Edição de Fevereiro de 2008 Nota do Autor: A qualificação do profissioal passa pela ecessidade dos cohecimetos que possam lhe trasmitir seguraça as decisões fiaceiras. Seja este profissioal da área de gerêcia, supervisão ou vedas, precisa cohecer os fudametos de Aálise Fiaceira para que possa maximizar resultados, miimizar custos e escolher corretamete o rumo a ser seguido. Desta forma poderá agregar ao seu produto o diferecial mercadológico do custo fiaceiro calculado adequadamete. Assim, buscamos este compêdio proporcioar técicas a quem ecessite efetuar aálise, buscar respostas e solução imediata em assutos que evolvam decisão em Aálise Fiaceira, utilizado metodologia modera e os recursos do teclado fiaceiro da Calculadora hp12c. Utilizamos a seguite metodologia o coteúdo: METODOLOGIA Exposição matemática dos coceitos fudametais da Matemática Fiaceira. Aplicação da Calculadora hp12c a solução de problemas e aálise de evetos fiaceiros. Exercícios práticos para o etedimeto e fixação do coteúdo. Recursos visuais com tabelas e gráficos com cores fortes e cotrastates para marcar o coteúdo. De forma ehuma iduziremos a prática de decorar fórmulas. Motivaremos para a compreesão do fato fiaceiro para represetá-lo matematicamete da forma correta. E partido deste pricípio, também facilitaremos a compreesão das teclas fiaceiras da calculadora fiaceira hp12c. 1
PROGRAMA DO CURSO Cohecedo o teclado da hp12c; Fuções de Porcetagem, Caledário, Pilha Operacioal e Memória da hp12c. O Diagrama do Fluxo de Caixa; Taxa, Prazo e Valor Médios; Juros Simples comerciais, exatos e bacários. Juros Compostos; Taxas de juros omiais, efetivas e equivaletes; Descotos Simples ou Bacário; Descoto Racioal; Juros, Taxa e Capital médios; Taxa Efetiva e Equivalêcia de Capitais para o Descoto Simples; Coveção Liear e Expoecial a calculadora hp12c; Descoto Composto Bacário e Racioal; Capitalização e Descapitalização; Sistema PRICE de fiaciameto com e sem etrada; Valor médio e Desvio Padrão a calculadora hp12c Séries fiaceiras com parcelas itermediárias; Aalise de ivestimetos com parcelas de retoro ão costates através da taxa itera de retoro e valor presete líquido. Aálise de Fluxos de Caixa com calculadora hp12c. 2
CONCEITOS FUNDAMENTAIS DA MATEMÁTICA FINANCEIRA Coceituamos Matemática Fiaceira como a Ciêcia de exprimir umericamete a relação etre o capital, o juro e o tempo decorrido agregado as suas mais diferetes combiações possíveis. Juros (J: é a remueração do diheiro ajustada etre o tomador e o forecedor. Capital (C: é a represetação da moeda circulate. Taxa de juros (i: é a represetação do fator de remueração do capital. Como utilizamos o sistema umérico de base 10, as gradezas efetuadas através de razões com o deomiador (razões cetesimais aparecem como a pricipal represetação a esfera comercial. Assim, quado dizemos [3%] a verdade estamos os referido a [3/]. Ou seja, o fator [1/] é simbolizado por [%]. Desta forma, em matemática fiaceira, defiimos o que exprimimos através do símbolo [%] como taxa percetual e o valor cetesimal [1/] como taxa uitária. Observe a tabela seguite. TAXA PERCENTUAL RAZÃO CENTESIMAL TAXA UNITÁRIA 30% 30/ 0,30 25% 25/ 0,25 45% 45/ 0,45 75% 75/ 0,75 125% 125/ 1,25 Tempo (t: é acima. o período em que ocorre a relação etre os fatores fiaceiros Orgaizado sob a forma matemática os coceitos acima, teremos: J Ci.. t Motate (M: é o valor acumulado dos juros e do capital, logo: M C+ J C+ Ci.. t C(1+ i. t 3
CÁLCULO DOS JUROS SIMPLES No coceito de juros simples, o resultado é sempre obtido sobre o valor pricipal, sem icorporação ao capital para efeito de cálculo dos juros de um período sobre o período seguite. Vamos tomar o seguite exemplo: Exemplo: Capital de R$10.000,00, juros de 2% ao mês, e prazo de 6 meses. De uma maeira prática, podemos motar a seguite tabela efetuado os cálculos de cabeça sem os preocuparmos com a aritmética dos cálculos. Capital [C] Prazo [t] Taxa de Juros [i] Juros Motate MC+J 1 mês 2%x12% 200,00 10.200,00 2 meses 2%x24% 400,00 10.400,00 10.000,00 3 meses 2%x36% 600,00 10.600,00 4 meses 2%x48% 800,00 10.800,00 5 meses 2%x510% 1.000,00 11.000,00 6 meses 2%x612% 1.200,00 11.200,00 Na figura seguite, observe a represetação da evolução dos Juros Simples Iício 1 mês 2 meses 3 meses 4 meses 5 meses 6 meses VALOR 10.000,00 10.200,00 10.400,00 10.600,00 10.800,00 11.000,00 11.200,00 Observe que a evolução dos valores é liear, ou seja, sofre acréscimos periódicos iguais. E para efetuarmos os cálculos de forma aritmética, teremos que defiir se o prazo será em dia, mês ou ao para que a taxa seja adequada. Na tabela acima, cosideramos o prazo como mesal. Porém, detro do coceito dos Juros Simples, existem três formas de efetuar os cálculos, em relação ao prazo. Acompahe os cálculos para cada situação seguite cosiderado os dados do exemplo. 4
Juros ordiários: cosideram-se todos os meses com 30 dias, e cosequetemete o ao com 360 dias. Logo, a taxa de Juros aual será de 24%. Juros exatos: cosideram-se os meses coforme o caledário civil, e o ao com 365 dias. Vamos cosiderar que o período de 6 meses ocorra de 01/07 a 31/12. Logo, a taxa de juros aual será de 24%. Juros coforme o sistema bacário: Cosidera-se o ao comercial de 360 dias e os meses coforme o caledário civil. Vamos cosiderar que o período de 6 meses ocorra de 01/07 a 31/12. Logo, a taxa de juros aual será de 24%. M C + J C(1 + i.t M(30dias M(60dias M(90dias M(120dias M(150dias M(180dias 24 30 10.000,00( 1+ x 10.200,00 360 24 60 10.000,00( 1+ x 10.400,00 360 24 90 10.000,00( 1+ x 10.600,00 360 24 120 10.000,00( 1+ x 10.800,00 360 24 150 10.000,00( 1+ x 11.000,00 360 24 180 10.000,00( 1+ x 11.200,00 360 M C+ J C(1+ i.t 24 31 M(31dias 10.000,00( 1+ x 10.203,84 365 24 62 M(62dias 10.000,00( 1+ x 10.407,67 365 24 92 M(92dias 10.000,00( 1+ x 10.604,93 365 24 123 M(123dias 10.000,00( 1+ x 10.808,77 365 24 153 M(153dias 10.000,00( 1+ x 11.006,03 365 24 184 M(184dias 10.000,00( 1+ x 11.209,86 365 M C+ J C(1 + i.t 24 31 M(31dias 10.000,00( 1+ x 10.206,67 360 24 62 M(62dias 10.000,00( 1+ x 10.413,33 360 24 92 M(92dias 10.000,00( 1+ x 10.613,33 360 24 123 M(123dias 10.000,00( 1+ x 10.820,00 360 24 153 M(153dias 10.000,00( 1+ x 11.020,00 360 24 184 M(184dias 10.000,00( 1+ x 11.226,67 360 5
Na tabela abaixo, comparamos os resultados obtidos as três modalidades: Ordiários Exatos Bacários 10.200,00 10.203,84 10.206,67 10.400,00 10.407,67 10.413,33 10.600,00 10.604,93 10.613,33 10.800,00 10.808,77 10.820,00 11.000,00 11.006,03 11.020,00 11.200,00 11.209,86 11.226,67 IMPORTANTE: No Sistema Fiaceiro e Comercial, costuma-se utilizar os Juros calculados coforme o Sistema Bacário, corretemete cohecido como Juros Bacários. TAXA NOMINAL, EQUIVALENTE E PROPORCIONAL EM JUROS SIMPLES Como ão existe capitalização, estas taxas acabam sedo as mesmas. O importate é trabalharmos com o regime de tempo adequado, coforme vimos o exemplo aterior. Desta forma, teremos para uma taxa de 24% a.a.: TAXA NOMINAL ANUAL 24% Taxa equivalete/proporcioal para 3 meses 6% Taxa equivalete/proporcioal para 6 meses 12% Taxa equivalete /proporcioal para 12 meses 24% Taxa equivalete/proporcioal para 18 meses 36% 6
UTILIZANDO O DIAGRAMA DO FLUXO DE CAIXA A represetação gráfica do fluxo de caixa facilita o etedimeto e a aplicação das fuções fiaceiras, e são fudametais os cálculos fiaceiros utilizados a hp12c. Observe a figura seguite: Fim da Trasação Fiaceira De A até B temos a Liha do Tempo. A B Iício da Trasação Fiaceira O Fluxo Fiaceiro (etradas e saídas são represetados por flechas verticais fixadas em uma liha horizotal que represeta o tempo (ou períodos em que ocorre (Liha do Tempo. As etradas e saídas devem ter setidos diferetes, ão importado se estão o iício ou o fim da trasação fiaceira. Observe o exemplo seguite. Saída (Saque Etradas ( depósitos TESTE da hp12c Desligue a calculadora, pressioe a tecla [o] e em seguida a tecla [x]. Matedoas pressioadas, libere [o] e após [x]. Deveremos ter o visor os seguites caracteres: -8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, USER f g BEGIN GRAD D.MY C PRGM 7
UTILIZAÇÃO DO TECLADO DA HP12C. Cada tecla pode ter até três fuções, acioadas da seguite forma: 1. Uma fução acessada diretamete com caracteres bracos a parte superior das teclas. 2. Uma fução acessada através da tecla de prefixo [f] em caracteres dourados localizados a base do teclado. 3. Uma fução acessada através da tecla de prefixo [g] em caracteres azuis localizados a face oblíqua do teclado. Para determiarmos a calculadora trabalhar o formato decimal brasileiro (X,YY ode X são úmeros iteiros e YY a parte decimal, devemos desligar a calculadora, pressioar as teclas [o][.], liberar [o] e após [.]. Obs. [.][poto] Para determiarmos o úmero de decimais, devemos usar a tecla [f] seguida do úmero desejado.por exemplo, para termos (0,00 o visor devemos digitar f[2]. Para que tehamos cálculos com juros compostos em períodos sigulares(>1, devemos digitar [STO][EEX]. Teremos a letra "c" o visor. Em capítulo específico, trataremos do assuto. As teclas que aparecem abaixo da chave "CLEAR" calculadora, da seguite forma: zeram os registros da f[ ] - ESTATÍSTICOS f[prgm] PROGRAMAS f[fin] - FINANCEIROS f[reg] - PILHA OPERACIONAL [CLX] VISOR O cohecimeto prévio das fuções das teclas é fudametal para uma eficiete utilização da calculadora. Durate o curso, itroduziremos de forma adequada os coceitos através de exemplos. No etato, é importate o cohecimeto prévio de algumas teclas que são freqüetemete utilizadas em todos os cálculos e propiciam uma excelete capacidade operacioal. Veja o resumo a tabela abaixo. TECLA COMENTÁRIOS [STO] Storage armazea dados. [RCL] Recall recupera dados armazeados. [R ] Rolls dow altera a posição da pilha operacioal. [CHS] Chage Sigal muda o sial do úmero o visor. 8
FUNÇÃO PORCENTAGEM com a hp12c Na calculadora hp12c, temos que observar que a adequada impostação dos dados determia a correta leitura do resultado. Desta forma, fica fácil etedermos as seguites fuções. %T Calcula o valor percetual de um úmero em relação a outro. Exemplo: Calcule a porcetagem que 90 uidades represetam em relação à uidades: f[reg] [ ] 90 [ %T ] 90 Zera registros Imposta o º Imposta o º Imposta a fução Resultado90% % Calcula a variação proporcioal etre dois úmeros. Exemplo: Calcule a variação proporcioal etre 90 e uidades. f[reg] 90 [ ] [ %] 11,11 Zera registros Imposta o º Imposta o º Imposta a fução Resultado11,11% % Calcula o resultado obtido através da aplicação de uma taxa de porcetagem. Exemplo: Calcule a quatidade que 90 porceto represeta em relação a uidades. f[reg] [ ] 90 [%] 90 Zera registros Imposta o º Imposta o º Imposta a fução Resultado90 FUNÇÃO CALENDÁRIO COM A hp12c Curiosidade : O caledário da HP12c começa em 15.10.1582 e termia em 25.11.4046 Forma de impostação dos dados Sempre o formato DD.MMAAAA (Dia/Mês/Ao. A calculadora deve estar o formato D.MY (dia, mês e ao o visor. DATE: Iforma a data que estamos procurado, etre uma data iformada e o úmero de dias. Exemplo: Cosiderado a data de 30.06.01, em que data cairá 60 dias após? 30.062001 [ ] 60 [ g ] DATE 29.08.2001 3 ( quarta-feira O úmero à direita do visor sigifica o dia da semaa, começado Seguda-feira pelo 1 e termiado o Domigo pelo 7.No osso exemplo, trata-se de uma quarta-feira. DYS : Iforma o úmero de dias que estamos procurado etre duas datas. Exemplo: Cosiderado a data de 30.06.2002, quatos dias faltam para o Natal? 30.062002 [ ] 25.122002 [ g ] DYS 178 ( dias 9
CÁLCULOS ARITMÉTICOS EM CADEIA com a hp12c Como você já deve ter observado, ão existe o sial de igual ( a hp12c. E os cálculos são efetuados usado-se o recurso da Pilha Operacioal, um sistema de armazeameto de dados que elimia a ecessidade de parêteses ou chaves para a execução dos cálculos. Acompahe o seguite exemplo: 3 2 ( 4+ x8 (5 32,47 5 3 X Fução Visor Y Z T Cometários 4 [ ] 4,00 4 Itroduz o 4 e armazea em Y 3 [ ] 3,00 3 4 Itroduz e armazea o 3 em Y e desloca o 4 para Z 5 [ ] 0,60 4 Divide 3 por 5 e desloca 4 para Y. [ + ] 4,60 Soma o que esta o visor X(0,60 com o coteúdo de Y (4. 8 [X] 36,80 Multiplica 8 pelo coteúdo do visor X aterior ( 4,60 5 [ ] 5,00 5 36,80 Itroduz 5 e desloca 36,80 para Z 2 [ ] 2,00 2 5 36,80 Itroduz e armazea o 2 em Y, desloca o 5 para Z e 36,80 para T. 3 [ ] 0,67 5 36,80 Divide 2 por 3 e desloca 5 para Y e 36,80 para Z. [ - ] 4,33 36,80 Subtrai 0,67 de 5, obtedo 4,33 [ - ] 32,47 Subtrai 4,33 de 36,80 obtedo 32,47 Observe que toda vez que utilizamos a tecla [ ], armazeamos um úmero. Este é o coceito da Pilha Operacioal. Cosidere que Y, Z e T sejam visores auxiliares. Desta forma, podemos deixar armazeados úmeros em espera eles, o que possibilita efetuar operações aritméticas em cadeia. Apeas é digitado a calculadora o que esta a colua X. ATIVIDADE Sugestão : use lápis e borracha. X Fução Visor Y Z T Cometários 5 3 9 6 ( x4+ (1 1 8 4 10 10 10
JUROS SIMPLES COM A CALCULADORA HP12c Para efetuarmos cálculos com juros simples, devemos cosiderar as variáveis da seguite forma, em relação as teclas fiaceiras: TECLA FUNÇÃO [ ] Quatidade de dias, sedo o ao comercial 360 dias [ i ] Taxa de Juros correspodete ao ao comercial [PV] Valor do capital cosiderado Exemplo: Calcule o valor dos juros simples para 75 dias cosiderado uma taxa de juros aual de 60 %, sobre o valor de R$ 1.500,00. Acompahe a impostação dos dados a sua calculadora utilizado a seguite tabela. [f] [REG] 1.500,00 [CHS][PV] [60] [ i ] 75 [ ] [f] [ INT] 187,50 Limpa os registros Imposta o capital Muda o sial Imposta a taxa aual Imposta os dias Calcula os juros Valor dos juros Ao acioarmos a tecla [+], teremos o motate M o valor de R$1.687,50. Ao acioarmos a tecla [R ], teremos o valor de R$ 184,93 correspodete aos juros exatos. M1.687,50 75 dias, i60% a.a. PV1.500,00 Vamos agora efetuar os cálculos do Exemplo da seção Juros Simples utilizado a calculadora hp12c. Observe que o como o capital e a taxa de juros aual ão se alteram, serão impostados apeas o iício da operação. CAPITAL 10.000,00[CHS][PV] TAXA DE JUROS 24[ i ] PRAZO (Em dias f(int Calcula os Juros Tecla [+] Calcula o Motate 31[] 206,67 10.206,67 62[] 413,33 10.413,33 92[] 613,33 10.613,33 123[] 820,00 10.820,00 153[] 1.020,00 11.020,00 184[] 1.226,67 11.226,67 11
DESCONTO RACIONAL Trata-se do valor do descoto aplicado sobre o valor presete do título calculado através da taxa omial, por isto deomiado de Descoto Simples por Detro. Desta forma, é a operação iversa dos Juros Simples. Embora este sistema ão seja utilizado a prática, seu estudo é iteressate para complemetar o estudo das taxas de juros efetivas e omiais. Cosiderado que: Vr é o valor de resgate do título. i é a taxa de juros efetiva da operação. t é o prazo da operação. Cosideremos que o valor de Descoto Racioal é aplicado sobre o Valor Racioal. Represetado graficamete, teremos: Dr Vr. i. t Mr Vr O motate é calculado somado-se o valor do descoto ao capital, ou seja: M r V r Isolado + D V r r V r V r + V. i. t V r M r (1+ i. t r (1+ i. t 12
Exemplo: Calcule o valor do descoto racioal para uma duplicata de R$5.000,00 vecível o dia 31/12 e que desejamos quitar o dia 01/10. A taxa de juros iformada é de 30% a.a. Solução: [f][clx]01.102008 31.122008[g][ DYs] V Utilizado a calculadora hp12c Mr 5.000,00 (1+ it 30 91 1+ x 360 r 4.647,56 91 TECLA VISOR COMENTÁRIO 5.000,00 [FV] 5.000,00 Imposta o Motate racioal 30 360 91x[i] 7,58 Calcula a taxa racioal ( efetiva 1[] 1 Imposta o valor uitário para a taxa racioal [PV][CHS] 4.647,56 Calcula o Valor Racioal 5.000,00 4.647,56 TAXA DE JUROS NOMINAIS E EFETIVOS PARA DESCONTO RACIONAL Na situação do descoto racioal, a taxa omial é igual a taxa efetiva. É muito fácil etedemos se tomarmos o exemplo aterior. Equato a taxa aplicada (omial foi de: 30 91 i x x 360 7,5833% Podemos facilmete verificar que esta mesma taxa aplicada sobre R$ 4.647,56 resultaria o valor de R$ 5.000,00, ou seja: 7,5833 4.647,56 + (4.647,56x 5.000,00 13
EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS PARA O DESCONTO RACIONAL. No descoto racioal simplesmete partimos da taxa de juros aual e matemos o valor do Mr, pelo fato da taxa efetiva do descoto racioal ser a mesma taxa omial. Exemplo 1: Qual valor do título com prazo de 5 meses que poderá substituir outro o valor de R$1.000,00, i2,5% a.m. e prazo de 3 meses? Solução: Iicialmete calculamos o valor do descoto racioal do título origial, e etão o valor do descoto racioal do ovo título. M1R$1.000,00 M2R$1.000,00 3 meses 5 meses 1.000,00 Vr1 930,23 2,5 1+ x3 Aplicado Aplicado (2,5% (2,5% sobre sobre 930,23 888,89 1.000,00 Vr 2 2,5 1+ x5 930,23 + 930,23 x3x 888,89 + 888,89 x5x TECLA VISOR COMENTÁRIO 2,5 2,5 1.000,00 [FV] 1.000,00 Imposta o Motate racioal 2,5[ ]3x[i] 7,50 Calcula a taxa racioal ( efetiva 1[] 1 Imposta o valor uitário para a taxa racioal [PV][CHS] 930,23 Calcula o Valor Racioal RCL[i] 7,50 Recupera a taxa racioal [%] [+] 1.000,00 Retora ao Motate Racioal 1.000,00 [FV] 1.000,00 Imposta o Motate racioal 2,5[ ]5x[i] 12,50 Calcula a taxa racioal ( efetiva 1[] 1 Imposta o valor uitário para a taxa racioal [PV][CHS] 888,89 Calcula o Valor Racioal RCL[i] 12,50 Recupera a taxa racioal [%] [+] 1.000,00 Retora ao Motate Racioal 888,89 1.000,00 1.000,00 14
DESCONTO SIMPLES BANCÁRIO Trata-se da difereça etre o valor omial de um título e o seu valor o mometo da egociação, ou o abatimeto efetuado sobre um valor previamete determiado para o resgate. Estas operações fiaceiras são muito utilizadas o mudo dos egócios, pricipalmete em operações bacárias, e também são cohecidas por Descoto Simples por Fora, por tratar-se do valor a ser deduzido de um título calculado sobre o seu Valor Nomial, ode: V é o valor omial do título. i é a taxa de juros omial da operação. t é o prazo da operação Observe o diagrama do fluxo de caixa V M Efetuamos o cálculo do valor do descoto calculado sobre o Valor Nomial do título. Ds Vi.. t M é o motate, valor atual ou valor de resgate, e é calculado dimiuido-se o valor do descoto do valor do título, ou seja: M V Ds V Vi.. t V(1 i. t 15
Exemplo 1: Calcule o valor do Motate para uma duplicata de R$5.000,00, vecível o dia 31.12 e que desejamos quitar o dia 01.10. A taxa de juros iformada é de 30% a.a. Solução: [f][clx]01.102008 31.122008[g][ DYs] 91 30 91 M V(1 i.t 5.000,00(1 x 4.620,83 360 hp12c 5.000,00 1 30 91x360 x 4.620,83 Observe o diagrama do fluxo de caixa da operação. V5.000,00 M4.620,83 Exemplo 2: Vamos calcular o valor do descoto para uma duplicata de R$6.500,00 que desejamos quitar com 60 dias de atecedêcia. A taxa de juros iformada é de 5 % am. 5x12 60 M V(1 i.t 6.500,00(1 x 5.850,00 360 Observe o diagrama do fluxo de caixa da operação. V6.500,00 M5.850,00 Calcule com a hp12c. Observe o exemplo aterior. hp12c 16
TAXA DE JUROS NOMINAIS E EFETIVOS PARA O DESCONTO BANCÁRIO Na situação do descoto, a taxa omial é diferete da taxa efetiva. É muito fácil etedermos se tomarmos o Exemplo 1 aterior. Equato a taxa aplicada (omial foi de: 30 91 i(% ( x x 7,58% 360 hp12c 30 91x360 x 7,58 Podemos facilmete verificar que esta mesma taxa aplicada sobre R$ 4.620,83 resultaria meos do que R$ 5.000,00, ou seja: % 4.620,83 hp12c + (4.620,83x 4.620,83 7,58 7,58[%] + 4.971,09 4.971,09 No etato, se calcularmos a variação proporcioal etre o valor omial e o motate: Aplicado 8,21% sobre R$4.620,83 resultará em R$ 5.000,00. i DICA: também podemos calcular a taxa efetiva partido apeas da taxa omial do prazo cosiderado, ou retorar a taxa omial a partir da taxa efetiva do prazo cosiderado. Note que estas expressões devem ser utilizadas a sua forma percetual, e ão a forma uitária. e (% (% hp12c V M M 4.620,83 i ( i 5.000,00 4.620,83 x ( 4.620,83 5.000,00[ (%] 8,21% 8,2057 4.620,83 + (4.620,83x 5.000,00 hp12c 4.620,83 8,2057[%] 5.000,00 x i (% ie (+ i x 8,21% e x i i e 7,58x hp12c 7,58 7,58 8,20% f4 8,2057% 7,58 8,2057x hp12c 8,2057 8,2057+ 7,58% + 8,2057 17
DESCONTO SIMPLES BANCÁRIO COM A CALCULADORA hp12c Para efetuarmos cálculos com descoto simples bacário, devemos cosiderar as variáveis da seguite forma, em relação as teclas fiaceiras, similar ao cálculo dos juros simples: TECLA FUNÇÃO [ ] Quatidade de dias, sedo o ao comercial 360 dias [ i ] Taxa de Juros correspodete ao ao comercial [PV] Valor do capital cosiderado Exemplo: Calcule o valor do descoto para 75 dias cosiderado uma taxa de juros aual de 60 %, sobre o valor de R$ 1.500,00. [f] [REG] 1.500,00 [CHS][PV] [60] [ i ] 75 [ ] [f] [ INT] R$187,50 Limpa os registros Imposta o capital Muda o sial Imposta a taxa aual Imposta os dias Calcula os juros Valor do descoto. Ao acioarmos a tecla [-], teremos o valor de R$1.312,50. Taxa efetiva de descoto R$1.312,50 [RCL][PV] [CHS] [ %] 14,29% VPV1.500,00 Diagrama do Fluxo de Caixa da Operação M1.312,50 Com a utilização da HP12c, vamos calcular os exemplos 1 e 2 desta seção: Exemplo1: VR$5.000,00, i30%aa, 91 dias [f] [REG] 5.000,00 [CHS][PV] [30] [ i ] 91 [ ] [f] [ INT] R$379,17 Limpa os registros Imposta o capital Muda o sial Imposta a taxa aual Imposta os dias Ao acioarmos a tecla [-], teremos o valor de R$4.620,83. Taxa efetiva de descoto Calcula os juros Valor do descoto. R$4.620,83 [RCL][PV] [CHS] [ %] 8,21% Exemplo2: VR$6.500,00, i5%am 60%aa, 60 dias [f] [REG] 6.500,00 [CHS][PV] [60] [ i ] 60 [ ] [f] [ INT] R$650,00 Limpa os registros Imposta o capital Muda o sial Imposta a taxa aual Imposta os dias Calcula os juros Valor do descoto. Ao acioarmos a tecla [-], teremos o valor de R$5.850,00. Taxa efetiva de descoto R$5.850,00 [RCL][PV] [CHS] [ %] 11,11% 18
EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS PARA O DESCONTO SIMPLES Na vida comercial prática, é muito comum a substituição de títulos de crédito por outros equivaletes. Através dos exemplos seguites, verificaremos como calcular estas equivalêcias. Exemplo 1: Qual o valor do título com prazo de 5 meses que poderá substituir outro o valor de R$1.000,00, i 2,5% a.m. e prazo de 3 meses? Solução: Iicialmete devemos calcular o valor do motate do título origial, e após o valor do título equivalete. VPV1.000,00 3 meses M 2,5 1.000,00 (1 x 3 925,00 V 925,00 2,5 1 x 5 1.057,14 5 meses M925,00 TECLA/FUNÇÃO VISOR COMENTÁRIO 1.000,00[CHS][PV] -1.000,00 Imposta o valor omial 2,5[ ]12[X][i] 30 Taxa de juros mesal para aual 90[] 90 Prazo em dias f[it] 75,00 Valor do Descoto [-] 925,00 Valor do Motate 2,5[ ]5[X] 12,5 Calcula a Taxa Nomial [ ][ ]12,5[-][ ][X] 14,29 Calcula a Taxa Efetiva [%] 132,14 Calcula o Valor do Descoto [+] 1.057,14 Valor do ovo título. 19
Exemplo 2: Qual o valor do título com prazo de 4 meses que poderá substituir dois títulos, o primeiro de R$720,00 para dois meses e o segudo de R$960,00 para 3 meses, cosiderado a taxa de juros simples de 24% a.a.? Solução: Iicialmete devemos calcular o valor do motate de cada titulo origial. Após, vamos somá-los e em seguida calcular o valor omial do ovo título. VT2R$960,00 VT3 VT1R$720,00 4 meses 2 meses 1 mês M + 3 M1 M2 M 3 T T 1 3 M 1 M 3 2 2 720,00(1 x2 691,20 T2 M2 960,00(1 x3 902,40 1.593,60 M1+ M2 691,20+ 902,40 1.593,60 VT3 1.732,17 2 1 ( x4 TECLA/FUNÇÃO VISOR COMENTÁRIO 720,00[CHS][PV] -720,00 Imposta o valor omial 24[i] 24 Taxa de Juros aual 60[] 60 Prazo em dias f[it] 28,80 Valor do Descoto [-][STO][0] 691,20 Motate armazeado a tecla [0] 960,00[CHS][PV] -960,00 Imposta o valor omial 90[] 90 Prazo em dias f[it] 57,60 Valor do Descoto [-][STO][+][0] 902,40 Motate acrescetado a tecla [0] [RCL][0] 1.593,60 Motate Total resgatado da tecla [0] 2[ ]4[X] 8,00 Calcula a Taxa Nomial [ ][ ]8[-][ ][X] 8,70 Calcula a Taxa Efetiva [%] 138,57 Calcula o Valor do Descoto [+] 1.732,17 Valor do ovo título. 20
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 1. Um capital é aplicado do dia 05 de maio ao dia 25 de ovembro do mesmo ao, a uma taxa de juros simples de 36% a. a., produzido um motate de R$4.800,00. Nessas codições, calcule o capital aplicado. M 4.800,00 C 3.986,71 (1+ i. t 36 204 1+ x 360 f [ REG]05.052002 25.112002g[ DYS]360 36 [ i]1[ ]4.800,00[ FV ][ PV ] 2. A quatia de R$10.000,00 foi aplicada a juros simples exatos do dia 12 de abril ao dia 5 de setembro do correte ao. Calcule os juros obtidos, à taxa de 18% a.a.. 18 146 J Cit 10.000,00 x x 720,00 365 f [ REG ]10.000,00 [ CHS ][ PV ]146 [ ]18 [ i ] f [ INT ][ R 3. Ao efetuar a aquisição de um bem de cosumo o valor de R$ 1.500,00, com taxa de juros simples de 72% a.a. você obteve o prazo de 125 dias para o pagameto. Calcule o valor da liquidação da dívida, cosiderado 2 pagametos itermediários de R$400,00 (25 dias e R$600,00 (75 dias após. 1.175,00[ CHS][ PV ]75[ ] f [ INT ][ + ]600[ ] 751,25 751,25[ CHS][ PV ]25[ ] f [ INT ][ + ] 788,81 ][ R 72 25 M1 [1.500x(1+ x ] 400,00 1.175,00 360 72 75 M2 [1.175,00x(1+ x ] 600 751,25 360 72 25 Mfial 751,25x(1+ x 788,81 360 f [ REG]72[ i]1.500,00[ CHS][ PV ]25[ ] f [ INT ][ + ]400[ ] 1.175,00 ] R$ 788,81 R$ 400,00 R$ 600,00 M1 M2 R$ 1.500,00 21
4. Uma firma deseja alterar as datas e valores de um fiaciameto cotratado. Este fiaciameto foi cotratado há 30 dias, com uma taxa de juros simples de 2,0% a.m. A istituição fiaciadora ão cobra tarifas e a taxa de juros ão sofrerá alterações. Codições pactuadas iicialmete: pagameto de duas prestações iguais e sucessivas de R$11.024,00 a serem pagas em 60 e 90 dias. Codições desejadas: pagameto em três prestações iguais, com a primeira ao fial do 10º mês, a Seguda ao fial do 30º mês, e a terceira ao fial do 70º mês. Caso sejam aprovadas as alterações, o valor que mais se aproxima do valor uitário de cada uma das ovas prestações é: Solução M1 M2 11.024,00 11.024,00 C + + 21.000,00 1+ it 1+ it 1+ 0,02x2 1+ 0,02x3 M M M 21.000,00 + + 1+ 0,02x10 1+ 0,02x30 1+ 0,02x70 M 11.200,00 5. Uma pessoa possui um fiaciameto com taxa de juros simples de 10% a.m. O valor total dos pagametos a serem realizados, juros mais pricipal, é de R$ 1.400,00. As codições cotratuais prevêem que o pagameto deste fiaciameto será efetuado em duas parcelas. A primeira parcela, o valor de 70% do total dos pagametos, será paga ao fial do quarto mês, e a Seguda parcela o valor de 30% do total dos pagametos será paga ao fial do décimo-primeiro mês. O valor que mais se aproxima do valor fiaciado é: Solução 1.400,00x0,7 1.400,00x0,3 C + 1+ 0,1 x4 1+ 0,1 x11 700,00+ 200,00 900,00 6. Um ivestidor dispuha de R$300.000,00 para aplicar. Dividiu esta aplicação em duas partes. Uma parte foi aplicada o baco Alfa, à taxa de 8% a.m., e a outra parte o baco Beta, à taxa de 6% a.m., ambas em juros compostos. O prazo de ambas as aplicações foi de um mês. Se após este prazo, os valores resgatados forem iguais os dois bacos, os valores de aplicação, em reais, em cada baco, foram, respectivamete: Solução M it 300.000,00 1+ M C1 1,06 M C2 1,08 M + 1+ it 160.485,98 1,06 160.485,98 1,08 M M + M 1+ 0,06x1 1+ 0,08x1 151.401,87 148.598,13 160.485,98 22
JURO COMPOSTO No coceito de juros compostos existe a capitalização dos juros sobre o valor pricipal a cada período. Aqui, a variável tempo é represetada pela letra. Vamos utilizar de um exemplo para iiciarmos o estudo, comparado com os juros simples Exemplo: Capital de R$10.000,00, juros de 2% ao mês, e prazo de 6 meses.é fácil verificarmos que a evolução dos juros capitalizados poderia ser represetada por uma série de juros simples, em que o valor aterior de cada período represeta o valor iicial do período seguite. Assim, teremos: PERÍODO CAPITAL TAXA PERIÓDICA MONTANTE 1 10.000,00 10.200,00 2 10.200,00 10.404,00 3 10.404,00 2,00% 10.612,08 4 10.612,08 10.824,32 5 10.824,32 11.040,81 6 11.040,81 11.261,62 Assim, o osso gráfico teria a seguite forma. Compare com o gráfico dos Juros Simples, e observe que aqui o crescimeto ão é liear, mas tem um comportameto expoecial. 1 mês 2 meses 3 meses 4 meses 5 meses 6 meses VALOR 10.200,00 10.404,00 10.612,08 10.824,32 11.040,81 11.261,62 No etato, é obvio verificarmos que este método seria muito demorado e trabalhoso. Para facilitar, vamos utilizar da tabela aterior para verificarmos que: MONTANTE [CAPITAL + (CAPITAL X TAXA DE JUROS ], ou M [C + (C x i ] C (1 + i Assim, teremos para cada período o acréscimo da série ( 1 + i, que o osso caso correspode a (1,02. Veja a tabela seguite. 23
PERÍODO CAPITAL TAXA PERIÓDICA MONTANTE 1 (1,02 10.200,00 2 (1,02(1,02 10.404,00 3 10.000,00 (1,02(1,02(1,02 10.612,08 4 (1,02(1,02(1,02(1,02 10.824,32 5 (1,02(1,02(1,02(1,02(1,02 11.040,81 6 (1,02(1,02(1,02(1,02(1,02(1,02 11.261,62 Poderemos, etão, facilmete deduzir que para períodos teremos vezes repetida a série ( 1 + i. Assim, podemos afirmar que: M C( 1+ i Com esta fórmula, podemos calcular o valor do motate composto para qualquer período, sem ecessidade de seguirmos uma série. Observe os seguites cálculos: No quadro abaixo, utilizamos a hp12c para efetuar os cálculos de forma matemática. M C (1+ i para 2 períodos hp 12 c 10.000 para 3 períodos hp 12 c 10.000 Para 6 períodos hp 12 c 10.000 M,00 1 M,00 1 M,00 1 2 10.000,00 (1+ x 2 [ ][ + ]2[ y 2 10.000,00 (1+ x 2 [ ][ + ]3 [ y ][ x ] 2 3 ][ x ] 10 10.404.612,00,08 2 10.000,00 (1+ 6 11.261,62 x 2 [ ][ + ]6 [ y ][ x ] E a tabela seguite efetuamos os cálculos utilizado o teclado fiaceiro: Tecla/Fução Visor Cometário 00,00[CHS][PV] -10.000,00 Iforma o valor do capital ( pricipal 2[ i ] 2 Iforma a taxa de juros periódica 1[] [FV] 10.200,00 Calcula o motate para o primeiro período 2[] [FV] 10.404,00 Calcula o motate para o segudo período 3[] [FV] 10.612,08 Calcula o motate para o Terceiro período 4[] [FV] 10.824,32 Calcula o motate para o quarto período 5[] [FV] 11.040,81 Calcula o motate para o quito período 6[] [FV] 11.261,62 Calcula o motate para o sexto período RCL[PV][CHS] 10.000,00 Retora o valor pricipal para o visor RCL[FV] 11.261,62 Retora o valor fial para o visor [ %] 12,62 Calcula a taxa efetiva de juros para 6 períodos 24
TAXA NOMINAL, EFETIVA E EQUIVALENTE EM JURO COMPOSTO Também cohecida como taxa cotratada, a taxa omial é aquela represetada sem a capitalização dos juros. Já a taxa efetiva é resultado da taxa omial capitalizada. Quato a taxa equivalete, existe quado mesmo havedo períodos de capitalização diferetes a aplicação da taxa de juros sobre um capital produzirem valores de juros proporcioais. A fórmula que calcula a taxa equivalete é represetada da seguite forma: Ieq d c [( 1+ i 1] x c Ode: d Período Desejado, c Período Cohecido e i c Taxa do Período Cohecido. Exemplos: Cosidere uma liha do tempo, coforme a tabela abaixo, com 12 meses (períodos. 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 Vamos cosiderar duas situações: 1. Se a taxa efetiva aual for de 12% a.a., em cada mês deveremos ter uma taxa meor do que 1%. a Três meses: Ieq 12 12 [( 1+ 1] x 3 2,87% b Seis meses: Ieq 12 12 [( 1+ 1] x 6 5,83% c Doze meses Ieq 12 12 12 [( 1+ 1] x 12,00% 2. Se a taxa omial aual for de 12% a.a., cada período terá uma taxa de 1% que capitalizada resultará em 12,68% a.a. a Três meses: Ieq 1 1 [( 1+ 1] x 3 3,03% b Seis meses: c Doze meses: 6 1 1 Ieq [( 1+ 1] x 6,15% 12 1 1 Ieq [( 1+ 1] x 12,68% 25
CÁLCULO DE TAXAS EQUIVALENTES COM A hp12c Para que possamos facilitar os cálculos a hp12c, vamos impostar um programa que relacioa as taxas de juros omial, efetiva e equivalete, coforme abaixo: Tecla Utilizada Visor da Calculadora comum Visor da Calculadora Platium Sem programação g9 P- 08 r - 20 g9 P- 008 r - 20 [f][p/r][f][prgm] 00-000- [1] 01-1 001-1 [eter] 02-36 002-36 [eter] 03-36 003-36 [RCL][i] 04-45 12 004-45 12 [%] 05-25 005-25 [+] 06-40 006-40 [RCL][PV] 07-45 13 007-45 13 [RCL][FV] 08-45 15 008-45 15 [tecla de divisão] 09-10 009-10 [ y x ] 10-21 010-21 [ %] 11-24 011-24 [g][gto] [0][0] 12-43.33 00 011-24 f[p/r] 0,00 (Cocluído 0,00 (Cocluído Com programação g9 P- 15 r - 19 g9 P- 015 r - 20 Devemos cosiderar as fuções para as seguites teclas, que são diferetes quado usadas o modo fiaceiro: TECLA [i] [FV] [PV] [R/S] COMENTÁRIO DA FUNÇÃO Iforma a taxa efetiva para o período cohecido Iforma o prazo a que a taxa [i] se refere. Iforma o prazo em que desejamos cohecer a taxa equivalete Forece a taxa equivalete. Para uma melhor compreesão, efetuamos os cálculos ateriores a tabela abaixo. TAXA [i] PERÍODO CONHECIDO [FV] PERÍODO DESEJADO [PV] TAXA EQUIVALENTE [R/S] 12 12 3 2,87 12 12 6 5,83 12 12 12 12,00 1 1 3 3,03 1 1 6 6,15 1 1 12 12,68 26
Também podemos efetuar algus cálculos utilizado um valor ídice a calculadora. Acompahe os exemplos seguites. Exemplo 1: Determie a taxa de juros efetiva para uma taxa mesal de 2% para 6, 12 e 18 meses. TECLA VISOR COMENTÁRIO,00[CHS][PV] -,00 Itroduz o valor ídice 2[i] 2 Itroduz a taxa de juros 6[] 6 Itroduz a quatidade de períodos [FV] 112,62 12,62 % de Taxa Efetiva 12[] 12 Itroduz a quatidade de períodos [FV] 126,82 26,82 % de Taxa Efetiva 18[] 18 Itroduz a quatidade de períodos [FV] 142,82 42,82 % de Taxa Efetiva Exemplo 2: Determie a taxa mesal que resultou em uma taxa efetiva de 26,82% em 12 meses. TECLA VISOR COMENTÁRIO,00[CHS][PV] -,00 Itroduz o valor ídice 126,82 [FV] 126,82 Itroduz o valor ídice idexado pela taxa 12[] 12 Itroduz a quatidade de períodos i 2 2 % de Taxa Mesal Em outra situação, em que podemos ter taxas distitas por período, precisamos efetuar o cálculo da taxa efetiva (equivalete de forma mecâica, e para isto precisamos utilizar o coceito de fator de taxa. i Fator de Taxa Ft 1+ Exemplo - Uma taxa de juros capitalizada sofreu três alterações sucessivas, de 2%,3% e 5%. Qual o valor efetivo desta taxa? Fator Taxa de Taxa Efetiva 2 3 5 (1+ (1+ (1+ 1,1031 (1 F x (1 1,1031 x 10,313% t 27
PERÍODOS NÃO INTEIROS OU PERÍODO SINGULAR Quado houver a situação de existirem períodos fracioários, ou seja, ão iteiros em uma série fiaceira, podemos represetar graficamete da seguite forma, ode são períodos iteiros e iguais, e k um período fracioário deomiado período sigular, sedo > k. k E aqui ocorre uma iteressate situação, em que o período sigular os juros compostos são meores que os juros simples. Para que possamos eteder o motivo, cosideremos a situação de um capital uitário C1 aplicado durate dois períodos a uma mesma taxa de juros periódica de 10%, uma capitalizada e a outra ão. E para cada período efetuaremos a divisão em 03( três partes. Assim, teremos: Período Juros Simples M C (1 + i x Juros Compostos M C ( 1+i 0,1 M1(1+0,10 x 0,1 1,010 M 1 ( 1+ 0,10 0,1 1,00960 0,5 M1(1+0,10 x 0,5 1,050 M 1 ( 1+ 0,10 0,5 1,04881 1,0 M1(1+0,10 x 1,0 1, M 1 ( 1+ 0,10 1,0 1,00 1,1 M1(1+0,10 x 1,1 1,110 M 1 ( 1+ 0,10 1,1 1,11053 1,5 M1(1+0,10 x 1,5 1,150 M 1 ( 1+ 0,10 1,5 1,15369 2,0 M1(1+0,10 x 2,0 1,200 M 1 ( 1+ 0,10 2,0 1,20 Simples Composto 0,1 0,5 1,0 1,1 1,5 2,0 Assim, podemos observar que em um determiado istate as duas são iguais umericamete. Este istate é o 1 em que os juros simples e compostos são iguais, e podemos provar, através da seguite maipulação algébrica, que : < 1 Juros 1 Juros > 1 Juros Simples> Juros Simples Juros Simples< Juros Compostos Compostos Compostos 28
E certamete Curso de Matemática Fiaceira com a Calculadora hp12c M C(1+ i. Juros Simples M C(1+ i 1 Juros Compostos M( 1 C(1+ i.1 C(1+ i 1 C(1+ i Desta forma, teremos duas possibilidades de calcularmos os juros detro do período sigular. a Coveção Liear: utilizado juros simples. Na calculadora hp12c, deveremos retirar do visor a letra c. b Coveção Expoecial: utilizado juros compostos. Na calculadora hp12c, deveremos ter o visor a letra c. Observação: para icluirmos ou retirarmos a letra c do visor da calculadora, devemos digitar em seqüêcia as teclas [STO][EEX]. Exemplo Calcule o valor para liquidar um fiaciameto bacário de R$3.000,00 por um prazo de 110 dias, com uma taxa de juros mesal de 5% a.m. com capitalização mesal. Solução: Para efetuarmos o cálculo algebricamete, vamos dividir o problema em três partes. a Calcular o motate para 3 períodos iteiros com capitalização mesal: 5 M C (1+ i 3.000,00 x (1+ 3.000,00 [ CHS ][ PV ]5[ i ]3[ ][ FV ] 3 3.472,88 b Coveção Liear: Acrescetar o valor referete aos 20 dias do período sigular como juros simples. (Tire a letra c do visor da hp12c 5 20 M LINEAR C(1+ it 3.472,88(1+ x 3.588,64 30 3.000,00[ CHS][ PV]110 30 [ ]5[ i][ FV] c Coveção Expoecial: Acrescetar o valor referete aos 20 dias do período sigular como juros compostos. (Iclua a letra c o visor da hp12c 20 EXPONENCIA 5 30 M L C( 1+ i 3.472,88x(1+ [ STO ][ EEX ][ FV ][ FV ] 3.587,69 Observe que cosideramos os dados já impostados o item b. 29
DESCONTO COMPOSTO BANCÁRIO, COMERCIAL OU POR FORA Trata-se do motate resultate de um descoto composto, que é calculado através da descapitalização efetuada sobre um valor futuro, ode: V é o valor omial do título ( valor fial. i é a taxa de juros periódica da operação. é prazo da operação, cotedo o úmero de períodos da operação. Represetado graficamete, teremos: V M O valor do descoto composto será calculado da seguite forma, similarmete ao descoto simples, ode: M t V (1 i. t 1 M V (1 i Assim, teremos para cada período o decréscimo da série (1 - i. Poderemos, etão, facilmete deduzir que para períodos teremos vezes repetida a série ( 1 i. Assim, podemos afirmar que: M V ( 1 i c 30
Exemplo: Vamos calcular o valor do descoto para uma duplicata de R$ 5.000,00 vecível o dia 31/12 e que desejamos quitar o dia 01/10. A taxa de juros iformada é de 30% a.a. Solução: Etre as datas cosideradas temos 3 meses, ou seja, 3 períodos iteiros. Desta forma, calculamos: Nota: utilizamos o juro egativo a hp12c em fução do sial aplicado a fórmula. Graficamete, teremos: 30 3 M V(1 i 5.000,00(1 4.634,30 12x 5.000,00[ CHS ][ PV ]30 12 [ CHS ][ i]3[ ][ FV ] OU 5.000,00[ CHS ][ PV ]30[ CHS ] g[ i]3[ ][ FV ] R$5.000,00 01/10 31/12 R$4.634,30 TAXA DE JUROS EFETIVA PARA DESCONTO COMPOSTO BANCÁRIO Na situação do descoto composto comercial, a taxa de juros periódica é uma taxa omial, razão pela qual devemos primeiramete trasformá-la em efetiva para posteriormete buscarmos a taxa equivalete da operação. i 2,5 Ie x x 2,5641% ( i ( 2,5 d c 2,5641 3 Ieq [(1+ i c 1] x [(1+ 1] x (5.000,00 4.634,30 Ieq x 7,8912% 4.634,30 7,8912% 31
DESCONTO COMPOSTO RACIONAL OU POR DENTRO Trata-se do motate resultate de um descoto composto, que é calculado através da descapitalização efetuada sobre um valor futuro, ode: Vr é o valor racioal do título ( valor iicial. i é a taxa de juros periódica da operação. é prazo da operação, cotedo o úmero de períodos da operação Relacioado matematicamete, teremos: M V ( 1+ i Exemplo: Calcular o valor do descoto racioal para uma duplicata de R$5.000,00 vecível o dia 31/12 e que desejamos quitar o dia 01/10. A taxa de juros iformada é de 30% a.a. Solução: Etre as datas cosideradas temos 3 meses, ou seja, 3 períodos iteiros. Desta forma, calculamos: r r Mr 5.000,00 Mr Vr(1+ i Vr (1+ i 30 (1+ 12x 5.000,00[ CHS][ FV ]3[ ]30g[ i][ PV ] 3 4.643,00 Graficamete, teremos: R$5.000,00 01/10 31/12 R$4.643,00 TAXA DE JUROS EFETIVA PARA DESCONTO COMPOSTO RACIONAL Na situação do descoto composto racioal, a taxa de juros periódica é uma taxa efetiva. Portato, para obtermos a taxa equivalete da operação, basta aplicarmos a fórmula da taxa equivalete. Ieq [(1 + d c 2,5 3 ic 1]x [(1 + 1]x 7,6981% 32
COMENTÁRIOS SOBRE LOGARITMOS O logaritmo é a fução iversa da fução expoecial. As pricipais propriedades, e as mais utilizadas em matemática fiaceira, são: b a log( axb log a + logb log( a b log a x log a log a logb log a b x Porém, a hp12c temos apeas o logaritmo atural (base e. Podemos utilizar esta base para os cálculos, mas se desejarmos calcular a base 10, ecessitamos efetuar a seguite operação: 1 ª - Calculamos o logaritmo atural do úmero x cotido o visor.{ g[ln](x}. 2 ª - Pressioamos 10 g[ln] Exemplo: Calcule o logaritmo a base 10 dos úmeros da tabela abaixo. Número Logaritmo a base 10 2 2 g[ln]10 g[ln] f[6] 0,301030 10 10 g[ln]10 g[ln] f[6] 1,000000 1,05 1,05 g[ln]10 g[ln] f[6] 0,021189 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 1. Cosiderado juros compostos, calcule o prazo em que um capital de R$10.000,00 dobrará de valor com uma taxa de 5% ao período? Solução : 5 M C(1+ i 20.000,00 10.000,00(1+ 2 1,05 log2 0,301030 log2 log1,05 log1,05 14,21 log1,05 0,021189 Ode 14 correspode a 14 períodos e 21 a 21% de um período. Com a hp12c, podemos calcular o valor iteiro mais próximo da seguite forma, utilizado o teclado fiaceiro. 20.000,00[FV] 10.000,00[CHS][PV] 5[i] [] 15 períodos 33
2. Cosiderado juros compostos, calcule a taxa de juros ecessária para que uma aplicação fiaceira de R$5.000,00 com prazo de 10 meses dobre de valor. Solução: M C (1+ i 10.000,00 10 10 10 2 (1+ i 1,071773 i 0,071773 x 7,18 % 5.000,00 (1+ i 10 2 (1+ i i 1,071773 (1+ i 10 1 0,071773 Com a hp12c, podemos calcular a taxa utilizado o teclado fiaceiro: 5.000,00[CHS][PV] 10.000,00[FV] 10[] [i] 7,18 3. Calcule o valor racioal descotado de um título cujo valor é de R$10.000,00, a taxa de juros omial aual é de 72% ao ao, e o prazo de atecipação é de 75 dias. Qual é a taxa efetiva para o prazo da operação: Mr Vr(1+ i 10.000,00 Vr(1+ 72 12 x 8.644,41 10.000,00 8.644,41 72 Ie x 15,68% Ie [(1+ 8.644,41 12x Com a hp12c, podemos calcular o motate da seguite forma: 1] x 15,68% 10.000,00[FV] 72 [g] [i] 75 30 [ ] [] [PV] - 8.644,41 Observe que impostamos o prazo [] como uma fração o teclado fiaceiro, e obtivemos o resultado diretamete. Já o exemplo 1 desta série, a resposta para o prazo [] foi forecida como um úmero iteiro (aproximado. Já a taxa efetiva da operação pode ser calculada da seguite forma: 8.644,41 10.000,00 [ %] 15,68 % 4. Calcule o valor atual de um título o valor de R$15.000,00 cosiderado uma taxa de descoto composto de 60% ao ao, com capitalização mesal, cosiderado uma atecipação de 130 dias. Calcule a taxa efetiva mesal. 60 Mc V(1 i 15.000,00(1 12x 15.000,00 12.010,48 Ie x 24,89% 12.010,48 Ie( mesal 5 Podemos efetuar o cálculo do motate utilizado o teclado fiaceiro, impostado a taxa de juros egativa e o prazo sob forma fracioária. 15.000,00 [CHS][PV] 60[CHS]g[i] 130 30[ ] [] [FV] 12.010,48 Cálculo da taxa efetiva da operação: [RCL][PV][CHS][ %] 24,89 Ou de outra forma: 12.010,48 15.000,00 [ %] 24,89 130 30 75 30 Vr 12.010,48 5,263 x 5,263% Ie [(1+ 5 130 30 75 30 1] x 24,89% 34
SÉRIES UNIFORMES DE PAGAMENTO, ANUIDADES OU RENDA CERTA Ao cosiderarmos uma sucessão de pagametos ou recebimetos, com prazo prédetermiado, período iguais e valores costates, temos o coceito que é mais cohecido como Reda Certa, pela sua uiformidade. Quato a forma de pagameto, podem ser atecipadas ou postecipadas. Utilizaremos dos exemplos seguites para itroduzir os coceitos e as fórmulas, torado mais prática a compreesão. Exemplo 1: Ao efetuar a aquisição de um bem de cosumo o valor de R$1.000,00, você cocordou em pagar 3 prestações sem etrada cosiderado uma taxa de juros aual de 60%. Calcule o valor da prestação mesal fixa, e os ecargos decorretes do fiaciameto. Solução: Visualize a operação através do gráfico: Para 3 parcelas Vf1.000,00 Como podemos observar o gráfico, os valores dos pagametos periódicos devem ser rigorosamete iguais. A fórmula a ser utilizada esta situação é a seguite: P [1 Vfxi (1 + i ] Vf Px [1 (1 + i i ] Substituido, teremos: P 5 1.000,00 x 5 3 [1 (1+ ] 367,21 Portato, efetuaremos 3 pagametos iguais de R$367,21. Este tipo de série é mais cohecido como Sistema Price de Fiaciameto sem etrada, e se trata de uma Série Uiforme de Pagameto Postecipada. E possui a característica de em cada parcela efetuar o pagameto itegral dos juros sobre o saldo devedor, coforme a tabela seguite: Parcela Saldo Juros Pagos (5% s/saldo Devedor Cap. Amortizado 367,21 1.000,00 (5%s/1.000,0050,00 (367,21-50,00317,21 367,21 682,79 50,00+34,14(5%s/682,7984,14 (367,21-34,14333,07 367,21 349,72 84,14+17,49(5%s/349,72101,63 (367,21-17,49349,72 35
Acompahe a seguite seqüêcia de cálculos pela hp12c TECLA VISOR COMENTÁRIO 0,00[CHS][PV] - 1.000,00 Itroduz o valor fiaciado 60 [g] [i] 5 Itroduz a taxa de juros periódica 3[] 3 Itroduz a quatidade de parcelas [PMT] 367,21 Calcula o valor da parcela 1[f][amort] 50,00 Calcula o valor dos juros pagos a 1ª parcela [R ] 317,21 Calcula o valor do capital pago a 1ª parcela [RCL][PV] - 682,79 Saldo devedor após o pagameto da 1ª parcela 0,00[CHS][PV] - 1.000,00 Recompõe o saldo devedor 2[f][amort] 84,14 Calcula o valor dos juros pagos até a 2ª parcela [R ] 650,28 Calcula o valor do capital pago até a 2ª parcela [RCL][PV] - 349,72 Saldo devedor após o pagameto da 2ª parcela 0,00[CHS][PV] - 1.000,00 Recompõe o saldo devedor 3[f][amort] 101,63 Calcula o valor dos juros pagos até a 3ª parcela [R ] 1.000,00 Calcula o valor do capital pago até a 3ª parcela [RCL][PV] 0,00 Saldo devedor após o pagameto da 3ª parcela Visualize o gráfico abaixo a distribuição do valor dos juros e do capital. 3a. Parcela 17,49 349,72 367,21 2a. Parcela 34,14 333,07 367,21 1a. Parcela 50,00 317,21 Juros Capital Parcela 367,21 Podemos também calcular o valor dos juros e capital pagos em cada parcela, sem acumulação, através do seguite método TECLA VISOR COMENTÁRIO 0,00[CHS][PV] 60 [g] [i] 3[] [PMT] Calcula o valor da prestação 1[f][amort] 50,00 Juros a 1 ª Parcela [R ] 317,21 Capital pago a 1 ª Parcela 1[f][amort] 34,14 Juros a 2 ª Parcela [R ] 333,07 Capital pago a 2 ª Parcela 1[f][amort] 17,49 Juros a 3 ª Parcela [R ] 349,72 Capital pago a 3 ª Parcela 36
Exemplo 2: Ao efetuar a aquisição de um bem de cosumo o valor de R$1.000,00, você cocordou em pagar 3 prestações com etrada cosiderado uma taxa de juros aual de 60%. Calcule o valor da prestação mesal fixa. Solução: Vamos primeiramete visualizar a operação através do gráfico: Para 3 parcelas Vf1.000,00 Como podemos observar, os valores dos pagametos e os períodos devem ser rigorosamete iguais. A fórmula a ser usada esta situação é a seguite: P 5 1.000,00x Vfxi {[ 1 (1+ i ][1+ i]} 5 3 {[1 (1+ ][1+ 5 ]} 349,72 Portato, efetuaremos 3 pagametos iguais de R$349,72. Este tipo de série é mais cohecido como Sistema Price de Fiaciameto com etrada, e se trata de uma Série Uiforme de Pagameto Atecipada. TECLA VISOR COMENTÁRIO g[beg] BEGIN Iforma que a série é atecipada 1.000,00[CHS][PV] -1.000,00 Itroduz o valor fiaciado 60 [g] [i] 5 Itroduz a taxa de juros periódica 3[] 3 Itroduz a quatidade de parcelas [PMT] 349,72 Calcula o valor da parcela g[end] Retora a máquia para a situação de série postecipada. Porém, observe que, a prática, ao efetuar a primeira parcela o ato da realização da operação fiaceira, você pode cosiderar este valor como uma etrada, abatedo desta maeira o saldo devedor a ser fiaciado. Assim, se deduzirmos do valor fiaciado de R$1.000,00 a parcela de R$349,72, teremos um ovo saldo devedor de R$650,28. Calculado para a ova série, teremos 5 650,28 x P 5 [1 (1+ 2 ] 349,72 37
Utilizado a calculadora hp12c TECLA VISOR COMENTÁRIO 650,28[CHS][PV] - 650,28 Itroduz o valor fiaciado 60 [g] [i] 5 Itroduz a taxa de juros periódica 2[] 2 Itroduz a quatidade de parcelas [PMT] 349,72 Calcula o valor da parcela Exemplo 3: Ao efetuar depósitos mesais de R$500,00 em uma aplicação fiaceira, com redimetos previstos de 1%a.m. e capitalização mesal, você deseja saber ao fial do 5º mês qual será o valor atualizado. Solução: Pela sistemática das aplicações fiaceiras, temos aqui a situação de uma Série Uiforme de Depósitos Postecipada, ou seja, os redimetos serão creditados sempre ao fial do período. PR$500,00, i 1% am 1 2 3 4 5 6 MR$3.076,01 A fórmula utilizada é a seguite, ressaltado que o 6º mês o depósito ão é capitalizado por ser uma Série Postecipada: M Px[( 1+ i 1] i Aplicado os dados, teremos: Utilizado a calculadora Px[(1+ i M i 1 500,00x[(1+ 1] 1 6 1] 3.076,01 TECLA VISOR COMENTÁRIO 500,00[CHS][PV] - 500,00 Itroduz o valor do 1º depósito 500[CHS][PMT] - 500,00 Itroduz o valor dos depósitos mesais 5[] 5 Itroduz a quatidade de depósitos mesais 1[i] 1 Itroduz a taxa de juros. [FV] 3.076,01 Calcula o valor fial. 38
Desafio : que tal resolver este problema sem utilizar a tecla [PV]? TECLA VISOR COMENTÁRIO [] Itroduz a quatidade de depósitos mesais 1[i] 1 Itroduz a taxa de juros. [FV] 3.076,01 Calcula o valor fial. Exemplo 4: Ao efetuar um depósito iicial de R$5.000,00 e mais 6 depósitos mesais de R$500,00 em uma aplicação fiaceira, com redimetos previstos de 1% a.m. e capitalização mesal, você deseja saber ao fial do 6º mês qual será o valor atualizado. Solução: Como podemos observar através do gráfico abaixo, a ossa série de depósitos ão é uiforme, porém os redimetos serão creditados sempre ao fial do período. CR$5.000,00 PR$500,00, i1% 1 2 3 4 5 6 MR$8.383,61 Desta forma, podemos dividir a solução em duas etapas. Primeira etapa: Cosiderado os 6 depósitos iguais, do 2º ao 7º depósito, voltaremos a situação do exemplo 2, ode obtemos o valor de R$3.076,01. Seguda etapa: Cosiderado o valor de R$5.000,00, sedo capitalizado durate 6 meses, teremos através da fórmula do motate composto: M C (1+ i 5.000,00 (1+ 1 6 5.307,60 Assim, se somarmos os dois resultados, da 1 ª e 2 ª etapa,teremos o valor de R$8.383,61. Efetuado os cálculos pelo teclado fiaceiro da hp12c TECLA VISOR COMENTÁRIO 5.000,00[CHS][PV] - 5.000,00 Itroduz o valor do 1º depósito 500[CHS][PMT] - 500,00 Itroduz o valor dos depósitos mesais 6[] 6 Itroduz a Quatidade de depósitos mesais 1[i] 1 Itroduz a taxa de juros. [FV] 8.383,61 Calcula o valor fial. 39
Exemplo 5: Para que você atija o valor de R$10.000,00 após 6 meses, partido de um depósito iicial de R$3.000,00 e supodo uma taxa mesal de 2%, quato deve ser depositado mesalmete? Primeira etapa: Cosiderado o valor de R$3.000,00 sedo capitalizado durate 6 meses, teremos através da fórmula do juro composto: M C(1+ i 3.000,00(1+ 2 6 3.378,49 Portato, faltam R$10.000,00 R$3.378,49 R$ 6.621,51 para completar o motate. Seguda etapa: Cosiderado os seis depósitos iguais, do 2º ao 7º depósito M Px[(1+ i i 1] P Mxi [(1+ i 1] 6.621,51x [(1+ 2 6 2 1] 1.049,68 Portato, com R$1.049,68 mesais de depósito chegaremos ao motate de R$10.000,00. Veja como efetuar os cálculos a hp12c e o gráfico. TECLA VISOR COMENTÁRIO 3000,00[CHS][PV] -3.000,00 Itroduz o valor do 1º depósito 10.000,00[FV] 10.000,00 Itroduz o valor fial que desejamos atigir 2[i] 2 Itroduz a taxa de juros. 6[] 6 Itroduz a quatidade de parcelas [PMT] 1.049,68 Calcula o valor do depósito mesal. CR$3.000,0 0 PR$1.049,68 1 2 3 4 5 6 MR$10.000,0 0 40
TABELAS FINANCEIRAS Como podemos perceber os cálculos sempre são feitos utilizado calculadoras. Porém, a ausêcia desta, para facilitar podemos efetuar o uso de tabelas fiaceiras que miimizam os cálculos e auxiliam o etedimeto. Utilizaremos a seguite omeclatura: [i ] que os forecem os valores associados de taxa e prazo, com seis casas decimais, e vamos trabalhar com a Série Uiforme de Amortizações (Tabela PRICE. P [1 Vfxi (1 + i ] Vf Px [1 (1+ i i ] [ i ] [1 (1+ i i ] P Vfx [ i ] Vf P [ i ] i / 1,00% 2,00% 3,00% 4,00% 5,00% 6,00% 1 1,000 1,020000 1,030000 1,040000 1,050000 1,060000 2 0,507512 0,515050 0,522611 0,530196 0,537805 0,545437 3 0,340022 0,346755 0,353530 0,360349 0,367209 0,374110 4 0,256281 0,262624 0,269027 0,275490 0,282012 0,288591 5 0,206040 0,212158 0,218355 0,224627 0,230975 0,237396 6 0,172548 0,178526 0,184598 0,190762 0,197017 0,203363 7 0,148628 0,154512 0,160506 0,166610 0,172820 0,179135 8 0,130690 0,136510 0,142456 0,148528 0,154722 0,161036 9 0,116740 0,122515 0,128434 0,134493 0,140690 0,147022 10 0,105582 0,111327 0,117231 0,123291 0,129505 0,135868 11 0,096454 0,102178 0,108077 0,114149 0,120389 0,126793 12 0,088849 0,094560 0,462 0,106552 0,112825 0,119277 Exemplo: Para 5% e 10 parcelas teremos um multiplicador fixo de 0,129505 sobre o valor de capital. Para R$10.000,00, teremos R$1.295,05 Esta tabela pode ser costruída facilmete com a utilização da hp12c. Apeas devemos cosiderar um valor uitário como o valor pricipal, e iformarmos as taxas e prazos que queremos calcular. TECLA VISOR FUNÇÃO 1[CHS][PV] -1 Valor Pricipal 10[] 10 Prazo ( períodos 5[i] 5 Taxa de Juros [PMT]f[6] 0,129505 Multiplicador fixo 41