Insper Instituto de Ensino e Pesquisa. Decio Albert da Silva Santos PREVISÃO DE VOLATILIDADE:

Insper Insiuo de Ensino e Pesquisa Programa de Mesrado Profissional em Economia Decio Alber da Silva Sanos PREVISÃO DE VOLATILIDADE: A VOLATILIDADE IMPLÍCITA COMO VARIÁVEL EXPLICATIVA DA VARIÂNCIA CONDICIONAL EM MODELOS GARCH São Paulo 2012

Decio Alber da Silva Sanos Previsão de Volailidade: A Volailidade Implícia como Variável Explicaiva da Variância Condicional em Modelos GARCH Disseração apresenada ao Programa de Mesrado Profissional em Economia do Insper Insiuo de Ensino e Pesquisa, como pare dos requisios para a obenção do íulo de Mesre em Economia. Área de concenração: Finanças e Macroeconomia Aplicadas Orienador: Prof. Dr. Anonio Zorao Sanvicene Insper São Paulo 2012

FOLHA DE APROVAÇÃO Decio Alber da Silva Sanos Previsão de Volailidade: A Volailidade Implícia como Variável Explicaiva da Variância Condicional em Modelos GARCH Disseração apresenada ao Programa de Mesrado Profissional em Economia do Insper Insiuo de Ensino e Pesquisa, como requisio parcial para obenção do íulo de Mesre em Economia. Área de concenração: Finanças e Macroeconomia Aplicadas Aprovado em: Banca Examinadora Prof. Dr. Anonio Zorao Sanvicene Orienador Insiuição: Insper Insiuo de Ensino e Pesquisa Assinaura: Profa. Dra. Adriana Bruscao Insiuição: Insper Insiuo de Ensino e Pesquisa Assinaura: Prof. Dr. Robero Borges Kerr Insiuição: Universidade Presbieriana Mackenzie Assinaura:

RESUMO SANTOS, Decio Alber da Silva. Previsão de Volailidade: A Volailidade Implícia como Variável Explicaiva da Variância Condicional em Modelos GARCH. 2012. 58 f. Disseração (Mesrado) Insper Insiuo de Ensino e Pesquisa, São Paulo, 2012. A previsão de volailidade é um assuno de grande ineresse no mercado financeiro. Os modelos GARCH e a volailidade implícia são basane uilizados para ese fim. Nese rabalho, a volailidade implícia foi uilizada como uma variável explicaiva da variância condicional de modelos GARCH, com o objeivo de aumenar o poder de previsão do modelo. Foram uilizados dados do mercado de ações brasileiro, mais precisamene do índice de ações Ibovespa, no período de abril de 2000 a junho de 2011. A volailidade implícia foi exraída das opções de compra do Ibovespa uilizando o modelo de precificação de opções de Black e Scholes. As previsões dos modelos proposos no rabalho foram comparadas com previsões de modelos GARCH radicionais, realizadas em quaro períodos diferenes e em previsões fora da amosra de esimação dos modelos. Os resulados obidos indicaram que o uso da volailidade implícia como variável explicaiva da variância condicional em modelos GARCH não aumena o poder de previsão em comparação com os modelos GARCH radicionais. Sendo GARCH(1,1) o modelo com os melhores resulados nas previsões de volailidade. Palavras-chave: Volailidade implícia; GARCH; Variável explicaiva; Previsão.

Absrac SANTOS, Decio Alber da Silva. Volailiy Forecasing: Implied Volailiy as an Explanaory Variable of Condiional Variance in GARCH Models. 2012. 58 f. Disseraion (Masership) Insper Insiuo de Ensino e Pesquisa, São Paulo, 2012. Volailiy forecasing is a opic of grea ineres in financials markes. Implied volailiy and GARCH models are widely used for his purpose. In his disseraion, he implied volailiy was used as an explanaory variable of he condiional variance in GARCH models, in order o increase he predicive power of he model. Daa were obained for he Brazilian sock marke, specifically he Ibovespa sock index in he period April 2000 o June 2011. Implied volailiies were exraced from he Ibovespa call opions using he Black and Scholes opion pricing model. The predicions of he models proposed in he sudy were compared wih radiional GARCH model predicions, made in four differen periods and wih ou-of-sample forecass from he models. The resuls obained indicaed ha he use of implied volailiy as an explanaory variable of he condiional variance in GARCH models does no increase he predicive power compared o radiional GARCH models. As GARCH (1,1) model wih he bes resuls in forecass of volailiy Keywords: Implied volailiy; GARCH; Explanaory variable; Forecasing.

Sumário 1 Inrodução... 6 2 Revisão Bibliográfica... 9 3 Modelos de Volailidade... 12 3.1 Modelos ARCH... 13 3.2 Modelos GARCH... 14 3.3 Modelos EGARCH... 15 3.4 Modelos TARCH... 16 3.5 Volailidade Implícia... 16 3.6 Modelos GARCH-VI, EGARCH-VI e TARCH-VI... 17 4 Dados... 18 4.1 Série de Volailidades Implícias... 22 5 Meodologia... 23 5.1 Esimação dos Modelos... 27 5.2 Previsão e Resulados... 34 6 Conclusão... 39 Referências... 41 APÊNDICE A Séries de Opções de Compra do Ibovespa... 43 APÊNDICE B Teses-Q e Correlogramas dos Resíduos Padronizados e Resíduos Padronizados ao Quadrado dos Modelos Esimados... 46

6 1 Inrodução A relação inversa enre risco e reorno faz pare de um dos conceios-chave da eoria moderna de finanças. O risco pode ser associado à noção de variabilidade de preços, comumene chamada de volailidade. Saber como medir e prever a volailidade em sido um dos emas mais discuidos nas áreas de precificação de aivos e gerenciameno de risco. Andersen e al. (2005, p. 7) mosra algumas aplicações do uso de volailidade em finanças de forma mais dealhada. Em finanças, a forma mais comum e simples de se represenar a volailidade é aravés do desvio padrão (, igual à raiz quadrada da variância ) dos reornos de um aivo. Sem a necessidade de supormos uma disribuição de probabilidades, podemos usar o esimador da variância ( ) para obermos uma esimação para a volailidade de um aivo: N 2 R R 2 1 ˆ (1) N 1 Onde =N. é o reorno do aivo no empo, é o reorno médio enre os insanes =1 e Exisem vários modelos para esimar e prever a volailidade, desacando-se dois grandes grupos: modelos que usam séries de empo e modelos de volailidade implícia. No primeiro grupo, inicialmene emos os modelos que usam o desvio padrão hisórico como base. O mais simples desa caegoria é o Modelo de Passeio Aleaório, uilizando o desvio padrão no empo anerior para prever o próximo. Em seguida, emos: a) modelo de Média Hisórica, que simplesmene calcula a média das volailidades aneriores; b) modelo de Média Móvel Hisórica, diferenciando-se do anerior por não usar odo o hisórico de volailidades; c) modelo de Alisameno Exponencial, semelhane ao modelo de Média Hisórica, dando maior peso às informações mais recenes; e d) modelo de Médias Móveis Exponencialmene Ponderadas (EWMA, em inglês), que é o modelo de Média Móvel com ponderação exponencial. Nesa caegoria ambém emos os modelos auorregressivos (AR). Esses modelos fazem uma regressão simples usando as volailidades passadas e

7 um ermo de erro, expressando a volailidade como uma função dessas variáveis. Na maioria dos casos, os modelos são puramene auorregressivos, mas ambém podemos enconrar modelos onde ermos de erros passados são incluídos (ARMA), ouros ainda onde há diferenciação (ARIMA) e ouras varianes. Trabalhos baseados neses modelos normalmene se resumem a buscar melhores méodos de ponderação, janelas de empo ou número de defasagens dos parâmeros, geralmene enando achar os melhores resulados, minimizando erros de previsão em eses denro da amosra. Cabe ciar, devido à grande visibilidade, que o Riskmerics 1 uiliza o modelo EWMA. Ainda denro do grupo de modelos que uilizam séries de empo, há os modelos de Volailidade Esocásica e a família de modelos de Heeroscedasicidade Condicional Auorregressiva (ARCH, em inglês). Os modelos ARCH foram inroduzidos inicialmene por Engle (1982). Eses modelos não usam simplesmene os desvios padrão calculados numa amosra; ao invés disso, formulam uma variância condicional dos reornos via esimação por Máxima Verossimilhança. No primeiro modelo proposo por Engle, o modelo ARCH(q), a variância é uma função dos q reornos passados ao quadrado. Bollerslev (1986) e Taylor (1986), de forma independene, propuseram os modelos de Heeroscedasicidade Condicional Auorregressiva Generalizados (GARCH, em inglês). Os modelos GARCH(p,q), adicionalmene ao modelo ARCH(q), admiem p defasagens da variância condicional na formulação, sendo assim mais abrangenes que os modelos ARCH. Mais genericamene, os modelos de Volailidade Esocásica inroduzem inovação na formulação da volailidade. Essas inovações podem er ou não relação com os reornos e permiem que os modelos de Volailidade Esocásica capurem caracerísicas como curose e assimeria, incluindo salos, ornando-se assim modelos mais próximos da realidade observada. Enreano, essas caracerísicas em geral dificulam a sua implemenação, principalmene por resularem em modelos de volailidade sem uma fórmula fechada, não permiindo, por exemplo, o uso de esimadores de Máxima Verossimilhança. Alguns méodos de esimação alernaivos 1 Riskmerics aualmene é uma agência de serviços em governança corporaiva e gesão de riscos nore americana que faz pare do grupo MSCI, empresa de índices de mercado. Inicialmene surgiu como um modelo de variância, de mesmo nome, criado pela necessidade de um relaório diário de medida e explicação de riscos do J. P. Morgan, em 1989. Em 1998 se ornou uma empresa exerna ao J. P. Morgan.

8 foram proposos, por exemplo, por Harvey, Ruiz e Shephard (1994), usando esimação aravés do Méodo dos Momenos Generalizados (GMM), e por Jacquier, Polson e Rossi (1994), usando Cadeias de Markov. Noe-se que os modelos GARCH ambém fazem pare dos modelos de Volailidade Esocásica. Os modelos de volailidade implícia são baseados em modelos de precificação de aivos que uilizam a volailidade do aivo a ser precificado como um parâmero de enrada do modelo. Esses modelos de precificação parem de hipóeses sobre a volailidade do aivo que geralmene não são observadas na práica. Ao invés de usar o modelo para calcular o preço do aivo, oma-se o preço negociado pelo mercado e calcula-se a volailidade que seria responsável por ese preço observado. Esa volailidade calculada é chamada de volailidade implícia, sendo consanemene uilizada, direamene, como uma previsão da volailidade ou, indireamene, como variável explicaiva em modelos de previsão de volailidade, como os ciados aneriormene. Nese rabalho, a volailidade implícia é uilizada como uma variável explicaiva em modelos da família GARCH 2, para previsão de volailidade no mercado de ações brasileiro, mais precisamene do índice de ações da BM&FBovespa 3, o IBovespa. São esimados modelos radicionais da família GARCH e modelos, proposos nese rabalho, que incluem a volailidade implícia. São feias previsões de volailidades de ambos, com o objeivo de verificar se a volailidade implícia raz algum benefício na previsão de volailidades quando uilizada como variável explicaiva em modelos da família GARCH. A seguir, no capíulo 2, é feia uma revisão bibliográfica descrevendo brevemene os resulados de alguns rabalhos na área de previsão de volailidade e de rabalhos que usaram a volailidade implícia nessa previsão. No capíulo 3 são apresenados os modelos de volailidade uilizados nese rabalho, desacando-se os modelos proposos que uilizam a volailidade implícia como variável explicaiva em modelos GARCH. No capíulo 4 é apresenada a base de dados uilizada nese rabalho, além da meodologia de consrução da série de volailidades implícias necessária para os 2 O ermo GARCH, quando ciado sem fazer menção aos parâmeros do modelo, por exemplo, GARCH(p,q), esará se referindo genericamene aos modelos da família GARCH e suas varianes, enre elas EGARCH e TARCH. Da mesma forma o ermo GARCH-VI, que será viso mais à frene, ambém esará se referindo genericamene aos modelos apresenados nese rabalho: GARCH- VI(p,q,r), EGARCH-VI(p,q,r) e TARCH-VI(p,q,r). 3 A BM&FBovespa é a única bolsa de valores, mercadorias e fuuros em operação no Brasil.

9 modelos proposos. No capíulo 5 é apresenada a meodologia uilizada para esimação, previsão e avaliação dos modelos e ambém os resulados obidos para os modelos. O capíulo 6 raz a conclusão dese rabalho, após a análise dos resulados obidos. 2 Revisão Bibliográfica Na lieraura exisem vários rabalhos na área de esimação e previsão de volailidade. Esses rabalhos normalmene fazem comparações enre modelos buscando qual o melhor segundo algum criério. A seguir é feia uma breve descrição de alguns desses rabalhos para o mercado brasileiro e ambém de alguns rabalhos de ouros países. No rabalho de Pereira e al. (1999) foram feias avaliações sobre o poder de esimação de volailidade de modelos da família ARCH, modelos de volailidade esocásica e modelos SWARCH, para os reornos de rês séries diferenes (Telebras PN, C-Bond e Taxa de Câmbio R$/US$) no período de agoso de 1994 a julho de 1998. O modelo de volailidade esocásica foi o modelo com melhor desempenho segundo o criério de classificação uilizado, que usa uma média ponderada de cinco diferenes criérios esaísicos de desempenho. Morais e Porugal (1999) fizeram um esudo de modelos de volailidade deerminísica e modelos de volailidade esocásica para esimação e previsão da volailidade dos reornos do Ibovespa em períodos de crise: a crise do México, a crise asiáica e a moraória russa. Os modelos deerminísicos esudados foram os modelos da família GARCH. A conclusão foi a de que, de maneira geral, ambos os ipos de modelos fornecem boas previsões da volailidade do Ibovespa. Gabe e Porugal (2004) analisaram o desempenho de previsões de volailidade no mercado brasileiro para ações da Telemar S.A. no período de seembro de 1998 a ouubro de 2002. Foram comparados os modelos de média móvel igualmene ponderada, GARCH, EGARCH, FIGARCH e volailidade implícia. O resulado enconrado foi o de que o modelo de volailidade implícia não apresenou vanagem na previsão de volailidade quando comparado aos ouros modelos, sendo o modelo

10 FIGARCH o mais indicado para previsão de volailidade fuura, segundo esse esudo. Hansen e Lunde (2005) compararam 330 modelos de previsão de volailidade da família ARCH, com o objeivo de verificar se modelos mais sofisicados são superiores ao modelo GARCH(1,1). Usaram dados de axa de câmbio enre o Marco Alemão e o Dólar e ambém reornos das ações da IBM. Eles não enconraram evidências que o modelo GARCH(1,1) foi superado por modelos mais sofisicados para a axa de câmbio. Por ouro lado, para os reornos da ações da IBM, enconraram evidências conclusivas que o modelo GARCH(1,1) é inferior, sugerindo o uso de especificações que acomodem o efeio alavancagem. Galdi e Pereira (2007) apresenaram um esudo em que o desempenho de modelos de volailidade foi avaliado aravés do uso da mérica de risco denominada Valor em Risco (VaR). Os modelos uilizados no rabalho foram o EWMA, modelos GARCH e modelos de volailidade esocásica. As esimações foram feias para a série de reornos das ações Perobras PN, abrangendo o período de janeiro de 1995 a janeiro de 2006. Os modelos esimados foram submeidos a eses de exrapolação do VaR denro da amosra. Segundo os auores, o modelo de melhor resulado foi o EWMA. Sanos e Ziegelmann (2008) compararam o desempenho de modelos GARCH e modelos adiivos semi-paraméricos para esimação e previsão de volailidade do Ibovespa, no período de 1995 a 2007, ressalando os períodos de crise em 2001, 2002 e 2007. Concluíram que os modelos adiivos são capazes de esimar e prever a volailidade adequadamene, mas não são concorrenes dos modelos paraméricos e devem ser uilizados como um modelo complemenar na previsão de volailidade. No esudo, o modelo TARCH(3,2) foi superior nos resulados quando os modelos foram comparados aravés de medidas de erro de previsão. Cavaleri (2008) fez uma comparação de modelos de previsão de volailidade e combinações desses modelos. A combinação de modelos em a finalidade de agregar as caracerísicas mais relevanes de cada um dos modelos uilizados em uma deerminada siuação (Cavaleri, 2008, p. 30). Os modelos uilizados foram os modelos da família GARCH, o modelo EWMA e modelos de volailidade esocásica. As écnicas de combinação uilizadas foram a combinação por média ariméica, a combinação com pesos fixos e a combinação com pesos móveis. O esudo uilizou

dados do Ibovespa, do índice Dow Jones e do IGP-M, no período de janeiro de 2002 a dezembro de 2007 para as duas primeiras séries e no período de janeiro de 1995 a março de 2008 para a erceira. Cavaleri (2008) concluiu que as écnicas de combinação melhoram a previsão de volailidade quando comparadas aos modelos individuais. Oliveira (2008) fez um esudo sobre a modelagem da volailidade de reornos usando dados de ala frequência. O esudo foi feio sobre a série de ações Perobras PN no período de 3 de janeiro de 2005 a 13 de abril de 2005, oalizando 120 mil observações. No esudo foram uilizados modelos da família GARCH, com o objeivo de verificar a presença de memória longa e ouros fenômenos. As presenças de memória longa e de sazonalidade inradiária foram confirmadas. Vicene e Guedes (2010), em seus esudos, iveram como objeivo deerminar se a volailidade implícia coném informação sobre a volailidade fuura. O rabalho foi realizado uilizando séries de opções de compra da Perobras no período de janeiro de 2006 a dezembro de 2008. A volailidade implícia foi calculada com base no modelo de precificação de opções de Black e Scholes. A conclusão obida foi a de que opções ou-of-he-money 4 conêm mais informação adicional sobre a volailidade fuura, ao conrário das opções in-he-money 5 e a-he-money 6. Lamoureux e Lasrapes (1993) realizaram um esudo sobre o poder de previsão da volailidade fuura pela volailidade implícia. Uilizaram séries de opções de dez ações negociadas na Chicago Board Opions Exchange, no período de 1982 a 1984. Concluíram que a volailidade implícia é viesada e ineficiene, não endo nenhuma informação adicional sobre a volailidade fuura em comparação com modelos que uilizam a volailidade passada. Chrisensen e Prabhala (1998) ambém realizaram esudo sobre o poder de previsão da volailidade implícia sobre a volailidade fuura. Eles uilizaram opções sobre o índice S&P100 no período de novembro de 1983 a maio de 1995. Os resulados enconrados foram os de que a volailidade implícia apresenou resulados melhores do que modelos de volailidade hisórica na previsão de volailidades fuuras. 4 Ou-of-he-money (OTM) é o ermo uilizado quando o preço do aivo subjacene esá abaixo do preço de exercício de uma opção de compra ou acima do preço de exercício de uma opção de venda. 5 In-he-money (ITM) é o ermo uilizado quando o preço do aivo subjacene esá acima do preço de exercício de uma opção de compra ou abaixo do preço de exercício de uma opção de venda. 6 A-he-money (ATM) é o ermo uilizado quando o preço do aivo subjacene é igual ao preço de exercício de uma opção de compra ou de venda. 11

12 Doidge e Wei (1998) verificaram a eficiência do mercado de opções canadense uilizando esraégias dela neural sraddle 7 com opções do índice Torono 35, no período de 1988 a 1995. Apesar do objeivo principal do rabalho não ser a previsão de volailidade, para implemenar a esraégia proposa um dos modelos uilizados fez uso da volailidade implícia como variável explicaiva em um modelo GARCH, como ambém é proposo nese rabalho. Vasilellis e Meade (1996), em rabalho semelhane ao que foi poseriormene realizado por Cavaleri (2008), realizaram comparações enre modelos de previsão de volailidade e modelos combinados, para doze empresas lisadas na London Sock Exchange no período de março de 1986 a seembro de 1991. Da mesma forma, concluíram que os modelos combinados, que incluem volailidade implícia, possuem maior poder de previsão da volailidade. Hol e Koopman (2002) compararam previsões com modelos de volailidade esocásica e modelos de volailidade esocásica que incluem a volailidade implícia como variável explicaiva. O esudo foi realizado sobre o índice S&P100 no período de janeiro de 1986 a junho de 2001. De maneira geral, os modelos de volailidade esocásica que incluíam a volailidade implícia como variável explicaiva iveram melhores resulados na previsão de volailidades. 3 Modelos de Volailidade Aé o início dos anos 80, a maioria dos modelos exisenes, uilizados para modelar a volailidade de séries financeiras, considerava que a variância de um conjuno de dados era consane. A modelagem era feia, normalmene, uilizando modelos lineares e auorregressivos, condicionados, principalmene, aos reornos da série financeira. Enreano, na práica, eses modelos não conseguiam bons resulados, poso que claramene a hipóese de variância consane não era observada. Uma série financeira pode er momenos de ala volailidade e momenos de baixa volailidade, além de ser observado que momenos de ala volailidade endem a ser 7 Dela neural sraddle é uma esraégia de invesimeno do mercado de opções que consise na compra simulânea de uma opção de compra e uma opção de venda. Esa esraégia é uma aposa de ala volailidade do preço do aivo subjacene. O ermo dela neural se refere ao fao da esraégia proeger o invesimeno conra variações no preço do aivo subjacene. O dela de uma opção mede a variação do preço da opção em função do preço do aivo subjacene.

13 seguidos por ala volailidade e momenos de baixa volailidade endem a ser seguidos por baixa volailidade, caracerísica conhecida como agrupameno de volailidade. Nese capíulo são apresenados os modelos de volailidade uilizados nese rabalho. 3.1 Modelos ARCH Engle (1982) apresenou um modelo paramérico em que a média e a variância de uma série emporal são modeladas simulaneamene, com a variância sendo condicionada aos choques passados, permiindo que ela varie ao longo do empo e sendo capaz de capurar os agrupamenos de volailidade. Ese modelo foi chamado de Auoregressive Condiional Heeroskedasiciy (ARCH), ou Heeroscedasicidade Condicional Auorregressiva, em poruguês. Um modelo ARCH(q) pode ser represenado como segue: y c r m y (2) i i i1 j1 j j q 2 (3) Onde: i1 i 2 i A equação (2) expressa a média condicional da série de reornos ( ), represenada por um modelo auorregressivo e de média móvel ARMA(r, m), que poderia incluir ambém variáveis exógenas. A equação (3) represena a variância condicional dependene de q inovações passadas. As resrições dos coeficienes serem maiores que zero garanem que a variância seja posiiva. A resrição que diz que o somaório dos coeficienes das

14 inovações em que ser menor que um garane à variância condicional endência para convergir para uma consane, que represena a variância incondicional. Segundo Bollerslev e al. (1992), a variância incondicional é dada pela seguine equação: 2 (4) q 1 i1 i 3.2 Modelos GARCH Frequenemene, os modelos ARCH apresenam uma ordem (q) elevada, o que pode causar dificuldades na esimação de seus vários parâmeros. Bollerslev (1986) acrescena ermos da variância passada à equação de variância do modelo ARCH. Ao acrescenar ermos passados da própria variância, o modelo ende a ficar com ordem menor, diminuindo a quanidade de parâmeros a serem esimados. Ese modelo foi chamado de Generalized Auoregressive Condiional Heeroskedasiciy (GARCH), ou Heeroscedasicidade Condicional Auorregressiva Generalizada, em poruguês. A equação (5) apresena a equação da variância condicional de um modelo GARCH(p, q) com a inclusão das variâncias passadas. A modificação no modelo ocorre apenas na equação da variância condicional, e a equação da média condicional pode ser represenada pela equação (2) do modelo ARCH. p j1 2 j q 2 (5) Onde: j i1 i 2 i

15 Novamene, a resrição sobre o somaório dos parâmeros diz respeio à endência a uma variância incondicional consane, que nese caso é represenada pela equação (6): 2 (6) q p 1 i i1 j1 j O modelo GARCH é uma generalização do modelo ARCH. O modelo ARCH é um caso especial do modelo GARCH onde não há ermos da variância passada na equação da variância condicional. Assim, os modelos da família ARCH fazem pare dos modelos da família GARCH. 3.3 Modelos EGARCH Nelson (1991) propôs uma variação do modelo GARCH, o Exponenial Generalized Auoregressive Condiional Heeroskedasiciy (EGARCH), ou Heeroscedasicidade Condicional Auorregressiva Generalizada Exponencial, em poruguês. No modelo proposo por Nelson é possível separar os efeios posiivos e negaivos das inovações, assim como a ampliude das mesmas. A equação (7) apresena a equação do logarimo da variância condicional de um modelo EGARCH(p, q): p j1 2 j q i1 2 Log( ) Log( ) E (7) Onde: j i i i i Nos modelos EGARCH não é necessária a resrição de não negaividade dos parâmeros e, uma vez que esá sendo modelado o logarimo da variância condicional, que permie valores negaivos. O parâmero deermina os efeios posiivos e negaivos das inovações e o parâmero deermina o efeio da ampliude das inovações.

16 3.4 Modelos TARCH Zakoian (1994) propôs um modelo alernaivo ao GARCH, chamado Threshold Auoregressive Condiional Heeroskedasiciy (TARCH), ou Heeroscedasicidade Condicional Auorregressiva com Limiar, em poruguês. Assim como o EGARCH, no TARCH é possível separar os efeios posiivos e negaivos das inovações. A especificação do modelo é feia para o desvio padrão condicional (raiz quadrada da variância condicional). A equação (8) apresena o desvio padrão condicional segundo um modelo TARCH(p,q): p j1 j q i1 i i q (8) Onde: j i1 i i represena as inovações posiivas represena as inovações negaivas 3.5 Volailidade Implícia A volailidade implícia de um aivo é calculada uilizando como base um modelo de precificação de aivos. Um dos modelos mais uilizados para o cálculo da volailidade implícia é o modelo de precificação de opções de compra européias proposo por Black e Scholes (1973). A equação (9) apresena a fórmula do modelo de precificação de Black e Scholes, que recebeu o nome de Fórmula de Black-Scholes: c S N( d ) Ke d d 1 2 0 rt 2 Ln( S0 K) ( r T d T 1 1 N( d ) 2 2) T (9) Onde: c é o preço da opção de compra européia;

17 S 0 é o preço aual do aivo subjacene; K é o preço de exercício da opção; T é o empo aé o vencimeno da opção; r é a axa livre de risco; é a variância do aivo subjacene, consane aé T, e N(x) é a função de disribuição de probabilidade acumulada de uma disribuição normal padrão. Noa-se que é o único parâmero que não é direamene observado. O cálculo da volailidade implícia é feio observando-se o preço negociado de uma dada opção e calculando-se o valor de que, segundo a equação (9), seria responsável pelo preço negociado. A volailidade implícia é a raiz quadrada do calculado. A volailidade implícia cosuma ser uilizada como uma previsão da volailidade do aivo subjacene aé a daa T. Enreano, como exisem várias séries de opções para um mesmo aivo subjacene e nem odas as hipóeses do modelo de Black e Scholes são observadas na práica, é possível ober volailidades implícias diferenes para um mesmo período, criando, muias vezes, a necessidade de alguma manipulação anes de serem uilizadas. 3.6 Modelos GARCH-VI, EGARCH-VI e TARCH-VI Nesa seção são apresenados os modelos GARCH-VI, EGARCH-VI e TARCH-VI. O sufixo VI diz respeio à modificação exisene nos modelos: a inclusão da volailidade implícia na equação da variância condicional. A equação (10) apresena a equação da variância condicional do modelo GARCH- VI(p,q,r): p j1 2 j q i1 r 2 (10) j 2 i i l1 l 2 l Onde é a volailidade implícia e r é o número de defasagens da volailidade implícia presenes no modelo.

18 Da mesma forma, a equação (11) apresena a equação do logarimo da variância condicional do modelo EGARCH-VI(p,q,r) e a equação (12) apresena a equação do desvio padrão condicional do modelo TARCH-VI(p,q,r). r l l l q i i i i i j p j j Log E Log Log 1 2 1 2 1 2 ) ( ) ( ) ( (11) r l l l q i i i q i i i p j j j 1 1 1 1 (12) 4 Dados Os dados uilizados nese rabalho são de duas caegorias diferenes. Foi uilizada uma série diária de preços de fechameno do Ibovespa, que é o índice de ações da BM&FBovespa, e uma série diária de axas anuais da Selic, ambas obidas no sisema Economaica 8. Foram uilizadas ambém séries diárias de preços de opções de compra do Ibovespa, obidas na página da BM&FBovespa na inerne. De ambas as fones foram exraídas informações no período compreendido enre abril de 2000 e junho de 2011. Uma visão geral da série de preços do Ibovespa, no período uilizado nese rabalho, pode ser visa na Figura 1. 8 O sisema Economaica é uma ferramena de apoio a invesidores desenvolvido pela Economaica Sofware de Apoio a Invesidores Lda.

19 80000 70000 60000 50000 40000 30000 20000 10000 0 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 Figura 1: Série de preços do Ibovespa Fone: Economaica Nos modelos uilizados nese rabalho é uilizada a série de reornos 9 do Ibovespa. Os reornos foram calculados de acordo com a equação (13): R Ln P ) Ln( P ) (13) ( 1 O reorno calculado da forma apresenada na equação (13) é conhecido como logreorno, ou reorno conínuo. Sem considerar hipóeses de disribuições, uilizando reornos calculados desa maneira elimina-se o risco de ermos preços negaivos numa siuação de previsão de reornos fuuros. A Figura 2 mosra a evolução dos reornos do Ibovespa no período escolhido. 9 Nese rabalho, consanemene será feia menção à série de reornos do Ibovespa. Essa nomenclaura será usada para simplificação, uma vez que o nome exao seria série de log-reornos, conforme viso a seguir.

20 0,15 0,1 0,05 0-0,05-0,1-0,15 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 Figura 2: Reornos do Ibovespa Fone: Economaica A Tabela 1 mosra algumas esaísicas descriivas da série de reornos do Ibovespa, resumindo algumas de suas principais caracerísicas. Tabela 1 Esaísica descriiva da série de reornos diários do Ibovespa, no período de abril/2000 a junho de 2011 Esaísica Valor Média 0,000510 Mediana 0,001249 Máximo 0,136794 Mínimo -0,120961 Desvio-padrão 0,019446 Assimeria -0,102007 Curose 6,903603 Fone: Economaica

21 Noa-se uma curose elevada na disribuição dos reornos do Ibovespa. Para efeio de comparação, uma disribuição normal em curose de valor igual a 3 (Marins e Domingues, 2011, p. 104). Essa caracerísica evidencia que a disribuição em mais ocorrências nas exremidades da disribuição, efeio popularmene chamado de caudas grossas ou caudas pesadas. A curose elevada é muio comum em séries de reornos do mercado de ações. A série diária de axas anuais da Selic foi a série escolhida para represenar a axa livre de risco do mercado. Não há um consenso sobre qual deve ser a axa livre de risco a ser uilizada no Brasil. Além da Selic, há os que defendem a axa de CDI (Cerificado de Depósio Inerbancário) ou ambém a axa de juros da cadernea de poupança. Varga (2001) defende que a axa mais adequada ao Brasil é a Selic e ainda acrescena que basicamene não há diferenças ao escolher enre Selic e CDI. Em mercados esrangeiros cosuma ser usada a axa de um íulo do governo 10. A Figura 3 mosra a evolução da série no período uilizado nese rabalho. 30 25 20 15 10 5 0 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 Figura 3: Taxas Anuais (%) da Selic Fone: Economaica Com relação às séries de preços de opções, no período selecionado foram exraídos dados referenes a 936 séries de opções de compra do Ibovespa, divididas em 67 vencimenos diferenes. No Apêndice A é possível verificar os vencimenos e quanidades de séries em cada vencimeno. 10 Nos Esados Unidos é uilizada a axa do íulo do governo de 10 anos.

22 A base de dados que a BM&FBovespa disponibiliza em sua página na inerne coném várias informações sobre as séries de opções negociadas. Denre as várias informações foram exraídas as seguines: daa de negociação, daa de vencimeno, código de negociação, preço de fechameno da opção, preço de exercício e volume negociado. Esses dados, junamene com os preços do Ibovespa e a axa livre de risco, foram uilizados na consrução de uma série diária de volailidades implícias, segundo a Fórmula de Black-Scholes, equação (9). 4.1 Série de Volailidades Implícias Os modelos proposos nese rabalho (GARCH-VI, EGARCH-VI e TARCH-VI) necessiam de uma série de volailidades implícias, no caso, uma série diária de volailidades implícias de opções de compra do Ibovespa. Primeiramene, foram calculadas as volailidades implícias de odas as séries de opções de compra do Ibovespa selecionadas nese rabalho, para odos os dias em que cada série foi negociada. A volailidade implícia foi calculada de acordo com a meodologia descria na seção 3.5, com base no modelo de precificação de opções de compra de Black e Scholes, equação (9). Após o cálculo, as volailidades implícias foram agrupadas de acordo com as daas de vencimeno de suas opções. Para cada grupo foi gerada uma série diária de volailidades implícias, iniciando na primeira negociação de uma opção do grupo e erminando na daa de vencimeno do grupo. Como para cada dia da série do grupo pode haver mais de uma volailidade implícia calculada, devido à exisência de opções com preços de exercícios diferenes com mesmo vencimeno, a volailidade implícia de cero dia foi calculada aravés da média das volailidades implícias, ponderada pelos volumes das rês séries de opções com maior volume negociado nese dia. Foram descarados os cinco úlimos dias de volailidades implícias de cada grupo, como sugerido por Cabedo e Moya (2005, p. 69), uma vez que a volailidade implícia próxima ao vencimeno pode sofrer inerferências que não represenam de fao o que esá ocorrendo com o aivo subjacene. Por fim, as séries de volailidades implícias de cada grupo foram unificadas de modo que, após o fim de uma série de cero vencimeno, é dada sequência com as

23 volailidades implícias do grupo com vencimeno seguine. A série de volailidades implícias gerada em início em 13 de abril de 2000 e érmino em 07 de junho de 2011. Ese período ambém limia a série de reornos do Ibovespa durane o desenvolvimeno do rabalho. A Figura 4 mosra a série diária de volailidades implícias, em base anual, gerada. 1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 Figura 4: Série diária volailidades implícias, em base anual. 5 Meodologia Com o objeivo de comparar os modelos GARCH radicionais com os modelos GARCH-VI proposos nese rabalho, esses modelos foram esimados em deerminados períodos. Em seguida foram feias previsões para períodos imediaamene seguines aos esimados. Essas previsões foram comparadas segundo medidas de erro de previsão e foi escolhido o melhor modelo em cada período, para que seja possível chegar-se a uma conclusão sobre o desempenho dos modelos proposos. As esimações foram feias em quaro períodos disinos de 24 meses. Para cada esimação foram feias previsões com rês horizones de empos diferenes, de 10, 20 e 40 dias. As previsões foram feias em períodos imediaamene seguines aos períodos de esimação. A Tabela 2 apresena o início e fim de cada período de esimação, assim como o início e o fim de cada período de previsão.

24 Tabela 2 Períodos de Esimação e Previsão dos Modelos Esimação Previsão Início Fim Observações Início 10 dias 20 dias 40 dias Período 1 13/abr/2000 12/abr/2002 493 14/abr/2002 26/abr/2002 13/mai/2002 11/jun/2002 Período 2 01/jul/2003 30/jun/2005 500 01/jul/2005 14/jul/2005 28/jul/2005 25/ago/2005 Período 3 01/se/2006 29/ago/2008 489 01/se/2008 12/se/2008 26/se/2008 24/ou/2008 Período 4 09/abr/2009 08/abr/2011 493 11/abr/2011 26/abr/2011 10/mai/2011 07/jun/2011 Os períodos 1 e 4 foram escolhidos apenas por serem o início e fim, respecivamene, da amosra de dados uilizada nese rabalho. O período 3 foi escolhido, proposialmene, para que as previsões coincidam com o início da crise de 2008, período em que o mercado de ações esava basane voláil e em declínio. Em conraposição, o período 2 foi escolhido por ser um momeno de ala do mercado de ações. As abelas 3, 4, 5 e 6 apresenam as esaísicas descriivas dos períodos 1, 2, 3 e 4, respecivamene. Noa-se que os períodos, individualmene, apresenam curose menor que a curose da amosra como um odo, em especial a curose do período 2, que esá mais próxima a curose de uma curva normal. O período 3, que anecede a crise de 2008, ainda não sofre os efeios ípicos de uma crise: reornos negaivos e ala volailidade. Apenas o período 1 apresenou média dos reornos negaiva, sendo ambém o período com maior desvio padrão. O período 2 apresenou a maior média dos reornos diários e menor assimeria e o período 4 apresenou o menor desvio padrão.

Tabela 3 - Esaísica descriiva da série de reornos diários do Ibovespa, período 1. 25 Esaísica Valor Média -0,000348 Mediana -0,000837 Máximo 0,073353 Mínimo -0,096342 Desvio-padrão 0,020467 Assimeria -0,126425 Curose 4,092174 Fone: Economaica Tabela 4 - Esaísica descriiva da série de reornos diários do Ibovespa, período 2. Esaísica Valor Média 0,001316 Mediana 0,001558 Máximo 0,051589 Mínimo -0,063390 Desvio-padrão 0,016676 Assimeria -0,0239944 Curose 3,598468 Fone: Economaica

Tabela 5 - Esaísica descriiva da série de reornos diários do Ibovespa, período 3. 26 Esaísica Valor Média 0,000879 Mediana 0,001864 Máximo 0,061420 Mínimo -0,068565 Desvio-padrão 0,017624 Assimeria -0,362953 Curose 3,998567 Fone: Economaica Tabela 6 - Esaísica descriiva da série de reornos diários do Ibovespa, período 4. Esaísica Valor Média 0,000896 Mediana 0,001514 Máximo 0,063793 Mínimo -0,048646 Desvio-padrão 0,014169 Assimeria -0,063554 Curose 4,792797 Fone: Economaica Usando a mesma ideia de comparação realizada no rabalho de Hansen e Lunde (2005), em cada período foram esimados modelos da família GARCH: GARCH(1,1), EGARCH(1,1) e TARCH(1,1). E modelos da família GARCH-VI: GARCH-VI(1,1,1), EGARCH-VI(1,1,1) e TARCH-VI(1,1,1). Para decidir qual modelo eve melhor resulado em cada previsão foram uilizadas as medidas de erro de previsão Raiz do Erro Quadráico Médio (REQM, ou RMSE em

27 inglês) 11, Erro Absoluo Médio (EAM, ou MAE em inglês) 12 e a esaísica U de Theil 13. As medidas REQM e EAM são basane semelhanes e dependem da escala da variável em quesão, sendo que a medida REQM penaliza mais os grandes desvios 14. Para essas duas medidas, quano menor o valor obido melhor é a previsão do modelo e, para verificar se os valores dessas medidas de erro de previsão são significaivamene diferenes enre os modelos, foi realizado o ese de Diebold-Mariano 15. A esaísica U de Theil é independene de escala, assumindo valores enre zero e um, sendo que zero indica que os valores previsos foram iguais aos valores reais e um indica o exremo oposo. Em cada previsão, o modelo com o menor valor de REQM, EAM e/ou Theil é eleio o modelo com a melhor previsão para o período. 5.1 Esimação dos Modelos As Figuras 5, 6, 7 e 8 mosram os correlogramas dos reornos do Ibovespa nos períodos 1, 2, 3 e 4, respecivamene. Um correlograma pode auxiliar na deerminação da equação da média condicional a ser uilizada nos modelos que serão esimados. 1 h 1 11 Para um período de previsão definido por = i, i+1,..., i+h, REQM ˆ y é o valor real e ŷ é o valor previso no insane. i 1 12 Para um período de previsão definido por = i, i+1,..., i+h, EAM h 1 valor real e ŷ é o valor previso no insane. 13 Para um período de previsão definido por = i, i+1,..., i+h, U 1 h 1 h i 1 h 1 ih i i h i yˆ y yˆ ih i 2 y y yˆ 2, onde, onde y é o y 1 h 1 onde y é o valor real e ŷ é o valor previso no insane. 14 Devido à sua forma quadráica, quano maior a diferença enre o valor previso e o valor realizado, maior será a conribuição da diferença no somaório. 15 O ese proposo por Diebold e Mariano (1995) é feio sob a hipóese nula de que os valores das medidas de erro de previsão não são diferenes. 2 ih i y 2,

28 O correlograma do período 1 sugere que a equação da média condicional pode ser esimada com pelo menos duas especificações: a) sem ermos auorregressivos e de média móvel e b) incluindo ermo auorregressivo de quina ordem 16. Figura 5: Correlograma dos reornos diários do Ibovespa no período 1. Para os períodos 2 e 3, os correlogramas sugerem que as equações da média condicional podem ser esimadas sem ermos auorregressivos e de média móvel. Figura 6: Correlograma dos reornos diários do Ibovespa no período 2. 16 Como os dados são diários, isso sugere que havia sazonalidade semanal nos reornos.

29 Figura 7: Correlograma dos reornos diários do Ibovespa no período 3. No período 4, persise a sugesão de esimação da equação da média condicional sem ermos auorregressivos e de média móvel. Mas, exise a possibilidade da esimação com ermo auorregressivo de séima ordem ser adequada. Figura 8: Correlograma dos reornos diários do Ibovespa no período 4. Foi aplicado o Tese ARCH-LM 17 nas equações da média condicional sugeridas pelos correlogramas para verificar a necessidade da esimação de modelos de heeroscedasicidade condicional. O resulado, resumido na Tabela 7, rejeia a hipóese de inexisência de efeios ARCH e jusifica a necessidade dos modelos de heeroscedasidade condicional para odas as equações sugeridas. 17 O Tese ARCH-LM idenifica a heeroscedasicidade condicional auorregressiva nos resíduos de um modelo esimado. A hipóese nula do ese é a de não exisência de efeios ARCH aé a ordem q nos resíduos e pode ser realizado pela regressão: e 2 0 q s1 e 2 s s.

30 Tabela 7 Teses ARCH-LM Equações Esaísica Período 1 Período 2 Período 3 Período 4 C C AR(5) C C C C AR(7) Esaísica 3,679485 3,503102 2,937718 4,206731 3,209807 2,786041 F (0,0000) (0,0001) (0,0006) (0,0009) (0,0002) (0,0011) Obs*R² 41,46798 39,62028 33,71522 20,40001 36,57721 32,07017 (0,0000) (0,0001) (0,0007) (0,0011) (0,0003) (0,0013) Noa: a) valores enre parêneses indicam a probabilidade de não rejeição da hipóese nula. b) C indica equação com apenas uma consane, sem ermos auorregressivo ou de média móvel. c) AR(5) e AR(7) indicam equação com uma consane e ermo auorregressivo (AR) de ordem indicada enre parêneses. Na esimação dos modelos, a disribuição dos erros foi alernada enre Disribuição Normal, Disribuição T-Suden e Disribuição de Erros Generalizada (GED, sigla em inglês). Para seguir para a eapa de previsões, deerminou-se que um modelo deve er coeficienes significaivos e ambém capurar o efeio ARCH da série, passando por um novo Tese ARCH-LM, e ambém deve er as equações da média e da variância condicionais bem especificadas, verificadas pelos Tese-Q e correlogramas dos resíduos padronizados e resíduos padronizados ao quadrado. Para esar bem especificado, a esaísica Q do modelo não deve ser significane em odas as defasagens, assim como a auocorrelação (AC) e auocorrelação parcial (PAC). As abelas 8, 9, 10 e 11 apresenam os modelos esimados nos períodos 1, 2, 3 e 4. Além dos coeficienes há ambém as esaísicas referenes ao Tese ARCH-LM aplicado ao modelo esimado para confirmar a exinção do efeio ARCH: esaísica F e Obs*R². No Apêndice B esão os resulados dos Tese-Q e correlogramas dos resíduos padronizados e resíduos padronizados ao quadrado dos modelos esimados. A Erro! Fone de referência não enconrada. apresena os modelos esimados no período 1. Para a família GARCH os modelos obidos foram: GARCH(1,1) e EGARCH(1,1). Ambos com a especificação do ermo auorregressivo de quina

ordem na equação da média condicional, conforme sugerido pelo correlograma da Figura 5. Para a família GARCH-VI, nenhum modelo foi obido nas esimações. 31 Tabela 8 Coeficienes dos modelos esimados no período 1. GARCH (1,1) Família GARCH EGARCH (1,1) Disribuição -Suden -Suden C (média) AR(5) C (variância) -0,00026* (-0,31998) -0,114178 (-2,39953) 0,000072* (1,131364) -0,000473* (-0,579645) -0,096417 (-2,109847) -1,5027* (-1,578746) TARCH (1,1) GARCH- VI(1,1,1) Família GARCH-VI EGARCH- VI(1,1,1) TARCH- VI(1,1,1) 0,748356 (4,037723) 0,071978* (1,656283) 0,825393 (7,065719) Esaísica F 0,985356 (0,4618) Obs*R² 11,85355 (0,4575) -0,114488 (-2,631342) 0,163822 (1,894725) 0,858703 (0,5896) 10,36313 (0,5841) Noas: a) esaísica Z enre parêneses. b) valores seguidos de aserisco indicam coeficienes não significaivos. c) células em branco significam que o coeficiene da linha correspondene não faz pare do modelo na respeciva coluna. d) coluna em branco significa que o modelo não pode ser esimado. e) nas esaísicas F e Obs*R², o valor enre parêneses é a probabilidade de não rejeição da hipóese nula. A Tabela 9 apresena os modelos esimados no período 2. Para a família GARCH os modelos obidos foram: GARCH(1,1) e EGARCH(1,1). Para a família GARCH-VI, foi obido o modelo EGARCH-VI(1,1,1).

Tabela 9 - Coeficienes dos modelos esimados no período 2. GARCH (1,1) Família GARCH EGARCH (1,1) TARCH (1,1) GARCH- VI(1,1,1) Família GARCH-VI EGARCH- VI(1,1,1) Disribuição Normal Normal -Suden C (média) C (variância) 0,001691 (2,454734) 0,000005* (1,168788) 0,945197 (29,74631) 0,036052* (1,645175) 0,00148 (2,161615) -4,496418 (-4,35841) 0,44671 (3,569056) 0,001542 (2,132701) -3,481825 (-3,41961) 0,212814 (1,998442) 0,499461 (3,90874) 32 TARCH- VI(1,1,1) Esaísica F 0,440558 (0,9467) Obs*R² 5,371601 (0,9444) -0,357938 (-5,63282) -0,09608* (-1,02585) 1,641453 (0,0771) 19,43076 (0,0786) -0,29632 (-3,99404) -0,12014* (-1,32855) 1,121647 (0,3399) 13,44707 (0,3374) Noas: a) esaísica Z enre parêneses. b) valores seguidos de aserisco indicam coeficienes não significaivos. c) células em branco significam que o coeficiene da linha correspondene não faz pare do modelo na respeciva coluna. d) coluna em branco significa que o modelo não pode ser esimado. e) nas esaísicas F e Obs*R², o valor enre parêneses é a probabilidade de não rejeição da hipóese nula. A Tabela 10 apresena os modelos esimados no período 3. Para a família GARCH os modelos obidos foram: GARCH(1,1) e EGARCH(1,1). Para a família GARCH-VI, foi obido o modelo EGARCH-VI(1,1,1).

Tabela 10 - Coeficienes dos modelos esimados no período 3. GARCH (1,1) Família GARCH EGARCH (1,1) TARCH (1,1) GARCH- VI(1,1,1) Família GARCH-VI EGARCH- VI(1,1,1) Disribuição -Suden -Suden -Suden C (média) C (variância) 0,001853 (2,551751) 0,000018* (1,518766) 0,847253 (13,31711) 0,099593 (2,474702) 0,000921* (1,263756) -1,034399 (-3,18114) 0,882759 (22,83878) 0,001072* (1,506893) -2,115405 (-3,25277) 0,259518 (2,324701) 0,658994 (6,25466) 33 TARCH- VI(1,1,1) Esaísica F 0,353871 (0,978) Obs*R² 4,325837 (0,9768) -0,234445 (-4,44035) 0,09202* (1,543772) 0,537892 (0,89) 6,544507 (0,8862) -0,262705 (-3,8194) -0,01868* (-0,19803) 0,757827 (0,6941) 9,169162 (0,6884) Noas: a) esaísica Z enre parêneses. b) valores seguidos de aserisco indicam coeficienes não significaivos. c) células em branco significam que o coeficiene da linha correspondene não faz pare do modelo na respeciva coluna. d) coluna em branco significa que o modelo não pode ser esimado. e) nas esaísicas F e Obs*R², o valor enre parêneses é a probabilidade de não rejeição da hipóese nula. A Tabela 11 apresena os modelos esimados no período 4. Para a família GARCH os modelos obidos foram: GARCH(1,1), EGARCH(1,1) e TARCH(1,1). Para a família GARCH-VI, foi obido o modelo EGARCH-VI(1,1,1).

Tabela 11 - Coeficienes dos modelos esimados no período 4. GARCH (1,1) Família GARCH EGARCH (1,1) TARCH (1,1) GARCH- VI(1,1,1) Família GARCH-VI EGARCH- VI(1,1,1) Disribuição -Suden -Suden -Suden Normal C (média) C (variância) Esaísica F 0,001069 (2,042378) 0,000010* (1,710496) 0,874445 (18,81116) 0,073429 (2,494002) 0,531009 (0,8948) Obs*R² 6,461135 (0,8911) 0,000792* (1,495209) -0,778168 (-2,29895) 0,924334 (24,85235) -0,125614 (-,341542) 0,158976 (2,700772) 1,189837 (0,2872) 14,24021 (0,2856) 0,000804* (1,51098) 0,000012* (1,821519) 0,845029 (15,08621) 0,014793* (0,525226) 0,146866 (2,621652) 0,959331 (0,4872) 11,5477 (0,4827) 0,000113* (0,206691) -1,141675 (-1,97875) 0,24475 (2,282396) 0,787301 (8,408097) -0,201186 (-3,89324) -0,013747 (-0,16823) 1,12037 (0,3409) 13,432 (0,3384) 34 TARCH- VI(1,1,1) Noas: a) esaísica Z enre parêneses. b) valores seguidos de aserisco indicam coeficienes não significaivos. c) células em branco significam que o coeficiene da linha correspondene não faz pare do modelo na respeciva coluna. d) coluna em branco significa que o modelo não pode ser esimado. e) nas esaísicas F e Obs*R², o valor enre parêneses é a probabilidade de não rejeição da hipóese nula. 5.2 Previsão e Resulados As previsões de volailidade, realizadas com os modelos esimados, foram feias em períodos de 10, 20 e 40 dias. As previsões realizadas são do ipo um passo à frene, ou seja, foram realizadas previsões um passo à frene de forma sucessiva durane os dias de cada período de previsão. As previsões foram realizadas fora da amosra

35 de esimação, conforme pode ser verificado na Tabela 2, que resume os períodos de esimação e previsão uilizados. As Tabelas 12, 13, 14 e 15 apresenam os resulados das previsões nos períodos 1, 2, 3 e 4, respecivamene. Em cada abela é feio um comparaivo enre os modelos da família GARCH e os modelos da família GARCH-VI. As melhores méricas de erros de previsão aparecem em desaque em cada período de previsão. Tabela 12 Comparação dos Modelos GARCH e GARCH-VI no Período 1. Período de Previsão 10 dias 20 dias 40 dias Mérica de Erro de Previsão REQM EAM GARCH(1,1) 0,000233 (-0,5130*) 0,000209 (-0,7770*) GARCH EGARCH(1,1) 0,000239 0,000218 Theil 0,419047 0,435162 REQM EAM 0,000534 (-2,2770) 0,000372 (-2,3135) 0,000553 0,000396 Theil 0,547302 0,549887 REQM EAM 0,000462 (-1,7564*) 0,000341 (-1,5957*) 0,000475 0,000354 GARCH-VI Theil 0,514027 0,519409 Noas: a) valores desacados em negrio indicam o melhor resulado. b) valores enre parêneses informam a esaísica T do ese de Diebold- Mariano com relação às medidas de erro de previsão dos modelos à direia; o valor da esaísica seguido de um aserisco indica que as medidas de erro de previsão não são significaivamene diferenes.

36 Tabela 13 Comparação dos Modelos GARCH e GARCH-VI no Período 2. Período de Previsão 10 dias 20 dias 40 dias Mérica de Erro de Previsão REQM EAM GARCH GARCH-VI GARCH(1,1) EGARCH(1,1) EGARCH-VI(1,1,1) 0,000203 (-1,0702*;-0,9506*) 0,000185 (-0,8179*; -0,6660*) 0,000254 (1,3865*) 0,000229 (1,4579*) 0,000244 0,000221 Theil 0,39572 0,44748 0,436187 REQM EAM 0,000305 (-1,1252*;-1,3114*) 0,000229 (-1,7807*; -1,4657*) 0,000325 (0,5121*) 0,000262 (1,7147*) 0,000320 0,000250 Theil 0,473642 0,459574 0,469963 REQM EAM 0,000264 (-1,1395*;-1,0474*) 0,000207 (-1,2710*; -0,7607*) 0,000279 (1,0106*) 0,000223 (1,8266*) 0,000274 0,000215 Theil 0,438549 0,438975 0,449074 Noas: a) valores desacados em negrio indicam o melhor resulado. b) valores enre parêneses informam a esaísica T do ese de Diebold- Mariano com relação às medidas de erro de previsão dos modelos à direia; o valor da esaísica seguido de um aserisco indica que as medidas de erro de previsão não são significaivamene diferenes.

37 Tabela 14 Comparação dos Modelos GARCH e GARCH-VI no Período 3. Período de Previsão 10 dias 20 dias 40 dias Mérica de Erro de Previsão REQM EAM GARCH GARCH-VI GARCH(1,1) EGARCH(1,1) EGARCH-VI(1,1,1) 0,000753 (1,6476*;1,4188*) 0,000483 (-0,3691*;-1,7207*) 0,000680 (-1,9694*) 0,000503 (-2,3537) 0,000700 0,000529 Theil 0,529782 0,413032 0,438016 REQM EAM 0,002373 (-0,6398*;-1,1029*) 0,001397 (0,6112*;-0,3835*) 0,002429 (-1,6173*) 0,001406 (-2,0418*) 0,002516 0,001469 Theil 0,60525 0,661275 0,699763 REQM EAM 0,004467 (-1,7119*;-1,3778*) 0,002694 (0,9641*;0,5431*) 0,004695 (1,0192*) 0,002616 (-0,7484*) 0,004644 0,002645 Theil 0,619215 0,716261 0,690511 Noas: a) valores desacados em negrio indicam o melhor resulado. b) valores enre parêneses informam a esaísica T do ese de Diebold- Mariano com relação às medidas de erro de previsão dos modelos à direia; o valor da esaísica seguido de um aserisco indica que as medidas de erro de previsão não são significaivamene diferenes.

38 Tabela 15 Comparação dos Modelos GARCH e GARCH-VI no Período 4. Período de Previsão 10 dias 20 dias 40 dias Mérica de Erro de Previsão REQM EAM GARCH GARCH-VI GARCH(1,1) EGARCH(1,1) TARCH(1,1) EGARCH-VI(1,1,1) 0,000140 (-1,5192*;- 1,4164*;0,3867*) 0,000116 (-2,8231;- 2,1730*;0,7572*) 0,000155 (1,5820*;1,2722*) 0,00141 (3,1084;2,5998) 0,000147 (1,0085*) 0,000128 (1,9248*) 0,000140 0,000113 Theil 0,439452 0,418136 0,423409 0,455774 REQM EAM 0,000123 (-2,9345;- 2,6070;0,5111*) 0,000104 (-4,4757;- 3,7097;1,2933*) 0,000149 (2,9087;2,4672) 0,000132 (4,6754;4,4047) 0,000133 (1,7044*) 0,000118 (3,4967) 0,000122 0,000099 Theil 0,406019 0,406565 0,398444 0,424964 REQM EAM 0,000125 (-3,9678;- 3,6131;-0,4978*) 0,000105 (-5,3133; -3,5499;0,6342*) 0,000149 (3,7932;2,0186*) 0,000131 (5,0756;4,2471) 0,000134 (0,7446*) 0,000115 (2,3871) 0,000128 0,000101 Theil 0,405679 0,413341 0,403542 0,463416 Noas: a) valores desacados em negrio indicam o melhor resulado. b) valores enre parêneses informam a esaísica T do ese de Diebold- Mariano com relação às medidas de erro de previsão dos modelos à direia; o valor da esaísica seguido de um aserisco indica que as medidas de erro de previsão não são significaivamene diferenes. De maneira geral, as medidas de erro de previsão REQM e EAM, não foram significaivamene diferenes enre os modelos, com diferenças significaivas na escolha do melhor modelo apenas para previsões de 20 dias do período 1, elegendo o modelo GARCH(1,1). Ao analisarmos as comparações aravés da esaísica U de Theil, há um predomínio do modelo GARCH(1,1) nos períodos 1, 2 e 3, não sendo o melhor modelo apenas para as previsões de 20 dias do período 2 e 10 dias do período 3, onde o modelo EGARCH(1,1) foi melhor. No período 4, o modelo TARCH(1,1) eve o melhor

39 desempenho nas previsões de 20 e 40 dias e o modelo EGARCH(1,1) eve o melhor desempenho na previsão de 10 dias. O modelo GARCH(1,1) obeve bons resulados em grande pare das previsões. Resulado semelhane ao que Hansen e Lunde (2005) enconraram em seus rabalhos ao comparar o modelo GARCH(1,1) com modelos mais sofisicados. Nese rabalho, o modelo GARCH(1,1) só não foi superior aos ouros modelos no período 4, que foi caracerizado por ser o período de menor desvio-padrão dos reornos do Ibovespa. Os modelos da família GARCH-VI foram inferiores aos modelos da família GARCH em odos os períodos, sugerindo que a volailidade implícia, usada como variável explicaiva da variância condicional, não possui informação adicional na previsão de volailidade do aivo subjacene. 6 Conclusão Os modelos GARCH são amplamene uilizados para esimar e prever a volailidade de aivos do mercado financeiro. A volailidade implícia de opções possui uma caracerísica naural de ser uma previsão da volailidade fuura do aivo subjacene e por esa razão é basane esudada na lieraura. Ese rabalho propôs verificar a uilização da volailidade implícia em conjuno com modelos GARCH, mais precisamene usando a volailidade implícia como variável explicaiva da variância condicional em modelos GARCH. Na esimação dos modelos da família GARCH-VI, a volailidade implícia obeve coeficienes significaivos na equação da variância condicional apenas para os modelos EGARCH-VI(p,q,r), nos períodos 2, 3 e 4. A família GARCH-VI não eve um modelo esimado que a represenasse no período 1. Após as previsões, as comparações enre os modelos GARCH e GARCH-VI indicaram que os modelos da família GARCH-VI foram inferiores aos modelos da família GARCH, sendo que o modelo GARCH(1,1) na maioria das vezes foi o melhor modelo para previsão de volailidade. Esses resulados sugerem que o uso da volailidade implícia como variável explicaiva da variância condicional não aumena o poder de previsão dos modelos GARCH.

40 Uma sugesão de coninuação dese rabalho seria a uilização da previsão de volailidade dos modelos GARCH-VI em esraégias de invesimeno, verificando se aravés de esraégias reais pode-se chegar a uma conclusão diferene sobre o uso da volailidade implícia como variável explicaiva da variância condicional em modelos GARCH.

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43 APÊNDICE A Séries de Opções de Compra do Ibovespa Daa de Vencimeno Daa da Primeira Negociação Quanidade de Séries 14/jun/2000 13/abr/2000 5 16/ago/2000 31/mai/2000 5 18/ou/2000 28/jul/2000 6 13/dez/2000 20/se/2000 11 14/fev/2001 07/dez/2000 8 18/abr/2001 30/jan/2001 7 13/jun/2001 22/dez/2000 7 15/ago/2001 16/mai/2001 7 17/ou/2001 29/jun/2001 8 12/dez/2001 15/fev/2001 9 13/fev/2002 21/ago/2001 6 17/abr/2002 29/jan/2002 5 12/jun/2002 26/se/2001 6 14/ago/2002 08/jan/2002 7 16/ou/2002 01/mar/2002 7 18/dez/2002 20/fev/2002 10 12/fev/2003 17/ou/2002 5 16/abr/2003 04/abr/2002 6 18/jun/2003 10/mar/2003 6 13/ago/2003 08/ago/2002 6 15/ou/2003 20/jan/2003 9 17/dez/2003 13/mar/2003 11 18/fev/2004 23/se/2003 12 14/abr/2004 02/dez/2003 11 16/jun/2004 04/dez/2003 10 18/ago/2004 10/ou/2003 10 13/ou/2004 24/ou/2003 9 15/dez/2004 13/jan/2004 10 16/fev/2005 10/mai/2004 12

44 13/abr/2005 17/jan/2005 10 15/jun/2005 13/jul/2004 9 17/ago/2005 02/se/2004 8 13/ou/2005 30/jun/2005 10 14/dez/2005 21/dez/2004 11 15/fev/2006 24/mar/2005 13 12/abr/2006 31/ago/2005 14 14/jun/2006 08/nov/2005 16 16/ago/2006 31/mar/2006 11 18/ou/2006 04/jul/2006 12 13/dez/2006 02/dez/2005 15 14/fev/2007 22/fev/2006 16 18/abr/2007 17/mai/2006 15 13/jun/2007 08/dez/2006 13 15/ago/2007 26/se/2006 19 17/ou/2007 26/ou/2006 21 12/dez/2007 18/jan/2007 27 13/fev/2008 14/fev/2007 24 16/abr/2008 07/jun/2006 23 18/jun/2008 13/mar/2008 22 13/ago/2008 29/abr/2008 25 15/ou/2008 03/jul/2008 24 17/dez/2008 27/dez/2007 35 18/fev/2009 04/se/2008 18 15/abr/2009 11/abr/2008 25 17/jun/2009 07/jul/2008 22 12/ago/2009 05/mai/2008 18 14/ou/2009 22/se/2008 16 16/dez/2009 18/jun/2008 33 17/fev/2010 22/jul/2009 19 14/abr/2010 13/ago/2009 17 16/jun/2010 22/jul/2009 23 18/ago/2010 24/fev/2010 21 13/ou/2010 23/ou/2008 21

45 15/dez/2010 21/ago/2009 25 16/fev/2011 23/jul/2010 15 13/abr/2011 29/ou/2010 17 15/jun/2011 08/jan/2010 22

46 APÊNDICE B Teses-Q e Correlogramas dos Resíduos Padronizados e Resíduos Padronizados ao Quadrado dos Modelos Esimados Figura 9: Tese-Q e correlograma dos resíduos padronizados do modelo GARCH(1,1) do período 1. Figura 10: Tese-Q e correlograma dos resíduos padronizados ao quadrado do modelo GARCH(1,1) do período 1.

47 Figura 11: Tese-Q e correlograma dos resíduos padronizados do modelo EGARCH(1,1) do período 1. Figura 12: Tese-Q e correlograma dos resíduos padronizados ao quadrado do modelo EGARCH(1,1) do período 1.

48 Figura 13: Tese-Q e correlograma dos resíduos padronizados do modelo GARCH(1,1) do período 2. Figura 14: Tese-Q e correlograma dos resíduos padronizados ao quadrado do modelo GARCH(1,1) do período 2.

50 Figura 17: Tese-Q e correlograma dos resíduos padronizados do modelo EGARCH- VI(1,1,1) do período 2. Figura 18: Tese-Q e correlograma dos resíduos padronizados ao quadrado do modelo EGARCH-VI(1,1,1) do período 2.

53 Figura 23: Tese-Q e correlograma dos resíduos padronizados do modelo EGARCH- VI(1,1,1) do período 3. Figura 24: Tese-Q e correlograma dos resíduos padronizados ao quadrado do modelo EGARCH-VI(1,1,1) do período 3.

56 Figura 29: Tese-Q e correlograma dos resíduos padronizados do modelo TARCH(1,1) do período 4. Figura 30: Tese-Q e correlograma dos resíduos padronizados ao quadrado do modelo TARCH(1,1) do período 4.