Teoria de Circuitos Elétricos Versão 0.2

Teoria de Circuitos Elétricos Versão 0.2 ENGENHARIA DE COMPUTAÇÃO DRAFT Prof. Paulo Sérgio da Motta Pires Laboratório de Engenharia de Computação e Automação Universidade Federal do Rio Grande do Norte Natal-RN, Setembro de 2000

Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Versão 0.2 i Resumo Apresentamos uma versão preliminar e incompleta das Notas de Aula utilizadas no curso de ELE43 - Teoria de Circuitos que ministramos na UFRN para os alunos de graduação em Engenharia de Computação. A versão mais recente deste documento está disponível, no formato pdf, em http:\\www. leca.ufrn.br\~pmotta. Comentários e sugestões podem ser enviados para pmotta@leca. ufrn.br

Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Versão 0.2 ii Trabalho totalmente desenvolvido usando Open Source Software : XEmacs - 20.4 Emerald XEmacs Lucid Xfig - Xfig 3.2 patchlevel 3c (Protocol 3.2) epstopdf - EPSTOPDF 2.5, 999/05/06 pdflatex - pdftex Version 3.459-3d (Web2C 7.3.) Scilab - Versão 2.5 em ambiente Linux Slackware 7. Pode ser copiada e distribuída livremente, mantidos os créditos. Evolução :. Setembro de 2000 - início, com a Versão 0. http://www.slackware.com

Sumário Conceitos. Introdução....................................2 Sistemas..................................... 2.3 Funções Singulares............................... 3.3. Função Degrau Unitário....................... 3.3.2 Função Sinal.............................. 5.3.3 Função Rampa Unitária....................... 6.3.4 Função Impulso Unitário...................... 6.3.5 Propriedades da Função δ(t).................... 6.4 Transformadas de Laplace.......................... 7.4. Propriedades da Transformada de Laplace............ 8.5 Transformada de Laplace de Funções Periódicas..............6 Transformada Inversa de Laplace.......................7 Expansão em Frações Parciais........................ 2.7. Raízes Reais Distintas........................ 2.7.2 Raízes Múltiplas........................... 3.7.3 Raízes Complexas Simples..................... 5.8 Teorema do Valor Inicial........................... 6.9 Teorema do Valor Final............................ 6.0 Diagrama de Polos e Zeros.......................... 6 2 Métodos para Análise de Circuitos 9 2. Introdução................................... 9 2.2 Componentes de Circuitos Elétricos.................... 9 2.3 Método das Malhas.............................. 20 2.4 Método dos Nós................................ 27 3 Análise de Circuitos Transformados 34 3. Introdução................................... 34 3.2 Circuitos de Primeira Ordem........................ 34 3.3 Circuitos em Regime Permanente..................... 36 3.4 Circuitos Transformados........................... 38 3.5 Elementos de Circuito no Domínio da Freqüência............ 38 iii

Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Versão 0.2 iv 4 Função de Transferência 43 4. Introdução................................... 43 4.2 A Função H(s)................................. 43 4.3 Resposta ao Impulso............................. 44 4.4 Resposta ao Degrau.............................. 45 4.5 Resposta à Rampa............................... 46 4.6 Integral de Convolução............................ 46 5 Resposta em Freqüência 47 5. Introdução................................... 47 5.2 Curvas de Bode................................ 49 5.2. H(s) com termo constante...................... 50 5.2.2 H(s) com termo s........................... 5 5.2.3 H(s) com termo + τs........................ 52 5.2.4 H(s) com termo s 2 + as + b...................... 54 5.2.5 Freqüência de Ressonância..................... 56 6 Série de Fourier em Análise de Circuitos 57 6. Introdução................................... 57 6.2 A Série Trigonométrica de Fourier..................... 58 6.3 Translação de Gráficos............................ 6 7 Quadripolos 64 7. Introdução................................... 64 7.2 Parâmetros Z.................................. 64 7.3 Parâmetros Y.................................. 66 A Transformadas de Laplace - Resumo 67

Lista de Figuras. Representação de um circuito elétrico....................2 Características de sistemas lineares..................... 2.3 A função degrau unitário........................... 3.4 A função degrau unitário deslocada de a > 0............... 3.5 Escalonamento da função degrau e da função degrau deslocada.... 4.6 A função pulso quadrado construída a partir da combinação de funções degrau...................................... 4.7 Onda quadrada................................. 5.8 A função sinal................................. 5.9 A função rampa unitária........................... 6.0 A função rampa unitária deslocada..................... 6. A função delta................................. 7.2 Exemplo para deslocamento real.......................3 Diagrama de polos e zeros.......................... 7.4 Diagrama de polos e zeros.......................... 8 2. Componentes de circuitos elétricos..................... 9 2.2 Polaridades................................... 20 2.3 Um circuito elétrico.............................. 20 2.4 Correntes de malha.............................. 2 2.5 Obtenção das equações de malha...................... 23 2.6 Obtenção das equações de malha...................... 24 2.7 Obtenção das correntes de malha...................... 25 2.8 Obtenção da corrente sobre o resistor de 0Ω............... 26 2.9 Análise pelo método dos nós......................... 28 2.0 Análise pelo método dos nós......................... 29 2. Obtenção do valor da corrente i....................... 30 2.2 Obtenção dos valores das tensões v, v 2 e v 3................ 30 2.3 Obtenção dos valores das tensões - fonte controlada.......... 32 3. Circuito RC................................... 34 3.2 Circuito RL................................... 35 3.3 Respostas no domínio do tempo...................... 36 3.4 Regime permanente.............................. 37 3.5 Capacitor em aberto e indutor em curto................. 37 3.6 Circuito após a chave ter sido aberta................... 38 3.7 Análise de circuitos no domínio da freqüência.............. 38 v

Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Versão 0.2 vi 3.8 Representação do resistor no domínio da freqüência.......... 39 3.9 Representações do indutor no domínio da freqüência.......... 40 3.0 Representações do capacitor no domínio da freqüência......... 4 3. Tensão v(t) sobre o indutor.......................... 4 3.2 Corrente i(t) sobre o capacitor....................... 42 4. Função de transferência H(s)........................ 43 4.2 Função de transferência H(s)........................ 44 4.3 Resposta ao impulso.............................. 45 4.4 Resposta ao degrau.............................. 45 5. Sistema linear invariante no tempo..................... 47 5.2 Circuito RC................................... 49 5.3 Resposta em freqüência para H(jω) = k.................. 50 5.4 Resposta em freqüência para H(jω) = jω................. 5 5.5 Resposta em freqüência para H(jω) = jω.................. 52 5.6 Resposta em freqüência para H(jω) = + jωτ............... 53 5.7 Resposta em freqüência para H(jω) = +jωτ................ 54 5.8 Resposta em freqüência para H(jω) =................... 55 5.9 Resposta em freqüência para H(jω) =................... 55 6. Decomposição de um sinal por Fourier.................. 58 6.2 Onda quadrada................................. 60 6.3 Onda quadrada deslocada em relação à onda do Exemplo anterior.. 6 6.4 Obter a tensão v 0 (t).............................. 62 7. Quadripolo com grandezas associadas................... 64 7.2 Quadripolo................................... 65 7.3 Quadripolo2................................... 66

Capítulo Conceitos. Introdução Apresentamos algumas definições e a fundamentação matemática necessária para analisar circuitos elétricos no domínio da freqüência. Neste capítulo, os circuitos elétricos são tratados pelo termo mais abrangente de sistemas e são representados sem a preocupação de caracterizar seus componentes. Na Figura., é mostrado, então, um circuito elétrico. e(t) E(s) SISTEMA (Circuito Elétrico) r(t) R(s) Figura.: Representação de um circuito elétrico A excitação, ou entrada, de um circuito pode ser feita através de uma fonte de corrente ou de uma fonte de tensão e a resposta, ou saída, pode ser apresentada em termos do comportamento da corrente ou da tensão em um ou mais elementos do circuito. No domínio do tempo, a excitação e a resposta são representados, respectivamente, por e(t) e r(t). No domínio da freqüência, a excitação é representada por E(s) e a resposta por R(s). Como iremos verificar, a passagem de um domínio para outro é possível através da utilização da transformada de Laplace. Por convenção, iremos adotar letras minúsculas para denotar grandezas no domínio do tempo e letras maiúsculas para denotar grandezas no domínio da freqüência. Em análise de circuitos, são conhecidas a excitação e o circuito. O objetivo é encontrar a resposta. Em síntese de circuitos, são conhecidas a excitação e a resposta. O objetivo, neste caso, é obter o circuito.

Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN/Versão 0.2 2.2 Sistemas Algumas definições para sistemas : Sistemas Lineares - São sistemas para os quais vale o princípio da superposição. Segundo este princípio, se e (t), r (t) e e 2 (t), r 2 (t) são dois pares diferentes de excitação/resposta para um determinado sistema, a excitação deste sistema por e(t) = e (t) + e 2 (t) deve dar como resposta r(t) = r (t) + r 2 (t), como mostrado na Figura.2. Para estes sistemas, vale, também, o princípio da proporcionalidade. Neste caso, se C e(t) for a excitação, com C constante, a resposta será C r(t). Diz-se que o sistema, neste caso, preserva a constante de proporcionalidade. Outra característica dos sistemas lineares : a excitação e a correspondente resposta estão relacionadas por uma equação diferencial linear. C e (t) C r (t) SISTEMA C e (t) C r (t) 2 2 2 2 SISTEMA C e (t) + C e (t) C r (t) + C r (t) 2 2 2 2 SISTEMA Figura.2: Características de sistemas lineares Sistemas Passivos - São sistemas compostos por elementos que não introduzem energia. Sistemas Recíprocos - São sistemas para os quais o relacionamento entre a excitação e a resposta permanece o mesmo quando seus pontos de medida são trocados. Sistemas Causais - São sistemas para os quais a resposta é não-antecipatória, isto é, são sistemas para os quais se e(t) = 0 para t < T então r(t) = 0 para t < T. Só existirá resposta se uma excitação for aplicada. Sistemas Invariantes no Tempo - São sistemas para os quais se a excitação e(t) dá como resposta r(t), uma excitação deslocada, e(t ± T ) dará uma resposta deslocada r(t ± T ).

Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN/Versão 0.2 3.3 Funções Singulares Funções singulares são funções que apresentam algum tipo de descontinuidade. Iremos analisar as funções singulares de maior interesse para a área de circuitos elétricos..3. Função Degrau Unitário A função degrau unitário, u(t), é definida através da relação : {, se t 0 u(t) = 0, se t < 0 O gráfico é mostrado na Figura.3 u(t) t Figura.3: A função degrau unitário A função degrau unitário deslocada é mostrada na Figura.4. u(t a) a t Figura.4: A função degrau unitário deslocada de a > 0 Observar que : u(t a) = {, se t a 0, se t < 0 A altura da função degrau unitário pode ser modificada multiplicando-se a função por uma constante. Na Figura.5 mostramos o resultado da multiplicação (escalonamento) dos dois gráficos anteriores por uma constante A > 0.

Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN/Versão 0.2 4 f(t) = A u(t) f(t) = A u(t a) A A t a t Figura.5: Escalonamento da função degrau e da função degrau deslocada Utilizando as propriedades de deslocamento e escalonamento mostradas anteriormente, podemos construir outras formas de onda. Exemplo - a função pulso quadrado pode ser construída usando uma combinação de funções degrau. Assim, considerando a função f(t), f(t) = 4u(t ) 4u(t 2) temos os gráficos mostrados na Figura.6 4 4 2 4 u (t ) 4 u(t 2) t f(t) = 4 u(t ) 4 u(t 2) 4 2 t Figura.6: A função pulso quadrado construída a partir da combinação de funções degrau Exemplo - na Figura.7, apresentamos a função f(t) = u(sent)

Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN/Versão 0.2 5 f(t) = sen t... t u(sen t)... t Figura.7: Onda quadrada.3.2 Função Sinal Alguns autores definem a função sinal, sgn(t), através da expressão :, se t > 0 sgn(t) = 0, se t = 0, se t < 0 enquanto outros autores representam a função sinal através da expressão : {, se t > 0 sgn(t) =, se t < 0 Usando a segunda representação, podemos escrever sgn(t) = 2 u(t). O gráfico da função sinal é mostrado na Figura.8 sgn(t) t Figura.8: A função sinal

Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN/Versão 0.2 6.3.3 Função Rampa Unitária A função rampa unitária, ρ(t), é definida através da relação : ρ(t) = t u(t) O gráfico da função rampa unitária é mostrado na Figura.9 ρ (t) t Figura.9: A função rampa unitária Na Figura.0, mostramos a função rampa unitária deslocada. ρ (t a) a a + t Figura.0: A função rampa unitária deslocada No caso da função rampa, o escalonamento mudará a tangente do ângulo formado com o eixo t..3.4 Função Impulso Unitário A função impulso unitário, ou função delta, é definida através das expressões : δ(t)dt =.3.5 Propriedades da Função δ(t) δ(t) = 0 se t 0 δ(t)dt = 0 + 0 δ(t)dt =

Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN/Versão 0.2 7 Decorre, da propriedade acima, que : 0 δ(t)dt = Uma outra propriedade importante, 0 + δ(t)dt = 0 f(t)δ(t)dt = f(0) e, por extensão, f(t)δ(t T )dt = f(t ) É conveniente ressaltar que δ(t) = u (t). O gráfico da função δ(t) é mostrado na Figura. δ t Figura.: A função delta.4 Transformadas de Laplace A transformada de Laplace permite passar do domínio do tempo para o domínio da freqüência. Ela é definida através da equação : L [f(t)] = F (s) = 0 f(t)e st dt onde s é a variável do domínio complexo, s = σ + jω, e j =. Exemplo - podemos utilizar a definição para obter a transformada de Laplace da função f(t) = u(t). Temos, L [u(t)] = 0 u(t)e st dt = e st dt 0 = e st s = s 0

Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN/Versão 0.2 8 Também usando a definição, podemos obter a transformada de Laplace de f(t) = e at u(t). Temos, L [e at u(t)] = 0 e at u(t)e st dt = e at e st dt 0 = e (s a)t s a 0 = s a Geralmente, as integrais que precisam ser calculadas para se obter a transformada de Laplace não são tão simples quanto as apresentadas anteriormente ou podem levar um tempo muito grande para serem obtidas. Estas complicações são evitadas, na maioria dos casos, através da utilização de propriedades das transformadas de Laplace..4. Propriedades da Transformada de Laplace Proporcionalidade A transformada de Laplace de uma constante (independente do tempo) vezes uma função, é a constante vezes a transformada de Laplace da função. Assim, considerando k uma constante,independente de t, Linearidade L [kf(t)] = kl [f(t)] A propriedade da linearidade estabelece que a a transformada de Laplace de uma soma de funções é a soma das transformadas de Laplace de cada uma das funções. Então, L [ f i (t)] = L [f i (t)] i i Podemos usar esta propriedada para obter a transformada de Laplace da função f(t) = senωt. Utilizando a identidade de Euler, e jωt = cosωt + jsenωt temos, f(t) = senωt = 2j [ e jωt e jωt]

Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN/Versão 0.2 9 Daí, como o uso da propriedade da linearidade, L [f(t)] = L [senωt] = [ L [e jωt ] L [e jωt ] ] 2j = [ 2j s jω ] s + jω ω = s 2 + ω 2 Diferenciação Se F (s) é a transformada de Laplace da função f(t), L [f(t)] = F (s), então [ ] df(t) L = sf (s) f(0 ) dt onde f(0 ) é o valor de f(t) em t = 0. Por extensão, [ d n ] f(t) L dt n = s n F (s) s n f(0 ) s n 2 f (0 )... f n (0 ) onde os superescritos em f(t) indicam derivada em relação a t. Exemplo - utilizar a propriedade da diferenciação para obter a transformada de Laplace da função δ(t). Sabendo que δ(t) = u (t), temos : [ ] du(t) L [δ(t)] = L dt já que u(0 ) = 0. = s s = Integração Se F (s) é a transformada de Laplace da função f(t), L [f(t)] = F (s), então [ τ ] L f(t)dt = F (s) 0 s Exemplo - utilizar a propriedade da integração para obter a transformada de Laplace da função ρ(t). Sabendo que ρ(t) = u (t), temos : [ t ] L [ρ(t)] = L u(t)dt 0 = s s = s 2

Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN/Versão 0.2 0 Multiplicação por t A propriedade da diferenciação no domínio s é definida através da equação : ou, generalizando, df (s) L [tf(t)] = ds L [t n f(t)] = ( ) n dn F (s) ds n Exemplo - obter a transformada de Laplace da função f(t) = te at. Temos, Por extensão, temos : L [te at ] = d [ ] ds s + a = (s + a) 2 e onde n é inteiro positivo. L [t n e at ] = n! (s + a) n+ L [t n ] = n! s n+ Deslocamento Complexo Se F (s) é a transformada de Laplace da função f(t), L [f(t)] = F (s), então temos, L [e at f(t)] = F (s a) Exemplo - obter a transformada de Laplace da função f(t) = e at sen(ωt). Como L [sen(ωt)] = L [e at sen(ωt)] = Considerando f(t) = e at cos(ωt), temos L [e at cos(ωt)] = ω s 2 + ω 2 ω (s + a) 2 + ω 2 s + a (s + a) 2 + ω 2 já que s L [cos(ωt)] = s 2 + ω 2 Devemos salientar que, neste caso, a utilização de uma propriedade eliminou a necessidade da obtenção da transformada de Laplace através da resolução de integrações complicadas ou trabalhosas.

Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN/Versão 0.2 Deslocamento Real Se F (s) é a transformada de Laplace da função f(t), L [f(t)] = F (s), então L [f(t a)u(t a)] = e as F (s a) Exemplo - obter a transformada de Laplace para a função mostrada na Figura.2 f(t) 2 a t Figura.2: Exemplo para deslocamento real Podemos observar que a função f(t) pode ser escrita como a combinação de duas funções degrau. Temos, portanto, f(t) = 2u(t) 2u(t a) Daí, Então, L [f(t)] = 2L [u(t)] 2L [u(t a)] F (s) = 2 s 2e as s.5 Transformada de Laplace de Funções Periódicas Se f(t) é uma função periódica de período T, isto é, f(t) = f(t ± T ) T é o período a transformada de Laplace de f(t) pode ser obtida utilizando a equação : L [f(t)] = e st T.6 Transformada Inversa de Laplace 0 f(t)e st dt Se F (s) é a transformada de Laplace da função f(t), define-se a transformada inversa de Laplace através da expresão : L [F (s)] = f(t)

Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN/Versão 0.2 2 Assim, se a transformada inversa será F (s) = s L [F (s)] = L [ s ] = u(t).7 Expansão em Frações Parciais Uma função no domínio da freqüência, F (s), pode sempre ser escrita na forma : F (s) = N(s) D(s) onde N(s) representa seu numerador e D(s) representa o seu denominador. As técnicas de expansão em frações parciais auxiliam na obtenção das transformadas inversas de Laplace. Vamos considerar casos em que o denominador da função F (s) apresente raízes reais distintas, raízes múltiplas e raízes complexas simples..7. Raízes Reais Distintas Vamos considerar F (s) escrita na forma : F (s) = N(s) (s s 0 )(s s )(s s 2 ) onde s 0, s e s 2 são raízes reais e distintas e o grau do numerador, N(s), é menor do que 3. Expandindo F (s), temos : Para obter a constante k 0, fazemos : F (s) = k 0 s s 0 + k s s + k 2 s s 2 (s s 0 )F (s) = k 0 + k (s s 0 ) s s + k 2(s s 0 ) s s 2 Considerando s = s 0, temos : k 0 = (s s 0 )F (s) Esta notação indica que, para obter o valor de k 0, elimina-se do denominador da função F (s) o termo que depende de s 0, (s s 0 ), substituindo-se o valor de s, nos termos restantes, pelo valor de s 0. De modo semelhante, temos k = (s s )F (s) s=s0 s=s

Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN/Versão 0.2 3 Generalizado, temos k i = (s s i )F (s) s=si Exemplo - obter a transformada inversa de Laplace para a função F (s) = s2 + 2s 2 s(s + 2)(s 3) Observar que o denominador já encontra-se fatorado. Temos, Daí, Temos, então, F (s) = s2 + 2s 2 s(s + 2)(s 3) = k 0 s + k s + 2 + k 2 s 3 k 0 = sf (s) = s2 + 2s 2 s=0 (s + 2)(s 3) = s=0 3 k = (s + 2)F (s) = s2 + 2s 2 s= 2 s(s 3) = s= 2 5 k 2 = (s 3)F (s) = s2 + 2s 2 s=3 s(s + 2) = 3 s=3 5 Daí, L [F (s)] = f(t) = L [ 3 s 3 3 F (s) = s 5 s + 2 + 5 s 3 ] L [ 5 s + 2 ] [ ] 3 + L 5 s 3 Assim,.7.2 Raízes Múltiplas f(t) = 3 u(t) 5 e 2t u(t) + 3 5 e3t u(t) Vamos considerar F (s) escrita na forma : F (s) = N(s) (s s 0 ) n D (s) Observamos que F (s) possui polos múltiplos em s 0. Expandindo F (s), temos : Seja F (s) = k 0 (s s 0 ) n + k (s s ) n + k 2 (s s 2 ) n 2 +... + k n s s 0 + N (s) D (s) F (s) = (s s 0 ) n F (s)

Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN/Versão 0.2 4 Pela expressão anterior, estamos eliminando da função F (s) o fator (s s 0 ) n. Assim, F (s) = k 0 + k (s s 0 ) + k 2 (s s 2 ) +... + k n (s s 0 ) n + R(s)(s s 0 ) n Daí, k 0 = F (s) s=s0 então, Derivando F (s) em relação a s, temos : df (s) ds Derivando novamente, temos : Generalizando, = k + 2k 2 (s s 0 ) +.. + k n (n )(s s 0 ) n 2 +... k m = m! d m F (s) ds m k = df (s) ds k 2 = 2 df (s) ds s=s0 s=s0 m = 0,, 2,..., n- s=s0 Exemplo - obter a transformada inversa de Laplace para a função : F (s) = s 2 s(s + ) 3 Observar que o denominador possui polos reais simples, devido ao fator s, e polos reais múltiplos, devido ao fator (s + ) 3. Cada fator deve ser tratado de maneira diferente. Expandindo F (s), temos F (s) = A s + k 0 (s + ) 3 + k (s + ) 2 + k 2 s + O coeficiente A é obtida pelo método das raízes reais distintas enquanto que os coeficientes k 0, k e k 2 são obtidos pelo método das raízes múltiplas. Então : A = sf (s) = s 2 s=0 (s + ) 3 = 2 s=0 Para o caso das raízes múltiplas, e, então, F (s) = (s + ) 3 F (s) = s 2 s

Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN/Versão 0.2 5 Então, k 0 = d 0 s 2 0! ds 0 s = 3 s= k = d s 2! ds s = 2 s= k 2 = d 2 s 2 2! ds 2 s = 2 s= F (s) = 2 s + 3 (s + ) 3 + 2 (s + ) 2 + 2 s + A transformada inversa é obtida através de : Assim, [ L [F (s)] = L 2 ] [ + L 3 s (s + ) 3.7.3 Raízes Complexas Simples ] + L [ ] [ ] 2 2 (s + ) 2 + L s + f(t) = L [F (s)] = 3 2 t2 e t u(t) + te t u(t) + 2e t u(t) Vamos considerar F (s) escrita na forma : F (s) = N(s) (s α jβ)(s α + jβ)d (s) Pode-se mostrar que a transformada inversa de Laplace, devido à presença dos termos complexos, (s α jβ) e (s α + jβ) é dada por f (t) = Me αt sen(βt + φ) onde M e φ são obtidos através da expressão Me jφ = N(s) βd (s) s=α+jβ Exemplo - obter a transformada inversa de Laplace da função : : F (s) = s 2 + 3 (s + 2)(s 2 + 2s + 5) O denominador possui um termo não fatorado. Realizando a fatoração, obtemos s 2 + 2s + 5 = (s + + j2)(s + j2) Assim, F (s) pode ser reescrita na forma : F (s) = s 2 + 3 (s + 2)(s + + j2)(s + j2)

Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN/Versão 0.2 6 Observamos que o demoninador de F (s) possui um polo real simples, representado pelo termo s + 2, e polos complexos simples, representados pelos termos s + + j2 e s + + j2. Os dois casos devem ser tratados de maneira diferente. Para a raiz real simples, k 0 = (s + 2)F (s) = s2 + 3 s= 2 s 2 + 2s + 5 = 7 s= 2 5 A transformada inversa referente a apenas este termo é ] L [ 7 5 s + 2 = 7 5 e 2t Para as raízes complexas, temos α = e β = 2. Os valores de M e φ são calculados, então, usando : Me jφ = s2 + 3 2(s + 2) = 2 e jtg 2 +π s= +j2 5 Logo, M = 2 5 e φ = tg 2 + π e, então, e, assim, f (t) = 2 5 e t sen(2t + tg 2 + π) f(t) = 7 5 e 2t + 2 5 e t sen(2t + tg 2 + π).8 Teorema do Valor Inicial O teorema do valor inicial estabelece que :.9 Teorema do Valor Final f(0 + ) = lim = lim sf (s) t 0 + s O teorema do valor final estabelece que : f( ) = lim t = lim s 0 sf (s).0 Diagrama de Polos e Zeros Vamos considerar F (s) escrita na forma : F (s) = N(s) D(s) Define-se os polos de F (s) como sendo as raízes do seu denominador e os zeros de F (s) como sendo as raízes do seu numerador. O diagrama de polos e zeros é

Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN/Versão 0.2 7 uma maneira de representar graficamente, no plano complexo, os polos e os zeros de uma função F (s). Exemplo - obter o diagrama de polos e zeros para a função : e Temos, F (s) = s(s + j)(s j) (s + ) 2 (s + j2)(s j2) s = polos = s = j2 s = j2 s = 0 zeros = s = j s = + j (duplo) Seu diagrama de polos e zeros é apresentado na Figura.3 jω Plano s j2 j2 σ Figura.3: Diagrama de polos e zeros Exemplo - Obter o diagrama de polos e zeros para a função : teremos e F (s) = 2(s ) 2 s 2 (s + + j2) 2 (s + j2) 2 (s + ) 2 s = j2 polos = s = + j2 s = (duplo) (duplo) (duplo) { s = 0 (duplo) zeros = s = (duplo) O diagrama de polos e zeros é mostrado na Figura.4. Observar que a constante é explicitada no diagrama através de K = 2.

Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN/Versão 0.2 8 jω j2 Plano s K = 2 σ j2 Figura.4: Diagrama de polos e zeros

Capítulo 2 Métodos para Análise de Circuitos 2. Introdução Em análise de circuitos, a excitação e o circuito são conhecidos. A resposta é a tensão ou a corrente em um ou em vários elementos do circuito. Apresentaremos algumas técnicas que possibilitam a análise de circuitos elétricos. 2.2 Componentes de Circuitos Elétricos Neste curso, consideraremos circuitos elétricos compostos por resistores, indutores e capacitores, alimentados por fontes de corrente ou de tensão. Estas fontes podem ser fontes independentes ou fontes controladas. Todos estes elementos estão mostrados na Figura 2.. R Resistor C Capacitor + v Fonte de Tensão (constante) Fonte de Tensão (variável) + + v(t) v(t) Fonte de Tensão Controlada L i i(t) i(t) Indutor Fonte de Corrente (constante) Fonte de Corrente (variável) Fonte de Corrente Controlada Figura 2.: Componentes de circuitos elétricos 9

Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Versão 0.2 20 Adotaremos, ainda, as polaridades apresentadas na Figura 2.2. A corrente elétrica entra no dispositivo (R, L, ou C) em seu polo positivo e sai de uma fonte pelo seu polo positivo. i + elemento + Fonte Figura 2.2: Polaridades 2.3 Método das Malhas Vamos considerar o circuito elétrico mostrado na Figura 2.3. Este circuito é composto por três resistores, R, R 2 e R 3 e é alimentado por duas fontes de tensão, v e v 2. Fazendo um paralelo entre esta representação e a representação utilizada no capítulo, v e v 2 são a excitação, ou a entrada, do circuito, R, R 2 e R 3 são os elementos dentro da caixa denominada sistema e a resposta, ou saída, pode ser a tensão ou a corrente em qualquer parte do circuito. Por exemplo, a resposta pode ser a tensão, ou a corrente, sobre o resistor R ou sobre o resistor R 2 ou sobre o resistor R 3 R R2 + + v R 3 v 2 Figura 2.3: Um circuito elétrico Este circuito possui duas malhas. Para cada malha, estabelecemos uma corrente cujo sentido, arbitrado, é o sentido horário, conforme mostrado na Figura 2.4 Lembrar que a tensão, em Volts (símbolo V), entre os terminais de um resistor de resistência R, em Ohms (símbolo Ω), é dada pela equação v = Ri onde i é a corrente sobre o resistor, em Amperes (símbolo A).

Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Versão 0.2 2 R R2 + + v R i 3 i 2 v 2 MALHA MALHA 2 Figura 2.4: Correntes de malha Para cada malha, há uma equação de malha correspondente. malha são obtidas usando-se os seguintes procedimentos : As equações de Com relação à primeira malha : O coeficiente da primeira corrente, i, é a soma dos valores das resistências que pertencem à sua malha. Então, a corrente i será multiplicada por (R + R 3 ) já que são estes os valores das resistências que pertencem à sua malha. O coeficiente das correntes de qualquer outra malha é o negativo da soma dos valores das resistências comuns à primeira e a malha considerada. Assim, a corrente da outra malha, i 2, será multiplicada por R 3 pois R 3 é o valor da resistência comum às duas malhas. O lado direito da equação é formado pela soma algébrica das fontes de tensão que pertencem à malha. Desta forma, para esta malha, temos a equação : (R + R 3 )i R 3 i 2 = v Com relação à segunda malha : O coeficiente da segunda corrente, i 2, é a soma dos valores das resistências que pertencem à sua malha. Então, a corrente i 2 será multiplicada por (R 2 + R 3 ) já que são estes os valores das resistências que pertencem à sua malha.o coeficiente das correntes de qualquer outra malha é o negativo da soma dos valores das resistências comuns à segunda e a malha considerada. Assim, a corrente da outra malha, i, será multiplicada por R 3 pois R 3 é o valor da resistência comum às duas malhas. O lado direito da equação é formado pela soma algébrica das fontes de tensão que pertencem à malha. Assim, para esta malha, temos a equação : R 3 i + (R 2 + R 3 )i 2 = v 2 Caso existam outras malhas e, consequentemente, outras correntes de malha, repete-se estes procedimentos para cada uma delas. Para o circuito apresentado, o sistema de equações é, então : (R + R 3 )i R 3 i 2 = v R 3 i + (R 2 + R 3 )i 2 = v 2

Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Versão 0.2 22 ou, na forma matricial, [ ] [ ] R + R 3 R 3 i = R 3 R 2 + R 3 i 2 [ v v 2 ] Exemplo - Utilizando as equações de malha obtidas para o circuito mostrado na Figura 2.4, e considerando R = 2Ω, R 2 = Ω, R 3 = 4Ω, v = 2V e v 2 = 6V, calcular os valores de i e i 2. ou [ 6 4 4 5 Daí, obtemos : (2 + 4)i 4i 2 = 2 4i + ( + 4)i 2 = 6 [ i i 2 ] [ ] i = ] = i 2 [ ] 2 [ ] 2 6 Apesar de ser simples, o sistema acima pode ser resolvido através da função linsolve do Scilab. Esta função considera que o sistema linear esta escrito na forma: Ax + b = 0 onde A é a matriz dos coeficientes, b é o vetor dos termos independentes e x é o vetor das incógnitas. O vetor x, no nosso caso, é o vetor das correntes. [ ] i x = Temos, então, os seguintes procedimentos : =========== S c i l a b =========== i 2 scilab-2.5 Copyright (C) 989-99 INRIA Startup execution: loading initial environment -->// Entrada da matriz A : -->A = [ 6-4; -4 5] A =

Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Versão 0.2 23! 6. - 4.!! - 4. 5.! --> // Entrada do vetor b (observar a troca dos sinais) : -->b = [ - 2; 6] b =! - 2.!! 6.! -->// Chamada da funcao linsolve : -->[x] = linsolve(a, b) x =! -.!! - 2.! --> Exemplo - Obter as equações de malha para o circuito mostrado na Figura 2.5 R R 2 i 2 R 4 + v i R v 2 5 + R 3 i 3 R 6 Figura 2.5: Obtenção das equações de malha Temos, (R + R 2 + R 3 )i R 2 i 2 R 3 i 3 = v R 2 i + (R 2 + R 4 + R 5 )i 2 R 5 i 3 = v 2 R 3 i R 5 i 2 + (R 3 + R 5 + R 6 )i 3 = v 2 ou, na forma matricial,

Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Versão 0.2 24 R + R 2 + R 3 R 2 R 3 i v R 2 R 2 + R 4 + R 5 R 5 i 2 = v 2 R 3 R 5 R 3 + R 4 + R 6 i 3 v 2 Exemplo - Obter, usando as equações de malha, as correntes i e i 2 mostradas no circuito da Figura 2.6 R R 2 + i i + 2 v v 2 R 3 Figura 2.6: Obtenção das equações de malha Temos, (R + R 2 )i R 2 i 2 = v v 2 R 2 i + (R 2 + R 3 )i 2 = v 2 [ ] [ ] [ ] R + R 2 R 2 i v v = 2 R 2 R 2 + R 3 i 2 v 2 Então, [ ] [ ] 7 6 i = 6 8 Obtemos, resolvendo a equação anterior, [ ] i = [ 5 5 ] Usando o Scilab, temos : i 2 i 2 [ ] 5 0 -->A = [ 7-6; -6 8] A =! 7. - 6.!

Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Versão 0.2 25! - 6. 8.! -->b = [ 5; 0] b =! 5.!! 0.! -->[x] = linsolve(a, b) x =! - 5.!! - 5.! --> Exemplo - Obter, usando as equações de malha, as correntes i e i 2 mostradas no circuito da Figura 2.7 R + v 2 R 3 i i 2 v + R 2 + v 3 Figura 2.7: Obtenção das correntes de malha Temos as sequintes equações de malha : (R + R 2 )i R 2 i 2 = v v 2 R 2 i + (R 2 + R 3 )i 2 = v 2 v 3 Daí, considerando R = 2Ω, R 2 = 4Ω, R 3 = 6Ω, v = 6V, v 2 = 4V e v 3 = 3V, temos : [ ] [ ] [ ] R + R 2 R 2 i v v = 2 R 2 R 2 + R 3 i 2 v 2 v 3 Então, [ ] [ ] 6 4 i = 4 0 Resolvendo pelo Scilab, i 2 [ ] 0

Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Versão 0.2 26 -->A = [6-4; -4 0] A =! 6. - 4.!! - 4. 0.! -->b = [0; -] b =! 0.!! -.! -->[x] = linsolve(a, b) x =! - 2.8882!! - 0.7727273! --> Exemplo - Obter, usando as equações de malha, o valor da corrente que passa no resistor de 0Ω mostrado no circuito da Figura 2.8 0 Ω i3 8 Ω 5 Ω + 5 V i 3 Ω i 2 2 Ω Figura 2.8: Obtenção da corrente sobre o resistor de 0Ω Obtemos as sequintes equações de malha : (8 + 3)i 3i 2 8i 3 = 5 3i + (5 + 2 + 3)i 2 5i 3 = 0 8i 5i 2 + (8 + 0 + 5)i 3 = 0

Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Versão 0.2 27 ou i 3i 2 8i 3 = 5 3i + 0i 2 5i 3 = 0 8i 5i 2 + 23i 3 = 0 Usando o Scilab, obtemos : -->A = [ -3-8; -3 0-5; -8-5 23] A =!. - 3. - 8.!! - 3. 0. - 5.!! - 8. - 5. 23.! -->b = [-5; 0; 0] b =! - 5.!! 0.!! 0.! -->[x] = linsolve(a, b) x =! 2.6327055!!.3998288!!.2200342! --> Portanto, a corrente sobre o resistor de 0Ω é i 3 =.2200342A. 2.4 Método dos Nós Um nó, por definição, é um ponto de interconexão de elementos. circuito mostrado na Figura 2.9 possui três nós, como indicado. Assim, o

Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Versão 0.2 28 Nó Nó 2 R 2 i R R 3 i 2 Nó de referência Figura 2.9: Análise pelo método dos nós O procedimento para análise de circuitos pelo método dos nós :. Determinar o número de nós do circuito. O número de equações será igual ao número de nós menos um. No caso, temos três nós e, portanto, duas equações. 2. Eleger um nó como o nó de referência. Geralmente, este nó é o que possui o maior número de elementos conectados. No circuito mostrado, o nó de referência está destacado. Ao nó de referência é atribuído sinal negativo e aos outros, sinal positivo. 3. As equações de nós são escritas considerando condutâncias 2. No caso, temos três condutâncias: G = /R, G 2 = /R 2 eg 3 = /R 3 4. Cada nó tem uma tensão em relação ao nó de referência. Daí, a tensão no nó é v e a tensão no nó 2 é v 2. A lei dos nós estabelece o seguinte procedimento : o coeficiente da tensão no nó, v, é a soma das condutâncias conectadas à ele. Os coeficientes das outras tensões de nó são o negativo das somas das condutâncias entre esses nós e o nó. O lado direito da equação é a soma algébrica das correntes qure entram no nó devido a presença das fontes de corrente. Para os outros nós, o procedimento é semelhante. Exemplo - Obter, para o circuito da Figura 2.9, as equações dos nós. Temos, 2 A unidade de condutância é Siemens, símbolo S (/R + /R 2 )v /R 2 v 2 = i /R 2 v + (/R 2 + /R 3 )v 2 = i 2

Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Versão 0.2 29 ou (G + G 2 )v G 2 i 2 = i G 2 v + (G 2 + G 3 )v 2 = i 2 Estas equações podem ser escritas na forma matricial : [ ] [ ] [ ] G + G 2 G 2 v i = G 2 G 2 + G 3 v 2 i 2 Exemplo - Utilizando a lei dos nós, obter os valores de v, v 2 e i para o circuito mostrado na Figura 2.0. 7 A v i 8 Ω v 2 4 A 4 Ω 2 Ω Nó de Referência Figura 2.0: Análise pelo método dos nós Temos, (/4 + /8)v /8i 2 = 4 7 /8v + (/2 + /8)v 2 = 7 ou : Usando o Scilab, temos : [ ] [ ] 3 v = 3 5 v 2 [ ] 24 68 -->A = [3 -; -3 5] A =! 3. -.!! - 3. 5.! -->b = [24; -68]

Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Versão 0.2 30 b =! 24.!! - 68.! -->[x] = linsolve(a, b) x =! 4.!! 36.! --> Entao, v = 4V e v 2 = 36V. Utilizando o diagrama mostrado na Figura 2., obtemos i = 4A i 7 A v 3 A Figura 2.: Obtenção do valor da corrente i Exemplo - Utilizando a lei dos nós, obter os valores de v, v 2 e v 3 para o circuito mostrado na Figura 2.2. 5 A v v 2 v 3 S 2 S 7 A 3 S 4 S S 4 S 7 A Nó de Referência Figura 2.2: Obtenção dos valores das tensões v, v 2 e v 3 Temos :

Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Versão 0.2 3 ou, na forma matricial, Usando o Scilab, temos : (3 + )v v 2 + 0v 3 = 7 5 v + (3 + + 2)v 2 3v 3 = 5 0v 2v 2 + (2 + + 4)v 3 = 7 4 0 v 2 6 3 v 2 = 5 0 2 7 v 3 7 -->A = [4-0; - 6-3; 0-2 7] A =! 4. -. 0.!! -. 6. - 3.!! 0. - 2. 7.! -->b = [-2 ; -5; - 7] b =! - 2.!! - 5.!! - 7.! -->[x] = linsolve(a, b) x =!.532847!! 2.63387!! 3.75825! --> Então, v =.532847V, v 2 = 2.63387V e v 3 = 3.75825V. Exemplo - Utilizando a lei dos nós, obter os valores de v e v 2 para o circuito mostrado na Figura 2.3. Observar que este circuito possui uma fonte controlada de corrente.

Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Versão 0.2 32 5 i v + v v 2 /2 Ω 5 A i Ω Ω 2 Ω 2 v Figura 2.3: Obtenção dos valores das tensões - fonte controlada Neste caso, usamos os seguintes procedimentos :. Obter as equações de nós como se as fontes fossem independentes. Temos : ( + + 2)v 2v 2 = 5 5i 2v + (/2 + 2)v 2 = 5i + 2v 2. Expressar as variáveis controladoras, i e v, em termos das tensões dos nós. Temos : i = v v = v v 2 Portanto, e [ ] [ ] 9 2 v = 9 4.5 v 2 [ ] 5 0 -->A = [9-2; -9 4.5] A =! 9. - 2.!! - 9. 4.5! -->b = [-5 ; 0]

Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Versão 0.2 33 b =! - 5.!! 0.! -->[x] = linsolve(a, b) x =!.!! 2.! --> Assim, v = V e v 2 = 2V.

Capítulo 3 Análise de Circuitos Transformados 3. Introdução Circuitos elétricos podem ser analisados no domínio do tempo ou no domínio da freqüência. Como veremos, a análise no domínio do tempo resulta em uma equação diferencial que deve ser resolvida. No domínio da freqüencia, a equação a ser resolvida é uma equação polinomial. Utilizaremos a teoria apresentada nos dois capítulos anteriores para analisar circuitos elétricos. Inicialmente, mostraremos a análise no domínio do tempo. Depois, no domínio da freqüência. 3.2 Circuitos de Primeira Ordem Vamos considerar o circuito RC mostrado na Figura 3., formado por um capacitor e um resitor. A equação para a corrente no capacitor é dada por : i(t) + v(t) C R Figura 3.: Circuito RC i(t) = C dv dt onde C é a capacitância do capacitor. A corrente no resitor é dada por : i(t) = v R 34

Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Versão 0.3 35 onde R é a resistência do resistor. Em ambas as equações, a tensão v é uma função do tempo, v = v(t) Usando a lei dos nós, podemos escrever : C dv dt + v R = 0 A equação resultante é, portanto, uma equação diferencial de primeira ordem. Daí o nome dado a esse tipo de circuito. Esta equação diferencial pode ser resolvida por separação de variáveis. Temos, Então, Temos, dv v = RC dt dv v = RC lnv = t RC + k onde k é a constante de integração. Considerando v(0) = V 0, temos : v(t) = V 0 e t RC Para fixar conceitos, vamos considerar o circuito LC da Figura 3.2. Este circuito é formado por um indutor e um resistor. A equação para a tensão no indutor é dada por : i(t) dt L R Figura 3.2: Circuito RL v(t) = L di dt onde L é a indutância do indutor. A tensão no resitor é dada por : v(t) = Ri(t)

Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Versão 0.3 36 onde R é a resistência do resistor. Em ambas as equações, a corrente i é uma função do tempo, i = i(t) Utilizando a lei das malhas, obtemos L di dt + Ri = 0 que, também, pode ser resolvida por separação de variáveis. Temos, então, i(t) = I 0 e R L t Na Figura 3.7, mostramos os gráficos dessas respostas. V 0 v(t) V /e 0 τ = RC t I 0 i(t) I /e 0 τ = L/R t Figura 3.3: Respostas no domínio do tempo Na Figura 3.7, o parâmetro τ é a constante de tempo do circuito. necessário para que a resposta caia por um fator /e. É o tempo 3.3 Circuitos em Regime Permanente Em regime permanente, todas as tensões e correntes stabilizam-se em valores constantes. Como a corrente no capacitor é dada por : e, como i(t) = C dv dt v(t) = cte temos i(t) = 0. Daí, em regime permanente o capacitor comporta-se como um circuito aberto. No caso do indutor, temos v(t) = L di dt e = 2.7828... é a base do logarítmo neperiano

Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Versão 0.3 37 e, como i(t) = cte temos v(t) = 0. Então, em regime permanente o indutor comporta-se como um curto circuito. Exemplo - Para fixar os conceitos, vamos considerar o circuito mostrado na Figura 3.4. Vamos supor que o circuito está em regime permanente imediatamente antes da abertura da chave, em t = 0. t = 0 2 Ω 2 H + 0 V /4 F 3 Ω Figura 3.4: Regime permanente Imediatamente antes da abertura da chave, e por estar em regime permanente, o capacitor funciona como um circuito aberto e o indutor funciona como curto circuito como mostrado na Figura 3.5. 2 Ω i + 0 V /4 F + v 3 Ω Figura 3.5: Capacitor em aberto e indutor em curto e Nestas condições, i(0 ) = 2A v(0 ) = 6V Após a chave ser aberta, o circuito passa a ser o mostrado na Figura 3.6.

Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Versão 0.3 38 2 Ω + 0 V /4 F 2 H i(0 ) = 2A v(0 ) = 6V 3 Ω Figura 3.6: Circuito após a chave ter sido aberta 3.4 Circuitos Transformados Nem sempre as equações diferenciais são tão simples e podem ser resolvidas de maneira tão fácil como as mostradas nos parágrafos precedentes. Na maioria dos casos, a opção é pelo método das transformadas com os procedimentos apresentados na Figura??. Inicialmente, o circuito dado no domínio do tempo é transformado em um circuito no domínio da freqüência.utilizamos, neste processo, a transformada de Laplace. Este circuito é, então, analisado usando-se as leis das malhas ou dos nós apresentados no Capítulo 2. O resultado obtido pode ser levado para o dominio do tempo através da transformada inversa de Laplace. Circuito no domínio do tempo Laplace Circuito no domínio da freqüência Análise por Malhas ou Nós r(t) Inversa de Laplace R(s) Figura 3.7: Análise de circuitos no domínio da freqüência Para transformar o circuito do domínio do tempo para o domínio da freqüência, precisamos conhecer as transformadas de Laplace das tensões e correntes de seus elementos. 3.5 Elementos de Circuito no Domínio da Freqüência No domínio do tempo, a relação entre a tensão e a corrente em um resistor é dada por :

Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Versão 0.3 39 v(t) = Ri(t) Aplicando a transformada de Laplace na equação anterior, temos : V (s) = RI(s) No domínio da freqüência o resistor é, então, representado pelo diagrama mostrado na Figura 3.8. I(s) R + V(s) Figura 3.8: Representação do resistor no domínio da freqüência Para o indutor, as relações entre a corrente e a tensão no domínio do tempo podem ser representadas pelas equações cuja transformada de Laplace é : v(t) = L di dt V (s) = sli(s) Li(0 ) ou t i(t) = v(τ)dτ + i(0 ) L 0 com transformada de Laplace dada por : I(s) = sl V (s) + i(0 ) s onde i(0 ) é o valor da corrente em t = 0. A primeira equação transformada representa a tensão sobre os elementos apresentados na Figura 3.9(a) enquanto que a segunda equação transformada representa a corrente sobre os elementos apresentados na Figura 3.9(b).

Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Versão 0.3 40 I(s) I(s) + + sl V(s) sl i(0 ) s V(s) + L i(0 ) (a) (b) Figura 3.9: Representações do indutor no domínio da freqüência Para o capacitor, as relações entre a corrente e a tensão no domínio do tempo podem ser representadas pelas equações v(t) = i(τ)dτ + v(0 ) C 0 com transformada de Laplace dada por : t ou I(s) = sl V (s) + i(0 ) s i(t) = C dv dt cuja transformada de Laplace é : I(s) = scv (s) Cv(0 ) onde v(0 ) é o valor da tensão em t = 0. A primeira equação transformada representa a tensão sobre os elementos apresentados na Figura 3.0(a) enquanto que a segunda equação transformada representa a corrente sobre os elementos apresentados na Figura 3.0(b).

Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Versão 0.3 4 I(s) I(s) + + + sc v(0 ) V(s) sc Cv(0 ) V(s) s (a) (b) Figura 3.0: Representações do capacitor no domínio da freqüência Exemplo - Utilizando o método das transformadas, obter a tensão v(t) mostrada no circuito da Figura 3..Considerar que, com a chave na posição mostrada, o circuito está em regime permanente. i 2 H v(t) t = 0 3 V + V 2 Ω Figura 3.: Tensão v(t) sobre o indutor Imediatamente antes da chave mudar de posição em t = 0, temos o circuito mostrado na Figura??(a). Nesta configuração, obtemos : i(0 ) = 3 A Após a chave mudar de posição, o circuito transformado é, então, o mostrado na Figura??(b). Para este circuito, e, como I(s) = 9 2s 3s(2s + 3) V (s) = sli(s) Li(0 )

Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Versão 0.3 42 temos, V (s) = 4 s + 3 2 e, então, v(t) = L [V (s)] = 4e 3 2 t Exemplo - Utilizando o método das transformadas, obter a corrente i(t) mostrada no circuito da Figura 3.2.Considerar que, com a chave na posição mostrada, o circuito está em regime permanente. 2 F t = 0 i(t) 3 V + V 3 Ω Figura 3.2: Corrente i(t) sobre o capacitor Imediatamente antes da chave mudar de posição em t = 0, temos o circuito mostrado na Figura??(a). Nesta configuração, obtemos : v(0 ) = V Após a chave mudar de posição, o circuito transformado é, então, o mostrado na Figura??(b). Para este circuito, 4 I(s) = 3(s + 6 ) e, então, i(t) = L [I(s)] = 4 3 e 6 t

Capítulo 4 Função de Transferência 4. Introdução Em um sistema linear, a excitação, e(t), e a resposta, r(t), estão relacionadas através de uma equação diferencial. Aplicando a transformada de Laplace, a relação entre a excitação E(s) e a resposta R(s) passa a ser algébrica. Usaremos a função de transferência para analisar a resposta em freqüência de circuitos. 4.2 A Função H(s) Considerando condições iniciais nulas, a relação entre a excitação E(s) e a resposta R(s) no domínio da freqüência é dada pela equação R(s) = H(s)E(s) onde H(s) é chamada de função de transferência ou função de sistema. Exemplo - Obter H(s) para o circuito mostrado na Figura 4. R + I(s) V(s) sc sl Figura 4.: Função de transferência H(s) A entrada, ou excitação, do circuito é E(s) = I(s). R(s) = V (s). Então, encontrando a relação A saída, ou resposta, é V (s) I(s) = R(s) E(s) 43

Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Versão 0.4 44 encontraremos a função de transferência H(s). Temos, então, usando a lei das malhas, [ V (s) = R + ( sc )sl ] sl + I(s) sc Então, H(s) = V (s) I(s) = R + ( sc )sl sl + sc Exemplo - Obter H(s) para o circuito mostrado na Figura 4.2 sl I i I sc I o R Figura 4.2: Função de transferência H(s) Neste caso, a entrada, ou excitação, do circuito é E(s) = I i (s). resposta, é R(s) = I o (s). Usando a lei dos nós, temos : A saída, ou Daí, e, então, I i (s) = I (s) + I o (s) I i (s) = [ + R + sl sc H(s) = I o(s) I i (s) = + R + sl sc Pelo exposto nos exemplos anteriores, podemos verificar que a função de transferência depende apenas dos elementos de circuito (R, L, C) e é obtida pela aplicação das leis das malhas ou dos nós. 4.3 Resposta ao Impulso Analisando a relação R(s) = H(s)E(s) é óbvio que podemos encontrar R(s) sendo conhecidos o circuito,caracterizado por H(s), e a excitação, E(s). Considerando que a entrada é um impulso unitário, E(s) = L [δ(t)] = ] temos R(s) = H(s)

Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Versão 0.4 45 e. desta relação, r(t) = h(t) onde a função h(t) é chamada de resposta ao impulso. Exemplo - Obter a resposta ao impulso para o circuito mostrado na Figura 4.3 C sc δ( t) + R + R (a) (b) Figura 4.3: Resposta ao impulso O primeiro passo é transformar o circuito para o domínio da freqüência, como mostrado na Figura 4.3(b). Depois, encontramos a função de transferência, [ ] s H(s) = R(s + RC ) = RC R s + RC A resposta ao impulso será, então, ht = L [H(s)] = [ δ(t) ] R RC e t RC 4.4 Resposta ao Degrau No caso da entrada degrau, temos E(s) = L [u(t)] = s A resposta no domínio do tempo será, então, r(t) = α(t) = L [ H(s) s Exemplo - Obter a resposta ao degrau para o circuito mostrado na Figura 4.4 ] L sl + u(t) R s + R (a) (b) Figura 4.4: Resposta ao degrau É importante observar que, no domínio do tempo, NÃO se define função de transferência

Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Versão 0.4 46 O primeiro passo é transformar o circuito para o domínio da freqüência, como mostrado na Figura 4.4(b). Depois, encontramos a função de transferência, daí, Então, H(s) = I(s) V (s) = R + sl [ α(t) = L R α(t) = R ( )] s s + R L [ ] e t R L u(t) 4.5 Resposta à Rampa Para uma entrada rampa unitária, 4.6 Integral de Convolução E(s) = L [ρ(t)] = s 2 [ ] H(s) r(t) = γ(t) = L s 2 Sejam f (t) e f 2 (t) duas funções que são iguais a zero para t < 0. convolução de f (t) com f 2 (t) através da expressão : Define-se a Se f (t) f 2 (t) = t 0 f (t τ)f 2 (τ)dτ f (t) F (s) f 2 (t) F 2 (s) então, L [f (t) f 2 (t)] = F (s)f 2 (s) Como temos : R(s) = H(s)E(s) r(t) = L [R(s)] = L [H(s)E(s)]

Capítulo 5 Resposta em Freqüência 5. Introdução Vamos considerar o sistema linear, invariante no tempo, mostrado na Figura 5. e(t) E(s) H(s) r(t) R(s) Figura 5.: Sistema linear invariante no tempo Se a excitação deste sistema é senoidal, e(t) = Asenωt temos, E(s) = Aω s 2 + ω 2 Como a resposta no domínio da freqüência é dada por, temos, R(s) = H(s)E(s) R(s) = AωH(s) s 2 + ω 2 Expandindo R(s) em frações parciais, temos : R(s) = k s jω + k 2 + OUTROS s + jω }{{ TERMOS}}{{} Fatores devido a H(s) Fatores devido a E(s) Os fatores originados devido a excitação E(s), ou termos com polos associados a E(s), originam a resposta forçada, também chamada de solução particular ou solução em regime permanente. Os outros fatores, associados aos polos da função 47

Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Versão 0.2 48 de transferência H(s),origiman a resposta livre também chamada de solução complementar ou solução em regime transitório. Iremos nos interessar apenas pela solução em regime permanente. Neste caso, R(s) = k s jω + k 2 s + jω Como pode ser observado, R(s) possui termos com raízes complexas simples. Como vimos no Capítulo, para estes tipos de função a transformada inversa de Laplace é da forma f(t) = Me αt sen(βt + φ) com M e φ sendo obtidos através da expressão No caso, temos Me jφ = N(s) βd (s) s=α+jβ α = 0 β = ω D (s) = Assim, e ou f(t) = r(t) = Msen(βt + φ) Me jφ = AH(jω) φ = H(jω) M = AH(jω) Podemos verificar, então, que um sistema linear, estável, invariante no tempo, submetido à uma entrada senoidal possuirá, em regime permanente, uma saída também senoidal com a mesma freqüência da entrada. A amplitude e a fase da senóide de saída, em geral, serão diferentes. Assim, para se obter a resposta em freqüência de um circuito, basta substituir s por jω na função de transferência. A resposta em freqüência é formada por dois gráficos: o gráfico da resposta em amplitude, H(s) em função de ω e o gráfico da resposta em fase, H(s) em função de ω. Exemplo - Obter a resposta em freqüência para o circuito mostrado na Figura 5.2

Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Versão 0.2 49 R E(s) sc R(s) Figura 5.2: Circuito RC Inicialmente, obtemos a função de transferência deste circuito. Temos, Depois, trocamos s por jω, H(s) = + src H(jω) = Daí, para a resposta em amplitude, M(ω) = H(jω) = + jωrc + (ωrc) 2 e para a resposta em fase, φ(ω) = H(jω) = atan(ωrc) Utilizando o Scilab, obtemos as curvas mostradas na Figura??. 5.2 Curvas de Bode Em 940, H. W. Bode desenvolveu um método baseado em assíntotas para representar a resposta em freqüência. A resposta em freqüência, como vimos, depende diretamente da função de transferência do circuito.em geral, a função de transferência é escrita na forma : H(s) = N(s) D(s) Nesta função, são possíveis os seguintes termos : Termo constante - Neste caso, a função de transferência é escrita na forma : H(s) = k Termo s - O termo s pode estar no numerador ou no denominador de H(s), H(s) = s ±