Note bem: a leitura destes apotametos ão dispesa de modo algum a leitura ateta da bibliografia pricipal da cadeira TÓPICOS Subespaço. ALA Chama-se a ateção para a importâcia do trabalho pessoal a realizar pelo aluo resolvedo os problemas apresetados a bibliografia, sem cosulta prévia das soluções propostas, aálise comparativa etre as suas resposta e a respostas propostas, e posterior exposição juto do docete de todas as dúvidas associadas. Subespaço gerado. Base e dimesão. Mudaça de base.. Subespaço, Base e Dimesão... Subespaço. Seja E um espaço vectorial sobre um corpo K. Qualquer cojuto ão vazio E que seja fechado relativamete à soma vectorial e ao produto escalar desiga-se por subespaço vectorial de E. Ou seja: Se é um subcojuto ão vazio de um espaço vectorial E sobre um corpo K, dizemos que é um subespaço de E se:. u e v pertecetes a, w u + v pertece a.. u pertecete a e K, u pertece a. Saliete-se que o fecho relativamete ao produto escalar implica que todos os subespaços cotêm o vector ulo (basta cosiderar em.).. Num espaço vectorial E sobre um corpo K, { } e E são subespaços vectoriais (desigados por subespaços triviais).. O cojuto das fuções poliomiais de grau igual ou iferior a P, é um subespaço vectorial do cojuto das fuções poliomiais sem restrição de grau P.. O cojuto das fuções poliomiais sem restrição de grau P (dado que todas as fuções poliomiais são difereciáveis) é um subespaço vectorial do cojuto das fuções ifiitamete difereciáveis em R, C.. O cojuto das fuções ifiitamete difereciáveis, C, é um subespaço vectorial do cojuto de fuções cotiuamete difereciáveis até à ordem, C. 5. O cojuto de fuções cotiuamete difereciáveis até à ordem, C, é um subespaço vectorial do cojuto de fuções com primeira derivada cotíua, C. 6. O cojuto de fuções com primeira derivada cotíua, C, dado que todas as fuções difereciáveis são cotíuas, é um subespaço vectorial do cojuto de fuções Prof. Isabel Matos & José Amaral ALGA A - 8--8
S B E S P A Ç O, B A S E E D I M E N S Ã O cotíuas C. O cojuto das fuções cotíuas em R, C, é um subespaço vectorial do cojuto de fuções defiidas para todos os valores reais F ( R). 7. O cojuto dos iteiros, Z, ão é um espaço vectorial sobre R, dado que ão é fechado para a multiplicação escalar: o produto de qualquer escalar ão iteiro por um iteiro ão é um iteiro. 8. R ão é um subespaço de R, dado que R é um cojuto de pares ordeados, e portato ão é um subcojuto de R, que é o cojuto de teros ordeados de ( xy,,): xy, R é um subespaço de R. úmeros reais. No etato, o plao { }.. Subespaço gerado. Se é um subespaço de um espaço vectorial E, dizemos que os vectores u, u,, u geram, ou que V { u, u,, u} é um cojuto de geradores de, se qualquer vector de é combiação liear de u, u,, u. Dizemos que é o subespaço gerado por u, u,, u e escrevemos L( u, u,, u) ou < u, u,, u >. Ou seja, o cojuto de todas as combiações lieares de um cojuto de vectores V { u, u,, u} E é um subespaço vectorial de E desigado por subespaço gerado por V. 9. Em R, o subespaço gerado pelo cojuto de vectores V { e, e, e, e}, com e (,,,), e (,,, ), e (,,, ) e e (,,, ) é coicidete com R. Escrevedo um qualquer vector u x, x, x, ) como combiação liear de e, e, e e e, temos x x x x u e ( x + e + e + e A resolução do sistema é imediata, dado que a matriz já está a forma escaloada reduzida. Cocluímos que o sistema é possível e determiado para quaisquer valores de x, x, x e x. Assim, o subespaço gerado por e, e, e e e é costituído por u x x x sem restrições, ou seja, é coicidete com todos os vectores [ ] T R x L((,,, ),(,,, ),(,,, ),(,,,)) R. O espaço das fuções poliomiais de grau meor ou igual a, P, é gerado pelo cojuto de vectores P {, xx,, x} dado que, por defiição, P é o cojuto de fuções poliomiais da forma fx ( ) a+ bx+ cx + dx, ou seja, o cojuto de todas as possíveis combiações lieares dos vectores do cojuto P. Prof. Isabel Matos & José Amaral ALGA A - 8--8
S B E S P A Ç O, B A S E E D I M E N S Ã O.. Base e dimesão. Se é um subespaço vectorial de E, dizemos que o cojuto de vectores { u, u,, u} é uma base de se:. é um cojuto de geradores de. é liearmete idepedete. Se é um subespaço vectorial de E e { u u u },,, é uma base de, prova-se que todas as bases de têm o mesmo úmero de elemetos. A dimesão de, dim( ), é o úmero de elemetos de uma qualquer base de. Se dim( ), qualquer cojuto de vectores liearmete idepedetes pertecetes a é uma base de, e qualquer cojuto de mais de vectores de é liearmete depedete. m espaço vectorial pode ter um úmero ifiito de vectores liearmete idepedetes (isto é, existem cojutos liearmete idepedetes com tatos vectores quatos quisermos), como é o caso da maioria dos espaços de fuções, dizedo-se etão um espaço de dimesão ifiita. R, o cojuto de vectores { }. Para além de gerar V e, e, e, e é liearmete idepedete, dado que a equação e + e + e + e só possui a solução trivial. Temos e + e + e + e O sistema é sempre possível, admitido apeas a solução trivial [ ] T [ ] T, logo os vectores são liearmete idepedetes. Dado que geram R e são liearmete idepedetes, os vectores e (,,, ), e (,,,), e (,,, ) e e (,,, ) são uma base de R. Todas as bases de R têm vectores, ou seja, R tem dimesão, dim( R ). Qualquer cojuto de vectores liearmete idepedetes pertecetes a R é uma base de R, e qualquer cojuto de mais de vectores é liearmete depedete. Os vectores e, e, e e e formam a base caóica de R.. Os vectores e (, ), e (, ), geram R e são liearmete idepedetes. Formam a base caóica de R. Os vectores e (,, ), e (,, ), e (,, ) geram R e são liearmete idepedetes. Formam a base caóica de R. Os vectores e (,,,), e (,,,),..., e (,,,) geram R e são Prof. Isabel Matos & José Amaral ALGA A - 8--8
S B E S P A Ç O, B A S E E D I M E N S Ã O liearmete idepedetes. Formam a base caóica de dim( R ). R. Assim, N,. O cojuto de vectores Figura. {,,,, xx x } P costitui a base caóica do espaço das fuções poliomiais de grau meor ou igual, P. Por isso, dim( P ) +.. P é um exemplo de um espaço de fuções de dimesão fiita. O espaço de fuções poliomiais sem restrição de grau, P, é um espaço de dimesão ifiita, visto que {, xx,,, x } é liearmete idepedete N. O espaço das fuções cotíuas C tem dimesão ifiita. Não há ehum cojuto fiito de vectores que seja base desse espaço. 5. O cojuto de vectores { + xx, + x,+ x } P sedo, como vimos, liearmete idepedete e em úmero igual à dimesão do espaço de fuções poliomiais de grau meor ou igual a, costitui uma base de P. 6. Defie-se o sial impulso uitário discreto por δ [ ],,, Z Qualquer sial discreto pode exprimir-se como combiação liear, ifiita, do sial impulso uitário [ ] α δ[ ] x, com α C. O espaço de siais discretos, x : Z C, tem dimesão ifiita, visto que as fuções ( δ[ ] ), m, são liearmete idepedetes m N. 7. O espaço de siais discretos, x : Z C, de duração limitada, [,, N ], tem dimesão fiita N. O cojuto de vectores { [ ], [ ],, [ N ] } δ δ δ + costitui uma base de siais discretos de duração limitada N. Qualquer sial discreto de dimesão N pode exprimir-se como combiação liear, fiita, do sial impulso uitário, com α C. N [ ] α δ[ ] x Prof. Isabel Matos & José Amaral ALGA A - 8--8
S B E S P A Ç O, B A S E E D I M E N S Ã O.. Mudaça de base. Sedo { u, u,, } e { w, w,, } u w duas bases de um subespaço de E, um qualquer vector do subespaço, v, expresso a base e a base, respectivamete, e Figura. v a u + a u + + a u v b w + b w + + b w tem coordeadas úicas em cada uma das bases, [ v] [ a, a,, a ] [ v] [ b, b,, b ] T e relacioadas por uma matriz quadrada ivertível, M, chamada matriz de mudaça de base, [ v] M [ v ] [] v M [] v M [] v A matriz de trasição da base para a base é dada por ] i M [[ w ] [ w ] [ w ] ] em que [ w é o vector colua das coordeadas do vector w i a base. R, cosideremos a base caóica { e, e} e e e w e e v + 8. Em w +, e o vector w w. E e a base { w, w } T, com Cosideremos o problema de, sedo cohecida a represetação de v a base, ecotrar a represetação de v a base E Dado que e resulta v w w [ v] [ v] E e + e w e e + e + w + e Prof. Isabel Matos & José Amaral ALGA A - 5 8--8
S B E S P A Ç O, B A S E E D I M E N S Ã O, que é a resposta procurada (como podemos verificar a figura). De outro modo, poderíamos ter em ateção que, sedo e etão pelo que [ e ] w e [ e ] w e [ w w ] [ e ] e v w [ w w ] e + w + e Ou aida, atededo ao coceito de matriz de mudaça de base, sedo cohecido w e + e e w e e, e v w + w, temos simplesmete [ v] M [ v] [ w ] [ w ] [] v E E pelo que E v E e + e Prof. Isabel Matos & José Amaral ALGA A - 6 8--8