ÁLBUNS DE FIGURINHAS, O PROBLEMA DO COLECIONADOR DE CUPONS E PROGRAMAÇÃO EM VBA?

ÁLBUNS DE FIGURINHAS, O PROBLEMA DO COLECIONADOR DE CUPONS E PROGRAMAÇÃO EM VBA? Fláva Fretas Maa Rafael G Barbastefao 2 Dayse Hame Pastore 3 Resumo: Este trabalho apreseta uma proposta de estudo do Problema do Colecoador de Cupos (Coupo Collecto Problem), coteúdo de Teora das Probabldades, apresetado em algus cursos do Eso Superor. Defdo formalmete: Exstem tpos de cupos e em cada esao um cupom é escolhdo aleatoramete. Cada cupom tem a mesma probabldade de ser extraído. O objetvo é estudar o úmero exato de esaos ates do colecoador obter todos os cupos (Motwa e Raghava, 995). Este problema já fo adaptado dversas vezes para a resolução de problemas específcos que requstavam a alteração de dados como a probabldade de retrada de cada elemeto (Brow, Peköz e Ross, 2008), teração etre dos colecoadores (Myers e Wlf, 2006), mudaças da regra de reposção (Kobza, Jacobso e Vaugha, 2007) etc. Suas aplcações ecotram-se em dversos campos de estudo, como por exemplo, estudos de dvulgação de produtos em marketg, as estmatvas sobre exposção de uma certa população a uma doeça cotagosa, a cração de provas a partr de um baco de questões e a valdação de geradores de úmeros aleatóros. Sua aplcação próxma do cotdao tora o Problema um tema relevate, etretato, avaçado e ão trabalhado com os aluos do Eso Médo. Desta vez, etão, o problema será adaptado à brcadera de colecoar fgurhas, típcas de craças. Mestrada do Programa de Pós-Graduação em Eso de Cêca e Matemátca PPECM CEFET-RJ. (flavafretasmaa@gmal.com) 2 Professor Efetvo do Programa de Pós-Graduação em Eso de Cêca e Matemátca PPECM CEFET-RJ (rgb@cefet-rj.br) 3 Professora Colaboradora do Programa de Pós-Graduação em Eso de Cêca e Matemátca PPECM CEFET-RJ (dpastore@cefet-rj.br) 69

Para sto, este trabalho tem como objetvo desevolver um programa, usado smulação aleatóra, a partr das ferrametas do Mcrosoft Excel e da programação em Vsual Basc for Applcatos (VBA), crado formuláros para a serção de dados para a produção de tabelas e gráfcos, avalação de smulações e testes com usuáros para a produção de materas para aplcação as escolas. A partr de smulações e cração de programas temos uma ferrameta valosa de acordo com pesqusas como as de Baker e Sugde (2003) e o estudo de combatóra pode ser aprofudado, torado o Problema do Colecoador de Cupos acessível a estes aluos. Este sera um tem mas avaçado de Aálse Combatóra, complemetar para os aluos do Eso Médo. Os casos que mas os teressam são o da compra de fgurhas dretamete das bacas de joral e das edtoras e o caso de troca de fgurhas etre amgos. Procuramos estabelecer o custo moetáro de se completar um álbum equato produzmos combações de compra de fgurhas. As revsões bblográfcas evolvem assutos que tratam do uso de plalhas o eso, do Problema do Colecoador de Cupos, de Aálse Combatóra e de smulações estocástcas. As pesqusas evolvem a vsão de Aálse Combatóra por professores e aluos e busca de formações sobre a produção de fgurhas pelas edtoras a fm de crar smulações reas. Palavras-chave: Aálse Combatóra; Colecoador de Cupos; Fgurha. O álbum de fgurhas ou cohecdo como lvro de cromos é uma tátca cruel telgete de gahar dhero fazedo álbus da Barbe que tem como presa públco alvo guras retardadas meas e álbus de pokemogos pokemos para erds garotos. (Descclopéda, Verbete sobre Álbus de Fgurhas) INTRODUÇÃO O hábto de colecoar está presete a socedade há muto tempo. As varações dos objetos escolhdos e seus motvos são os mas varados e vão desde preocupação em guardálos para preservar até guardar objetos por pura admração. Toda coleção possu um padrão e podemos ecotrá-la até a hstóra do mudo. Se formações ão fossem guardadas como saberíamos de osso passado? 70

Hoje, ecotramos o Guess Book város recordes sobre coleções (guardaapos, carrhos, coes de trâsto,...). O própro lvro já é uma coleção de recordes. E desperta tato teresse que em 2003, foram veddas 00 mlhões de cópas e em 2009, teve sua ququagésma-quta edção. È cosderado o décmo lvro mas veddo do mudo. Este hábto de colecoar chegou até o campo da Matemátca, um estudo que é cohecdo a lteratura como O Problema do Colecoador de Cupos. É um caso de combatóra bem cohecdo a teora das probabldades (Feller, 968) e que possu um grade úmero de aplcações, que como os estudos de dvulgação de produtos em marketg, as estmatvas sobre exposção de uma certa população a uma doeça cotagosa, a cração de provas a partr de um baco de questões e a valdação de geradores de úmeros aleatóros. Neste trabalho faremos uma aplcação à brcadera de completar álbus de Fgurhas. O Colecoador de Fgurhas pode ser levado para a sala de aula já o Eso Médo como um tópco mas avaçado do estudo de Aálse Combatóra. Escolhemos trabalhar com reposção, possbldade de troca e compra de objetos colecoáves (as fgurhas). Nossa base de cálculos está sedo feta sobre o Vsual Basc for Applcatos (VBA) do Mcrosoft Excel por os permtr a cração de casos aleatóros e fuções, além, de uma apresetação smples e orgazada (em formuláro) para a serção de dados. Este artgo está estruturado da segute maera: uma breve explcação do problema escolhdo e uma justfcatva para a aplcação para sala de aula; desevolvmeto matemátco do problema e os prmeros resultados obtdos. 2 PROBLEMA DO COLECIONADOR DE CUPONS (COUPON COLLECTION PROBLEM) E A SALA DE AULA O Problema do Colecoador de Cupos é um problema cohecdo a Teora das Probabldades (Feller, 968). Seu objetvo é defr quatas udades o colecoador deve adqurr até que possua uma coleção completa. Defdo formalmete: Exstem tpos de cupos e em cada esao um cupom é escolhdo aleatoramete. Cada cupom tem a mesma probabldade de ser extraído. O objetvo é estudar o úmero exato de esaos ates do colecoador obter todos os cupos (Motwa e Raghava, 995). A complexdade do estudo é determada pelos parâmetros escolhdos, como por exemplo, a reposção de objetos, probabldade de ocorrêca de cada um, a troca etre 7

colecoadores, os meos de aqusção e até a sua adaptação para estudos em outras áreas do cohecmeto, como já ctadas aterormete. Etretato, é um caso de Aálse Combatóra e que pode ser adaptado para a sala de aula. Levar este problema para a sala de aula pede um ível mas elevado de etedmeto do aluo. Sera uma forma de cotuação dos materas de Aálse Combatóra, já que estes fetos para aluos do Eso Médo procuram apresetar o coteúdo aumetado o ível de complexdade. Começam com os smples exercícos de pturas de lstras, formação de Comssões, até chegar aos casos de brcaderas de roda evolvedo casos de probabldade. O Problema do Colecoador de Cupos possblta uma extesão do coteúdo, correspodêca com o cotdao e desejamos que stgue o teresse dos aluos. Com ele podemos fcar surpresos com os resultados obtdos por uma smples varação dos parâmetros; podemos os questoar como as combações podem ser fetas, quas as exceções em cada caso, qual sera a maera mas aproprada de combar. Optamos por estudar o problema usado estratégas de smulação (Law, 2000). Tal estratéga permte relaxar algumas característcas do problema, com pouco esforço. Por outro lado, a estratéga de smulação realzada com a lguagem Vsual Basc for Applcatos do Mcrosoft Excel permte a programação de varações do problema, adaptados aos álbus de fgurhas com razoável rapdez (Baker e Sugde, 2003). O caso smulado fo a compra de fgurhas da baca de joral ou dreto da edtora. Nesta smulação, cosderamos que todas as fgurhas são produzdas com a mesma probabldade de ocorrêca. Nosso objetvo era descobrr qual sera a escolha mas ecoômca para o comprador. 3 O PROBLEMA VISTO PELA MATEMÁTICA Embora tomemos de base o Álbum de fgurhas, devemos dexar claro, que os cálculos são geeralzáves para o caso smples do Problema do Colecoador de Cupos. O problema: Determar quatas fgurhas precsam ser compradas, em méda, para se completar um álbum. Cosdere os dados da Tabela : 72

Tabela Dados para os Cálculos Símbolo A K N W,k Z Valor cojuto formado por todas as fgurhas exstetes. fgurhas dsttas obtdas úmero de elemetos de A, todos com a mesma quatdade. º de sorteos realzados até que se teha obtdo k fgurhas dsttas. Assm, W, é o álbum completo. quatdade de fgurhas ecessáras para que o úmero de fgurhas dsttas possuídas aumete de - para ; =, 2,..., E[Z ] é a esperaça de Z ( = ;... ; ) E[W,k ] Total de fgurhas compradas para que o álbum fque completo (estmatva). Como as fgurhas estão em mesma quatdade, a probabldade de cada uma ser escolhda calmete é de: e Z, va ser: Z ( ) = pos a medda que o álbum va sedo preechdo, devemos calcular em cma do espaço restate e sedo assm, quato mas fgurhas do álbum você já tver cosegudo, mas dfícl fcará de completá-lo. Veja a Tabela 2: () () Tabela 2 Descrção dos cálculos Z Z = (ão faltará ada, 00% de chace de ser uma fgurha édta!) Z = 2 2 Z 2 = pos uma fgurha você já tem, ou seja, falta completar metade do álbum 2 2 3 Z = 73

Z 2 2 Z 3 3 2 = = 3 3 2 = = 3 3...... Z =...... Z ( ) + = =... Sedo Z + = podemos dzer que E[ Z ] será gual a, pos cada fgurha + tem a probabldade de de ser escolhda calmete, mas como os espaços a serem preechdos o álbum vão sedo reduzdos, como mostra a tabela acma, teremos: [ ] E Z Como W,k = Z + Z 2 +... + Z k e assm: W, k = = + + + 2 + k + = + +... + E W =, k k = + () (v) (v) Para completar o álbum devemos aalsar o caso = k: E W =, = + (v) = + + +... + + 2 + 3 + + (v) = + + +... + 2 (v) 74

= + + +... + 2 (x) Lembrado de úmero harmôco: = = (x) etão: sedo assm: = = = l ( ) + c, costate c = (l ( c) + c) E [ W. ] = = = (l ( ) + c) + = = (x) (x) (x) Cocludo, o úmero esperado é E [ W ] ( ) θ ( ). = (l + ) de fgurhas compradas até que o álbum fque completo. Smulado o Computador um álbum de 44 fgurhas, o úmero de cromos ecessáro para completar o álbum é dado o gráfco: 30 Dstrbução do úmero de fgurhas ecessáras para completar um álbum de 44 cromos -0.000 rodadas 25 22,9 25,0 20 9, % 5,2 0 9,2 6,0 5 0 0,6 3,,5 0,7 0,4 0,2 0, Até 500 50-600 60-700 70-800 80-900 90-000 00-00 0-200 20-300 30-400 40-500 50-600 60-700 Número de fgurhas Gráfco 75

Cosderado um gráfco de tamahos de álbus dferetes cotra o úmero de fgurhas ecessáro para completá-lo, temos o gráfco (Gráfco 2) a segur que mostra tato o resultado teórco quato o smulado computacoalmete. Número esperado de compras para completar um álbum de fgurhas, valores smulados e valores teórcos 900 800 Méda (log()+c) 700 Número de fgurhas 600 500 400 300 200 00 0 6 6 2 26 3 36 4 46 5 56 6 66 7 76 8 86 9 96 0 06 6 2 26 3 36 4 Tamaho do Álbum Gráfco 2 4 O CUSTO DE COMPLETAR UM ÁLBUM Toda coleção de fgurhas começa com um úmero pequeo de fgurhas repetdas. À medda que se aumete o úmero de cromos adqurdos, a probabldade de se trar uma fgurha repetda também aumeta, gerado um úmero grade de compras para se completar um Álbum. A alteratva a comprar defdamete fgurhas a baca é requstar cromos dretamete da edtora. Em geral, se paga um pouco mas pelas fgurhas, mas o cosumdor ão precsa se preocupar em comprar fgurhas repetdas. Tomamos as formações do álbum Amar é para a smulação. Com um total de 44 cromos, cada pacotho é veddo a R$ 0,70 cotedo 4 fgurhas (R$0,75 cada). Se a compra for dreto da edtora, cada cromo sa a R$ 0,25. O gráfco abaxo mostra o resultado do expermeto. A lha Custo Pacotho (cor vermelha) e a lha Custo Edtora (cor verde) estão relacoadas, mostrado uma teração etre a compra as bacas e a compra a edtora. A lha Custo (cor azul) mostra o resultado 76

desta combação. No exo x do gráfco, marca-se o úmero de fgurhas édtas a partr do qual o colecoador dexa de tetar completar o álbum comprado apeas a baca e passa a comprar as faltates a edtora. O úmero de fgurhas compradas a edtora será dado pela dfereça 44 x. Se comprarmos todas as fgurhas da edtora, quado o álbum está o íco, o custo sera elevado, pos o valor do cromo a edtora é maor do que a baca. Etretato, se comprarmos fgurhas apeas a baca, quado os aproxmamos do total de fgurhas do álbum, os custos se elevam pratcamete de maera expoecal. Através da estratéga de smulação, podemos estabelecer uma combação ótma etre as compras da baca e da edtora, de modo a mmzar os custos esperados, o que podemos ver a fgura abaxo: Gráfco 3 O caso mas vatajoso sera comprar fgurhas as bacas até aproxmadamete 30% do álbum e após as ecomedar da edtora. Vemos sto, ecotrado o Poto de Mímo a lha Custo. O poto de terseção ecotrado o gráfco mostra quado a compra a baca se tora mas cara que a compra a edtora. Tomado os valores gerados a smulação deste gráfco, o úmero de fgurhas édtas compradas a baca devera ser 42, sedo assm, o valor mas ecoômco sera R$ 34,4 se as fgurhas fossem veddas separadamete ou R$ 34,8 (44 udades), se compradas em pacothos com 4 fgurhas cada. O valor mas alto ecotrado, o caso de comprar todas as fgurhas a baca, fo de R$ 40,69, quatro vezes mas o valor mímo. 77

É teressate verfcar que etre e cerca de 00 fgurhas completas o álbum, a varação dos custos evolvdos para completar a coleção fo muto pequea, ou seja, um colecoador pode completar até cerca de 2/3 do álbum, sem precsar recorrer à edtora que os custos ão serão muto dferetes daqueles realzados a compra em baca de joras. Etretato, a partr desta quatdade de cromos completos, os custos esperados sobem muto depressa, fazedo com que a compra dreta da edtora seja muto mas vatajosa. 5 CONCLUSÃO Apresetamos este trabalho uma modelagem do Problema de Colecoador de Cupos, aplcado a Álbus de Fgurhas. Estabelecemos através de uma estratéga de smulação dscreta uma extesão do problema ao calcular uma estratéga de aqusção de cromos que mmze os custos evolvdos. Com dados de etrada reas o modelo de smulação, fo verfcado um resultado teressate do poto de vsta do colecoador. Fo ecotrado um poto ótmo esperado para uma combação de compras em baca e dretamete da edtora. Tal poto de ótmo permte ao colecoador estabelecer um poto a partr do qual ele dexa de adqurr fgurhas da baca e passa a comprar dretamete da edtora. É mportate ressaltar que o presete estudo, ão foram cosderadas as trocas de cromos etre colecoadores. No mometo, os autores estudam estratégas de mplatação de trocas que serão publcadas oportuamete. 6 REFERÊNCIAS BAKER, Joh; SUGDEN, Steve. Spreadsheets Educato: The Frst 25 Years. Spreadsheets I Educato (ejse), Austrála, p. 8-43. jul. 2003. Dspoível em: <http://epublcatos.bod.edu.au/ejse/vol/ss/2>. Acesso em: ju. 2009. BROWN, Mark; PEKÖZ, Erol A.; ROSS, Sheldo M.. COUPON COLLECTING. Probablty the Egeerg ad Iformatoal Sceces, Estados Udos, p. 22-229. 2008. FELLER, W.. A troducto to probablty theory ad ts applcatos. 3. ed. Nova Iorque: Wley, 968. 78

KOBZA, Joh E.; JACOBSON, Sheldo H.; VAUGHAN, Dae E.. A Survey of the Coupo Collector s Problem wth Radom Sample Szes. Methodology Ad Computg I Appled Probablty, Storrs, p. 573-584. 29 mar. 2007. LAW, A. M.; KELTON, W. D.. Smulato Modelg ad Aalyss. 3. ed. Bosto: Mcgrawhll, 2000. MYERS, Amy N.; WILF, Herbert S.. Some New Aspects of the Coupo Collector s Problem. Sam Joural o Dscrete Mathematcs, Fladélfa, v. 7,., p.-7, 0 ago. 2003. Dspoível em: <http://www.sam.org/jourals/srev/48-3/65443.html>. Acesso em: ja. 200. MOTWANI, M.; RAGHAVAN, P.. Radomzed Algorthms. Calfóra: Cambrdge Uversty Press, 995. 79