Aula 9 CONSEVAÇÃO DO MOMENTO ANGULA META ntroduzr a tercera grande le de conservação da mecânca, que é a le de Conservação do Momento Angular. Mostrar como resolver os problemas de cnemátca e dnâmca envolvendo movmento de rotação. OBJETVOS Que os alunos tenham clareza da mportânca e do papel da Le de Conservação do Momento Angular. Que os alunos possam, através dos exemplos e das atvdades desta aula, adqurr a mesma procênca na solução dos problemas envolvendo rotação, que devem ter adqurdo nos problemas de cnemátca e dnâmca das aulas anterores. PÉ-EQUSTOS O domíno da dnâmca e cnemátca rotaconal vsta na aula 8. 359
NTODUÇÃO A Le de Conservação do Momento Angular pode ser entendda a partr da aplcação da Segunda Le de Newton na sua orma rotaconal, da mesma manera que a Le de Conservação do Momento Lnear é uma conseqüênca da Segunda Le de Newton. dp dp Neste últmo caso tínhamos F (se tvermos um corpo rígdo F ext, onde F ext é dt dt a somatóra das orças externas exercdas sobre o corpo). Se dp F ext então e dt como conseqüênca p = constante. Esta últma gualdade é a expressão matemátca de Le de Conservação do Momento Lnear e se a soma das orças externas sobre um corpo or nula, seu momento lnear se conserva. Da mesma manera, partndo da Segunda Le de Newton na sua dl orma rotaconal, que é, ext, vemos que se dl ext, então e dt dt consequentemente L = constante. Esta últma gualdade exprme a Le de Conservação do Momento Angular, que é: Se a resultante dos torques das orças externas que atuam sobre um corpo or nula, seu momento angular é conservado. Quando na 8 aula, mostramos a Segunda Le de Newton na sua orma rotaconal, observamos que ela era uma mera conseqüênca da Segunda Le de Newton na orma lnear, e não uma nova le undamental da Físca. Entretanto a Le de Conservação do Momento Angular é uma le undamental da Físca, em pé de gualdade de estado com as demas les de conservação da Mecânca a conservação da energa, e a conservação do momento lnear. E é uma le que tem valdade, tanto quanto as demas les de conservação que acabamos de menconar, em domínos em que a própra mecânca newtonana não é mas válda, como na escala mcroscópca da ísca atômca e da ísca nuclear. Vamos tentar desazer esta aparente contradção. A grande obra de Newton: Prncípos Matemátcos da Flosoa Natural, o escrto no nal do século XV. No século XV ela sore uma enorme transormação na sua ormulação matemátca, pelos grandes matemátcos ranceses, entre os quas Lagrange, Laplace, D Alembert. Estes oram homens do lumnsmo. 36
lumnsmo: movmento cultural (polítco e losóco) do século XV na França. Este movmento o o substrato teórco da evolução Francesa. Tratou-se de uma modcação do erramental matemátco da teora, que não alterou o conteúdo ísco da mecânca newtonana. Vocês da Unversdade Aberta, vão estudar esta nova ormulação em uma dscplna do curso de Físca chamada, Mecânca Clássca. Nesta reormulação, as equações de movmento não decorrem da Segunda Le de Newton, mas de um prncípo mas geral, chamado Prncípo de Mínma Ação. Mostrase, no âmbto desta reormulação, que as três grandes les de conservação da Mecânca, a saber, a Conservação do Momento Lnear e a Conservação do Momento Angular, são conseqüêncas de propredades do espaço e do tempo da mecânca newtonana. Assm, a Conservação da Energa Mecânca é conseqüênca da unormdade do tempo. A conservação do Momento Lnear é conseqüênca da homogenedade do espaço e a Conservação do Momento Angular é conseqüênca da sotropa do espaço. (Ver reerênca 3 desta aula). sotropa do espaço: sgnca que todas as dreções têm a mesma mportânca. Não há uma dreção prvlegada no espaço. Desta manera, na reormulação matemátca da mecânca newtonana, à qual estamos nos reerndo, as três grandes les de conservação, surgem de três propredades undamentas do tempo e do espaço. Fca assm claro, porque são três les undamentas da mecânca, não sendo nenhuma uma mera reormulação de qualquer outra, da mesma orma que as três propredades do espaço e do tempo que lhes deram orgem, são também propredades undamentas e ndependentes. Grande parte deste capítulo será dedcada à exemplos de soluções de problemas envolvendo rotação. Vamos tentar sstematzar estas soluções em um conjunto de procedmentos, como zemos nas aulas sobre cnemátca e dnâmca lneares. Mas alertamos mas uma vez os alunos do ensno à dstânca, que mesmo segundo uma orma, até certo ponto padronzada, de abordagem dos problemas, mesmo contando com um bom número de exemplos de problemas undamentas, mesmo domnando e se lembrando 36
de todas as órmulas, o real domíno e segurança na solução dos problemas de qualquer área da Físca, só se obtém tentando resolver, por s mesmo, um bom número de problemas que estão relaconados nas atvdades, mostrando suas soluções aos tutores, dscutndo com eles, ou com o proessor coordenador, suas dúvdas, errando, e aprendendo com os erros cometdos. 9- Problemas envolvendo a aplcação da Segunda Le de Newton à rotação Energa Cnétca de otação ncalmente recordaremos o conceto de energa cnétca de rotação. A energa cnétca de um corpo que gra é a soma das energas cnétcas de suas partículas. A energa cnétca de um elemento de massa m é: m v K [9-] o corpo como: Usando a relação v r, podemos escrever a energa cnétca de rotação de todo K rot mv m ( r ) K rot ( m r ) Como vmos na 8 Aula, mr é o momento de nérca, do corpo. Então a energa cnétca de rotação é: K rot [9-] Que é o análogo de mv do movmento lnear. 36
Exemplo 9- Um volante, que é um dspostvo usado para armazenar energa, é um dsco 5 homogêneo de (,5 ) kg e rao,m, que gra à 3. rev/mn em relação ao seu centro de massa. Calcular a energa cnétca deste volante. Solução: A energa cnétca é: K rot Lembrando que o momento de nérca de um dsco com relação a um exo que passa em seu centro é: m 5 (,5 kg)(,m) 5 3,63 kg. m Escrevendo a velocdade angular em rad/s, temos: 3. rev 6 s 3. 6 34rad / s Colocando estes valores na expressão da energa cnétca: 5 9 K rot (3,63 kg. m )(34rad / s),79 J Movmento combnado de translação e rotação de um corpo rígdo Um corpo que rola em uma superíce, está em rotação em torno de um exo passando por seu CM e tem ao mesmo tempo um movmento de translação, que pode ser dado pelo movmento de seu centro de massa. Vamos mostrar que podemos escrever a 363
energa cnétca deste corpo seja tratando o movmento como uma rotação pura, seja como uma combnação de movmento de translação e de rotação. Consderemos um clndro que rola ao longo de uma superíce horzontal. (Ver Fg. [9-]). Fg. [9-] Se a rotação se dá sem escorregamento, em qualquer nstante o ponto de contato do clndro com a superíce está em repouso. O exo perpendcular à Fg. [9-], e, portanto à nossa pagna, e que passa pelo ponto P é chamado exo nstantâneo de rotação. Neste nstante a velocdade lnear de qualquer partícula do clndro é perpendcular à lnha que une a partícula ao ponto P, e seu valor é proporconal à dstânca deste segmento ( v r ). sto é o mesmo que dzer que nesse nstante o clndro está grando em torno de um exo que passa por P, com uma velocdade angular. Portanto nesse nstante o movmento do corpo é equvalente à uma rotação pura, e por sto a energa cnétca total do corpo pode ser expressa como: K P [9-3] Onde P é o momento de nérca do corpo em relação ao exo que passa por P. Pelo Teorema dos Exos Paralelos temos: P CM M [9-4] 364
Onde CM é o momento de nérca em relação ao centro de massa (CM) do clndro de massa M e rao, ou seja, é o momento de nérca com relação a um exo paralelo aquele que passa por P, e que passa pelo CM. Substtundo este valor (eq. [9-4]) ver equação [9-3], obtemos: K M CM K CM M [9-5] A quantdade é a velocdade do CM, quando consderamos o clndro em rotação em torno do exo de rotação nstantâneo que passa por P, então: v CM [9-6] E a expressão [4-3] pode ser escrta como: K CM Mv CM [9-7] Partmos então de [9-3] que é a expressão da energa cnétca do clndro rolando, tratado como uma rotação pura em torno do exo nstantâneo de rotação, e chegamos à [9-7] que tem uma nterpretação clara: é a energa cnétca de rotação do clndro em torno de um exo que passa por seu centro de massa e é paralelo ao exo de rotação nstantâneo do clndro, mas a energa cnétca de translação do CM. O exo que passa pelo CM é smplesmente o exo do clndro que é obvamente paralelo à qualquer exo de rotação nstantâneo. Observe-se que na equação [9-7] não há nenhuma reerênca ao exo de rotação nstantâneo. Na verdade a equação [9-7] aplca-se à qualquer movmento combnado de translação e rotação, que se dê em um plano, ou seja, o movmento de translação seja um movmento plano, e o exo de rotação seja perpendcular ao plano do movmento. Voltando ao caso de um corpo que rola sobre uma superíce, podemos sntetzar nossa conclusão dzendo que: 365
Os eetos combnados de translação do centro de massa e de rotação em torno do centro de massa, são equvalentes à uma rotação pura, com a mesma velocdade angular, em torno de um exo que passe pelo ponto de contato de um corpo que rola. Podemos compreender melhor esta questão de um corpo que rola, consderando as velocdades de derentes pontos de vstas de derentes reerencas. Se a velocdade do CM (medda por uma observador xo à superíce em que o corpo está rolando) é v CM, a velocdade angular nstantânea do CM em torno de um exo que passa por P(o ponto de contato com a superíce) é trada de v CM, e portanto é v CM na parte superor do clndro, terá, com relação à superíce, a velocdade. Já um ponto Q v, portanto v vcm. Como o ponto P está em repouso com relação ao solo, as velocdades nstantâneas de P, do CM (ponto C) e do ponto Q, são as mostradas na Fg. [9-], que é um corte transversal no clndro por um plano passando pelo seu centro de massa, e perpendcular ao exo do clndro. Fg. [9-] Consderemos agora o rolamento com uma combnação da translação do centro de massa e da rotação do exo do clndro que passa por C. Consderando-se apenas a translação, todos os pontos do clndro têm a mesma velocdade v CM do centro de massa. (Ver Fg. [9-3] (a))., que é a velocdade 366
Consderando-se apenas a rotação, o centro de massa está em repouso, o ponto Q tem velocdade + r e o ponto P tem velocdade - r (Fg. [9-3] (b)). Na Fg. [9-3] (c), temos a soma destes resultados para cada ponto. Fg. [9-] A soma dos resultados de (a) e (b) para cada ponto é: Para o ponto Q: v CM v vcm vcm v CM Para o ponto C: v v CM v CM vcm Para o ponto P: v vcm vcm A soma dos resultados é a velocdade nstantânea de cada um destes três pontos consderados do clndro com relação ao solo. Este resultado concde com o mostrado na Fg. [9-], quando analsamos o movmento como uma rotação passando por P que esta nstantaneamente em repouso com relação ao solo. Da Fg. [9-3], partes (b) e (c), vemos que as velocdades tangencas de qualquer ponto da borda do clndro têm módulo vcm, quando meddas no reerencal do 367
centro de massa, onde v CM é a velocdade de translação do centro de massa com relação ao solo. Nos problemas aremos uso deste resultado. Exemplo 9- Seja um clndro macço homogêneo de massa M e rao, rolando sem deslzar, por um plano nclnado. Determnar a velocdade do seu centro de massa, quando o clndro chegar à base do plano. (O plano tem altura h). Solução: esolveremos ncalmente por conservação de energa. Observemos então que os problemas de dnâmca envolvendo rotação podem como os problemas envolvendo apenas translação, que estudamos na 5 e 6 aulas, serem resolvdos, tanto pelas equações de movmento decorrentes da aplcação da Le de Newton quanto usando a le de conservação de energa. A energa cnétca adqurda pelo clndro é: E CM Mv CM [9-8] Onde v CM é a velocdade lnear do centro de massa, e é a velocdade angular em torno do centro de massa, ambas quando o clndro chega à base do plano. No níco a clndro esta no alto do plano e sua velocdade é zero. (Ver Fg. [9-4]). Fg. [9-4] 368
gualando a energa ncal, nteramente potencal, com a energa nal, nteramente cnétca, pos escolhemos a base do plano como nível zero de energa potencal, temos: Mgh CM Mv CM Como o momento de nérca de um clndro homogêneo macço é: CM M e v CM [9-9] Onde escrevemos [9-9] por causa do resultado anteror, e que o letor deve neste momento recordar. Então: Mgh M v CM Mv CM Mgh MvCM 4 v 4 CM 3 gh 4 v CM gh 3 [9-] 369
Se o clndro deslzasse pelo plano nclnado sem atrto, o equlíbro energétco levara como já vmos à equação: Mgh Mv CM, Donde resultara: v CM gl [9-] Comparando [9-] com [9-], vemos que na presença do atrto estátco, a energa cnétca total do clndro ao atngr a base do plano, tem além do termo da energa cnétca de translação, um termo que representa a energa cnétca de rotação. Mas como a energa cnétca total do clndro é a mesma, pos é gual à energa potencal ncal, concluímos que a velocdade nal do centro de massa é menor quando exste a orça de atrto. Notemos, porém que esta orça de atrto é uma orça de atrto estátco, que não é dsspatva, tanto que usamos a le de conservação de energa. O que a orça de atrto az é tão somente, obrgando o clndro a rodar, pos exerce um torque com relação ao exo do clndro, dvdr a energa cnétca em uma parte devda à translação e uma parte devda à rotação. Vamos agora resolver o mesmo problema usando a Le de Newton tanto na sua orma lnear quanto rotaconal. Fg. [9-5] 37
Na Fg. [9-5] vemos o esquema de orças. A orça peso do clndro é Mg. Temos a orça de atrto que atua ao longo do plano nclnado do clndro e a orça N que o plano exerce sobre o clndro. Escolhemos o exo X ao longo do plano nclnado (que é a dreção da aceleração lnear), e o Y perpendcular a X. Partndo da equação: F Ma [9-] Vamos decompor esta equação segundo o exo Y e segundo X, obtendo as equações escalares respectvas, a saber: N Mg cos (segundo Y) (a) e [9-3] Mg sen Ma (segundo X) (b) O movmento de rotação é descrto pela equação: CM Observemos que N e que passam pelo centro de massa. Temos: Mg tem torque nulo porque são drgdos segundo dreções F F sen 9 Mas: CM 37
M CM (momento de nérca do clndro) [9-4] Observemos agora que sendo v, e como mostramos que a velocdade v de um ponto da borda do clndro em relação ao centro de massa é um módulo gual à velocdade do centro de massa em relação ao plano nclnado, ou seja, v vcm, como dvcm at e a T, então também dv CM dt dt. Mas dvcm a dt CM. Concluímos que a aceleração do centro de massa com relação ao plano nclnado, que em [9-4] (b) chamamos a é: a [9-6] De [9-4] tramos: CM, E levando em conta o valor de ( CM M ; eq. [9-5]): CM M a Mas mostramos que (Eq. [9-6]). Então: M a Ma Substtundo este resultado em [9-3] (b), temos: 37
Mg sen Ma Ma g sen 3 a a g sen [9-7] 3 Observemos que temos também para aceleração, um resultado análogo ao que obtvemos para a velocdade. A aceleração do clndro que rola g sen é menor que a 3 do clndro que deslza sem atrto ( g sen ). Como o clndro parte do repouso a equação de Torrcell ornece: v as onde s é o comprmento do plano nclnado. (Ver Fg. [9-9]). Então: v g sen s 3 Mas, h sen (Ver Fg. [9-9]) s Então: v 4 3 h g s s 4 3 g h Donde concluímos o mesmo resultado que tínhamos obtdo por conservação de energa, qual seja: 373
v 4 3 g h Sstemátca para solução dos problemas Nos exemplos que se seguem, vamos usar a sstemátca de solução de problemas, com a aplcação da segunda Le de Newton, que mostramos na qunta aula, e que agora recaptularemos:. Desenhar o problema. Entender corretamente seu enuncado, qual a stuação ísca em questão e quas os resultados teórcos possíves de serem utlzados;. Fazer um dagrama do problema, solando os derentes corpos e desenhando as orças que atuam em cada corpo; 3. Escolher os sstemas de exos cartesanos, colocando, no caso do movmento lnear, um exo na dreção da aceleração do corpo; 4. Eetuar a resultante das orças em cada corpo, trabalhando com as componentes em cada exo; 5. Escrever a Le de Newton, decompondo-a em cada exo. 6. esolver as questões obtdas. Exemplo 9-3 Uma bccleta tem uma corrente que aplca um torque em sua roda trasera, através de uma corrente dentada que movmenta um clndro de 7cm de rao. Admtmos que a roda seja um aro de 35cm de rao e com uma massa de,4kg. Supondo que a orça exercda pela correa dentada seja constante e gual à 8N, qual a velocdade angular da roda depos de 5s? (A roda gra lvremente, ou seja, não está apoada no chão). Solução:. São dadas: a orça F 8N, o rao do clndro r C 7cm ; o rao da roda 35cm ; a massa da roda M, 4kg. Pela Le de Newton (na orma rotaconal) 374
calculamos a aceleração angular, que é constante, pos o torque é constante, e então a velocdade angular a partr da aceleração. Fg. [9-6]. O dagrama está na Fg. [9-6]. Se a roda é lvre para se mover ela está sustentada no ar. Exste então uma orça peso, cuja resultante (de todos os elementos de massa da roda e do exo) tem dreção que passa pelo exo e, portanto não exerce torque sobre a roda, e uma orça gual e contrára, também passando pelo centro de massa e que também não exerce torque (tem dreção apontada para o exo). Não colocamos estas duas orças que se anulam e não exercem torque, no nosso dagrama da g. [9-6]; 3. A roda da bccleta não se movmenta, alem da rotação. Seu centro de massa é móvel. Não usamos neste caso um sstema de exos cartesanos; vale 4. Há uma únca orça F ; 5. A segunda le de Newton é. Donde ext c Fr. O momento de nérca da roda é ext ext. O únco torque M, assm a aceleração ca: Fr s. M 6. Lembrando que t (movmento de rotação unormemente acelerado) e sendo (a roda parte do repouso), camos com: 375
8N,7m 4,9rad / s ;,4kg,35m 4,9rad / s 5 s,4 rad s t /. esposta:,4rad / s Exemplo 9-4 Um corpo de massa está pendurado em um cordel que passa por uma placa cujo momento de nérca em relação ao própro exo é e o rao é. A pola roda sem atrto e o cordel não escorrega pela sua borda. Calcular a tensão no cordel e a aceleração do corpo. Solução: Fg. [9-7]. O problema está desenhado na g. [9-7]. O corpo desce com aceleração constante a e a pola gra com aceleração constante. Como o cordel se desenrola sem escorregar a aceleração tangencal de qualquer ponto da corda da pola a T, é a aceleração a do cordel. Então como a T, temos: 376
a [9-7];. Fg. [9-8] Na g. [9-8] está eta o dagrama de orças da massa m; 3. Escolhemos o exo Y na dreção da aceleração a. Ao mesmo tempo estabelecemos como sentdo postvo de rotação o sentdo horáro; 4. A resultante das orças aplcadas sobre a massa m, é quando projetada no exo Y: mg T [9-8] 5. Escrevemos então a Le de Newton, para o movmento lnear da massa m, já projetada no exo Y: mg T ma [9-9] Ao mesmo tempo escrevemos a Le de Newton, para o movmento rotaconal da pola: ext [9-] Temos anda: ext T [9-] 6. esolvendo as equações, exprmmos em unção de. 377
T Como T a, então: T [9-] Substtundo este resultado na le de Newton (equação [9-]), temos: mg T T m, e então: mg mg [9-3] esposta (a). m m T Substtundo este valor de t (equação [9-3]) em [9-]) chegamos nalmente à: m g esposta (b). m a Observação: () Notemos que aqu, como no exemplo, a orça de atrto, sendo o atrto estátco, não é uma orça dsspatva. Naquele exemplo (exemplo ) ela aza rodar o clndro, aqu ela az rodar a pola. () Se a corda smplesmente deslzasse sobre a pola, sem atrto, a aceleração da massa m sera maor, pos sera smplesmente g (queda lvre). Exemplo 9-5 Dos corpos estão presos a um cordel que passa por uma pola de rao, e momento de nérca. O corpo de massa m deslza sobre uma superíce horzontal sem 378
atrto. O corpo de massa m está pendurado no cordel. Calcular a aceleração a dos dos corpos e as tensões T e T admtndo que não haja escorregamento do cordel na pola. Solução: Fg. [9-8]. Na Fg. [9-8], temos o desenho do problema. As tensões T e T não são guas, pos a pola é rodada. Os torques de T e T têm dreções opostas.. Na Fg. [9-9]. Temos o dagrama de orças que atuam em cada um dos corpos do problema 9as massas m e m, e a pola). Notemos que o exo da pola sendo xo, deve haver uma orça F que equlbre as orças T et. s Fg. [9-9] 379
3. Colocamos o sstema de exos XY para a descrção do movmento de m. Os exos são tas que a superíce sobre a qual se desloca à massa m, está em repouso neste reerencal (dos exos X e Y) e a dreção de X é a dreção da aceleração da massa m. Em m temos o mesmo exo y já descrto e, portanto neste caso a aceleração de m tem dreção oposta a do exo. 4. A resultante das orças em m é T, pos m g é contrabalançada pela normal F n. A projeção (escalar) de T no exo X é T. (Em Y é ). A resultante dos torques na pola é ( T T ). Onde adotamos o sentdo horáro de rotação como postvo. A resultante das orças T e sua projeção escalar sobre o exo Y é m g sobre a massa m é um vetor apontando para baxo. Então T m g. 5. A segunda le de Newton aplcada às massas m e m, e a segunda le de Newton para o movmento rotaconal, que são: T T m a m g m a [9-4] ext Fornecem quando projetadas sobre os exos ndcados e com snal escolhdo para o sentdo de rotação: T ma m g m a [9-5] T ( T T ) 6. De posse das equações [9-5], tramos todas as ncógntas peddas. Temos: ( T T ) m g ( m m ) a [9-6] 38
De ( T T ), tramos: T T ) ; ( Mas, como. Fcamos com: T a T a Então: a T T [9-7] Substtundo em [9-7] o valor de T T trado de [9-6], camos: a m g ( m m ) a [9-8] Podemos escrever [9-8] na orma: a ( m m ) a m g, O que é o mesmo que: multplcando por a ( m m a m ) g. 38
a m m m g Donde nalmente a prmera resposta: esposta : m a g. m m Por substtução de a nas equações de T e T, obtemos: esposta : m m g. m m T esposta 3: m m g. m m T Observação: Se, teremos T T e a aceleração é: m a g. m m 38
Potênca A Segunda Le de Newton na orma rotaconal mostra que havendo torque sobre um corpo em rotação, va haver também uma aceleração angular. Com sto há uma varação da energa cnétca. A taxa temporal desta varação é a potênca do torque. Passemos à sua dedução matemátca. Seja a orça F que atua sobre a ésma partícula de um corpo grante. Quando o corpo varre um ângulo d a partícula cobre uma dstânca ds r d e o trabalho da orça é: dw F ds F r d Lembrando que F r, podemos escrever a relação entre trabalho e torque de um movmento rotaconal como: dw d Consderando o corpo como um todo, temos: dw d Para acharmos à potênca do torque, basta calcular a dervada temporal da equação anteror. Fcamos então: P dw dt d dt Ou seja: P [9-9] 383
A expressão [9-9] é a análoga rotaconal da órmula da potênca P F v. 9- Conservação do momento angular Momento Angular Nesta seção mostraremos a relação entre o momento angular e a velocdade angular. Fg. [9-] Seja na Fg. [9-] uma partícula em movmento de rotação, percorrendo uma crcunerênca de rao r no plano XY. Seja v uma velocdade em um certo nstante. Então sabemos que seu momento angular é: l r p r mv l m r v sen 9 kˆ, onde kˆ é o versor do exo Z. Como v r, temos: 384
l m r kˆ [9-3] Mas kˆ é o vetor velocdade angular desta partícula (colocamos o índce para ndcar que esta é a ésma partícula de um sstema de partículas). Então [9-3] ca: l [9-3] Observemos que ao passar de [9-3] para [9-3] usamos a denção de como sendo: m r (momento de nérca). A relação [9-3] vale para o momento angular calculado com relação à um ponto que está no centro da crcunerênca. Se tomarmos um outro ponto O, stuado no exo Z da Fg. [9-] (Ver Fg. [9-]) podemos ver que a relação [9-3] não é mas válda. De ato o vetor l', como é perpendcular ao plano que contém r' e v, não mas tem dreção de exo Z. (Desenhamos, em perspectva o vetor L' na nossa Fg. [9-]). Fg. [9-] Se tomarmos uma outra partícula de mesma massa, stuada na mesma crcunerênca de rotação, mas em uma posção dametralmente oposta (Fg. [9-]), podemos ver que a soma dos momentos angulares L' L' é um vetor com dreção do exo Z. 385
Fg. [9-] Se tvermos um corpo cuja dstrbução de massa seja smétrca em relação à um exo que passe por seu centro de massa, somando o momento angular de seus derentes elementos de massa, teremos: L [9-3] onde L l (a soma dos momentos angulares de todas as partículas, e o exo que descrevemos, é chamado exo de smetra). Observar que o corpo é homogêneo, ou seja, a densdade de massa constante. dm é dv Exemplo 9-6 Determnar em cada caso segunte o momento angular das stuações : (a) Um carro de.kg percorrendo em sentdo ant-horáro uma crcunerênca de m de rao com velocdade de 5 m/s; (b) O mesmo carro deslocando-se com velocdade v 5m / s ˆ sobre a reta y y m (paralela, portanto ao exo X); 386
(c) Um dsco no plano XY, com rao m e massa de.kg, grando a,75 rad/s em torno do exo Z. Solução: (a) Os vetores r e p são perpendculares entre s e o produto r x p está na dreção do exo Z (Ver Fg. [9-3]). Então: L r p r v kˆ (m)(.kg)(5m / s) kˆ L 3,6 5 kg. m s kˆ Fg. [9-3] 387
Fg. [9-4] (b) O carro desloca-se para a esquerda sobre a reta p em termos dos versores dos versores: y y m. Exprmndo r e r xˆ y ˆj p pˆ Temos: L r p ( xˆ y ˆ) j ( pˆ) L xp( ˆ ˆ) y ( ˆ p j ˆ) L xp ) y p( kˆ) ( y pkˆ Então: L 3,6 5 kg. m s kˆ (c) Neste caso (Fg. [9.5]), como Z é um exo de smetra do dsco homogêneo usamos: 388
L k M ˆ kˆ L (.kg)(m) rad,75 kˆ s,8 5 kg. m s kˆ Fg. [9-5] Conclusão: () Os momentos angulares nas stuações (a) e (b) são guas; na stuação (c) o momento angular do dsco é metade dos momentos angulares das stuações (a) e (b). sto porque comparando o momento de nérca do carro na stuação (a) (com relação ao exo Z) que é M r, vemos que é o dobro do momento angular do dsco que é M r. () Calculamos os momentos angulares da stuação (a) e (b) consderando os vetores em um dado nstante. Porém na suposção de que não haja torque de orças dl externas, pela le de Newton da rotação ext, o momento angular se conserva e os dt valores obtdos são váldos para qualquer nstante dos movmentos descrtos. 389
Conservação do Momento Angular Quando a resultante dos torques externos é nula, temos, pela le de Newton da dl rotação, que é ext que: dt dl dt E então: L constante [9-33] A equação é a expressão da le de conservação do momento angular. Se a resultante dos torques que agem sobre um sstema é nula, o momento angular do sstema é constante. Já dscutmos na ntrodução desta aula, que embora a le de Newton, na orma rotaconal, seja uma conseqüênca dreta da le de Newton, e embora a dreção do prncípo da conservação do momento angular seja uma conseqüênca dreta da le de Newton na orma rotaconal, esta le (da Conservação do Momento Angular) é uma das três les báscas de conservação da mecânca, em pé de gualdade em mportânca com as duas outras les. Na ntrodução desta aula, à qual remetemos neste momento o letor, explcamos o porquê desta nossa armação. Exemplo 9-7 Uma partícula de massa m descreve, com a velocdade v, uma crcunerênca de rao r sobre a superíce de uma mesa horzontal sem atrto. A partícula está presa a um o que passa por um buraco da mesa, no centro de uma crcunerênca, como mostra a Fg. [9-7]. O o é lentamente puxado para baxo de modo que a partícula acaba descrevendo uma crcunerênca de rao r. 39
(a) Calcular a velocdade nal em termos de r, v e r. (b) Calcular a tensão no o quando a partícula descreve um círculo de rao r em termos de m, r e do momento angular L mvr. (c) Calcular o trabalho eto sobre a partícula pela tensão T, ntegrando o elemento nntesmal de trabalho d T dr de r até r. (A resposta é em termos de r, r e L ). Fg. [9-6] Solução: A velocdade da partícula está relaconada com seu momento angular. Como a resultante das orças que agem sobre a partícula é T, e T tem dreção do exo de rotação, o torque de T é nulo e o momento angular se conserva. Então, como L mvr e L mv r, temos: mv r mv r r v esposta (a) r v Mas o módulo da aceleração radal (centrípeta) do movmento, quando o rao é r, e a tensão T na corda será, então: 39
T v m [9-34] r Ao mesmo tempo de: mv r mv (Conservação do momento Angular). r L Tramos: v L [9-35] mr Substtundo [9-34] em [9-35] camos com: T L mr L m [9-36] esposta (b) r mr 3 Em [9-36] escrevemos o módulo da orça tensão, em um dado momento, qual seja aquele em que o rao de rotação da massa é r. Para acharmos o trabalho da orça, ntegrando de r a r, temos que exprmr a tensão em unção de um rao genérco r, que va ser nossa varável de ntegração. Então: 3 3 L T ( r), [9-37] mr pos os mesmos racocínos que zemos para r, e as mesmas equações que escrevemos, valeram para qualquer r. O ponto essencal é que o momento angular L é o mesmo para qualquer r. Posto sto podemos escrever: 39
d T dr Tdr, [9-38] O snal menos que apareceu em [9-38] é devdo ao ato de que T (radal, e centrípeta) tem dreção oposta a do vetor posção r, e portanto de sua derencal dr. Então: L T dr dr, mr d 3 e, portanto: r r L Tde m r r r 3 L dr m r r L r r [9-39] esposta (c) m Observação: Uma vez que T representa uma orça sobre o sstema, temos a realzação de trabalho. Podemos ver em [9-39] que como r é menor que r, este trabalho é postvo. Devemos ter um aumento então da energa cnétca que é possível calcular. De ato como K L p Esta órmula é análoga à K, temos: m K L L K [9-4] mr mr r é Em [9-4] usamos o ato que momento de nérca da massa m grando com um rao mr. Então: L K K r r [9-] m 393
Comprovando o que havíamos obtdo por ntegração. CONCLUSÃO O mas mportante desta 9 aula, é aqulo que destacamos e dscutmos na ntrodução, e que voltamos a enatzar no tópco 9-, a Conservação do Momento Angular é uma das três les undamentas de conservação da Mecânca, em pé de gualdade com as outras duas e válda nclusve em domínos atômcos e subatômcos onde a Mecânca Clássca não mas se aplca e que azem parte do unverso Teórco da Mecânca Quântca. ESUMO Os pontos mas mportantes desta aula e que devem ser lembrados são:. A expressão [9-] da energa cnétca de rotação;. A combnação do movmento de rotação e translação culmnando na expressão [9-8]; 3. Denção de potênca. Expressão [9-9]; 4. A dedução da relação entre momento angular e momento de nérca. Expressão [9-3]. O restante do capítulo é uma sére de exemplos, nos quas demos especal ênase à uma certa sstemátca de abordagem destes problemas, análoga a sstemátca que mostramos na 5 aula. ATVDADE - Um alto-alante de kg está pendurado no respectvo o que passa por uma pola com rao de 8 cm e massa de,6 kg (Fg. [9 7]). O o está preso a um amplcador de 4 kg pousado sobre uma superíce horzontal. Esta superíce tem pequeno atrto e o altoalante prncpa a descer quando o amplcador é solto. (a) Qual a resultante do torque em relação ao exo da pola? (b) Qual o momento angular total do sstema 3,5 s depos de 394
prncpar a se mover? (c) Qual o momento angular da pola neste nstante? (d) Qual a razão entre o momento angular de cada equpamento e o momento angular da pola? Fg. [9-7] - Dos dscos, de massas guas mas raos derentes (r e r) estão montados num exo comum, sem atrto, e gram com a velocdade angular porém em sentdos opostos (Fg. [9 8]). Os dos dscos são lentamente reundos. A orça de atrto entre as duas superíces acaba por levá-los a uma velocdade angular comum aos dos. Qual o módulo desta velocdade angular nal em termos de? Fg. [9-8] 3 - Um corpo de massa m, deslzando sobre uma mesa horzontal sem atrto, está preso a um o que passa por um buraco no centro da mesa. ncalmente, o corpo deslza com a velocdade v, descrevendo um círculo de rao r. Calcular (a) o momento angular do corpo, (b) a energa cnétca do corpo e (c) a tensão no o. Uma pessoa, embaxo da mesa, puxa lentamente o o. Que trabalho é eetuado para reduzr o rao do círculo de r até r /? 4 - Uma partícula de 3 kg move-se com a velocdade v = (3 m/s) î sobre a reta z =, y = 5,3 m. (a) Calcular o momento angular L em relação à orgem quando a partícula estver em x = m, y = 5,3 m. (b) Uma orça F = (3 N) î é aplcada à partícula. Calcular o torque devdo a esta orça, em relação à orgem. 395
5 - O vetor posção de uma partícula de 3 kg é dado por r = 4 î + (3t ) ĵ, com r em metros e t em segundos. Determnar o momento angular da partícula e o torque que atua sobre ela em relação à orgem. 6 - Uma bola de kg, presa a um o de,5 m, descreve um círculo horzontal ao modo de um pêndulo cônco (Fg. [9 ]). O o az o ângulo = 3 com a vertcal, (a) Mostrar que o momento angular da bola, em relação à ponta xa do o P, tem uma componente horzontal na dreção do centro do círculo e uma outra vertcal; calcular estas componentes, (b) Calcular o módulo de dl/dt e mostrar que é gual ao módulo do torque da gravdade em relação ao ponto xo P. Fg. [9-8] 7 - Uma massa m sobre uma superíce horzontal, sem atrto, está lgada a uma corda que se enrola em tomo de um clndro horzontal, de modo que, em movmento, descreve uma espral para o exo deste clndro, (a) O momento angular da massa se conserva? (b) A energa da massa se conserva? (c) Se a velocdade da massa or v quando o comprmento lvre da corda or r, qual será a sua velocdade quando o comprmento lvre estver reduzdo a r/? eerêncas Bblográcas Tpler, A.P. Físca volume, 4 edção. LTC ano. esnck,., Hallday, D., Físca volume, 3 edção. LTC ano 979. 396