dentre os quais se destacam Leonardo da Vinci ( ) e Albrecht Dürer ( ). A organização de uma Geometria Projetiva baseou-se na resolução de problemas ligados à representação gráfica de objetos, pessoas e paisagens em perspectiva, de tal maneira que suas propriedades métricas se mantivessem invariáveis. Também contribuíram para o desenvolvimento da Geometria Projetiva Blaise Pascal ( ) e Gérard Desargues ( ). DA VINCI 92 5

6 49. Verifique a veracidade das seguintes afirmativas: GEOMETRIA ANALÍTICA Seguindo o desenvolvimento da Geometria Projetiva, houve necessidade de se tratar algebricamente diversos problemas que a Geometria Euclidiana não conseguia abordar. Essa aproximação entre a Álgebra e a Geometria, concretizada principalmente por René Descartes ( ) e Pierre de Fermat ( ), deu origem à Geometria Analítica, que permite a substituição das curvas por equações que as representem. A Geometria Analítica, proposta apenas para o plano, estende-se hoje ao espaço de três dimensões. DESCARTES GEOMETRIA DESCRITIVA Situa-se, de certa forma, entre a Geometria Euclidiana e a Projetiva e surgiu como forma de descrever o comportamento das curvas e das figuras em duas ou três dimensões, considerando suas projeções planas e suas características métricas, sem recorrer a álgebra. A Geometria Descritiva é atribuída a Gaspard Monge ( ). Teve também importantes contribuições de L. Carnot ( ) e Jean Poncelet ( ). A Geometria Descritiva é, em homenagema Monge, também denominada de Geometria Mongeana. 0 0 o incentro do triângulo é equidistante dos seus vértices. 1 1 o circuncentro do triângulo retângulo é ponto médio de hipotenusa. 2 2 o circuncentro do triângulo é eqüidistante dos seus vértices. 3 3 o ex-incentro do triângulo é o ponto de intersecção de suas bissetrizes externas, e equidista de um lado e dos prolongamentos dos outros dois. 4 4 a bissetriz externa de um triângulo é sempre perpendicular à bissetriz do ângulo interno adjacente. 50. O maior dos ângulos externos de um triângulo mede 160º. Se as medidas dos ângulos internos estão em progressão aritmética, dois deles medem respectivamente: a) 60º e 100º b) 60º e 90º c) 20º e 75º d) 45º e 105º e) nenhuma das respostas acima é correta. MONGE GEOMETRIA DIFERENCIAL Como o advento da Geometria Analítica, percebeu-se que suas técnicas algébricas não se aplicavam a todos os problemas referentes às curvas representadas por equações. A Geometria diferencial é constituída pela associação das conquistas algébricas do Cálculo Diferencial àquelas da Geometria Analítica. Entre seus principais criadores estão Leonhard Euler ( ) e Karl F.Gauss ( ). 51. Verifique a veracidade das afirmativas: Todo triângulo retângulo é escaleno Existe triângulo retângulo e isósceles Existe triângulo retângulo equilátero Existe triângulo obtusângulo isósceles Todo triângulo acutângulo ou é isósceles ou é equilátero. EULER 6 91

7 46. Na figura abaixo, exprimir o ângulo x em função dos ângulos a, b e c. a) x = c + b - a b) x = c + a - b c) x = c + a +b d) x = c - a - b e) x = 2c + a b 47. Se S = â + bˆ + ĉ + dˆ + ê + fˆ, considerando a figura abaixo, podemos afirmar que: a) S = 360º b) S = 540º c) S = 420º d) S é variável e) todas as alternativas são falsas. GEOMETRIAS NÃO- EUCLIDIANAS GAUSS As Geometrias chamadas não-euclidianas surgem dos questionamentos de alugns axiomas contidos em Os Elementos de Euclides, Basicamente, a suposição de que por um ponto fora de uma reta poderiam passar duas paralelas à reta dada, levou Girolamo Saccheri ( ), Gauss e, posteriormente, Nicolas Lobatchevski ( ) e Janos bolyai ( ) a propor uma nova geometria denominada Geometria de Gauss ou Gaussiana. Partindo da alternativa de que pelo ponto não passa nenhuma paralela, George Riemann ( ) propôs uma segunda Geometria não-euclidiana. Essas geometrias diferem da Euclidiana, mas, assim como ela, mantêm uma coerência entre axiomas e teoremas. 48. Verifique a veracidade das seguintes afirmativas: 0 0 para se inscrever uma circunferência em um triângulo, determina-se o ponto de intersecção das bissetrizes internas. 1 1 o baricentro divide cada mediana na razão de 1 para 2 no sentido do vértice para o lado. 2 2 o circuncentro do triângulo pertence sempre ao seu interior. 3 3 o ortocentro do triângulo retângulo coincide com o vértice do ângulo reto. 4 4 o baricentro do triângulo pertence sempre ao seu interior. NIKOLAY IVANOVICH LOBATCHEVSKY ( ) Nascido em Gorky (Rússia), foi contemporâneo de Ostrogradsky. Embora não tenha gozado do mesmo prestígio deste, devido a sua origem humilde, seu verdadeiro valor acabou por ser reconhecido. Firmou as geometrias não-euclidianas, baseadas na negação do postulado de Euclides sobre paralelas,e afirmou que, por um ponto fora de uma reta, pode ser traçada mais de uma reta paralela à reta dada. Esta geometria toda estruturada logicamente parecia tão contrária ao senso comum que foi chamada de geometria imaginária. Entre as várias obras de Lobatchevsky estão Geometria imaginária. Novos fundamentos da Geometria, Pesquisas geométricas sobre a teoria das paralelas e Pangeometria. LOBATCHEVSKY 90 7

8 43. Num triângulo qualquer, os lados medem a, b e c. Se acrescentarmos x unidades a a, diminuirmos x/2 unidades de b, e acrescentarmos 2/3 de x unidades a c, como devemos escolher x a fim de que o perímetro do triângulo modificado seja o dobro do perímetro do triângulo inicial? a) 6(a+b+c) /7 b) 7(a+b+c) /6 c) 2a + b-2c d) 3(2a + b-2c) /5 e) Impossível determinar. 44. Num triângulo retângulo a mediana, relativa à hipotenusa, forma com a bissetriz de um ângulo agudo do triângulo um ângulo de 120º. Calcule os ângulos agudos do triângulo: a) 50º e 40º b) 35º e 55º c) 36º e 54º d) 43º e 47º e) 28º e 62º 45. Na figura abaixo, os segmentos AM e AN são iguais. Exprimir o ângulo X em função dos ângulos a e b. a) x = (a - b) /2 b) x = (a + b) /2 c) x = 2(2 + b) d) x = 2(a - b) e) x = 3(a + b) /2 8 89

9 40. Assinale a afirmação falsa: a) Em todo triângulo retângulo os ângulos agudos são complementares. b) Em todo triângulo isósceles os ângulos da base são congruentes. c) Em todo triângulo ao maior lado se opõe o maior ângulo, ao menor lado se opõe o menor ângulo, e a lados de medidas iguais se opõem ângulos iguais. d) Todo triângulo equilátero é isósceles, mas nem todo triângulo isósceles é equilátero. e) Se um triângulo tiver um ângulo obtuso é obtusângulo, se tiver um ângulo reto é retângulo e se tiver um ângulo agudo é acutângulo. 41. Numere a segunda coluna de acordo com a primeira, associando o ponto notável da primeira a uma característica sua na segunda: (1) incentro ( ) está a 2/3 do vértice e 1/3 do lado. (2) ortocentro ( ) ponto de intersecção das alturas. (3) baricentro ( ) eqüidistante dos vértices. (4) circuncentro ( ) centro da circunferência inscrita. (5) ex-incentro ( ) eqüidista de um lado e dos prolongamentos dos outros. Lendo-se a segunda coluna de baixo para cima obtemos a seqüência; Primeira Parte a) b) c) d) e) Um desenhista pretende construir cinco triângulos cujos lados devem ter as medidas seguintes. I) 10 cm; 8 cm; 6 cm II) 9 cm; 15 cm; 12 cm III) 12 cm; 15 cm; 12 cm IV) 9 cm; 8 cm; 4 cm V) 10 cm; 10 cm; 21 cm Podemos afirmar que o desenhista obteve triângulo nos casos: a) I, II, IV e V b) I, II e V c) I, II e IV d) I, II, III e IV e) Em nenhum caso pode se formar triângulo. Ednaldo Ernesto 88 9

10 EXERCÍCIOS 37. Seja ABC um triângulo. Sabendo que a altura AR forma com a bissetriz interna de A, AS, um ângulo de 20º e que as bissetrizes externas de B e C se encontram segundo um ângulo de 30º, podemos afirmar que os ângulos internos do triângulo ABC medem: a) 120º, 30º, 30º b) 90º, 45º, 45º c) 120º, 50º, 10º d) 90º, 30º, 60º e) 90º, 76º, 15º 38. Na figura abaixo, calcule a medida do ângulo x. 39. A figura abaixo mostra um triângulo ABC, isósceles de base BC, sendo BI bissetriz de A Bˆ C e CI bissetriz de A Ĉ B, calcule o valor de x

11 IV. Em todo triângulo, a bissetriz interna e a altura que partem de um mesmo vértice formam um ângulo cuja medida é sempre igual à semi-diferença absoluta das medidas dos dois ângulos internos adjacentes ao lado oposto. Demonstração: Hipótese: AH é altura e AD é bissetriz interna. Tese: Bˆ Ĉ 2 ÍNDICE Â + + C = Â + 2 Ĉ = Â + 2 Ĉ = Â + Bˆ Ĉ Ĉ = Bˆ Ĉ V. Em todo triângulo, duas de suas bissetrizes externas sempre formam um ângulo cuja medida é igual à semi-soma das medidas dos ângulos internos adjacentes ao lado de cujos vértices partem as bissetrizes externas. Demonstração: Bˆ Ĉ 2 cqd Hipótese: BE e CE são bissetrizes externas Tese: Bˆ Bˆ Bˆ 2 Ĉ Bˆ Ĉ Ĉ Ĉ cqd Página 01 - A idéia de ângulo Ângulo (definição) Ângulos nulo e raso Ângulos consecutivos Ângulos adjacentes Medida de ângulos Ângulos congruentes Bissetriz de um ângulo Classificação dos ângulos Ângulos opostos pelo vértice Ângulos formados por duas retas paralelas cortadas por uma transversal

12 III. Em todo triângulo isósceles a mediana relativa à base é também altura, bissetriz interna e está contida da mediatriz. Demonstração: Hipótese: O ABC é isósceles de base AB e CM é mediana. Tese: CM é bissetriz, altura e parte da mediatriz. ACM CMB CASO: LLL Então: A ĈM MĈB CM é bissetriz de A ĈB. No ABC temos: = = 90 No ACM temos: X + + = 180 X + 90 = 180 X = 90 CM é altura. cqd 12 85

13 II. Todo ponto da bissetriz de um ângulo é eqüidistante dos lados do ângulo. Demonstração: Hipótese: P está na bissetriz AÔB Tese: d d. P,OA P, OB 01. A IDÉIA DE ÂNGULO ÂNGULOS Uma das idéias mais importantes em Geometria é a idéia de ângulo, que pode ser sugerida pelas figuras: (MODELO MATEMÁTICO) Olhando os ponteiros de um relógio, notamos uma figura que dá a idéia de ângulo. OP OPˆ 1P OP (lado comum) OPˆ 2P (ângulos r etos) OP1 P OP2P (MODELO MATEMÁTICO) P1 ÔP P2ÔP (OP é bissetr iz) Logo : PP1 PP2 d d P,OA P,OB cqd Mas os ângulos não estão presentes apenas nos objetos. Engenheiros, topógrafos, desenhistas, carpinteiros, operadores de vôo, por exemplo, fazem uso constante de ângulos em suas atividades profissionais

14 02. ÂNGULO Definição: É a união de duas semi-retas de mesma origem. 07. TEOREMAS I. Todo ponto da mediatriz de um segmento é eqüidistante das extremidades do mesmo. Demonstração: Hipótese: P está na mediatriz de AB. Tese: d P,A = d P,B. Na figura: OA OB AÔB O ponto O (origem das semi-retas) é denominado vértice do ângulo. As semi-retas OA e OB são denominadas lados do ângulo Indica-se por AÔB, ou simplesmente, Ô. Os pontos do plano que não pertencem ao ângulo ficam separados em duas regiões, que recebem os nomes de interior do ângulo (ou região angular) e exterior do ângulo, conforme a figura abaixo. PM PM (lado comum) AM MB (M é ponto médio) APM PMB AMˆP PMˆB (ângulos r etos) ângulo Logo : PA PB d P, A dp,b cqd 14 83

15 CASO 2: TRIÂNGULO RETÂNGULO. 03. ÂNGULOS NULO E RASO ORTOCENTRO NO VÉRTICE DO ÂNGULO RETO a) Ângulo Nulo Def.: É o ângulo formado por semi-retas coincidentes. O ângulo FOG é não-nulo O ângulo FOG obtido após a superposição de OF e OG é nulo b) Ângulo Raso Def.: É o ângulo formado por semi-retas opostas. (ângulo raso) CASO 3: TRIÂNGULO OBTUSÂNGULO. ORTOCENTRO EXTERNO 04. ÂNGULOS CONSECUTIVOS Def.: Dois ângulos são consecutivos entre si se tiverem um mesmo vértice e um lado em comum. EXEMPLO 1 EXEMPLO 2 AÔB e AÔC são consecutivos AÔB e BÔC são consecutivos 82 15

16 05. ÂNGULOS ADJACENTES Def.: Dois ângulos consecutivos são adjacentes se não tiverem pontos internos em comum (interiores disjuntos). V. ALTURAS: São segmentos de reta que ligam o vértice perpendicularmente ao lado oposto ou ao seu prolongamento. A ÔB e C ÔB são consecutivos e adjacentes. I AÔB I BÔC = Observação: Dois ângulos adjacentes são sempre consecutivos, mas dois ângulos consecutivos nem sempre são adjacentes. AH é a altura relativa ao lado BC. As três alturas do triângulo concorrem em um ponto único denominado ortocentro. 06. MEDIDAS DE ÂNGULOS POSICIONAMENTO RELATIVO DO ORTOCENTRO Sistemas Sexagesimal Cir cular CASO 1: TRIÂNGULO ACUTÂNGULO a) Sistema Sexagesimal ORTOCENTRO INTERNO GRAU Unidade de medida Um Grau = 1 Suponha que 360 pontos são marcados sobre a circunferência, de modo que ela fique dividida em partes iguais

17 Observe que: As três mediatrizes de um triângulo concorrem em um ponto único (eqüidistante dos Vértices) denominado circuncentro que é o centro da circunferência circunscrita ao triângulo. SUBDIVISÃO DO GRAU O grau se subdivide em 60 minutos (60 ) e o minuto se subdivide em 60 segundos (60 ). POSICIONAMENTO RELATIVO DO CIRCUNCENTRO Observe as figuras em que estão traçadas as circunferências circunscritas: 1º = 60 1 = 60 1º = 60 = TRIÂNGULO ACUTÂNGULO TRIÂNGULO RETÂNGULO TRIÂNGULO OBTUSÂNGULO TRANSFERIDOR É um instrumento para medir e construir Ângulos. O modelo da figura a seguir é de 180º. CIRCUNCENTRO INTERNO CIRCUNCENTRO NO PONTO MÉDIO DA HIPOTENUSA CIRCUNCENTRO EXTERNO Normalmente, o transferidor é graduado de 0º a 180º nos dois sentidos, da direita para a esquerda e da esquerda para a direita. Cada distância entre dois traços equivale a 1º

18 b) Sistema Circular Unidade de medida 1 Radiano = 1 rad III. BISSETRIZES EXTERNAS: São semi-retas que partindo do vértice divide o ângulo externo em dois outros ângulos adjacentes e congruentes. Dada uma circunferência de centro O e raio R, consideremos um arco AB cujo comprimento é igual ao comprimento do raio da circunferência. Por definição, o arco AB mede 1 rad (lê-se: um radiano). E o Ângulo central AÔB, correspondente do arco AB, mede também 1 rad. Observe que: As bissetrizes externas de um triângulo interceptam-se duas a duas em três pontos externos distintos denominados Ex-Incentros. IV. MEDIATRIZES: São retas perpendiculares aos lados do triângulo, interceptando-se em seus pontos respectivos pontos médios. Portanto, uma circunferência tem 2 rad, pois, no comprimento total da circunferência, cabe 2 vezes o raio. RELAÇÃO ENTRE OS SISTEMAS 180 = rad m é mediatriz do lado BC do ABC O é o circuncentro do ABC 18 79

19 II. BISSETRIZES INTERNAS: São segmentos de reta que ligam o vértice ao lado oposto, dividindo os ângulos internos do triângulo em dois outros ângulos adjacentes e congruentes. Conversão de Medidas de ângulos EXERCÍCIOS 01. Converta as medidas de ângulos abaixo para as suas medidas correspondentes: 5 a) 36º b) 4 rad AS é a bissetriz interna relativa ao ângulo  do ABC. As bissetrizes internas se interceptam em um ponto único situado no interior do triângulo denominado incentro. Resp: Resp: PROPRIEDADE: 4 c) 5 rad d) 4 3 rad I é o incentro do ABC. I é o centro da circunferência de raio r inscrita no ABC. O Incentro (eqüidistante dos lados) é o centro da circunferência inscrita no triângulo. Resp: Resp: 78 19

20 e) 10 3 o PROPRIEDADES: O Baricentro divide cada mediana na razão 1 por 2 no sentido do lado para o vértice. Resp: Propriedade do Baricentro: AG BG CG 2GM 2GN 2GP Operações com ângulos no sistema sexagesimal: G 02. Efetue as adições: a) 24º30'12'' + 14º13'40'' = b) 53º26'19'' + 12º50'48'' = O BARICENTRO COMO c) 23º14'42'' + 13º20'51'' + 20º43'54'' = CENTRO DA GRAVIDADE: O ponto G, baricentro de um triângulo, é o ponto de equilíbrio do triângulo. Faça a experiência de pendurar um 03. Obtenha as diferenças: a) 63º40'31'' - 20º19'23'' = b) 27º16'44'' - 12º46'34'' = triângulo feito em cartão passando um fio pelo baricentro e você poderá verificar esta propriedade

21 06. CEVIANAS c) 76º12'40'' - 52º49'52'' = d) 62º21'12'' - 30º27'' = Denominamos de ceviana a todo segmento de reta que liga o vértice do triângulo a um ponto do lado oposto. Exemplo: são cevianas os segmentos: AH, CN e BM. 04. Obtenha: CEVIANAS NOTÁVEIS: Medianas Bissetrizes Alturas internas a) O dobro de 30º12'24'' b) O triplo de 24º43'30'' I. MEDIANAS: São segmentos de reta que ligam o vértice do triângulo ao ponto médio do lado oposto. c) O quíntuplo de 21º52'46'' 05. Determine: a) A metade de 36º24'48'' b) A quinta parte de 73º49'50'' AM é a mediana relativa ao lado AB do ABC. As medianas se interceptam em um ponto único, situado no interior do triângulo denominado baricentro

22 c) A terça parte de 82º25'17'' 3º caso: ALA 07. ÂNGULOS CONGRUENTES Def.: unidade). Dois Ângulos são congruentes quando têm a mesma medida (na mesma Os ângulos AOB e PVQ têm a mesma medida (50º). Dizemos então que AOB e PVQ são ângulos congruentes e escrevemos: AOB PVQ (lê- se: ângulo AOB é congruente ao ângulo PVQ). 4º caso: LAAo 4 cm m(aôb) = 50 m(p Vˆ Q) = BISSETRIZ DE UM ÂNGULO Def.: É a semi-reta que tendo sua origem no vértice do ângulo, divide-o em dois outros, ângulos adjacentes e congruentes. m(b ÔE) m(eôa) m(dôc)

23 EXERCÍCIOS 36. Identifique os pares de triângulos congruentes de acordo com os casos indicados a seguir: 1º caso: LLL 09. CLASSIFICAÇÃO DOS ÂNGULOS I) ÂNGULO NULO: QUANTO À MEDIDA ABSOLUTA Def.: É o ângulo cuja medida é igual a zero grau (0º). m(aôb) = 0º II) ÂNGULO RETO: Def.: É o ângulo cuja medida é exatamente 90º. indica a medida do ângulo A Ô B, neste caso, = 90 2º caso: LAL m(aôb) = 90º III) ÂNGULO AGUDO: Def.: É todo ângulo cuja medida está compreendida entre 0º e 90º 0º < m (AÔB) <90º 74 23

24 V) ÂNGULO RASO: (ÂNGULO DE MEIA-VOLTA) Def.: É o ângulo cuja medida é exatamente 180º. CASO 2: LADO - ÂNGULO - LADO (L.A.L) Dois triângulos são congruentes, quando têm dois lados e o ângulo formado por eles respectivamente congruentes. m(aôb) = 180º AB Bˆ BC Nˆ MN NP ABC MNP V) ÂNGULO OBTUSO: Def.: É todo ângulo cuja medida está compreendida entre 90º e 180º. CASO 3: ÂNGULO - LADO - ÂNGULO (A.L.A) Dois triângulos são congruentes, quando têm dois ângulos e o lado adjacente a esses ângulos respectivamente congruentes. 90º < m (AÔB) < 180º Bˆ BC Ĉ Nˆ Pˆ NP ABC MNP VI) ÂNGULO PLENO: (ÂNGULO DE UMA VOLTA) Def.: É o ângulo que mede exatamente 360º. CASO 4: LADO - ÂNGULO - ÂNGULO OPOSTO (L.A.Ao) Dois triângulos são congruentes, quando têm um lado, um ângulo adjacente a esse lado e o ângulo oposto a esse lado respectivamente congruentes. m(aôb) = 360º BC Bˆ Ê EF ABC DEF Â Dˆ 24 73

25 05. CONGRUÊNCIA DE TRIÂNGULOS Dois ou mais triângulos serão congruentes entre si, se o somente se tiverem lados e ângulos correspondentes congruentes entre si. (forem idênticos) Exemplo: QUANTO À MEDIDA RELATIVA I) ÂNGULOS COMPLEMENTARES Def.: Dois ângulos são complementares entre si, quando a soma de suas medidas for exatamente 90º. AÔB e BÔC são complementares entre si. m(aôb) + m(bôc) = 90º Comp (x) = 90º - x 0º x 90º Observe que: Os lados correspondentes são congruentes: AB DE, AC DF e BC EF. Os ângulos correspondentes são congruentes: Â Dˆ, Bˆ Ê, Ĉ Fˆ. CASOS DE CONGRUÊNCIA DE TRIÂNGULOS Caso 1: LADO - LADO - LADO (L.L.L.) Dois triângulos são congruentes, quando têm os três lados respectivamente congruentes. II) ÂNGULOS SUPLEMENTARES Def.: Dois ângulos são suplementares entre si, quando a soma de suas medidas for exatamente 180º. AÔB e BÔC são suplementares entre si. m(aôb) + m (BÔC) = 180º Sup(x) = 180º - x 0º x 180º III) ÂNGULOS REPLEMENTARES AB AC BC ED ED DF ABC DEF Def.: Dois ângulos são replementares entre si quando a soma de suas medidas for exatamente 360º. AÔB e A Ô B são replementares entre si. m(aôb) + m (A' Ô B') = 360º Rep (x) = 360º - x 0º x 360º 72 25

26 10. ÂNGULOS OPOSTOS PELO VÉRTICE Dois ângulos são o.p.v. quando os lados de um forem semi-retas opostas aos lados do outro. A Ô B e C Ô D são opostos pelo vértice TEOREMA: Se dois ângulos forem opostos pelo vértice terão medidas iguais. II. TRIÂNGULO RETÂNGULO É o triângulo que possui um ângulo reto. reto m (Â) = 90º Demonstração: Hipótese: ˆ e ˆ são ângulos OPV Tese: m (ˆ) m(ˆ) m(ˆ) m(ˆ) m(ˆ) m(ˆ) Observe que: Em todo triângulo retângulo os ângulos agudos são complementares entre si. No triângulo retângulo os lados adjacentes ao ângulo reto são denominados catetos e o lado oposto ao ângulo reto é a hipotenusa. Então : m(ˆ) m(ˆ) m(ˆ) m(ˆ) m(ˆ) m(ˆ) cqd 11. ÂNGULOS FORMADOS POR DUAS RETAS PARALELAS E UMA TRANSVERSAL Quando duas retas paralelas interceptam uma transversal, elas determinam oito ângulos com vértices nos pontos de intersecção. III. TRIÂNGULO OBTUSÂNGULO É o triângulo que possui um ângulo obtuso. 90º < m (Â) < 180º obtuso Estes ângulos recebem nomes especiais: (aos pares) 26 71

27 II. TRIÂNGULO ISÓSCELES É o triângulo que possui dois lados congruentes entre si. CORRESPONDENTES CONGRUENTES AC AB Bˆ Ĉ (Ângulos da base) Observe que: Todo triângulo eqüilátero é isósceles. III. TRIÂNGULO ESCALENO É o triângulo que possui os lados com medidas diferentes entre si. seguir). ÂNGULOS ALTERNOS INTERNOS EX TERNOS COLATERAIS INTERNOS EX TERNOS CONGRUENTES SUPLEMENTARES Com uma régua e um esquadro, vamos traçar duas retas, como mostra a figura: (a AB BC AC AB Observe que: Triângulo escaleno é todo triângulo não-isósceles. ABC não possui dois lados congruentes. Veja que as retas traçadas são paralelas. Observe ainda que, se o ângulo do esquadro medir 45º, as duas retas traçadas formarão ângulos de 45º com a régua: QUANTO AOS ÂNGULOS I. TRIÂNGULO ACUTÂNGULO É o triângulo que possui todos os ângulos agudos. Esses dois ângulos, pela posição que ocupam, são chamados de correspondentes. ângulos 0º < m ( Â ), m ( Bˆ ), m ( Ĉ ) < 90º Observe que: Todo triângulo eqüilátero é acutângulo. 1e 5 2 e 6 3 e 7 4 e 8 são ângulos cor r espondentes Os ângulos correspondentes são congruentes 70 27

28 4 e 5 3 e 6 são ângulos colater ais inter nos 04. CLASSIFICAÇÃO DOS TRIÂNGULOS Os colaterais internos são suplementares EQUILÁTERO LADOS ISÓSCELES ESCALENO 1e 8 2 e 7 são ângulos colater ais exter nos TRIÂNGULO Os colaterais externos são suplementares ACUTÂNGULO ÂNGULOS OBTUSÂNGULO 4 e 6 3 e 5 são ângulos alter nos inter nos RETÂNGULO Os alternos internos são congruentes QUANTO AOS LADOS: I. TRIÂNGULO EQÜILÁTERO É o triângulo que possui todos os lados congruentes. 1e 7 2 e 8 são ângulos alter nos exter nos AB BC AC Os alternos externos são congruentes  Bˆ Ĉ = 60º Observe que: O triângulo eqüilátero é o polígono regular de três lados

29 35. Ordene os ângulos do triângulo abaixo; EXERCÍCIOS 06. Adotando = 3,14, exprimir (aproximadamente) 1rad em graus: a)150º b) (32,15)º c) (62,27)º d) (57,32)º e)360º 03. TEOREMA DO ÂNGULO EXTERNO Em todo triângulo a medida de um ângulo externo é sempre igual à soma das medidas dos ângulos internos não adjacentes. 07. O dobro da medida do suplemento de um ângulo vale 7 vezes a medida do seu complemento. Achar a medida deste ângulo. a) 50º b) 51º c) 52º d) 53º e) 54º m(e) = m(â) + m( Bˆ ) Demonstração: Hipótese: ê é o ângulo externo adjacente a Ĉ Tese: m(ê) = m(â) + m( Bˆ ) m(â) m(bˆ) m(ĉ) 180 (lema) 08. O replemento de um ângulo, aumentado de 10º, é igual ao dobro do suplemento deste ângulo, somado ao seu complemento. Este ângulo mede. m(ĉ) m(ê) 180 a) 30º b) 40º c) 80º d) 110º e) 50º Então: m( Ĉ ) + m(ê) = m(â) + m( Bˆ ) + m( Ĉ ) Logo: m(ê) = m(â) + m( Bˆ ) cqd 68 29

30 09. Dois ângulos suplementares são tais que a diferença entre suas medidas é 120º. Calcule a medida do complemento do menor destes ângulos: a) 30º b) 40º c) 50º d) 60º e) 70º 33. Na figura abaixo determine os possíveis valores de x: a = 2x + 1 b = 4 c = (UFES) O triplo do complemento de um ângulo é igual à terça parte do suplemento desse ângulo. Esse ângulo mede: a) 7 rad b) 5 rad c) 7 rad d) 7 rad e) 5 rad POSTULADO: Em todo triângulo ao maior lado se opõe o maior ângulo, ao menor lado se opõe o menor ângulo e a lados de medidas iguais se opõem ângulos de medidas iguais. Se a b c  Bˆ Ĉ 11. Determine a medida do ângulo formado pelas bissetrizes de dois ângulos adjacentes, sabendo que a medida do primeiro é 1/2 da do seu complemento e que a medida do segundo vale 1/9 da medida do seu suplemento. 34. Ordene os lados do triângulo abaixo: EXERCÍCIOS a) 42º b) 23º c) 24º d) 14º e) 50º 30 67

31 02. CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA DO TRIÂNGULO Em todo triângulo a medida de um lado qualquer é sempre menor que a soma das medidas dos outros dois e maior que a diferença absoluta entre eles. 12. O replemento do suplemento de um ângulo, aumentado de 50º é igual ao dobro do suplemento do complemento deste ângulo. Este ângulo mede. a) 40º b) 45º c) 50º d) 55º e) 60º b - c < a < b + c a - b < c < a + b a - c < b < a + c Se a + b < c ou a + b = c é impossível formar o triângulo conforme sugere as ilustrações abaixo: 13. O suplemento do complemento do replemento do replemento do suplemento do suplemento do complemento de um ângulo é igual ao óctuplo do ângulo. Calcule-o: 66 31

32 14. Verifique a veracidade das afirmativas: I II 0 0 Se o replemento do suplemento do complemento de um ângulo vale 8 vezes a medida do ângulo,este mede 30º. 1 1 Ângulos adjacentes são obrigatoriamente consecutivos. 2 2 Um ângulo obtuso não admite complemento. 3 3 Em duas paralelas cortadas por uma transversal dois ângulos colaterais internos são congruentes. 4 4 Em um sistema formado por duas paralelas cortadas por uma transversal dois ângulos alternos internos são suplementares. 01. TRIÂNGULO TRIÂNGULOS É todo polígono que possui apenas três lados. ABC: triângulo ABC. A, B e C são os vértices do ABC. AB, BC e AC são os lados do ABC. Â, Bˆ e Ĉ são os ângulos internos do ABC. Veja, em destaque, alguns elementos de um triângulo de vértices A, B e C: 15. Nas figuras a seguir sendo a paralela a b, calcule x: a) b) Em todo triângulo sempre teremos: D = 0 nº de diagonais Si = 180º soma dos ângulos internos Se = 360º soma dos ângulos externos 32 65

33 16. Nas figuras abaixo sendo r/ /s calcule o valor de x: a) b) c) d) e) 64 33

34 17. Calcule a medida do menor ângulo formado pelos ponteiros das horas e dos minutos de um relógio que marca exatamente 14h:23min. ÍNDICE Página 01 - Triângulos Condição de existência do triângulo Teorema do ângulo externo Classificação dos triângulos Congruência de triângulos Cevianas Teoremas

35 18. Calcular a medida exata do ângulo côncavo formado pelos ponteiros de um relógio que marca pontualmente cinco horas e dezesseis minutos. 19. (FGV-81) É uma hora da tarde; o ponteiro dos minutos coincidirá com o ponteiro das horas, pela primeira vez aproximadamente, às: a) 13h 5 min 23s b) 13h 5 min 25s c) 13h 5 min 27s d) 13h 5 min 29s e) 13h 5 min 31s 62 35

36 Terceira Parte Ednaldo Ernesto 36 61

37 60 37

38 30. Na figura ao lado, determine a soma das medidas dos ângulos â + bˆ + ĉ + dˆ + ê + fˆ. 31. As mediatrizes de dois lados consecutivos de certo polígono regular fazem um ângulo que mede 15º. Qual o polígono e quantas diagonais não passam pelo seu centro? 32. Um polígono regular possui a partir de um de seus vértices tantas diagonais quantas são as diagonais de um hexágono. Determine: a) o número de eixos e centros de simetria. b) Quantas são as retas determinadas pelos vértices desse polígono? 38 59

39 27. A soma dos n - 3 ângulos externos de um polígono regular é 225º. Se cada lado seu mede 5 cm, determine seu semi-perímetro. 28. (UFPE-80) Os ângulos internos de um pentágono convexo são proporcionais aos números 3, 5, 6, 7 e 9. Calcule as medidas destes ângulos. ÍNDICE 29. (PUC-SP) A soma das medidas dos ângulos A + B + C + D + E: a) é 60 b) é 120 c) é 180 d) é 360 e) 270 Página 01 - Linha poligonal Polígono Elementos dos polígonos Polígonos côncavo e convexo Classificação dos polígonos Perímetro dos polígonos (2p) Número de diagonais de um polígono convexo (D) Diagonais radiais Lei angular de Tales Soma dos ângulos internos de um polígono convexo: (Si) Soma dos ângulos externos de um polígono convexo: (Se)

40 23. As bissetrizes de dois ângulos internos consecutivos de um polígono regular formam um ângulo de 45º. Se o perímetro polígono é 12m, qual a medida de seus lados? 24. Qual o polígono convexo cujo número de diagonais é o sêxtuplo da quantidade de diagonais que partem de cada um de seus vértices? 25. A soma das medidas dos ângulos internos de um polígono regular é 36 retos. Qual a medida de cada um dos ângulos externos? 26. A soma dos n - 4 ângulos internos de um polígono regular é 864º. Quantas diagonais nãoradiais possui o polígono? 40 57

41 EXERCÍCIOS 20. Dois polígonos regulares isoperimétricos são tais que um deles é um octógono de lado 6cm. Se cada lado do outro mede 4cm, que polígono é este? 0 1. LINHA POLIGONAL POLÍGONOS É a reunião de três ou mais segmentos de reta consecutivos e não adjacentes entre si. EXEMPLOS: 21. Dados dois polígonos convexos com n e n + 6 lados, respectivamente, calcular n sabendo-se que um dos polígonos tem 39 diagonais mais do que o outro. Numa Poligonal: a extremidade de cada segmento chama-se vértice (pontos A,B,C,D,...); cada segmento é chamado lado ( AB, BC, CD,...). Notamos que existem poligonais nas quais há lados não consecutivos que se cortam em pontos que não são vértices essas poligonais são denominadas entrelaçadas, enquanto as outras são denominadas simples. 22. A razão entre as medidas dos ângulos internos de dois polígonos regulares é 8/11. Determine esses polígonos sabendo que o número de lados de um é o quádruplo do outro. Existem poligonais nas quais as extremidades coincidem; essas poligonais são denominadas poligonais fechadas ou polígonos. As demais poligonais são chamadas abertas

42 Teorema 02 Em todo polígono regular as bissetrizes de dois ângulos internos consecutivos formam um ângulo congruente ao ângulo externo. Linha poligonal aberta entrelaçada (não-simples) Linha poligonal fechada simples (É polígono) Demonstração Hipótese: ABCDE... é um polígono regular. EO e DO são bissetrizes de ângulos internos consecutivos. Tese: 360 n 02. POLÍGONO Linha poligonal fechada entrelaçada - É polígono. Consideremos num plano n pontos, (n 3): A 1,A 2,A 3,...,A n-1, A n, ordenados de modo que três consecutivos não sejam colineares e os segmentos 1 A 2 2 A 3 A n 1 An, A n A n 1. Denominamos de polígono à figura constituída pelos n segmentos consecutivos. Ai 2 Ai 2 2 Ai 2 Ai Ac 360 n cqd A 1 A 2 A 2A3 A n A 1 = polígono A 1A 2 A 3... An 42 55

43 TEOREMAS FINAIS Observemos as poligonais a seguir: Teorema 01 Em todo polígono regular as mediatrizes de dois lados consecutivos formam um ângulo cuja medida é igual a medida do ângulo externo. Demonstração Essas poligonais são curvas fechadas simples. Elas são chamadas polígonos. Hipótese: ABCDE... é um polígono regular. r e s são mediatrizes de lados consecutivos. Tese: 360 n A i + = ELEMENTOS DOS POLÍGONOS: LADOS Ai Ai Ae Ai Ai - Ae Ae 0 Ae ELEMENTOS VÉRTICES ÂNGULOS DIAGONAIS INTERNOS EXTERNOS cqd 54 43

44 04. POLÍGONOS CÔNCAVO E CONVEXO: Um polígono simples divide o plano em duas regiões, sem pontos comuns: a dos pontos internos (interior) e a dos pontos externos (exterior). 11. SOMA DOS ÂNGULOS EXTERNOS DE UM POLÍGONO CONVEXO: (Se) Em todo polígono convexo sempre teremos POLÍGONO CONVEXO POLÍGONO CÔNCAVO Se = 360º Teorema da soma dos ângulos externos Dizemos que um polígono é convexo se o mesmo limita uma região (interna) convexa. A soma dos ângulos externos de um polígono convexo de n lados (n 3) é 360º. Demonstração: Hipótese: A 1 A 2 A 3... A n é polígono convexo de n lados Tese: ê 1 + ê 2 + ê ê n = 360º Pela definição de ângulos externo, temos: Exemplos: î1 ê1 î2 ê2 î3 ê3 180º 180º 180º Como S i = (n - 2). 180, temos: (n - 2). 180º + S e = n. 180º în ên 180º n. 180º - 360º + S e = n. 180º S e = 360º Somando: S i + S e = n. 180º cqd ÂNGULO EXTERNO DO POLÍGONO REGULAR: (Ae) Polígono Côncavo de 10 lados Polígono Convexo de 6 lados Se Ae = n 360º Ae = n 44 53

45 Demonstração Hipótese: A 1 A 2 A 3... An é um polígono convexo (n 3) Tese: Si = Â 1 + Â 2 + Â Ân = (n - 2). 180º 05. CLASSIFICAÇÃO DOS POLÍGONOS Quanto ao número de lados: Os polígonos recebem nomes de acordo com o número de lados. (Num polígono, o número de lados é igual ao número de ângulos e igual ao número de vértices.) Â Â Bˆ Ĉ 180º Â Bˆ Ĉ Dˆ 2.180º Bˆ Ĉ Dˆ Ê 3.180º n NOMENCLATURA n NOMENCLATURA 3 Triângulo 9 Eneágono 4 Quadrilátero 10 Decágono 5 Pentágono 11 Undecágono 6 Hexágono 12 Dodecágono 7 Heptágono 15 Pentadecágono 8 Octógono 20 Icoságono - Os demais polígonos não têm nomenclatura específica Exemplo: Todos os polígonos a seguir são pentágonos: A soma dos ângulos internos do polígono convexo de n lados é a soma dos ângulos internos de todos os triângulos em que ele fica dividido pelas diagonais com extremidades em um dos vértices. São n - 2 triângulos. (Só os dois triângulos vizinhos ao vértice em questão utilizam-se de dois lados do polígono.) Assim: Si = (n - 2). 180º cqd Quanto às medidas dos lados e ângulos: EQUILÁTERO POLÍGONO REGULAR ÂNGULO INTERNO DO POLÍGONO REGULAR: (Ai) EQUIÂNGULO Ai = n Si Ai = 180º(n n 2) IRREGULAR 52 45

46 a) Polígono Equilátero: dizemos que um polígono é equilátero quando tem todos os lados com mesma medida. b) Polígono Equiângulo: dizemos que um polígono é equiângulo quando tem todos os ângulos internos com mesma medida. c) Polígono Regular: dizemos que um polígono convexo é regular quando é equiângulo e equilátero. Exemplos de polígonos regulares: Demonstração Hipótese: Â, Bˆ e Ĉ são Ângulos Internos do ABC. Tese: m( Â ) + m( Bˆ ) + m( Ĉ ) = 180º Construção auxiliar: Pelo vértice A, traçamos r // BC. 1. Bˆ Â 1 triângulo quadrado pentágono hexágono heptágono octógono eneágono Todo polígono regular é inscritível e circunscritível. 2. Ĉ Â 2 3. med ( Â 1 ) + med ( Â ) + med ( Â 2 ) = 180º 4. med ( Bˆ ) + med ( Â ) + med ( Ĉ ) = 180º cqd 10. SOMA DOS ÂNGULOS INTERNOS DE UM POLÍGONO CONVEXO: (Si) Em todo polígono convexo sempre teremos: 06. PERÍMETRO DO POLÍGONO (2 P ) Dado um polígono ABC... K, definimos como perímetro a soma das medidas de todos os lados do polígono: 2p = AB +BC+ CD+...+ KA Si = 180º (n-2) Teorema da soma dos ângulos internos ou ainda 2p = n i = 1 m ( i ) A soma dos ângulos internos de um polígono convexo de n lados (n Si = (n - 2). 180º 3) é dada por: 46 51

47 Para polígonos regulares: bs: Se o polígono for regular e tiver n lados cada lado medindo então: I) GÊNERO PAR DIAGONAIS DIAGONAIS RADIAIS DIAGONAIS NÃO-RADIAIS 2p = n. D = n(n - 3) 2 D = 2 n D = n(n - 4) 2 A metade do perímetro é dita semi-perímetro e representada por p. Todo polígono regular de gênero par com n lados possui n eixos de simetria e 1(um) centro de simetria. II) GÊNERO ÍMPAR DIAGONAIS D = n(n - 3) 2 DIAGONAIS RADIAIS D = 0 DIAGONAIS NÃO-RADIAIS n(n - 3) D = 2 (todas) Todo polígono regular de gênero ímpar com n lados possui n eixos de simetria e não possui centro de simetria. 07. NÚMERO DE DIAGONAIS DE UM POLÍGONO CONVEXO (D) Sabemos que, diagonais de um polígono é todo segmento de reta que liga dois vértices não consecutivos do polígono. Exemplo: BF, BE e BD são três das diagonais do hexágono. Se um polígono convexo tiver n lados seu número de diagonais é dado por. 09. LEI ANGULAR DE TALES A soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo qualquer é constante e sempre igual a 180º. D = n(n - 3) 2 Teorema do Número de Diagonais m (Â) + m ( Bˆ ) + m ( Ĉ ) = 180º O número de diagonais de um polígono convexo de n lados (n 3) é igual a n(n - 3)

48 Demonstração Hipótese: A 1 A 2... A n é um polígono convexo de n lados Tese: d = n(n - 3) DIAGONAIS RADIAIS Em todo polígono regular com gênero (número de lados) par existe diagonais radiais (que passam pelo centro) em número igual a metade do seu número de lados. Observem as figuras a seguir: n = 3 d = 0 n = 4 d = 2 n = 5 d = 5 O número de diagonais com extremidades em um vértice desse polígono é n - 3. (Dos n pontos, A 1 não forma diagonal com três: A 1, A 2 e A n ). São n vértices no total. Se cada vértice tem n - 3 extremidades de diagonais e se cada diagonal tem duas extremidades, então: d = n(n - 3) 2 c.q.d. Se o polígono tiver gênero par passarão pelo centro tantas diagonais quanto for a metade do número de lados. No decágono regular cinco de suas diagonais passam pelo seu centro (são radiais). No polígono regular de 18 lados 9 de suas diagonais passam pelo seu centro. Se o polígono regular tiver gênero ímpar nenhuma de suas diagonais irá passar pelo seu centro. É o caso do pentadecágono regular da figura acima. E do enágono regular