Prof. Fernando Porto Disciplina: Camada Limite Fluidodinâmica Camada Limite Incompressível Laminar: Escoamento de Fluidos ao Redor de Corpos Submersos 4ª Parte
Introdução Se o corpo estiver se movendo através de um fluido viscoso, tanto forças de cisalhamento quanto de pressão agem sobre ele. A força resultante pode ser decomposta em componentes paralela (denominada de força de arrasto) e perpendicular (força de sustentação) à direção do movimento. Entretanto, somente em alguns poucos casos a sustentação e o arrasto podem ser determinados sem recorrer a ensaios experimentais, isto porque a separação de escoamento impede a determinação analítica das forças atuantes sobre o corpo.
Arrasto O coeficiente de arrasto C D é definido como C = A força de arrasto total é a soma do arrasto de atrito e do arrasto de pressão, mas para um fluxo incompressível, o coeficiente de arrasto é uma função apenas do número de Reynolds. F 2 ρv A
Arrasto de Atrito: Placa Plana Paralela ao Fluxo Como não há gradiente de pressão, não há força de sustentação, somente de atrito. F = τ da SP: superfície da placa w : tensão de cisalhamento na superfície; w é o mesmo que 0 C = τ da 2 ρv A A: área total de superfície em contato como o fluido (área molhada) Para escoamento laminar sobre placas planas: τ = 0,664 2 ρu Re
Para demais condições (camada limite turbulenta), as equações já foram desenvolvidas: Obs.: C F (Massey) e C D (Fox) são o mesmo coeficiente.
Na região de transição, o coeficiente de arrasto pode ser aproximado por C = 0,455, 60 log Re Re Equação válida para 5 x 0 5 < Re l < 0 9
Exemplo Seja um navio cargueiro navegando a 3 nós (6,69 m/s). Determinar (a) a força e (b) a potência requerida para vencer o arrasto devido ao atrito superficial. Navio graneleiro MS Berge Stahl O Berge Stahl tem dimensões e desempenho semelhantes aos dados apresentados no exemplo.
Este navio teria 70m de boca (largura), 360m de comprimento na linha d água (comprimento de fora a fora), e 25m de calado médio (profundidade da média dos pontos mais baixos do navio em relação à linha d água). Para facilitar a estimativa, o navio será modelado como uma placa plana, de comprimento L e largura b = B + 2D. O casco do navio se comporta como 3 placas planas: fundo do barco (área = B x L), mais as laterais (área = D x L). Linha d água
Lembrando que: Considerando que pode ser encontrado escoamento laminar assim como turbulento. C = F 2 ρv A C = 0,455, 60 log Re Re Sabe-se (anexo A do livro Fox/McDonald ) que =,37 0-6 m 2 /s. Então Re = Ul ν = 6,69 m s 360m m,37 0 s =,76 0 Assim, assumindo como válida a equação abaixo: C = 0,455 log,76 0, 60 = 0,0047,76 0
C = F 2 ρv A F = C 2 ρv A Lembrando que A = L x (B + 2D), tem-se A = 43.200m 2. A densidade da água do mar pode ser adotada como.020kg/m 3. F = 0,0047 2 020 6,69 43200,45 0 N Potência: Pot = F. V,45 0 6,69 = 9,70 0 W O que corresponde a um motor de cerca de 3.000HP.
Exercício de Fixação Seja o superpetroleiro Seawise Giant navegando a 6 nós (8,23m/s). Determinar (a) a força e (b) a potência requerida para vencer o arrasto devido ao atrito superficial. Modele como uma placa plana com as seguintes dimensões: Comprimento de 458m; boca de 68m e calado de 30m. D = 30 m B = 68 m Linha d água
Superpetroleiro Seawise Giant 98-200 Seawise Giant (979 989), Happy Giant (989 99), Jahre Viking (99 2004), Knock Nevis (2004-2009) e Mont (2009 200).
Arrasto de Pressão: Placa Plana Normal ao Fluxo Nesta situação, a tensão de cisalhamento na superfície não contribui para a força de arrasto. Para esta geometria, o escoamento separa-se a partir das bordas, existindo contrafluxo na esteira. Embora a pressão sobre a superfície posterior da placa seja constante, esta somente pode ser determinada de forma experimental. Esteira
Nesta situação, a tensão de cisalhamento na superfície não contribui para a força de arrasto. Para esta geometria, o escoamento separa-se a partir das bordas, existindo contrafluxo na esteira. Embora a pressão sobre a superfície posterior da placa seja constante, esta somente pode ser determinada de forma experimental. O coeficiente de arrasto para uma placa finita normal ao escoamento depende da razão entre a largura e a altura da placa, e do número de Reynolds, se Re < 000. Razão de aspecto, b/h
Entretanto, o coeficiente de arrasto para objetos de bordas agudas torna-se independente do número de Reynolds quando Re 000: Prisma quadrado Disco Anel Hemisfério (abertura para montante do fluxo) Hemisfério (abertura para jusante do fluxo) Seção C (abertura para montante do fluxo) Seção C (abertura para jusante do fluxo)
Arrasto de Atrito e Pressão: Escoamento sobre Esfera e Cilindro No caso de escoamento sobre uma esfera, tanto o arrasto de atrito como o de pressão contribuem para o arrasto total. Para números de Reynolds menores que, o coeficiente de arrasto pode ser estimado usando: C = 24 Re F = 3πμVd V: velocidade do fluido d: diâmetro da esfera : viscosidade do fluido Para Re >, emprega-se valores obtidos experimentalmente.
Coeficiente de arrasto de uma esfera lisa como função do número de Reynolds
O arrasto por atrito diminui com Re. Quando Re = 000, arrasto por atrito é somente 5% do arrasto total Camada limite na frente da esfera se torna turbulenta. Para 000 < Re < 3 x 0 5, o coeficiente quase constante, atuando praticamente só o atrito por pressão. Até Re < 3 x 0 5, é laminar a camada limite na frente da esfera.
Para Re < 300.000, a camada limite na parte dianteira da esfera é laminar. A separação da camada limite ocorre logo a jusante da metade da esfera. Uma esteira turbulenta relativamente larga está presente à jusante da esfera, proporcionando uma pressão relativamente constante e menor que a pressão à frente da esfera. Esta diferença de pressão é o fator de maior contribuição para o arrasto. Para Re > 300.000, a camada limite se torna turbulenta, e o tamanho da esteira diminui, reduzindo a pressão sobre a esfera. O coeficiente de arrasto diminui abruptamente. Este ponto de transição pode ser alterado consideravelmente em função da rugosidade da esfera e da turbulência do fluxo. Esferas rugosas em fluxo turbulento podem ter a transição por volta de Re = 50.000.
Bolas de golfe são projetadas para voarem com baixo coeficiente de arrasto. As mossas provocam a turbulência da camada limite e com isto provocam a redução do coeficiente de arrasto. Desempenho de bolas com mossa: 97 m Desempenho de bolas lisas: 4 m
Coeficiente de arrasto de um cilindro liso como função do número de Reynolds
Exemplo Uma chaminé com m de diâmetro e 25m de altura está exposta a um vento uniforme de 50km/h (3,9m/s) nas condições de atmosfera padrão ( =,23kg/m 3, =,79 x 0-5 kg/ms). Efeitos de extremidade e de rajadas podem ser desprezados. Estime o momento fletor na base da chaminé devido às forças do vento. 50 km/h
Coeficiente e força de arrasto: C = Como considera-se que a ação do vento seja uniforme sobre todo o comprimento da chaminé, então a força resultante atua no ponto médio da estrutura: M = F L 2 F 2 ρv A F = C 2 ρv A Número de Reynolds: Re = 9,55 x 0 5 Re = ρvd μ =,23 3,9,79 0
C D 0,35 Re = 955.000 Coeficiente de arrasto de um cilindro liso como função do número de Reynolds
Para o cilindro, A = D.L. Logo M = F L 2 = C 2 ρv A L 2 M = 0,35 4,23 3,9 25 M = 3,0kNm
Exercício de Fixação Uma chaminé com 3m de diâmetro na base, m de diâmetro no topo, e 25m de altura está exposta a um vento uniforme de 50km/h (3,9m/s) nas condições de atmosfera padrão ( =,23kg/m 3, =,79 x 0-5 kg/ms). Efeitos de extremidade e de rajadas podem ser desprezados. Estime a força resultante à ação do vento. 50 km/h
Exemplo Um carro de competição de 600lb de massa atinge uma velocidade de 270mph no quarto de milha. Imediatamente após sua passagem pelo temporizador eletrônico, o piloto abre o paraquedas de frenagem, com área de 25pés. Desprezando as resistências do ar e de rolamento do carro, determine o tempo necessário para que o veículo desacelere para 00mph no ar padrão.
Massa:.600 lb = 725,7 kg Velocidade: 270 mph = 434,5 km/h = 20,7 m/s Área do paraquedas: 25 pés = 2,32 m 2 Velocidade final: 00 mph = 60,9 km/h = 44,7 m/s Força e coeficiente de arrasto: C = F 2 ρv A F = C 2 ρv A Força e movimento: F = m. a = m dv dt C 2 ρv A = m dv dt
Integrando: C 2 ρv A = m dv dt C 2m ρadt = dv V C 2m ρa dt = dv V V C 2m ρat = V C V 2m ρat = V + V t = V + V C 2m ρa
Coeficiente de arrasto: Hemisfério (extremidade aberta para o fluxo) C D =,42 Determinando o tempo (considerando m = 725,5 kg) t = V + V C 2m ρa = 44,7 + 20,7 = 5,04s,42 2 725,5,2250 2,32 O veículo demora cerca de 5 segundos para desacelerar até 00 mph.
Bibliografia Robert W. Fox, Alan T. McDonald Introdução à Mecânica dos Fluidos. Rio de Janeiro RJ, 4ª.Ed.; Editora Afijada. ISBN-0: 85260785 ISBN-3: 978-85260786
Bibliografia Massey, B.S. Mecânica dos Fluidos. Lisboa, Portugal, 6ª.Ed.; Editora Fundação Calouste Fulbenkian. ISBN: 972-3-0945-X