Método de Monte Carlo Aplcado às Fnanças 1. Introdução. O Método de Monte Carlo 3. Inversão da Função de Dstrbução 4. Algumas Aplcações 5. Prncípos Báscos do Método de Monte Carlo 5.1 Introdução 5. Formulação Geral 6. Séres Pseudo-Aleatóras 6.1 úmeros aleatóros 6. Exemplo de um gerador de A: o método das congruêncas 6.3 Testes estatístcos 6.3.1 Teste de Kolmogorov-Smrnov 6.3. Testes de sequênca 7. Geração de Observações de V.A. Correlaconadas 7.1 Populações normas multvaradas 7. Caso geral 8. Smulação de Processos Estocástcos 8.1 Processos estocástcos em tempo dscreto 8. Processos estocástcos em tempo contínuo 9. Métodos Para a Redução do Erro de Estmação 10. Bblografa 11. Anexo 1 - Exercícos 1. Anexo - Tabela de K-S
1. Introdução Desde há muto que as técncas de smulação são uma mportante ferramenta para a resolução de problemas. Tratando-se de técncas extremamente versátes, podem ser utlzadas em pratcamente todos os tpos de sstemas estocástcos, desde as flas de espera aos sstemas fnanceros, passando pela gestão de stocks, o desenvolvmento de processos produtvos e de redes de dstrbução, ou mesmo pelo cálculo da probabldade de se consegur termnar um dado projeto dentro do prazo acordado. O recurso à smulação torna-se ndspensável quando o sstema probablístco em consderação é demasado complexo para que o problema em estudo seja soluconado, de forma exata ou, pelo menos, satsfatóra, recorrendo a modelos matemátcos e estatístcos. Quando a complexdade nvablza esta alternatva, o que é frequente nos modelos fnanceros, a smulação é frequentemente a únca abordagem pratcável. Um modelo de smulação vsa assm replcar o comportamento de um determnado sstema, objeto de estudo, com o propósto de procurar detetar as nterações exstentes entre os város elementos que o compõem e que se traduzem sobretudo nas relações nputs/outputs. Por esse motvo, os outputs que tas modelos permtem obter apresentam-se habtualmente em termos de meddas seleconadas, que refletem o desempenho do sstema, face aos dferentes cenáros consderados para os nputs. Depos, podem tomar-se decsões sobre o rumo a tomar. Tradconalmente, as técncas de smulação têm sdo utlzadas na análse de problemas de dos tpos dstntos: 1. Problemas teórcos nas áreas da Matemátca, da Físca e da Químca.. Problemas relaconados com aplcações prátcas. Dentro do prmero grupo, merecem destaque partcular: A estmação da área lmtada por uma curva, nclundo a avalação de ntegras múltplos. Claro que pode parecer confuso como se há-de estabelecer a lgação entre o cálculo de um ntegral e uma dstrbução de probabldade, mas a verdade é que se faz. A nversão de matrzes. A resolução de equações dferencas parcas. O estudo do movmento de partículas num plano.
O estudo da dfusão de partículas. A resolução de sstemas de equações lneares. Quanto ao segundo grupo, é muto comum: A smulação de sstemas de nventáro, flas de espera, sstemas de dstrbução, calendarzação de ações de manutenção, A smulação do funconamento de uma empresa, do comportamento dos consumdores, da evolução dos captas necessáros para o crescmento da empresa, dos mercados, nclundo os fnanceros, da economa, A smulação de sstemas socas e dos comportamentos, A smulação de sstemas bomédcos, A smulação de estratégas e tátcas de combate. O procedmento é de enorme smplcdade conceptual: consderam-se cenáros alternatvos para as varáves de nput, smula-se o funconamento do sstema, dado cada um desses cenáros, e analsam-se os outputs obtdos, cenáro a cenáro. Depos, podem tomar-se decsões sobre o rumo a tomar. Por exemplo, na smulação do funconamento de um certo balcão de um banco, dados o horáro de atendmento, o número de funconáros e a procura, pode ter-se como objetvo calcular estmatvas para o tempo médo de espera dos clentes e o tempo médo em que não há clentes para atender. a smulação da gestão do stock de um artgo pode procurar avalar-se o nível médo e o nível máxmo de stock e os custos de posse, de encomenda e de ruturas. a smulação da evolução do preço do atvo subjacente a uma dada opção procura normalmente determnar-se o prémo, ou a probabldade da opção vr a ser exercda. a smulação das taxas de juro futuras procura saber-se a probabldade assocada a certos quanttatvos de retorno, Uma experênca de smulação dferenca-se de uma experênca laboratoral, na medda em que pode ser nteramente conduzda no computador. A partr da expressão das nterações entre as componentes do sstema por meo de relações matemátcas, é possível recolher a nformação necessára de modo muto semelhante ao que sucedera no mundo real (aparte, evdentemente, as smplfcações ntroduzdas no modelo). A natureza da smulação permte assm ter grande flexbldade na representação de sstemas complexos, como são va da regra os modelos fnanceros. o entanto, o desenvolvmento deste tpo de modelos pode ser muto exgente em termos de recursos.
. O Método de Monte Carlo a chamada smulação de Monte Carlo (MC) os modelos são construídos tendo explctamente como nput varáves aleatóras, que representam as fontes de ncerteza presentes no problema em estudo. Conhecdas as dstrbuções de probabldade dessas varáves aleatóras, é então possível correr o modelo um grande número de vezes, de tal modo que em cada uma das corrdas as varáves aleatóras ncluídas assumam partculares valores concretos, dtados pelas respetvas dstrbuções. Ou seja, o que se pretende é que a geração dos partculares valores concretos seja feta de modo a reconsttur a dstrbução conjunta das varáves de nput. Por exemplo, admtndo que é necessáro gerar observações de um par aleatóro ( ) com f.p conjunta unforme em { } { }, erm 900 000 gerações ndependentes de observações do par aleatóro deve esperar-se que cada uma das nove concretzações possíves surja 100 000 vezes. Dependendo do número de varáves aleatóras nput do modelo, e do conjunto dos valores possíves para cada uma delas, assm poderá ser necessáro efetuar mlhares ou centenas de mlhares de réplcas, antes de a experênca estar completa. Uma experênca de smulação de Monte Carlo só se consdera completa quando a dstrbução de probabldade (empírca) das varáves output for conhecda com razoável certeza. Esta necessdade de conhecer a dstrbução das varáves output (mpossível de obter exatamente pela técnca tradconal) é mutas vezes ncontornável, sobretudo no que dz respeto às caudas, que caracterzam probablstcamente as stuações extremas, normalmente as mas crítcas em análses do rsco. Verfca-se assm que o Método de Monte Carlo (MMC) se mpõe na smulação de processos probablístcos, uma vez que se basea muto smplesmente no prncípo de
recorrer à amostragem para estmar o resultado procurado. estas condções, a smulação deve ser tratada como uma experênca aleatóra. Ao contráro das soluções que os modelos matemátcos determnístcos fornecem, pontuas e sem que seja possível atrbur-lhes uma probabldade de concretzação, os resultados produzdos quando se corre um modelo de smulação estocástca são observações de varáves aleatóras, com todas as consequêncas nerentes, estando nclusvamente sujetas ao erro de amostragem. Isto sgnfca que qualquer nferênca relatva ao desempenho do modelo de smulação tem que se sujetar aos testes estatístcos aproprados. Como é evdente, o conhecmento das dstrbuções de probabldade é a forma mas adequada de descrever o comportamento dos fatores de ncerteza exstentes e a sua nfluênca sobre os resultados. Alguns exemplos das dstrbuções mas utlzadas e das aplcações tradconas: ormal Dstrbução smétrca completamente especfcada pelo conhecmento da méda e do desvo padrão e com aplcações tão díspares como o peso e a altura ou as taxas de nflação e os preços da energa. Lognormal Com assmetra postva, é usada para representar grandezas que não assumem valores negatvos, mas têm um potencal de crescmento lmtado, caso do valor de certos atvos mobláros, de algumas ações ou das reservas de petróleo. Unforme Outra dstrbução smétrca, bastando conhecer o mínmo e o máxmo dos valores possíves; é adequada na modelzação de certos custos de fabrco. Trangular Caracterzada pelo mínmo, pelo máxmo e pela moda, usa-se para a descrção do volume de vendas por undade de tempo ou do nível do stock de certo tpo de bens num armazém, ao longo do tempo. Exponencal Especfcada pela méda, aplca-se à modelzação de tempos de espera por certo tpo de ocorrêncas, ou das durações de alguns equpamentos. o decorrer de uma smulação de MC, realza-se um processo terado de amostragem casual, que consste em gerar uma observação de cada uma das varáves aleatóras consderadas como nput e calcular os correspondentes valores das varáves de output. Estes resultados são então objeto de regsto. Depos de um número de terações consderado sufcente, constró-se a dstrbução das varáves de output, cuja análse é determnante para alguma eventual tomada de decsão. Consegue-se com este processo
um quadro muto completo de toda a stuação, que contempla não só aqulo que poderá vr a acontecer, mas também a probabldade com que poderá vr a acontecer. As vantagens do MMC, comparatvamente a uma análse do tpo determnsta, ou de estmação de ponto únco, como também se dz, são ndscutíves: Fornece resultados probablzados. Possblta análses gráfcas, pos as múltplas terações dão orgem a uma enorme quantdade de observações estatístcas, que podem ser objeto dos mas varados tratamentos gráfcos, com todas as vantagens nterpretatvas daí decorrentes. Vablza análses de sensbldade, sobretudo quando é mportante descobrr quas os fatores que têm maor responsabldade pelos resultados partcularmente gravosos. Permte a deteção das combnações de fatores mas arrscadas, pos os analstas conseguem determnar com exatdão os cenáros de nput assocados a certos resultados, nformação nestmável para a análse subsequente. Tal não é possível de forma tão ntegral com os modelos determnstas, a menos que se conheça tão bem o sstema que a pror se saba quas são esses cenáros. Mas a probabldade de alguns serem gnorados é muto maor do que quando se fazem mlhares, ou mlhões, de corrdas do sstema. Faclta a correta ntrodução das relações de nterdependênca exstentes entre as dversas varáves de nput, o que é da maor mportânca para a precsão dos resultados. Para além de todas as vantagens enumeradas, acresce que o método de MC é mutas vezes a únca ferramenta ao dspor dos analstas fnanceros, sobretudo quando se trata de efetuar cálculos complexos na determnação dos preços de certos produtos, ou a avalação de determnados rscos. Há problemas, com efeto, em que só com uma smulação estocástca bem conduzda é possível chegar a uma solução que mereça alguma confança por parte dos decsores. A fnalzar este ponto, uma nota hstórca. A conceção do MMC é atrbuída a um matemátco de orgem polaca radcado nos Estados Undos, Stanslaw Ulam. Segundo parece, a dea ter-lhe-á surgdo quando se ocupava com o cálculo da probabldade de consegur ganhar um jogo de Soltáro. As condções da génese levaram um seu colaborador, cholas Metropols, a dar ao procedmento o nome de Método de Monte Carlo (MMC), em atenção aos múltplos casnos que há na cdade com o mesmo nome. Os dos publcaram em 1949 um artgo conjunto nttulado The Monte Carlo Method, no Journal of the Amercan Statstcal Assocaton.
3. Inversão da Função de Dstrbução Fo atrás amplamente salentado que um dos aspetos domnantes no uso da smulação de MC está assocado à necessdade de descrever o problema em estudo também por meo de uma dstrbução de probabldade adequada, da qual as amostras com as observações das varáves de nput são extraídas. os modelos de smulação, o processo de amostragem a partr de qualquer dstrbução alcerça-se no uso de números aleatóros no ntervalo 0,1, os quas devem satsfazer as seguntes propredades estatístcas: 1. Ter dstrbução unforme;. Os sucessvos valores têm que ser gerados de uma forma totalmente aleatóra, ou seja, as sucessvas observações devem poder assocar-se a varáves aleatóras ndependentes. Dos resultados teórcos muto conhecdos (a chamada transformação unformzante) fundamentam este uso de números aleatóros no ntervalo 0,1. (ver Murtera, pp 70-71). Teorema 1: Se é v.a. do tpo contínuo, com função de dstrbução Fx ( ), então a v.a. U F( ) tem dstrbução U (0,1). Teorema : Se exste uma função Fx ( ) é função de dstrbução de uma v.a., e se U com função de dstrbução Fx ( ). U ~ U (0,1), então Uma outra formulação, que destaca melhor como se há de usar a dstrbução no domíno da smulação de MC, é a segunte. U (0,1) Teorema 3: Seja Se U ~ U (0,1), então uma v.a. com função de dstrbução F 1 U Fx ( ), é uma v.a. dentcamente dstrbuída a. estrtamente crescente.
A demonstração é medata, bastando notar que que P F 1 ( U ) x P U F ( x ), F 1 ( u) x U F( x), donde resulta pos acontecmentos equvalentes têm guas probabldades. Mas, sendo F ( x) F ( x) P U F( x) f ( u) du 1du 0 Fx ( ), então P F 1 ( U) x F( x). F 1 U Fca provado que [ ( ) ] [ ] ou seja, que é uma v.a. dentcamente dstrbuída a O resultado anteror exge que exstênca da nversa. os casos em que F se u 0,1 F. seja estrtamente crescente, de modo a garantr a não é estrtamente crescente, como sucede é v.a. dscreta, recorre-se à chamada nversa generalzada, em que para cada se defne F 1 ( u ) nf x R : F ( x ) u. Torna-se assm fácl gerar amostras de qualquer população aleatóras extraídas da população da população U ~ U (0,1) desejada, a partr da relação : basta gerar amostras e transformá-las em amostras aleatóras 1 F U Claro que, quando não se dspõe da expressão analítca de. F, ou esta função não é nvertível, é necessáro encontrar alternatvas. A dstrbução ormal de parâmetros e é uma destas dstrbuções. Para a resolução do problema há város métodos, entre os quas o método dreto, ou método de Box-Muller (1958). O método dreto nca-se com a geração de dos números aleatóros com dstrbução 0,1 unforme em Prossegue com o cálculo de, representem-se por u 1 e u z sn u log u z cos u log u, 1 e 1 e 1 que se demonstra fornecer duas observações, z 1 e z, da dstrbução ormal Standard; Fca completo com a transformação de z 1 e z nas observações x1 z1 e x z, que já são da dstrbução,, como se pretenda. Para a smulação de uma v.a. Y com dstrbução ; log normal, faz-se como que uma extensão deste método - pos dz-se que Y tem dstrbução log normal, quando lny tem dstrbução,. Assm, depos de se obter uma observação x da dstrbução normal de parâmetros e, com o método dreto, basta ter em atenção que y e x é a observação desejada.
4. Algumas Aplcações as aplcações seguntes, va recorrer-se ao Excel, mas poda ter-se usado o Mathematca, o Matlab o C++, o R Relatvamente ao Excel, há duas abordagens báscas: a trval folha de trabalho ou, quando a dmensão/complexdade da stuação em estudo não o permte, o uso da lnguagem VBA (Vsual Basc for Applcatons). estes exemplos adopta-se a prmera, que consste em construr um modelo compacto do problema numa lnha da worksheet e replcá-lo tantas vezes quantas as necessáras nas lnhas seguntes, aprovetando as vrtualdades das funções copy e paste do programa. Para evtar que o Excel refaça automatcamente a smulação, sempre que se realza alguma operação na folha de trabalho, pode escolher-se a opção Manual no menu das Calculatons, ou usar a opção Paste Specal Values and number formats, no menu Edt, para copar toda a folha com os cálculos para uma nova folha. Caso 1: o da 1 de Janero de 011 um nvestdor aplcou 10000 pelo prazo de 3 anos, nas condções seguntes. A 31 de Dezembro de 011, 01 e 013 será lançado um dado equlbrado: se a pontuação for 5 ou 6, é aplcada a taxa de 5% ao valor acumulado no níco do ano; se a pontuação for 1,, 3 ou 4, é aplcada a taxa de 0%. Calcule-se o valor mínmo e também o valor máxmo possíves para o valor acumulado ao fm dos 3 anos e as respetvas probabldades. Calcule-se anda a probabldade de se obter um valor acumulado nferor ao valor acumulado esperado. (Resolvdo na aula) Caso : Volte a resolver-se o Caso 1, admtndo agora que o prazo da aplcação é de 5 anos e que, se a pontuação for 5 ou 6, é aplcada a taxa de 5% ao valor acumulado no níco do ano; se a pontuação for, 3 ou 4, é aplcada a taxa de 0%; e que, se a pontuação for 1, é aplcada a taxa de -%. O valor mínmo e o valor máxmo são de cálculo medato: A 5 com probabldade 5 mn 10000 0.98 9039.08, 5 A 5 com probabldade 5 max 10000 1.05 176.81563, 5 1 6 0.000186. 1 3 0.004115.
Quanto ao cálculo de 5 5 5 5 5 5 5 P A E A P A 10000 1 E I P A 10000 1 0,01(3) P A 10684.683, já é tentador aplcar o MMC, embora contnue a tratar-se de um problema muto elementar, relatvamente ao qual anda é possível calcular a dstrbução exacta de A 10000 1 I 1 I 1 I 1 I 1 I. 5 1 3 4 5 Defnndo as v.a. It, t 1,...,5, que representam as taxas de juro a aplcar nos 5 anos (e que, pelas condções do enuncado são claramente..d.), é medato que as 5 têm função de dstrbução dêntca à de uma v.a. 0, % 1 6, % 0% F P I. 3, 0% 5% 1, 5% Então, de acordo com o que se vu, a cada tal que u 0,1 gerado aleatoramente va fazer-se corresponder uma das três taxas possíves, de acordo com a transformação: 0 u 1 6, % 1 6 u 3, 0%. 3 u 1 5% Para cada trajetóra do processo smulam-se as 5 taxas anuas, o que va permtr obter uma observação de ; tratando-se de uma smulação de MC repete-se o processo de forma ndependente tantas vezes quantas as necessáras para, dada a dstrbução das v.a. nput I, t 1,...,5, se obter a dstrbução empírca dessa v.a. output Usando o Excel, tem-se t Comandos nas células A, C, E, G, I: =RAD() Comando em B: =IF(A<=1/6;-0,0;IF(A<=/3;0; 0,05)) - comandos análogos em D, F, H, J. Comando em K: =10000*(1+B)*(1+D)*(1+F)*(1+H)*(1+J) Aprovetando as funconaldades do programa, é medata a replcação de, por exemplo, 5000 trajetóras, gerando assm 5000 observações de A 5. A 5.
A B C D E F G H I J K 1 1 3 4 5 A 5 0,139307-0,0 0,43575 0 0,55444 0 0,05491 0 0,700417 0,05 1090,00000 3 0,609711 0 0,60104 0 0,338185 0 0,58833 0 0,651613 0 10000,00000 5001 0,69701 0,05 0,554567 0 0,339087 0 0,006573-0,0 0,509787 0 1090,00000 Recorrendo à Data Analyss, podem obter-se as estatístcas de sumáro, o hstograma e um esboço da dstrbução empírca de A 5, com estas partculares 5000 observações. Mean 1069,50345 Skewness 0,31916964 Standard Error 9,05517534 Range 3539,13405 Medan 10588,41 Mnmum 93,6816 Mode 1105 Maxmum 176,81563 Standard 640,975888 Sum 5346517,3 Devaton Sample Varance 409981,00 Count 5000 Kurtoss -0,76681 Confdence Level (95,0%) 17,75115 1400 10,00% 100 1000 800 600 400 00 100,00% 80,00% 60,00% 40,00% 0,00% 0,00%
Para calcular uma estmatva da probabldade pedda, basta converter cada observação de A 5 na observação da correspondente Indcatrz de Bernoull. A 10684.683 observa-se um 'sucesso'; A 10684.683 observa-se um 'nsucesso'; 5 5 estmatva procurada obtém-se dvdndo o número de sucessos pelo número de observações (5000). Usando o Excel Comando em L: =IF(K<10884,683;1;0) K L 1 A 5 1090,00000 1 3 10000,00000 1 5001 1090,00000 1 Para calcular a estmatva da probabldade: =sum(l:l5001)/5000 Com a partcular amostra smulada, a estmatva é 0,511 o hstograma já dava alguma ndcação do valor aproxmado. Questões que permanecem: 5000 será uma dmensão sufcente (note-se que o mínmo nunca chegou a ser observado)? Outra amostra com a mesma dmensão fornecera resultados sgnfcatvamente dferentes destes? É precso repetr o processo até que as dúvdas sejam, tanto quanto possível, dsspadas. Caso 3: Retome-se o Caso 1, admtndo que o dado fo posto de parte e que as melhores prevsões ndcam que as 3 taxas efectvas anuas vão ter dstrbução unforme no ntervalo %,5%. Para além de refazer os cálculos então peddos, estme-se também a probabldade de não haver agora qualquer valorzação do captal aplcado. (Tratado na aula) Caso 4: Consdere-se novamente o Caso 3. 4.1 Admta-se que as 3 taxas efectvas anuas terão dstrbução exponencal com méda gual à da dstrbução unforme Calcule-se agora a probabldade de a valorzação méda anual do captal aplcado não exceder 1%.
(Tratado na aula) Refra-se adconalmente que o Excel gera observações de uma população com dstrbução gama de parâmetros e (O valor esperado é o produto dos dos). O comando é =GAMMAIV(rand();n;1/α) 4. Admta-se que as 3 taxas efectvas anuas terão dstrbução normal com méda e varânca guas à da dstrbução unforme Calcule-se a probabldade de a valorzação, méda anual do captal aplcado pertencer ao ntervalo. (Tratado na aula; recordar o Método de Box and Muller ou a aproxmação dada no texto de apoo ou ver anda as pp. 36-38 de Korn et al.) Claro que o Excel também gera observações de uma população com dstrbução ormal Standard, usando o comando =ORMSIV(RAD()) E gera observações de uma população com dstrbução ormal de méda µ e desvo padrão, com o comando =ORMIV(RAD();µ;σ) t 4.3 Admta-se que a v.a. 1, 1,,3, t terá dstrbução Lognormal com parâmetros 0.07. Calcule-se a probabldade de a valorzação méda anual do captal aplcado ser superor a. E t (Tratado na aula) O Excel também gera observações de uma população com dstrbução Lognormal de parâmetros µ e σ (que agora já não correspondem à méda nem ao desvo padrão da dstrbução, como se sabe). Comando: =LOGIV(RAD();µ;σ).
5. Prncípos Báscos do Método de Monte Carlo 5.1 Introdução Para além da transformação unformzante, de que já se falou, e tendo sempre presente que se está no domíno da amostragem, das dstrbuções por amostragem e da estmação, sto é, no domíno da Estatístca, há alguns prncípos báscos fundamentas para um correcto entendmento do MMC. Como se consegue depreender das aplcações atrás vstas, o objetvo da aplcação do método é mutas vezes calcular as probabldades de acontecmentos relevantes, o que se consegue calculando os valores esperados de varáves aleatóras convenentemente defndas. Este propósto é alcançado a partr do cálculo da méda artmétca dos resultados obtdos com um grande número de repetções de experêncas aleatóras, conduzdas de modo que em todas elas a dstrbução dessas varáves aleatóras esteja subjacente. Para lustrar, recorde-se o Caso em que, para além do valor mínmo e do valor máxmo, e respectvas probabldades (que podem ser calculados sem recorrer ao MMC), se peda a probabldade de ser obtdo um valor acumulado (v.a. A 5 ) nferor ao valor acumulado esperado, [ ] o que já exga a recolha de uma amostra por smulação de MC. Começou então por se consderar uma amostra com 5000 valores acumulados e a cada uma das 5000 v.a. Indcatrz de Bernoull,, 0, se A5 EA 5, 1,...,5000, 1, se A5 EA 5 em que a probabldade de sucesso é p P 1 P A 5 E A5. Por outro lado, como se sabe, [ ] A5, assocou-se uma v.a. pelo que, para estmar a probabldade é sufcente estmar o valor esperado [ ]
Uma estmatva para assumdos pelas ndcatrzes de Bernoull, a51, a5,... a55000 p fo assm obtda calculando a méda artmétca dos 5000 valores 1 5000 x, x,..., x, obtda. Por outras palavras: uma estmatva para face à partcular amostra é a méda de uma amostra com 5000 observações extraídas da população ( ) pos todas as varáves são dentcamente dstrbuídas. 5. Formulação Geral Consdere-se uma v.a. n n defnda num espaço de probabldade uma sucessão de v.a...d. a. Seja que se quer estmar.. E e Var, F, P e seja e admta-se Resultados já conhecdos, que é convenente recordar, para a resolução do problema de estmação em causa: 1. A le forte dos grandes números (na sua forma mas smples, ou versão de Kolmogorov, que é sufcente no que dz respeto ao MMC), segundo a qual, consderando a medda de probabldade P, se tem para quase todos os resultados ( ) Por outras palavras, pode dzer-se que a sucessão das médas artmétcas das realzações de converge quase certamente para a méda da população, que se quer estmar. n é um estmador consstente de [ote-se que se dz que uma sucessão de v.a.. n n converge quase certamente para, quando dz-se que ( ) converge quase certamente para zero quando P A 1, A ωω...,:lm n ω 0.]. A méda da amostra (ou estmador de Monte Carlo) é um estmador não envesado da méda da população, ou seja, sendo 1,,..., uma amostra aleatóra recolhda da população, 1 E E. 1
Mas anda, a varânca do erro de estmação é Var Var. Daqu se conclu que o estmador de MC goza de boas propredades. Também se pode conclur que o desvo padrão de é de ordem O 1, o que ndca ser necessáro multplcar a dmensão da amostra em 100 observações para se reduzr o desvo padrão em 0.1. Observa-se assm que a convergênca do método é bastante lenta. 3. O uso do desvo padrão do erro cometdo como medda da precsão obtda com o MMC pode ser justfcado nvocando o TLC, pos caracterza a dspersão dos valores da dstrbução normal em torno da méda. Assm, nas condções de., - D 1 D 0,1 0,1. 4. O TLC garante que, para sufcentemente grande, conhecmento permte a obtenção de ntervalos de confança para 1 nível de confança aproxmado, vem D, ;. tal Consderando um 1 1 z,,, 1 z z z 1 1 1 1 1 onde z 1 é o quantl de ordem 1 equvalente a dzer-se que verfca a condção da dstrbução ormal-standard, o que é z 1 1. ormalmente, também é necessáro estmar o desvo padrão da população, para o que se usa como estmador o desvo padrão corrgdo da amostra (gualmente um estmador centrado), 1 1 1 1 1.
Quando se fxa 95%, z 1 z 0.05, ou seja, quando se pretende obter um ntervalo de confança a 0.975 1.96 ; usualmente, dado que se trata de um cálculo que envolve aproxmações, consdera-se então 1 1,,. 1 1 [Com 0.1 - ntervalo de confança a 90% - 0.95 z 1 z 1.645 ; com 0.01 - ntervalo de confança a 99% - z 1 z 0.995.576,... ] OBSERVAÇÃO IMPORTATE: Todas as consderações anterores se podem aplcar, com as necessáras adaptações, ao caso em que é necessáro 1,,..., E g. um vetor aleatóro em estmar uma quantdade R, g(.) uma função de E g R, sendo em R ote-se que pode representar uma trajectóra de um processo estocástco, por exemplo, o preço de um dado atvo ao longo do tempo; nesse caso, e representara o preço do atvo no momento Atrás, como o objetvo era estmar.., a méda da população, tomou-se 1... g( ), a méda dos valores observados da v.a., cujo valor esperado é exatamente.. De modo semelhante, quando o objetvo é calcular a probabldade de se realzar um determnado acontecmento A, expresso em função da v.a. (por vezes, o acontecmento elementares I A A vem expresso anda em função dos acontecmentos ), a questão é resolvda defnndo as v.a. Indcatrzes de Bernoull 1, se 0, se A, A pos da teora das probabldades sabe-se que I A Mas uma vez, e pelas mesmas razões, também agora a estmatva de MC para determna calculando a méda da amostra observações de I I, I,..., I, A 1 A A I, as quas são obtdas a partr da amostra A E P. A P A se relatva às 1,,..., Isto sgnfca que g é gual à proporção de sucessos na amostra das observações.
ndependentes. Como esta proporção não é mas do que a frequênca relatva das realzações de A na amostra, vem g rf A I I I A 1 A A ( ). Sabendo-se gualmente ser da varânca Var I P A 1 P A, A nível aproxmado de 95% é rf A 1 rf A. O ntervalo de confança para pode tomar-se como estmador rf A 1 rf A rf A 1 rf A rf A, rf A, P A com um caso partcular para as populações de Bernoull do ntervalo anterormente apresentado,, pos rf A. Exemplo com os resultados da smulação do preço da call europea: Intervalo de confança a 95% para o valor da opção: [ ] [ ] Intervalo de confança a 95% para a probabldade de se exercer a opção: [ ( ) ( ) ] [ ]
6. Séres Pseudoaleatóras 6.1úmeros Aleatóros Como se pôde observar nos exemplos estudados, e resulta da própra desgnação, as smulações estocástcas fazem amplo uso de varáves aleatóras, pelo que a capacdade de dspor de números aleatóros (A) com uma partcular dstrbução se torna ndspensável. O grande problema que se coloca é como obter números que sejam realmente aleatóros e mprevsíves. Os A usados nas smulações de Monte Carlo são habtualmente gerados por meo de um algortmo numérco, o que na realdade os torna valores obtdos de uma forma determnístca. o entanto, quando se olha para eles sem se conhecer o algortmo que os gerou, afguram-se mesmo como sendo aleatóros. Por essa razão se lhes chama números pseudoaleatóros e conseguem passar a maor parte dos testes estatístcos. Pelas razões já conhecdas, é partcularmente mportante a geração de A com dstrbução unforme no ntervalo 0,1, embora a nclusão dos extremos, que formam um conjunto de probabldade nula, possa ser dspensável. Exstem atualmente mutos métodos para a geração de A, pelo que só serão apresentados os prncípos geras necessáros para a compreensão do modo como os geradores funconam. Em partcular, será ntroduzdo um algortmo que pode ser mplementado com uma smples calculadora e que tem a vrtude de tornar famlares os termos técncos usados. Antes dsso, alguns crtéros de qualdade que os geradores de A devem satsfazer: 1. Requstos de rapdez e memóra as smulações de MC são necessáros enormes volumes de dados A, pelo que é convenente que estes sejam gerados de forma rápda e efcente, sem ocuparem demasada memóra.. Período sufcentemente longo Devdo ao modo como são construídos, e às capacdades dos computadores para representarem números reas, os algortmos que geram A funconam com um conjunto fnto de dados. Daí resulta que a sequênca de A gerados acabará por se repetr. O comprmento máxmo de números gerados antes da repetção é o chamado período do
gerador de A. O período deve assm ser sufcentemente longo de forma a garantr que não se use a mesma sequênca mas de uma vez numa experênca de smulação. Uma regra dtada pela prátca propõe que o período não seja nferor ao quadrado da dmensão da amostra, para evtar a presença de correlações. 3. Passar os testes estatístcos à unformdade e à ndependênca Os A devem passar os testes estatístcos da ndependênca e da dêntca dstrbução. 4. Possbldade de replcação Uma mesma sequênca de A deve poder ser reproduzda tantas vezes quantas as necessáras, de modo a possbltar a deteção de erros ou a realzação de análses de sensbldade. Todos os geradores de A que se baseam em fórmulas de recorrênca podem ser,, f, U, g, descrtos como o quíntuplo onde: é o conjunto fnto dos estados. é a medda de probabldade para se seleconar x 0, o estado ncal do processo, ou semente do gerador de A. f U é a função de transção, que descreve o algortmo, 0,1, é o espaço dos outputs: normalmente, x f x 1. 0,1, 0,1 0,1. ou g é a função de output, que transforma x em u U. 6. Exemplo de um gerador de PA: o Método das Congruêncas Dados dos números nteros postvos x e m, a dvsão ntera de x por m tem como resultado dos números: o quocente q e o resto r, r x. Por outras palavras, o número ntero postvo x admte a decomposção dvsível por m. x mq r. Se r 0, dz-se que x é Defnção: Seja m 0 um número natural. Dos nteros postvos x e y dzem-se congruentes módulo m se tverem o mesmo resto na dvsão por m. A notação é x y(mod m). Consderando o algortmo da dvsão, verfca-se que qualquer ntero postvo é congruente ao seu resto na dvsão por um ntero postvo. Uma vez que para cada m fxado a pror o resto obtdo é únco, pode defnr-se uma função que a cada x assoca
o resto da dvsão de x(mod m). x por m. A magem de x dada por esta função é denotada por Posto sto, consdere-se a sucessão de números nteros defnda por recorrênca ( )( ) sto é, x 1 é gual ao resto da dvsão ntera de m. A sucessão começa com um valor ntero x 0 (a semente, como já se referu). A sére normalzada vem x u. m 1 O conjunto fnto dos estados é Assm, para este gerador: 0,1,..., m1. ax c por A função de transção que descreve o algortmo é (mod ). f x ax c m O espaço dos outputs é U [ ] A função de output, que transforma Quanto a, x em u U, a medda de probabldade para se seleconar é. g x x 0 x m 1, o estado ncal do processo, ou semente do gerador de A, vara consoante os casos concretos. Como é medato, o modo de construção da sequênca faz com que não possam ser gerados mas de m A. O comprmento do período depende dos valores de a É obtdo um período máxmo quando são satsfetas as condções seguntes: c e m são prmos entre s. Todo o número prmo que é dvsor de m também é dvsor de Se m é dvsível por 4, a 1 também é dvsível por 4. Estas condções podem ser satsfetas sob dos tpos de hpóteses: Se c 0, m deve ser uma potênca de, c a 1. deve ser ímpar e a e de c. deve ser da forma a 4k 1, k ntero. Se c 0, deve ter-se x0 0, m 1 a deve ser múltplo de m j e a 1 não pode ser múltplo de m, para j1,,..., m. Em smulações muto exgentes os geradores congruencas lneares não devem ser usados, pos apresentam alguns problemas. Por exemplo, se o multplcador a é pequeno quando comparado com m, verfca-se que um A muto pequeno é sempre segudo por outro, o que obrga acontecmentos raros a sucederem-se. O período é também nsufcente, em mutos casos. De qualquer modo, são algortmos rápdos, pouco
exgentes em memóra e fáces de mplementar e de compreender, vantagens aprecáves. Exemplo: Usando o método das congruêncas, gere uma sére de números pseudo aleatóros usando a segunte fórmula de recorrênca ( )( ) (ote-se que os valores escolhdos para e garantem que se va ter período máxmo.) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 6.3 Testes estatístcos Como já fo dto, os números devem ser observações de v.a...d. unformemente dstrbuídas no ntervalo [ ] Para assegurar que estas propredades foram alcançadas, são fetos alguns testes. Como é evdente, a maora dos softwares comercas de smulação realza estes testes prevamente à comercalzação. Pelo facto de um gerador passar alguns testes, não se pode conclur que é adequado a todo o tpo de smulações. a verdade, uma vez que os A na realdade não são verdaderamente aleatóros, há sempre testes que não conseguem passar. Uma cosa é certa: há alguns testes que nenhum gerador pode falhar, nomeadamente o teste de Kolmogorov-Smrnov ou o teste do Qu.-Quadrado (ver Larson, pp. 57-537), que
testam a unformdade, e o teste das sequêncas (run test, ver Larson pp 518-53), que testa a ndependênca. Tanto o teste do Qu-Quadrado como o teste de Kolmogorov-Smrnov testam a unformdade, medndo o grau de aproxmação entre a dstrbução da amostra fornecda pelo gerador de números aleatóros e a dstrbução unforme teórca. Ambos são concebdos de modo que a hpótese da unformdade não seja rejetada quando não exste uma dferença sgnfcatva entre a dstrbução da amostra e a dstrbução teórca. o ponto segunte descreve-se de forma muto ntutva o teste de Kolmogorov- Smrnov, de aplcação mas convenente neste caso. Com efeto, podem ser apontadas duas vantagens deste teste em relação ao teste ququadrado. Em prmero lugar, quando a dstrbução populaconal é contínua e se conhecem a forma e os parâmetros da sua função densdade de probabldade, a dstrbução da estatístca do teste é defnda rgorosamente (ao contráro do que sucede com a estatístca do teste do qu-quadrado, cuja dstrbução é aproxmada). Esta vantagem é tanto mas nítda quanto menor for a dmensão da amostra. Em segundo lugar, o teste K-S é, na maora das stuações, mas potente do que o teste qu-quadrado. Lmtações: exge dstrbuções populaconas contínuas e completamente especfcadas (o que não sucede com o teste do qu-quadrado), bem como um maor esforço computaconal. 6.3.1 Teste de Kolmogorov-Smrnov (K-S) Compara a função de dstrbução unforme contínua (o teste exge dstrbuções populaconas contínuas e completamente especfcadas), F( u) u,0 u 1, dstrbução empírca da amostra dada pelo gerador de números aleatóros, com a u1, u,..., u, seja ( ) O desvo máxmo acetável é calculado a partr da estatístca { ( ) ( ) } A hpótese nula e a alternatva são formuladas nos seguntes termos: ( ) ( ) ou seja, a função de dstrbução da população da qual provém a amostra é dêntca a uma função de dstrbução que se assume conhecda (e é neste caso a dstrbução unforme em [ ], ( ) )
versus ( ) ( ) ote-se que o { ( ) ( ) } procurado não é necessaramente o maor valor que ( ) ( ) toma quando se consderam apenas os valores observados de. Dado que a função ( ) é contínua e ( ) é uma função em escada, o valor máxmo daquela dferença absoluta deve ser procurado na vznhança de cada valor observado de U. A dstrbução da estatístca é conhecda e está tabelada em função de e do nível de sgnfcânca do teste, Dz-se que é uma estatístca dstrbuton-free, no sentdo em que só depende da dmensão da amostra, sendo rrelevante a forma da função de dstrbução da população. Para realzar o teste é então necessáro determnar o maor desvo absoluto entre F u e F u, o que se faz com o segunte algortmo: 1. Ordenar de forma crescente os valores da amostra: u u... u. 1. Calcular D obs max u,1. ^ 3. Calcular 1 D obs max u,1. 4. Calcular Dobs Dobs Dobs max,. (De facto, dado que a função ( ) é contínua e ( ) é uma função em escada, o valor máxmo daquela dferença absoluta deve ser procurado na vznhança de cada valor observado de ) 5. Consultando a tabela da dstrbução da estatístca D,, determnar o valor crítco D, por nível de sgnfcânca e dmensão da amostra, e decdr: Se D D, obs rejetar a hpótese da unformdade; Se D D, não rejetar a hpótese da unformdade. obs Exemplo: Verfcar se os números 0,1549; 0,045809; 0,394661; 0,714665; 0,959579; 0,37405; 0,9866; 0,855914 (gerados pelo GA do Excel) não contraram a hpótese da unformdade.
8 u u... u 1 8 0, 045809 0,1549<0,37405<0,394661<0,714665<0,855914<0,9866<0,959579 u 8 1 3 4 5 6 7 8 0,045809 0,1549 0,37405 0,394661 0,714665 0,855914 0,9866 0,959579 0,15 0,5 0,375 0,5 0,65 0,75 0,875 1 8 u 0,079191 0,095771 0,00595 0,105339 = D obs 0,089665 0,105914 0,05366 0,04041 1 8 0 0,15 0,5 0,375 0,5 0,65 0,75 0,875 1 u 8 0,045809 0,099 0,1405 0,019661 0,14665 0,30914 = D obs 0,17866 0,084579 D max 0,105339;0,30914 0,30914 obs D 8 0,454, 0.05 consultando a tabela da estatístca D, com 8 e 0.05. Dobs D 0,05 8 a hpótese da unformdade não é rejetada. 6.3. Testes de Sequênca Os testes de sequênca examnam o arranjo dos números para testar a sua ndependênca. À partda, um conjunto de números aleatóros não deverá ter sequêncas de mas, nem de menos. Os testes verfcam dos tpos de sequêncas nas observações realzadas: 1. A varação crescente e decrescente: Uma sequênca é defnda como sendo uma sucessão crescente ou decrescente de observações.. A varação acma e abaxo da méda: Uma sequênca é defnda como sendo uma sucessão de observações (todas) acma, ou abaxo, da méda. 6.3..1 A varação crescente e decrescente
Consderando a va. que representa o número de sequêncas num conjunto de observações aleatóras, pode deduzr-se que a sua méda e varânca são respetvamente guas a ( ) ( ) Prova-se também que, com sufcentemente grande ( ), ( ) Se o gerador for acetável, então o valor observado da v.a. deverá estar próxmo de 0, pelo que só se deve rejetar a hpótese de ndependênca quando sso não acontece de uma forma evdente. Regra do teste: Se o valor observado da v.a. satsfaz a condção não se rejeta a hpótese de ndependênca. Exemplo: Baseado nas sequêncas de valores crescentes e decrescentes, determnar se a hpótese de ndependênca pode ser rejetada para = 0.05, tomando o segunte conjunto de observações de uma v.a. ( ). 0.41 0.68 0.89 0.94 0.74 0.91 0.55 0.6 0.36 0.7 0.19 0.7 0.75 0.08 0.54 0.0 0.01 0.36 0.16 0.8 0.18 0.01 0.95 0.69 0.18 0.47 0.3 0.3 0.8 0.53 0.31 0.4 0.73 0.04 0.83 0.45 0.13 0.57 0.63 0.9 As sequêncas são as seguntes:
+ + + - + - + - - - + + - + - - + - + - - + - - + - + + - - + + - + - - + + - Há 6 sequêncas. Com e vem: ( ) ( ) ( ) Como a hpótese de ndependênca não pode ser rejetada. 6.3.. A varação acma e abaxo da méda Teste muto semelhante ao anteror. Consderando a va. que representa o número de sequêncas, agora de valores acma e abaxo da méda, e anda num conjunto de observações aleatóras, toma-se agora ( ) ( ) onde: número de observações acma da méda; número de observações abaxo da méda;.
Contnua a ser verdade que, com sufcentemente grande ( ), ( ) Regra do teste: Se o valor observado da v.a. satsfaz a condção não se rejeta a hpótese de ndependênca. Exemplo Tomando as mesmas observações 0.41 0.68 0.89 0.94 0.74 0.91 0.55 0.6 0.36 0.7 0.19 0.7 0.75 0.08 0.54 0.0 0.01 0.36 0.16 0.8 0.18 0.01 0.95 0.69 0.18 0.47 0.3 0.3 0.8 0.53 0.31 0.4 0.73 0.04 0.83 0.45 0.13 0.57 0.63 0.9 As sequêncas são agora as seguntes: - + + + + + + + - - - + + - + - - - - - - - + + - - - - + + - - + - + - - + + - Observa-se: (observações acma da méda + ); (observações abaxo da méda - ); ; sequêncas
( ) ( ) e o valor crítco é 1.96; logo, a hpótese de ndependênca não pode ser rejetada.
7. Geração de Observações de Varáves Aleatóras Correlaconadas 7.1 Introdução Em mutas stuações, não é possível acetar que as v.a. de nput são todas mutuamente ndependentes; por exemplo, os retornos de nvestmentos em dferentes atvos estão mutas vezes correlaconados, ou seja, exste dependênca estatístca entre as varáves que os representam. Só para recordar, sendo e v.a., a covarânca de e defne-se Cov 1, E 1 1 E 1 E 1 E. Quanto ao coefcente de correlação entre 1,1, ntervalo defne-se 1 e, Cov, Cov, Var Var. 1 1 1 1 1 Var 1Var Como também se sabe, se 1 e são ndependentes, então que se demonstra pertencer ao 1 Cov 1, e nulos; a mplcação recíproca não é em geral, verdadera. [Uma exceção é observada no caso da dstrbução normal, em que se pode realmente conclur que varáves não correlaconadas são ndependentes.] são Quando se tem um vetor aleatóro n-dmensonal 1 n,,...,, a matrz das varâncas e covarâncas é uma matrz de ordem smétrca e sem defnda postva, com elementos não negatvos na dagonal prncpal (as varâncas; as covarâncas estão nas outras posções). [ ]=[ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ] ( ) ( ) ( )
7. Populações normas multvaradas Para começar, consdere-se então um vetor A questão que se coloca é: 1 n,,..., ~ 0,. Será possível encontrar uma matrz C, do tpo n m, tal que ( ) T Z Z, Z,..., Z, Z ~ 0,1 e ndependentes, 1,..., n? 1 n Quer dzer: pergunta-se se é possível escrever as varáves dadas, que não são mutuamente ndependentes, como combnações lneares de varáves normal-standard que sejam mutuamente ndependentes? A resposta é medata e afrmatva: notando que v.a. resultantes de combnações lneares de v.a. com dstrbução normal anda têm dstrbução normal, e que a matrz das varâncas e covarâncas de T CZ é T CC, como se prova com toda a facldade, basta garantr que T CC. Verfca-se assm que o cálculo da matrz decomposção de Cholesky da matrz matrz A ao produto abaxo da dagonal prncpal são zeros). C mplca que se proceda à chamada - a decomposção de Cholesky guala uma T A = L L, sendo L uma matrz trangular superor (os elementos Quando n, (dstrbução normal bdmensonal, ou bvarada, stuação muto frequente), tem-se Y,,, Y T μ e Σ 11 1 1, que neste caso partcular costuma assumr a forma Σ Y Y Y este caso elementar, para determnar a matrz C basta resolver o sstema matrcal T CC :. c11 c11 c11 0 c11 c1 Y cc 11 1 Y c 1 c1 c 0 c Y Y c1c11 Y c c 1 c Y Y Y 1 c11 c1 Y T Então, C 0 c e C 0 Y 1 0. Y Y 1
Tendo em atenção que as v.a. e Y necessaramente nulas, vem fnalmente têm vetor das médas μ, Y T, não 1 1 T Z1 Z1 Z1 C. Z Y Y Z1 Y 1 Z Y Y Z1 Y 1 Z Se, por exemplo, Y Y ~,,,, é tal que ~ 5,17, 49,144,0.4, tem-se 5, Y 17 49 33, 6 Σ 33, 6 144 Pode escrever-se a combnação e 7 4,8 C. 0 1, 84 5 7Z 1 5 49 33, 6 ~,, 17 4,8Z 1, 84 17 33, 6 144 1 Z O problema da geração de observações de de observações de Z Z Z 1, Y, Z 1, Z ~ 0,1 e ndependentes. reduz-se deste modo à geração e à sua transformação de acordo com os resultados obtdos: para gerar observações de calcula-se 5 7Z 1 e para gerar observações de Y calcula-se 17 4,8 1, 84 Se n Z 1 Z. (dstrbução normal multdmensonal), o procedmento não se altera. Em resumo: A decomposção de Cholesky é usada no MMC para a smulação de sstemas com múltplas varáves correlaconadas. A matrz das varâncas e covarâncas é decomposta de modo a obter-se a matrz trangular nferor aplcada à amostra casual,,..., Z1 Z Z n T T C, que Z permte obter uma amostra T 1,,..., n com a dstrbução em causa. 7.3 Caso Geral Em geral, há duas abordagens dstntas para a geração de v.a. correlaconadas, de acordo com as seguntes duas stuações: 1. A dstrbução conjunta está completamente especfcada.. Apenas são conhecdas as dstrbuções margnas e a matrz das varâncas e covarâncas. 1. Dstrbução conjunta completamente especfcada
Quando se pretende gerar observações de um vetor aleatóro dada dstrbução conjunta 1 n 1 n 1 1 n n,,...,, F x, x,..., x P x, x,..., x, com conhecda, é possível obter as dstrbuções margnas e também as dstrbuções condconadas, e assm gerar as observações de forma sequencal. Por exemplo, com, F x, x F x F x x, pelo que para gerar n 1 1 1, 1 se gera prmero com base em F x 1 1 partr da dstrbução condconada e se gera depos de forma ndependente, a F x x 1 efectuar os cálculos e as smulações envolvdos no problema. - admtndo, claro, que se conseguem Uma stuação muto comum em que o método realmente funcona bem é na smulação de processos estocástcos, questão que será abordada mas adante.. Dstrbução conjunta desconhecda; apenas se conhecem as dstrbuções margnas F., 1,..., n, x e a matrz R das correlações. Quando se pretende gerar observações do vetor aleatóro se conhecem as dstrbuções margnas F., 1,..., n, x 1,,..., n e apenas e a matrz R das correlações, pode acontecer que haja mas do que uma dstrbução conjunta a partlhar as dstrbuções margnas e a matrz das correlações que são dadas. Por outro lado, pode ter havdo algum erro na especfcação e exstr nconsstênca entre as dstrbuções margnas F x. e a matrz R, caso em que, afnal, não exste nenhuma dstrbução conjunta nas condções exgdas. Admtndo que não há problemas desta natureza, a geração de 1,,..., n pode fazer-se com base na dstrbução normal multvarada (ca-se na secção anteror), dando os seguntes passos: Consdere-se um vetor Z Z Z Z 0, Σ,,..., ~, 1 n tal que [ ] ou seja, Z ~ 0,1, 1,..., n, f.d. de Z é z, 1,..., n.
Os elementos não prncpas são desconhecdos e a questão prncpal é mesmo começar por determná-los, para depos se poder avançar com o processo de smulação. ote-se que, sendo as varâncas untáras, acaba por ser também a matrz das correlações. Pelo que se vu anterormente, cada uma das componentes aleatóro Z Z Z 1,,..., n Uma vez que as v.a. Z tem dstrbução U (0,1). são correlaconadas, as v.a., 1,...,, Z n Z do vetor são gualmente correlaconadas, represente-se a respetva matrz das correlações por Evdentemente, esta matrz também não é conhecda, pos os seus elementos vão depender dos valores Fazendo então pretendda, F x Sendo as v.a. desconhecdos. F 1 Z,.. x Z fca garantdo que correlaconadas, também as v.a. correlaconadas, represente-se a respetva matrz das correlações por Σ'. tem a dstrbução margnal 1 F Z x são Σ''. Os elementos desta matrz serão gualmente funções dos desconhecdos. Recordando que o objetvo é garantr que margnas F x. e matrz das correlações 1,,..., n tenha dstrbuções R, para satsfazer este requsto basta estabelecer a gualdade um sstema que é, por vezes, de dfícl resolução. Conhecda [ ] recorra-se ao processo vsto atrás para a geração de observações do vetor Z Z Z Z,,..., ~ 0, Σ, onde as correlações já estão 1 ntegradas, e usem-se essas observações e as relações observações de Exemplo (falta resolver): ( ) 1 n,,...,, n como pretenddo. F Z 1 x para smular ( ) [ ]
8. Smulação de Processos Estocástcos Seja t I, t espaço de probabldade um processo estocástco, sto é uma famíla de v.a. defndas num, F, P, onde t é um parâmetro que assume valores num conjunto I R, desgnado conjunto dos índces do processo. aturalmente, as v.a. t que formam o processo estão correlaconadas, não são ndependentes, pelo que não podem ser geradas de forma ndependente, a partr das respectvas dstrbuções. Por exemplo, de t é quase que completamente determnada por, t para valores pequenos. A forma como a questão é resolvda tem que ser adaptada, conforme se trate de um processo estocástco em tempo dscreto ou de um processo estocástco em tempo contínuo. 8.1 Processo Estocástco em Tempo Dscreto Seja, t 1,,..., n t um processo estocástco em tempo dscreto com ncrementos ndependentes, e seja F k (.) a dstrbução do k. k 1 k ésmo ncremento, Uma trajectóra do processo pode ser obtda, aplcando o segunte algortmo: Consdere-se 0 0. Smulem-se observações das v.a. Faça-se k k1 Yk, k 1,..., n., 1,...,, tas que ~ (.). Y k n Y F k k k 8. Processo Estocástco em Tempo Contínuo Quando I 0, T é necessáro crar uma grelha sufcentemente fna do conjunto dos índces, seja 0 t0 t1... tn T, e segur o algortmo anteror, usando, por exemplo, uma nterpolação lnear nos pontos ntermédos. Para sso, como já não faz sentdo contnuar a consderar ncrementos ndependentes, uma vez que não se está realmente em tempo dscreto, mpõe-se o conhecmento das
sucessvas dstrbuções condconadas, representando agora (.) F k a dstrbução da v.a. Yk, dada a v.a. t. k 1 obtda, aplcando o algortmo: Consdere-se Para k 1 até 0 0. n : Smule-se uma observação da v.a. Faça-se t t Y k k1 Para os valores ntermédos de t k1 estas condções, uma trajectóra do processo pode ser k tal que ~ (.). Y Y F k k k. fazer a nterpolação ttk 1 t t Yk, t tk 1, tk. k 1 t t k 8.3 Exemplos Caso 5: Consdere dos atvos A e B e sejam mercado no momento t. Admta que S () A t e S ~ GBM, A A A S () B t, os respectvos preços de S ~ GBM, B B B e que os dos processos são ndependentes. Em t 0 um certo portfólo é composto por n A undades do atvo A e n B undades do atvo B. Estme a probabldade deste portfólo se desvalorzar mas de 10% num horzonte temporal T gual a 0.5 anos, com S (0) 100, S (0) 75, 0.15, 0., 0.1, 0.18, n n 100. A B A A B B A B ota: este exemplo, e também no segunte, só acaba por nteressar o valor do processo daqu a meo ano. De qualquer modo, não é dfícl ver como sera a geração de toda uma trajetóra. Havendo ndependênca, S S exp / T B T, B T ~ 0, T e A A T 0 A A A A A S S exp / T B T, B T ~ 0, T, B B T 0 B B B B B
bastando gerar observações ndependentes com dstrbução Caso 6: Admta-se agora que os processos 0, T. A B S ~ GBM, e S ~ GBM, A A B B não são processos ndependentes, pos sabe-se que os Movmentos Brownanos B A t e B B t assocados a A e B têm coefcente de correlação probabldade de o portfólo se desvalorzar mas de 10%. estas condções, pode escrever-se S S s sv A A t s t exp A A / A B B S t s St exp B B / s sv, B 0. Voltar a estmar a onde a a b, ~ 0,,, a b b Va Vb bdmensonal atrás estudado. cando-se assm no caso
9. Métodos Para a Redução do Erro de Estmação Como já fo referdo (ponto 5.), para se consegur um aumento de 50% na precsão, sto é, uma redução de 50% no erro cometda com a estmação, é necessáro quadruplcar a dmensão da amostra. Por outras palavras, o erro padrão (desvo padrão da amostra) reduz-se a uma taxa gual a apenas a raz quadrada da dmensão da amostra (não da própra dmensão da amostra), o que motva os utlzadores a procurar aumentar a precsão por outros meos. Um dos meos mas usados é o chamado método das varáves anttétcas, que nalgumas versões permte reduzr para metade a quantdade de A que é necessáro gerar, pos geram-se observações com a sucessão smulação, também com a sucessão u1, u,..., u 1,1,...,1. u1 u u e, numa segunda corrda da A dea é de que a amostragem com base em números aleatóros complementares nduz a uma correlação negatva entre as varáves de output das duas corrdas, o que permte reduzr a varânca. Por exemplo, consdere-se a smulação de observações de uma v.a. de output com o método das varáves anttétcas. Seja o resultado da prmera corrda e o resultado da segunda corrda. Como é um estmador não envesado de e as duas v.a. são negatvamente correlaconadas, pode esperar-se que ( ) ( ) ( ) ( ), venha reduzda, o que aumentara a precsão dos ntervalos de confança para. o entanto, deve comparar-se com a ( ) assocada a duas corrdas não correlaconadas. Outros métodos usados: o método das varáves de controlo, em que se procura ntegrar no processo de smulação o conhecmento que se tem sobre uma outra varável fortemente correlaconada (control varate) com a varável que se quer estmar, de modo a dar atenção apenas à estmação da parcela sobre a qual não há conhecmento; os métodos de quas-monte Carlo, que recorrem às chamadas sequêncas de baxa dscrepânca, de que são exemplo as sucessões de Halton ou os números de Sobol (ver Korn et al., p 65 e ss. e também pp. 45 e ss.).