INSTITUTO FEDERAL DA BAHIA

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1 Disciplina: Laboratório de Engenharia Química I Período: rev. 1.7 ESTUDO DA VELOCIDADE TERMINAL DE CORPOS EM ESCOAMENTO DESCENDENTE 1. Objetivo Determinar o coeficiente de arraste (C D ) de corpos de um fluido através do escoamento descendente destes objetos neste fluido. 2. Fundamentação Teórica Em muitos temas de mecânica dos fluidos, o fluido move-se sobre um corpo estacionário, outras vezes, um corpo move-se através de um fluido estacionário. Estes dois fenômenos, embora distintos, são equivalentes na análise da mecânica dos fluidos, pois o que importa é o movimento relativo entre o fluido e o corpo. Tais fenômenos onde se estuda o movimento de um corpo em um fluido estacionário são chamados de Escoamentos sobre Corpos ou Escoamentos Externos. 2.1 Aspectos teóricos relacionados ao experimento Quando um corpo é mergulhado dentro de um líquido e sobre ação de seu peso se desloca verticalmente para baixo, três forças principais agem no mesmo: a força peso (W) direcionada para baixo, a força de empuxo (E) direcionada para cima e a força de arraste (F D ) que aponta no sentido contrário ao movimento do corpo. O equacionamento do problema ocorrerá da seguinte forma: W E F D = ma (1) Quando o equilíbrio de forças se estabelece, diz-se que o sistema atingiu seu estado estacionário e o corpo está em descida à velocidade constante, a velocidade terminal (V t ). No experimento que será realizado, a velocidade terminal, o diâmetro e a massa específica do corpo, entre outras propriedades, serão empregados para estimar a viscosidade do fluido no qual ocorre o escoamento. 2.2 Arraste e sustentação Um fluido pode exercer forças e momentos sobre um corpo em várias direções. Quando em repouso, um fluido exerce somente forças de pressão normais à superfície de um corpo imerso nele. No entanto, um fluido em movimento também exerce forças tangenciais de Velocidade Terminal, v Revisão Agosto de 2018 Página 1

2 cisalhamento na superfície por causa de efeitos viscosos. Por exemplo, quando você estende o braço para fora de um carro em movimento, você experimenta uma espécie de empurrão exercido pelo vento em seu braço e que resulta da ação de uma força. A força que resulta da ação de um fluido sobre um corpo na direção do escoamento é chamada de Arraste. Esta força deve-se aos efeitos combinados da pressão e das forças de cisalhamento na superfície do corpo (atrito), na direção do escoamento do fluido. Quando as componentes de pressão e as forças de cisalhamento numa superfície agem na direção normal ao escoamento do fluido, a força resultante recebe o nome de sustentação. 2.3 Coeficiente de Arraste As forças de arraste e sustentação dependem, entre outros parâmetros, da massa específica do fluido, da velocidade à montante V do corpo e do tamanho, forma e orientação do corpo. Um procedimento prático para estimar estas forças é trabalhar com números adimensionais apropriados que representam suas características. No caso da força de arraste, este número é o Coeficiente de Arraste C D, o qual é definido abaixo: C D = F D 1 2 ρ FV²A onde F D é a força de arraste, A é a área frontal do corpo (a área projetada sobre um plano normal à direção do escoamento), F é a massa específica do fluido e V a velocidade à montante do corpo. No estudo dos fatores que caracterizam o arraste sobre os corpos é comum uma análise separada das contribuições referentes ao atrito e à pressão (ou forma). O arraste de atrito é a componente da força de cisalhamento da superfície do corpo na direção do escoamento, portanto, depende da orientação do corpo, bem como da intensidade da tensão de cisalhamento na superfície. O arraste de atrito é zero para uma superfície plana normal (perpendicular) ao escoamento, e máximo para uma superfície plana paralela ao escoamento do fluido. O arraste de pressão é proporcional à área frontal e à diferença entre as pressões que agem na porção frontal e na porção traseira do corpo imerso. Desta forma, o arraste de pressão é dominante em corpos rombudos ( arredondados, bojudos; como cilindros e esferas), e pequeno para corpos carenados. O arraste de pressão torna-se mais significativo quando a velocidade do fluido é muito alta para o fluido seguir a curvatura do corpo e, portanto, o fluido se separa do corpo em algum ponto e cria uma região de pressão muito baixa na parte traseira do corpo e o arraste, neste caso, é devido à grande diferença de pressão entre os lados frontal e traseiro do corpo. (2) Velocidade Terminal, v Revisão Agosto de 2018 Página 2

3 C D = C D,atrito + C D,pressão F D = F D,atrito + F D,pressão (3) A natureza do escoamento afeta significativamente o Coeficiente de Arraste total. O coeficiente de arraste (C D ), em geral, depende do Número de Reynolds do corpo/partícula (Re), especialmente para Re < Com Re mais elevados, C D permanece essencialmente constante para a maioria das geometrias, visto que o escoamento torna-se totalmente turbulento. No entanto, esse não é o caso para corpos arredondados (rombudos). O gráfico a seguir demonstra este comportamento para uma esfera. Neste, verifica-se que estão geralmente definidos três regimes de escoamento em função do número de Reynolds: Re baixo (escoamento lento, Regime de Stokes, Re 1), Re intermediário (1,0 < Re < 1.000) e regime de Newton (10³ < Re < 2 x 10 5 ). Em outra classificação possível, além dos anteriores, comportamentos distintos são ainda verificados para 2 x 10 5 < Re < 4 x 10 5 (escoamento em transição) e valores mais elevados Re 4 x 10 5 (regime turbulento) (Silva, 2006). Figura 1 Comportamento do Coef. de Arraste em função do N. de Reynolds para uma esfera. Fonte: Silva (2006). De um modo geral, tem-se: - A região 1 (Re <1) corresponde ao Regime de Stokes, na qual há domínio de forças viscosas e não se observa separação. Geralmente, C D = 24/Re; - A região 2 (1 < Re < 10³) é caracterizada pelo fato de os efeitos inerciais se tornarem importantes, havendo separação no escoamento e formação de vórtices na região por trás da esfera; Velocidade Terminal, v Revisão Agosto de 2018 Página 3

4 - A região 3 (10³ < Re < 2 x 10 5 ) é caracterizada por apresentar um coeficiente de arraste praticamente constante e igual a 0,44. Esta região é chamada de regime de Newton; - A região 4 (2 x 10 5 < Re < 4 x 10 5 ) é caracterizada porque há transição do regime laminar para o turbulento, com Re crítico em torno de 2 x Observa-se uma queda abrupta no valor de C D, pois o ponto de separação ocorre à jusante do corpo, diminuindo a região de esteira atrás do corpo e, consequentemente, o arraste de forma. - A região 5 (Re > 4 x 10 5 ) caracteriza-se por um crescimento de C D com Re. A seguir, encontra-se a proposta de Loureiro (2013) para equacionar as três primeiras regiões da curva, ou seja, desde o regime de Stokes até o de Newton: Tabela 1 C D em função de Re p para uma esfera para Re < Fonte: Loureiro (2013). Para corpos com área frontal A de escoamento circular, tem-se: F D = C D A ρv² 2 = C D πd p ² ρv² 4 2 = C D πd p ² 8 ρv² (4) A expressão acima, no regime de Stokes, onde C D = 24/Re, permite determinar a força de arraste como sendo: F D = C D πd p ² 8 ρv² = 3πμD pv (5) As distorções causadas da hipótese de creeping flow (Re << 1), efeitos turbulentos desprezíveis, pode ser minimizada por meio da aplicação de correções, como as mostradas no Quadro 1. Estas correções tendem a melhorar a estimativa de C D. Silva (2006) propôs uma equação alternativa a todas as mostradas no Quadro 1 e que apresentou boa concordância com dados experimentais para a 0 < Re < 2 x O modelo proposto teve a seguinte forma: Velocidade Terminal, v Revisão Agosto de 2018 Página 4

5 C Re p n C D = C DStokes [A + B Re m p + ] (E+DRe o p ) (6) onde A = 0,953, B = 9,16 x 10-3, C = 0,074, D = 0,231, E = 1,573, m = 1,057, n = 2,347 e o = 1,976. Além desta correção, a presença de contornos rígidos também pode alterar o coeficiente de arraste. Quando uma esfera com diâmetro D p está em translação retilínea e uniforme ao longo do eixo de um tubo de diâmetro D t e o fluido está em repouso, a força de arraste pode ser calculada por meio de expressões, as quais introduzem uma correção para o cálculo do efeito de parede: C DParede = C D + 24 Re p (F Parede 1) (7) válida para Re p < 50, podendo F Parede (o fator de correção pela presença de contornos rígidos) ser dado por correlações como as apresentadas a seguir no Quadro 2. A rugosidade da superfície, em geral, aumenta o coeficiente de Arraste no escoamento turbulento em torno de corpos carenados. No entanto, em corpos rombudos, um aumento na rugosidade da superfície pode na realidade diminuir o coeficiente de Arraste, pois nestes corpos é induzida uma turbulência na camada limite para um Re p menor, fazendo o fluido fechar na parte posterior do corpo, estreitando a esteira e reduzindo consideravelmente o arraste de pressão. Isso resulta em um C D muito menor e, portanto, uma força de arraste muito menor em certo intervalo de Re, se comparado com outros de superfície lisa e tamanho idêntico, na mesma velocidade. 2.5 Correlações para a fluidodinâmica de uma partícula isolada Na literatura estão disponíveis diversas correlações baseadas no estudo do movimento de uma partícula isolada (esférica ou isométrica) em um fluido Newtoniano. Tais correlações podem ser utilizadas, por exemplo, para determinar a velocidade terminal da partícula (conhecendo-se o diâmetro) e C D a partir de Re p. Para corpos isométricos (poliedros regulares) ou de formato pouco uniforme, em que não é possível determinar o diâmetro, a medida de diâmetro utilizada nas correlações é dita diâmetro volumétrico (D p ) (MASSARANI, 2002). Este diâmetro corresponde ao diâmetro da esfera de mesmo volume que o volume da partícula (V p ): Velocidade Terminal, v Revisão Agosto de 2018 Página 5

6 D p = ( 6 π V p) 1/3 (8) Para corpos aproximadamente esféricos, D p é o próprio diâmetro da partícula D. Quadro 1 Modelos para previsão do Coeficiente de Arraste no regime de Stokes. Fonte: Silva (2006). Velocidade Terminal, v Revisão Agosto de 2018 Página 6

7 Quando 2 Fator de correção para o efeito de parede (contornos rígidos) para uma partícula caindo em uma tubulação circular. Fonte: Silva (2006). Relações envolvendo a esfericidade das partículas são utilizadas para readequar as equações para corpos não-esféricos. A esfericidade é definida como a razão entre a superfície da esfera com o mesmo volume que a partícula e a superfície desta última: sendo S p a área superficial da partícula. φ = πd p² S p Nas tabelas seguintes, são apresentadas correlações empíricas obtidas para a fluidodinâmica da partícula isométrica isolada em um fluido newtoniano MASSARANI (2002). Tais expressões também podem ser utilizadas para a obtenção dos valores de C D e. Haider e Levenspiel (1989) propuseram também a seguinte expressão para partículas isométricas: C D = 24 Re p [1 + ARe p m ] + B 1+ C Rep Sendo as constantes A, B, C e m dadas por expressões em função da esfericidade. A = Exp(2,33 6,46 + 2,45 2 ); B = Exp(4,91 13,89-18, ,26 3 ) C = Exp(1, , ,886 3 ); m = 0, ,56. (9) (10) Velocidade Terminal, v Revisão Agosto de 2018 Página 7

8 Tabela 2 - Correlações para a partícula esférica e partícula isométrica isolada. Correlação para partícula esférica isolada (Re < 5 x 10 4 ) C D = [( 24 n 1/n ) + 0, 43 n ] Re n (11) 0,63 Correlação para a partícula isométrica isolada (0,65 < ϕ < 1 e Re < 5 x 10 4 ) 24 C D = [( ) n + K n K 1 Re 2 ] Fonte: MASSARANI (2002). 1/n n (12) 0,85 Valor médio e Desvio padrão (C D )exp = 1, 00 ± 0, 09 (C D )cor Valor médio e Desvio padrão (C D )exp = 1, 00 ± 0, 13 (C D )cor Tabela 3 - Correlações para a partícula isométrica isolada que permitem o cálculo do Variável a ser Estimada coeficiente de arraste e da velocidade terminal. (0,65 < ϕ 1). Regime de Stokes (Re < 0,5) Regime de Newton (10 3 < Re < 5 x 10 4 ) C D ( 24 K 1 Re ) (13) K 2 (14) V Fonte: MASSARANI (2002). Sendo: Re = D pv ρ F μ g(ρ c ρ F )D p 2 18μ (17) K 1 (15) C D Re² = 4 3 [ 4(ρ c ρ F )gd p ] 1/2 3ρ F K 2 ρ F (ρ C ρ F )gd p ³ μ² (16) (18) φ K 1 = 0, 843 Log 10 ( 0, 065 ) (19) K 2 = 5, 31 4, 88φ (20) Velocidade Terminal, v Revisão Agosto de 2018 Página 8

9 Tabela 4 - Correlações para o efeito de parede na fluidodinâmica da partícula isométrica em Variável a ser Estimada fluido newtoniano. (0,65 < ϕ 1; 0 < D p /D t 0,5). Re = F D p V / ( V é a velocidade terminal para a partícula isolada) Re < 0,1 0,1 Re < 10 3 Re β k P = V t /V (21) k P = [ 1 0,475β ]4 (23) k P = [ 1+ARe B] (24) = D p /D t (22) A = 8,91e 2,79 k P = 1 β 3/2 (25) B = 1,17 x ,281 Re = ( 24 e ) K 1 ; n = 0, 85 para Re < 35 (26) (C D n K2 n ) 1 n φ K 1 = 0, 843 Log 10 ( 0, 065 ) (19) K 2 = 5, 31 4, 88φ (20) Fonte: MASSARANI (2002) Materiais - 01 paquímetro; - 01 termômetro; - 01 cronômetro/celular com cronômetro; - 01 proveta de 1 L ou 2L; - 1 balança analítica; - De 1 a 2L de líquidos que terão sua viscosidade determinada; - 01 balão volumétrico de fundo chato de 5mL; - Corpos esféricos (de preferência material plástico); - Corpos de formato não-esférico (cone e/ou hemiesfera etc). 4. Procedimento Experimental O coeficiente de arraste pode ser determinado experimentalmente medindo-se a velocidade terminal de uma partícula (V t ), a velocidade constante atingida pela partícula quando deixada escoar em um fluido inicialmente em repouso. Partindo-se de valores experimentais para V t, tem-se: Em virtude disto, deve-se: C D = 4 gd 3 p [ (ρ c ρ F ) ] (27) ρ F V t ² a. Medir as dimensões de cada corpo com um paquímetro, registrando os valores encontrados em triplicata. Determinar o volume e a área superficial dos corpos a serem estudados, estimando suas incertezas; b. Pesar os corpos a serem testados em balança para registro de sua massa e estimar sua massa específica; c. Usando um balão volumétrico de 5mL e a balança analítica, determinar a massa específica do líquido testado e a incerteza deste valor; Velocidade Terminal, v Revisão Agosto de 2018 Página 9

10 d. Adicionar aproximadamente de 1 a 2L do líquido dentro de uma proveta; e. Mergulhar um corpo de cada vez, de forma cuidadosa para que o mesmo penetre no fluido com a menor velocidade possível e sem turbulência conforme figura 1; f. Registrar por meio de um cronômetro/celular, o tempo necessário para que o corpo percorra o espaço compreendido entre as marcas sinalizadas na proveta; g. Repetir o experimento em triplicata. Para isso, transfira o líquido da proveta para um recipiente vazio. Recupere os corpos. Repita o procedimento a partir do passo d. h. De posse dos dados obtidos, determinar o coeficiente de descarga para cada corpo testado a partir da viscosidade do fluido, levando-se em consideração as incertezas presentes. Comparar os resultados com dados da literatura. 5. Cálculos e discussões De posse das correlações apresentadas, estimar por diversas delas o coeficiente de arrasto e a viscosidade do fluido. Considerar, em função dos resultados obtidos, quais correlações deveriam ser utilizadas e quais corpos testados devem fornecer melhores estimativas. Usar como medida de viscosidade um valor disponível na literatura técnica para consulta. Para o detergente Neutro YPÊ, segundo a FISPQ, pode ser usado o valor 0,255 Pa.s. Roteiro de cálculos e análises: - Determinar C D para os corpos mais aproximadamente esféricos (ϕ 0,95) usando as seguintes correlações para partículas esféricas: Clift e Gauvin (1970), Haider e Levenspiel (1989), White (1991), Massarani (2002) (eq. 11) e Silva (2006) (eq. 6); - Determinar C D para os corpos menos esféricos (0,65 ϕ < 0,95) usando equações para a partícula isométrica: Massarani (2002) (tab. 2 a 4) e Haider e Levenspiel (1989) (eq. 10); - Em todos os casos, estimar C D indicando as expressões consideradas mais adequadas. Testar correções para o efeito de parede (escolher pelo menos duas alternativas); - Responder às questões propostas no questionário a seguir. 6. Questionário a. O líquido testado é um fluido Newtoniano? Se não for, como este fluido pode ser classificado? Quais as consequências de se usar um fluido não-newtoniano nos cálculos? b. É prudente adotar regime de Stokes para o movimento dos corpos testados? Justifique. c. O espaço percorrido considerado é suficiente para estabelecimento de velocidade constante? Prove sua resposta, determinando o comprimento da região de aceleração e Velocidade Terminal, v Revisão Agosto de 2018 Página 10

11 demonstrando por meio gráfico e de cálculos em função dos dados obtidos experimentalmente. d. Os efeitos de parede foram significativos? Justifique, estimando esta contribuição. e. Qual corpo seria o mais indicado para a estimativa de C D? Por quê? f. Comparando-se os valores obtidos de coeficiente de arraste dos objetos pelas equações e pelas correlações propostas, com os disponíveis na literatura, o que você pode concluir? Foram semelhantes? Se não, quais fatores você supõe terem influenciado nos resultados e que não foram considerados? Calcular os desvios observados. 7. Bibliografia ÇENGEL, Y. A. e CIMBALA, J. M. Mecânica dos Fluidos. 1ª. Edição. McGraw Hill - Artmed, 2007; LOUREIRO, L. V. Sistemas Particulados. Apostila da disciplina PQI 2303 (OPERAÇÕES UNITÁRIAS DA INDÚSTRIA QUÍMICA I). Escola Politécnica da USP. 2013; MASSARANI, Giulio. Fluidodinâmica em Sistemas Particulados. 2ª Edição. Rio de Janeiro: E-papers Serviços Editoriais, SILVA, R. G. Estudo numérico da movimentação de partículas em escoamento. Dissertação de Mestrado. Escola Politécnica da USP. Departamento de Engenharia Mecânica, Histórico de revisões/atualizações deste roteiro: Versão Discente Júlio César Lima Lira em ; Versão Discente Felipe de O. Mascarenhas em ; Versões 1.0, 1.1, 1.3, 1.5 a 1.7 Prof. Édler Lins de Albuquerque. Última em Velocidade Terminal, v Revisão Agosto de 2018 Página 11