TÓPICOS SOBRE POLÍGONOS

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1 Universidade Federal de São Carlos Centro de Ciências Exatas e de Tecnologia Departamento de Matemática TÓPICOS SOBRE POLÍGONOS Autor: Eriem Cortez Marques Orientador: Roberto Ribeiro Paterlini Disciplina: Trabalho de Conclusão do Curso B Curso: Licenciatura em Matemática Professores Responsáveis: Karina Schiabel Silva Tomas Edson Barros Vera Lúcia Carbone São Carlos, 27 de fevereiro de 2012

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3 TÓPICOS SOBRE POLÍGONOS Autor: Eriem Cortez Marques Orientador: Roberto Ribeiro Paterlini Disciplina: Trabalho de Conclusão do Curso B Curso: Licenciatura em Matemática Professores Responsáveis: Karina Schiabel Silva Tomas Edson Barros Vera Lúcia Carbone Instituição: Universidade Federal de São Carlos Centro de Ciências Exatas e de Tecnologia Departamento de Matemática São Carlos, 27 de fevereiro de 2012 Aluna: Eriem Cortez Marques Orientador: Roberto Ribeiro Paterlini

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5 Agradecimentos Agradeço primeiramente e principalmente a Deus, pois se não fosse por vontade d'ele nada disso seria possível Ao meu orientador, Roberto Ribeiro Paterlini por ter muita paciência e dedicação comigo e com meu TCC Agradeço aos meus pais que sempre estiveram ao meu lado, me incentivando, me ajudando e apoiando em todos os sentidos possíveis E por último, mas não menos importante, agradeço ao meu namorado por me aguentar falando em seu ouvido, me desesperando com esse semestre que foi intenso

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7 Resumo Este trabalho estudará tópicos sobre polígonos No primeiro capítulo veremos denições, propriedades e teoremas, que não serão demonstrados pelo fato de alguns desses tópicos serem vistos no ensino médio e principalmente por serem abordados na disciplina de Geometria Euclidiana No segundo capítulo serão vistas considerações importantes sobre polígonos convexos ou não convexos incluindo denições e teoremas com suas demonstrações No terceiro capítulo faremos uma abordagem histórica de fórmulas para o cálculo da área de alguns polígonos, como o triângulo e os quadriláteros Compararemos estas fórmulas com as fórmulas exatas que conhecemos hoje e veremos em que casos estas fórmulas históricas são válidas No quarto capítulo será vista e demonstrada uma fórmula para o cálculo da área de qualquer polígono que utiliza apenas as coordenadas de seus vértices No último capítulo estudaremos a Função Área que denimos para calcular a área de qualquer polígono

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9 vii Sumário Apresentação ix 1 Propriedades fundamentais dos polígonos 1 11 Introdução 1 12 Denições básicas sobre polígonos 1 13 Propriedades e teoremas básicos 4 2 Algumas considerações importantes sobre polígonos 7 3 Fórmulas históricas para o cálculo da área de polígonos Introdução Fórmulas exatas da área do triângulo, do quadrilátero convexo e do losango Análise da fórmula de Horo para losangos e trapézios isósceles Análise da fórmula de Horo para quadriláteros convexos A fórmula egípcia para a área de um triângulo 22 4 Área de polígonos em função das coordenadas de seus vértices Fórmula de Gauss para triângulos Fórmula de Gauss para polígonos 37 5 Construção da Função Área Introdução Função Área 41

10 viii Sumário

11 ix Apresentação Este trabalho faz parte da disciplina intitulada Trabalho de Conclusão de Curso B, da grade curricular do curso de Licenciatura em Matemática da UFSCar O tema geometria foi escolhido, pois me interesso muito, é uma coisa que está em todo lugar, faz mais parte da nossa realidade do que imaginamos, e como quero ser professora, ele será de grande utilidade no futuro

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13 1 Capítulo 1 Propriedades fundamentais dos polígonos 11 Introdução A Geometria Euclidiana estuda as guras geométricas abstratas do plano e do espaço No plano, a gura mais básica é o polígono Uma denição provisória de polígono é dizer que ele é uma linha poligonal fechada sem auto-interseções Essas guras têm inúmeras propriedades e aplicações, pois servem de base para a construção e estudo de outras guras geométricas, do plano e do espaço, mais complexas Veremos neste capítulo a denição formal de polígono e suas propriedades fundamentais 12 Denições básicas sobre polígonos Iniciamos apresentando conceitos e denições relativas a polígonos Como é costume na Geometria Euclidiana, denotaremos pontos por letras maiúsculas do alfabeto latino, como A, B, O segmento de extremidades A e B será indicado por AB, assim como seu comprimento Denição 1 Consideremos uma sequência de n pontos A 1, A 2,, A n de um plano, com n 3, diferentes dois a dois, sendo que quaisquer três pontos consecutivos não são colineares Consideramos consecutivos também os pontos A n 1, A n e A 1, assim como A n, A 1 e A 2 Chama-se polígono A 1 A 2 A 3 A n 1 A n à reunião dos segmentos A 1 A 2, A 2 A 3,, A n 1 A n e A n A 1 se estiverem satisfeitas as condições abaixo: i) os segmentos A 1 A 2, A 2 A 3,, A n 1 A n e A n A 1 se interceptam, quando o fazem, apenas em suas extremidades; ii) dois segmentos quaisquer com a mesma extremidade não pertencem à mesma reta

14 2 1 Propriedades fundamentais dos polígonos Figura 11: Exemplos de polígonos Na Figura 11 vemos exemplos de polígonos Considerando o polígono A 1 A 2 A 3 A n 1 A n, usaremos a seguinte nomenclatura: i) os pontos A 1, A 2, A 3,, A n 1, A n são denominados vértices do polígono; ii) os segmentos A 1 A 2, A 2 A 3,, A n 1 A n, A n A 1, são chamados lados do polígono; iii) A 1 = A n A 1 A 2, A 2 = A 1 A 2 A 3,, A n = A n 1 A n A 1 são denominados ângulos do polígono; iv) Dois lados que têm um vértice em comum são lados consecutivos; v) Dois ângulos de um polígono são consecutivos se têm em comum um lado do polígono; vi) Um polígono de n vértices possui n lados e n ângulos; vii) A soma dos lados de um polígono é o seu perímetro Assim o perímetro de A 1 A 2 A 3 A n 1 A n é A 1 A 2 + A 2 A A n 1 A n + A n A 1 Os nomes dos polígonos dependem do critério que utilizamos para classicá-los Se usarmos o número de ângulos ou o número de lados, teremos a seguinte nomenclatura: Tabela 11: Classicação dos Polígonos Número de lados Nome do polígono em Nome do polígono em (ou ângulos) função do número de ângulo função do número de lados 3 triângulo trilátero 4 quadrângulo quadrilátero 5 pentágono pentalátero 6 hexágono hexalátero 7 heptágono heptalátero 8 octógono octolátero

15 12 Denições básicas sobre polígonos 3 9 eneágono enealátero 10 decágono decalátero 11 undecágono undecalátero 12 dodecágono dodecalátero 15 pentadecágono pentadecalátero 20 icoságono icosalátero Denição 2 Diagonal de um polígono é um segmento de reta cujas extremidades são vértices não consecutivos do polígono Denição 3 Um polígono P = A 1 A 2 A n se diz convexo quando um dos dois semiplanos determinados por cada uma das retas A 1 A 2, A 2 A 3,, A n 1 A n e A n A 1 não contém pontos de P Se um polígono não é polígono convexo, diremos que ele é um polígono não convexo Esclarecemos que, para nós, um semiplano não contém a reta que é sua origem Na Figura 12 temos exemplos de um polígono convexo e outro não convexo Figura 12: Exemplo de polígono convexo (à esquerda) e não convexo (à direita) Denição 4 Um polígono convexo é dito um polígono regular quando tem todos os lados congruentes, ou seja, é equilátero, e tem todos os ângulos congruentes, isto é, é equiângulo Na Figura 13 vemos exemplos de polígonos regulares Denição 5 Um polígono diz-se inscrito na circunferência quando todos os seus vértices pertencem à circunferência Denição 6 Um polígono é circunscrito a uma circunferência quando todos os seus lados são tangentes a ela

16 4 1 Propriedades fundamentais dos polígonos Figura 13: A esquerda temos um hexágono regular e a direita temos um eneágono regular 13 Propriedades e teoremas básicos Teorema 11 Dividindo-se uma circunferência em n, com n 3, arcos congruentes temos: 1) todas as cordas determinadas por dois pontos de divisão consecutivos, reunidas, formam um polígono regular, de n lados, inscrito na circunferência; 2) as tangentes traçadas pelos pontos de divisão determinam um polígono regular, de n lados, circunscrito à circunferência Teorema 12 Em todo polígono regular é sempre possível inscrever ou circunscrever uma circunferência, e ambas têm o mesmo centro Denição 7 Centro de um polígono regular é o centro comum das circunferências circunscrita e inscrita Denição 8 Um ângulo é dito cêntrico quando tem o vértice no centro e lados passando por vértices consecutivos do polígono Denição 9 Em um polígono regular o apótema é o segmento com uma extremidade no centro e outra no ponto médio de um lado Este apótema é o raio da circunferência inscrita no polígono Propriedade 13 Os ângulos internos ( A i ) de um polígono regular são congruentes, portanto: (n 2)1800 m( A i ) = n Propriedade 14 Todos os ângulos cêntricos (a c ) de um polígono regular são congruentes, então a medida de cada um deles é dada por: a c = 3600 n Propriedade 15 O número de diagonais d de um polígono de n lados, com n 3, é dado por: n(n 3) d = 2

17 13 Propriedades e teoremas básicos 5 Teorema 16 Num polígono, um lado é menor que a soma dos outros Na Geometria Elementar costuma-se denir uma região triangular como a união de um triângulo com seu interior, e uma região poligonal como a união de regiões triangulares, obedecendo às condições: i) a quantidade de regiões triangulares é nita; ii) se duas regiões triangulares se intersectam, a interseção é um lado ou um vértice das duas regiões triangulares; Na Figura 14 temos exemplos de uma região triangular e uma poligonal Figura 14: Exemplo de uma região triangular (à esquerda) e uma região poligonal (à direita) Admitiremos os seguintes axiomas sobre áreas: A 1 ) Toda região poligonal está associada a um único número real positivo, que é chamado área dessa região A 2 ) Duas regiões triangulares determinadas por triângulos congruentes têm a mesma área A 3 ) Se duas regiões poligonais se intersectam apenas em lados ou vértices (ou se a interseção é vazia) então a área da união dessas regiões é a soma das áreas de cada uma A 4 ) A área do quadrado de lado a é a 2 Admitiremos que valem as fórmulas das áreas das guras planas estudadas na Geometria Elementar Vamos provar no Capítulo 2 que todo polígono pode ser decomposto em triângulos nas condições acima, de modo que a todo polígono está associado uma área Isto está feito no Teorema 22, na página 8 Provaremos no Capítulo 5 que essa área não depende da decomposição do polígono em triângulos Proposição 17 A área de um polígono regular é a metade do produto do perímetro pelo apótema

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19 7 Capítulo 2 Algumas considerações importantes sobre polígonos Teorema 21 Um polígono P determina no plano dois conjuntos disjuntos P i e P e, denominados respectivamente interior e exterior de P, de modo que P i é limitado e o plano é a reunião de P, P i e P e Demonstração 1) Polígonos convexos Seja P = A 1 A 2 A n um polígono convexo Para todo 1 j n 1, seja H j o semiplano determinado por A j A j+1 que contém pontos de P, e H n o semiplano determinado por A n A 1 que contém pontos de P Anotamos P i = n j=1 Vemos que P i é não vazio, pois todo H j contém o interior do triângulo A 1 A 2 A 3 Também é convexo (no sentido de conjunto), pois é a interseção de conjuntos convexos (os semiplanos H j ) Se xarmos um ponto P do interior de P e denirmos o número r como a maior das distâncias entre P e A j, 1 j n, então P i está contido na circunferência de centro P e raio r Assim P i é um conjunto limitado Denimos P e como o complementar de P P i no plano 2) Polígonos quaisquer Para polígonos quaisquer, a demonstração pode ser obtida nas páginas 281 e seguintes de [11] H j Denição 10 Seja P um polígono A reunião chama-se região determinada por P P P i

20 8 2 Algumas considerações importantes sobre polígonos Denição 11 Seja P um polígono Um segmento que liga dois vértices não consecutivos denomina-se diagonal Se uma diagonal, com exceção de seus extremos, estiver contida no interior de P, chama-se diagonal interior de P Uma triangulação de P é uma coleção de triângulos cujos lados são lados de P ou diagonais interiores, de modo que esses triângulos, quando se interceptam, o fazem em lados comuns ou em vértices de P, e a reunião desses triângulos e seus interiores é a região determinada por P Na Figura 21 temos duas triangulações de um mesmo polígono, traçando diagonais interiores de duas maneiras Figura 21: Triangulações de um polígono Teorema 22 Todo polígono P admite uma triangulação Demonstração i) Polígonos convexos Seja P = A 1 A 2 A n um polígono convexo Para todo 1 j n 1, seja H j o semiplano determinado por A j A j+1 que contém pontos de P, e H n o semiplano determinado por A n A 1 que contém pontos de P As diagonais A 1 A 3, A 1 A 4,, A 1 A n 1 estão, com exceção de seus extremos, contidas em todos esses semiplanos, logo são diagonais interiores Consideremos os triângulos 1 = A 1 A 2 A 3, 2 = A 1 A 3 A 4,, n 2 = A 1 A n 1 A n O polígono P está contido na reunião desses triângulos, e o interior de P está contido na reunião dos interiores desses triângulos e dos lados que estão no interior de P Portanto j, 1 j n 2, formam uma triangulação de P ii) Polígonos quaisquer Suponhamos que o teorema não seja verdadeiro, então podemos obter um polígono G, de n lados, e este não pode ser decomposto em triângulos como no enunciado Escolhemos G de modo que n seja o menor possível Tomamos uma reta r que não intercepte G e que não seja paralela a nenhum lado Chamamos de B o vértice do polígono G localizado à menor distância de r Sejam A e C os vértices adjacentes a B Teremos dois casos possíveis

21 2 Algumas considerações importantes sobre polígonos 9 C Figura 22: Figura para o primeiro caso da demonstração A B r 1 o caso: A, B e C são os únicos vértices de G que estão contidos na região triangular ABC Neste caso o polígono G, obtido do polígono G, substituindo-se os lados AB e BC por AC, tem n 1 lados Como destacamos acima n é o menor número de lados para qual o teorema não vale, então G pode ser decomposto em triângulos adjacentes Juntando a G o triângulo ABC, obtemos uma decomposição de G em triângulos justapostos Isto contradiz o que assumimos inicialmente e conclui a demonstração deste caso 2 o caso: O triângulo ABC contém outros vértices do polígono G de A, B e C A C G" G' D B Figura 23: Polígono G Dentre estes vértices contidos no triângulo ABC, seja D o mais distante do lado AC (se houver mais de um, escolhemos um deles) Assim a diagonal BD não intercepta nenhum lado de G fora de B e D Este segmento divide G em dois polígonos adjacentes G e G, os dois com o número de lados menores que o de G Este teorema vale então, para G e G, que se decompõem em triângulos adjacentes Unindo essas decomposições temos uma decomposição para G Absurdo! Isto demonstra o segundo caso Teorema 23 Seja P um polígono de n lados Em qualquer triangulação de P, o número de triângulos é n 2 e o número de diagonais é n 3

22 10 2 Algumas considerações importantes sobre polígonos Demonstração Suponha que teorema seja falso e considere P um polígono com o menor número n de lados para qual o teorema não seja válido Então P decompõe-se traçando d diagonais internas, em t triângulos adjacentes, com d n 3 ou t n 2 Tomemos uma dessas diagonais Ela decompõe P em dois polígonos adjacentes P e P, com respectivamente n e n lados Como n < n e n < n, o teorema se aplica para P e P com o número correto de triângulos e diagonais Levando em conta que n = n + n 2, que t = t + t e que d = d + d +1 as relações t = n 2, d = n 3, t = n 2 e d = n 3 implicam que t = n 2 e d = n 3 Absurdo! Logo provamos o teorema Denição 12 Seja P = A 1 A 2 A n um polígono A medida interna do ângulo A j é a medida euclidiana x de A j 1 A j A j+1 se o interior desse ângulo intercepta o interior de P Caso contrário, dizemos que essa medida é 360 x Dados três pontos não colineares A, B e C, entendemos por medida euclidiana de ABC ao número x tal que 0 < x < 180, dado pelos axiomas euclidianos (vide, por exemplo, [1], páginas 29 a 33) Teorema 24 A soma das medidas internas dos ângulos de qualquer polígono de n lados é igual a (n 2)180 o Demonstração Seja P = A 1 A 2 A n um polígono com n lados Pelos Teoremas 2 e 3 P admite uma triangulação com n 2 triângulos Notemos que a medida interna de A j é a soma das medidas dos ângulos do vértice A j dos triângulos que têm A j como vértice Notemos também que todo vértice de qualquer triângulo dessa triangulação é um vértice do polígono Como a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180, segue o resultado Denição 13 Um ângulo externo de um vértice de um polígono é formado por um lado do polígono e o prolongamento do lado adjacente Mais exatamente, seja P = A 1 A 2 A n um polígono Dado um vértice A j, com 1 j n, seja B j um ponto da semirreta A j 1 A j tal que A j está entre A j 1 e B j Então B j A j A j+1 denomina-se ângulo externo do polígono correspondente ao vértice A j Nesta notação, se j = 1 então j 1 signica n, e se j = n, j + 1 signica 1 Seja x a medida euclidiana de B j A j A j+1 Denimos a medida algébrica do ângulo externo do polígono correspondente ao vértice A j por x se o interior do ângulo A j 1 A j A j+1 intercepta o interior de P Caso contrário, dizemos que essa medida é x Observamos que os ângulos externos ( B i ) de um polígono regular são congruentes, e m( B i ) = 3600 n Teorema 25 A soma algébrica das medidas dos ângulos externos de qualquer polígono é igual a 360 o

23 2 Algumas considerações importantes sobre polígonos 11 Demonstração Notemos que em um vértice de um polígono qualquer, a soma da medida interna do ângulo com a medida algébrica do ângulo externo é 180 o Seja S a soma dos ângulos externos de um polígono de n lados Sabemos que a soma dos ângulos internos é (n 2)180 o Então S + (n 2)180 o = n180 o e daí S = 360 o Eventualmente usaremos a nomenclatura seguinte: Denição 14 Um vértice A j de um polígono qualquer é dito saliente se a medida interna de A j é < 180 o Um vértice A j de um polígono qualquer é dito reentrante se a medida interna de A j é > 180 o Para encerrar este Capítulo vejamos uma propriedade que usaremos mais adiante Teorema 26 Seja P = A 1 A 2 A n um polígono Qualquer triangulação de P tem um triângulo com dois lados coincidindo com lados adjacentes do polígono Demonstração Seja P = A 1 A 2 A n um polígono munido de uma triangulação Se A n A 2 faz parte da triangulação, terminamos Caso contrário, A 1 é ponto extremo de uma diagonal da triangulação, digamos A 1 A j Seja j 1 o menor j com essa propriedade Temos 3 j 1 n 1 Se j 1 = 3, terminamos Caso contrário, A 2 é ponto extremo de uma diagonal da triangulação, digamos A 2 A j Seja j 2 o menor j com essa propriedade Temos 4 j 2 j 1 Se j 2 = 4, terminamos Caso contrário prosseguimos e encontramos uma sequência decrescente j 1, j 2, j 3, tal que, para todo k 1, k + 2 j k e A k A jk faz parte da triangulação, parando quando encontrarmos um k tal que j k = k + 2, o que ocorrerá após uma quantidade nita de passos Então A k A k+1 A k+2 faz parte da triangulação, e terminamos a demonstração

24 12 2 Algumas considerações importantes sobre polígonos

25 13 Capítulo 3 Fórmulas históricas para o cálculo da área de polígonos 31 Introdução Discutiremos neste Capítulo, a antiga fórmula egípcia para o cálculo da área de um quadrilátero qualquer, dada por (a + c) (b + d) A = (31) 2 2 em que a, b, c e d são as medidas dos lados consecutivos do quadrilátero Sabemos que, apesar de ser incorreta, os egípcios usavam essa fórmula conforme inscrições encontradas nas paredes do templo de Horo, em Edfu, após 15 séculos ao papiro Rhind Ela pode nos dar alguma idéia de como eram calculadas as áreas de terrenos irregulares no Egito naqueles tempos Estas inscrições se referiam a lotes de terras doadas ao templo No caso de lotes com formato de quadriláteros, que lá era maioria, eles multiplicavam as médias aritméticas dos dois pares de lados opostos, o que corresponde à formula acima Essas mesmas inscrições, segundo nos relata [10], atestam que uma forma que usavam para calcular a área de um triângulo era derivada desta mesma fórmula, na qual se fazia um dos valores igual a zero Não há como ter conclusões precisas devido à escassez de documentos daquela época Provavelmente os egípcios tinham receitas para calcular áreas de algumas guras planas como o retângulo, o triângulo e o trapézio No caso de um triângulo, multiplicavam um número pela metade de outro, mas não se sabe, se um desses números era a medida da altura ou de um segundo lado No entanto, no problema 51 do papiro de Rhind, o mais importante documento remanescente da matemática egípcia, e que remonta ao ano 1650 ac, a área de um triângulo isósceles é calculada acertadamente, inclusive justicando-se que ele se decompõe em dois triângulos retângulos que podem ser reajuntados de modo a formar um retângulo Segundo opina [5], essa fórmula possivelmente era usada por cobradores de impostos

26 14 3 Fórmulas históricas para o cálculo da área de polígonos do faraó Sesóstris A terra a ser cultivada era dividida entre os agricultores de modo a dar a cada um deles um lote quadrado de igual tamanho e impondo-lhes o pagamento de um tributo anual Mas, devido às cheias do Rio Nilo, esses lotes podiam sofrer modicações Então o lote era novamente medido, e o tributo cobrado de acordo com sua nova área Por mais que não sejam cálculos exatamente corretos há vestígios de que eles vêm sendo usados com frequência ao longo dos séculos Seu uso ocorreu entre os babilônios antigos, por volta de 3100 ac, e atualmente ambos são utilizados em alguns pontos do interior do Brasil, como Campinas do Sul-RS, por agricultores Foi descrito também, conforme relata [5], que a fórmula do quadrilátero é usada por integrantes do Movimento dos Trabalhadores Rurais do Rio Grande do Sul, e assim como em localidades do interior de São Paulo e do Paraná Observamos que se existem vestígios de que os babilônios usavam a fórmula 31, o autor [6] relata que eles conheciam, por volta de 2000 a C, fórmulas corretas para as áreas de retângulos, trapézio retângulo e triângulos quaisquer A fórmula incorreta dos egípcios possivelmente foi derivada da percepção de se obter a área de um quadrilátero a partir de seus dados mais simples, que são os lados Veremos que essa fórmula só funciona para alguns casos especiais Observamos que existem fórmulas hoje conhecidas para a área de um quadrilátero qualquer Com as notações da Figura 31, valem as seguintes fórmulas para a área A do quadrilátero: C b B a q θ p c A d D Figura 31: Figura de um quadrilátero convexo A = 1 4 4p2 q 2 (b 2 + d 2 a 2 c 2 ) 2 (32) ou A = (s a)(s b)(s c)(s d) 1 (ac + bd + pq)(ac + bd pq) (33) 4 em que s é o semiperímetro do quadrilátero Observe que essas duas fórmulas envolvem apenas segmentos do quadrilátero, o que, de certo modo, é o que os egípcios queriam Se forem usados apenas os lados, só con-

27 32 Fórmulas exatas da área do triângulo, do quadrilátero convexo e do losango 15 seguimos uma fórmula para os quadriláteros cíclicos, ou seja, para os quadriláteros que são inscritíveis em uma circunferência Essa fórmula, conhecida pelo matemático hindu Bramagupta (c 628), é A = (s a)(s b)(s c)(s d) (34) em que novamente s é o semiperímetro do quadrilátero Se pudermos usar ângulos, temos as fórmulas A = 1 pq sen θ (35) 2 e A = 1 4 (b2 + d 2 a 2 c 2 ) sen θ (36) e A = (s a)(s b)(s c)(s d) abcd cos 2 ( A + C 2 ) (37) A última fórmula foi dada pelo matemático hindu Mahavira (c 850) Nos itens a seguir denominarei as fórmulas inexatas para a área de um quadrilátero e a área de um triângulo, que mencionei anteriormente, como fórmulas egípcias ou fórmulas do templo de Horo 32 Fórmulas exatas da área do triângulo, do quadrilátero convexo e do losango Para comparar a fórmula de Horo com o valor correto, usaremos algumas fórmulas exatas atuais, que veremos nesta seção Conhecemos bem a fórmula da área do triângulo como sendo o semiproduto da base pela altura Expressaremos esta área como função de dois lados e o ângulo formado por eles Seja ABC um triângulo de vértices A, B e C, e seja H o pé da altura do triângulo em relação ao lado AC Indiquemos a área do triângulo ABC por área(abc) Considerando a Figura 32 temos: Mas sen  = BH AB Logo área(abc) = e portanto BH = AB sen  AC BH 2 área(abc) = AB AC sen  2 (38)

28 16 3 Fórmulas históricas para o cálculo da área de polígonos A H C B Figura 32: Figura para ilustração do cálculo da área do triângulo em função de um lado e um ângulo Pode-se mostrar que esta fórmula vale mesmo que o ângulo  seja reto ou obtuso Além disso, para cada par de lados vale uma fórmula análoga, bastando mudar as letras ciclicamente Desta fórmula pode-se concluir que de todos os triângulos que têm dois lados de comprimentos dados, o de maior área é aquele em que esses dois lados formam um ângulo reto De fato, se xarmos AB e AC na fórmula (38), o valor máximo de área(abc) corresponde a sen  = 1 ou m( A) = 90o Vejamos agora uma fórmula exata para a área do quadrilátero quadrilátero de lados a, b, c e d de acordo com a Figura 33 Seja ABCD um B b (II) C a (I) (III) M (IV ) c A d D Figura 33: Figura de um quadrilátero convexo Indiquemos por M a interseção das diagonais e por (I), (II), (III) e (IV ), respectivamente, as áreas dos triângulos AMB, BMC, CMD e DMA Utilizando a fórmula (38) temos: 1 2 ab sen ˆB bc sen Ĉ cd sen ˆD + 1 da sen A = 2 = [(I) + (II)] + [(II) + (III)] + [(III) + (IV )] + [(IV ) + (I)] = 2a(ABCD)

29 32 Fórmulas exatas da área do triângulo, do quadrilátero convexo e do losango 17 onde área(abcd), indica a área do quadrilátero ABCD Logo área(abcd) = 1 4 [ab sen ˆB + bc sen Ĉ + cd sen ˆD + da sen Â] (39) Temos que a partir da fórmula (39) podemos obter a fórmula da área de qualquer quadrilátero convexo Vejamos como obtemos a área do losango Sabemos que num losango todos os lados tem a mesma medida, que dois ângulos opostos são congruentes e que dois ângulos consecutivos são suplementares Considerando 0 que sen(180 Â) = sen Â, para todo ângulo Â, então todos os ângulos do losango ABCD têm o seno igual ao do ângulo Â, de acordo com a gura; assim, indicando por a a medida comum dos lados ABCD, temos que área(abcd) = 1 4 (a2 sen  + a2 sen  + a2 sen  + a2 sen Â) = a2 sen  B a a A a M a C D Figura 34: Figura de um losango Sabemos que sen  = 2 sen  2 cos  2, com isto a fórmula anterior torna-se área(abcd) = 2a 2 sen  2 cos  2 Mas, indicando-se as medidas das diagonais AC e BD por d 1 e d 2, respectivamente, temos sen  2 = d 2 2a e cos  2 = d 1 2a Substituindo-se essas relações na igualdade anterior obtém-se área(abcd) = 2a 2 d 2 2a d 1 2a = 1 2 (d 1d 2 )

30 18 3 Fórmulas históricas para o cálculo da área de polígonos 33 Análise da fórmula de Horo para losangos e trapézios isósceles Considerando a gura e notação da sessão anterior, temos área(abcd) = a 2 sen  A fórmula do tempo de Horo para a área deste losango, que indicaremos por área (ABCD) é área (a + a) (a + a) (ABCD) = = a Observe que área(abcd) área (ABCD) Pois, para que a 2 = a 2 sen  é necessário que sen  = 1, logo m( A) = 900 Portanto a fórmula de Horo é válida somente se o losango em questão é um quadrado Podemos chegar a esta conclusão de uma outra maneira Suponhamos d 1 d 2 e consideremos E(ABCD) = área (ABCD) área(abcd) = a 2 d 1d 2 2, como sendo o erro absoluto referente ao uso da fórmula do templo de Horo no cálculo da área do losango Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo ABM temos que a 2 = d d2 2 4 Substituindo a expressão acima na fórmula do erro absoluto chegamos a: E(ABCD) = d d2 2 4 d 1d 2 2 = ( d 1 2 d 2 2 )2 = 1 4 (d 1 d 2 ) 2 Portanto o erro cometido ao usar a fórmula do templo de Horo para obter a área do losango é bem grande se a diferença entre as diagonais d 1 e d 2 for grande e bem pequeno se a diferença entre essas diagonais for pequena Assim, imaginemos d 1 xo Então E 0 quando d 2 d 1 (ou seja, quando o losango tende a um quadrado) e E + quando d 2 + (isto é, quando o losango vai se tornando cada vez mais alongado) Vimos que para o losango a fórmula de Horo é verdadeira, pelo menos no quadrado Será que é possível usá-la com acerto no trapézio isósceles?

31 33 Análise da fórmula de Horo para losangos e trapézios isósceles 19 Tomemos um trapézio isósceles e seja área(abcd) a sua área e área (ABCD) a expressão da fórmula egípcia para ele D A a b b c Figura 35: Figura de um trapézio isósceles B C h Suas bases serão a e c, b as laterais e h a sua altura, conforme a gura Então temos: e área (ABCD) = (a + c) (b + b) 2 2 = b(a + c) 2 h(a + c) área(abcd) = 2 Como b h, então área (ABCD) área(abcd) Exemplo 31 Consideremos todos os trapézios isósceles, em que são satisfeitas as condições: base maior b e base menor a (xas) b > a medida das laterais x > b a 2 seja θ o ângulo formado por uma lateral e a base maior seja y a altura do trapézio Então y = x sen θ x θ y a b Figura 36: Figura 2 de um trapézio isósceles x Usando as notações anteriores, temos: área(abcd) = (a + b)x sen θ 2

32 20 3 Fórmulas históricas para o cálculo da área de polígonos e área (ABCD) = (a + b) (x + x) 2 2 = (a + b) x 2 Utilizando a fórmula do erro relativo no exemplo em questão, temos que o erro de quando se aplica a fórmula de Horo é: E(ABCD) = área (ABCD) área(abcd) área(abcd) E(ABCD) = E(ABCD) = ( (a + b) x 2 (a + b) 2 (a + b)x sen θ 2 (a + b)x sen θ 2 2 (1 sen θ)) (a + b) sen θ E(ABCD) = 1 sen θ sen θ Derivando o erro relativo temos: = 1 sen θ 1 E (ABCD) = cos θ sen 2 θ e portanto esse erro decresce no intervalo (0, π) 2 Então E 0 quando θ π e E + quando θ 0 2 Ou seja, quando o trapézio tende à um retângulo, cando cada vez mais alongado, o erro relativo tende a 0 e quando os trapézios vão cando achatados, o erro tende a + 34 Análise da fórmula de Horo para quadriláteros convexos Tomemos um quadrilátero convexo ABCD Sabemos que as medidas de seus ângulos internos são maiores que 0 0 e menores que e assim valem para os senos respectivos as seguintes relações: Disto temos: 0 < sen Â, sen ˆB, sen Ĉ, sen ˆD 1 área(abcd) = 1 4 (ab sen ˆB + bc sen Ĉ + cd sen ˆD + da sen Â) 1 (ab + bc + cd + da) 4 = 1 4 a + c b + d [b(a + c) + d(a + c)] = 2 2 = área (ABCD)

33 34 Análise da fórmula de Horo para quadriláteros convexos 21 Daí área(abcd) área (ABCD) e concluímos que o valor correto da área do quadrilátero vai ser sempre menor ou igual ao valor encontrado com a fórmula do templo de Horo Seja ABCD um quadrilátero convexo e suponhamos que área (ABCD) = área(abcd), então Daí, 1 4 (a + c)(b + d) = 1 4 (ab sen ˆB + bc sen Ĉ + cd sen ˆD + da sen Â) ab + da + bc + cd = ab sen ˆB + bc sen Ĉ + cd sen ˆD + da sen  e então ab(1 sen ˆB) + ad(1 sen Â) + bc(1 sen Ĉ) + cd(1 sen ˆD) = 0 Como as parcelas dessa soma não são negativas, e sabemos que ab, bc, cd e da são números reais positivos, então Logo 1 sen ˆB = 1 sen  = 1 sen Ĉ = 1 sen ˆD = 0 sen  = sen ˆB = sen Ĉ = sen ˆD = 1 Com isso concluímos que A, B, C, D são retos e portanto ABCD é um retângulo Reciprocamente, vamos supor que ABCD seja um retângulo e mostremos que podemos calcular sua área corretamente pela fórmula egípcia Se ABCD é um retângulo, sua área é a(abcd) = ab, onde a é a base e b é a altura Entretanto área(abcd) = ab = 4ab 4 = 2a2b 4 = (a + a)(b + b) 4 = (a + a) (b + b) 2 2 = área (ABCD) b a Figura 37: Figura de um retângulo Concluímos então que a fórmula do templo de Horo para o cálculo da área de um quadrilátero convexo está correta se, e somente se esse quadrilátero é retângulo

34 22 3 Fórmulas históricas para o cálculo da área de polígonos 35 A fórmula egípcia para a área de um triângulo Será que podemos deduzir a fórmula encontrada no templo de Horo para triângulos à partir da fórmula encontrada para quadriláteros? Ou seja, está correto fazer d = 0 na fórmula dos quadriláteros para obter a área do triângulo C A b a c D B E Figura 38: Triângulo de base b De acordo com a gura, consideremos o triângulo ABC, cujas medidas dos lados são a, b e c Tracemos por C a reta paralela a AB e por B a reta paralela a AC, formando o paralelogramo ABCD Após feito isso, prolonguemos o segmento de reta BD e tracemos a reta paralela a BC por A, formando outro paralelogramo, AEBC, então temos: área (ABDC) = 2b2c 4 área (AEBC) = 2a2b 4 = bc = ab área (AEDC) = (b + 2b)(a + c) 4 = 3b(a + c) 4 Com isso, a fórmula que se deduz para o triângulo ABC, e que indicaremos por a b (ABC) é: área b (ABC) = área (ABDC) + área (AEBC) área (AEDC) = = bc + ab 3ba + 3bc 4 = 4bc + 4ba 3ba 3bc 4 ba + bc b(a + c) (a + c) b = = = Este raciocínio foi desenvolvido a partir do lado de medida b (que chamaremos de base relativa do triângulo) e também pode ser desenvolvido se tomarmos os outros lados como base relativa =

35 35 A fórmula egípcia para a área de um triângulo 23 Para a base de medida a: Para a base de medida c: área a (ABC) = (b + c) a 2 2 área c (ABC) = (a + b) 2 Portanto, podemos deduzir a fórmula do templo de Horo para triângulo da fórmula para quadriláteros Além disso, obtemos três fórmulas diferentes para o cálculos das áreas e estas nunca levam a resultados corretos, e mostraremos isso a seguir: c 2 Comparação entre as fórmulas para a área do triângulo Tomemos o triãngulo: Ạ C b h c a Figura 39: Triângulo ABC B Sua área é: área(abc) = ah 2 = ah 4 + ah 4 Mas h b e h c, a igualdade vale no máximo uma vez Logo ou seja, área(abc) < ab 4 + ac 4 = a(b + c) 4 = área(abc) < área a (ABC) (b + c) a 2 2 = área a (ABC), Analogamente se demonstra que: área(abc) < área b (ABC) e área(abc) < área c (ABC) Exemplo Mostraremos o quanto a fórmula do templo de Horo para a área de um triângulo pode levar a resultados discrepantes com os da fórmula correta, ou até mesmo entre si, dependendo

36 24 3 Fórmulas históricas para o cálculo da área de polígonos da escolha da base relativa Consideremos a sequência de triângulos isósceles de altura n em relação à base usual e de laterais n + 1, com n 1 como na gura abaixo: 2 1 n + 1 n b n Figura 310: Triângulos isósceles de base n e laterais n + 1 Indicando por b n a semibase do enésimo triângulo, teremos duas versões da fórmula egípcia para esse triângulo área (n + 1) + (n + 1) b n + b n n = 2 2 (isto se a base relativa for a base usual) = 2(n + 1)2b n 4 = (n + 1)b n área n = (n b n + b n ) (n + 1) = (n b n)(n + 1) (quando a base relativa é um dos lados congruentes do triângulo) é: Como a área do enésimo triângulo é área n = b n n, para o primeiro caso o erro relativo E n = (n + 1)b n nb n nb n = nb n + b n nb n nb n = b n nb n = 1 n Portanto, E n 0 quando n + e E n + quando n 0 n Sabemos que o seno do ângulo formado pela base e qualquer lateral é n + 1, dizer que n + signica que esse ângulo tende a zero Isto é, quanto mais alongados os triângulos, menor o erro relativo, e quanto mais achatados, maior o erro relativo Para o segundo caso o erro relativo é: Pelo Teorema de Potágoras temos (n + 1) 2 = n 2 + b n 2 b n = 2n + 1 Logo lim n b n = 1 Ainda

37 35 A fórmula egípcia para a área de um triângulo 25 Logo E n = (n b n)(n + 1) 4nb n 4nb n = (n + 1)2 4nb n = (n + 1)2 + 2(n + 1)b n 4nb n 4nb n = + 2(n + 1)b n 4nb n = 1 (n + 1) 2 2(n + 1) 4n + 4nb n 4b n n 4n = 1 n 2 + 2n n + 1 2n 4b n n 2n = 1 4b n (n n ) ( 1 n 1) = lim E n = 1 n ( ) + 1 (+ 1) = + 2 Vejamos agora o caso em que n De b n = 2n + 1 temos lim n + b n = + E n = 1 n 2 + 2n nb n 2 ( 1 n 1) = = 1 4 [ n2 nb n + 2n nb n + 1 nb n ] ( 1 n 1) = = 1 4 [ n b n + 2 b n + 1 nb n ] ( 1 n 1) Podemos ver que 2 b n 0, 1 nb n 0 e 1 n 0 Falta ver o que ocorre com n b n quando n + Temos n b n = n 2n + 1 = n n 2n + 1 = n = 2n + 1 n n 2n+1 n = n n Logo Daí lim n n 2n + 1 = = + lim n E n = 1 4 [ ] (0 1) = + Para este segundo caso E n + tanto para n 0 quanto para n +, ou seja, no caso em que os triângulos cam cada vez mais achatados ou cada vez mais alongados

38 26 3 Fórmulas históricas para o cálculo da área de polígonos

39 27 Capítulo 4 Área de polígonos em função das coordenadas de seus vértices 41 Fórmula de Gauss para triângulos A determinação da área de um triângulo a partir das coordenadas de seus vértices é uma tarefa interessante Consideremos um triângulo qualquer de vértices P 1, P 2 e P 3 em um sistema de coordenadas cartesianas Escrevemos P 1 = (x 1, y 1 ), P 2 = (x 2, y 2 ), P 3 = (x 3, y 3 ) Usaremos a seguinte notação x 1 x 2 x 3 x 1 y 1 y 2 y 3 y 1 = x 1y 2 + x 2 y 3 + x 3 y 1 x 2 y 1 x 3 y 2 x 1 y 3 (41) Esta notação é usada pois lembra um determinante Na verdade, se eliminarmos a última coluna e acrescentarmos uma linha com 1 em todos os elementos, de modo a formarmos uma matriz quadrada, e calcularmos o determinante, teremos a expressão acima Mais exatamente, temos x 1 x 2 x 3 y 1 y 2 y 3 = x 1 y 2 + x 2 y 3 + x 3 y 1 x 2 y 1 x 3 y 2 x 1 y 3 (42) que é a mesma expressão acima (41) Teorema 41 A área de um triângulo P 1 P 2 P 3 em função das coordenadas de seus vértices é: 1 x 1 x 2 x 3 x 1 2 y 1 y 2 y 3 y 1 Chamaremos esta expressão de Fórmula de Gauss (43)

40 28 4 Área de polígonos em função das coordenadas de seus vértices Temos duas demonstrações 1 a demonstração Consideremos um triângulo P 1 P 2 P 3, cujos vértices são P 1 = (x 1, y 1 ), P 2 = (x 2, y 2 ) e P 3 = (x 3, y 3 ) em relação a um sistema ortogonal Oxy Veja ilustração na Figura 41 y P 1 P 2 H P 3 0 x Figura 41: Uma demonstração da fórmula de Gauss Seja H o pé da altura do triângulo em relação ao lado P 2 P 3, e seja S a área do triângulo Temos: (I) S = 1 2 P 2P 3 P 1 H (II) P 2 P 3 = (x 2 x 3 ) 2 + (y 2 y 3 ) 2 (III) equação geral da reta suporte de P 2 P 3 é ax + by + c = 0, com x y 1 x 2 y 2 1 x 3 y 3 1 = 0 [y 2 y 3 ]x + [x 3 x 2 ]y + [x 2 y 3 x 3 y 2 ] = 0 (44) em que [y 2 y 3 ] = a, [x 3 x 2 ] = b e [x 2 y 3 x 3 y 2 ] = c (IV) a distância P 1 H do ponto P 1 à reta suporte de P 2 P 3 é Portanto P 1 H = ax 1 + by 1 + c (45) a2 + b 2 (y 2 y 3 )x 1 + (x 3 x 2 )y 1 + (x 2 y 3 x 3 y 2 ) P 1 H = = (y2 y 3 ) 2 + (x 3 x 2 ) 2

41 41 Fórmula de Gauss para triângulos 29 = 1 (x2 x 3 ) 2 + (y 2 y 3 ) 2 x 1 y 1 1 x 2 y 2 1 x 3 y 3 1 (46) Portanto temos a seguinte expressão para a área do triângulo: S = 1 2 P 2P 3 P 1 H = 1 x 1 y x 2 y 2 1 x 3 y 3 1 Isto termina a 1 a demonstração do Teorema 41 (47) 2 a demonstração Tomemos um triângulo P 1 P 2 P 3 em que os pontos P 1, P 2 e P 3 estão nomeados no sentido anti-horário Vamos calcular a área do triângulo usando as áreas dos trapézios determinados pelos seus lados e pelos eixos coordenados Com isso poderemos ver melhor qual é o sinal do determinante que aparece na fórmula de Gauss Inicialmente supomos que o triângulo está no 1 o quadrante, e depois mostraremos, na Proposição 411, na página 34, que a fórmula não depende disso Para manipular as áreas dos trapézios, precisamos considerar quatro casos, que serão abordados em forma de proposições Proposição 42 Consideremos o triângulo P 1 P 2 P 3, com vértices P 1 = (x 1, y 1 ), P 2 = (x 2, y 2 ), P 3 = (x 3, y 3 ), numerados no sentido anti-horário, como na Figura 42 Vale para esse caso a fórmula de Gauss y 3 y 2 y 1 0 P 1 P 3 x 1 x 3 x 2 P 2 Figura 42: Primeiro caso da fórmula de Gauss Demonstração Podemos determinar a área A deste triângulo em função das coordenadas de seus vértices observando o seguinte procedimento Sejam A 13, A 23 e A 12 respectivamente as áreas dos trapézios x 1 x 3 P 3 P 1, x 3 x 2 P 2 P 3 e x 1 x 2 P 2 P 1 Podemos escrever:

42 30 4 Área de polígonos em função das coordenadas de seus vértices A = A 13 + A 23 A 12 Usando a fórmula da área de um trapézio, temos: A 13 = 1 2 [(y 3 + y 1 )(x 3 x 1 )] A 23 = 1 2 [(y 3 + y 2 )(x 2 x 3 )] Ou seja, A 12 = 1 2 [(y 2 + y 1 )(x 2 x 1 )] de onde temos A = 1 2 [(y 3 + y 1 )(x 3 x 1 ) + (y 3 + y 2 )(x 2 x 3 ) (y 2 + y 1 )(x 2 x 1 )] A = 1 2 [y 3x 3 y 3 x 1 + y 1 x 3 y 1 x 1 + y 3 x 2 y 3 x 3 + y 2 x 2 y 2 x 3 y 2 x 2 + y 2 x 1 y 1 x 2 + y 1 x 1 ] = Daí A = 1 2 (x 1y 2 + x 2 y 3 + x 3 y 1 x 2 y 1 x 3 y 2 x 1 y 3 ) Proposição 43 Seja P 1 P 2 P 3 o triângulo com vértices P 1 = (x 1, y 1 ), P 2 = (x 2, y 2 ), P 3 = (x 3, y 3 ), numerados no sentido anti-horário, como na Figura 43 Então vale nesse caso a fórmula de Gauss y 3 y 2 y 1 0 P 1 P 2 x 1 x 2 x 3 Figura 43: Segundo caso da fórmula de Gauss P 3

43 41 Fórmula de Gauss para triângulos 31 Demonstração Sejam A 12, A 23 e A 13 respectivamente as áreas dos trapézios x 1 x 2 P 2 P 1, x 2 x 3 P 3 P 2 e x 1 x 3 P 3 P 1 e A a área do triângulo P 1 P 2 P 3 Temos A = A 13 A 12 A 23 em que A 12 = 1 2 [(y 2 + y 1 )(x 2 x 1 )] A 23 = 1 2 [(y 3 + y 2 )(x 3 x 2 )] A 13 = 1 2 [(y 3 + y 1 )(x 3 x 1 )] Assim A = 1 2 [(y 3 + y 1 )(x 3 x 1 ) (y 2 + y 1 )(x 2 x 1 ) (y 3 + y 2 )(x 3 x 2 )] = = 1 2 [y 3x 3 y 3 x 1 + y 1 x 3 y 1 x 1 y 2 x 2 + y 2 x 1 y 1 x 2 + y 1 x 1 y 3 x 3 + y 3 x 2 y 2 x 3 + y 2 x 2 ] Disto temos A = 1 2 (x 1y 2 + x 2 y 3 + x 3 y 1 x 2 y 1 x 3 y 2 x 1 y 3 ) Proposição 44 Consideremos o triângulo P 1 P 2 P 3 com vértices P 1 = (x 1, y 1 ), P 2 = (x 2, y 2 ), P 3 = (x 3, y 3 ), numerados no sentido anti-horário, como na Figura 44 Então vale a fórmula de Gauss nesse caso y 3 P 3 y 2 y 1 0 P 1 x 1 = x 3 x 2 Figura 44: Terceiro caso da fórmula de Gauss P 2 Demonstração Sejam A 12 e A 23 respectivamente as áreas dos trapézios x 1 x 2 P 2 P 1 e

44 32 4 Área de polígonos em função das coordenadas de seus vértices x 1 x 2 P 2 P 3 e seja A a área do triângulo acima Podemos escrever A = A 23 A 12 em que A 23 = 1 2 [(y 3 + y 2 )(x 2 x 3 )] A 12 = 1 2 [(y 1 + y 2 )(x 2 x 1 )] Assim temos: A = 1 2 [(y 3 + y 2 )(x 2 x 3 ) (y 1 + y 2 )(x 2 x 1 )] A = 1 2 [y 3x 2 y 3 x 3 + y 2 x 2 y 2 x 3 y 1 x 2 + y 2 x 1 y 2 x 2 + y 1 x 1 ] Sabemos que x 1 = x 3, então y 3 x 3 = y 3 x 1 e y 1 x 1 = y 1 x 3 Daí 1 2 (x 1y 2 + x 2 y 3 + x 3 y 1 x 2 y 1 x 3 y 2 x 1 y 3 ) Proposição 45 Suponhamos o triângulo P 1 P 2 P 3 com vértices P 1 = (x 1, y 1 ), P 2 = (x 2, y 2 ), P 3 = (x 3, y 3 ), numerados no sentido anti-horário, como na Figura 45 Então vale a fórmula de Gauss nesse caso y 3 P 3 y 1 y 2 0 P 1 P 2 x 1 x 2 = x 3 Figura 45: Quarto caso da fórmula de Gauss Demonstração Sejam A 12 e A 13 respectivamente as áreas dos trapézios x 1 x 2 P 2 P 1 e x 1 x 2 P 2 P 1 e seja A a área do triângulo P 1 P 2 P 3 Escrevemos A = A 13 A 12

45 41 Fórmula de Gauss para triângulos 33 em que A 13 = 1 2 [(y 1 + y 3 )(x 3 x 1 )] A 12 = 1 2 [(y 2 + y 1 )(x 2 x 1 )] Substituindo temos A = 1 2 (y 1x 3 y 1 x 1 + y 3 x 3 y 3 x 1 y 2 x 2 + y 2 x 1 y 1 x 2 + y 1 x 1 ) Sabemos que x 2 = x 3, assim y 3 x 3 = y 3 x 2 e y 2 x 2 = y 2 x 3 Daí A = 1 2 (x 1y 2 + x 2 y 3 + x 3 y 1 x 2 y 1 x 3 y 2 x 1 y 3 ) Com isso concluímos a segunda demonstração da fórmula de Gauss para os casos em que o triângulo está no 1 o quadrante Vejamos agora que não importa que o triângulo esteja nessa posição Lembramos que uma translação em R 2 é uma transformação T : R 2 R 2 denida por T (x, y) = (x + a, y + b) em que a e b são números reais xos Vamos utilizar a seguinte propriedade: Lema 46 Todo translação é uma isometria, isto é d(a, B) = d(t (A), T (B)), quaisquer que sejam A,B R 2 Demonstração Suponhamos A = (x 1, y 1 ) e B = (x 2, y 2 ) e que T (A) = (x 1 + a, y 1 + b) e T (B) = (x 2 + a, y 2 + b) Sabemos que d(a, B) = (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2 então d(t (A), T (B)) = [x 2 + a (x 1 + a)] 2 + [y 2 + b (y 1 + b)] 2 = = (x 2 + a x 1 a) 2 + (y 2 + b y 1 b) 2 = = (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2 = d(a, B) Proposição 47 Toda translação é bijetiva e sua inversa também é uma translação Demonstração Seja T : R 2 R 2 uma translação denida por T (x, y) = (x + a, y + b), em que a, b R são xos Notemos que T é injetiva, pois se T (x, y) = T (z, w), então (x + a, y + b) = (z + a, w + b) x + a = z + a e y + b = w + b x = z e y = w (x, y) = (z, w) Temos também que T é sobrejetiva, pois se (z, w) R 2, tomamos (x, y) = (z a, w b) e temos T (x, y) = (z, w)

46 34 4 Área de polígonos em função das coordenadas de seus vértices Como T é bijetiva, existe sua inversa, que chamamos de S : R 2 R 2 Temos S(x, y) = (x a, y b), pois T S(x, y) = T (x a, y b) = (x, y), para todo (x, y) R 2 Logo T S = id Do mesmo modo se vê que S T = id Logo S = T 1, e T 1 é uma translação Lembremos que três pontos A, B e C são colineares, com B entre A e C, se e somente se d(a, C) = d(a, B) + d(b, C) Proposição 48 Toda translação leva três pontos colineares em três pontos colineares Demonstração Seja T : R 2 R 2 uma translação, e sejam A, B e C três pontos colineares com B entre A e C Como T é injetiva, T (A), T (B) e T (C) são três pontos, e d(t (A), T (C)) = d(a, C) = d(a, B) + d(b, C) = = d(t (A), T (B)) + d(t (B), T (C)) Logo, T (A), T (B) e T (C) são colineares com T (B) entre T (A) e T (C) Proposição 49 Toda translação leva três pontos não colineares em três pontos não colineares Demonstração Sejam A, B e C três pontos não colineares e T : R 2 R 2 uma translação Se T (A), T (B) e T (C) fossem colineares, a inversa de T os levaria em três pontos colineares, mas esses pontos seriam A, B e C, o que seria uma contradição Logo T (A), T (B) e T (C) são não colineares Proposição 410 Sejam T : R 2 R 2 uma translação de ABC um triângulo Então T (A)T (B)T (C) é um triângulo congruente ao primeiro Demonstração Como A, B e C são pontos não colineares, então T (A), T (B) e T (C) são não colineares, e formam um triângulo Mas uma translação é uma isometria, e então esses triângulos têm lados correspondentes congruentes, isto é, AB = T (A)T (B), etc Pelo caso LLL de congruência, eles são congruentes Proposição 411 Dado um triângulo qualquer num sistema cartesiano, existe um triângulo congruente a ele no primeiro quadrante Demonstração Seja P 1 P 2 P 3 um triângulo qualquer, com P 1 = (x 1, y 1 ), P 2 = (x 2, y 2 ), P 3 = (x 3, y 3 ) Consideremos a translação T : R 2 R 2, denida por T (x, y) = (x + a, y + b) sendo a > max{ x 1, x 2, x 3 } e b > max{ y 1, y 2, y 3 } Então T (P 1 ), T (P 2 ) e T (P 3 ) estarão todos no primeiro quadrante

47 41 Fórmula de Gauss para triângulos 35 Vejamos agora que a Fórmula de Gauss é invariante por translações das coordenadastemos a Proposição 412 A fórmula da Gauss é invariante por translação de coordenadas, isto é, se a e b são números reais quaisquer, então 1 x 1 + a x 2 + a x 3 + a x 1 + a 2 y 1 + b y 2 + b y 3 + b y 1 + b = 1 x 1 x 2 x 3 x 1 2 y 1 y 2 y 3 y 1 (48) Demonstração Considere um triângulo P 1 P 2 P 3 com vértices P 1 = (x 1, y 1 ), P 2 = (x 2, y 2 ) e P 3 = (x 3, y 3 ) em um sistema de coordenadas cartesianas Se zermos uma translação em P 1 P 2 P 3, em que agora temos P 1 = (x 1 +a, y 1 +b), P 2 = (x 2 +a, y 2 +b) e P 3 = (x 3 +a, y 3 +b), a fórmula de Gauss será: 1 x 1 + a x 2 + a x 3 + a x 1 + a 2 y 1 + b y 2 + b y 3 + b y 1 + b = = 1 2 [(x 1+a)(y 2 +b)+(x 2 +a)(y 3 +b)+(x 3 +a)(y 1 +b) (x 2 +a)(y 1 +b) (x 3 +a)(y 2 +b) (x 1 +a)(y 3 +b)] = = 1 2 [x 1y 2 + x 1 b + ay 2 + ab + x 2 y 3 + x 2 b + ay 3 + ab + x 3 y 1 + x 3 b + ay 1 + +ab x 2 y 1 x 2 b ay 1 ab x 3 y 2 x 3 b ay 2 ab x 1 y 3 x 1 b ay 3 ab] = = 1 2 (x 1y 2 + x 2 y 3 + x 3 y 1 x 2 y 1 x 3 y 2 x 1 y 3 ) = 1 2 x 1 x 2 x 3 x 1 y 1 y 2 y 3 y 1 Para encerrar a 2 a demonstração da fórmula de Gauss vamos observar qual é o efeito na fórmula se alterarmos a forma com que os vértices são nomeados Observamos que se nomearmos os pontos no sentido anti-horário, obtemos sempre um valor positivo para a fórmula, e não precisamos usar o módulo em (411) De fato, na Proposição 42, a expressão usada foi A = A 13 + A 23 A 12, que é um valor positivo O mesmo aconteceu nos outros casos Observamos inclusive que não importa se deslocarmos os pontos, desde que mantenhamos o sentido anti-horário Para isso temos a Proposição 413 A fórmula de Gauss não se altera se zermos um deslocamento dos pontos P 1 P 2 P 3 de um triângulo para P 2 P 3 P 1, isto é 1 x 1 x 2 x 3 x 1 2 y 1 y 2 y 3 y 1 = 1 x 2 x 3 x 1 x 2 2 y 2 y 3 y 1 y 2 (49) Demonstração Tomemos os pontos deslocados P 2 P 3 P 1 de um triângulo, então a fórmula de Gauss para esses pontos é

48 36 4 Área de polígonos em função das coordenadas de seus vértices 1 x 2 x 3 x 1 x 2 2 y 2 y 3 y 1 y 2 = 1 2 (x 2y 3 + x 3 y 1 + x 1 y 2 x 3 y 2 x 1 y 3 x 2 y 1 ) = = 1 2 (x 1y 2 + x 2 y 3 + x 3 y 1 x 2 y 1 x 3 y 1 x 1 y 3 ) = 1 x 1 x 2 x 3 x 1 2 x 2 y 2 y 3 y 1 Para concluir tudo, só falta determinarmos o que ocorre se os vértices do triângulo forem nomeados no sentido horário Vejamos o que ocorre no caso 1, estudado na Proposição 42, na página 29 Consideremos o triângulo P 1 P 2 P 3 como na Figura 46, o mesmo utilizado na Proposição 42, mas agora com os vértices nomeados no sentido horário y 2 y 3 y 1 0 P 1 P 2 x 1 x 2 x 3 P 3 Figura 46: Fórmula de Gauss com vértices no sentido horário Vimos que sua área é 1 x 1 x 3 x 2 x 1 2 y 1 y 3 y 2 y 1 = 1 2 (x 1y 3 + x 3 y 2 + x 2 y 1 x 3 y 1 x 2 y 3 x 1 y 2 ) (410) = 1 2 (x 1y 2 + x 2 y 3 + x 3 y 1 x 2 y 1 x 3 y 2 x 1 y 3 ) = = 1 x 1 x 2 x 3 x 1 2 y 1 y 2 y 3 y 1 (411) Vimos na seção 41 que a notação 41 pode ser transformada em uma matriz quadrada e ser comparada a um determinante como mostra a equação 42, e assim podemos explicar a conclusão acima utilizando o seguinte teorema Teorema 414 Se M é obtida da matriz quadrada M = (a ij ) de ordem n, trocando entre si de lugar duas linhas (ou duas colunas) distintas tem-se que det M = det M

49 42 Fórmula de Gauss para polígonos 37 A demonstração deste teorema pode ser vista em [8] na página 198 E assim concluímos que para qualquer triângulo, ao percorrermos seus pontos no sentido horário e os aplicarmos na fórmula 411, a área terá o mesmo valor em módulo mas com o sinal ao contrário 42 Fórmula de Gauss para polígonos Nesta seção iremos mostrar que a fórmula de Gauss para o cálculo da área de triângulos vista nas seções anteriores também é válida para polígonos quaisquer, convexos ou não Consideremos um polígono P qualquer de n lados e de vértices P 1, P 2, P 3,, P n em um sistema de coordenadas cartesianas Escrevemos P 1 = (x 1, y 1 ), P 2 = (x 2, y 2 ), P 3 = (x 3, y 3 ),, P n = (x n, y n ) Usaremos a seguinte notação x 1 x 2 x n x 1 y 1 y 2 y n y 1 = x 1y 2 + x 2 y 3 + x 3 y x n y 1 x 2 y 1 x 3 y 2 x 4 y 3 x 1 y n (412) e isto é igual a x 1 x 2 x n y 1 y 2 y n = x 1 y 2 +x 2 y 3 +x 3 y 4 + +x n y 1 x 2 y 1 x 3 y 2 x 4 y 3 x 1 y n (413) e esta matriz acima é uma matriz n n Já observamos na seção 13 do Capítulo 1 que todo polígono tem área, essa área é igual à soma das áreas de uma decomposição do polígono em triângulos, e que a área não depende da particular decomposição Teorema 415 Seja A 1 A 2 A n um polígono plano com A i = (x i, y i ) em um sistema de coordenadas cartesianas Oxy Suponhamos que o caminho A 1 A 2 A n seja no sentido anti-horário Então a área desse polígono é 1 x 1 x 2 x n x 1 2 y 1 y 2 y n y 1 (414) Demonstração Usamos o método da Indução Finita sobre n 3 Já sabemos que a fórmula (414) vale para n = 3 Suponhamos que seja válida para n 1 Seja A 1 A 2 A n (n 4) um polígono qualquer Suponhamos primeiro que esse polígono é convexo Então