CONTEÚDO AOS LEITORES XXV OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA 4 Problemas e Soluções da Primeira Fase XXV OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA 7 Problemas e Soluções da Seguda Fase XXV OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA 3 Problemas e Soluções da Terceira Fase XXV OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA 49 Problemas e Soluções da Primeira Fase Nível Uiversitário XXV OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA 54 Problemas e Soluções da Seguda Fase Nível Uiversitário XXV OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA 63 Premiados AGENDA OLÍMPICA 67 COORDENADORES REGIONAIS 68
AOS LEITORES Neste úmero apresetamos os problemas e soluções da XXV Olimpíada Brasileira de Matemática, realizada durate o ao passado. A seguir o discurso do Prof. Jacob Palis Jr. a premiação da XXV Olimpíada Brasileira de Matemática, realizada a VII Semaa Olímpica, a cidade de Belo Horizote - MG em jaeiro de 004. Os editores. Ates de apresetar breves, e certamete apaixoadas palavras sobre as Olimpíadas Brasileiras de Matemática, quero registrar a miha admiração por um dos seus grades e talvez o maior de seus precursores: o professor Shigeo Wataabe. Embora físico é devido a ele uma pioeira e ampla atividade de Olimpíadas de Matemática o Estado de São Paulo, com o apoio da Academia de Ciêcias de São Paulo e da Secretaria Estadual de Educação de São Paulo. Seu exemplo, mais do que qualquer outro, ispirou a todos ós. Também cogratulo-me com todos os aluos premiados, seus professores e familiares. A Olimpíada Brasileira de Matemática OBM existe desde 979. Segudo o próprio relatório de atividades 997 003 do Programa Nacioal de Olimpíadas de Matemática, que getilmete foi preparado a meu pedido por Nelly Carvajal e Soia de Souza Silva de Melo, a OBM até etão, era relativamete limitada devido à escassez de recursos e sua ifluêcia a melhoria do esio resultava cosideravelmete meor que o almejado. Já desevolvia, o etato, um extraordiário trabalho a busca de joves taletos para a Matemática ou ciêcias afis. Basta citar a impressioate lista, certamete icompleta, de exceletes matemáticos que daí resultaram: Edso de Faria (USP), Nicolau Saldaha (PUC- Rio), Pedro Paulo Schimer (USP), Eduardo Esteves (IMPA), Ralph Costa Teixeira (FGV-Rio), Carlos Moreira, (Gugu) (IMPA), Eduardo Laber (PUC-Rio), Daiel Tausk (USP), Artur Avila (CNRS, Fraça). A OBM caracterizou-se sempre pela extrema dedicação de seus dirigetes, aliada à competêcia, bom gosto e fé iquebratável quato aos seus beefícios, ão só para a comuidade matemática, mas para a sociedade em geral. Ifelizmete, ao lado do idealismo dos olímpicos, em sempre foi possível participar da Olimpíada Iteracioal de Matemática, com sua equipe completa, por falta de recursos. Houve ocasiões em que algus de ós, matemáticos já estabelecidos, cotizamos a passagem de um ou mais brasileiros, de excepcioal qualificação, para possibilitar a prticipação do Brasil a Olimpíada Iteracioal. Em 997, sohei, já há aos totalmete covecido da importâcia das Olimpíadas, ser possível modificar radicalmete a situação. Coversei bastate EUREKA! N 9, 004
com Gugu, Nicolau, Elo Lima, Eduardo Wager, Augusto Morgado, Paulo Cézar Pito Carvalho, detre outros. Daí, com miha covicção e paixão em íveis elevados, parti para o covecimeto da Diretoria do CNPq, sob a Presidêcia de José Galizia Tudisi. A receptividade quato à importâcia de um ovo Programa Nacioal de Olimpíadas de Matemática foi excepcioalmete etusiástica. Nasceu aí uma ova etapa da OBM, agora sim ampla e permaete de tão importate atividade. Os recursos multiplicaram-se cosideravelmete, ido de muito pouco a cerca de R$00.000 esta trasição e a R$400.000 agora. Com o etusiasmo reovado e até ampliado de seus dirigetes, ouso dizer que o Programa Nacioal de Olimpíadas de Matemática torou-se eteramete robusto. Não é mais possível pesar seão em crescer, fortalecer-se técica e admiistrativamete e cotribuir decisivamete para o formação de uma ampla e sólida competêcia acioal em matemática, passado por uma almejada iclusão cietífica. A OBM hoje é uma atividade da Sociedade Brasileira de Matemática, compartilhada com o Istituto Nacioal de Matemática Pura e Aplicada IMPA e, a partir de 00, com o Istituto do Milêio Avaço Global e Itegrado da Matemática Brasileira, (IM-AGIMB). Nesta ova etapa, a participação do Brasil em Olimpíadas Iteracioais cresceu expoecialmete icluido além da Olimpíada Iteracioal, a Ibero-americaa, a Olimpíada de Maio, e a do Coe Sul, além de Olimpíadas Regioais. Foi criada em 998 a Eureka!, excelete publicação dedicada pricipalmete aos aluos e professores da escola secudária e editada três vezes ao ao. Multiplicou-se o icetivo à realização de Olimpíadas Regioais e ao fortalecimeto das coordeações regioais. O treiameto de aluos e professores em diversos íveis passou a ser atividade permaete. A melhoria do esio de matemática as escolas torou-se um objetivo exequível e cotíuo. Criou-se um Baco de Questões e Biblioteca o um site iterativo, assim como uma secretaria permaete o IMPA. Estabeleceu-se a Semaa Olímpica, como atividade aual, ocasião em que há um iteso treiameto dos aluos premiados com medalhas de Ouro, Prata, Broze e Meções Horosas. Após cerca de sete aos, deixo a Presidêcia da Comissão de Olimpíadas da SBM, muito feliz pelas coquistas que vocês obtiveram e com a certeza absoluta de que muito mais será alcaçado, de forma permaete. Lugares como Ribeirão Preto, Uberaba e Uberlâdia e tatos outros de Norte a Sul e de Leste a Oeste do país devem fazer parte do mapa da OBM. Sohem muito e partam para sua realização. Estarei sempre com vocês Jacob Palis Júior EUREKA! N 9, 004 3
XXV OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA Problemas e Soluções da Primeira Fase PROBLEMAS NÍVEL. Oze cubihos, todos de mesma aresta, foram colados coforme a figura a seguir. O meor úmero de cubihos, iguais aos já utilizados, que devem ser agregados ao sólido formado pelos oze cubihos para obtermos um cubo maciço é igual a: A) 48 B) 49 C) 5 D) 53 E) 56. Na tabela a seguir vemos o cosumo mesal de água de uma família durate os 5 primeiros meses de 003. Meses Cosumo (m 3 ) Jaeiro,5 Fevereiro 3,8 Março 3,7 Abril,4 Maio, O cosumo mesal médio dessa família durate os 5 meses foi: A),3 m 3 B),7 m 3 C),7 m 3 D) 63,5 m 3 E) 37,5 m 3 3. Você possui muitos palitos com 6 cm e 7 cm de comprimeto. Para fazer uma fila de palitos com comprimeto total de metros, o úmero míimo de palitos que você precisa utilizar é: A) 9 B) 30 C) 3 D) 3 E) 33 EUREKA! N 9, 004 4
4. Em um quadrado mágico, a soma dos úmeros de cada liha, colua ou diagoal é sempre a mesma. No quadrado mágico a seguir, o valor de x é: 4 x 6 3 A) 0 B) C) 3 D) 5 E) 7 5. Cosidere um úmero iteiro x e faça com ele as seguites operações sucessivas: multiplique por, some, multiplique por 3 e subtraia 5. Se o resultado for 0, o valor de x é: A) um úmero primo. B) um úmero par. C) um úmero etre 40 e 50. D) um úmero múltiplo de 3. E) um úmero cuja soma dos algarismos é 9. 6. Escreva os úmeros de 0 a 9 os círculos ao lado, de forma que eles cresçam o setido atihorário. Em seguida, subtraia dos úmeros ímpares e some aos úmeros pares. Escolhedo três círculos cosecutivos, qual é a maior soma que se pode obter? A) 9 B) C) 3 D) 4 E) 5 7. O retâgulo da figura a seguir está dividido em 7 quadrados. Se a área do meor quadrado é igual a, a área do retâgulo é igual a: A) 4 B) 44 C) 45 D) 48 E) 49 EUREKA! N 9, 004 5
8. Cosidere a seqüêcia oscilate:,, 3, 4, 5, 4, 3,,,, 3, 4, 5, 4, 3,,,, 3, 4, O 003 o termo desta seqüêcia é: A) B) C) 3 D) 4 E) 5 9. João disse para Maria: Se eu lhe der um quarto do que teho, você ficará com metade do que vai me sobrar. Maria acrescetou: E eu lhe daria 5 reais, se lhe desse a metade do que teho. Jutos, os dois possuem: A) 80 reais B) 90 reais C) 00 reais D) 0 reais E)30 reais 0. Uma escola precisa comprar mesas e cadeiras ovas para seu refeitório, cada mesa com 4 cadeiras, que serão distribuídas os 3 setores do refeitório. Em cada setor do refeitório cabem 8 fileiras de mesas e, em cada fileira, cabem 4 mesas. Quatas mesas e cadeiras deverão ser compradas? A) mesas e 448 cadeiras B) mesas e 344 cadeiras C) 336 mesas e 448 cadeiras D) 336 mesas e 896 cadeiras E) 336 mesas e 344 cadeiras. As 4 colorações a seguir são cosideradas iguais por coicidirem por rotação. De quatos modos diferetes é possível colorir as casas de um tabuleiro de braco ou preto de modo que ão existam dois tabuleiros que coicidam por rotação? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8. Numa festa típica, cada prato de arroz foi servido para duas pessoas, cada prato de maioese para três pessoas, cada prato de care servia quatro pessoas e cada prato de doces dava exatamete para cico pessoas. Foram utilizados 77 pratos e todas as pessoas se serviram de todos os pratos oferecidos. Quatas pessoas havia a festa? A) 0 B) 30 C) 45 D) 60 E) 75 EUREKA! N 9, 004 6
3. Na orgaização retagular de potos da figura abaixo, a distâcia etre potos vizihos em uma mesma liha ou colua é igual a cm. C D E B A área do petágoo ABCDE é, em cm, é igual a: A) 9 B) 9 A C) 0 D) E) 4. Um quadrado de área foi cortado em cico filas de 5 quadradihos cada. Todos os quadradihos são cogruetes. Marcam-se os quadradihos de uma liha qualquer, de uma diagoal qualquer e de uma colua qualquer, e, em seguida, retiram-se os quadrados assialados. A área coberta pelos quadradihos restates vale, o míimo, A) B) C) 5 5 5 3 D) 5 E) 5 3 5. Um troféu formado por cico recipietes cúbicos foi costruído da seguite maeira: sob o cubo de lado 0 cm foi soldado o cubo de lado 0 cm, sob este foi soldado o cubo de lado 30 cm, e assim por diate. Toda a superfície extera desse troféu deverá ser coberta com um certo tipo de revestimeto. Quatos metros quadrados desse revestimeto serão ecessários? A),5 B),5 C),7 D),75 E) 3 EUREKA! N 9, 004 7
6. Num certo aeroporto, Nelly camihava calmamete à razão de um metro por segudo; ao tomar uma esteira rolate de 0 metros, Nelly cotiuou adado o mesmo passo e otou ter levado um miuto para chegar ao fim da esteira. Se Gugu ficar parado esta esteira, quato tempo levará para ser trasportado? A) mi0s B) mi4s C) mi30s D) mi40s E) mi 7. Uma certa máquia tem um visor, ode aparece um úmero iteiro x, e duas teclas A e B. Quado se aperta a tecla A o úmero do visor é substituído por x +. Quado se aperta a tecla B o úmero do visor é substituído por 3x. Se o visor está o úmero 5, apertado alguma seqüêcia das teclas A e B, o maior úmero de dois algarismos que se pode obter é: A) 85 B) 87 C) 9 D) 95 E) 96 8. A seqüêcia descreve a si mesma, pois ela é formada por exatamete dois. Aalogamete, a seqüêcia 3 33 5 descreve a si mesma, pois é formada por exatamete três, um, três 3 e um 5. Qual das seguites seqüêcias ão descreve a si mesma? A) 3 3 6 B) 3 33 8 C) 3 33 7 9 D) 3 33 4 5 E) 4 3 3 4 5 6 8 9. Camila e Lara estão disputado o seguite jogo um tabuleiro 4 4: Camila marca algumas casas do tabuleiro e iforma à Lara o úmero de casas marcadas a vizihaça de cada casa do tabuleiro. Neste jogo, duas casas distitas são cosideradas vizihas se possuem um lado ou um cato (vértice) em comum. Lara deve descobrir quais casas foram marcadas por Camila. Após marcar algumas casas, Camila passou para Lara o seguite tabuleiro: 0 3 3 0 O úmero de casas marcadas foi: A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 EUREKA! N 9, 004 8
0. Imagie uma pilha com cem milhões de folhas de papel sulfite, cada uma com 0, milímetro de espessura. Assiale a alterativa mais próxima da altura da pilha. A) a sua altura. B) o comprimeto do maior aimal do mudo, a baleia azul, que é cerca de 9 metros. C) a altura do edifício mais alto do mudo, o Petroas Tower, que tem 88 adares. D) a altura do pico mais alto do mudo, o Mote Everest, que é 8848 metros. E) a distâcia do plaeta Terra à Lua, que é muito maior que todas as alterativas ateriores. PROBLEMAS NÍVEL. Veja o problema No. 7 do Nível.. Veja o problema No. 3 do Nível. 3. A maior raiz da equação (x 37) 69 = 0 é: A) 39 B) 43 C) 47 D) 50 E) 53 4. Veja o problema No. 7 do Nível. 5. Veja o problema No. 4 do Nível. 6. Seja = 9867. Se você calculasse 3 você ecotraria um úmero cujo algarismo das uidades é: A) 0 B) C) 4 D) 6 E) 8 7. Na figura, o úmero 8 foi obtido somado-se os dois úmeros diretamete abaixo de sua casiha. Os outros úmeros as três lihas superiores são obtidos da mesma forma. Qual é o valor de x? 4 8 3 5 x 6 A) 7 B) 3 C) 5 D) 4 E) 6 EUREKA! N 9, 004 9
8. Veja o problema No. 5 do Nível. Sociedade Brasileira de Matemática 9. Os úmeros a, b, e c são aturais cosecutivos em ordem crescete. Etão, o valor de c ab é igual a: A) 0 B) C) a + b D) a + c E) b + c 0. Veja o problema No. 8 do Nível.. Cosidere as seguites defiições: A média aritmética de dois úmeros reais positivos é a metade da sua soma. A média harmôica de dois úmeros reais positivos é o iverso da média aritmética dos iversos desses úmeros. A difereça etre a média aritmética e a média harmôica dos úmeros 4 e 6 é: A) 0, B) 0, C) 0,3 D) 0,4 E) 0,5. Veja o problema No. 8 do Nível. 3. O domió mais cohecido tem como maior peça o duplo 6. Neste domió são empregadas 8 peças diferetes. Quatas peças tem o domió cuja maior peça é o duplo 8? A) 34 B) 36 C) 4 D) 55 E) 45 4. Os quadrados dos úmeros aturais maiores do que, subtraídos de seus sucessores, formam a seqüêcia 5,, 9,.... O primeiro elemeto dessa seqüêcia que ão é um úmero primo é o: A) quarto B) décimo C) sexto D) oo E) sétimo 5. Você está em um país estrageiro, a LUCIÂNIA, e ão cohece o idioma, o LUCIANÊS, mas sabe que as palavras BAK e KAB sigificam sim e ão, porém ão sabe qual é qual. Você ecotra uma pessoa que etede português e perguta: "KAB sigifica sim?" A pessoa respode KAB. Podese deduzir que: A) KAB sigifica sim. B) KAB sigifica ão. C) A pessoa que respodeu metiu. D) A pessoa que respodeu disse a verdade. E) Não é possível determiar sem um dicioário LUCIANÊS-PORTUGUÊS. EUREKA! N 9, 004 0
6. Veja o problema No. 3 do Nível. 7. Veja o problema No. do Nível. Sociedade Brasileira de Matemática 003 00 00 00 9 9 8. O valor da soma + é: 00 003 00 003 4 3 4 3 4 A) B) C) D) 3 3 3 E) 700 00 300 9. Cosidere os úmeros X =, Y = e Z = 5. Assiale a alterativa correta: A) X< Z< Y B) Y<X<Z C) Y<Z<X D) Z<X<Y E) Z<Y<X 0. Beatriz, Isabele e Nicole estão disputado um jogo fazedo laçametos sucessivos com uma moeda. Beatriz gaha se, em dois laçametos cosecutivos, o primeiro resultar cara e o segudo coroa. Isabele gaha se forem obtidas duas coroas em dois laçametos cosecutivos, e Nicole gaha se forem obtidas duas caras em dois laçametos cosecutivos. Elas fazem os laçametos até que uma das jogadoras seja vecedora. Qual(is) jogadora(s) possui(em) meos chaces de gahar o jogo? A) Beatriz B) Isabele C) Nicole D) Beatriz e Nicole E) As três têm a mesma chace.. Veja o problema No. 9 do Nível.. Divida os úmeros, 3, 5, 7,, 3 e 7 em dois grupos x e y com produtos A e B, respectivamete, de modo que A B =. A soma dos algarismos de A é: A) 0 B) C) 3 D) 4 E) 5 3. A figura a seguir mostra um quadrado ABCD e um triâgulo eqüilátero BEF, ambos com lado de medida cm. Os potos A, B e E são colieares, assim como os potos A, G e F. D C G F A B E EUREKA! N 9, 004
A área do triâgulo BFG é, em A) 4 B) 3 cm : C) 3 4 D) 3 E) 0 3 4. Carlihos pesa um úmero ímpar positivo meor do que 00. Pedriho se dispõe a descobrir que úmero é esse fazedo a seguite perguta, quatas vezes forem ecessárias: O úmero que você pesou é maior, meor ou igual a x?. Note que x é um úmero que Pedriho escolhe. Quatas pergutas desse tipo Pedriho poderá ter que fazer até descobrir o úmero pesado por Carlihos? A) 5 B) 7 C) 5 D) 5 E) 45 5. No triâgulo ABC, AB = 0, AC = e BC = 9. Os potos D e E sobre o lado BC são tais que BD = 8 e EC = 9. A medida do âgulo DÂE, em graus, é igual a: A) 30 B) 40 C) 45 D) 60 E) 75 PROBLEMAS NÍVEL 3. O úmero 9AB, ode A e B são dígitos, é um quadrado perfeito. O valor de AB da raiz quadrada do úmero cuja represetação decimal é AB é: A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9. Veja o problema No. 8 do Nível. 3. Veja o problema No. 9 do Nível. 4. Cico amigos, Araldo, Beraldo, Ceraldo, Deraldo e Eraldo, devem formar uma fila com outras 30 pessoas. De quatas maeiras podemos formar esta fila de modo que Araldo fique a frete de seus 4 amigos? (Obs.: Os amigos ão precisam ficar em posições cosecutivas.) A) 35! B) 35! 5! C) 35! 5 35 D) 5! 5 E) 63 e π 5. A Revolução Fracesa, em 789, trouxe muitas mudaças a humaidade. Em 79, após a Revolução Fracesa, a Academia Fracesa de Ciêcias propôs um ovo sistema de medidas. Esse sistema era baseado uma EUREKA! N 9, 004
medida atural de comprimeto, chamada metro, que foi defiida como um décimo de milioésimo da distâcia do Pólo Norte ao Equador, medida em toro da circuferêcia do meridiao que passa por Paris. Tal sistema foi efetivamete adotado em 795. A defiição atual do metro é diferete mas o valor é aproximadamete o mesmo. Cosiderado os fatos acima, qual é a ordem de gradeza do volume do plaeta Terra, em metros cúbicos? Obs.: Nesta questão você pode querer utilizar a fórmula do volume V da 4 3 esfera, V = π R, ode R é o raio da esfera. 3 A) 0 6 B) 0 C) 0 6 D) 0 3 E) 0 36 6. Na seqüêcia de Fiboacci,,, 3, 5, 8, 3,, 34, 55, cada termo, a partir do terceiro, é igual à soma dos dois termos ateriores. Quato vale a soma ifiita 3 5 8 3 34 55 + + + + + + + + + +, 4 8 6 3 64 8 56 5 04 ode o -ésimo termo é o -ésimo termo da seqüêcia de Fiboacci dividido por? A) 3/ B) C) 5/ D) 3 E) + 5 7. O gráfico de y = x 5x+ 9 é rodado 80 o em toro da origem. Qual é a equação da ova curva obtida? A) y = x + 5x+ 9 B) y = x 5x 9 C) y = x + 5x 9 D) y = x 5x+ 9 E) y = x 5x 9 8. Um clube de têis tem jogadores cahotos e jogadores destros e, ao todo, há meos do que 0 jogadores. No último campeoato itero, o qual cada jogador efretou cada um dos outros jogadores do clube exatamete uma vez, a razão etre o úmero de jogos vecidos por jogadores cahotos e o úmero de jogos vecidos por jogadores destros foi 3 : 4. Qual é o valor de? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) São ecessárias mais iformações. EUREKA! N 9, 004 3
9. A figura abaixo mostra duas retas paralelas r e s. A reta r é tagete às circuferêcias C e C3, a reta s é tagete às circuferêcias C e C3 e as circuferêcias tocam-se como também mostra a figura. r s C C C3 As circuferêcias C e C têm raios a e b, respectivamete. Qual é o raio da circuferêcia C3? A) a + b B) a + b C) ab D) 4ab a + b E) b a 0. Veja o problema No. 8 do Nível.. A fução f é defiida para todos os pares ordeados (x; y) de iteiros positivos e tem as seguites propriedades: f(x; x) = x, f(x; y) = f(y; x), (x + y)f(x; y) = (x + y)f(x; x + y). Qual é o valor de f(; )? A) 7 4 B) 4 7. Veja o problema No. 4 do Nível. 3. Veja o problema No. 5 do Nível. 4. Veja o problema No. 0 do Nível. 5. Veja o problema No. do Nível. 6. Veja o problema No. 3 do Nível. 7. Veja o problema No. do Nível. 8. Veja o problema No. 4 do Nível. C) 6 D) 6 E) 003 EUREKA! N 9, 004 4
9. Dois amigos, Augusto e Eduardo, atravessavam uma pote ode passava uma liha férrea. Quado tiham percorrido dois quitos da pote, ouviram o barulho de um trem que se aproximava por trás deles. Apavorados, começaram a correr, cada um para o seu lado. Tiveram sorte: Augusto, que tiha voltado, coseguiu sair da pote o exato istate em que o trem ela ia etrar. Por sua vez, Eduardo, que cotiuou para a frete, coseguiu sair da pote o istate em que o trem também ia fazê-lo. Refeitos do susto, quado se ecotraram, cometaram que isto só foi possível porque correram a 5 km/h e o trem estava a x km/h. O valor de x é: A) 30 B) 45 C) 60 D) 75 E) 90 0. Seja N o meor iteiro positivo que pode ser escrito como a soma de 9, 0 e iteiros positivos cosecutivos. A soma dos algarismos de N é igual a: A) 9 B) 8 C) D) 7 E) 30 003 003 3 +. O maior iteiro que ão supera é igual a: 00 00 3 + A) 4 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9. Seja T = (a, b, c) tal que existe um triâgulo ABC cujas medidas dos lados sejam BC = a, CA = b e AB = c satisfazedo c b a> 0 e a+ b> c. Defiimos T = ( a, b, c ) e T = ( a, b, c) como sedo, respectivamete, o quadrado e a raiz quadrada do "triâgulo" T. Cosidere etão as afirmativas: ) O quadrado de um triâgulo equilátero é equilátero. ) O quadrado de um triâgulo retâgulo ão é um triâgulo. 3) T é um triâgulo se, e somete se, T é acutâgulo. 4) T sempre é um triâgulo para todo T. 5) Todos os âgulos de T são agudos. O úmero de afirmativas verdadeiras é: A) B) C) 3 D) 4 E) 5 3. Em um quadro egro escreve-se o úmero. As úicas alterações permitidas são substituí-lo pelo seu dobro ou pelo seu quadrado. Qual é o maior úmero que pode ser obtido após efetuarmos 003 alterações? A) 003 B) 00 4 C) 4006 ( ) D) ( 003 ) E) ( ) 00 EUREKA! N 9, 004 5
4. Se f : \ \ é uma fução tal que, para todo x \, f( x)( f( x) x) = 0, etão A) f é a fução ula. B) f é a fução idetidade, ou seja, f(x) = x para todo x real C) f é a fução ula ou a fução idetidade D) Há 4 possíveis fuções f E) Há ifiitas fuções f 5. Veja o problema No. 5 do Nível. GABARITO NÍVEL (5 a. e 6 a. séries) ) D 6) C ) C 6) B ) C 7) C ) D 7) D 3) A 8) C 3) B 8) D 4) E 9) B 4) C 9) B 5) A 0) E 5) C 0) D NÍVEL (7 a. e 8 a. séries) ) C 6) C ) B 6) B ) B ) A 7) E ) D 7) C ) C 3) D 8) A 3) E 8) C 3) D 4) D 9) E 4) C 9) C 4) A 5) E 0) C 5) D 0) B 5) C NÍVEL 3 (Esio Médio) ) B 6) B ) D 6) D ) D ) C 7) E ) C 7) D ) E 3) B 8) C 3) D 8) A 3) E 4) C 9) C 4) B 9) D 4) E 5) B 0) D 5) C 0) B 5) C EUREKA! N 9, 004 6
XXV OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA Problemas e Soluções da Seguda Fase PROBLEMAS NÍVEL PARTE A (Cada problema vale 3 potos) 0. Quatas vezes aparece o algarismo 9 o resultado da operação 0 00 003? 0. Quatos úmeros iteiros maiores do que 003 e meores do que 004 são múltiplos de 00? 03. Quatos triâgulos existem cujos lados estão sobre algus dos segmetos traçados a figura ao lado? 04. Um estudate, com muito tempo livre e muita curiosidade, resolveu fazer o seguite: a cada miuto, ao mudar o horário em seu relógio digital, marcava em seu cadero um X para cada algarismo que aparecia o visor. Assim, se seu relógio mostrava ele marcava X e quado seu relógio mostrou ele marcou XX. Começou a fazer isso quado seu relógio mostrava e parou quase doze horas depois, quado o relógio mostrava. Calcule a metade da quatidade de X que ele marcou em seu cadero. 05. A grade atração do OBM Parque é uma roda gigate (a figura mostra uma roda gigate similar, porém com um úmero meor de cabies). As cabies são umeradas com,, 3,, o setido horário. Quado a cabie 5 está a posição mais baixa da roda-gigate, a de úmero 8 está a posição mais alta. Quatas cabies tem a roda-gigate? EUREKA! N 9, 004 7
06. Aos bissextos são múltiplos de 4, exceto aqueles que são múltiplos de 00 mas ão de 400. Quatos aos bissextos houve desde a Proclamação da República, em 889, até hoje? 07. Em um dado comum a soma dos potos sobre faces opostas é sempre 7. Beatriz costruiu uma torre com 4 dados comus iguais, colado as faces como mostrado a figura. Qual é o meor úmero de potos que Beatriz pode obter somado todos os potos das dezoito faces da superfície da torre? 08. Na multiplicação a seguir a, b, c e d são algarismos. 45 a3 Calcule b + c + d. 3bcd 09. A média de cico iteiros positivos diferetes é. Determie o maior valor possível para o maior dos cico iteiros. EUREKA! N 9, 004 8
0. Nove peças diferetes de domió estão sobre uma mesa, parcialmete cobertos por um pedaço de papel. Os domiós se tocam de modo que poto é viziho a poto, potos são vizihos a potos, etc. Qual o total de potos escodidos pelo papel? PROBLEMAS NÍVEL PARTE B (Cada problema vale 0 potos) PROBLEMA Quais úmeros iteiros positivos meores que 0 podem ser escritos como soma de duas ou mais potêcias distitas de base 3 e expoete positivo? Por exemplo, = 3 +3 é um úmero deste tipo mas 8 = 3 + 3 ão é. PROBLEMA No deseho ao lado, o quadrado ABCD tem área de 64 cm e o quadrado FHIJ tem área de 36 cm. Os vértices A, D, E, H e I dos três quadrados pertecem a uma mesma reta. Calcule a área do quadrado BEFG. EUREKA! N 9, 004 9
PROBLEMA 3 Cosidere o produto de todos os divisores positivos de um úmero iteiro positivo, diferetes desse úmero. Dizemos que o úmero é poderoso se o produto desses divisores for igual ao quadrado do úmero. Por exemplo, o úmero é poderoso, pois seus divisores positivos meores do que ele são,, 3, 4 e 6 e 346 = 44=. Apresete todos os úmeros poderosos meores do que 00. PROBLEMAS NÍVEL PROBLEMA No deseho ao lado, o quadrado ABCD tem área de 30 cm e o quadrado FHIJ tem área de 0 cm. Os vértices A, D, E, H e I dos três quadrados pertecem a uma mesma reta. Calcule a área do quadrado BEFG. PROBLEMA Dados os úmeros iteiros de a 6, escolha 3 detre eles de forma que: ) O úmero 4 está etre os úmeros escolhidos. ) Nehum úmero escolhido é divisor de outro úmero escolhido. PROBLEMA 3 Uma folha retagular ABCD de área 000 cm foi dobrada ao meio e em seguida desdobrada (segmeto MN); foi dobrada e desdobrada ovamete (segmeto MC) e fialmete, dobrada e desdobrada segudo a diagoal BD. Calcule a área do pedaço de papel limitado pelos três vicos (região escura o deseho). EUREKA! N 9, 004 0
PROBLEMA 4 Veja o problema No. 3 do Nível Parte B. PROBLEMA 5 * * Seja f : # + # +, uma fução tal que x y f ( x) f ( y) f ( xy) =, y + x quaisquer que sejam os reais ão ulos x e y. (a) Calcule f() (b) Ecotre uma fórmula para f(x) PROBLEMA 6 Dizemos que um úmero N de quatro algarismos é biquadrado quado é igual à soma dos quadrados de dois úmeros: um é formado pelos dois primeiros algarismos de N, a ordem em que aparecem em N e o outro, pelos dois últimos algarismos de N, também a ordem em que aparecem em N. Por exemplo, 33 é biquadrado pois 33 = + 33. Ecotre um outro úmero biquadrado. Observação: Lembre-se de que um úmero de quatro algarismos ão pode começar com zero. PROBLEMAS NÍVEL 3 PROBLEMA No triâgulo ABC, M é o poto médio do lado AC, D é um poto sobre o lado BC tal que AD é bissetriz do âgulo BÂC e P é o poto de iterseção de AD e BM. Sabedo que a área de ABC é 00, AB = 0 e AC = 30, calcule a área do triâgulo APB. PROBLEMA Veja o problema No. 6 do Nível PROBLEMA 3 Etre 5 úmeros reais distitos, o meor deles igual a, ão há três que podem ser lados de um triâgulo. Quais valores o maior dos 5 úmeros pode assumir? PROBLEMA 4 O triâgulo ABC é retâgulo em A. Detre os potos P pertecetes ao perímetro do triâgulo, ecotre aquele que miimiza a soma AP + BP + CP. EUREKA! N 9, 004
PROBLEMA 5 Um quadrado de lado 3 é dividido em 9 quadrados de lado uitário, formado um quadriculado. Cada quadrado uitário é pitado de azul ou vermelho. Cada cor tem probabilidade de ser escolhida e a cor de cada quadrado é escolhida idepedetemete das demais. Qual a probabilidade de obtermos, após colorirmos todos os quadrados uitários, um quadrado de lado pitado iteiramete de uma mesma cor? PROBLEMA 6 Calcule a soma k+ 3 4 + = + + + + + 4 8 0 3 k k = + 3 + 3 + 3 + 3 + " 3 + Soluções Nível Seguda Fase Parte A Problema 0 0 03 04 05 06 07 08 09 0 Resposta 98 40 7 66 34 7 58 5 45 Soluções Nível Seguda Fase Parte B SOLUÇÃO DO PROBLEMA : 3 4 5 Temos 3 = 3, 3 = 9, 3 = 7, 3 = 8 mas 3 = 43 (ão serve). Assim, os úmeros obtidos de acordo com as codições do problema são: 3 + 9 =, 3 + 7 = 30, 3 + 8 = 84, 9 + 7 = 36, 9 + 8 = 90, 7 + 8 = 08, 3 + 9 + 7 = 39, 3 + 9 + 8 = 93, 3 + 7 + 8 =, 9 + 7 + 8 = 7. Note que o úmero 3 + 9 + 7 + 8 = 0 ão serve. SOLUÇÃO DO PROBLEMA : Os triâgulos ABE e EHF são retâgulos em A e H, respectivamete; a medida do âgulo BÊF é de 90 o ; se a medida do âgulo HÊF é x, etão a medida dos âgulos EFH ˆ e AÊB é 90 o x e, coseqüetemete, a medida do âgulo ABE ˆ é x; como BE = EF (são lados do mesmo quadrado), etão os triâgulos mecioados são cogruetes (pelo caso ALA de cogruêcia de triâgulos). Utilizado o teorema de Pitágoras, podemos escrever BE = AB + AE, o que mostra que a área do quadrado BEFG é a soma das áreas dos quadrados ABCD e FHIJ, ou seja, 64 + 36 = 00 cm. EUREKA! N 9, 004
SOLUÇÃO DO PROBLEMA 3: Os divisores positivos de um úmero iteiro N são d, d, d 3,, d k, tais que = d d d d N 3 k = e podemos observar que N = d d k = d3 d k etc. Por exemplo, os divisores positivos de são,, 3, 4, 6 e, de forma que = 6 = 3 4. Note que ao excluir os divisores e, restam, 3, 4 e 6, cujo produto é 3 4 6 = ( 6) (3 4) = =. Assim, cocluímos que o produto dos divisores positivos de um iteiro, excluido e o próprio úmero, é igual ao quadrado do úmero se, e somete se, o úmero tem 6 divisores. Portato, o úmero é da forma p 5 ou p q, ode p e q são úmeros primos positivos, distitos. Se o úmero é positivo meor do que 00, temos as 6 seguites possibilidades: 5 3 = 3 = 5 0 = 7 8 = 44 = 3 5 = 7 68 = 9 76 = 3 9 = 3 8 = 3 5 45 = 3 7 63 = 3 99 = = 5 50 = 5 3 75 7 = 98 Soluções Nível Seguda Fase SOLUÇÃO DO PROBLEMA : Os triâgulos ABE e EHF são retâgulos em A e H, respectivamete; a medida do âgulo BEF ˆ é de 90 ; se a medida do âgulo HEF ˆ é x, etão a medida dos âgulos EFH ˆ e AEB ˆ é 90 x e, coseqüetemete, a medida do âgulo ABE ˆ é x; como BE = EF (são lados do mesmo quadrado), etão os triâgulos mecioados são cogruetes (pelo caso ALA de cogruêcia de triâgulos). D C B A E G F H J I EUREKA! N 9, 004 3
Utilizado o teorema de Pitágoras, podemos escrever BE = AB + AE, o que mostra que a área do quadrado BEFG é a soma das áreas dos quadrados ABCD e FHIJ, ou seja, 30 + 0 = 50cm. SOLUÇÃO DO PROBLEMA : a Todo úmero iteiro positivo pode ser escrito a forma b, a 0, b> 0 e b ímpar (chamamos b de parte ímpar de ). Cosidere dois úmeros com a mesma parte ímpar: a = b e = a b. Supodo, sem perda da geeralidade, que se a < a, etão teremos que é divisor de. Assim, como de a 6 temos 3 partes ímpares possíveis, a saber:, 3, 5, 7, 9,, 3, 5, 7, 9,, 3 e 5, cada um dos úmeros deve ter uma parte ímpar diferete. Mais aida, cosiderado que divide todos os úmeros iteiros, o úmero com parte ímpar é o que deve ter maior a. Porém 4= e está etre os úmeros escolhidos, logo para os demais úmeros escolhidos devemos ter a = 0 ou a =. E podemos determiar todas as escolhas possíveis: 3 é divisor de 9; 5 e. Logo 3 = 6,9,5 e devem estar a ossa escolha. 5 é divisor de 5 e 5. Logo 5 = 0 e 5 devem estar a ossa escolha. 7 é divisor de. Logo 7 = 4deve estar a ossa escolha. Com parte ímpar podemos escolher ou e com parte ímpar 3, 3 ou 6. As demais escolhas são 7, 9 e 3. Portato as escolhas possíveis são (ordeadas segudo a parte ímpar): 4; 6; 0; 4; 9; ou ; 3 ou 6; 5; 7; 9; ; 3; 5. SOLUÇÃO DO PROBLEMA 3: Vamos usar a otação [X] para deotar a área do polígoo X. A M B P E F D N C Sejam E e F os potos de iterseção como mostrados a figura. Sejam AB = a e BC = b. Etão AM = MB = DN = NC = a e ME = EN = b. Trace AN e seja P o EUREKA! N 9, 004 4
poto de iterseção dos segmetos AN e BD. Os segmetos AN e MC são paralelos (pois AM = NC e AM NC). Como M é poto médio de AB e MF AP, temos que F é o poto médio do segmeto PB. Aalogamete P é o poto médio do segmeto DF. Segue etão que DP = PF = FB. Por simetria verificamos que PE = EF e etão EF/FB = /. Portato, podemos escrever: [ MEF] /. [ MBF ] = 5 Mas, por outro lado, [ MBE] = [ ABD] = 5, dode [ MEF ] = 5 = cm e 4 3 3 50 [ MBF ] = 5 = cm. 3 3 SOLUÇÃO DO PROBLEMA 4: Veja a solução do problema No. 3 do Nível Parte B. SOLUÇÃO DO PROBLEMA 5: (a) Fazedo x = y =, obtemos [ f()] f() =, dode, resolvedo a equação, obtemos f() = ou f() =. Este último valor ão serve, pois o cotra-domíio da fução é o cojuto dos úmeros reais estritamete positivos. Portato, f() =. Fazedo y = a idetidade do problema obtemos f( x) f() f( x) = x+. Substituido o valor de f(), obtemos a fórmula para x f(x): f( x) = x+. x SOLUÇÃO DO PROBLEMA 6: Vamos separar o úmero de quatro dígitos em duas partes: os dois primeiros dígitos, da esquerda para a direita, formam o úmero x e os dois restates formam o úmero y. Etão a propriedade sigifica que 00x+ y = x + y. Esta igualdade pode ser cosiderada uma equação do segudo grau em x: x 00x+ y y= 0. (3) Resolvedo ecotramos = 50 ± 500 ( ). (4) x y y EUREKA! N 9, 004 5
Com o exemplo do euciado, y = 33 resulta em x = com o sial ( ) a expressão: x = 50 444 = 50 38 =. Naturalmete outra solução aparece quado colocamos o sial (+) a mesma expressão: x = 50 + 444 = 50 + 38 = 88. Etão outro úmero com a mesma propriedade é 8833 = 88 + 33. Soluções Nível 3 Seguda Fase SOLUÇÃO DO PROBLEMA : A α α M P B D C As alturas que passam por B dos triâgulos ABC e ABM são iguais a distâcia d de B à reta AC, logo AM d área ABM AM = = = área ABM = área ABC = 00 = 50. área ABC AC d AC Aalogamete, área ABP BP =. Pelo Teorema das Bissetrizes, área ABM BM BP AB 0 3 = = = PM = BP PM AM 5 3 Logo área ABP BP BP BP BP = = = = = área ABP = área ABM = 50 = 0. área ABM BM BP + PM 3 5 BP + BP BP 5 5 5 EUREKA! N 9, 004 6
SOLUÇÃO DO PROBLEMA : Veja a solução do problema No. 6 do Nível. SOLUÇÃO DO PROBLEMA 3: Sejam a, b, c reais positivos tais que a b c. Esses úmeros são medidas dos lados de um triâgulo se, e somete se, c < a + b. Ou seja, ão são se, e somete se, c a + b. Assim, sedo = x < x < x3 < x4 <... < x5 os úmeros dados, devemos ter: x x + x 3 x x + x 4 3 # x x + x 5 4 3 De fato, esse sistema de desigualdades equivale a ão haver três que podem ser lado de um triâgulo. Observe que se, i < j < k, xk < xj + xi, etão x. k < xk + xk Cosidere a seqüêcia de Fiboacci ( F0 = 0, F = e F+ = F+ + F, 0), x3 x + x; x4 x3 + x x + x+ x = x + x; x5 x4 + x3 x + x+ x + x = 3x + x; x6 x5 + x4 3x + x+ x + x = 5x + 3 x; parece que x F x+ F x e, com efeito, xk+ xk+ + xk Fk x + Fk x + Fk x + Fk x = Fk+ x + Fk x Portato, sedo x = + ξξ, > 0, x5 F4 x + F3 x = 377 ( + ξ) + 33 = 60 + 377 ξ. Como podemos torarξ tão pequeo quato queiramos, o maior dos 5 úmeros pode assumir qualquer valor real maior do que 60. EUREKA! N 9, 004 7
SOLUÇÃO DO PROBLEMA 4: Sejam a, b, c as medidas dos segmetos BC, AC e AB, respectivamete. Cosideraremos separadamete os casos em que P está em AC, em AB e em BC. Se P está em AC, etão AP + CP = b. Etão, miimizar AP + BP + CP reduz-se a miimizar BP. Isso ocorre quado P coicide com A, pois a meor distâcia etre um poto e uma reta é determiada pelo pé da perpedicular traçada a partir desse poto. Nesse caso o valor míimo de AP + BP + CP é b + c. O caso em que P está em AB é iteiramete aálogo. Supoha, agora, que P está em BC. Etão BP + CP = a, ou seja, miimizar AP + BP + CP reduz-se a miimizar AP. Isso ocorre quado AP é perpedicular a BC. Essa medida está represetada por d o diagrama ao lado. Nesse caso, o míimo de AP + BP + CP é a + d. Assim, para completar a resolução da questão, basta comparar a + d e b + c. Temos, etão, várias maeiras de cocluir a resolução. Uma maeira: b c a d Observe que = bc = ad e a = b + c. Logo ( a+ d) = a + ad + d = b + c + bc+ d = ( b+ c) + d b C a A c B b C a d θ A c B e, como d > 0,( a+ d) > ( b+ c) a+ d > b+ c. Outra maeira: d = c se θ; b= a se θ. Logo ( a+ d) ( b+ c) = a+ c seθ a se θ c = ( a c)( se θ) > 0, isto é, a + d > b + c. Resposta: O poto que miimiza AP + BP + CP é P = A (esse caso AP + BP + CP = b + c). EUREKA! N 9, 004 8
SOLUÇÃO DO PROBLEMA 5: O quadrado de lado pode ser Sociedade Brasileira de Matemática ou ou ou A probabilidade de cada um desses quadrados de lado ser iteiramete de uma mesma cor é 4. Observe que todos os quatro quadrados uitários devem ser da mesma cor azul ou vermelho. Os demais quadradihos podem ser de qualquer cor. Algumas cofigurações são cosideradas pelo meos vezes: ou Probabilidade 7 ou ou Probabilidade 6 ou Algumas cofigurações são cosideradas pelo meos 3 vezes: EUREKA! N 9, 004 9
ou ou Probabilidade 8 ou E as cofigurações com todos azuis ou todos vermelhos são cotadas 4 vezes 9 (probabilidade: ). Pelo Pricípio da Iclusão-Exclusão, a probabilidade pedida é: 4 7 6 8 9 95 4 4 + 4 =. 56 SOLUÇÃO DO PROBLEMA 6: Aalisado casos pequeos: = = = 3 + 4 4 3 + 36 4 + = = = 3 + 3 + 40 40 (3 + ) (3 + ) 3 3 37 8 + + = = = 4 4 3 + 3 + 3 + 380 380 (3 + ) (3 + ) (3 + ) (Observe que ão compesaria simplificar as frações. Isso é comum quado queremos descobrir um padrão.) Parece etão, que podemos cojecturar que k+ + = k 4 k= 0 3 + (3 + ) (3 + )(3 + )...(3 + ) Simplificado um pouco essa expressão ates de tetar demostrá-la. EUREKA! N 9, 004 30
4 (3 )(3 )(3 )...(3 ) 4 (3 )(3 )(3 )(3 )...(3 ) 3 + + + + + + + + = = + 4 4 4 (3 )(3 )(3 )...(3 ) (3 )(3 )...(3 ) 3 + + + + + = =... =. k+ + + Ou seja, = = k + + k= 0 3 + 3 3 Podemos agora demostrar ossa cojuectura pelo uso direto do Pricípio da Idução Fiita ou cosiderado que, se descobrirmos f(k) tal que k + = f( k + ) f( k), k 3 + k + = [ ( ) ( )] f k + f k = 03 k k= + k= 0 f() f(0) + f() f() +... + f( + ) f( ) = f( + ) f(0) k + (f é a "itegral discreta" de k 3 +.) Levado em cota ovamete ossa cojectura, podemos iferir que k + f( k) = e, de fato, k 3 k k k+ k+ k+ k+ k+ k+ + (3 + ) (3 + ) f( k + ) f( k ) = k+ + = = = k k k k k k 3 3 (3 + )(3 ) (3 + )(3 ) 3 + Portato k+ + k+ + = f( + ) f (0) =. k + 0 k = + k= 0 3 + 3 3 k= 0 3 + 3 EUREKA! N 9, 004 3
PROBLEMAS NÍVEL Sociedade Brasileira de Matemática XXV OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA Problemas e Soluções da Terceira Fase PROBLEMA : Quatos iteiros positivos meores que 000 têm a soma de seus algarismos igual a 7? PROBLEMA : Cosidere as seqüêcias de iteiros positivos tais que cada termo mais a soma dos seus algarismos é igual ao termo seguite. Por exemplo: 6,, 5,, 4, 30, 33, 39 é uma seqüêcia essas codições. Escreva a maior seqüêcia cujo último termo é 03 e que satisfaz tais codições. Observação: maior seqüêcia é aquela com o maior úmero de termos. PROBLEMA 3: Os úmeros,, 4, 8, 6, 3, 64, são potêcias de. Deseja-se dividir um quadrado de lado 003 em outros quadrados cujos lados são potêcias de. Mostre uma maeira de se fazer a divisão e obter 6364 quadrados cujos lados são potêcias de. PROBLEMA 4: a) Dois quadrados estão posicioados de modo que o cetro do primeiro é vértice do segudo, como mostra a figura abaixo. Se o lado do primeiro quadrado mede cm, quato mede a área comum aos dois quadrados? b) Na figura a seguir, o paralelogramo tem lados de medida cm e 4cm e área 40cm. Sejam P, Q, R e S os cetros dos quadrados costruídos exteramete EUREKA! N 9, 004 3
sobre os quatro lados desse paralelogramo. Sabedo que o quadrilátero PQRS é um quadrado, calcule a sua área. PROBLEMA 5: Queremos costruir o perímetro de um retâgulo utilizado 003 varetas cujas medidas são iteiros positivos. Para isso às vezes teremos de quebrar algumas delas, mas todas as varetas e pedaços de varetas devem ser utilizados a costrução do retâgulo. a) Mostre que com uma úica quebra em sempre é possível costruir o retâgulo. b) Mostre que com duas quebras sempre é possível costruir o retâgulo. PROBLEMAS NÍVEL PROBLEMA : Num tabuleiro, como o mostrado a seguir, escreveremos úmeros iteiros de a 9 obedecedo à seguite regra: A > B, C > D, A > C e B > D. A B C D a) Quatos tabuleiros diferetes existem tais que B = C? b) Quatos tabuleiros diferetes existem o total? PROBLEMA : Determie o meor úmero primo positivo que divide x + 5x + 3 para algum iteiro x. EUREKA! N 9, 004 33
PROBLEMA 3: O triâgulo ABC está iscrito a circuferêcia S e AB < AC. A reta que cotém A e é perpedicular a BC ecotra S em P (P A). O poto X situa-se sobre o segmeto AC e a reta BX itersecta S em Q (Q B). Mostre que BX = CX se, e somete se, PQ é um diâmetro de S. PROBLEMA 4: Mostre que x + 4y 4xy+ x 4y+ > 0, quaisquer que sejam os reais x e y. PROBLEMA 5: São dados: uma circuferêcia K e um poto A iterior, fixo, distito do cetro. Determie os potos B, C e D sobre a circuferêcia de forma que a área do quadrilátero ABCD seja a maior possível. PROBLEMA 6: Há N cidades a Tumbólia. Cada duas cidades desse país são ligadas por uma rodovia ou uma ferrovia, ão existido ehum par de cidades ligadas por ambos os meios. Um turista deseja viajar por toda a Tumbólia, visitado cada cidade exatamete uma vez, e retorar a cidade ode ele começou sua jorada. Prove que é possível escolher a ordem a qual as cidades serão visitadas de modo que o turista mude o meio de trasporte o máximo uma vez. PROBLEMAS NÍVEL 3 PROBLEMA : Veja o problema do Nível. PROBLEMA : Seja S um cojuto de elemetos. Determie o meor iteiro positivo k com a seguite propriedade: dados quaisquer k subcojutos distitos A, A,..., A k de S, existe uma escolha adequada dos siais + e de modo que ± ± ± + S = A * A *...* A k, ode Ai = Ai e Ai = S Ai é o complemetar de A i em relação a S. PROBLEMA 3: Seja ABCD um losago. Sejam E, F, G e H potos sobre os lados AB, BC, CD e DA, respectivamete, e tais que as retas EF e GH são tagetes à circuferêcia iscrita o losago. Prove que as retas EH e FG são paralelas. EUREKA! N 9, 004 34
PROBLEMA 4: Veja o problema 5 do Nível. PROBLEMA 5: Supoha que f : (0, + ) 5 satisfaz: i) x< y f( x) < f( y) xy f ( x) + f ( y) ii) f, para todo x, y (0, + ). x+ y Prove que existe x0 (0, + ) tal que f( x 0) < 0. PROBLEMA 6: Um grafo cujo cojuto de vértices V tem elemetos é bacaa se existir um cojuto D e uma fução ijetiva f : V, 4 tal que os vértices p e q são ligados por uma aresta se e somete se f( p) f( q) D. Mostre que existe 0 tal que para todo 0 existem grafos com vértices que ão são bacaas. Observação: Um grafo com cojuto de vértices V é um par (V, E) ode E é um cojuto de subcojutos de V, todos com exatamete dois elemetos. Um cojuto {p, q} é chamado de aresta se pertecer a E e este caso dizemos que esta aresta liga os vértices p e q. SOLUÇÕES NÍVEL PROBLEMA : SOLUÇÃO DE VINÍCIUS H. CAMPOS SENRA (BELO HORIZONTE - MG): 700 é o último úmero possível até 000 tal que a soma de seus algarismos seja igual a 7: úmeros meores que 700 têm soma dos algarismos maior que 7. O primeiro úmero é 7 mesmo. De a 00, existem 8 úmeros que a soma de seus algarismos é igual a 7: 07, 6, 5,, 6, 70. A medida que vai aumetado a ordem das ceteas, dimiui um úmero que é possível fazer isto, ou seja: De 0 a 00, existem 7 úmeros: 06, 5,, 60. De 0 a 300, existem 6; De 30 a 400, 5; De 40 a 500, 4; De 50 a 600, 3. EUREKA! N 9, 004 35
Apeas de 60 a 700 que ão ocorre isso, pois fica icluído o 700 também, sedo portato 3 úmeros. (60, 60 e 700). Resposta: Somado todos esses resultados 36 úmeros até 000 têm a soma de seus algarismos igual a 7. PROBLEMA : SOLUÇÃO DE VITOR MORI (SÃO PAULO SP) Para a seqüêcia termiar em 03, devemos começar pelo fim. Utilizado o diagrama da árvore, teremos: 03 9 0 8 68 6 53 9 77 70 6 49 38 8 3 6 8 4 00 86 Logo a maior seqüêcia é:,, 4, 8, 6, 3, 8, 38, 49, 6, 70, 77, 9, 0, 03. PROBLEMA 3: SOLUÇÃO DO EDITOR Tomamos um quadrado de lado, dobramos o seu lado e colocamos 5 quadrados de lado à esquerda e em cima para completar um quadrado de lado 3: Dobramos de ovo a figura e colocamos 3 quadrados de lado para completar um quadrado de lado 7. Dobramos a figura e colocamos 9 quadrados de lado para completar um quadrado de lado 5. Dobramos a figura e colocamos 6 quadrados de lado para completar um quadrado de lado 3. Quadruplicamos a figura e colocamos 49 quadrados de lado para completar um quadrado de lado 5. Octuplicamos a figura e colocamos 00 quadrados de lado para completar um quadrado de lado 00. Fialmete, dobramos a figura e colocamos mais 4005 quadrados de lado para completar um quadrado de lado 003. Gastamos assim, o total, 4005 + 00 + 49 + 6 + 9 + 3 + 5 + = 6364 quadrados cujos lados são potêcias de para cobrir o quadrado de lado 003. PROBLEMA 4: SOLUÇÃO DE HENRIQUE PONDÉ DE OLIVEIRA PINTO (SALVADOR - BA) a) Se prologarmos os lados do segudo quadrado temos: EUREKA! N 9, 004 36
m s As retas m e s dividem o primeiro quadrado em quatro partes iguais, e etão a parte escura represeta do primeiro quadrado (assim como as outras três 4 partes). Como a área do primeiro quadrado é. = 44 etão a área escura é 4 44 = 36cm. Observação: Toda reta que passa pelo cetro de um quadrado divide ele em duas partes iguais. Como a reta r o exemplo a seguir: A B O C S Pois se a reta S divide o quadrado em duas partes iguais, basta o triâgulo ABO e o triâgulo CDO serem iguais. Como os âgulos OCD l l e OBA são iguais, e AOB l e COD l l são iguais, O AB e l ODC também são iguais. Como OC = OB etão os triâgulos ABO e CDO, por possuírem 3 âgulos iguais l l l l l l ( COD = AOB, OCD = OBA e ODC = OAB) e o lado igual ( OC = OB) são triâgulos iguais. D r EUREKA! N 9, 004 37
b) As áreas rabiscadas são cohecidas (cada uma tem da área do quadrado a 4 qual está, diferete de PQRS) X G B C M H Z I O Q S J K D E L R U F Y T P N A W Q P l O triâgulo ABC é igual ao DEF e o triâgulo GHI é igual ao JKL. Se BAC = x e GIH = 360 90 90 (80 x) etão GIH = 80 (80 x ) que é igual a x l etão GIH = BAC. Podemos dizer que AC = HI pois AC = cm CJ, HI = cm HM e CJ = MH (as retas W, N e Z dividem os dois grades quadrados de forma idêtica e em partes iguais). CJ = DI e DI = HM pois as retas dividem o quadrado em 4 partes idêticas, logo CJ = MH. Pelo mesmo l raciocíio podemos deduzir que AB = IG. Sabedo que GIH = BAC e que AB = IG e AC = HI etão deduzimos que o triâgulo ABC = GHI. Como o triâgulo ABC é igual ao DEF, GHI é igual ao JKL e o ABC é igual ao GHI, logo os triâgulos ABC, DEF, GHI e JKL são iguais. A área do quadrado PQRS é igual a área riscada mais a área de BCJEDI mais a área de GHI mais a área de JKL. Como a área de GHI mais a área de JKL é igual a área de ABC mais DEF etão a área total do quadrado é igual a: a área rabiscada mais a área de BCJEDI mais a área de ABC mais a área de DEF. Isso tudo é igual a: V 4cm cm 4cm cm 40cm 4 4 4 4 = + + + + = + + + + = 4cm 36cm 4cm 36cm 40cm 0 cm. EUREKA! N 9, 004 38
PROBLEMA 5: SOLUÇÃO DA BANCA a) Cosidere uma seqüêcia a qual cada termo é maior que a soma dos termos 3 003 ateriores, como por exemplo, 3, 3, 3,..., 3. Obrigatoriamete temos que quebrar a vareta de comprimeto 3 003 e colocar os pedaços em dois lados opostos, pois 3 003 é maior que o dobro da soma de todas as restates. Agora, a maior das varetas usadas os dois lados restates, 3, é maior que a soma das 3 varetas, 3, 3, 3,..., 3 +, o que tora impossível a costrução do retâgulo. b) Quebrado iicialmete uma vareta qualquer ao meio, costruímos dois lados opostos. Em seguida, dividimos as varetas restates em dois cojutos A e B. Se as somas dos comprimetos das varetas dos dois cojutos forem iguais, ão é ecessário fazer mais quebras. Caso cotrário, passamos quatas varetas forem ecessárias de um para o outro até que a desigualdade das somas se iverta; agora basta mais uma úica quebra a última vareta que mudou de lado para que as somas se igualem. SOLUÇÕES NÍVEL PROBLEMA : SOLUÇÃO DE FELIPE GONÇALVES ASSIS (CAMPINA GRANDE - PB) a) Temos que A > B e B > D, logo A > D. Também sabemos que A > C e C > D, etão podemos afirmar com certeza que "D" é o meor úmero, pois B > D; C > D; A > D e "A" é o maior úmero pois A > B; A > C; A > D. Se "B" for igual a "C", teremos três úmeros dispostos de tal forma que o meor deles será "D", o maior será igual "A" e o outro será tato "B" como "C". De quatas formas etão eu posso escolher 3 iteiros diferetes etre e 9? Vamos pesar da seguite maeira: para escolher o primeiro úmero eu teho 9 possibilidades: ; ; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9, já para cada escolha eu teho outros 8 úmeros para escolher, os de a 9 exceto o primeiro escolhido. Fialmete, para cada possibilidade eu teho outros 7 iteiros para escolher, os 9 à exceção dos já escolhidos, assim, eu tirei 9 8 7 possibilidades, ou seja: 504. Todavia, a ordem dos úmeros ão importa, isto é, o meor deve ser "D", o maior "A" e o do meio "B" e "C", e escolhedo da forma supracitada os mesmos úmeros são escolhidos 6 vezes (3!). Observe: "x"; "y" e "z" só podem ser usados jutos uma vez mas as 504 possibilidades aparecem 6 vezes: x y z ; x z y; y x z; y z x; z x y; z y x Logo, devemos dividir 504 por 6, assim 504 84 6 = EUREKA! N 9, 004 39
Fialmete cocluímos que existem 84 = quais A> B; C> D; A> C; B> D; B= C. 9! (9 3)! 3! tabuleiros diferetes os a) Como ão podemos defiir relação etre B e C, vamos aalisar três casos:. B> C A> B> C> D. B< C A> C> B> D 3. B= C A> B= C> D Para o caso, temos que escolher 4 úmeros distitos de a 9 e pô-los em ordem já descrita A é o maior, o segudo maior é B e D é o meor), seguido o raciocíio do quesito "a" temos 9 876 possibilidades de escolha sedo que os mesmos 4 úmeros se repetem em 4 escolhas ou 4!. Nós só utilizamos a; b; c; d uma vez, mas eles ocorrem 4 vezes, apeas alterado a ordem, logo as possibilidades se reduzem: 9 8 7 6 304 9! = = 6 = 4 4 (9 4)! 4! O caso terá tatas possibilidades quato o caso, apeas trocado B por C e o caso 3 já foi estudado o quesito "a". Assim, o total de tabuleiros é: 6 + 6 + 84 = 336. PROBLEMA : SOLUÇÃO DE GUILHERME R. NOGUEIRA DE SOUZA (SÃO PAULO SP) Vamos aalizar x + 5x+ 3 módulo. Temos: x + x+ 0 para ser divisível por. Se x + + ; se x 0 0+ 0+ Logo ão é o meor primo, que vamos chamar de p. Vamos aalisar x + 5x+ 3 módulo 3. Temos: x + x+ 0 para ser divisível por 3. Se x 0 0+ 0+ ; se x + + ; se x + +. Logo p ão é 3. Vamos aalisar x + 5x+ 3 módulo 5. Temos: x + 3 0 para ser divisível por 5. se x + 3 4 ; se x 4+ 3 7 ; se x 3 4+ 3 ; se x 4 + 3 4; se x 0 0+ 3 3. Logo p ão é 5. Vamos aalisar x + 5x+ 3 módulo 7. Temos: x x+ 0 para ser divisível por 7. EUREKA! N 9, 004 40
se x + ; se x 4 4+ ; se x 0 0 0+ ; se x 3 6+ 5 ; se x 4 + 3; se x 5 4 3+ 3; se x 6 5+ 5. Logo p ão é 7. Vamos aalisar x + 5x+ 3 módulo. Temos: x + 5x+ 0 para ser divisível por. se x + 5+ 7; se x 3 9+ 4+ 3; se x 5 3+ 3+ 7 ; se x 4 + 0 + 4 ; se x 4 5+ 9+ 4 ; se x 6 3+ 8+ ; se x 7 5+ + 8 ; se x 9 4+ + 6 ; se x 0 0+ 0+ ; se x 8 9+ 7+ 6; se x 0 + 6 + 8. Logo p ão é. Vamos aalisar x + 5x+ 3 módulo 3. Temos: x + 5x 3 0 para ser divisível por 3. se x + 5 3 3 ; se x 5 + 3 8 ; se x 9 3+ 6 3 6 ; se x 4+ 0 3 ; se x 6 0+ 4 3 ; se x 0 9 + 3 4 ; se x 3 9+ 3 8; se x 7 0+ 9 3 3; se x 4 + 3 3 4 ; se x 4 3+ 7 3 7 ; se x 8 + 3 0 ; se x + 8 3 6, se x 0 0+ 0 3 0 Logo p ão é 3. Chegamos até agora que p ão é,3,5,7,,3. Etão, p é o míimo 7, e 7 divide x + 5x+ 3 quado x :( ) + 5( ) + 3= 7. Logo o meor primo que divide x + 5x+ 3 para algum x iteiro é 7. PROBLEMA 3: SOLUÇÃO DE ANDRÉ LINHARES RODRIGUES (FORTALEZA CE) Vamos dividir o problema em duas partes: a) BX = CX PQ é um diâmetro de S. Seja l l ACB = α. Assim, temos que QBC = α (já que BX = CX) e l PAC = 80 90 α = 90 α. l Observe que os âgulos PÂC e PBC estão "olhado" para o mesmo arco. Assim, l l l vemos que PBC = PAC = 90 α PBQ = 90 α + α = 90 PQ é diâmetro. EUREKA! N 9, 004 4
A 90 α X Q B α 90 α α C P b) PQ é um diâmetro de S BX = CX. Se l l l ACB = α, PAC = PBC = 90 α. Mas PQ é diâmetro, dode l l l PBQ = 90 90 α + QBC = 90 QBC = α BXC é isósceles BX = XC. A figura poderia ser um pouco diferete: Q P A α 80 α β 80 α β β α B α X 80 α α C l l l a) Chamado ABQ de β e CBQ = ACB = α, teríamos l l l l PAB = 90 + α + β, BAC = 80 α β e C AQ = α, e o âgulo PAQ seria 90 + α + β + 80 α β + α = 90. l l b) Chamado QBC de α, temos que C AQ = α. Mas PQ é diâmetro l l l l PAC + α = 90 PAC + α = 90 PAC = 90 α ACB = 80 90 (90 α) = EUREKA! N 9, 004 4